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哈尔滨理工大学理学硕：l 学位论文 b a n a c h 空间的几何常数及其在不动点理论中的应用 摘要 由于几何常数是研究几何结构和不动点性质的一个重要工具，因此探索 几何结构和几何常数之间的联系，一直是大家关注的热点问题。最近，大量 的研究工作便侧重运用不同的几何常数，来寻求b a n a c h 空间具有正规结构 的充分条件。 本文主要研究了b a n a c h 空间上的模与常数，及其在不动点理论中的应 用。同时还引入了一个新的几何常数，并研究了它的几何性质及其与一致非 方、正规结构、一致正规结构之间的关系。全文主要包含了以下三个方面的 内容。 首先，讨论了广义凸性模、u 凸性模和矿+ 凸性模，利用它们和弱正交 系数与b e n a v i d e s 系数的关系，得到了b a n a e h 空间具有正规结构的几个 充分条件，这些结果推广了高继和s a e j u n g 的一些结论，而且还给出了一 些例子来说明得到的结论是严格的。 其次，又用高继常数和参数化的j a m e s 常数对弱收敛序列系数的下界 进行了估计，从而得到了空间蕴含正规结构的几个充分条件，得到的结论不 仅推广了高继最近取得的一些结果，而且同时也蕴含着集值非扩张映射存在 不动点。 最后，引入了一个新的几何常数，来推广光滑模和高继常数。讨论了它 的许多函数性质，例如单调性、连续性、凸性。接着证明了它不仅可以刻画 b a n a e h 空间的光滑性，还可以刻画空间的q 0 q 2 ) 一致光滑。并且计算 了新常数在一些经典b a n a c h 空间的具体值。最后利用新常数得到了b a n a c h 空间具有正规结构的一些充分条件。 关键词几何常数：一致非方；正规结构；一致正规结构；不动点 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 g e o m e t r i cco n s t a n to fb a n a c hs p a c ea n d a p p l i c a t i o ni nf i x e d p o i n tt h e o r y a bs t r a c t g e o m e t r i cc o n s t a n ti sa ni m p o r t a n tt o o lf o rs t u d y i n gt h eg e o m e t r i cs t r u c t u r e a n dt h ep r o p e r t i e so ff i x e dp o i n t ，s 0i ti sah o tt o p i c st os t u d yt h er e l a t i o n b e t w e e ng e o m e t r i cs t r u c t u r ea n dg e o m e t r i cc o n s t a n t r e c e n t l yag o o dd e a lo f i n v e s t i g a t i o n sh a v ef o c u s e do nf i n d i n gt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sw i t l lv a r i o u s g e o m e t r i c a lc o n s t a n t sf o rab a n a c hs p a c et oh a v en o r m a ls t r u c t u r e s e v e r a lm o d u l u sa n dc o n s t a n t si nb a n a c hs p a c ea n dt h e i ra p p l i c a t i o n si n f i x e dp o i n tt h e o r yr r es t u d i e di nt h i st h e s i s m e a n w h i l e , an e wg e o m e t r i c c o n s t a n ti si n t r o d u c e d ，i t sp r o p e r t i e sa n dt h er e l a t i o n s h i pa m o n gu n i f o r m n o n s q u a l e n e s s n o r m a ls t r u c t u r ea n dt h ec o n s t a n ti ss t u d i e d t h ec o n t e n t so f t h i s t h e s i sa l ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s