（基础数学专业论文）三角banach代数上的jordan映射.pdf

摘要 本文研究三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射。全文共分四节 第一节介绍了一些基本概念和研究背景第二节和第三节研究套代数上保j o r d a n 型乘积双射的可加性，证明了套代数的标准予代数上保j o r d a n 乘积和保三元j o r d a n 乘积的双射具有自动可加性第四节给出了三角b a n a c h 代数上满等距j o r d a n 同构的 一般形式，并证明了一些特殊的三角b a n a c h 代数上满等距j o r d a n 同构的酉空间实现 性 关键词；三角b a n a c h 代数，套代数，标准予代数，j o r d a n 映射，j o r d a n 同构，可 加性 作者：凌征初 指导教师：陆芳言( 副教授) j o r d a nm a p so f t r i a n g u l a rb a n a c ha l g e b r a s a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n gj o r d a n m a p so ft r i a n g u l a rb a n a c ha l g e b r a s ，i t c o n s i s t so ff o u rs e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c es o m e p r e l i m i n a r i e sa n db a c k g r o u n d i nt h es e c o n d a n dt h i r ds e c t i o n s ，i ti sp r o v e dt h a te v e r yb i j e c t i v em a p p i n g p r e s e r v i n gj o r d a np r o d u c t a n d o r j o r d a n t r i p l ep r o d u c to f s t a n d a r ds u b a l g e b r a so f n e s ta l g e b r a s i sa d d i t i v e i nt h e f i n a ls e c t i o n ，w e g i v et h e f o r mo fs u r j e c t i v ei s o m e t r i cj o r d a n i s o m o r p h i s m s o i lt r i a n g u l a r b a n a c ha l g e b r a s ，a n dp r o v et h a ts u c hi s o m o r p h i s m sa r eu n i t a r i l yi m p l e m e n t e di ns o m e s p e c i a ic a s e s k e y w o r d s ：t r i a n g u l a rb a n a c ha l g e b r a s ，n e s ta l g e b r a s ，s t a n d a r ds u b a l g e b r a s ，j o r d a n m a p s ，j o r d a ni s o m o r p h i s m s ，a d d i t i v i t y l l w r i t t e nb yl i n gz h e n g c h u s u p e r v i s e db yl uf a n g y a n ，6 4 6 0 47 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：盔! ! 墅日期：! ：! ：! ：) 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：壑! 兰。塑日期：坐i ：1 导师签名。倒差日期，口孽：垂：移 1 绪论 本文，设咒是一h i l b e r t 空间，b ( n ) 表示丸上所有有界线性算子构成的代数， 熟知这是一个b a n a c h 代数我们用j 表示咒上的恒等算子设z ，y 7 ，则一秩算 子z o y 定义为 ( z o y ) z = ( z ，g ) z ，z 7 上的套 厂是包含0 和j 而且在强算子拓扑下是闭的投影链设n ，定义 _ = v m ：m ) 规定，0 一= 0 ，0 = i 若对所有的n 都有_ = n ，则称是连续套与套 相应的套代数丁( ) 定义为 t ( a f ) = t b ( n ) ：t n = n t ，v n ) 丁( 中有限秩算子的全体记为芦( ) 丁( ) 