（基础数学专业论文）赋范空间的单位球面间等距映射的线性延拓.pdf

在第二章中， 我们主要研究 特殊类型的赋范空间的单位球面间等距映射的线 性延拓间题. 本章分为两小节. 在2 . 1 节中， 我们假设 e , f都是实严格凸，光滑的自反空间. 接下来我们 构造了相关联的两个映射 l 和 l，它们分别将定义域空间 e和值域空间f映 为1 - ( r ) 的 子 空间 . 并且由 此得 到如 下结 论 e , f都 是 实 严格凸 ， 光 滑的自 反 空间 ，t : s ( e ) - s ( f ) 是 满等 距 映 射， 则t可 以延 拓 为 全空 间e上 的 线性 等距 算 子的 一 个 充要 条件 是l ( f ) , l ( e ) 是 h( r ) 中 的 同 一 个线 性 子空 间 . 我们还构造了相关联的 两个映射 k, k ，它们分别将定义域空间e和值域 空间f映 为l 0 0 ( r ) 的子 空间 . 并且 得到 如 下 结 论: e , f都 是 实 严格 凸， 光 滑的自 反空 间， t : s ( e ) - s ( f ) 是 非 满等 距 映 射 ， 则t 可以 延 拓为 全 空间e上 的 线 性等 距算 子 的 一 个充 要 条件 是k ( e ) 是k ( f ) 的一个线性子空间. 在 2 . 2 节中， 我们研究了实赋范空间e和l p 的单位球面间满等距映射的延 拓间题，得到了如下结果: t : s ( l p ) * s ( e ) 是 一个 满 等 距， 如 果 对于 任意 的x , y e s ( l p ) , s u p p 二 门 s u p p ， =m 都 有 “ u , t ( x ) + p 2 t ( y ) 卜! a i x 十 a 2 川! 其中/ 1 1 , ,u 2 0 ， 那么t必可延拓为全空间上的线性等距 v: l p *e. 关键词:等 距 映 射 ; t in j g le y 间 题 ;等 距 延 拓 ;光 滑 ;严 格 凸 ab s t r a c t i n 1 9 8 7 , d .t i n g l e y p r o p o s e d t h e f o l l o w in g p r o b l e m i n 8 7 : “ l e t e a n d f b e r e a l n o r m e d s p a c e w it h u n i t s p h e r e s s ( e ) a n d s ( f ) . s u p p o s e t h a t t: s ( e ) * s ( f ) i s a s u r j e c t i v e i s o m e t ry ( i .e . 11 t x 1 一 t x 2 = 1 x 1 一 x 2 “ f o r a ll x l , x 2 e s ( e ) ) . i s t n e c e s s a r il y t h e r e s t r i c t i o n t o s ( e ) o f a l i n e a r o r a f f i n e i s o m e t ry o n e t i n t h e c o m p le x s p a c e s , i t is e v i d e n t t h a t t h e a n s w e r i s n e g a t i v e , f o r e x a m p l e , w h e n w e t a k e e= f=c ( c o m p l e x p l a n e ) a n d t ( x ) =x . t h i s p r o b l e m h a s b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d b y m a n y m a t h m a t i c a l w o r k e r s 1 5 , 2 0 , 2 4 , 2 5 , 9 2 - 9 7 a n d s o m e b e a u t i f u l c o n c l u s i o n s h a v e b e e n o b t a i n e d . b u t , u n t il n o w , t h i s p r o b l e m i s s t i l l u n s o lv e d p e r f e c t l y . i n t h i s p a p e r , w e s t u d y t h e t i n g l e y s p r o b l e m a n d i t s g e n e r a li z a t i o n( l e t t h e i s o m e t ry i n t h e t i n g l e y s p r o b l e m i s n o t s u r j e c t iv e ) a n d o b t a i n s o m e i m p o rt a n t r e s u l t s . i n t h i s t h e s is , w e s t u d y t h e t i n g l e y s p r o b le m i n n o r m e d s p a c e s c o n s i d e r in g t h e e x t e n s i o n o f i s o m e t r ie s w h i c h i s s u r j e c t i v e o r n o t b e t w e e n t h e u n i t s p h e r e s o f n o r m e d s p a c e s . we h a v e d i v i d e d t h i s t h e s i s in t o t w o c h a p t e r s . i n c h a p t e r o n e , w e s t u d y t h e e x t e n s i o n o f a n y m a p p i n g b e t w e e n t h e u n i t s p h e r e s s ( e ) a n d s ( f ) o f n o r m e d s p a c e e a n d f r e s p e c t iv e l y . a n d w e g e t t h e f o ll o w i n g r e s u l t s : ( 1 ) e a n d f a r e r e a l n o r m e d s p a c e . t : s ( e ) *s ( f ) i s a m a p p i n g . i f “ 艺s k t x k ii! jj e k x k ” k =1七 =1 f o r a n y 6 1 , c 2 , - - , s n r , t x 1 , t x 2 , . . . , t x n c t h e n t h e r e i s a l i n e a r i s o m e t ry t: e - + f s u c h t h a t tx ! x e s ( e ) a n d 。 