（基础数学专业论文）交换环的m赋值系统.pdf

摘要 摘要 2 0 0 2 年，张的根 1 3 在交换环上引进了m 一赋值的概念，并得到了许多重要 的结论在本文中，我们引进了舻赋值系统的概念。扶环的内部给出交换环上卅 赋值的结构从而建立一些有关m 一赋值和m 一赋值系统的结论， 本文一共分为四节 第一节为引言部分。主要介绍本文工作的背景及目的 在第二节中，给出了m 一赋值系统的定义，并给出了相关的结论 第三节在m 一赋值的相关结论的基础上，讨论了m 一赋值和m 一赋值系统之间的 相互转化从而建立这两者之间的联系 第四节给出了m 一赋值系统的标准化的定义，并且讨论了m 一赋值系统与其 标准化之间的联系 关键词：交换环；m 一赋值；m 一赋值系统；标准化：等价 a b s t r a c t a b s t r a c t i n2 0 0 2 ，d i g e nz h a n g 1 3 i n t r o d u c e dt h en o t i o no f m v a l u a t i o n so nc o m m u t a t i v e r i n g s , a n do b t a i n e dm a n yr e l e v a n tr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c et h en o t i o no f m - v a l u a t i o ns y s t e m sf o rac o m m u t a t i v er i n g ，a n di n v e s t i g a t et h em - v a l u a t i o n sf r o m t h ei n s i d eo f ac o m m u t a t i v e r i n g s o m er e s u l t so nm - v a l u a t i o n sa n dm - v a l u a t i o n s y s t e m sa r ee s t a b l i s h e d t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa sf o l l o w s ： s e c t i o n1i sa ni n t r o d u c t i o no f t h i sp a p e r i nt h i ss e c t i o n ，w ed e s c r i b et h ec u r r e n t s t a t u so f t h er e s e a r c ho nv a r i o u sv a l u a t i o n so f c o m m u t a t i v e r i n g s i ns o i o n2 ，w eg i v et h en o t i o no f m v a l u a t i o ns y s t e m sf o rac o m m u t a t i v e r i n g a n de s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nm - v a l u a t i o ns y s t e m s ， i ns e c t i o n3 ，b a s e do nt h er e s u l t si ns e c t i o n2 ，t h ei n t e r p l a yb e t w e e nm - v a l u a t i o n s a n dm v a l u a t i o ns y s t e m si sd i s c u s s e d ，a n dt h ec l o s ei n t e r r e l a t i o nb e t w e e nt h e mi s e s t a b l i s h e d s e c t i o n4i n t r o d u c e st h en o t i o no f s t a n d a r d i z a t i o n so f m - v a l u a t i o ns y a e m s t h e e q u i v a l e n c eo f am - v a l u a t i o ns y s t e ma n di t ss t a n d a r d i z a t i o ni si n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：c o m m u t a t i v er i n g ；m - v a l u a t i o n ；m v a l u a t i o ns y a e m ；s t a n d a r d i z a t i o n ； e q u i v a l e n c e i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：q 1 砭1 5 聿签字日期：- 。