（基础数学专业论文）非线性半正knk共轭边值问题的非平凡解.pdf

l ：小：匕己 羔 1 一 晒 n 鹕 咆 伽 玳 协 | 曼 盯 v 础 l l u 猢 一 三 躐 雌 ；耋 n 蛐 艄 舶 删 删 删 删 黼 | 萋 0i at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s n o n t r i v i a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a r s e m i p o s i t i v e ( 尼，z 一尼) c o n j u a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s b yl i u a o h u i s u p e i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rz h a n gg u o w e i n o r t h e a s t e mu n i v e r s i t y m a y 2 0 0 8 3舢64 1 4舢8 删1哪y l 1 1 浒净冲咏盏中咏寓毒抄 玺抽 替幺戋醉*阿一f，1三肄筒爵癖雷础吕擀书嚣 蒜煳 j丘装曲靴等滞辞露串讲稿薄瘟苴陶器昔书藕旃l第酗弓l融叫1j!乏冰群。斟粗祟书稿甜斟1生器窜澍哥。茹特齐蛛阱龄掣h嚣cp谭耐赭墨尝游薛因薄霹冰q妒葚爿 国器淞李料哥潞薛蛉：i奎游挂心器牛寻甫高凿路卡带带辞嘞燔器，洒斟浒磉辩k器手旨莉抖h商颦带游离长帛一f。七)潜筒涪癖雷函哥3特游离因潜嚣咄打游霹斟栽 墨择戡高盏冰器淞毒。茸黪料昔啪鞲昔邂葵赣器甜斛霹雷嘲 抖h潞林斛盏爵潞碎犍咄独【挤正高器淞牟爿茸醪特龄薛张爿一f。o擀笥 薛高舀离 一p)一!龟(一一一x一。一k一、一龟一h一一。kpn。择。 龟一。一。一。龟一一p一。p。叭n静p。叭j叭。净。p 冷苷三。斜k。凿。p酣靴。、爿氐特净器誉丑封手卜度瞄黔辩!导q尝书稿器 甜阱痒舔黪带獬u储哥。藉墨咔三。带一。p一卜颦葵耳器祟潞霹帐阿一fo獭藩降高舀豳又寸葵鞲甜科3淞寮琳酥趣蔫卜器爿磐强赫潜矾瞄!导坚叫瓣茸棼稿器耕讲辞 冰簿商一擀萄阵高苴函措书稿时稿一葑丰卜溉一薄莽藕 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 学位论文作者签名：刘砥食 日期：2 d 。乒牟7 目多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：副氏会导师签名：7 劾讨韦 签字日期： 功。g 耸 i 1 石f 7签字日期：2 卯旷。- 7 ， l 东北大学硕士学位论文 a b s t 髓c t n o n t r i v i a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a rs e m i p o s i t i v e c o n j u a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a b s t r a c t ( 后，咒一尼) r e c e n t l y t h ee x i s t e n c co fn o n t d v i a is o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i 骶r e n t i a le q u a t i o n s a t t r a c t sc l o s ea t t e n t i o n ，i nw h i c ht i 比n o n l i n e a rf u n c t i o ni se n d o w e dw i t ht h ec 0 n d i t i o n so f s o m ed i f f e r e n tk i n d si nm u c hl i t e m t u r c ，t h ee i g e n v a l u ea n dt h es p e c t r a lr a d i u so fl i n e 盯 