的子代数称为标准子代数如果它包含 ，- 厂) 显然，乃0 v ) 本身就是一个标准子代数 1 9 6 0 年代中期，j p d n 伊o s e 发表的“o n s o m ea l g e b r a so f o p e r a t o r si ，i i ” 2 7 ，2 8 ， 开创了对套代数的研究相对于其它算子代数，套代数的数学现象更丰富，方法也更 多样，并且与其它数学分支也有各种紧密的联系因此很快成为算子代数的一个重要 分支，吸引了一大批数学家投身其中，发表了大量的研究成果k r d a v i d s o n 的专 著n e s ta l g e b r a s ( 1 9 8 8 年) 系统地总结了前2 0 年的研究成果下面的命题给 出了套代数中有限秩算子的刻划 命题1 1 ( 【5 】) 设是“上的投影套， ( 1 ) 一秩算子z y 丁) 当且仅当存在n ，使得z 一咒，y n 1 咒， 这里n 上= i n ( 2 ) ( e r d o s 稠密性定理) ，0 在丁0 叼中强稠密 设是咒上的投影套，n o ，) ，则由定义可见在空间分解w = n t n 1 “ 下，丁( ) 呈上三角算子矩阵的形式。即 丁c ，= 气1 凳 ：t n t ( a r ，n , t v z n t ，1 ，如z 1 丁c ，1 ) 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 1 绪论 受此启发， b e f o r r e s t 和l w m a r c o u x 在 6 中引入了三角b a n a c h 代数的 概念 设4 和嚣是b a n a c h 代数，m 是界为1 的b a n a c h ( a ，1 3 ) 一模，即m 是b a n a c h 空间；m 是4 左模；m 是髓右模；对任意的a 4 ，m m ，b 8 有 i a m b i i i i a f m i b i i 定义 t r i ( 4 ，h 4 舻m a 针肛a m e 邶印 对t r i ( a ，hi ，b ) 赋予通常的矩阵运算和范数 fff 吾等1f f = i 4 “+ i f “+ f f b m 则它成为一个b a n a c h 代数，称之为三角b a n a c h 代数b e f o r r e s t 和lw m a r c o u x 在 6 中研究了三角b a n a c h 代数上的导子，文 4 ，7 ，24 分别研究了三角 b a n a e h 代数上的交换映射，弱顺从性和等距同构本文我们将研究三角b a n a c h 代数 上的j o r d a n 映射 设4 是一个代数，a ，b 4 ，定义j o r d a n 乘积：a 。b = ；( a b + b a ) 在此 乘积下，4 成为j o r d a n 代数，见【1 0 】对代数的j o r d a n 结构的研究，主要是研究 j o r d a n 乘积和代数的原乘积及加法之闫的关系对b a n a c h 代数, j o r d a n 结构的研究 起始于r v k a d i s o n 1 1 】，近来j a r a z y 和b s o l e l 发现b a n a c h 代数的j o r d a n 结 构和其几何结构有着密切的联系 2 因此，对b a n a c h 代数j o r d a n 结构的研究不仅 能进步揭示代数的代数性质，而且也必能进一步揭示其几何性质 本文主要研究三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 型映射 在第二节和第三节中，我们研究套代数上保j o r d a n 型乘积的双射的可加性设 4 是一个代数，a ，口，c ，r 是非零的有理数定义广义j o r d a n 乘积：ao ，b = r ( a b + b a ) ，和广义三元j o r d a n 乘积： a b c ) ，= r ( a b c + c b a ) ( r = 1 时，是 标准的三元j o r d a n 乘积) 考虑代数4 到代数嚣的双射若对任意的a ，b 4 有 庐( ao rb ) = 庐( a ) o ，妒( b ) ，则称砂是r 次j o r d a n 双射；若对任意的a ，b ，c a 有 妒( 似口a ) ，) = 妒( a ) 咖( b ) 庐( g ) ) ，则称庐是r 次三元j o r d a n 双射显然，当咖可加 时，庐是r 次( 三元) j o r d a n 双射等价于是1 次( 三元) j o r d a n 双射 j o r d a n 型双射的可加性得到了广泛的研究文 8 ，9 研究了没有交换的直和因子 的v o nn e u m a n n 代数间5 1 次j o r d a n 双射的可加性l m o l n 盍r 【2 1 证明了b a n a c h 空间上标准子代数间 次j o r d a n 