（基础数学专业论文）非线性方程的概周期性、概自守性及渐近性.pdf

摘要 本文主要讨论几类非线性方程的( 拟) 概周期解和( 渐近) 概自守解 的存在性同时，我们也研究了一类半线性双曲方程全局吸引子的存在 性本支：j t - * 9 为六章 在第一章中，我们介绍了本文的研究背景和主要结果 第二章是预备知识，主要包括概周期函数拟概周期函数及概自守函 数的概念和基本性质此外，我们还简要介绍了岛半群和发展系统的定 义及相关术语 第三章是关于非自治发展方程解的拟概周期性在3 2 中，我们研究 下述带有时滞项的非自治半线性发展方程 ( t ) = a c t u ( t ) - i - f ( t ，u ( t 一砷) ， 并且得到拟概周期解存在唯一的充分条件在3 3 中，我们同样考虑类 非自治半线性发展方程，即 ( 0 = a ( 0 札( 0 - t - l ( t ，t l ( ) 在不要求非线性项，满足l i p 础t z 条件的情况下。我们得到一个拟概周 期解的存在性定理 在第四章中，我们研究下述具有非局部初始条件的抽象半线性积微分 方程 l ( t ) = a u ( t ) - i - b 0 5 ) u ( s ) d 0 + ，( t ，牡( 力) ，t 0 ， j o 【仃( 0 ) = u o + g “) 在一些适当的假设下，我们建立了上述非局部问题渐近概自守解的存在 性定理 第五章是关于一些来源于传染病问题的非线性时滞积分方程在5 1 中，我们考虑一种疾病的传播模型，即下述方程 ，t 。( t ) = ， ，( 毛z ( s ) ) 出 j p ， 首先，我们证明了一个混合单调算子的不动点定理然后利用这个不动点 定理，我们得到概自守正解的存在性定理即使对于概周期的情形，我们 中目科学技术大学博士学位论文 的定理也推广了一些早期的结果在5 2 中，我们研究一类中立型非线性 积分方程 霉( t ) ；1 ( t 一订+ ( 1 一，y ) ，( 南z ( s ) ) 西， 卅 j t r 并且得到个上述方程概自守正解的存在性定理作为推论，我们给出了 概周期正解的存在性定理并且推广了已有的结果 在最后一章中，我们处理一类半线性双益方程； 在没有对非线性项作l i p s c f i t z 假设的情况下，利用广义半流理论和半群 理论。我们得到一些结果，其中包括全局吸引子的存在性 乩 ：驾拦 如 一 如 妒 一小一凯啡 侈 = 蚶如 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，聊d i s c u s sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo f ( p e e t l d o ) a l m o s tp e r i o d i c8 0 - h i t i o n sa n d ( a s y m p t o t i c a l l y ) a l m o s ta u t o m o r p h i cs o l u t i o n sf o rs o m en o n l i n e a re q u a - t i o n s a i s o ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fd o b a la t t r a c t o r sf o rac l a s so f $ e m i l i n e 翻r h y p e r b o l i ce q u a t i o n s t h i nt h e s i s 幻d i v i d e di n t os i xc l m p t e m i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n d sa n dt h em a i nr e s u l t so f t h i st h e s i s c 蛔啦簟2 i sp r e l i m i n a r i e s ，m a i n l yi n c l u d i n gs o m ed e f i n i t i o n sa n db a s i cp r o p e r - t i e sa b o u ta l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s ，p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n da l m o s t 瑚地d m 唧h i cf u n c t i o n s m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c eb r i e 缈t h ed e f i n i t i o n sa n dr e l a t e d n o t a t i o n so f 岛s e m i g r o u p sa n de v o l u t i o ns y s t e m s i nc