7 年p 月二7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩e l i 或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。l q 时授权中国科学技术 信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：b 了拇。季 导师签名： 智f 兴 签字日期：弘1 年二月刁日签字日期：力呷年f 2 月彳日 第一节引言 第一节引言 赋值理论可以看作拓扑代数的一个分支，赋值理论的发展已经有百多年 的历史关于域上赋值的论述可见诸于许多专题论著( 1 ， 2 3 ， 3 3 ) 域上的赋 值不仅是域论中一个重要内容，而且作为一个重要的工具被应用于数学的其他 分支，例如数论，代数序结构理论等 自e a r t i n 和0 s c h r e i e r 建立了实域理论之后，许多学者都开始对实域理 论进行了进一步的研究在实域理论中，有关域上的实赋值及实位的概念和结论 是一个十分重要的组成部分，参见文献 4 、 5 、 6 3 和 7 最近发现，藉助实赋 值的理论和方法，可以处理符号计算中有关极限的求值问题，例如在文献 8 中， 赋值理论被用于求解平面实代数曲线在奇异点处的切线 随着赋值论发展的需要，赋值的概念不断获得各种形式的推广在文献 9 中，p s a m u e l 把“位”这一概念引进到交换环的范畴中，由此开创研究环上赋值 的先河 1 9 6 9 年，m m a n i s 1 0 在交换环上引进了赋值的概念对于一个交换环尺以 及一个有零元的( 乘法) 序群f ，m a n i s 把r 到r 的一个映射v 称为环月的一个赋 值，若下列条件满足： ( 1 ) l ，是满射； ( 2 ) v ( x y ) = y ( x ) y ( ，) ，帆，y r ； ( 3 ) l ，( 卫+ y ) m a x v ( x ) ，v ( y ) ) ，帆，y r 从此以后，这种赋值即被称为m a n i s 赋值随后，这种赋值得到广泛的应用， 并且许多与m a n i s 赋值的相关的概念和结论得以建立 1 9 8 9 年，d k h a r r i s o n 和m a v i t u l l i 在文 1 1 中引进了环上v 一赋值的概 念，该赋值蕴涵了m a n i s 赋值 2 0 0 4 年，戴小花 1 2 3 在文 1 1 的基础上定义了环上v 一赋值与亚序的相容性 和实v 一赋值，并研究了实v 一赋值和亚序的联系 2 0 0 2 年，张的根 1 3 3 在交换环范畴中引进了一个更为一般的赋值，即所谓的 卅赋值此m 一赋值的概念蕴涵了m a n i s 赋值和形式有限的v 一赋值m 一赋值的般 性体现在它的值集只需要求为序幺半群 根据文献 1 3 3 ，一个三要素组( r + ，) 称为序幺半群，如果下列条件成立： ( 1 ) ( r ，+ ) 是个带有零元0 的交换幺半群； ( 2 ) 是r 的一个序； ( 3 ) 对于任意盯，y f ，由d 可推出口+ ，p + r 此时，为简单计，迳称r 为一个序幺半群对于给定的序幺半群r ，通过添加 r 之外的一个符号m ，可扩充为一个新的序幺半群f w o o l ，若规定a + m = 0 0 第一节引言 f i r o o ，其中a f u o o j ，y f 于是，交换环上m - 赋值可叙述如下： 设r 为一个序幺半群，且r 是一个交换环月到f u 0 0 1 的一个满射y 被称 为环r 上一个m 一赋值，若下列条件成立： ( 1 ) v ( x y ) = i ，( x ) + v 抄) ，v x ，y r ； ( 2 ) v ( x + y ) m i n v ( x ) ，y ( y ) ，v x ，y r 此时，称r 是l ，的值幺半群 容易证明，若v ：r - - f u 如 是交换环r 的一个妒赋值，则 v - 1 ( 曲_ 印r i 以砷= ， 是环尺的一个素理想 最近，为研究交换环的m 一赋值和序的相容性，曾广兴和黄桃荣在文献 1 