c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p c r a t o r s 甜ev e 巧i m p o n a n t 锄ds i 鲥f i c 如ti n d e x e s i i lt h i st h e s i s ， t h ee i g e n v a l u ec r i t e r i ai s 舀v t 0t h en o n l i n e a rf h n c t i o nf o rt h ee x i s t e n c c0 fn o n t 订v i a l s o l u t i o n sa n ds y m m e t r i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a rs e m i p o s i t i v e ( 七，n 一七)c o n j u a t eb o u n d 缸y v a l u ep r o b l e m s i n c h a p t e r2 ， t h en o n l i n e a rs e m i p o s i t i v e ( 七，刀一足)c o n j u g a t e b o u n d a r ) rv a l u e p r o b l e m s ( 一1 ) “一驴“( x ) = 厅( x ) ，( 妒( x ) ) ，o x 1 ，疗苫2 ，o 七 刀， 驴( ( o ) = 妒( 7 ( 1 ) z0 o fs 七一1 ，o s ，s 万一七一1 ， a r ec o n s i d e r e du n d e rs o m ec o n d i t i o 璐n c c m i n gt h e 丘珞te i g e n v a l u ec o n e s p o n d i n gt ot h e r e l e v a n th n e a ro p e r a t o r ，w h e 扛) i sa l l o w e dt 0b cs i n g l l l 龇a t 工一oa i l dx l ，锄d ， i sn o tn e c e s s a r yt ob cn o n n e g a t i v e t h ee x i s t e n c cr e s u l t so fn o n t r i v i a ls o l u t i o 璐锄d p o s i t i v es o l u t i o n sa r e 沓v e nb yu s i n gt h em e t h o do ft o p o l o g i c a ld e g r e e a n di l lc h 印t e r3 ，t h e e x i s t e n c er e s u l t so f s y m m e t r i cs o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rs e m i p o s i t i v e( 七，万一七)c o n j u g a t c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sd i s c t l s s e d ，w h e nj l l ( z ) i ss y m m e t r i co n ( o ，1 ) t l l er e s u l ti s 沓v e nb yt h ef i x e dp o i n ti n d c xt h e o r yi nc o n e s k e y w o r d ：c 0 n j u g a t cb o u n d a r yv a l u cp r o b l e 麟；n t r i v i a ls 0 l u t i o n s ；p o s i t i v e l u t i o n s ； t 0 p o l o g yd e g r e e ；s y m m e t r i c l u t i 伽s i v f i 东北大学硕士学位论文 目录 目录 声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 第2 章 ( 尼，z 一尼) 共轭边值问题的非平凡解5 2 1 引言与预备。