（基础数学专业论文）多值逻辑代数中若干问题的研究.pdf

多值逻辑代数中若干问题的研究 邵晓丽 摘要多值逻辑与当今的一些前沿学科如模糊控制，人工智能，神经网络和 计算机科学等有着密切的联系不同的多值逻辑系统对应着不同的多值逻辑代数 早在1 9 5 8 年，著名逻辑学家c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备 性而引入了时一代数的理论，并成功地证明了l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备 性1 9 9 6 年，王国俊教授基于对模糊逻辑与模糊推理方面存在的问题的分析，提出 一种新的形式演绎系统l 系统和与之相匹配的多值逻辑代数碥一代数随 着研究的不断深入，l 系统的完备性以及r o - 代数自身的完备性都已经得到了证明， 并取得了丰硕的成果，这些研究成果既促进了多值逻辑的发展，又丰富了代数学的 内容，所以多值逻辑代数是本文的主要研究对象 全文内容共分四章，第一章是预备知识，首先给出了后面要用到的格论的初 步知识在模糊逻辑当中基于连续三角模的剩余格理论是研究这些逻辑代数系统 的重要工具，譬如b l 一代数，m v 一代数，g 一代数，6 0 9 u e n 代数等都是基于剩余格的代 数结构，其次又介绍了剩余格理论和几类逻辑代数系统及其它们所拥有的性质第 二章讨论了几类多值逻辑代数系统与剩余格的关系，并且给出了它们各自的基于 剩余格的简化形式p e t e r h a j e k 于1 9 9 8 年提出了b l 代数的理论，但由于b l 代数 定义中的条件x y = x( x y ) 太强，仍有一些逻辑代数被排除在外，基于此，删除 b l 代数定义中的条件x y - - x 固( x y ) ，并保留分配性而引入了次b l 代数的概念， 次b l 代数把& 一代数，b r o - 代数，m v 一代数，g 代数和6 0 9 u e n 代数都包含在内，从而所 建立的推理系统有更广泛的应用性本文对次b l 代数作了更进一步的深入研究， 证明分配性可以由次b l 代数定义中的其它条件推出，从而简化了次b l 代数的定义 本文还给出了次b l 代数的另外两种等价定义，揭示了次b l 代数与其它逻辑代数之 间的关系，并证明了一种强次b l 代数与b l i o 一代数是等价的，并以此为基础，得到了 b r 。一代数和i i 0 一代数的简化定义 第三章结合n 一半单代数的性质，在n 一半单代数中探讨了蕴涵代数和剩余格 理论，并得到了很好的结果在代数学中经典的环论和有限结合代数是两个重要的 分支，而半单代数在有限结合代数中占有重要的位置n 一半单代数按照运算一可 以构成与f i 代数等价的代数系统，按照运算。可以构成与m v 代数等价的代数系统 本文通过对卜半单代数和模糊逻辑代数的研究，尝试着在n 一半单代数的中心幂等 元构成的集合g ( r ) 中引入一，o ，e 和，这几种运算( 其中一，o ，0 均为二元运 算，一为一元运算) ，并且定义了一个二元关系：”，这个二元关系构成g ( r ) 上 的偏序关系，进而证明了( g ( r ) ，) 按照相应的运算可以构成剩余格，更进一步地， 证明了g ( r ) 按照不同的运算分别可以构成与m t l 代数，b l 代数，g _ 代数，g o g u e n 代 数，b r r 代数和碥一代数等多值逻辑代数等价的代数结构，丰富了已有的结果第四 章通过对全序b r o 一代数的研究，并结合碥一代数和m v 一代数的完备性的证明给出了 b r o 一代数自身弱完备性的证明利用代数的相关知识解决逻辑问题是模糊逻辑研 究的一个有效方法代数的完备性的证明及其相关研究就是一个很好的例证b l i 。 代数是r 。代数去掉最后一条性质( a b ) v ( ( a b ) 一一a vb ) = 1 得到的弱r 。代数。 这就导致了b r 。代数在b r o 单位区间上的运算的不唯一性( 因为州一代数是满足条件 ( a b ) - - - b = a v b 的b r 。代数，而r 。代数是满足条件( a b ) v ( ( a - - * b ) 一一a vb ) = l 的b r 。代数) 本文尝试通过对全序b 代数的讨论并结合m 、一代数和代数的完备 性证明给出了b e , o 代数的弱完备性的证明 关键词剩余格：一代数：b r o 一代数：全序b r 。