（基础数学专业论文）惟一因子分解整环上的smith矩阵.pdf

四川大学硕士学位论文 摘要 惟一因子分解整环上的s m i t h 矩阵 基础数学专业 硕士研究生周兴旺指导教师洪绍方教授 在本文中，作为通常的整数环z 上的最大公因子和最小公倍数的推广，我们 在惟一分解整环r 上定义了最大公p - 因子和最小公p _ 倍元，分别记为( 托，g ，) p 和 铂x i p 如果对于s 中的任何元她，它的任意一个因子仍在s 中，或者与s 中 的某一个元x s 相伴，则称s 为因子封闭集，简称f c 集以( 托，x i ) p 的e 次方为第 i 行，列元素的矩阵称为定义在s 上的e 次幂g c d 矩阵，记为( s 。) ；以 以，* p 的 e 次方为第i 行j 列元素的矩阵称为s 上的e 次幂l c m 矩阵，记为 s , 3 我们得到 了如下结果： 定义在集合s 上的e 次幂g c d 矩阵( 酽) 是非奇异的； 若j s 是r 上的f c 集，则s 上的e 次幂g c d 矩阵( s 。) 的行列式d e t ( p ) = 昴( z 1 ) 胙( * 2 ) 昴( ) ，其中昴( ) 为r 上的j o r d a n 函数； 当s 为f c 集时，得到了( 酽) 的逆矩阵( 酽) 。1 的表达式； 证明了当s 是f c 集时，( 酽) 整除 酽 ，即 酽 等于( 酽) 与r 上另一个矩 阵的乘积 关键词：幂g c d 矩阵；幂l c m 矩阵；因子封闭；u f d 四川大学硕士学位论文 a u t h o r ：z h o ux i n g w a n g ，s u p e r v i s o r ：h o n gs h a o - f a n g i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so ft h eg r e a tc o m m o np d i v i s o r ，l e a s tc o r n m o np - m u l t i p l eo ft w od i s t i n c tn o n z e r oe l e m e n t s 茹，yi na r b i t r a r yu n i q u ef a e t o r i z a t i o nd o - m a i n ( u f d ) r ，a n dd e n o t et h e mb y ( 并，y ) 尸，a n d 并，y 尸r e s p e c t i v e l y l e ts = 1 ，茹n b eas e to fnd i s t i n c tn o n t a e r on o n - a s s o c i a t ee l e m e n t si nr ，e 1a ni n t e g e r t h es e tsi sc a l l e df a c t o re l o 目x l ( 陀) ，i f f o re v e r y s ，e v e r yf m t o ro f * i ss t i l l i ns ，o ra 8 8 0 c i 悯w i t h 明e l e m e n t 即i ns t h em a t r i x ( 酽) = ( ( 甄，q ) 暑) h a v i n gt h ee t hp o w e ro f t h eg r e a t e s tc 0 瑚m 吼p d i v i s o r ( 毛，即) po f 瓤a n dq 鹊i t s ( i ，j ) e n t r yi s c a l l e dt h ee - t hp o w e rg c dm 妇0 1 1s t h er n 8 i m x s 。 = ( ，婶 ；) h a v i n gt h ee t h p o w e ro f t h el e a s tc o m l l np m t l t i p l e 粕，新 po f 托a n d “，船i t s ( i ，j ) 一e n t r yi sc a l l e d 曲be t hp o w e rl c i v in t r i xo i ls w eo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 酽) i sn o m i n g l l l 且r f o ra n ys e ts ； i f si sa nf cs e t ，t h e nt h ed