（应用数学专业论文）banach空间中渐近非扩张映射的强收敛定理.pdf

扬州人学硕十学位论文 摘要 2 一 不动点理论是泛函分析的一个重要的研究分支，它在微分方程、积分方程、数值分析、 对策论、控制论以及最优化等学科中有广泛而深入的应用 不动点理论的研究起源于b a n a c h ，b a n a c h 给出了第一个不动点定理，即b a n a c h 压缩映 射原理b r o w d e r 利用b a n a c h 压缩映射原理在h i l b e r t 空间中证明了非扩张映射的不动点存 在性定理b r o w d e r 定理被r e i c h 推广至一致光滑的b a n a c h 空间中k i r k 在具有一致正规结 构的b a n a c h 空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理g o e b e l 和k i r k 首先提出渐近非 扩张映射，并证明了一致凸b a n a c h 空间中非空有界闭凸子集上的每个渐近非扩张映射都有 不动点k i m 和x u 将该结果推广至空间具有一致正规结构的情形2 0 0 2 年，l i 和s i m s 证明 了在具有一致正规结构的b a n a c h 空间中渐近非扩张型映射在适当条件下具有不动点：设e 是一个具有一致正规结构的b a n a c h 空间，c 是e 的一个非空有界子集，t ：c 专c 是渐近 非扩张型映射且丁在c 上连续，若c 存在非空闭凸子集k 具有性质：z k ( z ) ck ，则 r 在k 中具有不动点在这些定理证明中，都是利用压缩映射的不动点直接逼近或迭代逼 近非扩张映射的不动点1 9 9 8 年，s h i o j i 和t a k a h a s h i 给出了h i l b e r t 空间中非扩张半群的隐 式粘性平均迭代序列的强收敛定理s h i m i z u 和t a k a h a s h i 在h i l b e r t 空间中证明了非扩张半 群的显式粘性平均迭代序列是强收敛的2 0 0 7 年，c h e n 和s o n g 研究了具有一致g a t e a u x 可 微范数的一致凸b a n a c h 空间中的非扩张半群的隐式粘性平均迭代和显式粘性平均迭代的 收敛性问题 本文主要利用“和s i m s 的不动点存在性定理，研究了在具有一致g a t e a u x 可微范数与 一致正规结构的b a n a c h 空间中，渐近非扩张映射及渐近非扩张半群的粘性隐式迭代序列 2 n ) 和粘性显式迭代序列 吒) 的收敛性问题 在第二章中，本文研究了在具有一致g a t e a u x 可微范数与一致j 下规结构的b a n a c h 空间 中，由下式定义的粘性迭代序列 乙) 和 吒) ： 乙= 厂( 乙) + ( 1 一) 丁”乙， + 1 = 口。( 吒) + ( 1 一) 丁”吒， 马明：b a n a c h 空间中渐近_ j 卜扩张映射的强收敛定理 x n n = o c n ，( x + p n x n + y l n x n ， 3 一 其中f f i 茁，k 是e 的非空闭凸子集，t ：k 专k 是渐近非扩张映射且，( 丁) 囝， c ( o 1 ) j t 。l i - ，m 。a , , = o - 。l i - + m 。k , , - 1 = 。证明了 乞 和 ) 都收敛于丁的不动点p ，且p 是 变分不等式( ( ，一厂) p ，j ( p - - x * ) ) o 的唯一解 在第三章中，本文研究了在具有一致g a t e a u x 可微范数与一致正规结构的b a n a c h 空间 中，由下式定义的粘性迭代序列 乞) 和 ) ： 乙2 a f ( 乙) + ( 1 一) 丢r 丁( s ) z 。出， + 。= ( ) + ( 1 一口。) r 丁( s ) x d s ， 力 矗“2 厂( ) + 成+ 以丢r 丁( s ) 荪， 其中厂兀k ，k 是e 的非空闭凸子集，3 = 丁( ，) ，t o ) 是k 上渐近非扩张半群且 印) 观c ( 。，- ) 1 e 1 l i m a , = o c ( 。，o 。) ，l i m t 吨l i mq - 1 _ o ，矾= 去批陟 证明了 z n ) 和 吒) 都强收敛于s 的公共不动点p ，且p 是变分不等式 ( ( ，一) p ，( p - - x * ) ) o 的唯一解 本立的丰薯结果摊广和酌讲了寸r 91 0 q 中的幺砉娶 关键词：粘性逼近方法，渐近非扩张映射，一致g a t e a u x 可微范数，一致正规结构 扬州人学硕+ 学位论文 a b s t r a c t 4 一 t h et h e o r yo ff i x e dp o i n t si sa l li m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i co ff u n c t i o n a la n a l y s i sa n di ti s w i d e l yu s e di nm a n ys u b je c t ss u c ha sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n s ，n u m e r i c a l a n a l y s i