（基础数学专业论文）温度为正值情形一维非单调流体模型在h2中解的整体存在性.pdf

河南大学颁十学佗论文 摘要 本文考虑中子星的一维连续模型，它是由于粒子间有效的s k y r m e 核作用所形 成，该模型由一可压缩的带有非单调状态方程的n a v i e r s t o k e s 方程组的l a g r a n g i a n 形式所描述。即 u t 一2o ， 仇一= 0 ， ( e + 萼) ，一c a ”k + q 。= 。 我们将证明：在温度为正的情况卜，塔管有非单调的而且非恒正不稳定的压力 的影响和粘性的出现，充分的热耗散n 】以充分描述带有混合自由边界模型解的整体 存在性。 全文共分二章。 引言部分简要介绍本文所考虑模型的物理背景。第一章主要介绍本文的主要结 果，状态方程所具有的一些性质以及文中所使用的一些记号，并且简要叙述了与本 文相关或相近的模型已有的一些主要结果。第二章是本文的主要内容，在充分利用 引理2 1 中的结果和一些常用不等式的基础上，采用能量方法得到一系列先验估计 再结合引理2 ，1 中结果得到混合自由边界模型在空间日2 中解的整体存在性。 另外文章在最后附录部分给出了文中反复用到的一些重要的不等式。 关键词：非单谢流体；混合自由边界模型；整体存在性；先验估计 河南大学顾十学佛沦文 a b s t r a c t w ec o n s i d e rao n e d i m e n s i o n a lc o n t i 肌o u sm o d e lo fn u t r o ns t a r ，d e s c r i b e db yac o 卜 p 卿i b l en a v i e 卜s t o k e ss y s t e mw i t han o n - m o n o t o n ee q u a t i o no fs t a t e ，d l l et ot h e e f f b c t i v e s k y r m en u c k a ri n t e r a c t i o nb e t w e e np 龃t i c l e s “一= o ， 巩一盯z = 0 ， ( e + 譬) 。却吐+ q - o w b 谢us h o wt h a t ，d e s p i t eap o s s i b l ed e s t a b i 王i z i n gi 丑u e c eo ft h ep r e s s u r e ，w h i c hi s n o n _ m o n o t o n ea n dn o ta l w a y sp o s l t i v e ，t h ep r e s e n c eo fv i s c o s i t ya n das u m c k n tt h e r m a l d i 蹈i p 8 t i o d e s c r i b et h eg l o b a le ) c i s t e n c eo fs o l u t i o n sw i t ham i ) c e df r e eb o u n d a r yp r o b l e m f o ro u rm o d e l t h e r ea r et w oc h a p t e r si nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ep h 咿i c a lb a c k g r o u n dt oo i l rm o d e li sd e s c r i b e di nt h ei n t r o d u c t i o n i nt h e6 r s t c h a p t e r ，w en o to l i l ys i m p l yi n t r o d u c et h em a i l ir e s i i l t ，s o m en o t a t i o 璐a n dt h eq u a l i t a t i p r 叩e r t i e so ft h es t a t ee q u a t i o n s ，b u ta l s od 嗍c r i b es o m er e s u l t sr e l a t e dt oo u rm o d e l t h es e c o n dc h a p t e ri st h em o s ti m p o r t a n tp a r t i nt l i i sc h a p t e r ，b 蒯o nt h el e m m a21 a n ds 0 眦f 啪i l i a ri m p o r t a n ti n e q u a l i t i e s ，w eg e ts o l ee s t i m a t e sb ye n e r g ym e t h o d sa n d c o m b i n ei tw i t ht h el e m m a2 1 ，t h e nw eo b t a i nt h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o l l st o o l l r m o d e l 耐t ham k e d 丘e eb o u n d a r yp r o b k m i a d d i t i o n ，w eg i v es o m ei m p o r t a ti n e q u a l i t i e sw h i c hh a v eb e e nu s e d 矗e q u e n t l yi n t h i sd i s s e r t a t i o n k e y w o r d s ：n o n - m o n o t o n e 且u i d ； m i x e d 丘e eb o u n d a r ym o d e l ； g l o b a le x i s t e n c e ； p r i o r ie s t i m a t e s i i 河南大学颀十学何论文 引言 近年来，人们对于流体力学中关于重离子问低能量核撞击的描述已经作了大量 的工作，因为这种撞击可以导致核物理学家所希望的、感兴趣的相变现象【1 】，利用 它可以模拟经典流体中的浓缩成核过程。