h a p t e r3 ，o fc o n c e r n e di 8p s e u d oa l m o s tp e r i o d i c i t yo ft h es o l u t i o n st o s o m en o n a u t o n o m o n se v o l u t i o ne q u a t i o n s i n 3 2 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gu o n a u - t o n o m o n ss e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hd e l a y t ，o ) = ( 力t ( 力+ l ( t ，缸o 一 ) ) i nab a n a e hs p a c ea n d1 q c e s e n t8 0 n l es u m e i e n tc o n d i t i o n sw h i c he a 8 1 1 1 et h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fp s e u d oa l m o s tp e r i o d i cm i l ds o l u t i o n s i n 3 3 w e a l s os t u d ya c l a s so fn o n a u t o n o m o n ss e m i l i u e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，i e ， t ，( d = a ( t ) u ( t ) + f ( t ，u ( t ) ) b u t 矾o b t a i na ne x i s t e n c et h e o r e mo fp i 础a l m o s tp e r i o d i cm i l ds o l u t i o n sw i t h n ol i p s c h i t zc o n d i t i o n so nt h en o n l i n e a rt e r mf i nc h a p t 盯4 w ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n ga b s t r a c t8 e n l i l i n 瞄i n t e 窜o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t han o n l o c a li n i t i a lc o n d i t i o n s ，= 雠) + z 即刊心) d s + i 让( 吡t 0 ， 【u ( 0 ) = u o + g o ) u n d e rs o m es u i t a b l eh y p o t h e s e s ，w ee s t a b l i s hs o m en e wt h e o r e m sa b o u tt h ee x i s t e n c e o fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s ta u t o m o 嘣es o l u t i o n st ot h ea b o v en o n l o c a lp r o b l e m s n 1 中田科学技术大学博士学位论文 c h a p t e r5i sc o n c e r n e dw i t hs o m en o n l i n e a rd e l a yi n t e g r a le q u a t i o n sa r i s i n gi n e p i d e m i ep r o b l e m s i n 5 1 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n s ， z = ，( s ，$ ( s ) ) d s ， j r - r ( t ) w h i c h i s a m o d e l f o r t h e s p r e a d o f s o m e i n f e c t i o u s d i s e s a e a n e w f i x e d p o i n t t h e o r e m f o rm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o ri nac o n ei sp r e s e n t e d ，a n dw i t hi t sh e l pw ee s t a b l i s h e x i s t e n c et h e o r e m so fp o s i t i v ea l m o s ta u t o m o r p h i es o l u t i o n s e v e ni nt h