s ，g a m et h e o r y , c o n t r o la n do p t i m i z a t i o nt h e o r y t h et h e o r yo ff i x e dp o i n t so r i g i n a t e df r o mb a n a c h sp r i n c i p l eo fc o n t r a c t i o nm a p p i n g s b y u s i n gt h eb a n a c h sp r i n c i p l eo fc o n t r a c t i o nm a p p i n g s ，b r o w d e rp r o v e dt h ee x i s t e n c eo ff i x e d p o i n t so fn o n e x p a n s i v em a p p i n g s b r o w d e r st h e o r e mw a se x t e n d e dt ou n i f o r m l ys m o o t h b a n a c hs p a c e sb yr e i c h k i r kg a v et h ee x i s t e n c et h e o r e mo ff i x e dp o i n t so fn o n e x p a n s i v e s e l f - m a p p i n gi nb a n a c hs p a c e sw i t hu n i f o r mn o r m a ls t r u c t u r e g o e b e la n dk i r ks h o w e dt h a t e v e r ya s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n gh a saf i x e dp o i n to nan o n e m p t yb o u n d e dc l o s e d c o n v e xs u b s e to fu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e s t h i sr e s u l tw a se x t e n d e dt ot h ec a s eo f b a n a c hs p a c e sw i t hu n i f o r mn o r m a ls t r u c t u r eb yk i ma n dx u i n2 0 0 2 ，l ia n ds i m ss h o w e dt h a t e v e r ya s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v et y p em a p p i n g sh a sa tl e a s taf i x e dp o i n tu n d e rc e r t a i n a p p r o p r i a t ec o n d i t i o n si nb a n a c hs p a c ew i t hu n i f o r mn o r m a ls t r u c t u r e ：l e teb eab a n a c h s p a c ew i t hu n i f o r mn o r m a ls t r u c t u r e a n dcb ean o n e m p t yb o u n d e ds u b s e to fe 1 e t t ：c 专cb ea na s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v et y p em a p p i n gs u c ht h a tti sc o n t i n u o u so nc f u r t h e r , i ft h e r ee x i s t san o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs u b s e tko fcs a t i s f i e st h ef o l l o w i n g p r o p e r t y ：z ki m p l i e s ( 0 w ( z ) ck ，t h e nth a saf i x e dp o i n ti nk t h em e t h o du t i l i z e d t h e r ei st ou s et h ef i x e dp o i n t so fc o n t r a c t i o n st oa p p r o x i m a t ed i r e c t l yo ra p p r o x i m a t eb y i t e r a t i o n so ft h ef i x e dp o i n t so fn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i n19 9 8 ，s h i o jia n dt a k a h a s h io b t a i n e d t h es