（基础数学专业论文）一类非线性浅水波方程的整体守恒解及非连续解理论.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究了广义c a m a s s a h o l m 方程、d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的 整体守恒解，以及新型双s i n e g o r d o n 方程的不连续解。c a m a s s a 和 h o l m 禾l j 用哈密顿方法获得了一类新型色散波方程，q c a m a s s a h o l m 方程( 简称c h 方程) ，它具有双哈密顿结构和无穷多守恒量，是完全 可积的。d e g a s p e d s - p r o c e s i 方程( 简称d p 方程) 是d e g a s p e r i s 和p r o c e s i 得到的，它不仅有尖峰解，还有激波解。双s i n e g o r d o n 方程是一个 很重要的方程，因为它广泛应用于诸如非线性光学等领域。最近， 双s i n e g o r d o n 方程的一些精确解已经得到。 第三章主要研究广义c h 方程初值问题的整体守恒解，先将这个 方程转化成一个常微分系统。在这个常微分系统中，应用索伯列夫 空间的一些不等式、常微分方程相关知识，讨论解的适定性问题； 第四章主要研究了d p 方程初值问题的适定性问题，采用了一个 不同于c h 方程的守恒律来辅助证明，证明了短时期解的存在性，进 而证明了它的整体守恒解存在且唯一； 第五章主要研究了新型双s i n e g o r d o n 方程的精确解，我们发现 有两个精确解是不连续的，进而通过守恒律方程理论证明了这两个 解是非连续的。 关键词：c h 方程，d p 方程，新型双s i n e g o r d o n 方程，守恒律，适 定性 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fg l o b a lc o n s e r v a t i v es o l u t i o n so ft h e c a u c h yp r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o na n dd e g a s p e r i s p r o c e - s e s ie q u a t i o n , a n dt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h en e wd o u b l es i n e - g o r d o ne q u a t i o n c a m - a s s aa n dh o l md e r i v e dan e wc o m p l e t e l yi n t e g r a b l ed i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o nf o r w a t e rw a v e sb yh a m i l t o n i a nm e t h o d , n a m e l yc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ( i v ，ec h e q u a t i o n ) i th a sb i h a m i l t o n i a ns t r u c t u r ea n d i n f i n i t es e q u e n c eo fc o n s e r v e dq u a n t i t i e s ， a n di ti sc o m p l e t e l yi n t e g r a b l e d e g a s p e r i s - p r o c e s ie q u a t i o n ( i ，ed pe q u a t i o n ) w a s f o u n db yd e g a s p e r i sa n dp r o c e s i i th a sn o to n l yp c a k o nw a v es o l u t i o n s ，b u ta l s o s l 础w a v es o l u t i o n s t h ed o u b l es i n e - g o r d o ne q u a t i o ni sas i g n i f i c a n te q u a t i o n b e c a u s eo fi t sa p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d ss u c ha sn o n l i n e a ro p t i c s r e c e n t l y ，m a n y e x a c ts o l u t i o n so ft h ed o u b l es i n e g o r d o ne q u