（基础数学专业论文）偏序向量空间中映射的扩张性质(1).pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文箔i 页 摘要 经典k 衄t o 州c h 定理称：从m e 蹈空间x 的m a j o r i z i n g 子空间g 到 d e d e k i n d 完备的m e 8 z 空间y 的正线性算予能扩充为全空间的正算子一方 面，我们把h 8 h n - b a n a c h 定理之算子形式推广到值域空间y 是d e d e k i n d 完备的偏序向量空间，利用这一推广。给出了当y 是d e d e k j i l d 完备 的偏序向量空间的正算子的k 眦t o r 耐c 1 1 型扩张原理；另一方面，利用 y a a b r 锄硎c l l 和a w w i c k s t e a d 的方法，给出当x 、y 是偏序赋范空间 且y 有强i n t e r p 0 1 a t i o n 性质时，正算子的k a n t o r o v i c h 型扩张原理 给出了偏序b a n a c h 空间中上、下半连续映射的定义，应用e r c a n 改述的 m i c l l a e i 定理，得出了值域是满足一定条件的偏序b a n a c h 空间的连续映射的 h a h n - t o n g - k a t 撕型定理，推广了e r c a n 所给出的结论同时得出一个推论， 可以看作是工i i e t z e 扩张原理的一个推广 给出对一般的b 蚰a c h 空间e ，g ( 墨e ) 的子集f 是相对紧的一个必要条 件是f 等度连续且一致有界，并指出在一般情况下，这一条件是不充分的然 后指出当e 是有限维空间时，f 是相对紧的当且仅当f 是等度连续且一致有 界，这推广了从定理最后，应用s e r g e - l 8 n g 定理，给出e 是特殊空间匈 和k ( 1 p o 。) 时，g ( 耳，e ) 的子集f 相对紧性的刻画 关键词：偏序向量空间，正算子，扩张原理，相对紧 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t t h ec l a 8 s i c a lk 蛐r o v i c ht h e o r e ms t 8 t 嚣t h a t 唧p o s i t i 、，eo p e r 8 t o rf r o ma m a j o r j z i n gv e c t o r8 u b s p a c e0 fa 鹤zs p a c e i n t oad e d e l c i n dc o m p l e t em e 8 zs p a c e a l w a y sh 蹯ap o s i t i 、，ee x t e n s i o n w bg e n e r a l i z eh a h n - b a n a c h8 n dk 眦t o r a 、哇c l t h e o r e mt or a n g e8 p a c eyb e i n gao r d e r e dv 僦o rs p a o ew i t hd e ( 1 e k i l 】dc o m p l e t e i l e s s o nt h e6 t h e rh 蛐d ，u 咖gt h ei d e o fa b r 锄撕c h 觚dw i d 【s t e a d ，w e 舀v eak 舭吨0 r d v i d 咖et h e o r 锄c 0 i l c e r n i n gt h e t e n s i o no fap o s i t i v eo p e r a t o r 奇o man o 珊e do r d e r e dv e c t o r 印a c ei n t d8n o r m e do r d e r e dv e c t o rs p a c e 耐t h 仃一i n t e r p o l a “o n u p p e ra n d1 0 1 e r8 e m i - n t i n l l o u sf l l n c t i o n sw h ；e l l u 髓a 鹏i nao r d e r e d b a n a d ls p a c ea r ed e 血e d b 船i n go nt h em i c h a e lt h e o r e mw h i c l li sr e d r i h u l a t e d b ye k c a n ，w ep r e s e n tah a h n - t