一代数：n - 半单代数 r e s e a r c ho fs e v e r a lp r o b l e m so fm a n y - v a l u e dl o g i ca l g e b r a s s h a ox i a o 1 i a b s t r a c t m a n y - v a l u e dl o g i ci sc l o s e l yr e l a t e dw i t hs o m cc u r r e n ta d v a n c e ds u b j e c t s , s u c ha s f u z z yc o n t r o l ，a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e , n e u r o s u r g e r yn e t w o r ka n dc o m p u t e rs c i e n c ee t c t h ed i f f e r e n t f u z z yl o g i cs y s t e m sa r ec o n e s l x m d i n gt ot h ed i f f e r e n tl o g i ca l g e b r a s a sf a ra s1 9 5 8 ，t h ef a m o u s l o g i c i a nc c c h a n gh a di n t r o d u c e d t h et h e o r yo fm v - a l g e b r aa n ds u c c e e d e di np r o v i n gt h e c o m p l e t e n e s so fl u k a s i e w i c zf u z z yl o g i cs y s t e mf o rs o l v i n gt h ec o m p l e t e n e s so fl u h a s i e w i c z f u z z yl o g i cs y s t e m i n1 9 9 6 ，b a s e do nt h ea n a l y s i so fp r o b l e m si nf u z z yl o g i ca n df u z z yr e a s o n i n g ， l s y s t e ma n dc o r r e s p o n d i n gr e - a l g e b r ah a db e e np r o p o s e db yp r o f e s s o rw a n g w i l ht h e c o n s t a n t l yf u r t h e rr e s e a r c h t h ec o m p l e t e n e s so fl s y s t e ma n dc o r r e s p o n d i n gr o - a l g e b r ah a sb e e n p r o v e d a n dp l e n t yo fa c h i e v e m e n t sh a v eb e e na b t a i n e d ，a c c e l e r a t i n gt h ed e v e l o p m e n to ff u z z y l o g i ca n de n r i c h i n ga l g e b r a i cc o n t e n t s t h ec o n t e n to ft h i st e x ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa l t o g e t h e r ：c h a p t e ro n eh a sp r o v i d e dt h e p r e l i m i n a r yk n o w l e d g eo ft h el a t t i c et h e o r yt h a tw i l lb eu s e db e h i n d r e s i d u a t e dl a t t i c eb a s e do r c o n t i n u o u st - n o r m si st h ei m p o r t a n tt o o lt os t u d yl o g i c a la l g e b r as y s t e m si nf u z z yl o g i c f o r e x a m p l e ，b i ，a l g e b r a , m v - a l g e b r a ，g a l g e b r aa n dg o g u e na l g e b r aa r ea l lb a s e do nr e s i d u a t e d l a t t i c e s ot h et h e o r i e so fr e s i d u a t e dl a t t i c e sa n ds e v e r a lk i n d so fl o g i ca l g e b r a sa r ei n t r o d u c e d t h e r e l a t i o n sb e t w e e ns e v e r a lk i n d so fl o g i ca l g e b r a sa n