n 匆s (e )= t . ( 2 ) e a n d f a r e r e a l n o r m e d s p a c e . t: s ( e ) *f is a n i s o m e t r i c m a p p i n g i i i ii 艺4 t x k ii! jj 艺s k x k ” f o r a n y # 1 , 2 , - - - , c r , t x l , t x 2 , - - -, t x n c t x i x e s ( e ) a n d 。 n , t h e n t h e r e is a l i n e a r i s o m e t ry t: e*f s u c h t h a t 州s ( e ) = t . i n c h a p t e r t w o ， w e h a v e s t u d i e d t h e e x t e n s i o n o f is o m e t r i e s b e t w e e n u n i t s p h e r e s o f s p e c i a l t y p e o f n o r m e d s p a c e . i n s e c t i o n 2 . 1 , w e s u p p o s e t h a t e a n d f a r e b o t h r e a l s t r i c t l y c o n v e x , s m o o t h a n d r e fl e x i v e s p a c e . t h e n w e c o n s t r u c t t w o r e l a t e d m a p p i n g l a n d l a n d t h e y m a p e a n d f t h e s u b s p a c e s o f l - ( r ) r e s p e c t i v e l y . b y t h is * o b t a i n t h e f o ll o w i n g r e s u l t : e , f a r e b o t h r e a l s t r i c t l y c o n v e x , s m o o t h a n d r e fl e x i v e s p a c e . t: s ( e ) * s ( f ) i s a n o n t o i s o m e t ry . t h e n t c a n b e e x t e n d e d t o b e a li n e a r i s o m e t ry o n t h e w h o l e s p a c e e i ff l ( f ) , v ( e ) a r e t h e s a m e s u b s p a c e o f l - ( r ) . a n d w e a ls o c o n s t r u c t t w o r e l a t e d m a p p in g k a n d k a n d t h e y ma p e a n d f t h e s u b s p a c e s o f 1 - ( r ) r e s p e c t i v e l y . we o b t a i n t h e f o ll o w i n g r e s u l t : e , f a r e b o t h r e a l s t r i c t l y c o n v e x , s m o o t h a n d r e fl e x i v e s p a c e . t: s ( e ) * s ( f ) i s a n i n t o i s o m e t r y . t h e n t c a n b e e x t e n d e d t o b e a l i n e a r i s o m e t ry o n t h e w h o l e s p a c e e i ff k( e ) i s a s u b s p a c e o f k ( f ) . i n s e c t i o n 2 . 2 , w e s t u d y t h e e x t e n s i o n o f s u r j e c t i v e i s o m e t r i e s b e t w e e n u n i t s p h e r e s o f r e a l n o r m e d s p a c e e a n d 1p a n d o b t a in t h e f o l l o w in g c o n c l u s i o n : t: s ( lp ) *s ( e ) i s a n o n t o i s o m e t ry . i f ! ! h j t ( x ) + h 2 t ( y ) 卜 1 1 m i x 十 h e y 11 f o r a l l x , y e s ( l p ) , s u p p x ! 1 s u p p ， =0 a n d h i , h 2 0 , t h e n t c a n b e e x t e n d e d t o b e a l i n e a r i s o m e t ry v丘 o m i n o n t o e . ke y wo r d s : i s o m e t ry ; t i n g l e y s p r o b le m ; e x t e n s i o n o f i s o m e t ry; s m o o t h ; s t r i c t l y c o n v e x 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、 保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学 校有权保存学位论文的印 刷本和电子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印件和电 子版: 在不以赢利为目 的的前 提下， 学校可以适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 仔缚 乞 . 