a t i o nw e r ef o u n d i nc h a p t e rt h r e e ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fg l o b a lc o n s e r v a t i v es o l u t i o n so ft h e c a u c h yp r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n w ec h a n g ei t i n t oa n o d e s y s t e mi nab 锄a c hs p a c e i nt h i ss y s t e m ，b ya p p l y i n gs o m ei n e q u a l i t i e si n s o b o l e vs p a c ea n ds o m ek n o w l e d g ea b o u tt h eo d et h e o r i e s ，w ec o n s i d e rt h e w e l l p o s e d n e s so f t h es o l u t i o n s i nc h a p t e rf o u r ，w es t u d yt h ew e l l - p o s e d n e s so ft h ed pe q u a t i o n w ec h o o s ea c o n s e r v a t i v el a ww h i c hi sd i f f e r e n tf r o mc h e q u a t i o nt of i n i s ho u rp m o f t h e nw e p r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es h o r t - t i m es o l u t i o n s h e n c et h ee x i s t e n c e o fg l o b a lc o n s e r v a t i v es o l u t i o n s 谢t hr e s p e c tt ot h ei n i t i a ld a t ei so b t a i n e d i nc h a p t e rf i v e ，w es t u d yt h ee x a c ts o l u t i o n sf o rn e wd o u b l es i n e g o o n e q u a t i o n ，w ef i n dt h a tt w oe x a c ts o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na r en o n c o n t i n o u s t h e n w e p r o v et h a tt h et w os o l u t i o n sa r en o n c o n t i n u o u ss o l u t i o n sb yc o n s e r v a t i o ne q u a t i o n t h e o r y k e yw o r d s ：c he q u a t i o n ，d pe q u a t i o n ，n e wd o u b l es i n e - g o r d o ne q u a t i o n ， c o n s e r v a t i o nl a w ，w e l l p o s e d n e s s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密曲。 学位论文作者签名：互云霞二 弼年1 耖月1 6 指导教师签移 p 矿年1 蝴“首 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：王云霞 日期：砷年j 溯 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章引言 偏微分方程的兴起已经有两百多年的历史了，由起初研究直接来源于物理 与几何的问题发展到一个独立的数学分支，内容庞杂，方法多样。偏微分方程 讨论的问题不但根植于物理，力学，生物，几何和化学等学科的古典问题，而 且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来，该领域的研究， 特别是对非线性方程的研究，蓬勃发展。这不仅开拓了数学物理新的研究领域， 还在许多高科技领域有着重要的应用。 近百年来，数学物理学家、力学家们利用动量守恒定律、质量守恒定律和 变分原理建立了许多流体运动的数学物理模型。在建立这些数理模型中，大多 数都是用非线性偏微分方程进行表示的，其中最经典的就是n a v i e r - s t o k e s 方 程。