ec a s eo f a l m o s tp e r i o d i c i t y , o u rt h e o r e m se x t e n ds o m ee a r l i e rr e s u l t s i n 5 2 ，w es t u d y8 0 m e n e u t r a ln o n l i n e a rd e l a yi n t e g r a le q u a t i o n s 韶f o l l o w s 以 z o ) = ，y 虿0 一r ) + ( 1 一们，( 茹( s ) ) 幽 a ne x i s t e n c et h e o r e mf o rp o s i t i v ea l m o s ta u t o m o r p h i cs o l u t i o n st ot h ea b o v ee q u a - t i o n si so b t a i n e d a s 凸c o r o l l a r y , w ep r e s e n ts o m ee x i s t e n c et h e o r e m so fp o s i t i v e a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s ，w h i c hg e n e r a l i z es o e a ee x i s t i n gr e s u l t s i nt h el e s tc h a p t e r ，w eh a n d l eac l a s so f 8 e m i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ： it + 卢f 饥+ ( 一1 ) u + ，( t ) 一0 ， 卜= 乩一= 貉i 衄= o ， lt 0 ，0 ) = u 0 ( 力，饥和，0 ) = “- 0 ) b yu s i n gt h eg e n e r a l i z e d8 e m i f o wt h e o r ya n ds e m i g r o u pt h e o r y , w eo b t a i n e ds o m e r e s u l t si n c l u d i n gt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sw i t h1 1 0l i p h i t zc o n d i t i o no nt h e n o n l i n e a rt e r m 独立完成与诚信声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究工作所取得的研究成果。尽我所知，文中除特别标注和致谢的地 方夕卜，学位论文中不包含其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中国科学技术大学或其它教育机构的学位或证书所使用过的材 料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 躲l 隰雌 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解中国科学技术大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件； 学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允 许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学 位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后应遵守此规定) 躲玻：j 期：鲨挈：乙 j 第一章引言 本章介绍了与本文所研究同题有关的背景知识、发展概况以及我们的 主要工作 1 1 概周期函数和概自守函数及其应用 在本节中，我们主要介绍概周期函数，拟概周期函数和概自守函数的 起源，发展和应用以及关于这方面我们所做的一些工作 在自然科学和社会科学中，概周期现象和周期现象相比较，概周期现 象是更容易见到的一种现象例如，天体力学、机械振动，电力系统，生 态学系统、经济学领域以及工程技术中出现的许多实际问题往往都可以 归结为寻求微分方程的概周期解对于其中某些问题( 例如天体运转、生 态环境等等) ，考察概周期现象往往比考察周期现象更为切合实际因此， 讨论各类微分方程解的概周期性质具有重要的现实意义 概周期函数的理论首先由丹麦数学家h b o h r 在1 9 2 4 - 1 9 2 6 年间建立起 来，在二三十年代得到进一步发展，其中包括群上的调和分析理论以及 1 9 3 3 年由8 b o c 血l e r 所建立的b a n a c h 空间上的向量值概周期函数理论本 世纪5 0 - 7 0 年代国内外对微分方程概周期解的研究有了较大的发展，概周 