（基础数学专业论文）一般化凸空间上的连续选择定理相交定理及其应用.pdf

摘要 嚆 本文共分四章，首先回顾了连续选择理论的研究历史和现状，其次t i t ! n 了非紧条件 下一般化凸空间上的连续选择定理和不动点定理，并利用连续选择定理证明了乘积g 一凸空间上的聚合不动点定理，然后利用聚合不动点定理得到相交定理，并得出其等价 命题撮后给出新定理的一个应用 本文丰富和推广了连续选择理论的研究成果，使其可以被更广泛地研究 关键词：一般化凸空间，连续选择，r 一凸的，局部交性质 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r sa tf i r s t ，w ei n t r o d u c et h es t u d yh i s t o r ya n d p r e s e n ts i t u a t i o no nc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r y s e c o n d l y ，w es h o wc o n t i n u o u ss e t e c t i o nt h e o r e m sa n df i x e dp o i n tt h e o r e m s0 1 1g e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e sw i t h o u tc o n l p a c t n e s s b ya p p l y i n gc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m s ，w ea l s os h o wc o l l e c t i v e l yf i x e d p o i n tt h e o r e m so np r o d u c tg e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e a n dt h e n ，w eo b t a i ni n t e r s e c t i o n t h e o r e m sb yu s i n gc o l l e c t i v e l yf i x e dp o i n tt h e o r e ma tt h es a m et i m e ，w ea l s og i v ea p r o p o s i t i o ne q u i v a l e n tt ot h ei n t e r s e c t i o nt h e o r e m sf i n a l l y ，w eg i v ea na p p l i c a t i o nt o n e wt h e o r e m s t h i st h e s i se n r i c h e st h es t u d yr e s u l t so nc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r ya n dg e n e r a l i z e si t c o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r yc a nb es t u d i e dm o r ew i d e l y k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s ，c o n t i n u o u ss e l e c t i o n lr c o n v e x ，l o c a l i n t e r s e c t i o np r o p e r t y 第一章引言和基本概念 连续选择理论是由m i c h a e l 于1 9 5 6 年开始系统研究的，关于连续选择存在性的特 征研究是自2 0 世纪8 0 年代中期开始的m i c h a e l 选择定理已成为现代数学许多领域的 主要工具 m i c h a e l 连续选择理论的产生源于三个方面：一是连续扩张理论的发展；二是单值 满射的右逆和纤维丛问题；三是当时己提出的若干选择问题和在数学研究中萌发的连 续选择思想 m i c h a e l 的著名定理是： 设x 为仿紧空问，y 为b a n a c h 空间，f ：x p o ( y ) 为闭凸值下半连续映射，n f 有 连续选择函数 f e b r o w e r 证明了：任何从h a u s d o r f f 紧空间到拓扑空间且具有凸值和开下截口 的集值映像都具有连续选择feb r o w e r 首先应用事实证明了f a n b r o w e r 不动点定 理，见 1 】后来在 2 1 3 1 1 4 1 5 1 6 1 ：p 都建立了连续选择定理并给出了他们的证明 近来，cd h o r v a t h 在c 一空间( 或h 一空间) 上推广了连续选择定理，见ms p a r k 在g 一凸空间上推广了连续选择定理，见2 1 1 最近又有文献在z 一空间、l 一空间、超凸空 问建立了连续选择定理、不动点定理，见 8 2 2 l f 2 3 上述这些作者所建立的连续选择 定理，所考虑的集值映像都具有紧定义域或仿紧定义域，见f 