4 中 针对序幺半群提出了所谓的“覆盖指标集” 设1 1 是一个序幺半群，且构造如下集合： 互：= ( ，t o i r , ，圪r u m ，且 以 显然，互o 对于任意y f u o o ，可作e 的如下子集： e ，：= ( 一，虼) - = 1 存在j r ，使得一+ j m i n v ( a ) , v ( 一6 ) ) = r a i n l ，( 口) ，y ( 6 ) ) 0 ，r v ( a b ) = y ( 口) + i ，( 6 ) 2 0 这表明：口一b ，a b 麟因而，a ；是r 的一个子环 ( 2 ) 显然，o a ；设q 6 a ；，贝j j v ( a ) ，且y ( 6 ) ，从而 v ( a 一6 ) m i n v ( a ) ，l ，( 一6 ) = m i n v ( a ) ，y ( 6 ) ) ， 这表明：口一6 a ；因而，a ；是加群r 的一个子群 再设口雠j j x e a ；，则y ( 饿) = y ( 口) + y ( x ) 0 + y = y ，即饿群因此，a ； 是a ：一模r 的一个子模，本身自然是一个a ；一模 ( 3 ) 设一，兄f u o o ) ，则a ：= x 月l y ( x ) 乃) ，a 盖= r r i y ( 功兄) 由于r u m ) 是序集，a k f f f f 7 , 托，或者y ：万不妨设y 。y 2 3 第二节m - 赋值系统 设r a 五，则y o ) 托乃，从而x a ；于是a ：a 。v 由，。，y ：的任意性 知，a ；一模 a ；i y r 或y = o o ) 对于包含关系组成一条链 由上述规定知，给定，f u 。o ) ，可得到a ：一模r 的个子模a ；于是得到 f u o o ) 到 a ； ，r 或y = m ) 的一个映射护：y a ；显然，目是双射 设，。，y ：r ，且一- y 2 ，则由上面证明知，a ：a i ，即臼( 兄) 口( 一) ，因此， 链 a ；i y r 或，= m ) 与r u p ) 有相同的序型。证毕。 再设a r ，且进一步规定r 的如下子集： ( a ；：口) = p r f 甜a ；) ， 这里y r u 。) ，且a ；的规定同上不难验证，( a ；：盯) t g 是a ：一模r 的一个子 模 命题2 2 设v 同上，且a 是序幺半群f u 。o l 的一个非空子集，则下列叙述 成立： ( 1 ) 族 蟛l 五a 对于集合的包含关系组成一条链； ( 2 ) 若q 6 r ，且对于某个凡人，( a z ：6 ) 名( a z ：，则对于每个名a ， ( a ：( a ；： 证明：( 1 ) 由命题2 1 ( 3 ) 即知 ( 2 ) 由题意知，存在某个c ( a ：；。：6 ) ，使得c 硭( a 之：此时有，( 6 f ) 凡， 但v ( a c ) 凡从而以+ l ，( c ) 矗，但y ( 口) + y ( f ) 气此时有，v ( a ) l ，( 设 a a ，且设x ( a ：口) 此时有，v ( a x ) a 从而 ，( 敏) = 忡) + 矿( 砖y ( 田+ 以x ) = i ，( 蕊) 2 因而h a ；，即r ( a i ：6 ) 于是( a ；：a ) ( a ：6 ) 证毕 定义2 1 设r 是一个交换环，且 a 。i 丑a 是一个由加群r 的子群所组 4 第二节m - 峨值系统 成的族，其中a 是一个指标集 a 。i 五a ) 称作r 的个m - 赋值系统，若下列三 个条件成立： ( 1 ) 族 a 。i 五a ) 对于集合包含关系组成一条链； ( 2 ) 若口，b c r ，且对于某个九a ，( a 而：6 ) g ( a ：，则对于每个旯a ， ( a ：口) ( a 2 ：b ) ； ( 3 ) 交集n ( a 。：r ) 是尺的一个素理想，这里 ( a a ：尺) ：= j r i 工尺a ，z a 定义2 2 设y ：r 斗f u o o 是交换环尺的一个m 一赋值r 的一个m 一赋值系 统 a 。 a a ) 称作y 的一个m 一赋值系统，若对于q 6 r ，y ) y ( 6 ) ，当且仅当 对于某个凡a ，( a ：6 ) g ( a 如：口) ，即( a 南：c ( a ：6 ) 命题2 3 若 a i a a ) 是l ，的一个m 一赋值系统，则对于口，b r ，删悯， 当且仅当对于每个五a ，( a z ：a ) ( a 2 ： 证明：“”设v ( a ) v ( b ) ，其中口，b r 假若对于某个厶a ，我们有 ( a 南：口) g ( a 如：6 ) ，则由定义2 2 知，v ( 6 ) v ) ，与所设矛盾! 