期函数理论和常微分方程，稳定性理论，动力系统以及偏微分方程的联 系更加紧密1 9 7 4 年出版的a m f i n k 的专著a l m o s tp e r i o d i cd i f 陆耐i 8 l e q u a t i o n s 对概周期微分方程理论作了概括性总结 近年来，肖体俊教授、梁进教授以及c j k b a t t y , y h i n o ，n v m i n h ， t n a i t o ，g m n ，g u & 6 k a t a 等许多专家对b a n a c h 空间上的发展方程的概周 期性质进行了广泛而深入的研究，得出了一系列重要成果例如可以参 见肖体俊教授和梁进教授的工作【8 锚6 】及y 砸n o 等人的专著【5 2 】在 6 9 1 中，n g u & 6 k a t a 教授还研究了局部凸空间上的概周期函数 把概周期函数推广到更加广泛的函数类，这是概周期函数发展的个 重要方向在1 9 9 4 年，c oz h a n g 9 4 1 提出了拟概周期函数的概念拟概周 期函数不仅是概周期函数的推广，而且推广了概周期函数已有的一个推 广一渐近概周期函数由于拟概周期函数更加广泛，具有更好的性质， 这一函数的提出，引起了国内外许多专家的兴趣，很快便形成了一个新的 1 第一幸引言 中国科学投术大学博士学位论文 1 1 概周期函数和概自守函数芨其应用 研究领域特别是，近年来微分方程拟概周期解的存在性引起了很多数学 家的极大兴趣，例如可以参见1 3 ，6 8 ，2 7 ，3 0 。3 1 ，5 7 ，9 4 l 以及这些文章中的 参考文献 接下来，我们介绍概周期菌数一个非常重要的推广一概自守函数 在一篇关于微分几何的文章【1 4 】中，s b o c h n e r 引入了概自守函数他 首先获得了概周期函数的一个等价定义，然后得到这一定义一个非常有 趣的推广他的定义是；假设，是一个连续函数，如果对于任意的序列 能) ，存在个子序歹! 像) 和一个函数g ，使得u ( t + 拓) 一致齄收敛到g ， 就称，是概周期的现在推广到概自守函数是非常自然的t 假设，是个 连续函数，如果对于任意的序列能) ，存在一个子序列o k ) 和一个函数g ， 使得 f ( t + f i ) g ( o 和g ( t 一“) ，( 0 ， 就称，是概窟守的， w a v e e c h 在文1 8 2 】中研究了群上的概自守函数而在文c 9 3 】中m z a l d 引入了向量值概自守函数，为概自守函数应用到抽象微分方程铺平 了道路近年来，n ，g 曲6 k a t a 教授在他的两本专著【6 9 ，7 0 1 中详细介绍和 总结了概自守函数，渐近概自守函数的概念、性质以及它们的应用 现在，概自守函数的研究正受到国内外越来越多的关注，而且其重要 性也得刭广泛的认可p a dg e n d i n i n g 在文 4 3 1 中分析了在某些实际问题 中概自守函数比周期函数和概周期函数更具有现实意义。对概自守函数 的发展前景大为看好目前，概自守函数已经被应用到很多领域，其中包 括常微分方程，偏微分方程抽象微分方程、泛函微分方程、积分方程以 及动力系统等等，读者可以参见【1 5 ，1 6 ，3 2 ，3 5 - 3 7 , 4 0 ，4 4 ，5 l ，6 9 ，7 0 ，7 7 ，7 8 ，9 i j 等例如在溉r 帮s h e n 的文章f 5 i j 申+ 他们研究了一类来源于生物学 和其他地方的一些偏微分方程，得出了概自守函数是此类微分方程解的 自然函数类同样，s h e n 和y i 的工作阿，7 8 ，9 l 】充分显示了概自守函数在 概周期微分方程定性理论研究中的重要性 下面来介绍本文关于( 拟) 概周期函数和概自守函数的应甩所做的一 些工作 首先，在第三章我们致力予研究b a n a c h 空同x 上的非自治非线性发 2 第一聿；i 吉 中重科学技术大学博士学位论文 1 1 概周期函敷和概自守函数及其应用 展方程 t ，( t ) = ( t m ( t ) + ( t ，( t ) ) ，t r ， 和带有时滞项的非自治非线性发展方程 v c t ) = a 0 ) ( t ) + f ( t ，t o 一 ) ) ，t r ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 其中 0 是个常数 关于上述方程及其变型在有限区间上解的存在性研究，肖体俊教授和 梁进教授做了大量工作，例如可以参见1 5 9 ，6 1 ，6 2 ，8 7 】等受这些工作的启 发，在本文中我们研究方程( 3 1 1 ) 和方程( 3 1 2 ) 拟概周期解的存在性在 a ( t ) ；a 和h = 0 的情形下，许多学者研究了这两类方程的拟概周期性， 参见【8 ，2 7 ，3 1 ，5 7 】等然而，据我们所知，关于非自治非线性的发展方程 拟概周期解的存在性结果还没有由于非自治的方程比自治的方程复杂 的多，因此我们要克服一定的困难 在第三章中，我们总是假设a ( t ) ，t r ，满足a c q u i s t a p a c e - t e r r e n i 条 件( 参见【1 1 ) ，则a ( t ) 能够生成个发展系统在3 2 中，利用，满足 l i p s c h i t z 条件得到拟概周期解的存在唯性结果而在3 3 中，我们不假 ，设，满足“p 妇i t z 条件，最后利用s c h a u d e r 不动点定理得到拟概周期解的 存在性结果( 未必唯一) 第三章的主要内容来源于肖体俊教授，梁进教 授、n g u 自6 l 呲a 教授和我所做的工作，3 4 】 在第四章中，我们研究下述具有非局部初始条件的抽象半线性积微分 方程 ，tt i ( ) = a ( f ) + b 0 一s ) “( s ) 幽+ f ( t ，( 力) ，t 0 ， ；蛳+ 一。 