5 1 | 2 2 1 2 3 在本文，我们在非紧的拓扑空间建立了连续选择定理，并应用连续选择定理得到 不动点定理，这些结论推广了最近一些文献【7 【8 】中的相关结果利用连续选择定理还 证明了乘积g - 凸空间上的聚合不动点定理彳艮多文献中的不动点定理、相交定理都是 n k k m 定理得出的，见1 9 1 0 l l n 】 1 2 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 在本文，g j g l 聚合不动点定理得到 相交定理，并得出其等价命题，最后给出新定理的一个应用 首先引入集值映射和上、下半连续的概念 定义1 1设x 和y 是两个非空集合，若映射t ：x y 是从x 到y 的幂集2 y 的个函数，则称映射t 为集值映射，并记t ( a ) = u 。；at ( z ) ，对任何acx 当y 为拓扑空问时，根据集值映射t ：x y 定义如下几个新的集值映射： 丁一1 ：y x ，t _ 1 ( ) = 如x ：y t ( 嚣) ) ，对任何y 亍：x - oy ，t ( x ) 一t ( z ) ，对任何z x i n t t ：x y ，i n t t ( x ) = i n t ( t ( z ) ) ，对任何o x 其中百表示b 的闭包，i n t b 表示口的内部( 对任何bcy ) 定义1 2 设x 是拓扑空间，称实值函数厂：x 一碾是下半连续的是指对任 筇一章引言和基本概念 何r 豫，f o x ：f ( x ) r 是x 中的开集 定义1 3 设x 是拓扑空问，称实值函数f ：x r 是上半连续的是指对任 何r 碾，f x ：f ( x ) t ；) ； ( i i ) 对每个i i ，s 。茎t ：，且在d 。x ；上 g i ； ( i i i ) 对每个i ，z ；x 。 玑ed 。： ：z ；) ) d ， 。，x 。： g d x i ，zi ) s l 0 ，且对每个。x ， 玑置：g i ( y i ，z 一 ) s l 是r l 一凸的； ( i v ) 存在一点y i d ：，使得对任意xex k ，i i ， ( z 一，) t 。 则存在一点z x ，使得对任意i i ，吼( z ) 8 。 证明 f 定理33 = 定理34 ) 对每个i ，定义x 的两个子集如下： a 垂= z d ixx 一。： ( z ) 屯) m = z 砭x 一。：g i ( x ) s l 由定理3 4 知 在x 一。下半连续，因此有：对任一固定的矾d 。，尬) 一 一 x 一： ( 玑，z 一；) t 。) 是开集，, 显然, , i n t m i ( y i ) = 尬( 玑) ( 1 ) 由定理34 的条件( i ) ，x 4 n d i ，x t = u 骶d 。i n t m t ( y i ) ； ( 2 ) 由定理34 的条件( j i ) ( i i i ) 知，对每个i ，z t x 一慨( z 一；) 0 ，m 扛；) 0 ， 坛cm ，且m ( z 一，) 是r 。一凸的，由引理3 2 知，兀吲m ( z t ) 是r 一凸的； 8 第三章一般化n 空间j 一的柏交定理及其等价定理 ( 3 ) 由定理34 的( i v ) 知i 对每个i ，存在y i d i ，使得对任意z x k z x i z 一：x 一。： ( 可。，z ；) t 。) = x tx 饥( 玑) = x i i n t m i ( y i ) 即x c 五i n t m ( y 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 满足定理33 的( i ) ( i i ) ( i i i ) ，因此n 甜批0 取量en 目m ，则对每个 ，仇( 茁) s i ( 定理3 4 导定理3 3 ) 由定理3 3 的( i ) 知，对每个i i x 一。= ui n t m i ( y 。) cu 蛆( 玑) 玑e d i“c d i 显然u m d 。尬( f 。) cx 一于是有 ( 1 ) 对每个te ，x ；= u * d 。尬( 玑) ； 定义实值函数 ：现x l 一戚，g 。：x i x 一。一戚( i ) 如下 ( z ) 1 ，z m 。 vz 玖x - i 0 ，z 仨尬 。 础，= r 糍噩池 ( 2 ) 由定理33 的( i i ) 知对每个i ，在d ；墨上，五g i ； ( 3 ) 由定理3 3 的( i i ) 知，对每个i ，z 一。x _ 鼽d i ： ( 玑，z 。) = 1 o ) d ， z ：磁：g i ( = c i ，。一。) = 1 o ) 是r i 一凸的； ( 4 ) x k 五i n t 尬( 玑) x 。x 尬( 玑) 任意。