dr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ed i s c u s s e di nc h a p t e r t w o t h ep r o p e rx y f f i x o ( x y ) i nt h ed e f i n i t i o no fb l - a l g e b r ai ss os t r o n gt h a tm a n yl o g i c a l g e b r a sa me x c l u d e do u t s os u b b la l g e b r ai sp r o p o s e d ，d e l e t i n g t h es t r o n gp r o p e rxay 2 x 固( x 4 y ) a n dr e t a i n i n g t h e d i s t r i b u t i v e l a w b y f u r t h e rr e s e a r c h ，s u b - b l a l g e b r a i ss i m p l i f i e d f o r t h a tt h ed i s t r i b u t i v el a wc a bb ei n f e r r e df r o mt h eo t h e rp r o p e r so ft h ed e f i n i t i o n i na d d i t i o n ， a n o t h e rt w oe q u i v a l e n tf o r m so fs u b b la l g e b r aa r ea b t a i n e d ，r e v e a l i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h es u b - b la l g e b r aa n dt h em a n y - v a l u e da l g e b r a s w h a t sm o m t h es i m p l i f i e dd e f i n i t i o n so f r o - a l g e b r aa n db r o * a l g e b r ab a s e do nr e s i d u a t e dl a t t i c ea r ea c h i e v e d c o m b i n i n gt h ep r o p e l s o fn s e m i s i n g l ea l g e b r a ，t h et h e o r yo fi m p l i c a t i o na l g e b r aa n d r e s i d u a t e dl a t t i c ei sd i s c u s s e di nn - s e m i s i n g l ea l g e b r ai nc h a p t e rt h r e e t h et h e o r yo fr i n g sa n d l i m i t e da s s o c i a t i v ea l g e b r ai st h ei m p o r t a n tb r a n c hi na l g e b r a s e m i s i n g l ea l g e b r ah o l d st h e i m p o r t a n tp o s i t i o ni nl i m i t e da s s o c i a t i v ea l g e b r a n s e m i s i n g l e a l g e b r ac a nf o r mt h es y s t e m e q u i v a l e n tt of ia l g e b r ab yt h eo p e r a t i o n “”a n dc a r lf o r mt h es y s t e me q u i v a l e n tt om va l g e b r a b y t h eo p e r a t i o n “o t h i sp a p e r t r i e s t o i n t r o d u c e t h eo p e r a t i o n s “_ ，o ，e ，”i n t h e s e t g ( r ) m o f c e n t r a l i d e m p o t e n te l e m e n t s i n n 。s e m i - s i n g l ea l g e b r a ( a m o n g t h e o p e r a t i o n s , - oa n d0 a r e b i n a r yo p e r a t i o n s 1i sau n i to p e r a t i o n ) ad u a lr e l a t i o n 。