b n g - k a t 首口vt h e o r e mc o n c e r n i n gt h e c t e ：n s i o no fa c o n t i n u o l 培f u 【c t i o nf 妇0 0 m p a c th a u s d o r 仃s p a c et o 啦0 r d e r e db 眦葩h 印8 0 e 谢t hs o m e8 d d i t i o n a lc o n d i t i o n 8 i 七g e n e r a l i z ee r c 衄s 曲d - i l i e t z et h e o r e m w ba l s os h o wt h a tas u b s e tfo fg ( k ，e ) i sr e l a t i 砌yc o m p a c tw h e n e v e rf i sb o 七he q u i c o n t i n u o l l s 衄dl l n i f b r m l yb o u n d e d a n di t sc c 咀v e r s ei s 蹦w h e r e ki 8ac o m p a c th a 瑚d o 珊s p 8 c e ，ei 88b 蚰a c hs p a c e i fei 8a 鼬t e i d i m e n s i o n 8 p a c e ，t h e nf i sr e l a t i v e 坶c o m p 8 c ti f ffi sb o t he q m c o n t i u o t l s8 n du n i f o r m l y b o u n d e d a 土l a 8 t ，s o m ec h 8 r a c t e r i z a t i o 8o ft h er e l a 七i v e l yc o m p 砒n 铬so fs u b s e t s i ng ( k c d ) 池dg ( e f p ) ( 1 p o 且轨一z 2 o 容易验证e 在此偏序下是偏序向量空间，且点是坐标面的第一象限( 不包 含边界) 但e 不是m e 踞空间事实上，取z = ( o ，1 ) ，o = ( 0 ，0 ) ，则对任意 z = 协，砘) o ，z + z = 伍，1 + 恐) 是z 和0 的上界但是8 u p 伽，o ) 不存在j 例2 1 8设k 是紧距离空间，e 是一个偏序向量空间同时又是拓扑向 量空间，e ( k e ) 表示从k 到e 的连续函数全体，定义 ，9 ，( 七) 9 ( 七) ( v 七k ，v ，9 g ( 耳，e ) ) 容易验证g ( ke ) 在给定的逐点序下是一个偏序向量空间 回忆一下偏序向量空间的子集是f 1 1 l l 的概念 定义2 1 91 2 l 设x 是一个偏序向量空间，a 是x 的子集，如果对任意 茹1 ，。2 a 且z 1 2 则陋1 i z 2 】= 如x ：霉1 霉$ 2 ) a ，称a 是f u u 的 注：偏序向量空间的子集是f i l u 的在有的文献中又被称为是序凸的 下面几个概念是第3 章所要用到的 定义2 1 1 0 【1 7 l 设x 是偏序向量空间， ( i ) 如果对任意窭l ，z 2 玑，轨，都存在t x 满足z l ，z 2 札s 仇，耽，称 x 有i n t e 印o la ：t ：| o n 性质； 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ( i i ) 如果g 。是单增序列，钿是单减序列，且g 。( ，m n ) ，则 存在x ，使得z 。! ，( ，m n ) ，称x 有( 盯) i i l t e r p o l a 七i 0 性质 ( 或c a n t o r 性质) ； ( i i i ) 如果对任意两个序列z 。，且z 。( v h ，m n ) ，则存在y x ， 使得”s c ，m n ) ，称x 有强i n t e r p o l a t i o n 性质 设x 是偏序向量空间，容易看出有关系：d e d 出n d 完备推出伊d e d 出n d 完备，伊d e d e l d n d 完备推出强i n t e r p o l 8 t i o n 性质，强i n t e r p o l a t i o n 性质推出 伊i n t e r p 0 1 a t i o n 性质 在文献【2 4 】中指出g 【0 ，2 】在逐点序下不是d e d e l c i n d 完备的 c b h u i j 8 m 衄s 和b d ep a g t e r 在文献 2 4 中证明了a r d l i m e d e a n 硒e s z 空间f 有( 盯) 一i i l t e 印o l a t i o n 性质当且仅当f 是一致完备且f = 矿) 上+ 仁一) 上( 忱 f ) ，若x 是完全正则的珏& u 8 d o r f f 空间，则g ( x ) 有p ) - i n t e r p o l 雠i c i n 性质 当且仅当x 的不交的开b 集有不交闭包当然还有一些关于g ) 有 ( 盯) i n t e 巾o l a t i o n 性质的等价条件在此就不一一列举了 另外。