近年来，非局部的微分方程引起了很多数学家的浓厚兴趣，因为在一 些实际同题中，非局部的初始条件比通常的初始条件更加切合实际关于 非局部初始条件在应用中的重要性，读者可以参考【1 9 l 和其中的参考文 献梁进教授，肖体俊教授、s a i z i c o v i c i 和j h l i u 等著名专家学者考虑 了一系列非局部的问题( 参见f 9 ，1 0 ，5 8 ，6 l ，6 3 ，6 4 ，8 7 】等) ，得出很多创 造性成果，其中有部分工作就是关于上述非局部的抽象半线性积微分方 程他们在研究此类积微分方程时，成功地运用了一种叫做预解算子的强 3 第一幸引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 1 概周期函裁和概自守函数及其应用 连续有界线性算子族值得注意的是，预解算子和岛半群有很多相似之 处，但是对于一个预解算子a ( 0 ，r ( t + 8 ) 一r ( t ) r ( s ) 未必总是成立，这是 和岛半群最大的区别，因而研究此类积微分方程需要克服更大的困难 然而关于此类积微分方程概周期解和概自守解的存在性结果还很少， 只有最近文【5 0 4 中在通常初始条件下研究了此类积微分方程，得到概周期 解和渐近概周期解的存在性定理丽由前面的论述知道研究微分方程概 自守解具有十分重要的意义，故在本文第四章我们致力于研究此类非局 部的积微分方程解的概自守性 在4 2 中，我们进一步深入探讨概自守函数和渐近概自守函数的性 质，得到些重要引理，其中部分引理在第四章和第五章中都起着很关键 的作用在n g u & 6 k a t a 教授的专著【6 9 ，7 0 1 中。他已经总结了很多关于概 自守函数和渐近概自守函数的基本性质，其中包括概自守函数的组合定 理然而n g u & 6 k a t a 教授的组合定理需要概自守函数满足l i p s c h i t z 条件， 这给应用带来了一些不便我们认真研究了概自守函数的性质，提出了一 致概自守函数的概念( 参见定义2 2 6 ) ，减弱了n g u & 6 k a t a 教授相应的概 念( 参见注记2 , 2 7 ) 我们在不需要l i p s c h i t z 条件的情况下，给出了一致 概自守函数的组合定理，即引理4 2 1 ，并且推广了n ，g u 自岛哦a 教授的组 合定理( 参见注记4 2 2 ) 另外，在【6 9 ，7 0 】中，关于渐近概自守函数性质 的研究还比较少故本文中做了一些研究工作，得出了渐近概自守函数的 一些性质，其中也包括一致渐近概自守函数的组合定理值得一提的是， 在一致渐近概自守函数组合定理的证明中，我们需要用到一致概自守函 数个非常有趣的性质，即引理4 2 6 关于这个引理，我们可以粗略地理 解为。一致概自守函数在r + 上的性质可以。传递一到r 上这就意味着 概自守函数仍然保持了周期函数的一些特征 在4 3 中，我们利用预解算子和4 2 中的组合定理，得到非局部积微 分方程渐近概自守解的存在性定理，并且把这些结果应用到记忆材料的 热传导问题( 参见例4 3 5 ) 第四章的主要内容取自于文【3 7 】 在第五章中，我们主要研究来源于传染病问题的非线性时滞积分方程 茹( t ) = m “s ) ) d s ，( s a t ) 4 中蛋科学拉术大学博士学位论文 第一章引言1 1 概周期函数和概自守函数及其应用 及其变型形式和中立型非线性积分方程 z ( 力= 7 z ( t r ) + ( 1 一们，( s z ( 曲) d s ， ( 5 2 1 ) ，l j t r 其中1 【o ，1 ) 在1 9 7 6 年，c o o k e 和i h p l a n1 2 4 建立了某种传染病传播的数学模型， 即方程( 5 1 1 ) 自那以后方程( 5 1 1 ) 引起了广泛关注，许多学者研究了方 程( 5 1 ，1 ) 周期正解的存在性( 参见阳，5 5 ，7 l ，7 6 】及其中的参考文献) 而 正如本文前面所说，概周期函数和概自守函数比周期函数更切合实际( 特 别在生物学中) ，因此f i n k 和g a t i c a 【4 2 】研究了方程( 5 1 1 ) 概周期正解的 存在性后来t o r r e j 6 nf 8 0 l 考虑了时滞项与时间t 有关的方程，即下述方 程 ，t 霉= ，( 5 ，z ( 5 ) ) 