将n a v i e r - s t o k e s 方程用各种数学方法进行渐进展开，获得了不同的流体运 动方程，特别是水波方程，如k o r t e w e g - d ev d e s 方程、b u r g e r s 方程、b b m 方程、 b o u s s i n e s q 方程等等。 在非线性科学中，孤立子理论是推动非线性科学发展的重要理论之一，在 自然科学的各个领域起着非常重要的作用。一方面，它极大地促进了一些传统 数学理论的发展。另一方面，在流体力学、固体物理、等离子体物理、生物物 理、核物理、基本粒子物理、凝聚态物理、激光、低温超导和超物理流等物理 学的各个分支及数学、生物学、化学、通信等各自然科学领域得到了广泛应用。 目前对“孤立子”一词并没有准确的定义，多数作者称波形分布在有限的空间范 围内，且具有弹性碰撞性质，即碰撞后保持原有的速度和波形的孤立波为孤立 子。而对呈非弹性碰撞的一类，仍称为孤立波。还有的作者称k d v 方程和其它 类似方程的单孤立波解为孤立波，多孤立波解为孤立子。也有作者认为，孤立 波和孤立子两词沿用至今，已无严格的区别。 近十年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。 由于它的研究涉及等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、金融领域等，所以 近年来倍受重视。无论是可积系统，还是耗散系统，系统的斑图选择演化及其 江苏大学硕士学位论文 时空动力学复杂行为规律，因它们在拟序结构、高速光纤通讯、化学反应斑图、 生物中斑图、纳米的量子效应等方面的巨大潜在应用背景，使对它们的研究成 为众多科技关注的热点之一。另一方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于 在超弹性材料力学及浅水波运动规律研究中有广泛的应用前景而成为目前国内 外数学物理学界关注的热点问题之一。讨论浅水波方程解的相关性质( 特别是 水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、散射理论、解的整体存在性及b l o w u p 理论( 爆破现象) ) 并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定物理材料属 性等方面均具有极大的应用价值。 非线性偏微分方程c a u c h y i ；1 题( 或称初值问题1 的定性理论在非线性偏微分 方程理论研究中有着非常重要的地位。由于物理学、力学和工程技术等方面的 许多问题都归结为偏微分方程的定解问题，因而数学物理方程最终目的是研究 这些问题的解法。但是，数学物理方程的任务也不只局限于是对具体的问题来 研究求解的方法，它还要对物理学、力学和工程技术中所可能碰到的方程及其 定解问题作系统的研究。这些研究有助于求解问题，也有助于把实际问题归结 为偏微分方程的定解问题。因此它一方面从量的侧面来考察这种归结的合理性， 另一方面又对定解问题的提法给出一定的要求。这样在数学物理方程就需要考 虑适定性的问题。 双s i n e g o r d o n 方程是一种重要的方程，它在物理领域有广泛的应用，例 如非线性光学，j o s e p h s o n 射线，铁磁材料，电荷密度波和液体氦等物理模型中， 许多实际问题都能转化为双s i n e - g o r d o n 方程模型来研究，它为实际问题的研 究提供了简单而理想的模型。双s i n e g o r d o n 方程主要用来模拟几个物理模型， 如3 h e 超流体自旋波，原子状态下自感应透明度，电磁波传播半导体量子超晶 格，谐振超短光脉冲的传播特性，非直线激发可压缩链的x y 偶极条件下压电 耦合大分子等。 1 2 研究现状与主要研究内容 在文献【1 】中，r c a m a s s a 和d d h o l m 在研究浅水波运动规律时，用哈密 顿量的方法，根据物理原理( 参考文献【2 】【3 】) ，推导出新型非线性色散波方程( 即 所谓的c a m a s s a - h o l m 方程，简称为c h 方程) 。 2 江苏大学硕士学位论文 珥+ 2 a m j u x u + 3 u u 。= 2 u z u “+ u u x 斌( 1 2 1 ) 其中h = h ( f ，力表示x 方向的水波流速( 或者表示浅水波的自由表面的高度) ，彩 是一个与临界浅水波速度有关的常数。对任意缈，c a m a s s a h o l m 方程( 1 2 1 ) 具有一个l a x 对；具有双哈密顿结构，也具有无穷个守恒律。而对c o = 0 ，方程 ( 1 2 1 ) 有钟一l 卜d l 形式的尖峰孤立波解，它在波峰处一阶导数不存在，这种行波 解通常被称为p e a k o n 。更进一步的研究表明，方程( 1 2 1 ) 具有简单的多重 p c a k o n ，这蕴含着它有许多美妙的性质。 d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m ( 参考文献 4 】) 从e u l e r 方程出发，利用渐近扩张 思想研究了无旋不可压缩无粘浅层受地球重力和流体自身表面张力影响的运动 规律，推导出一类1 + 1 维新型单向浅水波方程( 通常称为d u l l i n g o t t w a l d - h o l m 方程，简称为d g h 方程) 。 