双射是可加的，这一结果被证明对1 次j o r d a n 双射 2 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 1 绪论 也是正确的f 1 4 文f 15 j 研究了般代数上r 是任意的情形以上文献中，所研究的 代数都含有非平凡的幂等元在这两节中，我们将分别证明套代数的标准子代数上的 r 次j o r d a n 双射和r 次三元j o r d a n 双射是可加的注意，对连续套来说，l 厂) 中不含幂等元因此，这是有意义的结果 事实上，对环中乘法结构和加法结构这两者之间的关系的研究可追溯到w m a r - t i n d a l e 2 0 】，他证明了每个从包含非平凡幂等元的素环到任意环的可乘双射都是可加 的，进而它是环同态利用这个结果。p s e m r l 在文【2 2 】中刻划了b a n a c h 空间上标 准子代数间的半群同构的形式最近，陆芳言和谢金海 1 9 】将这个结果推广到了不含 幂等元的情形 在第四节中，我们研究三角b a n a c h 代数上的等距j o r d a n 同构代数4 到代数 嚣的线性映射妒称为j o r d a n 同态，若对任意的a ，b 4 有( a 。b ) = 咖( a ) o ( 日) 单满的j o r d a n 同态称为j o r d a n 同构显然，代数同态和反代数同态都是j o r d a n 同 构，但反之不然对j o r d a n 同态的研究始于a n o c o c h a 1 】_ 许多作者研究了环之间的 j o r d a n 同态和同构，有兴趣的读者可参看文 3 及其参考文献他们的主要结果是从 一个环到素环的满j o r d a n 同态是同态或者是反同态。以及局部矩阵代数上的j o r d a n 同态是同态和反同态的和r v k a d i s o n 在【1 1 中证明了v o n - n e u m a n n 代数间的 等距j o r d a n 同构是代数同构或是反代数同构，j a r a z y 和b s o l e l 在【2 证明了套 代数问的等距j o r d a n 同构也是这种形式最近，陆芳言证明了这个结论对套代数间 的j o r d a n 同构也是成立的【1 7 ，1 8 】b s o l e l 在 2 9 证明了交换子空间格代数间的等距 j o r d a n 同构是一个同态和个反同态的和。本节，我们将给出三角b a n a c h 代数上等 距j o r d a n 同构的形式 关于j o r d a n 同态，有以下些基本性质 命题1 2 设4 和b 是代数，妒：a - b 是线性映射 ( i ) 咖是j o r d a n 同态，当且仅当对任意的a 一4 有庐( a 2 ) = 妒( a ) 2 ，当且仅当对 任意的a ，b a 有( 4 0 l b ) = 妒( a ) 0 1 咖( b ) ( i i ) 若是j o r d a n 同态，则对任意的a ，b ，c a 有妒( a b a ) = 咖( a ) 毋( b ) 妒( a ) 和( a b d h ) = 庐( a ) 庐( b ) ( g ) ) 3 是 2套代数上的j o r d a n 映射 本节我们研究套代数的标准子代数上保j o r d a n 乘积的双射的可加性主要结果 定理2 1 设他是实或复的维数大于1 的h i l b e r t 空间，4 是咒上的套代数 r ( 厂) 的标准子代数，冗是有理数域上的代数且r 是非零有理数，若映射曲：a _ 佗 是r 次j o r d a n 双射，即满足 咖扣( a b + b a ) ) = r ( 咖( a ) 庐( b ) + 币( 丑) ( a ) ) ，a ，b 么， 则咖是可加的 我们将以若干引理的形式给出定理的证明，在每个引理中，a 如定理所述 第一个引理是平凡的 引理2 2 庐( o ) = 0 证明因为是满射，所以存在a a 使得庐( a ) = 0 于是币( o ) = 西( oqa ) = ( o ) o ，( a ) = ( o ) o ，0 = 0 证毕 下面的引理是关键性的 引理2 3 设s ，a ，b 4 满足( s ) = ( a ) + ( b ) ，则对任何t a ，有 妒盯( s t + t s ) ) = 咖( r ( a t + t a ) ) + 咖( r ( b t + t 日) ) 证明用( t ) 分别左乘和右乘妒( s ) = 咖) + 毋( b ) 我们得到 毋( t ) 多( s ) = 曲( t ) 妒( a ) + 爹( t ) ( b ) ， 妒( s ) ( t ) = 妒( a ) 毋( t ) + 庐( b ) ( t ) 两式相加可得 毋( t ) ( s ) + ( s ) 妒( t ) = = 妒( t ) 爷( a ) + 咖( a ) ( t ) + 庐( t ) ( b ) + 咖( b ) 庐( t ) 因为多是r 次j o r d a n 映射我们有 妒p ( s r + t s ) ) = 咖( r ( a r + t a ) ) 十p ( 占r + t 口) ) 证毕 4 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 2套代数上妁j o r d a n 映射 以下，我们设j r o ，j ) 记丁= 丁，嚣= 芦( 厂) 固定e 0 ，n 令 五i = e t e ，五2 = e 丁( j e ) ，7 ；2 = ( f e ) t ( i e ) ，则有丁= 五2o 五2o 瓦2 类 似地，定义召b 1 2 ，8 2 2 同样有嚣= b t 2 0 8 1 2 0 岛2 下述的两个引理引自( 1 3 引理2 4 设码7 吾，1si 曼j 冬2 ( i ) 如果n t b 2 = 0 ，则r l l = 0 ( i i ) 如果8 1 2 t 2 2 = 0 ，则乃2 = 0 ( i i i ) 如果舀1 1 五2 = 0 ，则五2 = 0 ( i v ) 如果正2 岛2 = 0 ，则丑2 = 0 引理2 5 设死氕，i = 1 ，2 如果甄肠严0 或玩正 _ 0 ，则珏= 0 引理2 6 设s = s n + s 1 2 + $ 2 2 7 一 ( i ) 如果对任意t 1 l b s a i + 五1 s = 0 ，贝0 $ 1 1 = s 1 2 = 0 ( i i ) 如果对任意噩2 魄2 ，s 死2 + 乃2 s = 0 ，则研2 = 岛2 = 0 证明仅证( j ) ，类似可证( 吼由e r d o s 稠密定理，在8 中存在有限秩算子网 r ) ， 使得s o t - l i r a 。r = 1 对等式s e 凡e + e f o e s = 0 取极限得s e + e s = 0 进而 2 s u = e ( s e + e s ) e = 0 ，$ 1 2 = ( s e + e s ) ( i e ) = 0 证毕， 引理2 7 设8 i j ，1 i j 2 ，则妒( b l t + b 1 2 ) = 庐( b 1 1 ) + ( 日1 2 ) ， ( b 2 2 + b 1 2 ) = 庐( b 2 2 ) + ( _ b 1 2 ) 证明因为毋是满的，所以存在s = s l l + s t 2 + s 如4 ，使得 妒( s ) = 妒( b 1 1 ) + ( b 1 2 ) ( 2 1 ) 设孔2 玩2 ，利用( 2 1 ) 式，由引理2 2 和引理2 3 得 庐( r ( 乃2 s + s 正2 ) ) = ( r ( 乃2 b l l + b l l 疋2 ) ) + 驴( r ( 正2 8 1 2 + b 1 2 殇) ) = 毋( o ) + 妒( r b l 2 疋2 ) = 咖( r b l 2 r 2 2 ) 从而死2 s + s t 2 2 = b 1 2 乃2 进而了1 船$ 一b 1 2 ) + 一b l 2 ) 2 k = 0 由引理2 8 ( i i ) 锄= 0 ，s 1 2 = b 1 2 如果噩2 日1 2 ，利用( 2 1 ) 式，由引理2 2 和引理2 3 得 ( r ( 矸2 s + s 丑2 ) ) = ( r ( 孔2 b l l + b l l 丑2 ) ) + 庐( r ( 矸2 8 1 2 + b 1 2 ) ) = 妒( r b - 正z ) + ( o ) = 庐p 口- t 丑z ) 5 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 2套代数上的j o r d a n 映射 于是t 1 2 s + s 正2 = b l l t l 2 ，进而t 1 2 s 2 2 + s n 正2 = b 1 l 正2 但s 2 2 = 0 ，从而， s 1 五2 = 厅l l 乃2 由引理2 4 ，品1 = b 1 1 所以，s = b 1 1 + b 1 2 这样我们得到( i ) 式( i i ) 式类似可得证毕 下面我们证明妒在8 1 2 上是可加的若e b ，这容易证明，但8 不一定包含e 下面的引理可弥补这一点 引理2 , 8 设丑l 8 l l ，p 1 2 ，q 1 2 8 1 2 ，畏2 岛2 ，则咖l p l 2 + q 1 2 马2 ) = ( 互ip 1 2 ) + 多( q 1 2 s 2 2 ) 证明易见 n l p l 2 + q 1 2 2 = ( n l + q 1 2 ) ( p 1 2 + 5 扔) = ( n l 十q 1 2 ) ( 只2 + $ 2 2 ) + ( p 1 2 + 2 ) ( n l 十q 1 2 ) 进而由引理2 7 ，我们有 毋。+ q 1 2 s 2 z ) = ( r ( ；( 丑tp 1 z + q t ：s 2 2 ) ) ) = 妒( r ( ( ；丑- + ；q - 2 ) ( h 2 + 岛。) + ( 尸l 。