s ”b e c o m i n gt h ep a r t i a lo r d e r e d r e l a t i o ni n g o t ) i sd e f i n e d m o r e o v e r , ( g ( r ) j ) i sp r o v e dt ob er e s i d u a t e dl a t t i c eb yt h e c o r r e s p o n d i n go p e r a t i o n s i nr e s u l t ，o ( r ) c 蛐b e c o m em t la l g e b r a , b la l g e b r a ，ga l g e b r a , g o g u e na l g e b r a ，b r 0 - a l g e b r a a n dr o - a l g e b r a t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h el i n e a ro r d e r e d b r 0 - a l g e b r a ，w e p r o v e d t h e c o m p l e t e n e s s o f b r o - a l g e b r aa c c o r d i n g t o t h e p r o o f o f t h ec o m p l e t c n - e s so fr e - a l g e b r aa n dm v - a l g e b r ai nc h a p t e rf o u r t h u sp r o v i d e st h et h e o r yf r a m e w o r kf o rf u r t h e r s t u d y i n gi nt h ec o r r e s p o n d i n gf o r m a ld e d u c t i v es y s t e m sa n df u z z yr e a s o n i n g b r o - a l g e b r ai st h e w e a kr 0 - a l g e b r ab yr c m o v i gt h ep r o p e r 。( a b ) v ( ( a - b ) - a v b ) = 1 ”s ot h eb r 0u n i t i n t e r v a li sn o tu n i q u e t h i sp a p e rp r o v i d e dt h ep r o o fo ft h ew e a kc o m p l e t e n e s so f b r o - a l g e b r a k e y w o r d sr e s i d u a t e d l a t t i c e ；r o - a l g e b r a ；b r o - a l g e b r a ；l i n e a r o r d e r e d b r o - a l g e b r a ； n s e m i s i n g l ea l g e b r a i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：砼竖幽 日期： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：玉争固u k 卜日期：盖龃 绪论 绪论 自从1 9 6 5 年l z a d e h 提出了f u z z y 集概念以来，关于f u z z y 系统的研究得到 了迅猛的发展，这种研究在理论与应用两个方面都取得了丰硕的成果相对而 言，f u z z y 系统研究在应用方面所取得的成果似乎更为引入注目，特别是f u z z y 控 制技术被广泛应用于包括各类家电产品在内的各种工业领域的成功尤其令人瞩目 可以说其应用较之于理论有了超前的发展，而实际上f u z z y 控制技术的理论基础 的核心是f u z z y 推理理论虽然f u z z y 推理已有大量的研究成果，但是这些理论根 本没有一个可靠的逻辑基础 1 9 9 3 年7 月，美国加州大学e l k a n 博士在美国第l l 届人工智能年会上作了题 为“模糊逻辑似是而非的成功”的报告，引起了与会者的极大兴趣，也在模糊界和 人工智能界引起了强烈的反响，并由此引发了关于模糊逻辑作用的一场国际性的 争论，这场争论的影响至今仍未结束吴望名教授于1 9 9 5 年将这场争论的主要情 况介绍到国内，也引起了国内模糊界的积极反响( 文献 1 ) 通过这场争论，在主流 的人工智能界与模糊界之间实现了沟通，澄清了学术晃对模糊逻辑的一些错误认 识，同时也暴露了模糊逻辑自身的缺陷与不足，吸引了些学者对模糊逻辑的关注 值得注意的是，z