（基础数学专业论文）拟共形映照中的几个问题.pdf

一 拟共形映照的几个问题 摘要 ( 1 9 2 8 年研5 t z s c 厅提出了拟共形映照的概念，直到五十年代口w n t i e v 与 彳疔珈坩分别在研究空气动力学问题与n e v a n l i n n a 值分布理论的几何意义时， 拟共形跌照理论才得到广泛深入的研究并得到飞速发展。它在分析、几何和物 理以及蓬勃发展的分形理论和复动力系统中都有重要的应用歹j 匿主要研究平 面拟共形映照的边界值理论问题和平面单连通区域的单叶性内径问题。 铰( z ) 是某一区域d 上的拟共形映照，f ( z ) 的局部最大伸缩商为d ( z ) ， d ，( z ) = ( i f , i + l x , 1 ) ( i f , i 一i ) ，若d ，( z ) k ，则称厂( z ) 是一个k 一拟共形映 照( 一般简记作k q c ) 。设q 是一个给定的拟共形映照族，在此族中关于 问题i n f ，s u p ：d ，( z ) 的极值映照就是在此给定的拟共形映照族中最接近共形 的。g r b t z s c h 在研究把矩形映成矩形而且保持顶点对应的映照族中，什么样的 映照最接近共形映照时，得出在此族中关于问题i n f ，s u p ：d ，( z ) 的极值映照是 仿射变换，这就是著名的g r 6 t z s c h 问题。圆环上的g r 6 t z s c h 问题可叙述为：设 ，( z ) 把 ， l z f 1 ) 拟共形映成 r 1 ，使得 ! 0 是待定参数，厂( z ) = “+ f v 是h 到自身的一个c 1 类拟共形映照，以 矗( x ) 为边界值。- t z f ( z ) 的最大伸缩商d = s u p d ，( z ) 的估计一直受到广泛注 意，b e u r l i n g 和一矗伽坩证明对某个r 有d ，s p 2 ，但证明有错，爿 扣憎后来在 他的一本小册子上给出了估计d ，s2 p ( p + 1 ) 。李忠就，= 2 给出了d s p 2 的 一个简单证明。当r = 1 时，r e e d 得到d ，8 p ，李忠后来进一步改进为 b 4 2 p ，并举例说明对巧的上界的估计关于p 的系数决不会小于2 圭。 m h t i n e n 于1 9 8 3 年给出了d ，精确的上界估计d ，s 2 p ，其中系数2 不能进 一步改进。1 9 9 5 年左右，陈纪修，何成奇等人研究了p ( f ) 一拟对称函数 ( x ) 的 b e u r l i n g a h l f o r s 扩张，即假设 ( 工) 是实轴上的自同胚且满足： 厕1 而h ( x + t ) - h ( x ) 鹏 协er ，o t f i , 其恸) 是( o d 中的单调 函数，而当t 寸0 + 时，允许p ( f ) 以任意的增长阶趋于+ o o 。对于 ( x ) 的 b e u r l i n g a h l f o r s 扩张，( z ) ，由于f ( z ) e c l ，所以它的伸缩商在日是局部有 界的，而当z 趋于的边界时，d s ( z ) 则可能无界。文 3 3 】证明了其增长速度 受到p ( ，) 增长速度的控制，即得到了估计d o + 砂) 4 p ( 考) + c ，x r ， y ( 0 ，j ) ，其中c 是常数。 我们把上述条件作了拓广，假定关于矗( x ) 的p ( f ) 一拟对称条件对f ( o ，佃) 成 立： 厕1 而h ( x + 面t ) - 而h ( x ) 鹏v x e r , 。 0 ，成立 f d ( x + i y ) s 2 p + ( y ) ，p + ( y ) 3 l d ( x + i y ) 2 p + ( y ) + 1 ，1 p + ( y ) 3 ， 其中系数2 不能再进一步改进。 若( z ) 是区域d 内局部单叶的亚纯函数，则它的s c h w a r z 导数定义为 驰) _ ( 篇) i 圭( 铬) 2 设。是复平面上边界不止一点的单连通域( 除 非特别说明以后就简略为单连通域) ，它的单叶性内径盯( d ) 定义为： 仃( d ) = s u p 口：日o ， 由忪，( z ) ks 口能推出厂( z ) 在d 内单叶) 这里i i s s ( z ) 忆= s u p 。 f s ，( z ) k 孑( z ) ) ，( z ) 是区域d p o i n c a r e 密度。关 于单n 性内径的研究一直很活跃，c a l v i s ，l e h t o ，l e h t i n e n ，m i l l e r 一踟n w i e r e ” 得出了一系列深刻的结果。