e t e r m i n e n to f ( 酽) h a sf o r m u l ad e t ( s 8 ) = 弗( 1 ) 昴( n ) ，w h e r et h ef u n c t i o n 昴i st h eg e n e r a l i z e dj o r d a nt o t i e n tf u n c t i o n ； a f o r m u l ao f t h e i n v e r s eo f ( 酽) i sg i v e n w h e nsi sa nf cs e t ； i fsi sa nf cs e t ，t h e n ( p ) i s q k e yw o r d s ：p o w e rg c dr m t r l x ；p o w e r 删n t r i x ；f a c t o re k d ；u f d 2 四川大学硕士学位论文 1 引言 设s = w 1 ，w 2 ， 是整数环z 上n 个不同正整数构成的集合，e 是一个 正整数( 她椭) 和 戤， 分别为她，。i 的最大公因子( g c d ) 和最小公倍数 ( l c m ) 我们称5 为因子封闭集，简称f c 集，如果对于s 中的任何元* ：，它的任意 一个因子仍在s 中以( 扎x i ) 的e 次方为第i 行，列元素的矩阵称为e 次幂g c d 矩阵，记为( s 。) ；以 托，* j 的e 次方为第i 行j 列元素的矩阵称为e 次幂l c m 矩 阵，记为 酽 当e = 1 时，( s 1 ) 和 s 1 就是我们通常所说的g c d 矩阵( s ) 和l c m 矩阵 s 对g c d 矩阵的研究始于s m i t h “，他证明了当s = 1 ，2 ，n 时，矩阵 ( s ) 的行列式d e t ( _ s ) = 驴( 1 ) p ( 2 ) p ( n ) ，其中甲为e u l e r 函数，在1 9 8 9 年， b e s l i n 和l i g h t 2 3 进一步证明了定义在正整数集j s 上的g c d 矩阵( j s ) 正定( 从而可 逆) ，并得到了( s ) 的分解结构定理，即( s ) 可以分解为一个矩阵a 和它的转置矩 阵a 7 的乘积，或者分解为三个矩阵的乘积e a e r , 其中妒为e 的转置矩阵，以为 对角矩阵，并得到了当s 为一般的f c 集( 以s m i t h 所考虑的s = 1 1 ，2 ，n 的 情形为特例) 时，( s ) 的行列式d e t ( s ) = 9 ( 1 ) 妒( * 2 ) p ( 。) 在1 9 9 0 年，l i l 3 j 又证明了其逆命题也成立，即若( s ) 的行列式d e t ( s ) = 9 ( x 1 ) p ( 9 2 ) 9 ( ) 。 则s 是一个因子封闭集在1 9 9 2 年，b o u r q u e 和l i g h c 4 】在s 为因子封闭集的条件 下得到了( s ) 的逆矩阵的表达式，并由此证明了( s ) 整除 s ，即 s 可以表为 ( s ) 与另外一个z 上矩阵的乘积 对于s 上的l c m 矩阵的研究也始于s m i t h ( 因此现在人们把幂g c d 和幂l c m 矩阵统称为s m i t h 矩阵) s m i t h 在文 1 中证明了如果s 是一个f c 集，则 s 是非 奇异的，并且其行列式 d e t s = p ( 筇1 ) p ( 并2 ) 9 ( 茹。) ，r ( 髫1 ) 丌( 并2 ) 丌( x n ) ， 这里9 为e u l e r 函数，万是一个乘法函数，定义在素数幂p 7 上，使得丌( p r ) = 一p b o u r q u e 和“g h 【4 进而得到了此时 s 的逆矩阵的表达式我们称集合j s 是一个 g c d 封闭集( 也就是最大公因子封闭集) ，若s 中任意两个元铂w f 的最大公因子 ( m * f ) 仍属于l s 关于g c d 封闭集s 上的l c m 矩阵 s 的行列式是否为零的问 题是一个有趣的问题：在文 4 3 中，b o u r q u e 和h 出曾经猜想定义在一个g c d 封闭 集上的l c m 矩阵 s 非奇异，然而h o n g 5 于1 9 9 9 年证明了当n 7 时，此猜想 成立，而当n 8 时，猜想不成立，并进而提出猜想：设e 为正整数，则对于s 上的 e 次幂g c d 矩阵，存在一个与g 有关的正整数 ( e ) ，使得当n ( e ) 时， 4 四川大学硕士学位论文 