a d e h 在这场争论中首次将模糊逻辑明确地分为广义模糊逻辑与狭 义模糊逻辑两种他指出，狭义模糊逻辑是一种逻辑系统，是多值逻辑的扩张，其作 用是为近似推理提供基础而广义模糊逻辑就是模糊集理论的同义语，狭义模糊逻 辑是广义模糊逻辑的一个分支( 文献 2 ) 1 9 9 6 年，为了寻求模糊推理的可靠的逻辑基础，王国俊教授基于对模糊逻辑与 模糊推理方面存在的问题的分析，在全国第七届多值逻辑与模糊逻辑年会上提出 了一种新的形式演绎系统l ，这个系统由公式集f ( s ) ，公理集( 包含1 4 个公理模式) 和两个推理规则( m p 规则和交推理规则) 三部分组成( 文献 3 ，4 ，5 ，6 ) ，在后来的研 究过程中，形式演绎系统l 得到了简化和修正( 文献 7 ，8 ) 为了建立l l 逻辑系统 的完备性，文献 7 又定义了与l - 逻辑系统相匹配的r 广代数，尔后l l 逻辑系统的 完备性得到了证明 不仅如此，后来人们发现l - 逻辑系统与e s t e v a 和g o d o 从逻辑的角度提出的 幂零极小逻辑系统n m 是等价的，b l l 逻辑系统与n m 逻辑系统也是等价的，只不过 研究的角度不同而已( 文献 9 ，1 0 ) e s t e v a 和g o d o 从逻辑的角度提出的幂零极 小逻辑系统n m 是从左连续三角模出发的多值逻辑系统换句话说，l l 逻辑系统不 仅有坚实的理论背景，也有广阔的应用前景 2 多值逻辑代数中的若干问题研究 对多值逻辑系统的研究离不开对其相应的代数系统的研究，有关代数内容的 研究足多值逻辑系统研究的重要方面，也是其研究的重要辅助工具不同的逻辑代 数有着不同的结构与运算，运算形式的多样化掩盖了各类代数的内在联系例如 c c c h a n g 定义的5 i v 一代数在后人的研究中，不同文献对其定义的形式不同，并且 对其定义进行了简化基于三角模的剩余格理论是研究这些多值逻辑代数系统的 蘑要工具p e t rh a j e k 建立的与模糊命题演算系统b l 相对应的b l 代数，以及m v 一 代数、g 一代数、g o g u e n 代数等都是一种特殊的剩余格( 文献 1 1 ，1 2 ，1 3 ) 本文以剩余格理论为基础研究了一代数和b r o - 代数的基于剩余格的简化形 式，并且探讨了n 一半单代数与蕴涵代数的关系和n 一半单代数中的剩余格结构，丰 富了已有的内容( 文献 1 4 ，1 5 ，1 6 ) 本文第一章介绍了所要用到的预备知识，给出了后面要用到的格论的初步知 识，介绍了剩余格理论和几类逻辑代数系统及其它们拥有的性质第二章讨论了几 类多值逻辑代数系统与剩余格的关系，并且给出了它们各自的基于剩余格的简化 形式第三章结合n 一半单代数的性质，在n 一半单代数中探讨了蕴涵代数和剩余格 理论，并得到了很好的结果第四章通过对全序b r 。一代数的研究，并结合一代数和 v 一代数的完备性的证明给出了b 一代数自身弱完备性的证明 定义1 1 1 阱设p 三个条件： ( 1 ) x x ( 自反性) ( 2 ) 若x y 且y 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1 格 3 是非空集， 是p 上的二元关系x ，y ，z e p 如果 满足以下 z 则x z ( 传递性) ( 3 ) 若x y 且y x 则x = y ( 反对称性) 则称 是p 上的偏序称( p ， ) 为偏序集设a e p ，若对任意的x e p 均有x a ， 则称a 是p 的最大元若对任意的x e p 均有a x ，则称a 是p 的最小元若对p 中 任意两个元a 与b ，必有a - b 或者b a 之一成立，则称( p ， ) 为全序集( 或链) 例1 1 1 ( 1 ) 设p ( x ) 是x 的幂集，则x 的子集按包含序构成偏序集( p ( x ) ，c ) 这里a b 当且仅当a c b ， ，b e p ( x ) ( 2 ) 设 为实数集r 上的自然序s ，则( r ，s ) 是偏序集，且为全序集 以下我们把p 上的偏序 记为，有时我们会把a 曲写成b m a u 定义1 1 2 ”1 设( l ，) 是偏序集，如果对l 中任意一对元a 与b ，s u p a ，b ) 与 i n f a ，b 恒存在，则称( l ，) 为格记a v b = s u p a ，b ) ，a b = i n f a ，b ) 显然v ， 满 足交换律和结合律如果格l 有最大元和最小元，则称( l ，) 为有界格如果对l 的 任意子集x ，s u p x 与i n f x 都存在，则称( l ，) 为完备格完备格l 有最大元s u p l ， 记为1 ，完备格l 也有最小元s u p 由，记为0 下面两个结论在后面的证明当中会经常用到，尽管很简单，却很有用 命题1 1 3 设( p ，) 是偏序集，a ，b e p ，则下列条件等价： ( 1 ) a = b ( 2 ) v t p ，t c a 当且仅当t s b ( 3 ) v t p ，a s t 当且仅当b s t 命题1 1 4 设( l ，) 是格，a ，b l ，则下列条件等价： 4 多值逻辑代数中的若干问题研究 ( 1 ) a c b ( 2 ) a v b = b ( 3 ) a a b = a ( 4 ) v t e l ，若t a 则t c b ( 5 ) v t e l 。