x k ，存在y ；d i ，使得对 任意i ，f i ( y i ，x 一。) = 1 0 取岛一t ：= o ，则 ，肌( i j ) 满足定理3 4 的所有条件因此，存在量x ，使得对任 意i ，吼( 苗) & 于是有苗n 叫m ，即n 吲旭0 口 9 第四章定理的应用 下面给出相交定理的一个应用： 定理4 o 设( x 1 ，d l ；r l j 和( x 2 ，d 2 ；f 2 ) 是两个g 一凸空间，且x 1 x 2 是正规的 ，：d 1 为一藿，g ：x l d 2 一面，8 ，：x l x 2 一丽是四个实值函数，且，在尥下 半连续，g 在墨上半连续，实数口12 口2 侥岛，k 是x 1 x 2 的非空紧子集，满足 下列条件： ( i i i ) 对每个扣，z ) x 1 x 2 ， z x i ：s ( x ，z ) 0 ：2 x y x 2 ：t ( u ，y ) d 1 ，9 ( u ，y 2 ) n 1 ) m 2 = ( ( z ，y ) x 1 d 2 ：g ( z ，y ) a 2 ) 2 = ( ( z ，y ) x a x 2 t ( z ，y ) 1 ) 是开集，9 在x l 上半连续，则对任一固定的d 2 ，m 2 ( 9 ) = 忙置g ( x ，y ) o 舛恐链 七 如巩 印 u h = 在 恐“ 胁b k 恐 一 蝇 x s n 2 ) ， 乞) = 9 施：t ( u ，y ) a 1 ) o ；对每个。x 1 ， 如( 。) = 9 d 2 ：( z ，y ) 如) = y d 2 ：g ( z ，y ) 0 22 岛 f ( ，) ，这与条件( i i ) 矛盾因此定理 结论成立口 推论4 1 在定理40 中，( i i i ) 由下列条件代替，结论仍然成立 ( i i i ) 。对任意固定的x 2 ，a ( d 1 d 2 ) ，若l ) c z x l ：s ( z ，y ) n 2 ) ，贝l b u ( r a ) c $ x 1 ：s ( x ，y ) q 2 ) ； ( i i i ) ”对任意固定的。x i ，a ( d 1 d 2 ) ，若= l r 2 ( a ) c f 恐t ( z ，y ) 2 ) ，有 丌i ( p a )= 7 r 1 ( r 1 ( 丌1 ( a ) ) r 2 ( 7 r 2 ( a ) ) ) = f i ( ，r l ( a ) ) 一1 7 1 ( a 1 ) c z x 1 ：s ( 。，y ) q 2 ) 第四章定理的应用 则缸x l ：s ( z ：y ) 2 ) 是x 1 的r 1 一凸子集 同理 x 2 ：t ( z ，) 0 2 ) y 拖：t ( x ，y ) 岛) 为x 1 托的r 一凸 子集 由此，得出定理4 o 中的条件( i i i ) 因此定理4 o 的结论成立口 1 2 结论 本文主要研究了非紧条件下g 一凸空间上的连续选择定理，并应用连续选择定理得 到不动点定理应用连续选择定理还得到聚合不动点定理，然后利用聚合不动点定理 得出相交定理，最后给出了相交定理的一个应用本文改进了现有的结果 1 3 致谢 本学位论文是在导师朴勇杰教授的精心指导下完成的 在攻读硕士学位的三年时间里，导师不仅传授了我宝贵的知识，还在思想上给予我 深刻的教诲，在生活上给予我无微不至的关怀尤其在我学位论文的撰写过程中，导师 倾注了更多的心血朴教授严谨的治学态度、勤奋刻苦的钻研精神、一丝不苟的工作 作风和无私奉献的高尚师德都给我留下了深刻的印象，影响着我的人生观和价值观 在此论文完成之际，向培育我关心我的思师表示最诚挚的谢意! 同时向支持帮助过我学习的数学系领导、老师致谢，最后感谢我的父母、亲人、同 学和朋友对我求学的鼓励和帮助 1 4 参考文献 1 】b r o w e rfean e wg e n e r a t i o no ft h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mj m a t h a n n 1 9 6 7 ，1 7 4 ：2 8 6 2 9 0 2 b e n e 1 一m e c h a i e k hh ，d e g u i r ed ，c r a n a sa p o i n t sf i x e se tc o i n c i d e n c e sp o u rl e s f u n c t i o n sm u l t i v a q u e s ( a p p l i c a t i o n sd ek y f a n ) j c ra c a ds c ip a r i s 1 9 8 2 ，2 9 5 ： 3 3 7 - 3 4 0 【3 】y a n n e l i snc p r a b h a k a rnd e x i s t e n c eo fm a x i m a le l e m e n t sa n de q u i l i b r i ai n l i n e a rt o p o l o g i c a ls p a c e s j m a t he c o n o i n 1 9 8 3 ，1 2 ：2 3 3 2 4 5 4 】h o r v a t hcd c o n t r a c t i b i l i t ya n dg e n e r a lc o n v e x i t y j m a t ha n a la p p l 1 9 9 1 1 5 6 ：3 4 1 3 5 7 5 p a r ks c o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m si ng e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e sj n u m e r f u n ta n a lo