b o u r q u e l i g h 猜想成立，而当r t k ( e ) 时，猜想不成立显然，h o n g 证明了k ( 1 ) ：7 在2 0 0 4 年，c 8 0 6 证明了k ( 2 ) 8 目前h o n g 的猜想还是一个公开问题近 年来，对于g c d 和l c m 矩阵以及它们之间关系的研究日渐增多h ，8 j 另外，也有研究者对幂g c d 和幂l c m 矩阵进行了推广一方面，以算术函数 作为矩阵的元素，使得幂g c d 和幂l c m 矩阵成为这些矩阵的特殊情形 9 1 2 另 一方面，b e s l i n 和e 1 k a s s a r 于1 9 8 9 年将s 中元素所在的集合由整数环z 推广到任 意惟一因子分解整环( u f d ) r 上，获得了类似于z 上的一些结果u3 | 在本文 中，我们在任意惟一因子分解整环r 上定义了最大公p _ 因子( w ，) p 和最小公p - 倍元 * ，y ，因子封闭集s 以及幂g c d 矩阵( 酽) 和幂l c m 矩阵 酽 ，获得了如 下结果：定义在集合j s 上的e 次幂g c d 矩阵( 酽) 非奇异；若s 是r 上的f c 集，则s 上的e 次幂g c d 矩阵的行列式为：d e t ( s ) = 昴( z 1 ) 昴( * 2 ) 昴( ) ，其 中昴( * ) 为屁上的j o r d a n 函数；当s 为f c 集时，得到了( _ s 8 ) 的逆矩阵( 酽) 。1 的表达式；证明了当s 是f c 集时，( 酽) 整除 酽 ，即 s 。 等于( s 。) 与r 上另 一个矩阵的乘积这些推广了b o u r q u e 和u g i l 【1 1 , 1 2 以及b e s l i n 和e 1 k a s s a r 1 3 】的结 果 本论文中的结果取自文 1 4 和 1 5 5 四川大学硕士学位论文 2素系及乘法函数 设只是一个惟一因子分解整环( 即u n i q u ef a c t o r i z a t i o nd o m a i n ) ，记加法单位 元为0 ，乘法单位元为1 而“常指r 中的一个单位 设x 为r 中的非0 元我们称* 为r 中元y 的因子，如果存在r 中元z 使得 y = ，记为wi ，若非0 元* ，y 满足* = u y ，则称* 与y 相伴两个非0 元w 与 y 相伴当且仅当z = 町显然，单位u 是任意元* 的因子，* 的任意相伴元一也是 * 的因子一般地，我们称尺中单位和“：的相伴元为z 的平凡因子，其它的因子则 称为z 的真因子如果r 中非0 、非单位元p 仅有平凡因子，则我们称p 为素元 熟知，若p 为素元，则即也是一个素元由r 的定义，r 中非0 非单位元可以“惟 一”( 具体含义参见文献 1 6 ) 分解为r 上一些素元的乘积，也就是说，任意非0 非单位元* r ，有g = p lc l p 2 p 。，其中p f ( i = 1 ，2 ，s ) 为_ r 中素元，5 ，吼 为正整数 设s = z 1 ，* 2 ， 是r 上n 个互不相伴非0 元构成的集合，我们称s 是 一个因子封闭( f a c t o rc l o s e d ) 集，若对于任意她s m 的任何因子( 包括平凡因 子和真因子) 都s ，或与s 中某个元新相伴若r 中非0 元d 既是* 的因子，又 是y 的因子，则称d 为x ，y 的一个公因子显然若d 为z ，y 的公因子，则以也是 r 中元d 称为* ，的一个最大公因子，如果d 是w ，y 的一个公因子，且“，y 的任 意一个公因子d 都是d 的因子易见最大公因子并不惟一，但是它们之间互为相 伴元同样，我们可以定义* ，y 的最小公倍元( 也不惟一) 我们知道，r 中的两个元间的相伴关系是一种等价关系( 参见文献 1 7 ，第 7 6 页) ，我们可以将r 中元按照相伴关系分为一些互不相交的等价类，从每一个 类中取一个代表元根据这种思想，我们引入素系的概念：从_ r 的所有素元所在 的等价类中分别取出一个代表元，再将它们按某种顺序排列，使所得集合为良序 集，则我们称所得集合为r 的一个素元系，简称素系，记为p 取定了素系p 后， 由于r 为惟一因子分解整环，置中非0 、非单位元就可惟一确定地分解为w = u p l p 2 0 2 仇，其中p # p ，岛，s 均为正整数，u 为尺中单位我们称r 中元* 为 一个p - 数，若* 可分解为p 中素元的乘积我们将所有p - 数与乘法单位元集 1 之并记为芦，它对乘法封闭可见芦中元要么是1 ，要么是一个p _ 数 设* 为r 中的非o 元如前文所述，z 的每一个因子均分别属于一个等价类 例如，* 的单位因子就是单位元1 所在的类；* 的相伴元所在的类就是# 所在的 6 四川大学硕士学位论文 类我们从* 的所有因子所在的类中分别取一个元，构成一个集合，称为元z 的 一个完全因子系，简称完系，记为q 如果一个元d 是* 的因子，且de 芦，则称d 为* 的p - 因子特别地，我们称* 的由所有p _ 因子构成的完系为z 的完全p 因 子系，简称p - 系，记为只易见* 的完系一般不惟一，而p _ 系是惟一确定的，而 且w 的任一完系中元素的个数与其p _ 系中元素的个数相同，两个集合中元素对 应相伴，即对于p - 系中任一元d ，任一完系中均有一个元d 与之相伴，反之亦 然 设* ，y 均为r 中非0 元* ，y 的最大公因子构成了一个等价类，我们定义属 于尹的那一个为w ，y 的最大公p - 因子，记为( w ，y ) p 显然，最大公p 因子是惟一 存在的同理，我们定义属于芦的那一个最小公p - 倍元为* ，y 的最小公p - 倍元， 记为 w ，y p 当r = z 时，素元就是通常的素数，素系就取为通常的所有正素 数，最大公p _ 因子就是最大公因子，最小公p - 倍元就是最小公倍数 设w = u 1 p 1e l p 2 p 。，y = u 2 p 1 p p ，其中u 1 ，“2 为r 中单位，p i ep ， e l 0 ，石0 为整数易见 ( * ，y ) p = p l 岫1 ( z ，1 ) p 2 m i n ( 气，) p s r a i n ( 巳f ：芦 若g ，y 之一为单位，则( * ，y ) p = 1 而 茹，y 尸= p t “搬( ，l p 2 鹏( 气，) p ，m 旺巳，f 芦 显然，我们有 性质2 1 ( * ，y ) ，y 芦，且与x y 相伴 定义2 2 设* = t t p l p 2 p ，为r 中非o 元称i = p le * p 2 p ；。，e 芦为 z 的主要部分，简称主部 定理2 3 如果定义在r + = r 一 0 上的函数厂满足：v “r 。有厂( x ) = 厂( i ) ，则有 2 抓d ) = 芝抓d ) ， d e qd e - 巴 其中deg 表示d 过w 的任一完系，而d 只表示d 过z 的p - 系 证明 由完系和p _ 系的定义，对* 的任一完系中的元d ，有d = u d ，d 是 * 的p 系中元，代人等式左端，再利用条件即得结论 注1 在定理2 3 中，当，的取值与完系的取法有关时，必须指明完系的取 法，否则求和是没有意义的另外，r 中非o 元* 的完系一般有多个，但p 系是惟 一的，所以在对满足定理2 3 条件的函数求和时，我们只需让d 过w 的p _ 系，从而 可以简化计算 7 四川大学硕士学位论文 定义2 4 称定义在r 。上的函数为一个乘法函数，如果不恒等于0 ，且 对任意满足( * ，) ，) p = 1 的z ，y 均有“x y ) = ，( * ) f ( y ) 性质2 5 若，为乘法函数，则有“1 ) = 1 证明 因为，不恒等于o ，则必然存在非o 元* 使得八* ) 0 从而由( * ，1 ) r = l ，得以z ) = “z 1 ) = “x ) “1 ) ，所以文1 ) = 1 注2 对于乘法函数来说，一般未必有，( “) = 1 特别地，如果乘法函数，满 足，( “) = 1 ，令w = 噼，由于“* ) = “城) = ，( u ) ，( i ) = ，( i ) ，于是，满足定 理2 3 的条件 定义2 6 对于定义在r + 上的两个函数f ，g ，定义它们的狄利克雷 ( d i r l c h l e t ) 乘积，。g 为： ，* g ( ) = 游( d ) g ( x d ) d 匕 引理2 7 设搿，y 为霆中非o 元，且( * ，) p = l 。如果d i 过# 的只系，如过 y 的p - 系，则d l d 2 过彬的p _ 系 证明 由于( x ，y ) p = 1 ，则可假设x ，y 的标准分解式分别为： z = t r i p l 。 p 2 。2 p i t ，y2u 2 q 1 ，1 9 2 q , ， 其中p i ，毋为互不相同素元，i = l ，2 ，s ，j = 1 ，2 ，r 则* 的p - 系中任意一个 元d 1 可表为 d l = p l p 2 2 p 。