+ 岛。) ( ；丑- + ；g - z ) ) ) = r 咖( ；正t + ；q 2 ) 西( p 1 2 + 岛。) + r 币( p 1 2 + 岛z ) 妒( ；丑l + ；q l 。) = r ( ( 丑) + ( ；q ，2 ) ) ( 庐( p l 。) + ( 岛。) ) + r ( 只。) + ( s ；z ) ) ( ( ；乃- ) + 咖( ；q 1 2 ) ) = r ( ( ；n 1 ) ( p l z ) + 妒( p 1 2 ) ( 噩，) ) + r 渺( i 1 q z ) ( & 2 ) + 咖( s ，、i i 0 - 2 ) ) + r ( 庐( ；霸- ) 咖( s j 2 ) + 咖( s 2 2 ) 毋( ；丑- ) ) + r ( ( ；q t 2 ) ( b z ) + ( 最2 ) ( q z ) ) = 扣( ( 五1 ) p 1 2 + p 1 2 ( ，1 t l t ) ) ) + ( r ( ( ；q 1 z ) 5 1 2 2 + s ，1 q t 2 ) ) ) 十妒( r ( ( ；n - ) & 2 + s 2 2 ( ；n l ) ) ) + 咖( r ( ( ；q t 2 ) 只z + b z ( ；q 1 2 ) ) ) = 妒( 丑l 尸1 2 ) + 咖( q 1 2 s 2 2 ) 证毕 引理2 9 妒在b 1 2 上是可加的 证明设a 1 2 ，b 1 2 b 1 2 ，则存在s = s u + s 1 2 + 岛2 a 使得 ( s ) = 咖( a 。) + 咖( b - 。) 设7 k 如2 ，则由引理2 3 和( 2 2 ) 式有 ( s + s 死2 ) ) = ( r a l 2 t 2 2 ) + ( r b m 乃2 ) 设置l b 由引理2 3 ，引理2 8 和( 2 3 ) 式，我们有 妒( r 2 ( ( 死2 s + s 乃2 ) 丑1 + 丑1 ( 乃2 s + s 而2 ) ) ) = 妒( ( r 2 五l a l 2 ) 死2 ) + 咖l ( r 2 8 1 2 正2 ) ) 一咖( ( r 2 乃l a l 2 ) 疋2 + 乃l ( r 2 b ，z 死2 ) ) 6 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 2套代数上的j o r d a n 映射 因为庐是双射，所以 ( 乃2 s + s 乃2 ) 死1 + 孔l ( t 2 2 s + 2 t 2 2 ) = 噩t ( a 1 2 + b 1 2 1 l 乃2 由引理2 4 ，我们得到s 1 2 = a 1 2 + b 1 2 对丑2 8 1 2 ，由引理2 3 ，引理2 2 和( 2 3 ) 式，我们有 咖( r 2 ( t t 2 ( t 2 2 s + s 2 k ) + ( t 2 2 s + s z k ) 孔2 ) ) = 0 进而丑2 ( 马2 s + s 死2 ) + ( 如s + s 死2 ) 墨2 = 0 因此，正2 ( 马2 2 + s 2 2 疋2 ) = 0 由弓 理2 4 ( i i ) 和引理2 6 ( i i ) ，可得岛2 = 0 设n 2 b 1 2 ，由引理2 3 和( 2 2 ) 式，庐( r 2 s + s 丑2 ) ) = 0 ，从而五2 s + s 正z = 0 进而，噩2 s 2 2 + s 1 1 正2 = 0 ，于是s l l t t 2 = 0 由引理2 4 ( i ) ，s 1 1 = 0 因此，s = a 1 2 + b 1 2 证毕 引理2 1 0 在b l l 上是可加的 证明设a l l ，b 1 1 b 儿，存在s = s + $ 1 2 + s z 2 4 使得 妒( s ) = ( a - ) + 庐( b 1 1 ) ( 2 4 ) 设t 2 2 ，由引理2 3 和( 2 4 ) 式，我们有如s + s t y 2 = 0 由引理2 6 ( i i ) 得 岛2 = $ 1 2 = 0 下面我们证明s l l = a l l + b 1 1 设丑2 b 1 2 ，由引理2 3 和( 2 4 ) 式，我们有 妒( r ( 矗2 s + s t l 2 ) ) = 妒( r a u t n ) 十妒( r b h t l 2 ) 又由引理2 9 ，我们有 日2 s + s 丑2 = ( a n + b 1 1 ) 噩2 因为岛2 = s 1 2 = 0 ，所以，s 1 l 噩2 = ( a “+ b l o t l 2 由引理2 4 0 ) ，我们得到s l l = a + b 儿证毕 类似地，我们可证 引理2 1 1 在岛2 上是可加的 7 疋 力 b+ 挖 a 乃 = 踢2&五 1 宴进 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 2套代数上的j o r d a n 映射 