从而，对于每个 a a ，( a z ：a ) ( a ：b ) “乍”设对于每个a 人，( ：力( ：假设v ( 6 ) v ( 口) ，其中口，b r 由定义2 2 知，对于某个厶a ，( a 矗：6 ) c ( a ：于是，( a ：口) g ( a ：6 ) ， 与所设矛盾! 从而，y ) l ，( 6 ) 证毕 第三节m - 赋值与赋值系统的相互转化 第三节_ 卜赋值与- i 卜赋值系统的相互转化 在本节中，我们研究m 一赋值和m 一赋值系统之间的相互转化 定理3 1 设j r 是一个环，且 a 。l a ) 是r 的一个m 一赋值系统，则r 有一 个m 一赋值y ，使得 l 五a ) 恰为t - 的一个m 一赋值系统 证明：由题意知， a 。i 五a ) 是r 的一个m - 赋值系统由定义2 1 中条件 ( 1 ) 易知，x c ：晦c - a e r ，对于集合包含关系， ( a ：口) i 五a ) 也是一个由加 群尺的子群所组成的链作由加群r 的予群链所组成的如下非空集合： f 。= “( ：口) l 丑e a l a e r ) 同时，在l 上规定如下加法：对于q b r ， ( a 。：口) l 旯a ) + ( a 。：b ) 1 2 a ) = ( a 丑：曲) 1 2 a 显然，所规定的加法满足结合律和交换律此外， ( a 。：1 ) i 五a ) f 。，使得对于 任意口r ， ( ：1 a a + ( ：1 ) 】五a ) = ( 一：a ) 1 2 a ) 这表明：l 对于土 面所规定的加法是一个幺半群，且 ( ：1 ) 1 名a ) 是l 中的零元 再在r 劬上规定如下二元关系：对于a , b r ， ：力l 五a 鸭：6 ) f 五a 对于每个丑a ，心：由如：6 ) 显然，满足自反性和传递性 设 ( 凡：l a ) ， ( 九：6 ) l 丑a l l ，其中a , b r ， 使得 ( 一：力i 五a ( ：6 ) l a a ，且 ( 一：6 ) f 五a s ( ：a ) l a e a 于是， 对于每个五a ，( a ：a ) ( a ：，且( a z ：矗) ( a ：因此，对于每个五a ， ( a 。：口) = ( a 。：6 ) 从而 ( a 。：口) 五a = ( a 。：6 ) ia a ，即满足反对 称性 再设 ( a 。：口) 丑a ) ， ( a 。：6 ) i 丑a f 。，其中a ，b r ，且下面关系式 6 第三节m - 赋值与m 赋值系统的相互转化 不成立： ( 九：i a ( ：i 五 由的规定，存在某个元a ，使得( a ：口) 旺( a ：由定义2 1 中条件( 2 ) 知，对于每个旯a ，( a 。：6 ) ( a ：口) 于是， ( a ：b ) l 五a ( 如：口) i 五a ) 这表明：满足择一性因此，是集合l 的一个序 又设 ( a ：口) i a a ) ( a ：b ) l x a ) ，其中口，b r ，则对于任意a a ， ( a i ：口) ( a _ ：6 ) 设c r ，且x ( a ：叩) ，其中五为a 中任意指标，贝l j a c x e a z 由此有搿( a z ：口) ( a ：6 ) ，即b c x az 从而x ( a ：b e ) 于是，对于每 个a a ，( a ：a c ) ( a ：b c ) 从而 ( a ：胛) i 五人) ( a 2 ：6 c ) i a a ) ，即 ( a 。：口) i a a ) + ( ( a 。：c ) i 丑a ) ( a 。：b ) l a e a ) + ( ( a 。：c ) i 五a ) 由c 的任 意性知，是幺半群l 的一个序 记。= ( a 。：o ) l 兄a ) 此时，m = 兄i a a ) ，这里心；r ，五人因此，下 面事实成立： g e t - t - a r ， ( a ：口) i a a ) = o d ，当且仅当口n ( a ：回 e 令r = r 。、 m ) 由定义2 1 中条件( 3 ) 知，1 芒皿( a z ：r ) 由上面的事实 知， ( a 。：1 ) i 五人 o o ，即 ( a 。：1 ) i z a r 自然，r a 显然，对于每 个 ( 凡：回j ) t e a r ， 心：回i 丑q m i n v ( x ) ，( y ) j 事实上，不妨设l ，( d y ( j ，) ，即对于每个a a ，( a ：x ) ( a 。：j ，) ，则 v ( x ) = n f m v ( x ) ，y ) 若口( a ：，) ，其中五a ，j j a x a 注意到，( a ：x ) ( a 。