， 其中0 如e i ，k = 1 ，2 ，5 元y 的p - 系中任意一个元d 2 可表为 d 2 = q l q e h q , 其中0 工，t = 1 ，2 ，r 从而( d l ，d 2 ) p = 1 ，且 d l d 2 = p l t p 2 一。p s i q 1 1 q 2 h g r 易见d l 如p ( f ) ，且从只中另取一个元# l ，从b 中另取一个元2 ，则d l d 2 t 1 2 另一方面 x y = 嘶u 2 p 1 1 p 2 a 勺1 ，1 9 乒q , ， 则叫的p - 系中任意一个元d 可表为 d = p l p 2 一。a m q 2 h q r ， 其中0 i k ，0 工，k = 1 ，2 ，s ，t = l ，2 ，r 令 d l = ( d ，* ) p ，d 2 = ( d ，y ) p ， 8 四川大学硕士学位论文 则有d = d 2 d 2 ，且( d 】，如) ，= l ，可见d2 d 2 确实过x y 的p _ 系证毕 定理2 8两个乘法函数的狄利克雷乘积仍是乘法函数 证明 设f ，g 为r 上的两个乘法函数，h 为它们的狄利克雷乘积，则由定义 h ( * ) = 狄d ) g ( x d ) ， d 巴 显然h 定义在月上，且h ( 1 ) = “1 ) g ( 1 ) = 1 ，可见h 不恒等于0 对r 中满足( * ，y ) p = 1 的任意两个元w ，y ，我们有 h ( x y ) = “d ) g ( x y d ) d p t 目) 由引理2 7 ，我们令d = d l d 2 ，其中d l 过* 的p - 系，d 2 过，的p _ 系，( d 1 ，d z ) p = 1 利用乘法函数的定义，我们有 h ( x y ) =“d l d 2 ) g ( x y d l d 2 ) 4 1 p j - 吃一 = “d 1 ) “d 2 ) g ( x d 1 ) g ( y d 2 ) 4 l t - 吒一 = ( f d 1 ) 占( * d 1 ) ) ( f ( d 2 ) g ( y d 2 ) ) 4 i p i d z e 一 = h ( * ) h ( y ) 证毕 定义2 9 设* 为r 中非0 元定义r 上的j o r d a n 函数昴为： r 1#=u， 以为2 i 立圳( - 1 )。：讲谚讲 当e = 1 时，昴就是r 上的e u l e r 函数仰而当r = z 时，西就是通常的 j o r d a n 函数由昴的定义不难看出，它是r 上的乘法函数，且满足昴( u ) ：1 性质2 1 0 设r 中非0 元的标准分解式为= u p i k , p 2 屯挑t ，则 - ，；( d ) ：u ，。c ，此处。，：_ 1 d ec 旷 证明令 g ( ) ：= 昴( d ) 4 c j 由于弗为乘法函数，且满足， ( u ) = 1 ，由定理2 3 ，有 g ( “) = j ( d ) ：昴( d ) d qd p l 9 四川大学硕士学位论文 在r 中任取两个非0 元* ，满足( z ，y ) p = 1 ，由引理2 7 ，令d = d l d 2 ，其中d 1 过g 的p _ 系，d 2 过y 的p 系，( d 1 ，d 2 ) p = l ，则有 g ( x y ) ：昴( d ) ：昴( d 。d 2 ) o ( w ) d l ，, t 2 6 p 7 ： j , g ( d 1 ) 昴( d 2 ) d l t 呜 ：( 昴( d 。) ) ( 昴( d 2 ) ) o i t呜 = g ( * ) g ( y ) ， 故g 也是一个乘法函数接下来我们证明g ( p “) = p “，其中n 为正整数由定理 2 3 ，我们有 g ( p n ) ：昴( d ) d p ( ，) = 1 + j 。e ( p ) + ， ( p 2 ) + + j e ( p “) = 1 + ( p 。一1 ) + ( p 2 一p 。) + + ( p “一p 。“一1 ) ) = p “， 所以 g ( * ) = g ( “p ) ：1 - g ( p i k , ) ：p l 吐 = ( p t ) ) 。= 专。