设x 是偏序向量空间，容易看出若x 有强一龇r p o l a t i o n 性质， 则x 有( 仃) 砒e r p o l a t i o 性质这两个概念在一般情况下是不等价的在文献 【17 】中指出：若x 是m 够z 空间。则x 有( 盯) i n t e r p 0 1 a t i o n 性质等价于x 有 强i n t e r p o l a t i o n 性质 2 2 偏序拓扑向量空间 下面我们给出偏序拓扑向量空问的概念，注意到所谓偏序拓扑向量空间实 际上是在偏序向量空间上定义了一个局部f u l l 向量拓扑 定义2 2 1f 2 l 设x 是一个偏序向量空间，f 是x 上的一个向量拓扑如 果存在o 点的一个由f i l l l 集形成的邻域基，则称r 是局部f i l l l 的如果在偏序 向量空间x 上赋予一个局部f i l l l 向量拓扑，则称x 为偏序拓扑向量空间 下面这一定理给出了偏序向量空间上局部f l 】l l 拓扑的特征 西南交通大孥硕士研究生学位论文箔8 页 定理2 2 2 翻设x 怒一个偏膨晦蘸空游，r 怒x 上的一令据掭刚下列 命题等价 ( i ) r 裁简部矗l l i 髓； i i 存蒎。蠢的一令邻域蒸 ，葭褥对任意黪玎秘，霄性葳；翔 暴o 茹秽噩掣，嬲茹f ； ( i i i ) 设 勰 醛矗和 船) 雒a 是x 上柏两个阐，且os 奶瓣( w ) ，嚣 舶二o ，则斯二o 褥瓣遮，我嚣i 考察镶露赋蔻空瓣，霞证节葚数静毒关缀念。 定义2 2 3 设x 是一个偏序斑量空闻，p 是定义在x 上的一个箍数+ ( i ) 鼯莱o 霹l 张( 铷l ，趣x ) 蕴祸p ( 茹1 ) s 斌犯) 稼p 蔗单诲熊； 馨) 翔槊荐在筘 o ，毽褥8 趣s 现c 铷l ，勋竭蕴涵p ( 霉1 ) 励( 抛) ， 称p 是半荦调嚣姹对称x 是正蕊的； ( i i i ) 如果一芎s 茹s 烈慨，鲈义) 蕴涵( 茹) s p ( 秽) ，抟p 有性质； ( i v ) 如祭存在 o ，使得对任意的茹x ，存在瓤，现x f ，使 z m 霉l 一置趣猷 吠趣) 烈锄) ) 妇缸) t 称尹是粥瓣8 i 纨8 e e d ； ( v ) 菪x 是一个薹l j e 鼢空瓣，如荣滓| sm 蕴涵p 和) p ( 幻，称p 是格熬 数。 容易看出范数p 亨饿质( 女) 推出p 是单调的，p 撒调推出p 是半单调韵 饕莱x 楚鞑辎空霹，妒是辏藏数，裂有髓矮$ ) ，当然毽燕睾擎镶 和罐调的又因为对任意的茹x ，存在，童一群x 使褥茁= 扩矿虽 融秣扫妒x 瘁一) 芦秘，耩戳硌懿数笋毯怒鞔珏焱t 毂8 砉寂静+ 下述定理给出了范数尹媳半单调的一个特征 定壤2 。2 4 设x 楚一个编序向爨空掏，p 蹩定义在x 主翡一个范数，舔 下列命题等价： ( i 净是警单谲翰# f 逊存谯筘 o ，健褥一觊童l 墨趣( 妇l ，并) 蕴涵多( 茹1 ) s 励( 觏) 。 覆爨i 嶷遴大擎顿士语突生学铱论文第9 樊 证明( 锄= 争( i ) 是鬟然瓣 0 ) g i ) ：甄然p 是半筚调的，所 ；乏存在穗o ，健得o 茹l ( 魄，勘 x ) 蕴涵p 0 1 ) so 尹( z 2 ) 取口* 2 a + 1 o ，当一勘。l 翘时， 裔os 翔十知2 ，鼹鼗芦秘1 ) 一p ( ) p 缸l + 现) s2 印( 轨) ，骚驻 p 和1 ) 2 秘+ l 妇( 鼢) 一却( 她) 一 下恧这定理特出了在犏序向鼹空间上内藏数诱导的拓羚鼹局部f l 攫的 令特征。 定理2 2 51 2 1 没x 悬一个偏膨向量空间，p 熙定义在肖上的个范数 爨爷诱零熬据 是鼹韶融l l 豹警置蔹当筘是举零薅鹣 由上述定理知：如暴范效p 是半单调的。