（基础数学专业论文）几类微分方程的边值问题和周期解的研究.pdf

几类微分方程的边值问题和周期解的研究 中文摘要 本论文主要讨论了微分方程m 点边值问题解的存在性，一类非线性m 点 边值问题的多重正解的存在性，一类带二阶脉冲m - 点边值同题的可解性，以 及一类带有多个时滞的微分方程的周期解的存在性本硕士论文由三章组成 第一章讨论了非线性m 点边值问题的多重正解的存在性利用k r a s n o l - 出i 不动点定理和l e g g e t t 、v i i l i a l s 不动点定理，建立若干多重正解存在的充 分条件，这些结果改进和推广了一些已知的结果 第二章利用l e r 8 p s c h a u d e r 连续定理和l e r a y s c h a u d e r 择一原理，讨论 了一类带二阶脉冲m - 点边值问题的可解性，得到了一类脉冲边值问题解的存 在性的充分条件所得结果或改进了已有的结论，或结果是全新的 第三章利用重合度理论讨论了一类具有多个时滞的微分方程的周期解的存 在性，我们获得了多个时滞微分方程至少有个正周期解的充分条件，这些结 果改进和推广了一些已知的结果 关键词：边值问题；周期解；不动点定理；重合度理论 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 i i i a b s t r a c t t h i st h e s i s0 fm a s t e r 远c o l p 0 s e d0 ft h r e ec l l a p t e r s ，w h i c hm a j n l ys t u d i e d t h ee 姬s t e n c eo fi 肌l t i p l ep o s i t i 、，es o l u t i o no nm p o i n tb o u n d a r y 、7 a l u ep r o m b l e s ， s o l v a b i l 财o fs e c o n d0 r d e rm p o i n tb o u n i a 珂v a l u ep r o b l e i l l s 诵t hi m p u k s 缸d 喇s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rd i 雎r e n t i a le q u a t i o n 诵t hs e v e r a ld e l a y s i nc h 印t e r0 n e ，t h ee x i s t e n c ec r i t 嘶躺f o rn m l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o 璐f o rm p o i n tb 0 l d r a y 、，l l u ep r o b l e m sa r ed b t a l i n e db yi l s i n gk r a s n o s e l s ：k i i 丘x e dp o i n t t h e o r e ma n dl e g g e t t w i l h 锄畸丘x e d - p o i n tt h e 0 舱m c h a p t e rt w o ，b yl 甜a y s h a u d e rc o n t i n u a t i o nt h e o r e ma n dt h en o n l i n e a r a l t e r n a t i v e0 fl e r a y - s c h a u d e r 咖e ，w es t u d yt h ee 姬s t e n c e0 fs o l u t i o 璐f b ri m p u l s i v eb o u n d 哪7v a l u ep b l e 璐0 ni m t 七yi n t e 删sa n di n i t i a l 、，8 l l u ep r o b l e i 璐 丽t hs i n g l l l a u r ，a n ds o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o 璐b eg i 、，e n t h e 喇s t e n c eo fas o l u - t i o nf o ra n 卜p o i 丑tb o u n d a 叮v a l u ep r o b l 锄w i t hi m p u l s e si sp r 0 