：j ，) 从而n ( ：”，即缈如m - t - a 。是加群r 的一个子群， ：h j f u a ( x + y ) = a x + a y a i ，i l p a ( a ：r + 力由元素口的任意性知， ( a ：功( a ：r + j ，) ，其中五a 于是 ( a ：力l 五a ) ( 如：x + 力j 2 e a ) ，即 y ( x + y ) m i n v ( x ) ，y ( y ) 根据卜赋值的定义，由上面的事实知，y 是环r 的一个m 一赋值设盯。6 r 根据的规定知，l ，似) ， 1*a 8 第三节m 赋值与m 赋值系统的相互转化 假若n ( a ：j r ) v - i ( ) ，则有a n ( a ：固，使得a 仨v - i ( ) ，即v ( a ) 0 0 肛 此时，( ，0 ) ，0 0 ) 互由于a 是r 的覆盖指标集，从而巨= u 巨。于是存在某个 凡a ，使得( y ( 口) ，) 互 从而存在万r ，使得y ( 口) + 占 a o + 占，即有 y ( 口) + j 凡 由于y 为满射，从而存在x r ，使得v ( o = 占因此y ( 烈) = y ( 口) + y ( x ) 矗 由此知，甜硭a 笔，从而口茌( a z ：r ) 然而，口旦( a ：r ) ( a 盖：固，矛盾! 因 此，n ( a ：尺) = l ，- 1 ( o o ) 从而n ( a ：尺) 是r 的一个素理想 e a 根据定义2 1 知， q l a a ) 是环r 的一个m 一赋值系统 设a ，b r ，且v ( a ) l ，( 6 ) 由于a 是一个关于r 的覆盖指标集，从而有 凡a 以及万r ，使得y ( 口) + j 九p ( 6 ) + 占由于y 是一个满射，从而有c r ， 使得万= y ( c ) 此时有v ( a c ) 凡v ( b c ) 从而有6 c a ：；0 ，但口c 茌a ：0 由此知， c ( a ：；0 ：6 ) ，但c 茌( a 之：口) 因而，( a z ：口) c ( a z ：6 ) 反过来，设q 6 月，且对于某个无a ，( a i ：力c 雌：此时有c ( a z ：6 ) ， 使得c 芒( a z ：从而k a z ，但饿区a 之于是y ( 6 ) + y ( 功= y ( 螂磊，但 y ( 口) + y ( x ) = y ( 盯) 凡此时必有v ( a ) ，( 6 ) 由定义2 2 知， 蹦i 旯a 是y 的一个肿赋值系统证毕 定义3 2 设嵋与屹是环尺的两个m _ 赋值，r 1 ，r 2 分别为它们的值幺半群 若存在r 。u 。 到r 2 u m ) 的一个序同构口，使得对于每个a r ，日( 嵋( 乜) ) = v d a ) ， 则称i , i 与屹等价 显然，m 一赋值之间的“等价”是一个等价关系换言之，m 一赋值之间的“等价” 满足自反性、对称性和传递性 定理3 3 设y ：r 专f u p ) 是一个m 一赋值，则l ，有一个妒赋值系统，使得 9 第三节m - 赋值与m - 赋值系统的相互转化 l ，等价于该系统的典型m 一赋值 证明：设a 是r 的一个覆盖指标集由上面引理知， 钙i a a 是l ，的一个 m 一赋值系统设甜为m 一赋值系统 a 二l 五a ) 的典型m 一赋值由定理3 1 及其证明 知，对于每个口r ，( 口) = ( a ：a ) 1 2 a 下面证明：y 与“等价 令l ：= u ( a ) i a 固，且作r u m 到r 吣的如下对应： o ：v ( a ) 卜甜( 口) ，v a r 设y ( 口) = y ( 6 ) ，其中口，6 r 由于 i 五a ) 是y 的一个m 一赋值系统，从而 由命题2 3 知，对于每个a a ，( a ：d ) ( a ：6 ) r ( a ；：6 ) ( a ：口) 从而 对于每个a a ，( a ；：口) = ( a ；：6 ) 于是u ( a ) = ( 6 ) 从而，0 是一个映射此时易 见，0 是幺半群f v o m ) 到l 的一个满同态 再设y ) y ( 6 ) ，其中口，b e r 由于 a ： 五a 是y 的一个m - 赋值系统， 从而由命题2 3 知， ( a ：a ) 1 名a ( a j ：6 ) | a 人 假若 ( q ：口) i z a = ( a 二：b ) l a e a ，则 ( q ：d ) l 五a ) ( 媸：b ) 1 2 a 】 根据命题2 3 ，我们将有p ( 口) l ，( 6 ) ，矛盾! 。 