引理2 1 2 设a 玎，1 i j 2 则咖( a l l + a 1 2 + a 2 2 ) = ( a 】1 ) + ( a 1 2 ) + 多( a 2 2 ) 证明取s = $ 1 1 + $ 1 2 + 2 a 使得咖( s ) = t 1 ) + 妒1 2 ) + 妒( 4 2 2 ) 设 五t 舀1 1 ，我们有 | j 5 ( r ( 丑l s + j s 丑1 ) ) = r 妒( 丑1 ) ( s ) + r 咖( s ) 庐( 孔- ) = r 庐( 丑1 ) ( ( a 1 1 ) 十西( a 2 ) + _ 5 b ( a 2 2 ) ) + r ( 咖( a t ，) + 西( a - 。) + ( a z z ) ) 庐( 丑。) z 妒( r ( t u a l l + a l l t l l ) ) + 庐( r ( t u a l 2 + a 1 2 t n ) ) + 庐( r ( 丑l a 2 2 + a 2 2 丑1 ) ) = ( r ( a 1 a 1 1 + a 1 1 丑l ) ) + ( r ( 蜀l a l 2 ) ) = 妒( r ( t u a l l + a n t n + t l l a l 2 ) ) 最后个等式我们用到了引理2 7 于是s t n + 蜀1 s = a n t l l + 蜀l a l l + 丑1 a 1 2 即， ( s a n a 1 2 ) 噩l + t u ( s a n a 1 2 ) = 0 由引理2 6 ( i ) ，可知s l l = a l l ，s 1 2 = a 1 2 类似得s 2 。= a 2 2 证毕 引理2 1 3 西在日上是可加的 证明设a ，b 是4 的元写a = a n + a 1 2 + a 2 2 ，b = b l l + b 1 2 + b 2 2 则由弓 理2 9 2 1 2 得 咖( a + b ) = ( ( a l l + b u ) + ( a 1 2 + 占1 2 ) + ( a m + j 昆2 ) ) = 咖( a l l + b n ) + 毋( a 1 2 + b 1 2 ) + 庐( a 2 2 + b 2 2 ) = ( a u ) + 砂( 日1 1 ) + ( a 1 2 ) + 妒( 日1 2 ) + 咖( a 2 2 ) + 妒( b 2 2 ) = ( a n + a 1 2 + a 2 2 ) + 庐( b 1 1 + b 1 2 + b 2 2 ) = ( a ) + ( b ) 即在8 上是可加的证毕 最后，证明本节的主要结果 定理2 1 的证明如果= o ，n ，则丁) = b ( 7 ) 由 1 5 ，t h e o r e m1 6 】， 是可加的现设 o ，订，则庐在召上是可加的设a ，b 4 ，取s a ，使得 ( s ) = ( a ) + 旧) 设t 是层中任一元，注意到a t + t a 和b t + t b 是口中的 元，由引理2 3 和引理2 1 3 ，我们有 庐( r ( s t + t s ) ) = ( r ( a t + t a ) ) + 庐( r ( b t + t b ) ) = 咖( r ( a t 十t a + b t + t i b ) ) 从而( s 一( a + 口) ) t + t ( s 一( a + 且) ) = 0 由e r d o s 稠密定理，2 ( s 一( 4 + b ) ) = ( s 一( a + 口) ) ，+ z ( s 一( a + b ) ) = 0 ，于是s = a + b 因此咖是可加的证毕 8 3套代数上的三元j o r d a n 映射 本节我们研究套代数的标准子代数上保三元j o r d a n l 乘积的双射的可加性主要 结果是 定理3 1 设a 是套代数丁) 的一个标准子代数，冗是有理数域上的结合代 数，r 是非零有理数若双射：a _ 冗是r 次j o r d a n 双射，即满足 妒( r ( a b c + c b a ) ) = r ( ( a ) 庐( b ) ( 回+ 多( c ) ( b ) ( a ) ) ，a ，b ，e a ，( 3 1 ) 则西是可加的 为证明该定理，我们需要若干引理首先我们有 引理3 2 妒( o ) = 0 下面的引理是至关重要的 引理3 3 设s ，a ，b s t 满足庐( s ) = ( a ) + 毋( b ) ，则对任何丑，t 2 a 有 ( t 1 s t 2 + t 2 s t l _ ) = 庐( 正a t 2 + t 2 a 噩) + ( 矸b t 2 + t 2 b n ) 证明设正，t 2 4 因为( s ) = 毋( a ) + ( b ) ，所以 r 文；丑) 咖( s ) 多( 马) = r 颤；丑) 妒( q 毋( 已) + 砷( ；正) 多( b ) ( t 2 ) ， r 西( b ) 妒( s ) 庐( ；丑) = r 妒( 乃) 庐( a ) 