5 2 2 主要结论8 第3 章 ( 七，z 一七) 共轭边值问题的对称解2 5 3 1 引言与预备2 5 3 2 主要结论。2 7 第4 章应用举例2 9 第5 章总结3 5 参考文献。3 7 致谢3 9 v 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 奇异非线性微分方程及方程组的边值问题是微分方程领域中个非常重要的研究 课题近年来，许多作者在对方程的非线性项提出多种条件以及不同边界条件的情况 下【1 石，1 0 ，1 3 舶l ，对这一课题进行了广泛而深入的讨论 张国伟，孙经先【1 l 研究了非线性( 七，以一七) 共轭边值问题 ( 一1 y 妒扣( x ) 一 ( 工) 厂( 妒( 工) ) ，o 工 1 万苫2 ，o 七 刀， ( 1 1 ) 9 ( ( o ) 一妒( 1 ) zo o s is 七一1 ，o 墨歹s 厅一七一1 ， ( 1 2 ) 并且在( 4 ) ，( 4 ) 两个条件下运用锥上的不动点指数理论获得了正解和多重正解的存 在性结果 ( 4 ) | l l 如( o ，1 ) ，j l ( x ) 乏o z ( o ，1 ) ，并且 o f g ( x ) ( 工) 出 + ， 其中如( o ，1 ) 表示( 0 ，1 ) 上的局部可积函数族 ( 彳：) ，：【o ，+ ) 呻【o + ) 连续 张国伟，孙经先【2 】讨论了奇异方程 卜；饕槲) ( 0 ( 1 ) _ 0 ，埘如1 ，0 妒椭_ 1 ， 卜) = 饕黼) ( 0 h 。) ( 1 ) = 缸h ，1 s 脚出1 第1 章绪论东北大学硕士学位论文 ( 4 ) 酗他( 岛) 1 ( 以) 晚( 磊) “ 在这两篇文章中都允许i i l ( x ) 在工；o 和x 一1 奇异，但是都并未对 ，：( 一，+ ) 呻( 一，+ ) 连续的情况进行讨论 z h a n gg u o w e i ，s u nj i n 懿i 孤1 3 l 讨论了奇异二阶胁点边值问题 一( 妒) ( 工) 一 ( z ) ，( 驴( z ) ) ，o x 1 ， 驴( o ) o ，9 ( 1 ) 。酗妒( 毒) ， ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中( 却) ( x ) ；( p ( z ) 痧( z ) ) + q ( z ) 9 ( x ) ，毒( 0 ，1 ) ，o 磊 岛 k o ，g ( x ) c 【o ，1 ，留( z ) so ， ( 坞) m - ( 皇) 1 ，( m 是 f ( l 驴) ( x ) 一o ，o x 1 ， 1 妒( o ) ；o ，9 ( 1 ) 一l ， 的唯一解) 和( 4 ：) ，( 彳，) 条件下，运用不动点指数理论得到了上述问题的正解的存在 性结果，同样也没有对，：( 一，+ ) 一( 一，+ ) 连续的情况进行讨论 c u i l j u n ，z o uy u m e i 【4 】研究了边值问题( 1 3 ) ( 1 4 ) ，并在 ( 4 ) 厂：( 一，+ ) 一( 一，+ ) 连续 及( 呜) ，( 以) ，( 4 ) 条件下，利用拓扑度理论，结合相应线性算子的第一特征值九证明 了( 1 3 ) - ( 1 4 ) 非平凡解的存在性 s u nj i n 野i a n ，z l l a n gg u o w e i 在文献【5 ，6 】中分别讨论了奇异次线性和奇异超线性 s t u 册i j o u v i l l e 问题 2 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 一( 驴) ( 石) = ( x ) ，( 伊( x ) ) ，o x 0 q ( 工) c 【o 1 】，口( x ) o ， ( 1 5 ) ( 1 6 ) q 芑o ，展so ，口2 苫o ，岛之o ，口；+ 群o ，a ；+ 膨乒o ， 且( 1 5 ) ( 1 6 ) 的齐次方程 卜( l 驴) ( 