m f + c ou ，+ “m ，+ 2mu ，= 一厂比。，x r ， f r ， ( 1 2 2 ) 其d ? u ( t ，功表示x 方向的流体速度，m = i t - o r 2 u 。表示动量，y c o 是区间长度 的平方，= 办( 其中：c o ：= 2 国) 表示线性波速。 利用m = u - o r 2 u 。，相应地可以将d g h 方程的初值问题写成 u 1 - - 矿+ 擘+ 3 町7 钳2 ( 2 蝴“m ) ，伶猷， ( 1 2 3 ) 【u ( o ，x ) = u 0 ( x ) ， r 7 d g h 方程( 1 2 3 ) 联系了两类相对独立的可积孤立波方程。一方面，当 口2 _ 0 时，方程( 1 2 3 ) 形式上成为k o n e w e g d ev r i e s 方程( 简称为尉v 方程) 甜r + 2 0 m ，+ 3 配搿；= 一，牲蜀耳( 1 2 4 ) 特别地，这种k d v 方程有光滑孤立波解 u ( x ，f ) = 比os e c h 2 “x 一甜) u o 7 2 ) ，c = c o + “o 另一方面，令y _ 0 ，则方程( 1 2 3 ) 形式上成为c a m a u s s a - h o l m 方程 “f + 2 a m ，- - o r 2 u 删+ 如，= 饼2 ( 执。u 搿+ u u x 。x )( 1 2 5 ) 关于c a m 觞s a h o l m 方程( 1 2 5 ) 和l d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程( 1 2 3 ) ，近年来 3 江苏大学硕士学位论文 已有许多成果【1 - 1 1 】。文献【5 】【6 】研究t c a m a s s a - h o l m e s ( 1 2 5 ) 的数值模拟解 和一些守恒量的性质。文献同研究t c a m a s s a - h o l m 方程( 1 2 5 ) 的对称性和可积 性。文献 8 】用变分法的思想研究了方程( 1 2 5 ) 的孤立子。在文献【9 】中，田立新 等研究了方程( 1 2 5 ) 的行波孤立子解和双孤立子解，并且引入凹凸尖峰孤立子 及光滑孤立子的概念；文献【1 0 】研究了广义c a m a s s a - h o l m 力f 程及广义弱耗散 c a m a s s a h o l m 方程，并得到了一类新的尖峰孤立子解；文献【1 1 】获得了具有充 分非线性色散项的广义c a m a s s a - h o l m 方程的紧孤立子( c o m p a c t o n 解1 。在文献 【1 2 1 3 1 4 】中，a c o n s t a n t i n 和j e s c h e r 研究了c a m a s s a - h o l m 方程的 h a m i l t o n i a n 结构、解的整体存在性及解 b l o w u p 现象。在文献【1 5 1 中，八 c o n s t a n t i n 和h p m c k e a n 通过对谱不变本征值问题的研究，得到了 c a m a s s a - h o l m 方程的可积性理论。在文献【1 6 】中，ac o n s t a n t i n 和w 八s t r a u s s 通过对线性化h a m i l t o n i a n 算子进行谱分析，研究了c a m a s s a h o l m 方程的孤立 波的轨道稳定性问题，证明了在小扰动下，孤立波的波形是稳定的。在文献【1 7 】 【1 8 】【1 9 】中，ac o n s t a n t i n ，j 。l e n e l l s ，r b e m s ，d s a t t i n g e r 和j s z m i g i e l s k i 等研 究了c a m a s s a - h o l m 方程的散射问题。在初始位势m o h 1 僻) 满足 ( 1 + h ) l t o o ( 刮出 l ，k d v 方程就是整体适定的，k d v 方程不存在波的爆破。 令q = - c 3 a 2 ，c 2 = e 3 2 ，方程( 1 2 6 ) 变为c a m a s s a - h o l m 方程，它有双哈 密顿结构，且是完全可积的( 见【1 】) 。 c a m a s s a - h o l m 方程的柯西问题被广泛研究。在初值聪oeh 5 似ls 吾的条 件下， c a m a s s a - h o l m 方程的解是局部适定的( 见【2 9 】、【3 0 1 ) 。在索伯列夫空间 ( 日。，s 詈) 对一系列初始条件，它有整体强解和爆破解( 见【3 1 】、【3 2 】) 。另外， 在日1 僻) 中它有整体弱解。如果甜是c a m a s s a h o l m 方程在初值e h l 僻) 下 的解，对所有的f 有 u ( t ，) 峙r ) 压，沌) - - - 4 2 1u o ( 毗伽) 。 