p t i m 1 9 9 9 ，2 5 ：5 6 5 8 3 6 】6 w ux ，s h e ns af u r t h e rg e n e r a l i z a t i o n so fy a n n e l i s p r a b h a k a r sc o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m sa n di t sa p p l i c a t i o n sj m a t ha n a la p p l1 9 9 6 1 9 7 ：6 1 7 4 7 】夏福全，尹秦连续选择和聚合不动点定理j 四川师范大学学报2 0 0 4 ，2 7 ( 2 ) 1 3 0 1 3 4 8 】d i n gx i e _ p i n g c o n t i n u o u ss e l e c t i o nt h e o r e m sa n df i x e dp o i n tt h e o r e m si nl c o n v e xs p a c e sw i t ha p p l i c a t i o n sjs i c h u a nn o r m a lu n i v2 0 0 1 ，2 4 ( 6 ) ：5 4 9 5 5 2 【9 朴勇杰一般化凸空间上等价于相交定理的不等式系j 东北师范大学学报2 0 0 4 3 6 ( 8 ) ：1 - 6 。 一 1 0 f c l i uo n af o r mo fk k m p r i n c i p l ea n ds u p i n f s n pi n e q u a l i t i e so fv o n - n e u m a n n a n dk yf a nt y p ejm a t ha n a la p p l1 9 9 1 ，1 5 5 ：4 2 0 - 4 3 6 ii h m l ia n dxpd i n g ，o nv e r s i o no fk k mp r i n c i p l ei nh s p a c e sa n di t sa p p l i c a t i o njs i c h u a nn o r m a lu n i v1 9 9 3 ，1 6 ( 3 ) ：2 1 2 7 1 2 】s sz h a n ga n dy z h a n g s e c t i o nt h e o r e m s ，c o i n c e d e n c et h e o r e m sa n di n t e r s e c t i o n t h e o r e m so nh s p a c e sw i t ha p p l i c a t i o n sa p p l m a t hm e c h 1 9 9 3 ，1 4 ：8 0 3 8 1 5 参考文献 1 3 朴勇杰一般化凸空间上的共存定理与有限交性质j 哈尔滨师范大学学报2 0 0 3 1 9 f 5 1 ：1 7 1 9 p i a oy o n g j i ef a n b r o w d e rt y p ef i x e dp o i n ta n de q u i l i b r i u mp o i n tt h e o r e m so n g e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e j 纯粹数学与应用数学2 0 0 4 ，2 7 ( 3 ) ：1 9 7 - 2 0 3 1 5 】et a x a f d a r f i x e dp o i n tt h e o r e m si nh s p a c e sa n de q u l i b i u mp o i n t so fa b s t r a c t e c o n o m i e s j a u s t r a l m a t h s o c 1 9 9 2 5 3 ：2 5 2 2 6 0 1 6 j l jl i n ，sp a r ka n dz t y u r e m a r k so nf i x e dp o i n t s ，m a x i m a le l e m e n t s ，a n d e q u l i b r i ao fg e n e r a l i z e dg a m e s j m a t h a n a l a p p l 1 9 9 9 ，2 3 3 ：5 8 1 5 9 6 1 7 】p i a oy o n g j i e s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ng e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s j y a n b i a n u n i v ( n a t u r a ls c i ) 2 0 0 2 ，2 8 ( 3 ) ：1 5 7 - 1 5 9 1 8 1 李雷，吴从忻集值分析科学出版社2 0 0 3 ，8 - 9 1 9 g q t i a _ 1 1 g e n e r a l i z a t i o no ff k k mt h e o r e ma n dt h ek yf a nm