当然，原了核只是个有限的系统。但人们 认为：流体力学的理论可以由大量的原子核的丰几互作用而得h ，尽管这种原子核临 近于不稳定状态，而事实上，近来核物理学家们仍然可以通过实验而得到它们。另 外，这种近似流体成立的另一种物体环境是中子星天体学，这时它可以被看作为一 个巨大的原子核。 一般情况下，原子核是由带电的质子和不带电的中子这两种物质所构成的对称 均匀的混合体。我们考虑对两种粒子都起作用的短距离的核作用( 这里我们简称为 s k y r m e 核作用，还有跃距离的c o u l o r r l b 作用，它 在两带电粒子( 质子) 间起作 用。而在中子星环境里人们忽略质子的存在，因此，c o u l o m b 外部区域不考虑。一 维几何问题是简单的而又吸引人的的情形，其一卣被核物理学家考虑用以验证更现 实的情形 3 】o 在文献【4 】中作者提山了一个原子核的二维流体力学模型。由量子效 应得到了带有某些特征的n j 压缩的n a v i e r s t o k e s 方程组，在本文我们考虑的是中了 星的一维连续模型，并目按照文献7 1 思想在我们的模型中假定有粘性的m 现和热 效应的影响。 河南大学颇十学位论文 第一章模型及主要结果 我们的工作是：在温度为正值的情况下，尽管有非单调的而日非恒正不稳定的 压力的影响和充分的热耗散和粘性的山现，得到带有混合自由边界模型的解在日2 空间的整体存在性。 下面我们考虑熟知的由质量、动量以及能量的守恒得到的n a v i e r s t o k e s 方程组 的l 8 9 r a n g i a n 形式 “一= 0 ，( 1 1 ) 嘶一盯? = 0 ，( 1 2 ) ( e 十萼) 。一( 一”) 。+ q 。= 。， ( - s ) 边界条件为 z = o ： = o ，口= 百，( 1 4 ) z = l ：口= 一p 1 钆= o ，( 1 5 ) 初始条件为： = o ：u = u o ( z ) ，u = 如忙) ，口= 目o ( z ) ( 1 6 ) 由热力学第二定律知道，( 1 1 ) 一( 13 ) 中的变量须满足卜列c l a u s i u s d u h e m 不等式 仇+ ( 缸 0 ( 1 7 ) 这里，u ， ，以e ，q ，目和日分别代表比容，速度，应力，内能，热流量，熵和绝对温 度，其中i ，p 为正常数。 对一维非单调流体而言，e ，以q 和q ( u ，目，如) 由卜列本构关系给出 口( 叩，口) = _ p ( n ，目) + p 鲁， ( 1 8 ) p ( u ，日) = p 1 ( “) + p 2 ( u ) 目， ( 1 9 ) 其中 p 小) = 知。+ 。+ 等( 莩沌一，咖) 一， 河南大学颐十学位论文 e ( u ，仆知一+ 去咖。+ 蔫( 莩电e m + 啦 ( 1 1 0 ) 其中常数t o o ，c 。= 鲁r ，并且e m 是正常数，对vo 。，o p o 。 通过适当选取要保证e ( “，口) 兰o 。在( 1 8 ) 式中第一项是有效压力，第二项是粘性 应力，可由核撞击模型导出【9 1 。在( 1 9 ) 式中，常数妣3 是有效的核作用参数( 在 文献 3 】中称为s k y r m e 作用) ，对于单一特殊的气体来说，最后一项是在高温情况 f 退化f e m i 气体的极好的气体项，r = 是b o l t z m a n 常数。函数p ( u ，目) 和e ( u ，口) 由熟知的h e l m h o l t z 自由能量函数皿( “，口) 定义。即函数p ( u ，日) = 一0 皿( u ，口) a “和 e ( ，日) = 皿( u ，目) 一口( a 雪( “，日) a p ) ，这里 皿( n ，目) = 一岛日1 0 9 日+ c 1 日+ q 1 ( “) 占+ 驰( ) ， 口l ( u ) _ 胁“q 2 ( u ) = 扣。1 + 扣。+ 羔( 等向一 热流量由下式给出 口( u 1 目，如) ：一坚，( 1 1 1 ) 这里k ( 日) 满足下列增长性条件 尤l ( 1 + 目4 ) 茎k ( 札，曰) 曼k 2 ( 1 + 曰4 ) ，( 1 1 2 ) ik 。( u ，口) l + l 代o ( u ，目) i + lk 。( “，目) i + ik 。日( u ，口) i + i 相口( u ，p ) l 2 ( 1 + p 9 ) 正指数口用来测度热耗散目要求取值足够大以确保方程纽解的整体存在性和物 理意义上的渐近性。 相容性条件为 口( u o ， o ，如) ( 1 ) = 一p 如( o ) = 0 ，目o ( o ) = 日，日( 1 ) = o ( 1 1 3 ) 我们的目的是要证明如卜定理 定理1 假定e ，n 口，k 都是c 2 函数，对于o “o 。