f i r s t ，t h eg e n e r a l i z a t i o no fm o d u l u so fc o n v e x i t y ，t h em o d u l u so f u c o n v e x i t ya n dm o d u l u so f 矿c o n v e x i t ya lei n v e s t i g a t e d s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rw h i c hab a n a e hs p a c eh a sn o r m a ls t r u c t u r eb yt h em o d u l u s ，w e a k o r t h o g o n a lc o e f f i c i e n ta n db e n a v i d e sc o e f f i c i e n ta l ep r e s e n t e d , w h i c hg e n e r a l i z e s o m ew e l l - k n o w nr e s u l t so fg a oa n ds a e j u n g , f u r t h e r m o r e , s o m ee x a m p l e sa r e g i v e nt os h o w t h a tt h ec o n c l u s i o n sa l es t r i c t s e c o n d ，l o w e rb o u n d sf o r t h ew e a k l yc o n v e r g e n ts e q u e n c ec o e f f i c i e n ti n t e r mo fg a oc o n s t a n ta n dp a r a m e t e r i z e dj a m e sc o n s t a n ti se s t a b l i s h e d s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hi m p l yn o r m a ls t r u c t u r ea l eo b t a i n e db ym e a n so f 也e s eb o u n d s o u rr e s u l t sn o to n l yg e n e r a l i z et h er e s u l t so fg a ob u ta l s oi m p l y t h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n tf o rm u l t i v a l u e dn o n e x p a n s i v em a p p i n g s a tl a s t i no r d e rt og e n e r a l i z et h em o d u l u so fs m o o t h n e s sa n dg a oc o n s t a n t ， an e wg e o m e t r i cc o n s t a n ti si n t r o d u c e d s o m ef u n c t i o n a lp r o p e r t i e so ft h i s c o n s t a n t ，s u c h 嬲m o n o t o n i c i t y ，c o n t i n u i t ya n dc o n v e x i t ya l ed i s c u s s e d t h e s m o o t h n e s so fb a n a c hs p a c ea n dt h eq ( 1 0 使得对于所有满足肛一y l l - g 的x ，j ，品，有竖1 一万。 二 1 9 6 4 年，r c j a m e s 提出了一致非方的概念【3 】，他指出一致凸空间是一致 非方的，并且证明了一致非方空间是超自反的。 定义1 2 称b a n a c h 空间x 是一致非方的，是指存在艿( o ，1 ) ，使得对于 所有的工，y ，有监掣1 一万或者监掣l 一万。 zz 正规结构的概念最早是由m s b r o d s k i i 和d p m i l m a n 于1 9 4 8 年提出 的。随后，人们发现正规结构与不动点性质有着密切的联系，于是正规结构的 研究成为了研究不动点性质的一个重要的手段。 定义1 3 称b a n a c h 空间x 具有( 弱) 正规结构，是指对x 的每一个包 含至少两个点的有界闭( 弱紧) 凸子集k ，存在x o k ，使得 s u p i ix o - yl l ：y k ) 占 l j 函数以( g ) 在区间【e o ( x ) ，2 】严格递增，这里6 0 ( x ) = s u p c ：瓯( 占) = o ) 称为 b a n a c h 空间x 的凸系数。