习 年牛 月17 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 本授权书。 年解密后适用 指导教师签名: 事 妞 学位论文作者签名: 俘4 金 解密时间: 一夕年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 1 内 部 5 年 ( 最 长5 年， 可 少于5 年) 秘 密 * 1 0 年( 最 长 0 年 ， 可 少 于 0 年 ) 机 密 2 0 (_ _ _ _ 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 一 几 _ _ 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已 经注明引用的内容外， 本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由 本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 买 珐金 2 o 刁 年介 月!7 日 c h a p t e r 0 i n t r od u c t i on i s o m e t r i e s a r e t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h p r e s e r v e d i s t a n c e b e t w e e n e l e m e n t s . i t h a s t h e f o ll o w i n g g e n e r a l d e fi n i t i o n : l e t ( e , d e ) a n d ( 只d f ) b e m e t r i c s p a c e s . a m a p t: e，f is s a i d t o b e a n i s o m e t ry i f d f ( t x , t y ) = d - - ( 二 ， y ) w h e n e v e r 2 , ye i n t h e c a s e w h e r e t h e r e i s a n s u r j e c t i v e is o m e t ry b e t w e e n s p a c e s ( e , 心) a n d ( f , 寿) ， t h e y a r e s a i d t o b e i s o m e t r i c . i s o m e t r i c s p a c e s a r e e s s e n t i a ll y i d e n t i c al a s m e t r i c s p a c e s . s o , t h e s t u d y o f i s o m e t r i c s is c o n d u c iv e t o u n d e r s t a n d a n y m a t h e ma t i c al s t r u c t u r e o f m e t r i c s p a c e s t h e s t u d y o f t h e i s o m e t r i c t h e o ry o f m e t r i c l i n e a r s p a c e s is a v e r y a c t i v e fi e l d o f r e s e a r c h t h e t h e o ry o f i s o m e t ry h a s i t s b e g i n n i n g i n t h e i m p o r t a n t p a p e r 卜 s . m a z u r a n d s .u l u m 7 3 i n 1 9 3 2 . i n t h e p a p e r t h e y p r o v e t h a t e v e ry i s o m e t ry fr o m i nt r o d uc t i o n a n o r m e d r e a l v e c t o r s p a c e o n t o a n o t h e r n o r m e d r e a l v e c t o r s p a c e i s a l i n e a r m a p p i n g 即 t o a t r a n s l a t i o n . t h i s is t h e f a m o u s ma z u r - u l u m t h e o r e m. m a n k i e w i c z e x t e n d e d t h is r e s u l t i n 7 2 s h o w i n g t h a t a n i s o m e t r y w h ic h m a p s a c o n n e c t e d s u b s e t o f a n o r m e d s p a c e e o n t o a n o p e n s u b s e t o f a n o t h e r n o r m e d s p a c e f c a n b e e x t e n d e d t o a n a f fi n e ( i . e . a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n c o mp o s e d w it h a t r a n s l a t i o n ) i s o m e t ry fr o m e t o f . a p p l y i n g t h e s e r e s u lt s t o t h e u n i t b a l l s o f e a n d f , i t f o ll o w s t h a t t h e w h o le s p a c e s e a n d f a r e li n e a r l y i s o m e t r i c i f a n d o n l y if t h e i r u n i t b a l l s a r e i s o m e t r i c o n t h e o t h e r h a n d , t h e r e a r e s u b s e t s o f b a n a c h s p a c e s w h i c h a r e is o m e t r i c , b u t n o t i n a n y s e n s e a f in e l y i s o m e t r i c . c o n s id e r