因而 ( a ：a ) 1 2 e 人) m i x , v ( a ) ，咿) = 喇 从而x j ，a ：因此，a ：是加法群r 的一个子群 ( 2 ) 设r a i ，则有口a ，l 吏得i v ( a ) y ( x ) 注意到，口a c _ a 也从而 第四节m - 醢值系绕的标准化 x a 乏由x 的任意性知，a i a 2 ( 3 ) 由条件知，有f ( a 乞：妨，使得c g ( a 孟砖从而b c a 乞，僵即芒a z 于是，有d a 南，使得y ) y p c ) 由于口c 仨a 三0 ，从而y ( 卯) y ( 力由此有 v ( a c ) v ( b c ) 。即v ( a ) + l ，( c ) l ，( 6 ) + 矿p ) 此时必有v ( d ) v ( b ) 设a a ，且x ( a ；：力，则饿a ：从而有e e a 2 ，使得v ( e ) v ( a x ) 由此 有v ( b x ) = l ，( 6 ) + y ( y ) 2 y ( d ) + y ( d = v ( a x ) 矿( p ) 这表明：b x a ：即r ( a ：6 ) 由x 的任意性知，( a ：口) ( a ：6 ) ，丑a ( 4 ) 由于a 。a i ，五a ，从而显然有n ( a 。：r ) n ( a ：r ) 假若 艇 a n ( a ：r ) n ( a 。：r ) ，则有口n ( a ：月) ，使得口匹n ( a 。：r ) 此时，对于某 舡 a舡a e 个凡a ，口仨( a 矗：固，& p a r z a 从而有6 r ，使得动茌a 另一方面，由于口q ( 筋：r ) e ( a z ：r ) 从而有a 6 口r a z 此时有 c a 如，使得( a ：c ) ( a ：如) ，v 2 e a 特别地，( a 厶：0 ( a ：动) 注意 到，l ( k ：c ) 删，从两西a 矗，矛盾! 因此，q ( 譬：固= 璺( 凡：固，证 e az e 毕 根据上面命题4 1 ， a ：1 2 ea ) 也是环尺的个m i 赋值系统 称谓4 1 设 a 。i 五a ) 是环r 的一个m 一赋值系统如上所得的m 一赋值系统 i 五a ；称作系统 a 。 名a 的标准化 定义4 2 环r 的一个m - a 。i 五a 1 称作标准的，若对于每个 名a ，a ：= a 2 命题4 2 设 i a e a ) 是环尺的一个m 一赋值系统，则其标准化 钙i 五 是环r 的一个标准的m 一赋值系统 第四节m - 赋值系统的标准化 证明：只需证明：( a ：) = a ：，五a 显然，a ：( a d 。 设x e ( a ：) ，则由规定知，有口a j ，使得( a j ：由g ( a ：砷，v a 又由 - f a e a ：，从而有6 a j ，使得( a ，：6 ) ( a 。：口) e h q = a ，从而( a ，球) ( a 二：由此有( a ，：6 ) ( a ：功，v a 特别地，( a ：6 ) ( a ：功注意到，1 ( a 。：6 ) ( a ：d ，从而x a ；由工的任 意性知，( a ：) 。a ：因此，( a ：) = a i 证毕 定理4 3 设 a 。i 且e a ) 是环尺的一个m 赋值系统，则 a 。i 五人) 的典型 卜赋值与它的标准化甑典型汁赋值是等价的 证明：设i ，是y 分别是 l a ea ) 和它的标准化 一i a e a f 僦jm 一赋值 根据定理3 1 及其证明知，对于每个口r ，y 似) = ( a 。：口) ia a ，而 l ，( 口) = ( a ：口) 1 2 记r 和r 分别为l ，和l ，的值幺半群，则r = ( y 。) i 口叭恩( a 。：r ) ) ，且。 r = y ( 口) l 口烈g ( a ：励) 由命题4 1 ( 4 ) 知。q ( a ：回= q ( ：r ) 从 而r = p 川口叭旦( k 尺) 据此，作r 到r 的如下对应： 曰： ，( 口) 卜l ，( 口) ，v a r 、n ( a z ：固 设l ，0 ) = y p ) ，其中口，b r 。1 7 ( a z ：r ) 对于任意五a ，若工( a ：口) ，则 甜a ：从而有c a ，使得y ( c ) l ，( 卿) 由此有 v ( b x ) = i ，( 6 ) + y ( x ) = i ，( + ，( 功= v ( a x ) l ( c ) 这表明：6 r a ：，即x ( a ：6 ) 因而，( a i ：d ) ( a ：6 ) 同理，( a ：6 ) ( a ：口) 因此，( a ：d ) = ( a i ：6 ) ，v z a ，即r 。