对于某些特殊的区域，如，三角形，正多边形，角 域，双曲线围成的区域的单叶性内径己得到了精确的数值，关于椭圆、矩形的 单叶性内径也得到了部分估计，在第四章我们从经典的s c h w a r z c h r i s t o f f e l 公 式山发，得到了菱形的单叶性内径的准确值： ， 、 定理3 较小内角为女厅( o 去) 的菱形r 的译叶性内径盯( r ) = 2 k 2 - 装镳涸b e u r l i n g a h l f o r s 扩张，极值拟其形映照，拟对称函数，单叶性 内径，s c h w d 导数，g ，i s t z s c h 问题 s o m ep r o b l e m s o fq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g s a b s r r a c t q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sw e r ei n t r o d u c e db y g r 6 t z s c hi n19 2 8 t h et h e o r y w a sn o ts t u d i e de x t e n s i v e l yu n t i l l a v r e n t i e va n d a h l f o r ss t u d i e dt h ep r o b l e m s o fa e r o d y n a m i c sa n dt h eg e o m e t r i cm e a n i n go ft h et h e o r yo fn e v a n l i n n a d i s t r i b u t i o no fv a l u e s ，r e s p e c t i v e l y i n1 9 5 0 s s i n c e t h e n ，t h et h e o r y h a s d e v e l o p e dr a p i d l y i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a n y o t h e rb r a n c h e ss u c ha s ： a n a l y s i s ，g e o m e t r y , p h y s i c s ，a n dt h ed e v e l o p i n gt h e o r i e so f f r a c t a la n dc o m p l e x d y n a m i c s i nt h i sp a p e r w eh a v e s t u d i e dt h et h e o r yo fb o u n d a r yv a l u e so f q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g so f p l a n e d o m a i n sa n dt h ei n n e rr a d i u so f u n i v a l e n c eo f s i m p l y c o n n e c t e dd o m a i n si nt h e p l a n e l e t f ( z ) b e aq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n go nd d e n o t et h el o c a l l ym a x i m a l d i l a t a t i o no f 厂( z ) b yd ，( ：) ，d ，( z ) = d 正+ i ) ( | t | _ 阮j ) i f d ( z ) k ， w ec a l lf ( z ) a k - q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g l e tob e a g i v e nf a m i l y o f q u a s i c o n f o r r n a lm a p p i n g s aq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g i ss a i dt ob em o s t n e a r l y c o n f o r m a li n q i fi ti st h ee x t r e m a l m a p p i n g o ft h e p r o b l e m o f i n f rs u p ：d i ( z ) w h a tm a p p i n gi s m o s tn e a r l yc o n f o r m a li nt h ef a m i l yo f q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g sw h i c hm a pr e c t a n g l e ro n t or e c t a n g l erw i t ht h e r e i c e sc o r r e s p o n d e d ? g r 6 t z s c hp r o v e dt h ee x t r e m a lm a p p i n go ft h ep r o b l e m o f i n f js u p ：d f ( z ) i n t h i sf a m i l ym u s tb ea l la f f i n em a p p i n g ，w h i c hi sk n o w na s t h ef a m o u sg r f t z s c h sp r o b l e m g r b t z s c h sp r o b l e mo nt h ea n n u l u sc a nb e r e l a t e da sf o l l o w s ：l e t qb eaf a m i l yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ( z ) o f r i z i 1 ) o n r 1 s u c ht h a t 上 ob eap a r a m e t e r 厂( z ) i sac 1q u a s i c o n f o r m a ls e l g m a p p i n go ft h e u p p e rh a l fp l a n e hw h o s eb o u n d a r yv a l u ei sh ( x ) t h ee s t i m a t i o no ft h e m a x i m a ld i l a t a t i o n d ，= s u pd ，( z ) o f ( z ) h a s b e e ns t u d i e d e x t e n s i v e l y ： b e u r l i n g a n d a h l f o r sp r o v e dd ，p 2 f o rc e r t a i nn u m b e r ，b u tt h e r ew a s8 g a p a f t e r w a r d sa h t y o 憎o b t a i n e dd ，2 p ( p + 1 ) i nh i sm o n o g r a p h z l i g a v e a s i m p l ep r o o fo fd fsp 1 f o rr = 2 w h e nr = 1 ，r e e do b t a i n e d d j 8 p z l ii m p r o v e d i tf u r t h e rt o d j 4 2 p a n di l l u s t r a t e dt h a tt h e c o e f f i c i e n to f i nt h e e s t i m a t eo f d c a n n o t b el e s st h a n2 v 而 m l e h t i n e no b t a i n e d d s 2 p i n1 9 8 3 ，w h e r et h ec o e f f i c i e n t2c a n n o tb e f u r t h e r i m p r o v e d j c h e n ，z c h e n a n dc h eh a v es t u d i e dt h e b e u r l i n g a h i f o 坶e x t e n s i o no fp ( t ) 一q u a s i s y m m e t r i c f u n c t i o n h ( x ) l e t h ( x ) b eas e l f - h o m e o m o r p h i s mo ft h er e a l a x i sw h i c hf u l f i l st h ec o n d i t i o n ： 去 糕 斛慨川矿r e 加) i s d e c r e a s i n g 洒 ( o ，j ) a n d i sp e r m i t t e d t o t e n d t o + i na n y o r d e ra s ，寸0 + s i n c e f ( z ) c 1 ， i ti s e a s y t os e et h a t f ( z 、i s ah o m e o m o r p h i s mo fho n t oi t s e l fw h o s e d i l a t a t i o ni sf i n i t ea te v e r yp o i n ti nha n di sp o s s i b l et ot e n dt oi n f i n i t ea s 2 t e n d st ot h eb o u n d a r yo fh i ti sp r o v e di n 3 3 】t h a tt h eg r o w t ho fd i l a t a t i o ni s c o n t r o l l e db yt h eg r o w t ho f p ( t ) ，i e d ( x + 砂) 4 p ( 考) + c ，x r ，y ( o ，占) ， w i t hcb eac o n s t a n t w e g e n e r a l i z e t h ea b o v e p r o b l e m ：s u p p o s eh ( x ) s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g