鸭d o u rr 髑t l l t s i m p r o 、，es o m eh 伽mr 髑l d t s0 ra r en e w i nt h el a s tc h a p t e r ，b ym e a n s0 fc o i n c i d e n c ed e 黟e et 咖t h ee ) d s t e n c 馏 o fp e r i o 出cs o l u t i o nf o ra 虹n d0 fd i 髓r e n t 试e q u a t i o n 丽t hs e v e r a ld e l a y 8a r e o b t a i n e d k e yw o r d s ： b o u n d a 巧、，a l u ep r o b l e m ；p e r i o d i cs 0 1 u t i o n ；f i x e dp o i n t t h e o r e m ；c 0 i n c i d e n c ed e g r e et h e o u 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 4 1 湖南师范大学学位论文原刨性声明 本人郑重声明：所星交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得螅成果。除文中已经注痪葶l 黑的内容铃，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究傲嵩羹要贡献骑个人和集体，均邑在文中暇翡确方式标襞本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名舅p 碍 刎年荔月l g 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文律者完全了解学校有关傈嚣、键爝学位论文酶规定，霹 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阕和稽阂本入授权湖南帮范大学可以将本学位论文静 全部或部分悫容编入有关数据库进行检索，可以采用影霉、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属予 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密西。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 储始1 墒 导簿张膨1 日期：锄p 8 年f 瑚f 日 嗍郴埃夕日 几类微分方程的边值同题和周期解的研究 绪论 1 问题产生的历史背景 数学中大量的微分方程都来源于诸如生态学，光学控制、通讯理论、几何 学、物理学、力学、天文学、电子技术、现代生物学、人工神经网络动力学、生物 工程、电路信号系统、自动控制以及经济学等抽象出来的数学模型，当考虑到事 物本身的复杂性和精确性时，往往导出时滞微分方程或称为泛函微分方程近 几十年来，许多数学工作者对微分方程的定性性质进行了深入而广泛的研究， 并获得了一系列很好的结果关于微分方程的定性研究成果涵盖了微分方程的 许多分支，如稳定性、吸引性、振动性等等然而关于脉冲微分方程边值问题( 如 d i r i c h l e t 边值问题，n e 啪a n n 边值问题、r ，0 b i n 边值问题、s t u 瑚l i o u 、，i l l e 边值问题及周期边值问题等) 多解的存在性以及脉冲多点边值问题解的存在性 的研究成果相对较少与此同时，周期现象频繁出现在自然界和人们的生活和 生产实践中，例如：四季，物理学的单摆运动、光波的传播规律经济的发展 规律、生物学中的很多变化规律都与周期息息相关这就迫切要求我们对各种 具体的数学模型的周期解进行研究，关于带有单个时滞的微分方程的存在性与 多重性，已有许多学者应用不同的方法进行了详细的研究，但是对于带有多个 时滞微分方程的周期解的存在性问题的研究结果相对还较少 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一些简要概述 一非线性m 点边值问题的多重正解存在性 在第一章讨论了m 点边值问题 “( 。) + 口( 。) t 7 ( 。) + 6 ( 。) | l 正( ) + ( 。) ，( 仳) = o ，2 ( o ，1 )( o 1 1 ) i 札，( 0 ) = o ，仳( 1 ) = 沓2 啦u ( 、 其中6 ( o ，1 ) ，a ( o ，o o ) ( i = 1 ，m 一2 ) 为常数， ，a 和6 满足 ( 研) ，c ( 【o ，。