由关系式l i m ，8 x ( 占) ：l 一鱼竽可知当6 0 ( x ) ：o 时， b a n a c h 空间x 是一致凸的，s o ( x ) g ，f e v ， l 二j 由定义容易得到( 占) 以( s ) ，暇以( s ) 。j g a o 和s a e j u n g 对这两个模 进行了深入的研究，得到了它们许多良好的几何性质【”，1 6 1 。 和一致非方性密切相关的两个几何常数是j g a o 和j j s c h a f f c r 引入的非 方常数f 1 7 】： ，( x ) = s u p m i n ix + yf i ，0 x yl i ) ：石，y ) s ( x ) = i n f m a x i i x + y i i ，l i x y0 ) ：x , y ) 由定义显然得到，b a n a c h 空间x 是一致非方的充要条件是( x ) 2 。j g a o 证明了 - 4 - 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 y ( x ) s ( x ) = 2 ，因此这两个常数可以看做是等价的。j g a o ，k a t o 等许多学者 对非方常数，( x ) 进行了深入的研究，得到它不仅可以刻画一致非方，还与正 规结构有着密切的联系。 另外一个与一致非方性有关的几何常数是j a c l a r k s o n 在1 9 3 7 年引入的 j o r d a n - v o nn e u m a n n 常数，它的一个等价定义为： c 耻唧 嗡黼跏巩) m k a t o ，l m a l i g r a n d a 等学者对它进行了深入的研究，并计算了它在一 些经典空间的具体值。下面简要的介绍一下它的性质： ( 1 ) ( x ) = ( x ) ； ( 2 ) 1 s ( x ) 2 ，x 是希尔伯特空间当且仅当c 0 ( x ) = 1 ； ( 3 ) x 是一致非方的当且仅当c 0 ( x ) 0 ，对所有的t 0 满足 p x ( t ) k t 9 ( 1 0 以( f ) = s u p 等一五( 占) ：s 【o ，2 】 p x ( t ) = s u p 等一t 矗) ：州o ，2 】 此外光滑模也与正规结构有着密切的联系。 以下的几个常数在不动点的发展过程中也有着重要的作用。为了刻画弱正 哈尔滨理t 大学理学硕七学位论文 规结构，b y n u m 引入了弱收敛序列系数w c s ( x ) 2 q ，下面我们给出的是它的 一个等价定义，对于所有弱收敛于0 的序列 ) ，若l i mi i l i _ l ， l i m i i 毛一靠| i 存在，则 w c s ( x ) = i n f 脚恢一i l j 已经证明了当w c s ( x ) 1 时，x 具有弱一致正规结构，因此x 具有弱正规 结构。 为了更好的描述空间的不动点性质，b s i m s 引入了下面的w o r t h 性 质陋】。对于所有弱收敛于0 的序列k ) 和x x ，假如满足下面的关系式 l i 罂1 1 1 + x0 0 k x i f i = 0 则称b a n a c h 空间x 具有w o r t h 性质。为了更好的描述这个性质，他又引 入了弱正交系数的定义鲫。对于所有弱收敛于o 的序列k 和工x ，有 国( x ) = s u p j t ：名l i m i n f i l 毛+ x l l l i m i n f l l k 一工1 1 ) 显然x 具有w o r t h 性质当且仅当缈( x ) = l ，而且已经证明了对任意b a n a c h 1 空间x 有c o ( x ) 1 。 j 为进一步研究b a n a c h 空间的不动点性质，g a r c i a f a l s e r 引入了如下的几 何常数： r ( x ) = s u p t i m i l l fi l + x l i ，毛兰专0 ；毛召i ，x ) 1 9 9 7 年，g a r c i a - f a l s e t 证明了若b a n a c h 空间x 满足r ( x ) 蕴 24 含x 具有一致正规结构，随后j g a o 和p r u s 分别独立地证明了：若存 g 【o ，1 】使得露( 1 + s ) 要，则x 具有一致正规结构。g o b e l 和k i r k 证明当 z c o ( x ) 1 一烈x ) 时，x 具有一致正规结构【2 8 l 。 为了推广j g a o 和p r u s 的结果，s a e j u n g 又深入的研究了u 凸模和形 凸模，得到若存在s 【o ，l 】使得( 1 + s ) 寻或者。( 1 + s ) 寻成立，则 z 二 x 具有一致正规结构。