对比k d v 方程，c h 方程的优越性是明显的，c h 方程有尖峰孤立子，但 它没有激波。在方程( 1 2 6 ) ，令q = - 2 c 3 o t 2 ，c 2 = 巳可得到d e g a s p e d s p r o c e s i 方 程 u f 一“缸+ 4 u u ，= 3 u 。u 。+ “。，t 0 ， x r ( 1 2 7 ) d e g a s p e r i s ，h o l m 和h o n e ( 见【3 3 】) 通过构造【a 】【对证明了方程( 1 2 7 ) 的可积性。 他们也证明了方程( 1 2 7 ) 有双哈密顿结构和无穷多守恒量，且有与c h 方程有相 似的精确p e a k o n 解。对比c h 方程，d p 方程不仅有尖峰解，还存在激波解。 d p 方程可看作一个非线性浅水波方程的一个模型，它的渐近精度与c h 方程相同，d u l l i n , g o t t w a l d 和h o l m ( 见【3 4 】) 证明d p 方程可通过k o d a m a 变换 从浅水波中得到， v a k h n e n k o 和p a r k c s ( 见【3 5 】) 研究了方程( 1 2 7 ) 的行波解。 s 江苏大学硕士学位论文 h o l m 和s t a l e y 研究了方程( 1 2 7 ) 的孤子解的稳定性及数t f l 复p e a k o n s 。 在d p 方程给出以后，它被广泛的研究，例如，殷朝阳( 见【3 6 】) 证明了方程 ( 1 2 7 ) 在初值h 。h ) ，s 导的条件下线性周期局部适定性，导出精确爆破准 则，并给出一个爆破结果。在( 见【3 7 】、【3 8 1 ) 给出了方程( 1 2 7 ) 的强解与整体 弱解的整体存在性。目前，k n e l l s ( 见【3 9 】) 归类了所有的弱行波解m a t s u n o ( 【4 0 】) 研究了多重孤子解和它们的p e a k o n 极限。 在上面的研究基础上，对于非线性偏微分方程 坼一“埘一掰坝吐州岘+ ( 咖) + 三八讹) 2 ) ，= 。 当厂( 甜) = 去肛2 ，g ( 比) 包含h ” 2 ) 项，这就是广义c a m a s s a - h o l m 方程 u t u x x t + 言g ( 甜) ，一r ( 2 u ，甜。+ 甜。一u x ) = 0 ( 1 2 8 ) 双s i n e g o r d o n 方程是一个很重要的方程，因为它广泛应用于诸如非线性光 学等领域，并提供了简单而理想的模型。p o p o v ( 见【4 1 】) 衔u t x 2 s i n e - g o r d o n 方程的一个扰动理论。最近，双s i n e g o r d o n 方程的一些精确解已经得到( 见 【4 2 】) 。y u ( 见【4 3 】) 研究了近似充分非线性双s i n e - g o r d o n 方程的精确孤立波解。 孤子的研究是孤立波理论的一个重要部分。近来，许多类型的孤子得以发现。 为了研究非线性色散项在液滴形成中的作用，r o s e n a u 和h y m a n ( 见【4 4 】) 研究 了广义非线性色散k 伽，n ) 方程，得到了一个有紧支集的孤立波解，他们称之为 c o m p a c t o n 。t i a n 和y i n ( 见【4 5 】) 引入一个具有非线性色散项的五阶k ( 朋，厅) 方 程，得至u c o m p a c t o n 解。y i n 并1 l t i a n ( 见【4 6 】) 得到k ( p ，q ，1 ) 方程的尖峰解和 c o m p a c t o n 解。t i a n ( 见【4 7 】) 研究了广义色散c h 方程，并得到了尖峰解。z h a n g ( 见【4 8 】) 研究了e u l e r 方程的不连续解。t i a n 和y u ( 见【4 9 】) 得到了双 s i n e g o r d o n 方程 ( 甜l 一( “l + 甜s i n ( 甜) + s i n ( 2 甜) = o 的两个精确解。 接下来，我们讨论一类新型双s i n e g o r d o n 方程， k 一七( h ) 。+ 2 a s i n ( 2 u ) + , b s i n ( 4 u ) = 0 ( 1 2 9 ) 6 江苏大学硕士学位论文 的非连续孤立波解。 本文主要研究广义c a m a g s a h o l m 方程( 1 2 8 ) 的c a u c h y 问题的整体守恒解 理论，d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程( 1 2 7 ) 酗j c a u c h y 问题的整体适定性理论，以及新 型双s i n e g o r d o n 方程( 1 2 9 ) 的非连续解。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 弟一早 耿宙刘以 在这一章，我们会介绍一些相关的定义、定理和不等式。 