o ) ，【o ，o o ) ) ； ( 也) c ( 【o ，1 】，【o ，) ) ，有当z o ( o ，1 ) 使得 ( z o ) o ； ( 凰) n c 【o ，1 】，6 c ( f o ，l 】，( 一，o ) ) 硕士学位论文 很多论文已经讨论了m 点边值问题正解的存在性，如【l 一7 ，1 0 1 1j 设南= l i m u _ + o + 掣， k = h m 一掣假设满足条件( 皿) 一( 风) ，以及或者满足 ，o = o 和厶= o o 或者，o = o o 和厶= o ，文章【2 】和【3 】得到了方程( 1 1 1 ) 至少有一个正解存在( 当口三o ，6 三o ) 由此我们提出了两个问题： 问题1 如果 = 厶= 0 或如= 厶。= 。o 成立，我们是否可以得到相 似的结论 问题2 如果，o = 厶g o ，+ o o ) 方程( 1 1 1 ) 是否有解存在 = 二阶脉冲m 点边值问题的可解性 多点边值问题的研究已引起人们的广泛关注，见【1 5 - 17 】在文f 1 6 】，g u p t a ， n t o u y 船和，i 钿m a t 0 s ，考虑了下面m 点边值问题： p ( 。) = 巾删，( 。) ) + e ( 。) ，( 0 1 2 ) l 一( o ) = o ，z ( 1 ) = 篙2 吼z ( 已) ， 文章假定条件 f ，( ，u ，u ) i p ( t ) i 让i + 口( t ) i f + r ( t ) 以及一些其他的条件，获得了方程( 0 1 2 ) ) 的解的存在性但我们注意到，由 于脉冲方程解的不连续性，给这类问题的研究带来了很大的困难，因此研究脉 冲多点边值问题的解的存在性的文章极少，笔者仅见【1 8 】 问题3带脉冲效应的方程( o 1 2 ) 的可解性存在的条件是什么? 三带有多个时滞微分方程的周期解 在第三章我们利用重合度理论讨论了一类具有多个时滞“舌n a r d 方程 m z + n i z ( 一鼽) + ，( z ( t 一6 ) ) z 7 ( t 一6 ) + p ( ) 9 ( z ( t 一) ) = p ( ) ( o 1 3 ) i = l 周期解存在性，其中p ( t ) ，p ( ) 是周期为t 的函数对于方程( 0 1 3 ) 特殊情形 已有很多讨论，见文献f 2 2 3 1 1 李永昆在【2 3 1 中，研究了方程( o 1 3 ) 当n i 三。 时周期解的存在性，得到了如下定理 定理a 设 = s u & ri ，( z ) i o ； ( i i ) 九在 o ，1 j 上严格递减； ( i i i ) 税( o ) o 引理1 2 2 【3 】假如条件( 风) 满足那么( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 分别有唯一 解 现在，假定满足下列条件 ( 凰) 离2 口i 咖1 ( 射 1 引理1 2 3 【3 】如果条件( 飓) 和( 凰) 成立令y c 【o ，1 】那么问题 ( 。) + 口( 。) 州+ 6 ( 蝴) + ! ，( t ) = o ，t ( o ，1 )( 1 2 3 ) i ( o ) = o ，t ( 1 ) = 啬2q t ( 鳓， 、。 和积分方程 t | ( t ) 2 上g ( ，s ) p ( s ) 可( s ) d s + a 椰) ， ( 1 2 4 相等其中 a = 望篾象糕学， 2 劫 p ( t ) = 唧( z 。( s ) d s ) ， ( 1 2 6 ) g s ) ：兰 九o o ? 当s 到， ( 1 2 7 ) p l 砂1 ( s ) 妒2 ( ) ， 当t s ， 以及 p ：= 一1 ( o ) 咖：( o ) 而且，假如o ，则在【o ，1 】上t ( ) o 令 如胁t n ( 龋，揣) ， 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 其中”i i 定义为上确界模由( 1 2 7 ) 可得 g ( s ，s ) g ( t ，s ) g ( t ) g ( s ，s ) 2o ，t 【o ，1 】 选取6 ( o ，1 2 ) 使得z o ( 正1 一艿) ，得到 7 = 血n q ( t ) 忙【6 ，1 一m ， 显然，由引理1 2 1 可知0 ，y 1 引理1 2 