，o o ，在这里小的扰动可能会 增长。即存在两点u 。( p ) 和n m ( p ) 满足( 孔) ( “。，目) = ( 却孔) ( “m ，p ) = o 台：区 间o u u 。对应稠密区域，u 。 “m 对应不稳定区域：而“吖 u 对应稀释 区域，这两种状态被( u 。，p ( u 。，口) ) 和( “m ，p ( u m ，日) ) 这两点所定义的s p i o d o l 曲线 所分离。 这样，我们有 河南大学颁十学何论文 p u ( ， o ， o u m ，“吖 o ，珥n 0 这里一。 o ，8 o ( 1 1 7 ) 在证明我们的主要定理之前，我们先定义如下空间 上吐= ( 珏， ，口) 日1 i o ，1 】日1 ( o ，1 1 h 1 【o ，1 】；“( z ) o ，口( z ) o ，z 【o 1 j ， i z = o = o ，口i 。：o = i ，口l 。；l = 一p 1 如i 。：l = o f 蜉= ( 缸， ，口) 日2 【o ，1j 日2 o ，1 】日2 【o ，l 】；札( z ) o ，曰( z ) o ，。 o ，1 】， i z = o = 0 ，日i 。：o = 口，口l 。：l = 一p ，以i 。：l ：o 本文采用如下记号：护，1 兰p + 。，日1 = 1 一础= 嚼2 表示通常的s o b o i e v 空间：lj = 怯字母e ，g 1 ，凸表示仅与初值有关的正的通用常数，e - ( t ) ，q ( t ) 表示与时间t 和初值有关的正常数。 a 河南大学顾十学位沦文 第二章定理1 及其证明 2 定理1 的证明 在本章我们将完成定理1 的证叫，该问题在空间艘中关于解的局部存在性按常规 方法可以得到，故本问题的证明只需要如下先验估计成立即可。我们先从如下引理 开始我们的证明。 引理2 1 假定( u o ， o ，) 吐且条件( 1 8 ) 一( 11 3 ) 成立，则问题( 11 ) 一( 17 ) 存在唯一整体解( u ( t ) ， ( t ) ，日( t ) ) 日i 满足：对vt o ，有 | | t 0 ) i f 备- + i i 。o ) 0 备- + 1 1 日( t ) i l 备- ，# + ( i l “i i 备：+ l i 0 备：+ i i 口i i 备。+ o 仇1 1 2 + i i 巩0 2 ) ( s ) d s g l ( t ) ， v t o ，引，( 2 1 ) j o c f l 口( z ，t ) g 1 ( t ) ，v ( 卫，) 【o ，l 】【o ，卅， ( 2 2 ) e f l u ( z ，t ) 。，p 1 ，q l ，且；+ ；= 1 则有 n b 0 ，在上述不等式中用e 1 p n 和e 一1 代替口和k 可得 带e 的y 0 u n g 不等式设。 。，6 。，p l ，g 1 ，且；+ ；= 1 则有 曲型+ 翌竺e 扩+ 一口9 护 特别地，当p = 口= 2 时，它变为 曲；0 2 十扭 称之为带s 的c a c h y 不等式 h 6 l d e r 不等式设qcr “为一可测集，p 1 ，q 1 ，日；+ ；：1 若 ，e ，( n ) ，9 l 4 ( n ) ，且，g 1 ( n ) ，且 l ，( z ) g ( z ) ld 。| | ，( z ) 1 l 工，( n ) | | g ( z ) l i l 。( f 2 ) j n 特别地，当口：口= 2 时，它变成 称之为s c h w a r z 不等式 p o i n c a 砖不等式设l 兰p 0 ，则 ，c e ( ) se m 。( e ( o ) + f ( 3 k m 8 d 5 ) ，v 【o 卅 j 0 1 8 【l 】 2 l 3 l 参考文献 s i e n l e i l sp jl i q u i d g a sp h a s et r a n s i i o ni nn u c l e 小m a 址e rn a t r u e1 9 8 3 ：3 0 5 ：4 1 0 4 1 2 r i 【l gp ，s c h u c kp t h en u c l e a rm a n y b o d yp r o b l e m s p r i n g g e r ：b e r l i n ，1 9 8 0 b o n c h ep ，k o o n i ns ，n e g e l ej w o n e _ d i m e n s i o n “n u c i e a rd y n a m i c si n 山et d h fa p p r o x i m i t i o n p h s i c a lr v i e wc1 9 7 6 ：1 3 ：1 2 2 6 - 1 2 5 8 d u m e tbs i m p l i 矗e dm o d e i so fq u a n t u mn u c l e a rn u i d si nn u c l e a rp h y s i c s ，t oa p p e a ri n a p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c s ( 2 0 0 1 ) d u m e tbg l o b a le x i s t e n c ef o ras i m p l i 丘e dm o d e lo fn u c l e a rn u i di no n ed i n l e n s i