2 。1 现有相关的定义 定义2 1 1 有界线性算子： 我们取( y ，| 1 | | y ) 是一个普通的线性空间，集合b ( v ，) = w v 1 l v 一缈眇 ，) 是一个中心为v ，半径为，的开球。如果( 矿，i | 1 i 矿) 和( 形，i | i | ) 是普通的线性空间， 我们定义一般的线性空间为l ( v ，形) = 彳：y 专形，彳是线性连续的 ，对所有的 彳三( 矿，形) ，模为忙l ( v , w ) = m s u p 怕v 帖，而且集合( 矿) = 三( y ，y ) 。如果形是 完备的，则空间l ( v ，w ) 是- - + b a n a c h 空间。 定义2 i 2 索伯列夫空间的定义： 设qc 瞅是一给定的区域，x tm 0 ，1 p _ o o ，定义s o b o l e v 空i h jw ”，p ( 嘞 为满足条件：d 4 ) r ( q ) ，h 职的广义函数材全体所构成的集合，并装备以 范数： ( = ( 0 d “0 ) 1 p ，l p o o ， o 司g 净“ 口( n ) i i “j i 矿，。，= 。m 司。a 怿x 。i l d “甜0 。尸。n ，。 特别当p = 2 时，记日帕( 9 为h 脚( 9 ，这时引进内积 ，d = ；p 4 “，d 。d r ( 。) 。 定义2 1 3c ( q ) 函数按上述范数完备化所得到的空间称为w 炉( 固。 定义2 1 41 9 ( r “) 间上的f o u r i e r 变换： 定义在基本空间1 9 ( r “) 上的f o u r i e r 变换，对于任一函数，( d 1 9 ( r ：) ，定义 其f o u r i e r 变换为f 【厂】= ，l ( x ) e m d x ，又若函数g ( o 1 9 ( r ；) ，定义其f o u r i e r r ： 8 江苏大学硕士学位论文 变换舻1 【g 】2 矿善南蛎这卧缶+ + 稚 定义2 1 5l ，r 范数： 我们用i | 口表示空间r ，l p o ，令m = m a xi ：( f ，石) 0 ，厅= i i l i n ( 口，万b ) ，则c a u c h y 问题在区 f 目t - t o l 厅上有一个解z = 畎f ) ，且它是唯一的。 方程( 木) 等价于 x = x o + f ( t ，3 啪t 定义2 1 8 卷积： 设厂( 力，g 是彤上的可测函数，若积分f f ( x 一) ，涫( y ) 方存在，则称此 9 江苏大学硕士学位论文 积分为，( 功与g ( 力的卷积，记为( 厂幸g ) ( 功。 2 2 相关定理及不等式 定理：2 2 1 压缩映像原理： d 是b a n a c h 空间的一个非空闭子集，r 是d 到d 自身的一个映射，即对于 每一个y d ，有z ( 少) d 。又存在常数七，o 1 ，且! + ! ：1 。若厂上尸( 9 ，g 口( 9 ，则，g r ( q ) ，且 pq li 厂( x ) g ( x ) 陋x ) | l g ( x ) 特别地，当p = q = 2 时，它变成l i 厂( x ) g ) b & - l l s ( x ) 忆i i g ( x ) 忆，称之 c a u c h y s c h i t w z 不等式。 定理2 2 3g r o n w a l l 不等式： 设e ( f ) 在【0 丁】上非负且绝对连续，满足e ( f ) c f e ( o d f + m ，( c ，m 为常 数) ，贝u e ( t ) 讹d 。 定理2 2 4 索伯列夫嵌入定理： 设p 满足1 ! 生，一1 ：1 一生，后m ，则h m ，p ( r 一) 是日m 吨。( 科) 的子空间， p刀qp 胛 且恒等映射是连续的( 这样的恒等映射就成为嵌入映射) 。 若q 为具有光滑边界的区域，p , n ，k ，m 满足上述定理的条件，则有 h 唧( 9 c h ” 弋购，当! p = 告，时有下述定理： 设p 满足! ：生，( 七肌) ，则对任意实数目1 ，均有 江苏大学硕士学位论文 h ”p ( 畎”) c 。h m - k , q ( r ”) 。 设里一! 0 ，则比h ，( 科) 几乎处处等于一个连续函数，以c 。( 瞅) 记在科 p 以 的连续函数空间，装备以在所有紧支集上一致收敛的拓扑，则有 日1 ，( 科) c c o ( 斛) ， 又记甜：1 一旦， 则还有日1 p ( r ”) 亡c “( 彤) 。 江苏大学硕士学位论文 第三章广义c h 方程的整体守恒解 本章主要研究广义c a m a s s a h o l m 方程的整体守恒解问题。应用索伯列夫 空间的一些不等式和现代偏微分方程的一些相关理论，证明该方程有一个整体 守恒解。 3 1 预备知识 关于广义c a m a s s a h o l m 方程的研究 在文献【1 0 】中，研究了广义c a r n a s s a - h o l m 方程形如 u t + 2 k u j - - u x j a + a u ”m j + 昌比h = 2 u j 比麒+ 配m 城 及广义弱耗散c a m a s s a - h o l m 方程形如，( 其中上式令m = 3 ，七= 0 ) 吩一l l 埘+ a u 3 u j + e “= 2 u j u 嚣+ u u x x x 并得到了一类新的确切的尖峰孤立子解。 