4 【3 】 假如条件( 风) 和( 凰) 成立令秒c 【o ，1 】以及可o ， 那么问题( 1 2 3 ) 的唯一解t i 满足 t ( ) ，y i i u i i ，t 瓯l 一研 1 3 一个或两个正解的存在性 这节我们主要建立方程( 1 1 1 ) 的个或两个正解的存在条件 令e = c 【o ，l 】那么e 关于范数 | i t 正i l = s u pl t ( t ) i 是一个b a n a c h 空间 方程( 1 1 1 ) 在曰中有一个解 = 2 ( ) ，当且仅当”是算子方程 心) = 脚铀m s s 吣) ) d s + ( 蹬萼篷端举) 州力 ：= ( 丁u ) ( ) ， ( 1 3 1 ) 的解，其中p 和g 分别由( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 式所定义我们容易验证丁是全 连续的我们在e 中定义锥 p = 乱e ：u o ，6 受曼5 乱( ) 洲t l | 1 ) ( 1 3 - 2 ) 弓l 理1 3 1 1 。【尸) cr 证明 注意到g ( t ，s ) o 和o 吝2q i l 慨) g ( 境挺( 0 ，“s ( 0 1 ) ， 以及q ( t ) s 咖l ( ) ，因此我们可得 6 受6 ( 凡) ( t ) 。6 型曼6m g ( t ，s ) p ( s ) h ( s ) ，( t l ( s ) ) d 5 + ( 鳖萼篷粉辫堂) 州t ， 6 壁墨6q ( t ) mg ( s ，s ) p ( s ) 九( s ) 伽( s ) ) d s 沓2m 詹g ( 已，s ) p ( s ) ( 兰丛兰蛐堕1 1 一沓2q 妒l ( 鳓 j ，y z 1g ( s ) s ) p ( s ) ( s ) m ( s ) ) 如 沓2 啦詹g ( 6 ，s ) p ( s ) ( ! 巡兰盟堕i l 一沓2q t 1 ( j 由此和( 1 3 3 ) 可知 ，m 啦，( t u ) ( ) 之，y l i t 仳l | 5 t o 使 ，( u ) a f l p l ，u 【o ，n 】 则( 1 1 1 ) 至少有两个解t 1 1 和牡2 使得 o i i 仳1 l i n i i 牡2 i i 证明首先，因为如= ，我们选伽( o ，p 1 ) 使当o t o 满足舰7 a 2 1 令庙= m a x 2 p 1 ，m o n ) 和q 缩= 乱c 【o ，1 】： l l u i i 廊) ，那么当u p 且i l u i | = 庙有 。删p 。u ( ) ，y i l t i i p l o j l 一6 、7 一”一 于是可得 丁仳( 知) 。上g ( 5 ) p ( s ) ( s ) m ( s ) ) d s + ( 婴蹲篷辫等业) 州训 上g ( s ) p ( s ) ，l ( s ) m ( s ) ) d s ，l 一占 上 g ( z 。，s ) p ( s ) ( s ) i 五u ( s ) d s 矗7 a 2 i l t 正i i i i u i | 因此 i i 乳j i i i u i i ，对于t p n a q 缩 ( 1 3 5 ) 最后，令q p i = u c 【o ，1 】：l i u i i p 1 ) 当u p 且l i = p 1 时，可得 凡( ) 2 上g ( t ，s ) p ( s ) ( s ) m ( s ) ) 幽 + ( 妥譬邀端胖) 州幻。l 一啬2q i 1 ( 鳓帆p 砌( 脚s ，s m 啪蚺妥錾象裟学) 2 p l 由此可推得 i i 丁u i l l i u i l ，u p n a q p ，( 1 3 6 ) 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 l l 因此由( 1 3 4 ) ，( 1 3 5 ) 和( 1 3 6 ) 以及定理1 3 1 可知， t 有不动点t 1 1 pn ( q p l q p o ) 与不动点地p n ( q 踮q p l ) 它们都是( 1 1 1 ) 的正解，且 证毕 o i i t 正l l i p 1 0 使得 ，( 牡) a i l 见当让【7 化，成】 则( 1 1 1 ) 至少有两个正解u 1 和t 2 使 o i i u l i l p 2 l l t t 2 | 1 证明凼为如= o ，我们口j 以迓弹u p 以便得当0 o 满 足l a l 1 下面考虑两种情形： 1 2 硕士学位论文 