( d ) = l ，( 6 ) 这表明：口是一个映射显然0 是幺半群r 到r 。的个满同杰 1 4 第四节m - 赋值系统的标准化 现设，( 回= 矿( ，其中a , b j r 、n ( a 。：r ) ，则有 e ( 譬：口) = ( a 三：幻，v 五a 设x ( a ：口) ，其中五a ，i u a r a 由命题4 2 知，饿a ；由此知， x ( a ：a ) = ( a ：6 ) ，即b x a ：从而有c a ，使得对于每个a ， ( a u ：c ) ( a a ：缸) 特别地，( a ：c ) ( a ：b x ) 注意到，1 ( a ：0 ( a ：从 i l 百b x c a z ，即x ( a 2 ：6 ) 因而，( a ：力量( a ：6 ) 同理，( a ：b ) ( a ：口) 因而， 对于每个旯人，( a 。：口) = ( a 。：6 ) ，即v ( a ) = ，( 6 ) 这表明：口是一个单射因 此。臼是幺半群r 到r 的一个同构 再设y ( 口) v p ) ，其中a , b r 、n ( a i ：r ) 若x ( a ：口) ，其中五a ，则 饿a ：从而有c a ，使v ( c ) y ( 唧) 由此有 v ( 6 x ) = y ( 6 ) + 以x ) y ( + l ，( x ) = v ( a x ) l ，( c ) 这表明：b x a ：，即x ( a ：6 ) 于是，对于每个五a ，( a ：( a ：b ) ，即 ，( 口) l ，+ ( 6 ) 因此，目是序幺半群r 到r 的一个保序同构 此外，补充规定：o ( o o ) = o o 此时，曰是r u 0 0 ) 到f u 。) 的一个序同构注 意到，对于每个a eo ( a 。：尺) ，l ，( 口) = 。，且y 0 ) = m 从而，对于每个盯尺，都 有口( 1 ，( 口) ) = 矿( 4 ) 根据定义3 2 知，与y 等价证毕 致谢 致谢 本文是在导师曾广兴教授的指导下完成的从导师那里，本人不仅学到了专 业方面的具体知识和方法，而且领会了做人做学问的正确态度，这些都将使我受 益终生在此，我衷心地感谢导师曾广兴，并向他致以最崇高的敬意1 1 6 叶挺峰 2 0 0 7 年1 2 月 参考文献 参考文献 【l 】e n d l c r0 ，v a l u a t i o nt h e o r y n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l e g ，1 9 7 2 2 】r i b c n b o i mpt h 6 0 r i ed e sv a l u a t i o n sl e sp r e s s e sd el u n i v c r s i t 6d em o n f f 6 a l ，1 9 6 4 3 1s c h i l l i n go fg n ”t h e o r yo f v a l u a t i o i l s n e wy o r k ：a m c r m a t h s o c ，1 9 5 2 【4 】l a mty t h et h e o r yo f o r d e r e df i e l d sl e e t m en o t e si np u r ea n da p p lm a t h5 5n e wy o r k m d e k k e r , 1 9 8 0 ：1 - 1 5 2 【5 】l a mty o r d e r i n g s 、v a l u a t i o n sa n dq u a d r a t i cf o r m s c b m sr e g i o n a lc o n f s c f i e si nm a t h 5 2 a m c rm a t hs o cp r o v i d e n c eri ，1 9 8 3 【6 】l a n gs t h et h e o r yo f r e a lp l a c e s a n nm a t h ，1 9 5 3 ，5 7 ：3 7 8 - 3 9 1 【7 1p r e s t oa l e c t u r e so nf o r m a l l yr e a lf i e l d s l e c t u r en o t e si nm a t k l 0 9 3 ，b e r l i n - h e i d e l b e r g - n e wy o r k ：s p r i n g e r - v c r l a g ，1 9 8 4 【8 1z e n gg u