t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m so ft h ei m p l i c i tv i s c o s i t yi t e r a t i o np r o c e s sf o rn o n e x p a n s i v e s e m i g r o u p si nh i l b e r ts p a c e s h i m i z ua n dt a k a h a s h is t u d i e dt h es t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h e e x p l i c i tv i s c o s i t yi t e r a t i o np r o c e s sf o rn o n e x p a n s i v es e m i g r o u p si nh i l b e r ts p a c e i n2 0 0 7 ，c h e n a n ds o n gi n v e s t i g a t e dt h ec o n v e r g e n c eo fi m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sa n de x p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s s f o rn o n e x p a n s i v e s e m i g r o u p si n u n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e sw i t hu n i f o r m l yg a t e a u x d i f f e r e n t i a b l en o r m i nt h i sp a p e r , u n d e rt h ef r a m e w o r ko fb a n a c hs p a c ew i t hu n i f o r m l yg a t e a u xd i f f e r e n t i a b l e 马明：b a n a c h 空间中渐近_ 扩张映射的强收敛定理 5 一 n o r ma n du n i f o r mn o r m a ls t r u c t u r e ，w eu s et h ee x i s t e n c et h e o r e mo ff i x e dp o i n t so fl ia n ds i m s t oi n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s s z n ) a n dt h ee x p l i c i ti t e r a t i o n p r o c e s s ) f o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g sa n da s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e s e m l g r o u p i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h ef o l l o w i n gi m p l i c i tv i s c o s i t yi t e r a t i o np r o c e s s z n a n d t h e e x p l i c i tv i s c o s i t yi t e r a t i o np r o c e s s ) f o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n g si nb a n a c hs p a c ew i t hu n i f o r m l yg a t e a u xd i f f e r e n t i a b l en o r ma n du n i f o r mn o r m a l s t r u c t u r e ： 乙= o t f ( z ) + ( 1 一) 丁”乙， + l = 厂( ) + ( 1 一) 丁”吒， 吒+ l = ( ) + 成+ 以丁” a n df 兀k ，ki san o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs u b s e to fe ，t ：k 专ki sa na s y m p t o t i c a l l y n 。n e x p a j l s i v em a p p i n gw i t h f ( 丁) g ， ) c ( 。，1 ) a n d 。l i m 。a n = 。，。l i m 。k - 1 = 。