情形( i ) ：假定，无界，存在矿 r 0 使得，( u ) ，( 矿) 对于o 牡矿 那么当u p 且i i u i i = 矿时，我们可得 ，工 吼( t ) = g ( ，s ) p ( s ) ( s ) ，( u ( s ) ) d s ，o + ( 置萼毽端学) 州幻l 一篙2q i l ( 引叭p e t p ( z 1g ( s ，5 ) p c s ) ( s ) d s + 至兰圣三； 兰；兰薹篓善学) 矿= i i u i i 情形( i i ) 假如，有界，那么对所有的t t 【o ，o o ) 有厂( u ) 选取 矿m a x 2 化，a 1 ，当钍p 且i f = 矿，我们可得 t ) 和s ，s ) 小町s ) ) d s + 婴笔氅篙攀 a l p + = l i u i i 因此，无论哪种情形，我们总是可以保证存在q p = u c 【o ，l 】：i f u l i 矿) 使得 f l 丁仳i f f f 让| l 乱p n a q p ( 1 3 8 ) 最后，让q p 2 = u c 【o ，1 】：l l t 正i i 以) ，那么由仳p 和i i u i i = p 2 可知 。翼婆p ，u ( ) ，y i | “i l = ，y 晚， 6 t l 一6 、7 一”。“ 因此 t 铭( z o ) 2 上g ( s 汩( s ) | l ( s ) ，( 牡( s ) ) d s + ( 蹬萼警端胖) 州砌 上g ( s ) p ( s ) ( s ) 厂( u ( s ) ) d s ，f g ( z o ，s ) p ( s ) ( 5 ) a i l p 2 d s = 晚= i l t 1 1 因此当u p n a q p 2 ，我们可以得到 i l 丁u i i i i u i | ( 1 3 9 ) 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 1 3 由( 1 3 7 ) ，( 1 3 8 ) 和( 1 3 9 ) 以及定理1 3 1 ，t 有一个不动点t i pn ( q p 2 q p ) ，以及另一个不动点t 1 2 pn ( q 矿q 舰) 它们都是( 1 1 1 ) 的正解且 有 o l i 札l i l 伪 l i t l 2 i i ， 证毕 情形1 3 2 当矗，厶量 o ，) ，方程( 1 1 1 ) 的解的存在性结果 现在，我们考虑在而，厶g o ，。o 成立的条件下，( 1 1 1 ) 的正解的存在 性我们阐述和证明下面的主要结果 定理1 3 4 假定有两个正常数p l 以使得 ( c 1 ) ，( 钍) sa f l p l 当u l o ，m 】， ( c 2 ) ，( u ) a i l 见当t | 【7 砌，见】 那么( 1 1 1 ) 至少有一个正解仳满足p l | i u i i 以 证明不失一般性，我们可以假定p l 晚令q m = t l 纠o ，1 】：i i “i l 0 使 得 掣鲕+ e = 去当。 钍鲡，t 工 1 这意味着 ，( u ) a f l t a f l p l当o o ，与一个充分大的数您使得 掣风咱= 击，u 概u叮 2 这样，( u ) n a 2 ) 一1 钍a i l 纯，很显然定理1 3 4 中的( g ) 成立因此。由定 理1 3 4 ，( 1 1 1 ) 至少有一个正解证毕 同理，我们可以证明下面结论成立 推论1 3 2 假定下面假设成立： ( c 5 ) 如= a 2 ( 丧，+ ) ， ( c 6 ) 厶= 屁【o ，击) 则( 1 1 1 ) 至少有一个正解 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 1 5 推论1 3 3 假定前面的假设( c 1 ) ，( c 4 ) 和( c 5 ) 成立那么( 1 1 1 ) 至少 有两个正解t 1 1 和t 1 2 使 o i l u l i i 以 i i t t 2 l i 成立 推论1 3 4 假定前面的假设( c 2 ) ，( c 3 ) 和( c 6 ) 成立那么( 1 1 1 ) 至少 有两个正解t l 和坳使得 o l i t 正1 i i 仡 i i “2 i | 成立 1 4 三个正解的存在性 令e 是个实的b a n a c h 空间，尸ce 是锥所谓函数p ：p 一【o ，+ 。