若b c t 则a c t 定义( l ，s ) 是格，如果对l 中任意元a ，b ，c 有 a ( b vc ) = ( a a b ) v ( a a c )( 卜1 ) a v ( b ac ) = ( a v b ) a ( a vc ) ( 1 - 2 ) 则称( l ，s ) 是分配格 命题1 1 6 设( l ，s ) 是格，如果( 卜1 ) 式与( 卜2 ) 式之一成立，则另一个也成立， 从i 向( l ，) 是分配格 证明：先设a ( bvc ) = ( a a b ) v ( a a c ) ，则 ( a vb ) a ( a vc ) = ( ( a vb ) a ) v ( ( a v b ) c ) = a v ( ( a v b ) c ) = a v ( c a ( a v b ) ) = a v ( ( c a ) v ( ca b ) ) = a v ( c a ) v ( c b ) - - a v ( b a c ) 例1 1 2 ( 1 ) ( r ，s ) 与( o ，1 ，s ) 是分配格 ( 2 ) ( p ( x ) ，c ) 是分配格 定义1 1 7 嘲设( l ，) 是完备格，分别称以下的( 卜3 ) 式与( 卜4 ) 式为第一无 限分配律与第二无限分配律： a a ( v ；。b 。) = v ；。( a b ：) ( i - 3 ) a y ( i l b l ) = ，j ( a v b 。)( i - 4 ) 定义i 1 8 。1 设( l ，) 是格，i 是l 的非空子集如果 ( 1 ) 当a e i 且b a 时有b e i ( 2 ) 若a b i 则a vb e i 9 1 q 称i 为l 中的理想当l - l 时称i 为真理想真理想i 还满足条件 ( 3 ) 当a b i 时有a e i 或b e i 则称i 为素理想 第一幸预备知识5 例1 1 3 设( l ，) 是格，a e l 且a 不是最大元，则 ia = x e lix s a 是理想叫做由a 生成的主理想 、 命题1 1 9 嘲设( h ，) 是满足第一无限分配律的完备格，定义 b - - p c = v x e hix b 蔓c ，b ，c e h ( 1 - 5 ) 一a = a - - - 0 , a e h ( 卜6 ) 则a b c 当且仅当a 曲一c ( 1 - 7 ) 一aa=0a，一a(1-8) 若asb贝qb一a(1-9) - 一一a - - ，a ( 1 - 1 0 ) 我们把满足以上性质的完备格叫h e y t i n g 代数 定义1 1 1 0 ”1 设( l ，主，0 ，1 ) 是有界分配格，0 为最小元，1 为最大元如果l 上 有一自映射7 ：l l 满足条件 a v a = l ，a a7 = o ( 1 1 1 ) 则称( l ，) 为b o o l e 代数 命题1 1 1 1 嘲设( l ，s ，) 是b o o l e 代数，则 ( 1 ) a ”= a ( 2 ) a b 当且仅当b a ( 3 )( vi i a t ) = 。i a j ，( i i a 。) = vi i a j 我们把满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的自映射称为逆序对合对应( 3 ) 式称为d e m o r g a n 对偶 律 。 命题1 1 1 2 设有界格( l ，v ， ，0 ，1 ) 上有逆序对合对应：l l 则 d e m o r g a n 对偶律成立 多值逻辑代数中的若干问题研究 1 2 剩余格与逻辑代数 1 剩余格 定义1 2 1 啪设p 是偏序集，p 上二元运算 与一叫做互为伴随，若以下条件成 立： ( 1 1 ) ：p p p 关于两个变量单调递增：( 卜1 2 ) ( 1 2 ) 一：p p - - - p 关于第一变量不增，关于第二变量不减：( 卜1 3 ) ( 1 3 ) a o b c 当且仅当a s b _ c a ，b ，c e p ( 1 - 1 4 ) 定义1 2 2 m 有界格( l ，v ， ，0 ，1 ) 叫剩余格，若以下条件成立： ( 1 4 ) l 上有伴随对( ，一) ： ( 1 5 ) ( l ，o ，一) 是带单位元1 的交换半群，这里1 是l 中的最大元 定义一a = a - - 0 ，若- ，a = a 则称l 为正则剩余格 例1 2 1 ( 1 ) 完备h e y t i n g 代数是剩余格 ( 2 )b o o l c 代数是剩余格 2 逻辑代数 m v - 代数是著名逻辑学家c c c h a n g 于1 9 5 8 年为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑 系统的完备性而弓i 入的一种代数体系c c c h a n g 给出的原始形式的m v - 代数是一 个( 2 ，2 100 ) 型代数( l o ， ，o ，1 ) 这里。