：“* e ， 其中= 七证毕 推论2 1 1 若z 芦，则昴( d ) ：z c d 定义2 1 2 设g 为r 中非0 元定义函数l 为： r 1*=u， 卢( * ) = ( 一1 ) 3* = u p l p 2 风， 0 其它 当r = z 时，户就是通常的m t i b i u s 函数由定义不难看出弘是r 上的乘法函 数，且l ( u ) ：1 性质2 1 3 设z 为r 中非0 元，则有 静= 琵巍： 四川大学硕士学位论文 证明与性质2 1 0 的证明类似，令h ( “) = p ( d ) ，则可证h ( “) 也是乘 d e 乞 法函数又岸满足定理2 3 ，且当w = u 时，d 只能取1 ，故h ( u ) = p ( 1 ) = 1 当 * “时，设* = u p l 。t p 2 气p 。，只需计算h ( p 产) ，i = 1 ，2 s 此时d 依次取1 ， p f ，p f 2 ，p ，故 h ( p ) = ( 1 ) + p ( p f ) + p ( p i 2 ) + + p ( p 8 - ) = 卢( 1 ) + f ( p ；) = l + ( 一1 ) = 0 故h ( x ) = 0 命题得证 四川大学硕士学位论文 3幂g c d 矩阵( s 8 ) 的非奇异性及其行列式 设s = * 。，* 2 ， 为r 中n 个互不相伴非o 元组成的有序集合定义在 s 上的以( 钆* ，) ；为第i 行j 列元素的矩阵称为e 次幂g c d 矩阵，记为( s 。) ，其中 e 为正整数，以 戤，x 廓为第i 行，列元素的矩阵称为e 次幂l c m 矩阵，记为 p 本节我们首先来讨论( 酽) 的非奇异性 引理3 1 设s = * ，x ：，z 。 是一个r 中n 个互不相伴非0 元组成的有 序集，d = d 1 ，d 2 ，如 是包含s 的f c 集定义矩阵a = ( ) ，b = ( b i ) 。为 f 昴( 弓) 。2 l o 则( 5 。) = a b 。 而ix i ， 其它， d i x j ， 其它 证明 由推论2 1 1 ，及f c 集d 的性质，有 ( 脑) # = o 成= 昴( 也) 2 1 d k h ，吨i ： 昴( 矗) ；，；( d ) d c ，) d e c ( )d 户( ，) d p ( ) ： f i e ( d ) ：( * d p p ) 证毕。 注3 若定义矩阵e = ( ) 。为： 铲琵姜寥a = d i a g ( 似剐肼) i ”m ) ) ， 则( s 8 ) = 昱a ，e 7 注4 r 可以嵌入其分式域f 中设s = m 。，甄 是s 中元的一个新 排列，通过交换( 酽) 的行和列，我们最终将得到( s ”) ，从而s 上的e 次幂g c d 矩 阵( s 。) 和s 上的e 次幂g c d 矩阵( _ s ”) 相似，所以秩( 酽) = 秩( s ”) ，d e t ( s 。) = d e t ( s “) 注5设r 的分式域为，f 的分裂域f 使得每一个昴( x i ) 均有平方根同 引理3 1 一样，令d = d 1 ，d 2 ，d 。 是包含s 的f c 集，定义矩阵a = ( ) 为： 四川大学硕士学位论文 j - ， ( d f )若d ，j * f ， a o 2 1 0 。 其毛 则类似引理3 1 可证( 酽) = a a r , 此处a 7 表示矩阵a 的转置 我们将s 中所有元素的属于p 的全部素因子取出来，按照素系p 中元的排 法排成一列，记所得集合为 p 。，p ：，p ， ，则此集合也是良序集然后我们在s 上定义一个序 为：设x = u l p l e a p 2 p 产，y = u 2 p l f , p 乒为| s 中任意两个 元素，其中l ，“2 为r 中单位，p p ，e i 0 ，f j 0 为整数，如果存在一个正整 数c ，使得对所有的1 k c ，e = 五，但e 。 f o ，则z y s 在这个序下是良 序集 定理3 2g c d 幂矩阵( s 。) 是非奇异的 证明由注4 ，我们不妨假设s 中元是按照序 排好的，即有。l ”2 奶 * 。易见当i ，时，瓤 婶，。，她我们选择包含s 的f c 集d 的前n 个元为d l = z 1 ，d 2 = x 2 ，蟊= ，从而注5 中的矩阵a 可以分块为两个部分， a = ( a 。，a z ) ，其中a 。为如下形式的n 阶下三角阵： 厂丽雨000 * 以丽习0 0 i；i0 * * 以i 页习 而a 2 为( t i t n ) xn 矩阵从而有 秩( a ) = 秩( a ) = n = 秩( 酽) 所以( 酽) 是尹上的非奇异矩阵，从而在f 上也是证毕 n 定理3 3 若s 为f c 集，则d e t ( s ) = i i 昴( 规) 证明若s 为f c 集，则注3 中的矩阵e 和均为单位矩阵定理得证 推论3 4 若l s 为n 个不同正整数构成的f c 集，( s e ) 为e 次幂g c d 矩阵， ! 