w e s h o wt h a t z n ) a n d x n ) c o n v e r g es t r o n g l yt oaf i x e dp o i n t ，w h i c hi st h eu n i q u es o l u t i o nt o t h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( ( i - f ) p ，j ( p - - x * ) ) 0 - i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h ef o l l o w i n gi m p l i c i tv i s c o s i t yi t e r a t i o np r o c e s s z n a n d t h ee x p l i c i t v i s c o s i t yi t e r a t i o np r o c e s s 吒) f o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e s e m i g r o u pi nb a n a c hs p a c ew i t hu n i f o r m l yg a t e a u xd i f f e r e n t i a b l en o r ma n du n i f o r mn o r m a l s t r u c t u r e ： 乙2 厂( 乙) + ( 1 一口 、! t n f ”丁( s ) 乙凼， 吒+ - = 厂( ) + ( 1 一) 丢r 丁( s ) 凼， 吒+ t = 厂( ) + p o x + r o i 1 r 丁( s ) 幽， a n d 厂f i k ，k i san o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs u b s e to f e ，3 = 丁( f ) ，f 0 i s a l l 扬州人学硕十学位论文 6 一 a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v es e m i g r o u p w i t h f ( s ) o ， 口。 c ( o ，1 ) a n dl i m a ”= 0 ， 、 疗- - - a o c ( o ，0 0 ) ，l i m 乙：o o ，l i m 型 ”+ 。 ” = o ， 仇= i 1r 尼( s ) 凼w e s h 。wt h a t 乙 a i l d 矗 c o n v e r g es t r o n g l yt oaf i x e dp o i n t ，w h i c hi st h eu n i q u es o l u t i o nt ot h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( ( i - f ) p ，j ( p - - x * ) ) 强收敛于f ( 丁) 中一点 在文 1 中，k i r k 在具有一致j 下规结构的b a n a c h 空间中证明了非扩张映射的不动点存 在性定理g o e b e l 和k i r k 首先提出渐近非扩张映射，并在文 2 中证明了一致凸b a n a c h 空间 中非空有界闭凸子集上的每个渐近非扩张映射都有不动点k i m 和x u 将该结果推广至空间 具有一致正规结构的情形 2 0 0 2 年，“和s i m s 在文 3 中证明了在具有一致正规结构的b a n a c h 空间中渐近非扩张 型映射在适当条件下具有不动点：设e 是一个具有一致正规结构的b a n a c h 空间，c 是e 的一个非空有界子集，t ：cjc 是渐近非扩张型映射且r 在c 上连续，若c 存在非空闭凸 子集k 具有性质：z k c o w ( z ) ck ，则丁在k 中具有不动点 在具体求不动点时，我们经常利用压缩映射的不动点直接逼近或迭代逼近非扩张映射 的不动点2 0 0 0 年，a m o u d a f i 在文【4 】中提出了在h i l b e r t 空间中寻找非扩张映射不动点的 扬州大学硕十学位论文 8 一 粘性逼近方法2 0 0 4 年，在文 5 中，h k x u 在一致光滑的b a n a c h 空间中，研究了由 m o u d a f i 提出的寻找非扩张映射不动点的粘性逼近方法，并证明了如下定理： 定理x 1 ( 文 5 定理4 1 ) 设e 是一致光滑的b a n a c h 空间，k 是e 的非空闭凸子 集，f f i r ( 所有压缩映射构成的集合，下同) ，t ：k 专k 是非扩张映射，且f ( t ) g 薯) 定义如下： 薯= 矿( 薯) + ( 1 一t ) t x , ，t ( o ，1 ) ， 则当f o 时， ) 强收敛于f ( 丁) 中的点如果定义q ：i - i 女- - f ( t ) ，q ( 厂) = l ，i m 。x , ，厂n k ， 则q ( f ) 是下面变分不等式的解： ( ( i - f ) q ( f ) ，j ( q ( f ) - x ) ) o ，厂h k ，v x e f ( 丁) 定理x 2 ( 文 5 定理4 2 ) 设e 是一致光滑的b a n a c h 空间，k 是e 的非空闭凸子 集，f h k ，t ：k 专k 是非扩张映射，且f ( 丁) a 若 ) c ( o ，1 ) ，并满足： ( i ) l i m a 。= 0 ； ( i i ) i + 一i ； ( i i i ) 。l i m 。c r n + l = 1 ，或荟a o 1 + t 一i o 。 