和 是l 上的两个二元运算，是l 上 的一元运算，0 与1 是l 上的两个零元运算，即两个常元，要求各运算满足2 2 个条件 因为这2 2 个条件并不是相互独立的，可以简化为下面的定义 定义1 2 3 “4 ( 2 ，1 ，0 ) 型代数( l ，国，0 ) 叫 i v 一代数，如果以下条件成立： ( m 4 1 ) ( l ，o ，0 ) 是以0 为单位元的交换半群 ( m 4 2 ) a ”= a ( 们3 ) a 0 0 = 0 ( m 4 4 ) ( a o b ) 7o b = ( b 7 o a ) o a p c t r ch a j e k 在文献【1 2 】中基于剩余格理论提出了b l - 代数，并且在b l - 代数上 增加了一个条件( a o ) - - 0 = a 便得到了l i 、，一代数的另一种形式的定义王国俊教授 第一幸预备知识7 在文献 1 8 中指出了 1 2 中给出的m v 一代数的定义可以去掉一个条件，给出了下面 的等价定义： 定义1 2 4 叫( 2 ，2 ，2 ，2 ，0 ，0 ) 型代数( l ，v ，a ，固，一，0 ，1 ) 叫m v 一代数，如果以下 条件成立： ( m s 1 ) ( l v ，a ，0 ，1 ) 是有界格 ( m 5 2 ) ( l ，1 ) 是以1 为单位元的交换半群 ( m 5 3 ) ( o ，一) 是l 上的伴随对 ( m s 4 ) a b = a ( a 一b ) ( m 5 5 ) ( a o ) - 一0 = - a 王国俊教授于1 9 9 6 年提出了一种新的模糊命题演算形式演绎系统l ，而后又 定义了与l 系统相对应的逻辑代数一陆代数定义如下 定义1 2 5 嘲设m 是( - ，y ，一) 型代数，如果 i ) m 上有偏序使( m ，s ) 成为有界分配格，且v 是关于序而言的上确界运算： i i ) 一，是关于序而言的逆序对合对应： i i i ) 对x ，y ，z m ，以下条件成立： 8 r o c i ，x _ ，y = y x ：b r o c 21 _ x = x 。x x = l ： b r o c 3x - - * y ( z - x ) 呻( z _ y ) ：b 醌c x - ( y _ z ) = y - ( x - z ) ： u e , o c , x - - * y vz = ( x y ) v ( x z ) ，x - - , y az = ( x - - y ) a ( x - z ) 这里1 是m 中的最大元，并记o ：，1 ，那么称m 为基础耻代数，记作b 肛代数 定义1 2 6 嘲若b 耻代数满足条件( x y ) v ( ( x y ) 一，x v y ) = 1 ，则称为r r 代数 我们在8 l o 一代数中引入圈乘运算：o ：a o b = 一( a 一，b ) 则以下可以证明圈乘 运算与b r o - 代数中的蕴涵算子一构成伴随对，进而证明b r o _ 代数是一种特殊的强 剩余格 命题1 2 7 在b r o - 代数中，以下两个条件成立： ( 1 ) a 曲当且仅当a - - b ：l 8 多值逻辑代数中的若干问题研究 ( 2 ) a o b c = a 一( b c ) ( 3 ) a o ( b vc ) = ( a b ) v ( a c ) 证明( 1 ) 设a s b ，则a b = a a v b = ( a a ) v ( a b ) = 1 反过来，设a b = 1 ，则 a 2 1 一a = ，a 一一，1 = 一a 一0 ( 一b 一一a ) 一( ，b o ) = ( a b ) 一一一b = l - - - - b b ( 2 ) a b c = _ ( a - 1b ) - c = - c - ( a - - b ) = a - - ( _ c 呻1b ) = a 一( b _ c ) ( 3 ) a ( b vc ) = 一，( ( b vc ) 一，a ) = 一( ( b 一一，a ) f c 一，a ) ) = 一( b 一，a ) v f c 一一a ) = ( a b ) v ( a o c ) 命题1 2 8 设m 是b 一代数，则( m ，固，0 ，1 ) 是一个带有单位元1 ，零元0 的可 换半群，且一a 是a 关于零元0 的负元 证明：这里只证明可交换性：a b = 一( a 一一，b ) = 一，( b 一一a ) = b 固a 命题1 2 9 设m 是b r o 一代数，则( m ，a ，v ，o ，0 ，1 ) 是一个剩余格，这里o = 一1 证明：因为，是关于序而言的逆序对合对应，1 是m 中的最大元，因此 o - 一1 足m 中的最小元由命题1 2 8 可知( m ， ，0 ，1 ) 是一个可换半群，且1 是 单位元由命题1 2 7 可知a b c = a 一( b - - c ) ，并且a o b s c 当且仅当a b c 因此m 是一个剩余格 定义1 2 1 0 “们一个( 2 ，0 ) 型代数( x ，书，0 ) 称为b c k 一代数，如果对于任意的 a b x ，有以下条件成立： ( 1 ) ( a 丰( a 木b ) ) 唪b = o ( 2 ) ( ( a 宰b ) 謇( a 木c ) ) 幸( c 掌b ) = o ( 3 ) a * a = o ( 4 ) o * a = o ( 5 ) a * b = b * a = 0 4 a = b 若b c k 代数( x ，奉，o ) 满足条件a = a 木( b 宰a ) ，则称之为关联b c k 一代数 第一章预备知识 9 若b c k 一代数( x ，木，o ) 满足条件：存在i e x ，使得对于任意的a e x ，有a s l ，则称 之为有界b c k 一代数 若b c k 一代数( x ，宰，0 ) 满足条件斛( a 柚) - b 乖( b a ) ，则称之为可换b c k 一代数 若b c k 一代数( x ，幸，o ) 满足条件( a 木b ) 宰c = ( a 木c ) 宰( b 木c ) ( 与条件( a 袖) 袖= 水b 等 价) ，则称之为正关联b c k 一代数 定义1 2 1 1 嘲一个( 2 ，0 ) 型代数( x ， ，0 ) 称为b c i 一代数，如果对于任意的 a ，b ，c e x ，有以下条件成立： ( 1 ) ( ( 酣b ) 幸( 斛c ) ) ( c * b ) = o ( 2 ) ( a ( a 柚) ) 柚= o ( 3 ) a , a = 0 ( 4 ) a , b = b , a = 0 。a = b 定义1 2 1 2 0 卿一个( 2 ，0 ) 型代数( x ，幸，0 ) 称为b c c - 代数，如果对于任意的 a ，b ，c e x ，有以下条件成立： ( 1 ) ( ( a 半b ) 奉( c 宰b ) ) 宰( a 木c ) = 0 ( 2 ) a , a = 0 ( 3 ) 0 * a = 0 ( 4 ) a * o = a ( 5 ) a , b = b , a = 0 a = b 定义1 2 1 3 “”一个( 2 ，o ) 型代数( x ，一，o ) 称为w a j s b e r g 代数，如果对于任意 的a ，b e x 有以下条件成立： ( 1 ) 1 一x = x ( 2 ) ( x - - y ) 一( ( y z ) 一“一z ) ) = l ( 3 ) ( ，x 一，y ) 一( y x ) = l ( 4 ) ( x y ) 一y = ( y x ) 一x 其中，x = x - - - , 0 ，1 = 0 - - - 0 1 0 多值逻辑代数中的若干问题研究 1 3 本章小结 本章主要介绍了格论的一些基本的知识点和一些证明当中经常要用到的重要 结论；并且列出了后面要用到的剩余格理论的常见内容；最后给出了本文所要研究 的几种多值逻辑代数的定义的刻画在后面的章节中所涉及到的且未给出定义的 多值逻辑代数均以本章为主要依据 第二章基于剩余格的b r 0 - 代数1 1 第二章基于剩余格的b r 。代数 2 1 预备知识 p e t e r t l a j e k 于1 9 9 8 年提出了b l 代数的理论，e s k ot u r n e r 在文献 2 1 中系 统地研究了b l 代数，并在b l 代数中建立了推理系统，为研究 i ，一代数、g 代数和 6 0 9 u e n 代数提供了理论基础，但由于b l 代数定义中的条件x a y = x ( x y ) 太强， 仍有一些逻辑代数被排除在外，基于此，文献 2 2 通过删除b l 代数定义中的条件 x y = x ( x y ) ，并保留分配性而引入了次b l 代数的概念，次b l 代数把r o - 代数、 b r r 代数、i i 、一代数、g 代数和g o g u e n 代数都包含在内，从而所建立的推理系统有 更广泛的应用性本文对次b l 代数作了更进一步的深入研究，证明分配性可以由 次b l 代数定义中的其它条件推出，从而简化了次b l 代数的定义本文还给出了次 b l 代数的另外两种等价定义，揭示了次b l 代数与其它逻辑代数之间的关系，并证 明了一种强次b l 代数与b r 0 一代数是等价的，并以此为基础，得到了b r o - 代数和r o - 代数的简化定义 定义2 1 1 。”剩余格( l ，v ， ， ，一，0 ，1 ) 叫b l 代数，若l 满足条件 ( s 。) ( x y ) v ( y x ) = 1 ： ( a ) x a y = x ( x