庐( ；五) + r ( 乃) ( b ) 咖( ；冠) 两式相加，由( 3 1 ) 式便得结果证毕 下面我们假设( o ，n 如同第二节，固定中的元e ，满足0 e ，记 b = 厂( 厂) ，丁= t ( a f ) 令b 1 1 = e b e ，b 1 2 = e b ( i e ) ，岛2 = ( i e ) b ( 1 一e ) ，则 b = b l l o b l 2 0 饬2 类似地，丁= 氕10 万2 0 7 三2 弓l 理3 4 设，lsi j 墨2 ，则妒( b l l + b n ) = 妒( b 1 1 ) + 咖( b 1 2 ) ， 庐( 五2 + b 1 2 ) = 妒( b 2 2 ) + ( 日1 2 ) 证明因为是满的，所以存在s = s t l + $ 1 2 + s 2 2 a ，使得毋( s ) = 拳( b 1 1 ) + 咖( b 1 2 ) 9 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射3套代数上的三元j o r d a n 映射 设n 2 舀1 2 ，如2 岛2 ，由引理3 3 和引理3 2 ( 五2 8 t 2 2 + t 2 2 s 乃2 ) = 咖( 置2 8 1 1 t 2 2 + 噩2 b l l 噩2 ) + 妒( t , 2 b i 2 t 2 2 + t 2 2 8 1 2 t 1 2 ) = 0 由于妒是单射，所以丑2 s 疋2 + 疋2 s n 2 = 0 ，进而丑2 s 2 2 死2 = 0 由引理2 4 ( i i ) s 如乃2 = 0 再由引理2 5 得，s 2 2 = 0 设置l 8 1 l ，正2 b 1 2 ，由引理3 3 ， 西( 正1 s t y 2 + t i , 2 s t ) = 妒( 乃l b l l 丑2 + 丑2 b l l 乃1 ) + 妒( t b 1 2 t 1 2 + 丑2 口1 2 丑l ) = ( 五- b - 五z ) 从而丑l s 乃2 + 丑2 s 置l = 乃l b l l 五2 ，进而丑1 s l l 丑2 = 丑1 日l l 噩2 ，即正1 ( & l 一 目1 1 ) 五2 = 0 由引理2 4 ( i ) ，霸l ( & t b 1 1 ) = 0 再由引理2 5 ，s l l b l l = o ，即 s 1 1 = b 1 1 ， 类似可证。s 1 2 = n 2 综上，s = b l l + 日1 2 因此，妒( b z 2 + b t 2 ) = ( b 2 2 ) + 妒( b 1 2 ) 另一个等式类似可得证毕 引理3 5 设n l ，墨l b i i ，p 1 2 ，q 1 2 h i 2 ，岛2 8 2 2 ，则妒( q l t i i p i 2 + 掣l 国1 2 2 ) = ( q l t l l p l 2 ) + 币( t i q l 2 s 2 2 ) 证明易见 列1 丑lp 1 2 + 叫l q l 2 2 = 列1 ( n i + q 1 2 ) ( p 1 2 + 2 ) + ( p 1 2 + 岛2 ) ( 正l + q - z ) q 1 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 3套代数上的三元j o r d a n 映射 于是由引理3 4 ，下面的等式成立 庐( 石。丑t b z + q 。q t z $ 2 2 ) = ( r ( ( ；可1 ) ( 噩- + q t 。) ( p l 。+ & 。) + ( p 1 2 + 。) ( 噩+ q z ) ( ；曩，) ) ) = r ( ( 霉1 ) 庐( n l + q z ) 西( p 1 2 + 岛z ) + 多( p 1 z + & z ) 西( 五+ q 。) ( 霹。) ) = r 庐( ；列。) ( 丑t ) + 砂( q t 。) ) ( ( p 1 。) + t j i ( & 。) ) + r ( ( 蜀。) + 庐( 岛z ) ) ( 庐( 丑，) + 庐旧，。) ) 庐( ；霹，) = r 庐( ；q 。) ( 丑- ) 咖( p 1 。) + r 咖( ；墨。) 咖( 冗) 咖( s 2 z ) + r 妒( ；墨，) ( q t ：) 咖( 最：) + r 咖( ；掣，) ( q - z ) 砂( z ) + 删；( 且2 ) 咖( t 1 t ) 妒( ；巧1 ) + r ( 毋2 ) 庐旧1 2 ) 妒( ；。) + r ( 岛。) 妒( q - z ) 妒( ；巧- ) + r 毋( s 2 2 ) 咖( 乃) 妒( q 。) = 咖( r ( ( ；q ，) t h p l z + p l z 五t ( ；矗。) ) ) + 妒( r ( ( 掣。孔是z + $ 2 2 t 1 1 ( ；，) ) ) + 毋( r ( ( 砰1 ) q 1 2 p n + p 1 2 “ 1 2 1 n i 1 1 ) ) ) + ( r ( ( ；墨- ) q , z s 。