o nj o u r n a l o fm a t h e m a t i c “f l u | dm a 山e m a t i c s2 0 0 0 ：2 ：l 1 5 d u c 0 瑚e tb a s y m p t o t i cb e h a v i o u rf o ra 丑u i dw i t hn o nm o n o t o n ep r e s s u r e ，t oa p p e a ri nt h e p r o c e e d m 擎o ff i r s tf r a n c o _ c z e c hc o n f e r e n c eo nm a t l l e m a t i c a lf 1 u i dm e c h a n i c s ( m a r s e i l b n a i l c e ) ( 2 0 0 1 ) w b n gc y ，m a r u h nj a ，w j l t o nt a d y n a m i c so fn u c l e a r 丑u i d si f 0 u n d a n s n u c l e a rp h y s i c s 1 9 7 5 ：a 2 5 3 ：4 6 9 4 8 9 d u c o m e tb g l o b a le x i s t e n c ef o ras i m d l m e dm o d e lo fn u c l e a rb u i di no n ed i m e n s i o n ：t h e t 0c a 船，t oa p p e a ri m a t h e m a c i c ab o l l e i i l i c a ( 2 0 0 l ) h 舾靶f 州a p p r o a c h e st oi l u c l e a rf r i c t i o nr e p o r 拈o i ip r o g r e s si np h y s i c s1 9 7 8 ：4 l ：1 0 2 7 一l l 叭 s u r e a ue l am a t 衙en u c l a j r e ：d e s t o i ka u xn o y a u x h e m a n n ：p a r i s ，1 9 9 8 k g w o h lb g l o b a le x i s t e n c eo fl a f g es o 【u t i o st oi i t i a lb o u n d a r yv “u ep r o b l e m sf o r8v i s c o u s h e a t - c o n d u c t i n go n e d i m e n s i o n a lr e a lg 蹦j o u r n a lo fd i f r e r e n t i 甜e q u a t 沁n s1 9 8 5 ；5 87 6 _ 1 0 3 j i a n gs o ni n i t i a lb o u n d a r yv 赳u ep r o b l e m sf o rav i s c o u sh e a b c o n d u c t i n go n e - d i m e 帖i o n a l r e a lg a s j o u r n a lo fd i j r e n t l a le q u a t i o n s1 9 9 4 ；1 1 0 ：1 5 7 _ 1 8 1 d a f e r m o sc ，h x l a dl g l o b a ls m o o t h i l e r m o n l e c h a n i c a lp r o c e s s e si no n e d i m e s i o n a ln o n l i n e 8 rt h e r m o e i a s t i c i t 弘n o t l l i n e a ra n a l y s i st h e o r y i e c h o d sa n da p p i i c a t l o n s1 9 8 2 ；6 ：4 3 5 4 5 4 雪i l h a v 雪m t h em e c h a n i c sa n dt h e r m o d y n a i n i c s “c o n t i n u o u sm e d i a b e r i i ns 州n g e r ，1 9 9 7 h s i a 0l ，l u ot l a r g et i m eb e h a v i o u ro fs o l u t i o n st ot h ee q u a t i o l l so fo n e d i r l l e n s i o n a ln o n l i n e 缸t h e r m o v i s c o e l a s t i c i t yq u a r t e r i yo fa p p l i e dm a 山e m a t i c s1 9 9 8 ：6 l ：2 0 l 一2 1 9 s h e nw ，z h e n gs ，z h up g 1 0 b a le x i s t e n c ea n d 蹦y m p t o t i cb e h a v i o u ro fw e a ks o l u t i 。