o ) 是个非负的连续的凹函数，是指p 是连续的，对所有的z ，y p 和t 【o ，1 】， 有 p ( z + ( 1 一t ) 秒) p ( z ) + ( 1 一t ) p ( ! ，) 令0 口 6 ，以及p 是p 上个非负连续的凹函数我们定义下面凸集t r = z 尸：| i z l | 口) ， p ( p ，口，6 ) = z p ：n p ( z ) ，i i z | i 6 ， 定理1 4 1 ( l e g g e t t w i u i a m s 不动点定理【1 4 1 ) 令t ：一c _ 或是全连 续的，p 是p 上非负连续的凹函数，且对于所有z e 有p ( z ) i 川1 假 定0 d n 对于z p ( p ，o ，6 ) ， ( i i ) 1 1 7 0 | | n 当z p ( p ，n ，c ) 且j i j r 0 | | 6 那么丁至少有三个不动点z l ，z 2 ，z 3 在- c 里使得 | l z l i i d ，n d ，p ( z 3 ) 口 1 6 硕士学位论文 现在，建立方程( 1 1 1 ) 三个正解的存在性条件 定理1 4 2假定( 日1 ) 一( 凰) 满足，以及存在数。和d 且o d o 和盯 互 令 e 。圆筒】，( 饥) ， 那么对于一切u 【o ，+ 。) 有，( 札) 盯乱+ e 取 c m a x 尚， 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 1 7 如果u - c ，那么 弛( t ) 嚣躏zg ( s ，s ) p ( s ) ( s ) ，( u ( s ) ) d s 芝：翟五2a ij jg ( ，s ) p ( s ) h ( s ) ，( u ( 5 ) ) d s 1 一笛2q 妒l ( 引 蹴和如湫s s ) 凼( t + 器赫) 川| + e ) ( 仃c + e ) d c ， 即 i i 丁u i | c ( 1 4 3 ) 其次，我们证明如果存在个正数r 使得当t 【o ，r 】时，( 缸) 口) 谚和p ( 凡) 口事实上，取z ( t ) 兰丝笋 o ，那么。 乱尸( ，n ，o ) ： p ( u ) 口 而且，当t p ( p ，口，口7 ) 时，那么p ( u ) 口，我们可得 口n 6 裂仳( t ) = p ( u ) 口 这样，根据( 1 4 2 ) ，我们可以得到 p ( 孔) ：，恶啦。厂1g ( t ，s ) p ( s ) ( s ) ，( ( s ) ) d sp ( 孔) 26 爨6 m g ( t ，s ) p ( s ) ( s ) m ( s ) ) d s + ( 窭华磐铲小 。理眦：1 g ( t ，5 ) p ( s ) ( s ) ，( 乱( s ) ) 幽 6 型& 6 以g ( 。，5 ) p ( s ) 小( s ) ) 幽 1 8 硬士学位论文 最后，我们证明如果t p ( p ，口，c ) 和1 1 7 、i i n ，y ，那么p ( 7 k ) 口由 u p ( p ，口，c ) 和i i 孔i i n n ，以及g ( t ，s ) 2g ( ) g ( 5 ，s ) 和咖1 ( t ) g ( ) 可知 p ( t u ) 。6 当萎墨。【上g ( z ，s 徊( s ) 危( s ) ，( u ( s ) ) d 5 + c 婴等墨裟铲m ， h l 一箸2 q t 咖1 ( 万一一 v 1 6 受翌6 口( t ) 吃g ( s s ) p ( s ) ( s ) 伽( s ) ) d s + 矗器赫脚渤( s ) 琊小) ) d s 】 刮脚蹦m s s ) ，( 小) ) d s + 墅萼篷辫榉】 另一方面 脚s ，s ) 出彬s 肿s + 婴萼氅鬻举 ( 1 4 5 ) 由此我们从( 1 4 5 ) 和( 1 4 6 ) 可得到 p ( 凡) ，y i i t 仳i i 7 号= 口 综上所述，取6 = n ，定理1 4 1 的所有假设都成立因此，t 至少有三个不 动点，也即，( 1 1 1 ) 至少有三个正解t 1 ，“2 和“3 使得 i i t 正1 i | d ，n d ，q ( t 正3 ) 口 证毕 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 1 9 二阶脉冲仇点边值问题的可解性 2 1 引言 这一章讨论下列二阶脉冲m 点边值问题 ( t ) = ，( t ，z ( t ) ，( t ) ) ， z 7 ( “) = 以一( “) ，z ( “) = c 七z ( “) ， ( 2 1 1 ) 一( o ) = o ，。