工) = o ，o 工 1 ， 1r ( 妒) ；尺：( 驴) 一o ， 只有平凡解， ( 4 。) ：( o ，1 ) 一 o ，) 连续，i i l ( z ) 不恒等于o ，且 f 七( ) j i i ( 工) 出 + 及( 4 ) 三个条件下，结合相应线性算子的第一特征值凡，运用拓扑度理论证明了 ( 1 5 ) 一( 1 6 ) 的非平凡解的存在性 文献【l 】没有考虑厂：【一，+ ) _ ( 一，+ ) 连续这种情况，本文考虑到这一点， 并在超线性和次线性条件下，运用【4 6 】中的方法，获得非线性半正( 七，以一七) 共轭边值 问题的非平凡解存在的结果 s u n y o n g p i n 7 l 讨论了二阶三点边值问题 “( f ) + 口( f ) ，( f ，“( f ) ) 一o ，o f 1 ， ( 1 7 ) “( o ) 一砧( 1 ) 。口“( ，7 ) ， ( 1 8 ) 其中a ( o ，1 ) ，7 ( o ，1 2 ，并在满足( 4 。) ，( 4 ：) 两个条件时，结合相应线性算子的 第一特征值凡，运用不动点指数定理，证明了( 1 7 ) 一( 1 8 ) 对称解的存在性 ( 4 。) 口r ( o 1 ) 非负，且在( o ，1 ) 上对称， ( 4 ：) 厂： o ，1 x o ，+ ) 呻 o ，+ ) 满足c a r a t l l e o d o r y 条件，且，( 。，“) 对任意 的“【o ，+ o 。) 在【o ，1 上对称 3 、 l ， jl，。k 4 ，j 东北大学硕士学位论文 第2 章仲，n 一七) 共轭边值问题的非平凡解 第2 章 ( 尼，n 一尼) 共轭边值问题的非平凡解 2 1 引言与预备 非线性半正( 忌，万一七) 共轭边值问题 ( 一1 ) ”( z ) 一j i l ( 工) ，( 妒( x ) ) ，o 石 1 ，疗苫2 ，o 七 o ) 的开球为 缉； 妒c o ，1 | i 酬 r ) ，可表示其闭包 文献【8 ，9 】中给出了( 七，忍一七) 共轭边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 的g r c 饥函数积分表示为 七( x ，) ，) 一 显然七( x ，y ) 在 o 1 【0 ，1 上连续 在本文中假设 ( q ) j i l 如( 0 1 ) ，j i i ( z ) 乏o ，z ( o 1 ) ，并且 o o ，从而存在 口， c 【o ，l 】使得五( 口，卢) 且f g ( z ) ( z ) 出 0 坛【口，卢】，否则g ( x ) i l ( 工) 在 ( o ，1 ) 中几乎处处为o ，这与( 2 5 ) 矛盾 取驴c o ，1 】使得驴( x ) 0 觇【o ，1 】，驴k ) o 且9 ( 石) 一0 ，慨喏 口，卢】从而 对于x 口， 有 ( 却) ( z ) = f 七( 训) l ( ) ，) 伊( y ) 毋，七( 训) j i l ( y ) 妒( y ) 加o ， 所以存在常数c o ，使得c ( 丁驴) ( x ) 乏驴( 工) ，坛 o ，1 】由引理2 3 知，r ( 丁) ，to 且r 有 一个对应于第一特征值九的正特征函数卿 7 第2 章( 七，一一七) 共轭边值问题的非平凡解 东北大学硕士学位论文 引理2 5 【1 0 l设e 是b a n a c h 空间，q 是e 中的一个有界开集，假设彳：孬呻e 是一 个全连续算子如果存在h o 事0 使得h 一4 h 乒加o ，v “a q ，a 乏o ， 则拓扑度 d e g ( ，一彳，q ，口) - o 引理2 6 1 4 1设e 是b a n a c h 空间，q 是e 中的有界开集设a ：五呻e 是一个全连 续算子，如果彳比乒知，v “a q ，a 之1 ，则拓扑度d e g ( j 一彳，q ，口) = 1 引理2 7 1 6 】 设e 是b a n a c h 空间，彳：e 一e 的全连续算子如果4 口一口且彳：存 在，l 不是4 ：的特征值，则存在r o ，使得 d e g ( ，一彳，耳，8 ) 一d e g ( ，一4 ，e ，口) - ( 一1 ) ， 其中卢是彳：的小于1 