p ( ，) 一q u a s i s y m m t r i cc o n d i t i o n ： 去 笔糕 p ( ，) ，搬r ，o 3 i d ( x + y ) 2 p + ( y ) + 1 ，1 p + ( y ) 3 h o l d sf o ra l l 石ra n dy 0 w h e r ec o e f f i c i e n t2c a n n o tb ei m p r o v e df u r t h e r s o p p o s e 厂( z ) i sal o c a l l yu n i v a l e n tm e o m o r p h i cf u n c t i o no nd o m a i nd ， 幽e 溉删e r i v a t i v 咄枷n e a e v 删= c 铬，- 三c 篇) 2 m 。 b eas i m p l ec o n n e c t e dp l a n ed o m a i nw h o s eb o u n d a r yc o n t a i n sm o r et h a no n e p o i n t i t si n n e r r a d i u so fu n i v a l e n c e 盯( d ) i sd e f i n e db y ： 盯( d ) = s u o a ：a 0 ， i s , ( z ) 忆s 口i m p l i e s 厂( z ) u n i v a l e n t i n d ) w h e r e l b ( z ) k = s u p ：。 l 邑( z ) k j 2 ( z ) ) ，( z ) i s t h e p o i ”c 口r e d e n s i t y 。f d t h er e s e a r c ha b o u ti n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c e1 s a l w a y sp a i da t t e n t i o nt o c a l v i s ，l e h t o ，l e h t i n e n ，m i l l e r v a nw i e r e no b t a i n e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s i n n e rr a d i u s e so fu n i v a l e n c ef o rs o m ep a r t i c u l a rd o m a i n ss u c ha s t r i a n g l e s ， r e g u l a rp o l y g o n sa n da n g l es e c t o r sh a v eb e e n o b t a i n e d p a r te s t i m a t i o n so fi n n e r r a d i u s e so fu n i v a l e n c ef o re l l i p s e sa n dr e c t a n g l e sh a v ea l s ob e e no b t a i n e d i n c h a p t e r4 ，w eo b t a i nt h ei n n e rr a d i u so f u n i v a l e n c eo fe q u i l a t e r a lq u a d r i l a t e r a l d，ii|，lli l-一卜-：|一k f r o mc l a s s i cs c h w a r z c h r i s t o f f e lf o r m u l a ： t h e o r e m3l e trb ea l le q u i l a t e r a lq u a d r i l a t e r a lw i t hs m a l l e ri n n e ra n g l e 1 k ，r ( o k ) ，t h e nc r ( r ) = 2 k 2 z k e y w o r db e u r l i n g a h l f o 坶e x t e n s i o n ，e x t r e m a lq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ， q u a s i s y m m e t r i c f u n c t i o n ，i n n e r r a d i u so f u n i v a l e n c e ，s c h w a r zd e r i v a t i v e ， g r i j t s z c h sp r o b l e m 8 第一章绪言 1 拟共形映射理论的发展及其应用 1 9 2 8 年g r 6 t z s c h 1 】在研究把矩形映成矩形而且保持顶点对应的映照中， 寻找什么样的映照最接近共形映照时，提出了拟共形映射的概念，设f ( z ) 是某 一区域d 上的保向同胚，f ( z ) 的局部最大伸缩商记为d ，( z ) ， d ，( z ) = ( 阮 + 阮 ) d 正 一阮i ) ，若q ( z ) k ，则称，( z ) 是一个k 一拟共形映 照( 一般简记作k q c ) 。