则p 诱导的拓扑煞局部f l l n 的， 藏婶称隅芦) 或x 楚僚痔麓薅空翔，耀褊序靛范空瓣堙攒篡蕊数蹩攀荜调翁 麴浆x 还魁完备的，则称发是馈廖b a n 诎空间， 因为每个格范散都燕举举调豹，所敬我们拖赋有格范数魏糙e 8 z 窝简称势 赋范掰e 8 z 黛间，如果它是完备的，则称为b 昶础格 在文献f l l 中指斑着x 是赋范黼e 踞空闷，孬jx 是闭静下述铡子嚣示 这结论对偏序赋鹣空瓣是不戚立的 爨2 2 6 在倒2 1 7 中，如果在嚣上赋带一个欧氏范数卧弘剃对任意 o 鬈 o ，蜘耳，使褥d f 埘，奶一 茹 x ：h 嚣一 6 o ，对任意z 。，存在，z ：x ，使得z 。= 茹：一茹：且 m a x l l $ ：l 。：l i ) a0z 。批取序列 鲰) 使得= z ：+ x + ，则对任 意的n ，有l i 0 2 口i | _ 缸且一由于t 是正算子，所以 一7 7 、。2 h 因为y 中的范数是半单调的，所以存在卢 o ，使得对 任意n ，有 茜南。弛刈翱砜l l 又因为级数器1j 1 缈收敛，而x 是b a n a c h 空间，所以器1 羟收敛设 鼯1 祭= 暑，既然墨是闭的，所以y 墨因此对任意n ，由于o 警s 研，所以有 去i i i i 钏珊l i 0 ，存在 一下半连续映射敦：蜀一2 茸有每令散( 惫) 是凸豹，显对每令惫e 嚣有 垂( 南) 峨( 七) s 圣( 后) + 晟( 其中豌= e 曰：l le8 o 使得存在s ，s f 耳满足 s = s 一s i 且| 【s s f | l scl is 扯存在s 主，s i 五满足s z = s 孝一s i 且 l i5 s i0 c0s z 取s = s r + 畦，则i isi l e 且 ，( 七) ，! ，一5 ( 七) ，+ s 由e 有有限i n t e r p 0 1 a t i o n 性质，所以存在u e 使得 ，( 七) ，可一s u h ( 七) ，! ，+ 占 因为，( 后) u ( 七) ，所以t l g ( 七) ，又一s u 一暑s ，所以lu 一鲈| | e ， 即圣( 七) 饥( 知) 垂( 七) + 鼠所以由定理4 2 1 知存在连续映射9 ：耳一e 使 得，( ) 9 ( 南) ( j 。) ( v 七) 一 注意到如果e 是b a n a c h 格，则e 必然满足定理4 2 3 的条件因此定理 4 2 3 推广了e r c a n w i 出s t e a d 的结论 下面是经典的n e t z e 扩张原理 定理4 2 4 ( t i e t 舱扩张原理) f 2 3 】设x 是正规的拓扑空间，a 是x 的闭子 集，是定义在a 上的连续函数且一l ，0 ) 冬1 ( 妇a ) 则存在连续函数 9 ：x 一【一1 ，1 】使得9 ( z ) = ，( z ) ( 比a ) 当定义域是紧h a 璐d o 空间，我们可以把经典的n e t z e 扩张原理推广到 值域空间是有一定特殊性质的偏序b a n a c h 空间 推论4 2 5 ( t i e t z e 扩张原理) 设耳是紧h 蛐s d o r l f 空间，m 是k 的闭子 集，e 是偏序的b 8 n a c h 空间，满足： ( 1 ) e + 是闭的； ( 2 ) e 有i t e r p o l 8 t | o n 性质； 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 ( 3 ) e 中的范数i l 有性质( ) 且是w e h s i t u a t e d 的 如果， ：一e 和g ：m e 都是连续映射有， 且，i f 5 口埘m 则 存在g 的连续扩张映射雪使得，雪 证明2 定义，为 r 雕) ：p 靴叫w 【9 ( 知) 若七m 且 ， ： 靴甜w 【9 ( 七) 秘m 由定理4 2 4 和定理4 1 3 可知存在g 的连续扩张映射使得， o 和e ，i 斗1 ；( 0 ，o ，“i 1 ，o ，) 仨a ，对任意的风：( o ，o ， ，o ，) 嚣，寓；嘉l 鑫冲l 一懿l = 顿 王 - 豹 下面这一定理则给出有艇维空间中集台棚对紧与谢界是等价的 定壤5 1 6 【2 l j 设a 悬舻的予集，剃a 蹙相澍紧的当胤仅当 是膏界 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 8 页 下述例子显示定理5 1 6 对无穷维空间定理不成立 例5 1 7 用g 【o ，1 】表示定义在【o ，1 】闭区间上的连续函数全体，按通常 的最大值距离，容易验证g f o ，1 】是完备的距离空间设 删： o ( ；“g ) i 1 一仳 ( o t i ) = ：礼n ) ，容易验证a o ( o ，1 ) ，但不含收敛子列，即a 不是相 对紧的 用g 【o ，6 】( 一 n o ，存在