( 1 ) = 沓2n i z ( 6 ) ， 的可解性其中已( o ，1 ) ，i = l ，2 ，m 一2 ，o l 已 缸一2 l ，啦 r ，t = 1 ，2 ，m 一2 ，篙2 啦1 ，o = 如 l 如 0 使得如 果z z ，七z ，扩，t ( t 一l ，t 七】n 【o ，c 】和i 扩一r + i 6 ，更qi z ( t + ) 一z ( t ) f 引理2 1 2 ( 紧性准则) 【2 1 】 集合zcp c ( 【o ，c 】，舻) 是相对紧的，当且仅 当：( 1 ) z 有界； ( 2 ) z 在 o ，c j 上拟连续 引理2 1 3 【2 1 】令s 【o ，t ) ，o ，a 七，七= 1 ，p 是常数，以及令 p ，q p c ( 以兄) ，z p c l ( z 冗) 如果 z ( ) p ( 。) z ( ) + g ( 。) ，2 【s ，t ) ，t 七，( 2 1 3 ) iz ( 毒) c 奄z ( “) + q i ，t 七【s ，丁) ， 、 那么当t 【s ，丁) ， ) 小+ ) ( 。驮。“) 唧( 肛u ) 砒) 8 札 t， ”。 7 + n 盟。_ 唧( 胁，打) 舡胁 + 。象。( 。骁。q ) 唧( 加) d 丁) q 奄o “ t “ “ t ”啮 7 卜诛不等号反对桌巾成寺 2 3 主要结果 定理2 2 1 让，：【o ，1 】辟一兄是连续函数假定却( t ) ，口( t ) ，r ( ) ：【o ，1 】_ 【o ，。) 使得t 【o ，l 】及，v ( u ，u ) 铲有 i ，( ，仳，秒) l p ( t ) i u i + 口( t ) i 训+ r ( t ) ( 2 2 1 ) 如果 q + b 1 ，( 2 2 2 ) ( 1 + 烈) ( 南删 1 ， ( 2 2 3 ) 其中p = 詹p ( z ) 班，q = 偌g ( z ) 出，b = 乏li 酝i ，那么边值问题( 2 1 1 ) 至少有 一个解z 尸c 1 o ：l 】 几类微分方程的边值问题和周期解的研究 2 1 证明令y = x = p c l 【o ，1 】定义一个线性算子l ：d ( l ) cx _ y 为 l z = ( z ，z 7 ( 七) ，z ( t 七) ) ，z d ( l ) ， 其中 d ( l ) = z 尸c 2 【o ，1 】，z 7 ( o ) = o ，z ( 1 ) = 毗z ( 已) ) ，( 2 2 4 ) 我们也定义一个非线性映射f ：x 叶y 为 ( f z ) ( t ) = ( ，( t ，z ( t ) ，z 7 ( t ) ) ，6 七z ( z k ) ，c 七z ( t 七) )( 2 2 5 ) 从关于，的假设可以看到f 是一个从x 到y 的有界的映射其次，我们很容 易看出l ：d ( l ) 一y 是一一映射的而且根据引理2 1 2 易得l 1 f ：x _ x 是一个紧映射 我们注意到z p c l 【o ，l 】是( 2 1 1 ) 的解当且仅当z 是方程 z = l 一1 f z ( 2 2 6 ) 的个不动点下面我们应用l e r a 弘s c h a u d e r 连续定理来证明方程z = l - 1 儿 的不动点的存在性为此，只需考虑下列方程簇的解簇是有界的 ( ) = a ，( ，z ( t ) ，( t ) ) ， 一( t 毒) = a k 一( 如) ，z ( 如) = 入“z ( 轧) ， ( 2 2 7 ) ( o ) = o ，z ( 1 ) = 笛2 啦z ( 釉 从。到t 积分( 2 2 7 ) 式可得 一( t ) ：af ，( s ，z ( s ) ，( s ) ) 如+ a k z 心七) ( 2 2 8 )z ( t ) = a ，( s ，z ( s ) ，( s ) ) 如+ a k z 7 ( 七) ( 2 2 8 ) - ，o o 五- t 由条件( 2 2 1 ) 可得 批) i 肛( 5 ) 俐+ q ( s ) l 州s ) 】褂砉i i o 在【o ，+ ) 上连续且不减；口( t ) ： o ，1 】一【o ，+ ) 连续； ( 岛) k o ，以及 c ( ，+ 莲强) 慨= ( + 连熟) 一c ( 1 + 离) 卜， 【2 2 1 5 ) 其中q = 詹兀o 毛 ( 2 1 2 1 6 ) 加( m ) 。 