的特征值重数之和 引理2 8 【1 1设e 是b 觚a c h 空间，q 是e 中的有界开集设爿：五呻压是一个全连 续算子， ( i ) 如果l i 爿h l l 0 “l l ，v 比a q ，则d e g ( ，一彳，q ，口) ；o ( i i ) 如果口q ，0 4 m0 ， ( 2 1 2 ) n 掣p l 剖 0 ，当h 足够大时，使得 ，( “) ( 1 + s ) “ 由( 2 1 1 ) 知，存在岛 62 0 ，使得 取 厂( “) ( + ) h 一2 j l ，v h ( 一，+ ) 尺xj 1 ，业唑业唑掣生丛堂| ， 【叮i ：g ( y ) j i l ( y ) 方j 9 - ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) y 第2 章他，以一七) 共轭边值问题的非平凡解 东北大学硕士学位论文 基中，7t d ( f ) ，驴( x ) 一岛f 七( x ，y ) i l ( y ) 咖显然，多尸 口) 令矿是算子r 相应于第一特征值 的正特征函数，则妒一九r 妒由r ( p ) ce 知， 妒 假设算子彳在扫r 上没有不动点( 否则定理得证) 下证 妒一劬一z 驴，v 9 a 吼，f 0 否则，若存在锈a 吼，q 0 ，使得砚一爿识一卯由( 2 1 5 ) 知， ( x ) + 币( 工) 一( 4 觋) ( x ) + 谚( 工) + 妒( 工) - 小( 训) ( ) ，) 【，( 吼( y ) ) + 反】方+ 气9 。( x ) ， 从而 吼+ 多最 ( 2 1 6 ) 由丁( 尸) c 丑，妒足，( 2 1 5 ) 及( 2 1 6 ) 得 ( 锄) ( z ) + 妒( z ) = 小( 训) z ( ) ，) 【，( 锻( ) ，) ) + 致】方 ( + ) f 七( 训) ( y ) 伤( y ) 方 乏凡( r ( 竹+ 训x ) + f 七( 础) j l l ( y ) ( 钮( ) ，) + 妒( y ) ) 一( 厶+ ) 妒( y ) 】咖 t ( r ( 吼+ 谚) ) b ) + 甙七( 毛) ，) ( y ) ( 识( y ) + 痧( ) ，) ) 匆 一( a 叫f 尼( 训) j j l ( y ) 多( y ) 咖 ( r ( 钦+ 训x ) + 七( w ) ( y ) l l - l | 驴i l l 方 一( 凡+ f ) 小( 训) j i l ( y ) 审( y ) 方 2 ( r ( 仍+ 驴) ) ( 石) ， 从而 吼+ 妒九r ( 劬+ 谚) + q 伊乏_ 驴 ( 2 - 1 7 ) 取r + = s u p h + 驴芑印) ，则f 芑_ o 且吼+ 驴苫f 驴，从而 丁( 吼+ 驴) 苫 f 。r 妒一f 伊 1 n 东北大学硕士学位论文 第2 章( 七，以一七) 共轭边值问题的非平凡解 由( 2 1 7 ) 知 吼+ 庐苫 r ( 讫+ 多) + q 妒z 伊+ _ 妒苫( f + _ ) 驴， 这与z 的定义矛盾。从而 由引理2 5 知， 妒一彳妒一印，v 驴扭 ，z 0 d e g ( j 一彳，凡，口) = o ( 2 1 8 ) 由( 2 1 3 ) 知，存在o a o “ 证毕 ( 2 2 2 ) 及( 2 3 ) 式成立，则非线性半j 下( 七，厅一七) 共轭边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少存在一个非平凡解 证明令 则 疋( h ) 一一，( “) ，v h ( 一，+ ) 1 i m i n f 趔：l i m i n f 型型：l i m i n f 型：l i i i l i n f 型 凡， h - 一 比 h 呻一 “o _ “ 9 - + y 从而满足定理2 1 中的( 2 1 2 ) 又，( h ) o ，使得 d e g ( ，一4 ，秒) ；d e g ( ，一4 ，& ，口) 一1 ， ( 2 2 4 ) 由定理2 1 的证明和( 2 1 1 ) - ( 2 1 2 ) 知，存在r 2 ，l ，使得 d e g ( 卜4 ，& ，8 ) = o ， ( 2 2 5 ) 由( 2 2 