t h e m a p p i n g v: r，1 2- ( r 2 w i t h t h e m a x n o r m ) g i v e n 妙 v ( 二 ) =( x , s i n 二 ) . t h e n v i s a n i s o m e t r y , b u t i s c l e a r ly n o t a ff in e . p e r h a p s t h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t t h e r a n g e o f v d o e s n o t c o n t a i n s u f f i c i e n t d i r e c t i o n s o f t h e s p a c e . t h u s , d .t i n g le y r a i s e d t h e f o ll o w i n g p r o b l e m i n 8 7 : p r o b l e m: s u p p o s e t h a t v o: s , ( e )* s , ( f ) i s a s u r j e c t i v e i s o m e t r i c d o e s t h e r e e x i s t a l i n e a r i s o m e t r i c m a p p i n g v : e - s f s u c h t h a t v s , ( e ) =v o ? i n t h e s a m e p a p e r , t i n g l e y p r o v e d t h a t i f e a n d f a r e fi n i t e - d i m e n s i o n a l b a n a c h s p a c e s a n d v: s , ( e ) 、 s , ( f ) i s a s u r j e c t iv e is o m e t ry , t h e n v ( x ) = - v ( - x ) f o r a ll x s , ( e ) f o r t h e i n f i n i t e d i m e n s i o n a l s t r i c t ly c o n v e x s p a c e a n d t h e s p a c e h , y . ma o b t a i n e d t h e s a m e r e s u l t s a s a b o v e i n 7 0 . o n t h e o t h e r h a n d , r . wa n g s t u d y t h e t i n g l e y s p r o b l e m b e t w e e n t h e s p a c e s o f s a m e t y p e a n d o b t a i n e d p o s i t i v e a n s w e r t o t i n g l e y s p r o b l e m f o r t h e s p a c e s o f t y p e c o (q , e , ) in c lu d in g 呼) ( x ) , t h e s p a c e o f ty p e . c o ( 0 , e )1 , th e s p a c e o f t y p e . c o ( s 2 , e ) p w i t h s o m e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n o n e , t h e 2 , - s u m o f t h e s t r i c t l y c o n v e x n o r m e d s p a c e ， . . . ( c f . s 2 - s 7 ) . y . x i a o h a s s t u d i e d t h e i s o m e t r i c e x t e n s i o n p r o b l e m f o r a c l a s s o f a t o m i c a 巧一 s p a c e ( i .e . a b s t r a c t l p - s p a c e s ) a n d g o t s o m e m e a n i n g f u l c o n c l u s i o n . d . z h a n i n t h e p a p e r s 1 0 5 一 【 1 0 6 h a s d i s c u s s e d t h e i s o m e t r i c e x t e n s i o n p r o b - l e m o f t h e u n i t s p h e r e s o f t y p e l p ( fl , h ) ， w h e r e h is a h il b e r t s p a c e， a n d g o t t h e p o s i t i v e a n s w e r . y . x i a o , a n d r . wa n g , b o t h d i s c u s s e d t h e i s o m e t r i c e x t e n s i o n p r o b l e m o f t h e u n i t s p h e r e o f a m- s p a c e ( i . e . a b s t r a c t m - s p a c e s ) a n d o b t a i n e d a p o s i t i v e a n s w e r i n 1 0 1 . g . d i n g in 2 5 h a s f u r t h e r d i s c u s s e d t h e p r o b l e m f o r t h e c a s e t h a t t h e i s o m e t - r i c o p e r a t o r b e t w e e n t h e u n i t s p h e r e s o f t h e t w o h i l b e r t s p a c e i s n o t s u r j e c t i v e a n d o b t a i n e d t h e f o ll o w i n g r e s u l t : t h e o r e m 2 5 l e t e , f b e i n n e r - p r o d u c t s p a c e , a n d v o : s , ( e ) 。