幽，( 5 1 2 ) j h ( t ) 并且得到概周期正解的存在性结果在2 0 0 0 年 a i td a d s 和e z z i n b i 【5 l 研究 了下述具有无限时滞的方程 ，t o o ) = f4 0 一s ) ，0 ，z 0 ) ) d 每( 5 1 3 ) 并且给出了此类方程拟概周期正解存在的充分条件在文1 4 】中，a i td a d s 和e z z i n b i 考虑了方程( 5 2 1 ) ( 方程( 5 1 1 ) 的中立霍 推广) 概周期正解的存 在性 但是目前还没有任何关于上述几类方程概自守解的结果因此本文在 这方面作了很多努力，幸运的是，我们得到了一些重要结果由于概自守 函数未必一致连续( 而概周期函数一致连续) ，这就使得研究上述方程的 概自守解比研究概周期解更为困难另外个值得注意的阿题是，在以前 关于上述方程的研究中，往往要求，关于z 单调增，这就使得，的范围比 较狭窄，给应用带来一些不便因而在本文中，我们在，更为广泛的情形 下研究上述几类方程，即，满足 n ，( t ，妨= ：五( t ，z ) 所o ，功， 西 其中五( t ，) 单调增且虮( ，) 单调减 5 第一幸引言 中蕾科学技术大学博士学位论文 1 2 广义半流震其应用 在第五章中，我们运用了非线性泛函分析中锥的理论和混合单调算子 的不动点定理来研究上述几类方程。在5 1 中，我们首先证明了一个混合 单调算子的不动点定理然后利用这个不动点定理，我们得到方程( 5 1 2 ) 和( 5 1 3 ) 的概自守正解的存在唯一性定理即使对于概周期的情形，我 们的定理也推广了一些早期的结果( 参见注记5 1 9 和注记5 1 1 6 ) 此外， 在本节的最后，我们还举例说明了怎样运用我们的定理其中在例5 1 。1 3 中，成功地将我们的结果应用到传染病的传播模型，用事实说明了概自守 函数在实际问题中的应用在5 2 中，同样先证明了一个带扰动项的混 合单调算子的不动点定理然后利用这个不动点定理来研究中立型方程 ( 5 2 1 ) ，并且得到方程( 5 2 1 ) 概自守正解的存在唯性定理作为推论，我 们给出了概周期正解的存在唯一性定理并且推广了已有的结果( 参见注 记5 2 6 和注记5 2 9 ) 最后还举例说明了我们在本节的结果值得一提的 是，在本章中，我们不但得到了概自守解的存在唯一性定理，丽且可以通 过迭代序列给出解的表达式本章的主要内容来自文1 3 5 】和文f 3 6 】 1 2 广义半流及其应用 自从1 9 世纪末p o i n 开始研究微分方程定性理论以来，各类微分系 统的研究已经得到了很大的发展最近三十多年来，来源于偏微分方程的 无穷维空间中发展方程的无穷维动力系统理论受到了广泛的关注j m b a l l ，j o r o b i m o n ，g r s e l l ，r t e m s m 等著名学者运用多种方法对这一课 题进行了深入的研究，取得了一系列成果( 例如可以参见【1 2 ，1 3 ，7 3 ，7 5 ，7 9 等) 然而，正如g i i s e u 在他的专著【7 5 】中写到的那样：工ks u b j e c to f t h e d y n a a n i c so fe v o l u t i o n a r ye q u a t i o n si so n l ya ti t sb e g i n n i n g ， 全局吸引子存在性的研究是无穷维动力系统理论中非常重要的课题 之一吸引子是描述动力系统渐近性质的一个重要概念由于吸引子在 实际应用中具有重要价值，这一课题一直以来是很多国内外著名数学家 关注的对象关于吸引子的研究有大量的文献，椤! f 如读者可以参考f 7 ，1 l - 1 3 ，2 0 ，2 1 ，5 4 ，6 6 ，7 3 - 7 5 ，7 9 ，9 2 i 等等在【1 2 】中，著名数学家j m b a l l 提出 了广义半流理论在一个广义半流s 中，对于初值2 至少存在一个( 但 未必唯一，这是和半流的最大区别) s s 使得s ( o ) = 矗j m b a l l 提出广 义半流理论是因为某些微分方程的解不唯一或者根本不知道解是否唯一， 6 第一幸引言 中田科学技术大学博士学位论文 1 2 广义半流及其应用 这样传统的半流理论无法处理这些问题，而这时候广义半流理论就发挥 其威力了在【1 2 j 中，j m b a l l 还研究了三维空间中n s v i e r - s t o k e s 方程 lt | t + 似v ) = l ， 一聊+ ， 茗雾 其中一 0 是一个常数，qcr 3 是一个有界开集且a n 是它的边界；并且 利用广义半流理论得到上述方程全局吸引子的存在性 在本文第六章，我们研究了一类半线性双曲方程，即下述带有边界条 件和初始条件的半线性双曲方程t it 站+ 卢t i t + ( - z ) t + ，( u ) 一0 ， u i 舳_ 害l 船一貉l 鲫一o ， ( 6 ) 【牡p ，0 ) = t o ( 功，t t 0 ，0 ) ；i t l ( 功， 其中p 0 是一个常数，知是个正整数且0 c 