4 ) - ( 2 2 5 ) 知 d e g ( ，一彳，气磊，8 ) d c g ( 卜4 & ，日) 一d e g ( ，一彳，& ，8 ) 一千1 从而4 在j 5 i ，2 瓦上有不动点，故非线性半正( 七，拜一足) 共轭边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少有一 个非平凡解 证毕 由定理2 2 可以得到以下两个推论： 推论2 3 假设( 日，) 和( h ：) 满足，如果存在一个常数扫，使得 m ) 一等，v “苫6 其中m = 晋对i ：七( 五y ) ( y ) 咖，并且( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 成立，则非线性半正( 七，刀一七) 共轭边 值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在一个非平凡解 推论2 4 假设( 日。) 和( 日：) 满足，如果存在一个常数6 o ，使得 1 4 东北大学硕士学位论文第2 章作，矗一七) 共轭边值问题的非平凡解 ，( “) s 6 ，h 【一，+ ) ， 并且( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 成立，则非线性半正( 七，疗一七) 共轭边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少存在一个非 平凡解 定理2 3 假设( 日j ) 和( 日：) 满足，如果 矽( “) 乏o ，v “尺， ( 2 2 6 ) 魄i n f 型 ， ( 2 2 7 ) p i + h l i m s u p 地 ( 2 2 8 ) 则非线性半f ( 七，以一七) 共轭边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在一个正解和一个负解 证明令 ， 兀( “) 。 丢，( “：三孚 ( 2 2 9 ， 定义 ( 和) ( 工) = f 尼( 训) ( y ) ，3 ( 妒( ) ，) ) 匆，x 【o ，1 由r ( p ) c 互及( 2 2 9 ) 知4 ( 尸) c 只在定理2 1 中令6 t o ，可得呜有不动点多丑 口) 故非线性半正( 七，刀一七) 共轭边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在一个正解 令 兵( “) 2 ：( 一比) ， ：二之 定义 ( 咖) ( x ) = 小( 训) j l l ( y ) 爿( 驴( y ) ) 咖，工 o ，1 则4 ( p ) c 只且彳i 有不动点，妒尸 口) 即彳乡。矿又因为 爿( 矿( 工) ) = 一，( 书( 工) ) ，x 【o ，1 1 5 厂( “) ，7 ，觇 o ，】，( 2 3 2 ) 其中，7 一g o 皿) 一，则非线性半正( 七，以一七) 共轭边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在 两个非平凡解 证明 由( 2 3 0 ) 式可知，存在o 厂o ，使得当“d ( f ) 吒时，有 厂( “) ( + s ) h v 伊p ，fs x s l 一z ，y ，z o ，1 有 ( 却) ( 工) = f 尼( 训) ( y ) ，( 驴( y ) ) 咖 d ( r 虮七( z ，y ) ( y ) 厂( 妒( y ) ) 咖苫d ( r ) i 陋妒0 ， 故爿( 尸) c 丑 不妨设彳在谄。n e 和哦n 最上没有不动点，否则定理得证 v 妒凹 n 只，由( 2 3 3 ) 知 1 6 - 吼。彳吼+ 驴。2 妒 令f = s u p r i 吼2 印) ，易知f o 且劬f 驴又由丁( p ) ce 知 r 讫苫砷r 妒一f 妒 由( 2 3 3 ) 得 竹- 彳吼+ 驴凡丁蚜+ 妒苫z 伊。