在文献【1 1 】中，研究了具有充分非线性色散项的广义c a m a s s a - h o l m 方程 + 妇，+ 届“埘+ 孱 ”) 善+ 屈， ”) 。+ p 4 u ( u p ) 1 3 f x = o ( 其中七，届，厦，属，屈是任意正实数) 的确切紧孤立子解( c 0 m p a c t o n 解) 。 这一章我们考虑引言中提到的广义c a m a s s a h o l m 方程 1 u t 一够脚+ 詈g ( “) ，一g ( 2 u ，+ u u x x x 一蚝) = o ( 1 2 8 ) 0 这里我们选择一种不同的途径。此方程可以用一个在b a n a c h 空间中取值 的常微分方程组来描述。在这个空间里，我们考虑能量守恒的整体解。我们证 明方程( 1 2 8 ) 存在唯一整体守恒解。进而，我们说明了这个方程的适定性问题。 3 2 解的适定性 3 2 1 基于l a g r a n g i a l l 的方程变换 方程( 1 2 8 ) 可以写成如下形式( 见【5 0 ，5 1 1 ) u f + h ，+ 只= 0 ， 江苏大学硕士学位论文 尸一乓= 昙( g ( 甜) 一2 + 厂+ 2 ) 又可转化为 u t + 厂 ) ，+ 只= 0 ， p 一乓：g ( 甜) + i 1 厂。( ”) 甜，2 + 厂”( “) 甜 地 卜鬈譬蒿r 根据( 3 2 2b ) ，p 可以写出具体形式： 尸o ，x ，= 三 一i x 一：i ( g 。甜+ 三厂。“材，2 + 厂。z ，甜) c ，z ，c 扬 0 。2 2 a ) 关于x 微分，秀j ：n m ( 3 2 2 b ) 得到 “盯+ ，” ) “：十厂 ) “。+ p - g ( u ) - f ” 弘= o ( 3 2 2 a ) 乘以u ，( 3 2 5 ) 乘以心，两者相加得到如下方程 ( “2 + “；) ，+ ( 厂( 甜) ( “2 + “：) 上 = - 2 ( p u ) ，+ ( 2 9 ( “) + ”( 甜) 甜2 + 2 f ”( 甜) 甜) ， 定义 g ( 1 ，) = i ( 2 9 ( z ) + 厂”( z ) ( z 2 + 2 z ) 1 龙 0 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 a ) ( 3 2 2 b ) ( 3 2 3 ) 0 2 4 ) 0 2 5 ) 0 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 6 ) 可以写成 ( “2 + z e ) ，+ ( 厂( 甜) ( u 2 + ) 上= ( g ( 甜) 一2 p u ) ， ( 3 2 8 这就是由于能量守恒而转化的方程。 定义”( f ，孝) = ( 甜( f ，y ( t ，f ) ) ) 0 2 9 ) 假设y ( o ，0 给定，用特征曲线y ( f ，9 表示( 3 2 9 ) 的解。若磊，参e 酞，用 y ( t ，5 ) 日o ) = fu 2 + ) 出表示包含在两个特征曲线_ ) ，( f ，缶) ，y ( t ，岛) 之间的能量。因 此 江苏大学硕士学位论文 百d h 鹏耐埘m 鲤+ 撩 奶，出 叫0 ) 我们利用( 3 2 8 ) n ( 3 2 1 0 ) 分步积分得 鲁= 【( g 脚小y 】宝 ( 3 2 1 1 ) 现在我们获得一个等价于( 3 2 2 ) f l 。始终用y 表示特征曲线，我们再介绍其 他两个变换，h 伊锄酉孤速度u 和累积能量分布日定义如下 u ( t ，a = u ( t ，y ( t ，鳓 ( 3 2 1 2 ) y ( t ，善) 日( f ，o = 2 + “：皿 ( 3 2 1 3 ) 根据特征曲线的定义和利用( 3 2 2 a ) 得 玑o ，0 = ( f ，) ，) + ) ，( f ，o u ，( f ，y ) = + 厂 如，) 。y ( t ，0 = 。y ( t ，0( 3 2 1 4 ) 这个最终形式可以用y ，u 和日的唯一形式来描述。我们有 只。y ( ，x ) = 一圭s g n ( y ( ，孝) 一z ) e - l y ( t , o - z l ( g 。“+ 圭厂。( 甜) ( + 2 “) ( r ，z ) 出 n m 3 嗾z = y ( t ，刁) ， p ，oy ( f ，x ) = 一ll s g n ( y ( f ，孝) 一y o ，7 ) ) e i y ( f f 卜y ( f 刀_ 雎 g o u + l l 坝协) 卜川，卵) ) 邶，彬7 7 由于日f = 2 + h ；) 。y y ， p ，oy ( f ，善) = 一1i s g n ( y ( 孝) 一y ( 7 7 ) 弦一l y ( 善卜y ( _ x - 皿 ( ( ) 一三八州2 ( u ) u ) 雎+ 丢八u ) 4 p 却( 3 2 1 5 ) 这里只。