则d e t ( 酽) = 1 - f ，( 耽) ，其中，为j o r d a n 函数 推论3 5 1 1 2 若s 为r 上的f c 集，( s ) 为定义在s 上的g c d 矩阵，则d e t ( s ) o = 儿和( 托) ，其中即为r 上的e u l e r 函数 1 3 四川大学硕士学位论文 4 幂g c d 矩阵( s 6 ) 的逆 由定理3 2 ，( s 。) 的逆矩阵存在，在本节中，我们来求( s 。) 的逆矩阵 定理4 1设s = t z i ，x z ， 是r 中的一个f c 集，则( s e ) 一1 ：a ： ( a d ) ，其中 。# = 一而l 五如瓢) p 。 ) 。# 2 x1x，,而k125 历卢【札几) p ( x k x y ) 如 证明 虫注3 ，( f ) = e a e 7 由于s 是f c 集，我们就取d = s ，并令d l ： l ，d 2 = x 2 ，d n = * 。此时a = d i a g ( ， ( * 1 ) ，昴( x 2 ) ，胙( ) ) j 我们定 义一个矩阵u = ( ) 。如下： 。一f f ( q 伪) 竹i 一【o 其它 我们来计算e u 的第i 行，列元素由定理2 3 ，性质2 1 3 及因子封闭集的性质，有 ( e u ) f = e 舻啊=卢( 机x j ) = p ( 也) ( 令以：机x j , 用d k 替换机) l x t 吩 = 产( 也)( 令瓤* j _ “) 噍l 。 = 罾= 惦巍 而* = u 即x i = 哟，由于s 中元素互不相伴，故只有i = ，也就是说i ：j 时 ( e u ) i i = 1 ；i j 时，( e u ) = 0 故e u = 厶( 单位矩阵) ，从而e 。1 ：u 由( 酽) = e a e r ，故( 9 ) = ( 矿) 1 a e = u r a u ：( ) ，其中 = 魄 南，了丽1 ，顶1 习 ， 旷( u r a 。1 矿) f = 善而1 = 1j p ， = 蚤志小川小幽) ( 2 ) l 定理得证 1 4 四川大学硕士学位论文 5 幂g c d 矩阵( s 。) 和幂l c m 矩阵 s 。 的整除性 在本节中，我们研究惟一分解整环r 上的幂g c d 矩阵( f ) 和幂l c m 矩阵 s 。 之间的整除性 引理5 1 令m 和r 是r 中非0 元，e 是一个正整数，设t = 7 _ 上弋，m = l m ，r ，卢 u p l ，1 p p ，g m 的分解式，那么f ( m ，r ) = d ，r ；p ( m d ) 为r 中元 d 0 素 证明 首先，由定义有 f ( m ，r ) ： d ，r # ( m d ) d “1 2 盖( 赫r 。卢( m d ) 玎爱( 赢卜小朋) 令 ，( m ) = 圣志, u ( m d ) ( 3 ) 其中a 为d 的主部，则f ( m ，r ) = f 杈m ) 令 ，、面o g l “，2 丽 则 “m ) = g ( d ) 卢( m d ) 注意到主部函数i ，函数( * ，r ) 关于* 均是乘法函数，则g 也是乘法函数，且 g ( “) = 1 又p ( 菇) 是乘法函数，且t d u ) = 1 ，由定理2 3 有 ，( m ) = g ( d ) p ( m d ) ；g ( d ) 肛( m d ) 故f = g * ，由定理2 8 知，是乘法函数 为求，( m ) 的值，首先我们来计算“u ) 和“p ，) 的值当m = “时，d 的取 值只能为1 ，故“u ) = 1 当m u 时，设m 的分解式为m = u p 。，1 p 乒而 删) - 。冕，志州p f ，：d ) 竺型查兰璺主堂竺堡圭 = 薹蒜叫砌。) = 蓦蒜州p ) = 编一孝亳 一( p ，r ) ；一( p 五一1 ，r ) 声 ( 4 ) 1 ) 如果( p f i r ) p = l 测( p ，r ) p = ( p ，) p ：1 ； 2 ) 如果j ，1 _ ，互一1 , i 曼p + 1 不整除r ，则( ，r ) p ：( _ p 一，r ) p ： 3 ) 如果一ir ，则( p ，r ) p = p ，( p 3 ，) p ：l p ， 故对于情形3 ) ，( 4 ) 式的值为o ；对于情形1 ) 、2 ) ，( 4 ) 式的值为 二乒掣：匿型垡：二望一醴 ( ，r ) ；一( p ，绑 。