+ 驴= ( f + ) 妒， 这与z + 的定义矛盾，从而( 2 3 5 ) 成立 又彳( 巨) c 置，由不动点指数的保持性和引理2 5 可得 d e g ( ，一彳，& n 层，p ) = f ( 彳，吃n 只，置) - o ， 再由定理2 1 的证明知 d e g ( ，一彳，& n 号，口) 一o 对任意的驴a 气n 只，由引理2 1 和( 2 3 2 ) 式知 ( 却) ( z ) s f 卢( z ) g ( ) ，) j l l ( | ) ，) 咖 o ，且 仍；彳劬+ 驴妒 这与f 的定义矛盾，从而( 2 4 1 ) 式成立 又彳( 或) c p ，由不动点指数的保持性和引理2 5 知 d e g ( ，一彳，气，日) - f ( 彳，n p ，尸) = o ( 2 4 2 ) 令币( x ) 。叮：忌( 工，y ) ( y ) 方，显然驴p 由( 2 3 6 ) 知，彳：c 【o ，1 】_ p 一 多) 定义 j 9 一彳( 9 一多) + 驴，驴c 【o ，1 ， 则彳：c 【o ，1 _ p 由( 2 3 8 ) 知，存在r 2 + 捌i ，o 仃 m 觚 厂2 ，s u p 形+ 例1 ) ，则j 在a 气上没有不动点否则，若存在竹吨，使 得锄一讫，则讫矽且0 砚0 一岛 跚p 形，这与魄哦矛盾由同伦不变性得 d e g ( ，一互& ，口) 暑1 ( 2 蚴 构造全连续同伦 h ( f ，驴) 。彳( 妒一纠+ f 驴，( f ，妒) o ，1 最， 如果存在( 气，仍) o ，1 & 使得日( f o ，讫) 一仍，则彳( 一气多) ：仍一气多，并且有 彳( 仍一气谚+ 驴) 一仍一气莎+ 痧， 因此一f 0 驴+ 谚与0 一气乒+ 硎8 仍8 一( 1 一气) 恫卜吩一悯| s u p 形矛盾由拓扑度的 同伦不变性和( 2 4 4 ) 知， 2 0 东北大学硕士学位论文 第2 章( 七，厅一七) 共轭边值问题的平凡解 d e g ( ，一爿，& ，p ) 一d e g ( ，一日( o ，) ，& ，口) 一d c g ( ，一h ( 1 ) ，& ，口) 一d e g ( ，一彳，& ，口) 一1 ， 从而 。 d e g ( j r 一4 ，& 最，口) 一d e g ( j 一彳，气，p ) 一d e g ( j 一彳，& ，日) = 1 ， 故彳在以最上至少有一个不动点 推论2 5 假设( q ) 和( 日：) 满足，如果存在一个常数6 2 0 ，使得 证毕 巾) 2 一等，v 比蚶， 其中m 2 翟“七( 工，y ) ( y ) 咖，且( 2 3 7 ) ，( 2 3 8 ) 成立，则非线性半正( 七，刀一七) 共轭边 值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少存在一个非平凡解 证明令 ( 砧) = 厂l ( ) ， ( 4 妒) ( z ) ；( 4 妒) ( 工) - f 七( 工，y ) ( y ) ( 伊( ) ，) ) 咖，z 【o ，1 】 由定理2 5 知4 至少存在一个非零不动点痧，满足 矿( z ) ；f 七( z ，y ) ( y ) 厶( 驴( y ) ) 砂乏一等t 七( z ，j ，) ( y ) 砂乏曲 由，4 ( ) 一，l ( h ) 知 厶( 驴( 石) ) = ，( 驴( 工) ) ，x 【0 1 ， 驴( z ) 一f 七( ) ( y ) 厶( 驴( 夕) ) 咖七( 训) j i l ( y ) 厂( 多( y ) ) 方一( 却) ( 工) ， 所以痧( x ) 是非线性半正( 后，聘一七) 共轭边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 的非平凡解 证毕 类似于推论2 2 可得以下推论 推论2 6 假设( q ) 和( h ：) 满足，若存在一个常数6 o ，使得 证明 由( 2 4 5 ) 知，彳( 尸) c p 类似于定理2 5 的证明，令6 。