随后在三十年代末，t e i c h m i i l l e r 【2 】应用拟共形映 照研究了经典的r i e m m a n 曲面模问题，但他的深奥的思想当时未被普遍接受， 直到五十年代l a v r e n t i e v 与月 蜘坩【3 】分别在研究空气动力学问题与 n e v a n l i n n a 值分布理论的几何意义时，拟共形映照理论才得到广泛深入的研究 并得到飞速发展，成为单复变函数论中一个十分活跃的分支。在国际上， a h l f o r s ，g e h r i n g ，r e i c h ，s t r e b e l ，l e h t o ，k r u s h k a l 等人以及国内的许多数学家 如杨乐，李忠，何成奇，任福尧，方爱农，陈纪修等对此都有过深入的研究。 近年来，一些年青学者如伍胜健，沈玉良做出了一批有意义的结果。这些研究 不仅影响到经典函数论的许多问题，而且在其他许多学科中也有广泛的应用。 如，拟共形映照与t e i c h m i i l l e r 空间理论在t h u r s t o n 【1 0 关于三维流形的几何与 拓扑，d o n a l d s o n 和s u l l i v a n 1 】关于四维流形及s u l l i v a n 【1 2 关于复动力系统的 著名研究中得到了重要应用，八十年代t e i c h m i i l l e r 空间理论被系统广泛的应用 于黎曼几何。九十年代经典的s c h w a r z 导数进一步推广到黎曼流形 【5 0 5 1 5 6 ，这一切说明拟共形映照理论有着良好的发展前景。 本文主要研究平面拟共形映照的边界值问题，并初步研究了有关平面单连 通区域的单叶性内径的问题。 9 2 研究现状和主要工作 复平面区域d 上的一个复值函数( z ) ，如果它是曰e ，f 胁”f 方程 f z = ( z ) 正，恻l = k 1 ， 的一个r f - 3 l m 胚解，则称厂( z ) 是一个拟共形映照，其中( z ) 是一可测函数。 ( 1 ) g r 6 t z s c h 问题 设，( z ) 是某一区域上的拟共形映照，厂( z ) 的局部最大伸缩商为哆( z ) ， d ，( z ) = ( 阮i + 怃i ) 州正 _ 阮 ) ，设q 是一个给定的拟共形映照族，我们称一个 映照在此族中是最接近共形的，就是在此族中关于问题i n f ，s u p ：d ，( z ) 的极值 映照。g r 6 t z s c h 在研究把矩形映成矩形而且保持顶点对应的映照族中，什么样 的映照最接近共形映照时，得出在此族中关于问题i n f ，s u p ：q ( z ) 的极值映照 是仿射变换，这就是著名的g r 6 t z s c h 问题。圆环上的g r 6 t z s c h 问题可叙述为： 设，( z ) 把p l z l 1 ) 拟共形映成 尺 1 ，使得上p 0 是待定参数，厂( z ) = + i v 是h 到自身的一个c 类拟共形映照，以 o ) 为边界值。关于厂( z ) 的最大伸缩商d 1 2 s u p d j ( z ) 的估计一直受到广泛注 意，b e u r l i n g 和a h l f o r s 证明对某个r 有d ，p 2 ，但证明有错，a h l f o r s 后来 在他的一本小册子【2 8 】上给出了估计d ss 2 p ( p + 1 ) 。李忠【3 5 】就r = 2 给出了 巧p 2 的一个简单证明。当，= 1 时，r p 口讲3 6 】得到d is 8 p ，李忠【5 3 】后来进 一步改进为d ，4 2 p ，并举例说明对d ，的上界的估计关于p 的系数决不会小 于2 j 圭。m l e h t i n e n 3 7 】于1 9 8 3 年给出了。，精确的上界估计q 2 户，其中 系数2 不能进一步改进。1 9 9 5 年左右，陈纪修、何成奇1 3 3 等人研究了户( f ) 一 拟对称函数厅( x ) 的b e u r l i n g a h l f o 附扩张，即假设厅( x ) 满足： 丽i 丽h ( x + j t ) 两- h ( x ) 觚巩月，。 ， 万， 其中p ( f ) 是( 0 ，d ) 中的单调函数，而当t 寸0 + 时，允许，0 ) 以任意的增长阶趋 于+ 。对于矗( x ) 的b e u r l i n g a h l f o r s 扩张，( z ) ，由于f ( z ) e c l ，所以它的伸 缩商在h 是局部有界的，而当z 趋于h 的边界时，d j ( z ) 则可能无界。文f 3 3 】 证明了其增长速度受到p ( f ) 增长速度的控制，即得到了估计 d o + y ) 4 p ( 罢) + c ，x e r ，y ( o ，6 ) ，其中c 是常数。 在第三章，我们把上述条件作了拓广，假定关于 ( x ) 的p ( f ) 一拟对称条件 对一切，( o ，+ 。