( p 万；瘁 f 0若ir ， 蹦b 徽其它 1 ( ，r ) ； 是匕 “m ) = 善志鸶再( m d ) = 以印。p ：丘p ，) o若存在某个i 使得p ，ir ，i = 1 , 2 s ， 。l 龋其它 ( 5 ) ，葶次，由于f ( m ，) = f 钗m ) ，则f ( m ，r ) 与承。) 相伴由( 5 ) 式，以及 ( “，7 ) pi ，有f ( r a ，r ) = 0 ，或，( m ，r ) 与扩( m ) 相伴所以f ( m ，) r 证 。曼理5 2 设s = * 1 ，2 ，i 是r 中n 个互不相伴的非。元组成的f c 篓，型! f ) i f ，即矩阵 酽 可以表为( 酽) 和r 中的另一个矩阵b ：( 6 f f ) 的乘 积，其中 一一 耻爱志小哆羲， d 剞脚 四川大学硕士学位论文 证明利用引理5 1 的结果，我们采计算矩阵乘积c = l s 。j ( 酽) “的弟i 仃 j 列元素的值： c ，：壹 。 ；。叫 = 娶铂稍川互i 南小以加( 圳 m ；lj r “ 2 量i 邝而i ( x j x a w 呵) =墓ih“邛南州钆a)ff(dgc 札矧 c u i j p l j 。 。再志小纠。最， d m 碍州d ) = 6 “ 所以 酽 = ( s 。) b 下面我们来证明b 是r 中矩阵实际上， 和i 志如矧磊。，心确强叫旬 = 綦志小幽) ；) 由引理5 1 ，f ( 粕确) 等于0 或者与扩( 钆) 相伴，其中，t = _ 弋r 相应 k 并 ，魁j 庐 地，b 口等于。或者与私( x k x j ) 相伴在任何一种情形下我们都有6 “r i 综上，定理得证 推论5 3 4 】设s 是。个不同正整数组成的f c 集则( s ) i s 1 1 7 四川大学硕士学位论文 参考文献 s m i t hhjs o nt h ev a l u eo fac e t t a i na r i t h t i e a ld e t e r a l i n a a t j p r o e l o n d o nm a t h s o c ， 1 8 7 5 - 7 6 ，7 ：2 0 8 2 1 2 ， 1 3 e s l i ns ，i j 曲s g r e a t e s tc o r n l 3 l m ld i v i s o r m b m c j i i n e a r a l g e b r a a p p l ，1 9 8 9 ，1 1 8 ：6 9 7 6 “z d e t e r m i n m t so fg m a t r i e e s j l i n e a ra l g e , b l aa p p l ，1 9 9 0 。1 3 4 ：1 3 7 1 4 3 n o l l 掣k ，l i g hs o nc , c da n dl c mm a t r l c e s j l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 2 ，1 7 4 ：6 5 7 4 h o n gsf o nt h eb o u r q u e - l i g hc o n j e c t u r eo f l e tc o n l r l l g _ m u l t i p l em a t r i c e s j ，j a l g e b r a ， 1 9 9 9 ，2 1 8 ：2 1 6 2 2 8 c a o w r e m a r k so i lac o n j e c t u r eo f h o n go fp o w e rl c v m a t r i c e s j 四川大学学报( 自然科 学版) ，2 0 0 4 ，4 1 ( 6 ) ：1 1 2 4 1 1 3 1 h o n gsf o nt h ef a e t o r i z a t i o r to fl c m1 3 f l a t i i c l l o i lg e d - c l o s e d8 e t s j l i n e a ra l g e b r aa p p l ， 2 0 0 2 ，3 4 5 ：2 2 5 2 3 3 h o n gsf n o t e so np o w e l m mm a t r i c e s j a e t aa r i t h m e t i c a 。2 0 0 4 ，1 1 1 ( 2 ) ：1 6 5 1 7 7 gsf c c d - e l o “ls e t sa n d