础是个具有光滑边界的 有界区域上述非线性双龃方程可以作为许多来自物理和工程中现象的模 型，比如电磁波、非线性介质中的弹性振动，水波和一些其它问题关于 非线性双曲方程解的长期行为的研究工作，可以参见【i i ，1 3 ，7 3 ，7 5 ，7 9 ，删 及其中的参考文献 在以前很多关于方程( 6 1 1 ) 的工作中，非线性项都至少假设是局部 l i p s c h i t z 连续的而且关于l i p s c h i t z 常数有一个增长估计据我们所知，最 早的关于非线性项没有l i p s c 蚯t z 条件的工作是文f l l l 和文f 8 3 4 本文在非 线性项没有l i p s c h i t z 条件的情形下，利用广义半流的理论框架，结合半群 理论和索伯列夫空间嵌入定理来研究方程( 6 1 1 ) 首先我们把方程( 6 1 1 ) 转化成b a n a c h 空间上抽象c a u c h y 问题，即 ( t ) = b ”( t ) + g 扣) ，( 6 2 4 ) 【口( o ) = v o ， 。 然后研究方程( 6 2 4 ) ，得到方程( 6 2 ，4 ) 对每个初值都至少存在一个弱解， 并且所有的弱解构成个广义半流再利用文【1 2 1 中的抽象理论证明方程 ( 6 1 1 ) 存在个全局吸引子在本章的最后，还把我们的结果应用到来源 7 中田科掣拉术大学博士学位论文 第一幸辱l 吉1 2 广义半流及其应用 于梁振动模型的方程本章的主要内容取自肖体俊教授、梁进教授和我所 做的工作! s 8 j ， 8 第二章基本概念和基本性质 在本文中，x 表示个b n n s e h 空间，c ) 表示x 上有界线性算子全 体组成的b s n a e h 空间，n 表示正整数集合，r 表示实数集合，r + 表示非负 实数集合，g ( r ，x ) 表示所有从r 到x 的有界连续函数全体组成的b a n a e h 空间( 在上确界范数下) 本章共分为三节第一节介绍了概周期函数和拟概周期函数的相关概 念及其基本性质；第二节介绍了概自守函数的相关概念及其基本性质；第 三节介绍了强连续线性算子半群和发展系统的概念 2 1 概周期函数和拟概周期函数 本节的主要内容，请读者参考1 2 6 ，4 1 ，4 8 ，5 6 ，6 9 ，9 5 1 定义2 1 1 如果，：r x 是一个连续函数，并且对于任意的e 0 都存在 j 0 使得，每一个长度为z ( e ) 的区间j 都至少包含一个数r 满足 l i f c t + r ) 一f ( o l l 0 和n 中任一紧子集，都存在f 0 使得t 每一个长度为z 仁) 的区 间，都至少包含一个数f 满足 0 ， + l 刁一，p ，功0 0 使得，满足l c 觚；条件 0 ，( 习一，( t ，u ) l l l n z v 1 i 对一切卫，f x 和t r ，剐，( ，7 i ( ) ) p a p ( x ) ， 定理2 19f 2 7 p r o p o s i t i o n2 2 】假设，朋p ( r x ，x ) 且h p a p ( x ) 若 存在一个函数l l 1 ( r ) 使得，满足砌坩c 砸拓条件 ，( t ，妨一，o ，) n l ( o i i x ，0 对一切z ，x 和t r ，则，( - ， ( ) ) p a p ( x ) 定理2 1 1 0 。f 5 7 ，t h e o r e m2 1 】馒设h p a p ( x ) ，p a p ( r x , x ) 且满足 下述条件t 倒对于x 中每一个有界集k ，( r ，k ) = ，( t ，霉) ：t r 且石k l 都是有界 集。 砂对于x 中每一个有界集耳，f ，似) ) 熘在j r 上等度一致连续。 则，( ， ( ) ) p a p ( x ) 1 1 中蕾科学技术大学憾士学位论文 第：章基本概盒和基本性质2 2 概自守函敷 2 2 概自守函数 关于概自守函数的基本概念和基本性质，读者可以参考n g u 缸越啦8 教 授的专著1 6 9 ，7 0 】 定义2 2 1 设，：r x 是一个连续函数，如果对任意的实数序列( ) ，总 能找到予序列) 使得 9 ( t ) ：2 妻恐，( t + 8 ，i ) 对于每个t r 是可以明确定义的。且 l i r ag ( t 一知) = f ( t ) 对于每个t r ，则称，是概自守的记所有这样的函数组成的集合为 似( x ) 注记2 2 2 由命题2 , 1 2 ( 8 ) ，我们易知概自守函数定是概周期的但是存 在着许多概自守而且非概周期的函数，一个典型的例子就是 1 ，o ) ；咖再磊寿磊蕊，t e r 概自守函数有下述基本性质， 命题2 2 。3 设只譬a a ( x ) ，q r ，则下面的结论成立 俐，的值城研= ，( ) ：r ) 是x 中列紧集，因而，有界 例a f , ，( + 口) ，f + 9 a a ( x ) 若还有x = r ，则f 9 从( 砷 何一l 4 ( x ) 是岛( r ，x ) 的一个闭予空同，从而a a ( x ) 在上确界范数下成为 一个b a n a c h 空间 定义2 2 4 设，：r x 一工是一个连续函数，并且对任意的实数序列 ( ) ，总能找到子序列) 使得 g ( t ，动：；曼恐，o + 如，甸 对于每个o r 和2 x 是可以明确定义的，且 l i r a9 ( t 一8 。