o ，由引理2 5 和引理 2 6 知，存在0 o ，使得 m 跚p 型 凡， - _ o +“ l i m s u p 趔 ，7 ，v d ( z ) r os hs 则非线性半正( 七，以一忌) 共轭边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少存在两个非平凡解 证明 由( 2 4 8 ) 和( 2 4 9 ) 式知，存在0 ，使得当0 s “s 吒时， ，( h ) s 砷， 存在o 吃时，( “) s 却 证毕 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 由定理2 4 的证明可以知道4 ( 尸) c 置现在不妨假设彳在a n 墨和氓n 置上均没 有不动点 由定理2 5 的证明知 v 妒峨n 置，由( 2 5 1 ) 知 d e g ( ，一彳，& n 号，口) = 1 ( 却) ( z ) 苫v ：七( ) | i l ( y ) 驴( y ) 咖一 ( 即) ( 工) ，石 0 ，1 ( 2 5 2 ) 类似于文献1 4 】中定理2 的证明知 彳驴，驴，v 妒a & n e ，p 2 l 2 3 第2 章 ，玎一七) 共轭边值问题的平凡解 东北大学硕士学位论文 从而 由以上可知 d e g ( ，一a ，& n p ，口) 一1 对任意的妒a 乜n e ，由引理2 1 和( 2 5 0 ) 式知 ( 却) ( 工) f a ( 工) g ( y ) j i l ( y ) ，( 驴( y ) ) 加f g ( y ) j i l ( y ) ，7 r o 咖一， 由引理2 8 知 从而 肛驴0 i l 妒0 ，v 9 a 吃n 号， d e g ( j 一4 ，& n 足，口) 一o d e g ( ，一彳，( & n 置) ( 巨n 丑) ，口) ；d e g ( ，一彳，& n 最，口) 一d e g ( ，一彳，巨n 置，口) = o 一1 一一l ， d e g ( ，一彳，( & n 置) ( 或n 丘) ，口) t d e g ( ，一彳，n 置，口) 一d e g ( ，一彳，气n 置，口) ；l o = 1 ， 故彳在( & n 墨) ( 互n 丑) 和( n 置) ( 瓦n 置) 上至少存在两个不动点即非线性半正 ( 七，以一七) 共轭边值问题( 2 1 ) 也2 ) 至少存在两个非平凡解 2 4 证毕 ( 一1 ) 一妒 ( x ) = j i t ( 工) 厂( 妒( x ) ) ，o z l 矗2 ，o 七 厅， 妒( ( o ) 一妒1 7 ( 1 ) 一o ，os f 墨七一1 os ，万一七一1 ( 其中允许 ( z ) 在z o 和z 一1 奇异) 在满足下面两个条件时对称解的存在性 ( 日。) 。j l 峻( o ，1 ) ，j i l ( z ) o ，j i l ( 工) 在( 0 1 ) 上对称，且 o f g ( z ) ( x ) 出 ， ( 3 4 ) h 翟p l 掣卜 则非线性半正( 七，l 一七) 共轭边值问题( 3 1 ) - ( 3 2 ) 至少存在一个对称解 证明 由定理2 1 的证明可知，当( 皿) ，( h ：) 满足且( 3 3 ) 一( 3 5 ) 成立时，非线性半正 ( 七，z 一七) 共轭边值问题至少存在一个非平凡解伊o ) ，现在将( h 。) 条件加强为( h 。) 。时， 由引理3 1 可知，9 ( z ) 是非线性半正( 七，几一七) 共轭边值问题( 3 1 ) - ( 3 2 ) 的对称解 证毕 定理3 2 假设( 日。) 和( 日：) 满足，如果存在常数6 o ，使得 ，( “) 2 而，v “( 一，+ ) ， ( 3 6 ) 2 7 兰! 主竺：! 二! ) 共轭边值问题的对称解 东北大学硕士学位论文 一一 ：二： w 铲 ， ( 3 7 ) 唑掣掣 ( 3 8 ) _ + 以 。 、7 员i j 非线性半正( 七，刀一七) 共轭边值问题( 3 1 ) ( 3 2 ) 至少存在一个对称解 证明 由定理2 5 的证明可知，当( q ) ，( h ：) 满足且( 3 6 ) ( 3 8 ) 成立时，非线性半正 ( 七，以一七) 共轭边值问题至少存在一个非平凡解伊( x ) ，现在将( q ) 条件加强为( q ) 时， 由引理3 1 可知，妒( x ) 是非线性半正( 七，刀一七) 共轭边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的对称解 - 2 8 东北大学硕士学位论文第4 幸应用举例 第4 章应用举例 第2 章讨论了非线性半正( 七，咒