y 等价于q ， 1 4 江苏大学硕士学位论文 q ( f ，孝) = 一寻p g l l ( 孝一7 7 ) e x p ( 一s g i l ( 孝一7 7 ) ( y ( 孝) 一y ( 刁) ) ) x ( ( g ( u ) 一兰厂。( u ) u 2 + 厂。( u ) u ) + 三( u ) 4 ) ( ，7 ) d 7 7 ( 3 2 1 6 ) p o ，善) = i 1 e x p ( 一s 印( 善一7 7 ) ( y ( 乡) 一y ( 7 7 ) ) ) ( ( g ( u ) 一言厂。( u ) u 2 + 厂。( u ) u ) 比+ 三。( u ) 以 ( 7 ) 却 ( 3 2 1 7 ) 只。y 和p 。y 可以被( 3 2 1 6 ) 和0 2 1 7 ) 的等价描述所取代，而( 3 2 1 6 ) 和( 3 2 1 7 ) 仅仅依赖于我们的新变换u ，h 幕l ly 。 我们介绍另一个变换f ( f ，9 ，简单定义为f ( f ，0 = y ( f ，0 一孝。 我们已经获得了一个方程组构成的新系统，这个系统等价于( 1 2 8 ) 。方程 ( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 1 ) 和( 3 2 1 4 ) 给出 f y ，= 厂( “) ， t 只曼荔u 叫印 具体的分析将会揭示常微分方程系统( 3 2 1 8 ) 关于( f ，u ，日) ：【o ，z 卜e 是适定 的，当e 是一个b a n a c h 空间并且定义成下文中的形式。我们有 姥2 一j 1 厂。( u ) 4 + ( 尸+ 三厂。( u 渺2 一厂。( u 渺一g ) _ ) 以和忍= 鱿。 对( 3 2 1 8 ) 微分得到 f 白= 厂( u ) ，( 蜘= 厂。缈) ) 卜扣吣一( 尸+ 吾厂r ( u ) u 2 - f ( u ) u - g ( u ) i 赡 凹9 ) 【= ( 2 9 ( u ) + 厂。( u ) u 2 + 2 f 。( u ) u 一2 尸) 一2 q v y , 3 2 2 解的存在性- q 唯一性 用矿表示一+ b a n a c h 空间定义为y = 厂c 6 ( r ) i 乃r ( r ) ) 。当 江苏大学硕士学位论文 c 6 ( r ) = c ( r ) n r ( r ) 时，y 的范数定义为0 硎矿：l l s l l 酽( r ) + l l s 。l ( 孝) p 一。和a 定义映射为a ：，hh * v 。q i 可以写成下列形式 1 6 江苏大学硕士学位论文 q ( 袱9 = 一二- 彳。尺( f ，u ，日) ( 国 p 一“0 这里r 是从e 到r ( r ) 的算子，形如 r ( f ，u ，日) = p f ( d ( ( g ( u ) 一号( 【厂) u 2 + 厂。( u ) u ) ( 1 + 炙) + 圭厂”( u ) 4 ) ( 善) a 是从r ( r ) 到日1 体) 的连续函数。h 的傅立叶形式很容易计算出 j i 6 ( 7 7 ) 2 办( 孝) p 舢z 口d 孝2 了面1 r 。， 日1 ( r ) 范数可以用傅立叶变换形式给出如下： l i b * 础旷i l ( 1 + 栉必扁k ， 又因为扁：觞，所以我们有 0 弗y 0 髫。曩) = | j ( 1 + 7 2 ) 左移j i p 。r ，cj j 哥j j r 。r ，= c l l v l l 2 。r ) ( 利用了p l a n c h e r e l 等式) c 为某一常数。 又a ：r ( r ) h 日1 ( r ) 是连续的，我们可以证明在g ( o ) = 0 的假设下，r ( 多，u ，日) 属于r ( r ) 。所以a 。r ( f ，u ，h ) 属于h 1 ( 哟。为证明r ：e r ( 哟是局部 l i p s c h i t z 的。基于这个目的，我们使用下面的引理。 引理3 2 2 令： x e l l l x l l e m ) ( i ) 若g l 是从到r ( r ) 的l i p s c h i t z 映射，9 2 是从到r ( 岣的l i p s c h i t z 映射， 则积g 1 9 2 是从巩到r ( r ) 的l i p s c h i t z 映射。 ( i i ) 若g l9 2 是从到r ( r ) 的两个l i p s c h i t z 映射，则积g 1 9 2 也是从到 r ( 酞) 的l i p s c h i t z 映射。 证明：假设x 和j 在中，假设g 。和g ：满足( i ) 的假设。我们用厶和： 分别表示9 1 和9 2 的h p s c h i t z 常数，则 i f g 。( x ) ( x ) 一蜀( j ) ( j ) k ( r ) 1 7 江苏大学硕士学位论文 0 霸( x ) 一岛( j ) 忆( r ) i | ( x ) 忆( r ) + 0 蜀( j ) 忆( r ) | l ( x ) 一( j ) k ( k ) 2 l