v x o k ，序列 x n 定义如下： + l = o f , 。厂( ) + ( 1 一) 乃，v 刀0 ， 则序列 x n ) 强收敛于f ( 丁) 中的点 1 9 9 8 年，s h i o j i 和t a k a h a s h i 在文 6 中给出了h i l b e r t 空间中非扩张半群的隐式粘性平 均迭代序列2 x + ( 1 一) 丢f ”丁( s ) 凼的强收敛定理在文 7 中, s h i m i z u 和t a k a h a s h i 在h i l b e r t 空间中证明了非扩张半群的显式粘性平均迭代序列 - = x + ( 1 一) 丢f ”丁( s ) 幽是强收敛的随后，s h i o j i t a k a h a s h i 将上述结果推广至具 弱序列连续对偶映射的一致凸b a n a c h 空l 自j 中2 0 0 7 年，c h e n 和s o n g 在文 8 中研究了具有 致g a t e a u x 可微范数的一致凸b a n a c h 空间中的非扩张半群的隐式粘性平均迭代 2 厂( 屯) + ( 1 一) 丢f r ( s ) _ 出 和显式粘性平均迭代 马明：b a n a c h 空间中渐近非扩张映射的强收敛定理 9 一 + = 厂( ) + ( 1 一口n 、土t nr 丁( s ) 吒幽的收敛性问题 本文主要利用l i 和s i m s 的不动点存在性定理，研究了在具有一致g a t e a u x 可微范数与 一致正规结构的b a n a c h 空间中，渐近非扩张映射及渐近非扩张半群的粘性隐式迭代序列 z n ) 和粘性显式迭代序列 而) 的收敛性问题 在第二章中，本文研究了在具有一致g a t e a u x 可微范数与一致j 下规结构的b a n a c h 空间 e 中，由下式定义的粘性迭代序列 乙) 和 吒) 的收敛性： 乙= 厂( 乙) + ( 1 - a ) t ”乙， 矗+ l = ( 矗) + ( 1 一) 丁”， + l = 口。( ) + 成吒+ 以丁”， 其中f f i k ，k 是e 的非空闭凸子集，t ：k 专k 是渐近非扩张映射且f ( t ) o ， 口。) c ( o ，1 ) v 。l i _ ，m 。c t = o - 。l i m 。k ”- 1 - = 。证明了 乙) 和 ) 都收敛于丁的不动点p ，且p 是 变分不等式( ( ，一f ) p ，j ( p - - x * ) ) o 的唯一解 在第三章中，本文研究了在具有一致g a t e a u x 可微范数与一致正规结构的b a n a c h 空间 e 中，由下式定义的粘性平均迭代序列 乙) 和 吒) ： 乙= 厂( 乙) + ( 1 一口n o tf ”r ( s ) 乙凼， n 吒+ = 厂( 吒) + ( 1 一) 丢f ”丁( s ) 西， + 2 厂( ) + 孱+ 以丢f ”丁( s ) 丞， 其中厂1 - i r ，k 是e 的非空闭凸子集，3 = 丁( f ) ，0 ) 是k 上渐近非扩张半群且 f ( 3 ) a ，c ( o ，1 ) i ；t l i mo r , , _ 0 ，c ( 吣) ，! 蠛乙吨! 鳃等1 _ o ，仉= 万1r 七( s 灿 证明了 z 。) 和 矗) 都强收敛于s 的公共不动点p ，且p 是变分不等式 ( ( ，一) p ，j ( p - x * ) ) o 的唯一解 扬州人学硕十学位论文 本文的主要结果推广和改进了文 9 ，1 0 中的结果 1 2 预备知识 在本文中设e 是实b a n a c h 空间，k 是e 的非空闭凸子集e 是e 的对偶空 间，j ：e 一2 ，是由下式定义的j 下规对偶映射： m ) = 厂e ：( x ，厂) = 2 = 2 ) ，坛e 若e + 是严格凸的，则j 是单值的，记j ( x ) j ( x ) ，当，为单值时也记为 定义1 1 ( 1 ) 称厂：k 寸k 是具有压缩常数口( o ，1 ) 的压缩映射，如果 l l 厂( x ) 一( y ) j f 口i l x 一少l l ，v x ，y k ( 2 ) 称t ：k k 是非扩张映射，如果 l i a - t y i l 。 为e 的正规结构系数，其中 d ( k ) - - s u p ix y i ：x ，yek ) 如果( e ) 1 ，则称e 具有一致正规结构 具有一致正规结构的b a n a c h 空间是自反的；一致凸的与一致光滑的b a n a c h 空间具有 一致正规结构 设l i m 为b a n a c h 极限，即l i m ( ，。) ，l i m = 1 ，并且v ) ，。都有 l i m a n = l i m + l ，l i m i n f a , l i m a n l i m s u p a 月疗竹_ n 刀寸 为了证明本文的主要结果，我们将用到下面的引理 弓l t - i1 1 1 1 设e 是实b a n a c h 空间，v x ，y e ，总有 x + y i l 2 0 x l l 2 + 2 ( y ，( x + y ) ) ，v j ( x + y ) ej ( x + y ) 引理1 2 2 7 设e 是自反b a n a c h 空间，矽是定义在e 上的下半连续泛函，若 扬州人学硕十学位论文 1 2 1 i 。