o ) 成立： 厕1 而h ( x + 项t ) - 而h ( x ) 觚魄r ，0 0 ，成立 f d ( x + i y ) 2 p + ( y ) ，p + ( y ) 3 1 d ( x + y ) 2 p + ( y ) + 1 ，1 p + ( y ) 兰3 ， 其中系数2 不能再进一步改进。 ( 3 ) 单连通域的单叶性内，俭 若，( z ) 是区域d 内局部单叶的亚纯函数，则它的s c h w a r z 导数定义为 = ( 篇) 一；( 篇) 2 设。是复平面上的单连通域，它的单叶性内径 盯( d ) 定义为： ( d ) = s u p a ：a o ， 由0 邑( z ) 忆口能推出厂( z ) 在d 内单叶) 这里l f 0 ( z ) 0 。= s u p 。 b ( z ) h 孑( z ) ) ，( z ) 是区域d 的肋胁c 州密度。关于单 叶性内径的研究一直很活跃，c a l v i s 【3 9 ，l e h t o 【4 1 】，l e h t i n e n 【4 0 ， m i l l e r 一跆盯w i p ，b 栉【3 8 】得出了一系列深刻的结果。对于某些特殊的区域，如， 三角形，正多边形，角域，双曲线围成的区域的单叶性内径已得到了精确的数 值，关于椭圆，矩形的单叶性内径也得到了部分估计。在第四章，我们从经典 的矗w 口陀一c b 捃，q 眙，公式出发，得到了菱形的单叶性内径： 定理3 1 6 5 如果菱形r 的较小的内角是肋，( o 0 当且仅当d 为k 一拟圆。 令 占( k ) = i n f 盯( d ) ：d 为k 一拟圆) 估计s ( k ) 的大小也是十分有趣的，注意到角域a - = z ：o a r g z 肋) ， ( o 七1 ) ，盯( 以) = 2 k 2 ，且角域4 是互拟圆，我们有 邢) 南 有没有更好的上界估计呢? 目前还不知道。 第二章g r 6 t z s c h 问题的域内特征 1 引言 复平面区域d 上的一个复值函数厂( z ) ，如果它是b e l t r i m i 方程 正= ( z ) 正，。= t 1 ， 的一个2 广义同胚解，称f ( z ) 是一个拟共形映照，其中u ( z ) 是一可测函数。 记d ，o ) 为，o ) 的局部伸缩商，即d ，( z ) = d 正l + l 正1 ) ( 1 正卜l 正1 ) ，若 啪) = 期邕巩k 称枷裥最大伸航为了标明它蝴z ) 的依赖性，有时记作k f 】，相应称f ( z ) 为k 一拟共形映照。x 的大小刻划了 f ( z ) 偏离共形映照的程度。1 9 2 8 年g r 6 t z s c h 提出并解决了著名的g r 6 t z s c h 问 题：在矩形r ( o ，a ，口+ b i ，b i ) 到矩形月( 0 ，口。，a 十b i ，b f ) 的保持角点对应的c 1 类 拟共形映照中何时k f 】最小? 答案是仿射变换。下面的定理属于g r 6 t z s c h 【l 】。 定理设f ：r 。r 是矩形r ( o ，口，口+ b i ，b i ) 到矩形r ( o ，n + ，n + 6 + i ，b f ) 的 c 1 类拟共形映照。并且保持顶点依次对应，则 研小m a x 孑a b ，知 并且当且仅当f ( z ) 是仿射变换，这个不等式中的等号成立。 g r 6 t z s c h 的解答告诉我们，把矩形映成矩形而且保持顶点对应的拟共形映 照族中，在此族中问题i n f ，s u p ：d j ( z ) 的极值映照是仿射变换。而圆环上的 g r 6 t z s c h 问题可叙述为：设( z ) 把 ， h l 拟共形映成( 月 d ， d ： d 。 ， ! 鳃d ”2 o 。 记月。= d 。 1 ) ，则存在共形映照丸及实数s ，使丸。f ( r 。) 成一圆环： 。f ( r 。) = 引“( 1 + s 。) 1 w l l 环域的共形模记为r o o d ( * ) ，这是一个菇形不变量。因为厂( z ) 是k q c ， m o d e 。f ( r 。) = m o d f ( g 。) 1 k m o d r ，所以 l n _ z l 1 k 1 n 上 m 刁百丽2n 石 从中解得占。s 0 ，聍= 1 ，2 ，3 ， 由模的次可加性及模的共形不变性， m o d e + 。f ( d 。 f z l d 。) m o d e 。f ( d 。 f z f i ) - m o d 妒。( 以 h 1 ) ， 而 所以 m 。d 九+ ；。厂( d 。 i 爿 办) i 1m 。d ( d 。 1 z i 以) = 去l n 砉 t n 志山蒜历去- n 毫 由此可得：占。占。+ l ， = 1 ，2 ，3 ， 躲件躲秽乩稚吨剡溉) ，l i m 6 _ o ，满足祥式 碟7 ( 1 一瓯) i ，( 以e ”) 矾“( 1 + 以) 故有厂( b ) c ( 毹7 。( 1 一瓯) l 叫 1 ) ，m 。d 厂( 心) 1 n 赤。而 m o 吖似j 幽南偶脯 m 南引n 南 得到占一统，n ：1 ，2 ，3 ，总之，关于 占。) 有下列性质：