s , ( f ) s a t is f y 1 - l i p s c h i t z c o n d i t i o n a n d - v o s , ( e ) c v o s , ( e ) . t h e n v o c a n b e e x - t e n d e d t o a n i s o m e t r i c r e al li n e a r o p e r a t o r d e f in e d o n t h e w h o l e s p a c e . x . f u i n 4 3 i m p r o v e d t h e a b o v e r e s u l t 场 r e p l a c in g 1 - l i p s c h i t z c o n d i t i o n 勿 l o c al 1 - l i p s c h it z c o n d i t io n . t h e q u e s t i o n o f w h e t h e r a n is o m e t ry f r o m s , ( e ) i n t o s , ( f ) c a n b e i s o m e t - r i c a ll y a n d l i n e a r l y e x t e n d e d f o r a ll b a n a c h s p a c e e a n d f i s n e g a t i v e t h e f i r s t c o u n t e r e x a m p l e g i v e n 勿 l . z h a n g i n 1 0 8 , w h e r e h e g a v e a m a p p in g fr o m s l ( q (2 ) ) in t o s l ( f (3) ) w h ic h sh o w s t h a t t h e is o m e t ri c e x te n s io n p r o b l e m f a i l s . r e c e n t l y , l . z h a n g a l s o c o n s t r u c t e d a c o u n t e r e x a m p l e fr o m s ( v ) i n t o s ( f t ) in 1 0 9 . b y t h e s a m e i d e a , y . d a i g a v e a n o t h e r c o u n t e r e x a m p l e i n w h ic h h e c o n s t r u c t e d a m a p p in g fr o m s 1 (f l2 ) a n d s i (f l3 ) . j . w a n g f o u n d , i n 9 0 , a c o n d i t i o n u n d e r w h i c h a n i n t o i s o m e t ry v o b e t w e e n t h e u n it s p h e r e s o f a t o m i c a i x - s p a c e s ( 1p 1 ) e t c . b u t t h e s e o p e r a t o r s a r e li n e a r a n d a r e d e f i n e d o n t h e w h o l e s p a c e . m o r e o v e r , t h e r e e x i s t s n o t t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m f o r t h e s p a c e f 0 0 s i n c e t h e r e i s n o b a s i s i n f 0 0 . i n t h i s a s p e c t ， t h e n e w e s t r e s u l t i s t h e f o l lo w i n g t h e o r e m ( i n t h e r e a l s p a c e s ) : t h e o r e m 2 4 s u p p o s e t h a t v o : s 1 沪( r ) *s 1 沙( ) ( 1 5 p o o , p 2 ) i s a n s u r j e c t i v e i s o m e t r i c m a p p i n g . t h e n t h e r e e x i s t a p e r m u t a t i o n i t : 、 r a n d t h e n u m b e r s e t b 6 6 e o w it h i b 6 =1 f o r a l l d e ， s u c h t h a t v o w= 艺9 6 b , (6 )d 6 , d 二 = 艺 .y e y e s i te 0 (r ). 西 e a y e r ( c f . 1 5 , 2 1 , 2 4 ) t h e a b o v e p a p e r s h a v e a c o m m o n p o i n t : t h e y s t u d i e d t i n g l e y s p r o b l e m a n d i t s g e n e r a li z a t i o n b e t w e e n t h e s p a c e s o f s a m e t y p e . g . d i n g i s t h e fi r s t o n e t o s t u d y t i n g l e y s p r o b l e m b e t w e e n t h e s p a c e s o f d iff e r e n t t y p e , w h i c h c a n b e f o u n d i n 2 0 . t h e m a i n r e s u l t i s a s f o ll o w s : t h e o r e m 2 0 l e t e b e a n o r m e d s p a c e , t h e s u b s e t s m s i ( e ) o f t h e s m o o t h p o i n t s o f t h e u n i t s p h e r e o f e b e d e n s e i n i t s u n i t s p h e r e s l ( e ) . v o b e a n i s o m e t r i c m a p f r o m s i ( e ) o n t o t