m 缈( x ) = 0 0 ，则存在而e ，使得缈( ) = i n f o ( x ) ：x e b x u - 瑚 引理1 3 3 设e 是具有一致正规结构的b a n a c h 空间，k 是的非空有界子集， t ：k k 是渐近非扩张型映射，如果存在k 的非空闭凸子集m 具有性质( p ) ：x m 则 c o ( x ) cm ，其 中 纨( x ) 是丁 在 x上的弱极限点集，即 ( x ) = y e ：| _ 使得少= w l i m 。t x , i ，则丁在m 中有不动点 引理1 4 3 设e 是具有一致正规结构的b a n a c h 空间，k 是e 的非空有界子 集，s = 丁( ，) ，t 0 ) 是k 上渐近非扩张型半群，对每一个，0 ，丁( f ) 在k 上是连续的，如果 存在k 的非空闭凸子集m 具有性质( p ) ：x m 则( x ) cm ，其中( x ) 是 丁( f ) x 的弱极 限点集，即( x ) = y e ：y = w l i m ，t ( t , ) x , t 专o 。( f 一) ，则3 在m 中有公共不动点，即 3 z m ，使得t ( t ) z = z ，v t 0 引理1 5 2 8 设e 是具有一致g a t e a u x 可微范数的b a n a c h 空间，k 是e 的非空闭凸 子集， ) ck 有界，令s ) = l i 。m l i 一x 0 ，x e ，则 ( i ) s ( x ) 是k 上连续泛函； ( 1 i ) i 罂s ( z ) = ； ( i i i ) z 为s ( x ) 在k 中最小值点的充要条件是： 三弘( y - - z , ，( 一z ) ) o ，砂k 引理1 6 1 2 设 ) 是一非负实数列，满足下列条件： a n + l ( 1 一口n ) a n + o r 。吒+ 以，胛0 ， 其中 ) c 0 1 】，= ； 月= l ( i i ) l i m s u p o r 0 ； 力 ( i i i ) 以o o ) ，以 o 。 一= l 则a nj o ，( ，z 0 0 ) 马明：b a n a c h 空间中渐近1 卜扩张映射的强收敛定理 1 3 引理1 7 1 3 3 设 毛) ， 儿 是b a n a c h 空间e 中的有界序列， 尾) c 【0 , 1 】且 0 l i m i n f 孱l i m s u p 尾 1 ，假 设 吒+ 1 = 尾吒+ ( 1 一成) 儿， v n 0 ， 1 - - 0 0 1 - , i i d o l i m 。s 。u p ( 1 y “一0 一l i “一0 ) o ，则舰0 n 一0 = o 且 扬州大学硕+ 学位论文 第二章b a n a c h 空间中渐近非扩张映射的强收敛定理 2 1隐式迭代序列的收敛性 1 4 设e 是具有一致正规结构的b a n a c h 空间，并具有一致g a t e a u x 可微范数，k 是e 的非 空闭凸子集，厂f i k ，t kjk 是渐近非扩张映射且f ( 7 1 ) a ，设 口。) c ( o ，1 ) 且 鬟墨= o - l 。i m ，。冬= o 考虑由下式定义的粘性隐式迭代序列 乙) 的收敛性： 月+ ” n o ”口。 z n = 厂( 乙) + ( 1 一) r ”z 。 ( 2 1 ) 定理2 1 设e 是具有一致正规结构的b a n a c h 空间，并具有一致g a t e a u x 可微范数，k 是e 的非空闭凸子集，f f i k ，t ：k 专k 是渐近非扩张映射且f ( 丁) ，设 a n c ( o ，1 ) 且 l i m ：o ，l i m 丝：0 ，则 n 4n 4 o c n ( 1 ) 玎充分大时，存在唯一的乙k 满足( 2 1 ) 式； ( 2 ) 若对于( 2 1 ) 式定义的 乙) ，丁满足渐近正则性：溉i i 丁川乙一丁”乙0 = 0 ，则 乙) 收 敛于丁的不动点p ，且p 是下面变分不等式的唯一解： 证明：( 1 ) 令 ( ( ，一i ) p ，j ( p x ) ) o ，坛f ( 丁) 邑( x ) = ( z ) + ( 1 一) 丁”x ，x k ， 则对任意j c ，y k ， i i 岛( 石) 一g 。( y ) l i = 1 1 厂( x ) + ( 1 一) p x - a f ( y ) - ( 1 - e t ) t ”y 0 ( x ) 一厂( y ) | | + ( 1 一) j i 丁”x - t ”y ( 吒一k + 口) f i x y i f ， ( 2 2 ) 马明：b a n a c h 空间中渐近1 卜扩张映射的强收敛定理 l t l q ：。l i m 。k n 。- 1 ：o ，则当胛充分大时，冬 l 一口吒一口，即吒一k + 口 1 故胛充分大 一。 ”“ 时，g 。是压缩映射由b a n a c h 压缩映射原理，存在唯一的乙k 满足( 2 1 ) 式 故 ( 2 ) 先证变分不等式( 2 2 ) 解的唯一性假设p ，q ，( 7 1 ) 是变分不等式( 2 2 ) 的解，则 ( p 一厂( p ) ，j ( p - q ) ) o ，( g 一( g ) ，j ( q p ) ) o ， ( 1 - 口) i | p q l l 2 ( ( p g ) 一( 厂( p ) 一( g ) ) ，j ( p g ) ) o ， 从而p = q ，即变分不等式( 2 2 ) 的解唯一 再证 乙 有界 f l u f ( 丁) ，有 故 l 乙一甜0 厂( 乙) 一甜i i + o 一) 丁”乙一甜8 乙) 一厂( “) 忙“) 一“1 一a ) i t ”z - t u 0 口l k 。