、7 几类微分方程的边值同题和周期解的研究 2 3 为了说明( 2 1 1 ) 至少有个解，我们考虑算子方程 z = a l 一1 f z ，a 【o ，l 】( 2 2 1 7 ) 它等价于( 2 2 7 ) 令z 尸c 1 o ，l 】是( 2 2 7 ) 的任何一个解，由( 吼) ，可得 考虑下列不等式 由引理2 1 3 有 一( t ) 埘( 忙 ， ) 一叫( 1 由( 2 2 2 0 ) 可推断 以及 利用 一g ( ) 加( i i z l l l ) z ( ) q ( t ) 伽( i i 叫1 1 ) ( 2 2 1 8 ) ( t ) 口( t ) 伽( 蚓1 1 ) ， 一( “) = ( 1 + 饥) z ( 拓) ， 帅) = 0 ( 2 2 1 9 ) ( ) 一q ( t ) 叫( 恻1 1 ) ， 一( “) = ( 1 + “) z ( 如) ， 一( o ) = o ， 1 1 1 ) 露n o “ 。( 1 + 以) q ( s ) d s q 叫( 0 2 0 1 ) ， i z i l l ) 露兀o “ 。( 1 + k ) q ( s ) 出一q 彬( 0 z 1 ) ， ( 2 2 2 0 ) z ( t ) q t i ，( i i z i l l ) ， l i z ，l l q 叫( 0 z l i ，) ， ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) z ( ) ：一f 丢瓦警n t 【f 1z ，( s ) d s + z ( “) 卜f 1z ，( s ) 如一仇z ( 如) ， 邢) 一忘p 【厶( s ) 如+ 6 豪。酬讣j ( 一( s ) 如。互。酬埘， ( 2 2 2 3 ) 这意味着 m 圳镰辩， 亿2 埘， l 叼黼， ( 2 2 2 4 ) 2 4 硕士学位论文 以及 o z i i ( 1 + 溅) 【1 一c ( 1 + 涨) 】一1 i i z ，| l ( 1 + 高) 【1 一c ( 1 + 蹦) 】一1 q 叫( i i z i l l ) ，( 2 2 2 5 ) 由此可知， ( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 5 ) 意味着陋0 丽令 u = t 正p c l 【o ，1 】：0 “1 1 1 砑) ，k = e = p c l 【o ，1 】，( 2 2 2 6 ) 那么l e r a 弘s c h a u d e r 择一原理( 2 0 】保证了l 一1 f 有个不动点，也即，( 2 1 1 ) 有一个解z p c l 【o ，1 】，证毕 例2 3 1 考虑边值问题 其中， 很显然， 2 4 例子 = ，( ，z ，) ，t 【o ，1 】，t ， ( “) = z 7 ( 如) ，z ( 如) = z ( “) ，如= ；， ( 2 3 1 ) ，( o ) = o ，。( 1 ) = z ( 丢) 一z ( ；) ， m ，u ，u ) = t 5 缸+ 三3 + t 2 【1 + c o s ( 让2 + 口2 0 0 ) 】 ( 2 3 2 ) ，( t ，t 正，u ) l p ( t ) l 训+ q ( ) i i + 7 ( t ) ，( 2 3 3 ) 其中p ( t ) = 5 ，g ( t ) = ；t 3 ，r ( ) = 2 t 2 很明显，p = ，q = ，b = ，c = ，以 及 q + b = 丢 1 ，( 1 + 踹) ( 丁= 1 ；二百+ c ) = 差 o 很显然， ( 2 5 ) ( 2 3 6 ) l ，( t ，u ，口) i 口( t ) 叫( m a x i u i ，i 1 ) ) ，( 2 3 7 ) 且，口( z ) = e 一2 ，叫( s ) = s a + s p + p 很明显， c ( 1 + 违端) = ； o 定义3 1 1 设x = z ( t ) c ( r ，r ) ：z ( t + t ) = z ( ) ，在x 中规定范数 l i z i | = m a x l z f o ，i l o ) ，其中i z l o = m a x t ri z ( t ) i ，i i o = m a x t 只l ，( ) l ，则x 在此范数下为b a i l a c h 空间 考虑x 中的算子方程：工z = 入( z ，a ) ，入( o ，1 ) ，其中l ：d 帆l n x x 是线性算子，定义投影p ，口 p ：xnd 。m 三_ k e r l ：z p z = 亭f z ( ) 出， 口：x _ 州，m l ：z - + 如= ；f z ( ) 出， 由文献【3 0