2 + 岛。q z 。( ；曩，) ) ) = 妒( 列。矸p l 。) + 妒( 列。q 1 2 s 2 2 ) 证毕 引理3 6 。审在8 1 2 上是可加的 证明设a 1 2 ，b 1 2 8 1 2 ，则存在s = s 1 l + s 1 2 + s 2 2 4 ，使得( s ) = 庐( a 1 2 ) + 咖( b 1 2 ) 设乃l ，列l b 1 1 ，噩2 岛2 ，由引理3 3 和引理3 5 ( 列l 丑l s 正2 + t 2 2 s 爿。霸1 ) = 咖( q l t u a l 2 了汤+ 死2 a l 2 矸1 矸1 ) + 咖( q l t l l b l 2 乃2 + 乃2 8 1 2 可l t h ) = 妒( l 五l a l 2 2 k ) + 妒( 曩1 n l b l 2 乃2 ) = 砂( 列l t n a l 2 2 k + 可l 死l b l 2 噩2 ) 从而q i t u s , 2 正2 = q l t u ( a l z + 日1 2 ) 噩2 ，即可l 正l ( s 1 2 一1 2 + 日1 2 ) ) 疋2 = 0 由 引理2 4 ( i v ) ，墨l 正1 ( s 1 2 一( a 1 2 + 丑1 2 ) ) = 0 ，由引理2 5 ( i i i ) ，s 1 2 = a l z + 丑1 2 设 五1 日1 l ，正2 8 1 2 ，由引理3 3 ，我们有 咖( n 1 s t t 2 + 丑2 s t h ) = ( t u a l 2 t 1 2 + 乃2 a 1 2 丑1 ) + ( t , i b r y n + t 1 2 8 1 2 t 1 1 ) 2 0 1 1 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 3套代数上的三元j o r d a n 映射 从而t n s t l 2 + t 1 2 s t = 0 ，进而正1 s 1 l 噩2 = 0 由引理2 4 0 ) ，正1 s l l = 0 ，又由引理 2 5 ，s n = 0 类似地，岛2 = o ，证毕 引理3 7 在玩l 上是可加的 证明设a l l ，b n b z i ，则存在s = _ s 儿+ 函2 + 2 a ，使得庐( s ) = 【i ) + 妒t ) 设噩1 b h ，正2 嚣1 2 ，由引理3 3 和引理3 6 ( 五1 s 丑2 + 瓦2 s n l ) = ( 五1 a n 丑2 + 丑2 a n 丑i ) + 妒( 丑z b t l 霸2 + 丑2 b l i 丑1 ) = 咖( n i a u 豇2 ) + 庐( t b n t l 2 ) = 咖( 丑l l l + b 1 1 ) 丑2 ) 从而丑i s i , t 1 2 = t l l ( a l l + b u ) 孔2 ，由引理2 4 ( i ) ，丑l ( s 1 1 一( a u + b 1 1 ) ) = 0 进而由 引理2 5 ，s n = a u + b 设置2 b 1 2 ，t 2 2 堍2 ，由引理3 3 妒( 丑2 s 疋2 + 如2 s 五2 ) = 毋( 丑2 a l l l l 船+ 死2 a 1 1 丑2 ) + 庐( 妁2 b l l 马2 + t 2 2 8 1 1 矸2 ) = 0 从而丑2 s 疋2 = 0 ，即n 2 2 2 = 0 由引理2 4 ( i i ) ，s 扔了汤= 0 ，再由引理2 5 ，s 2 2 = 0 类似地，s t 。= 0 证毕 引理3 8 庐在岛2 上是可加的 证明设a 2 2 ，踢2 您2 ，则存在s = s l l + $ 1 2 + 2 a ，使得毋( s ) = 咖( 也2 ) = ( b 2 2 ) 设矸2 3 1 2 ，t k 挽2 ，由引理3 3 和引理3 6 毋( 丑2 s 丁扔+ ，汤s 丑2 ) = 庐( t t 2 a 2 2 2 k + 锄a 诧矗2 ) + 毋( 五2 8 2 2 噩2 + t 2 2 8 2 2 t 1 2 ) = 妒( n 2 ( a 船+ b 2 2 ) 正2 ) 从而正2 s 2 k = t 1 2 ( a 船+ b 2 2 ) 死2 ，即五2 岛2 疋2 = 丑2 ( a 2 2 + b z 2 ) t 2 2 由引理2 4 ( i i ) ， ( 岛2 一( a t u + 历2 ) ) = 0 ，再由引理2 5 ，岛2 = a m + 岛2 设a 1 1 3 n ，正2 1 3 1 2 ，由引理3 3 ( 噩i s t t 2 + n 2 s n l ) = 咖( 丑l a 2 2 n 2 + 正2 a 2 2 瓦1 ) + 咖( 丑l i 现n 2 + n 2 8 2 2 n 1 ) = o 】2 三角b a n a c h 代数上的j o r d a n 映射 3套代数上的三元j o r