，霉) ；，( t ，z ) 对于每个te r 和x ，则称，对每个茹x 关于t r 是概自守的 1 2 中目科举技术大学博士掌位论文 g ：- 幸基本概念和基奉性质2 2 概自守函鬟 下面的组合定理属于 6 9 ，t h e o r e m2 2 6 】 定理2 2 5 饭设，：r x x 对每个窭x 关于o 叠是概自守的且 h a a ( x ) 若存在常数l 0 使得，满足i a p s c h i t z 条件 i i f ( t ，功一，( t ，v ) i i l i i = 一 对一切。，x 和t r ，更i i ，( ，m ) ) a a ( x ) 在本文中，我们弓l 入下述新的概念， 定义2 2 6 设q c x 且，：r n x 是一个连续函数如果对任意的实 数序列( ) 和n 中任一紧子集k ，总能找到子序列( 8 i ) 使得 g ( t 动_ ，觇，o + “， 对于每个r 和彳k 是可以明确定义的。豆 n mg ( t s n ，习一f ( t ，名) 对于每个t r 和重k ，则称，在0 的紧子集上关于t r 是一致概自 守的记所有这样的函数组成的集合为a a ( rxn ，x ) 注记2 2 7 若，：r x x x 对每个z x 关于t r 是概自守的，有定义 我们立得，a a ( r x ，x ) 接下来，我们介绍渐近概自守函数的概念和基本性质我们记 c 0 0 r + ，x ) = n ：r + - - , x l 是个连续函数且也卷，l ( t ) = o 定义2 2 8 若，：r + 一x 是一个连续函数且有下面的分解 f c t ) 一9 ( 0 + h c t ) ，t p ， 其中9 肌僻) 且h 岛( r + ，x ) ，则称，是渐近概自守的记所有这样的 函数组成的集合为a a a ( r + ，x ) 命题2 2 9 渐近概自守函数有下述基本性质t 俐渐近概自守函数有界且定y 2 2 8 中的分解是唯一的 1 3 中目科学技术大学博士学位论文 第二幸基本概念和基本性质2 3 岛半群和发展系统 例设，g a a a ( r + ，x ) ，n e r ，豆l la ，+ g a a a ( r + ，x ) 若还有x = r ， 则，9 a a a ( r + ，r ) ， 矧对于f a a a ( r + ，x ) ，定义 l ，l - s u pi i g ( 0 1 i 十s u pi j j l ( ) 0 ， t e l l 十 其中g a a ( r ，x ) 且h c o 限+ ，x ) ，刘( a a a ( r + ，x ) ，i f ) 成为一个 b a n a r _ h 空间 同样，我们可以引入一致渐近概自守函数的概念设f 2 c x ，记g ( r + x n ，x ) 为从r + q 到x 满足 1 i mh ( t ，功= 哄于胡色n 的任意紧子集上一致地成立 l + + 的连续函数全体组成的集合 定义2 2 1 0 若，：r 寸xf t x 是一个连续函数且有下面的分解 ( t ，z ) = 9 0 ，动+ h ( t ，动，t r + ，z n ， 其中g a a ( r x f t ，x ) 且h c o ( r + 0 ，x ) ，则称，在n 的紧子集上关于t r + 是一致渐近概自守的记所有这样的函数组成的集合为a ( i l + n ，x ) 2 3 岛半群和发展系统 强连续线性算子半群理论产生于上世纪三四十年代近半个多世纪以 来，算子半群理论不断完善和发展，已经成为泛函分析的一个重要分支 现在，算子半群理论不仅被应用到一些传统领域，例如偏微分方程和随机 过程，面且已经成为解决来自量子力学和无穷维控制论中的积微分方程 和泛函微分方程的重要工具此外，半群理论还被成功地应用到来源于人 口动力系统和迁移理论的具体方程发展系统是强连续线性算子半群的 推广，它在研究非自治的发展方程中起着非常关键的作用 关于算子半群理论和发展系统及它们的应用，请读者参考肖体俊教授 和梁进教授的专著【8 6 】，e n g e l 和n a g e l 的专著以及p a z y 的专著f 删下 面简要介绍一下强连续线性算子半群和发展系统的概念 1 4 中置科拳技术大学博士掌位论文 第二章基本概岔和基本性质 2 3c o 丰砰和炭晨系地 定义2 3 1 设x 是一个b a n a c h 空间，t ( t ) ，坨：0 ，是x 到x 的一个单参数 有界线性算子族如莱 阳t ( o ) = j ，其中f 为x 上的恒等算子， 御t ( t + 8 ) ；t ( t ) t c s ) 对每个t ，。0 ， 倒船t ( t ) z = z 对每个z x ， 则称r ( t ) 是x 上的一个强连续有界线性算子半群，简称岛半群 对于个岛半群趴力，定义其无穷小生成元，即线性算子a 如下。 d ( a ) =