一“| | + 0 厂( “) 一“0 + 吒( 1 一) i l 乙一甜0 吒一( k 一口) 圳乙一“0 + 0 ( 甜) 一“i l ， 乙一“o i i = - 二i i 了l l 厂( “) 一“o l - a - 1k - 1 “f ( 甜) 一“o ， 因为l i r a 丝：o ，所以对固定的o 占 时， k - _ _ a 1 时， ”。 口。 恢一甜j j 0 ，有煅l l 乙一丁”z 。l l = 0 ，又 卜丁肘y l l - l l z - 丁胛z 。l l + kl l z 。一y l l ，c ( 2 3 ) 在( 2 3 ) 式中令刀专o o ，取b a n a c h 极限，有s ( 丁y ) k m s ( y ) ，v y c 因为c 是有界的，所以 t m y 有界，又e 具有一致正规结构，从而e 是自反的，于是 丁y ) 有弱收敛子列不妨设 是 丁”y 的某个弱极限点，即存在 丁”y ) 的一个子列 丁鸭y ，当f 一时， 丁啊y ) 弱收敛于 y o 由于s 是连续的凸泛函，因此是弱下半连续的在s ( 丁竹y ) b s ( y ) 中令f 斗o d ，取下极 限， s ( y o ) l i m i n fs ( t 啊y ) s ( y ) 由于y c ，即s ( y ) = i 腻n f s ( x ) ，l s f f p as ( y o ) = i 赋n f s ( x ) ，即 y oec 这样，我们证明了v y e c ，c o 。( y ) cc 由引理1 3 知3 q c 使得q f ( 丁) ，即 cnf ( r ) o 下证 乙) 列紧设 气) 为 乙) 的任一子列，定义( x ) = l i m i i 乙一x 1 1 由上述证明可知 e = y ：( y ) = i n ( x ) g ，且on f ( 丁) o 任取p e nf ( 丁) ，由引理1 5 得，v z k ， ij j 弘( z p ，( 乙一p ) ) o ，又厂( p ) k ，故 l i m ( f ( p ) 一p ，( 磊一p ) ) 0 ( 2 4 ) ， ， 由于v x f ( r ) ， ( 气一丁一气，( 乙，一x ) ) = ( 毛一x 一( 丁q 气一丁怫z ) ，( 气一x + ) ) = 慨一x 1 1 2 - t 吩气一丁_ z + ，( 毛一x ) ) l | z 伪一x 1 1 2 一l l 丁q z 一丁_ x 1 1 1 | z 伪一x + l i 一( k 一1 ) 慨一x 1 1 2 ， 故 ( 乙川训气) = 百1 - a , 乙心。) ) 掣 i z n ，- - x * 1 1 2 马明：b a n a c h 空间中渐近1 扩张映射的强收敛定理 1 7 因为 乙) 有界，l i m a , , ：o ，1 i m 型：0 ，所以、。 b - k i i - - k 。口。 l i m s u p ( z , 一厂( 毛) ，( 气一x ) ) o ，比。f ( 丁) ( 2 5 ) 从而 ( 1 一口) 恢一p l l 2 - 1 1 气一p i 厂( 气) 一厂( 卅i z , 一p 0 慨一p i _ 2 ( 厂( 气) 一厂( p ) ，( 气- p ) ) = z n i p + ( p ) 一厂( 气) ，( 气- p ) ) = ( 毛一厂( 毛) ，( 气一p ) ) + ( 厂( p ) 一p ，( 气一p ) ) ， 由( 2 4 ) ( 2 5 ) 式可知l i mi z , 一p l = o ，i 故l i m i n fi z , 一, 1 1 = o i i i ii i因此存在 z q 的子列强收敛于 、。， p ，从而 乞) 的任一子列都有强收敛子列，即 乙) 列紧 下证 乙 强收敛于丁的不动点p 由上述证明可知存在 乙) 的子列 气) 强收敛于p ， p f ( t ) 由于正规对偶映射，是范数弱枣连续的，由( 2 5 ) 式知 ( p - f ( p ) ，j ( p - x + ) ) o ，v x + f ( 丁) ，即p 为变分不等式( 2 2 ) 的解由变分不等式( 2 2 ) 解的 唯一性知 乙 的任一收敛子列都强收敛于p ，又因为 z n ) 列紧，所以 乙) 强收敛于丁的不动 点p 定理证毕 2 2 显式迭代序列的收敛性 设e 是具有一致正规结构的b a n a c h 空间，并具有一致g a t e a u x 可微范数，k 是e 的非 空闭凸子集，厂h k ，t ：k 寸k 是渐近非扩张映射且f ( 丁) a ，设 ) c ( o ，1 ) 且 。l i ma , , = 。，喜= ，。l i m 。k - 1 ，= 。，考虑由下式定义的粘性显式迭代序歹| 的收敛性： “= 口。( ) + ( 1 一) 丁”矗 ( 2 6 ) 扬州人学硕十学位论文 足理2 2 设e 是具有一致正规结构的b a n a c h 空间，并具有致g a t e a u x 可微范数，k 是e 的非空闭凸子集，f i - i k ，t k 专k 是渐近非扩张映射且f ( 丁) a ，设 ) c ( o ，1 ) 且 ! 骢2 。，喜= ，。l i m 。k , , - 1 =