n st o n o n l i n e a rt h e r m a v i s c o e l a s t i cs y s t e m sw i t hc l a m p e db o u n d a r yc o n d i t i o n sq u a r t e r l yo fa p p l i e d 卅 别 剜 可 剐 卅加 n j m “ ” 埔 河南大学顾十学何论文 m a t h e m a t i c s1 9 9 9 ：5 7 ：9 3 - 1 1 6 【1 7 l y u m i n gq i n g i o b a le x j s t e n c ea n da s y m p t m i cb e l l a v 沁u ro fs o l u t i o n st oas y s t e mo fe q u a - t b l l sf o rbn o n l i n e a ro n e i d i m e n s i o n a jv 沁c o u sh e a t c o n d u c t i n gr e a j g a s ，c h i n e s ea n n a l so f m a t h e m a t i c s ，2 0 a ( 1 9 9 9 ) ，3 4 3 - 3 5 4 1 8 】 d u c 0 l e tb a s y m p t o t i cb e h a v i o u rf o ran o n m o n o t o n e 丑u i di no n e _ d i m e n s i o n ：t h ep o s i t i v e t e m p e r r a t t l r ec 嘲，m a t hm e t ha p p l s c i2 0 0 l ；2 4 ：5 4 3 5 5 9 ( d o i ：1 0 1 0 0 2 m m a 2 2 7 ) 【1 9 】y 唧i 1 1 9q i n g l o b a le x i s t e n c ea n d 蹦y m p t o i cb e h a v i o u rf o r av i s c o u s ，h e a t c o n d u c t i v e ， o 争d i m e i l s 沁n a lr e a lg 够w i t h 丘x e da n dt h e r m a i l yi n s u l a t e de n d p o i n t s ，n o n l i n e a ra n a l p i s t m a ，4 4 ( 2 0 0 1 ) ，4 1 3 - “1 2 0 jy m n i n gq i n g l o b “e ) c i s t e n c eb n da s y m p t o i cb e h a v i o u ro fs o l u t 沁n st o 岫es y s t e mi no n e _ d i l e 衄i o n a ln o n j i n e a rt h e r n l o v i s c o e l a s t i c i t yq u 盯t a p p l m a t h5 9 ( 2 0 0 1 ) ，1 1 3 - 1 4 2 【2 1 is o n g 咖z h e n ga n d1 n 嘶n gq i n ，m a 妯n l a ia t t r a c t o rf o rt h es y s t e mo fo n e _ d i m e n s i o np o l y _ t r 印kv i s c o u si d e a l 吕衄，q l l a r t a p p l m a 岫5 9 ( 2 0 0 1 ) 5 傅5 9 9 【2 2 ls o n g m uz h e n ga n dy h m i n gq i n u n i v e r 踞la t t r 舵t o rf o rt h en a v i e r - s t o k e se q u a t i o 芏l so fc o p r e 鼯i b l ea n dh e a tc o n d u c t i v e 日u i d si nb o u n d e da n n u l a rd o m a i l l si nr ，i ，a r c h r a t i o n a l m e c h a n a l ，1 6 0 ( 2 0 0 i ) ，1 5 3 _ 1 7 9 【2 3 jy 哪i n gq i n g i o b a l 瓤i s t e n c ea l l d 柏y m p t o t i cb e h 8 v b u rf o rbv o 懈h 帆t c o n d u c t ；n go 脾 d i m e 璐i o n a lr e a lg a sw i t h 丘x e da n dc o f l s t a n e m p e r a t u r eb o u n d a r yc o n s d i i o n s a d v 8 n c ei n d i 丘b r e n t i a le q u a t i 0 i l s ，7 ( 2 0 0 2 ) ，1 2 9 - 1 5 4 2 4 jy u m i n gq i na n dj l i 1 ee m m v e r a ，u n i r s a la t t r a c t o rf o ran o n l i n e a r h e a t c o n d u c t i n go n e _ d i m e 船i o n a iv i s c o l