j i a o 等人也得到了，假如存在s o ，l 】使得 蟊( 1 + g ) 厂p ) 成立，则x 具有一致正规结构，这里( g ) 定义为： 厂( s ) # ( 即一- ) 三，。g 志 抖蒜莉1r(ir ( 1 ，2 l，x ) 一1 7，x ) 上述的结果都推广了j g a o 和p r u s 的结论。 在这一章里，我们主要是考虑了广义凸性模万 ) ，u 凸模，形。凸模和 正规结构的关系，把弱正交系数c o ( x ) 和b e n a v i d e 系数r ( i ，x ) 也考虑了进 来，得到的结果推广了上述的结论。 2 2 广义凸性模和一致正规结构的关系 引理2 1 假如b a n a c h 空间x 不具有弱正规结构，那么对0 s l ，存在 充分大的刀和弱收敛于0 的序列 屯) cs r 满足： 1 一占 i i + i x | i l + g ，工c d ( ) ：i 哈尔滨理t 大学理学硕：l 学位论文 引理2 2 假如b a n a c h 空间x 不具有弱正规结构，那么对0 0 ，由文 献【2 9 】可知x 是一致非方的从而是超自反的，因此正规结构与弱正规结构一 致，故只需证明空间具有弱正规结构即可。假设x 不具有弱正规结构，那么存 在五，矗满足引理2 2 的结论，对v o l - a ) ( x ) 时，x 具有一致正规结构，这正是j g a o 的结果，而且当c o ( x ) 时， 竺罂 卜缈( x ) ，因此定理2 1 推广了引言中g a o 和p r u s 的结果。 2 3u 凸性模和w 凸性模与一致正规结构的关系 引理2 1 在不动点命题的证明过程中有着重要的应用，以下是它的一个重要 的等价叙述。 假如b m m c h 空间x 不具有弱正规结构，则存在充分大的刀和弱收敛于0 的序列k c 瓯满足下面的关系式： l i m l l 一x l i = 1 ，x c d ( 矗) ：l 定理2 2 对于b a n a e h 空f qx ，假如u 凸模满足u x ( 1 + 彩( x ) ) l - _ c o ( x ) z 那么x 具有一致正规结构。 证明因为i 1 缈( x ) s l ，则存在s ( o ，2 ) ，使得u x ( g ) 竿o ，所 以x 是一致非方的从而是超自反的。同样的只需证明x 具有弱正规结构即 可。假设x 不具有弱正规结构，由上述引理2 1 的等价描述，存在弱收敛于0 的 序列也) c 满足 l i n ! l i 一工i l = l ，x ( ) ：l 取饭 c s 矿，对于所有的n n 满足z v 靠。因为x 。是自反的，不失一般性 总可以假设z 厂其中f 曰，。取 吒) ：的一个子列，仍表示成魄) ，使 得对所有的刀n 满足 。l i m i ix n + , - i i = l ，l ( z + - 一) ( ) i 三1 时，霉孚 了1 时，定理2 2 推i f - t s a e j u n g 关于 ( s ) 的结果，并且已知峨( 占) 瓯( 占) ，i 玉l s 便可以得到下面的推论。 推论2 1 对于b m a a c h 空间x ，假如五( 1 + 国( x ) ) 1 - f o ) ( x ) ，那么x 具 有一致正规结构。 注记2 3 对于b y n u m 空间6 2 。，已经知道它不具有正规结构，然而 噍一( 1 + 国( 如，。) ) ：掣，因此定理2 2 和推论2 1 给出的条件都是严格的。 定理2 3 对于b 锄a c h 空间x ，若形。凸模满足虻( 1 + 缈( 石) ) 1 - _ c o ( x ) ， 那么x 具有一致正规结构。 证明同样只需证明x 具有弱正规结构即可。因为吾缈( x ) 1 ，所以存在 占( o ，2 ) ，使得畋( 占) 掣o ，可知x 是一致非方的从而是超自反的。 类似定理2 2 的讨论，令 舅= ( 矗一毛+ 。u ，歹= 缈( x ) ( + 。+ ) u ，夕= ( z l 那么可得 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 l j 沪( z + 。) ( ( 1 + 国( x ) ) + 。一( ( 1 一国( x ) ) 吒) ) = 1 + 国( 柳 丢雄一歹) = 三1 妒( z ) ( ( 1 一彩( x ) ) 一( 1 + 缈( x ) ) ) = 生笋 w ；o + 国( x ) ) ：乃：( 1 + 缈( x ) ) 1 - c o i ( 一x ) 这显然与已知条件矛盾。因此由定理1 1 可知w ；o + 国( x ) ) 竿蕴含x 具 烈x ) j 1 时，l - 丁c o ( x ) j 1 时，定理2 3 推广了s a e j u n g l ( 即，柳- 1 ) 三胚程丽1 八砷值一赫) ，= 。l i mi ix n + - 一o = l ，i ( 厶+ t 一厂) ( 吒) l 1 ，否则便得到s 1 与已知矛盾。令 孑= ( h 一毛l ，歹= 【1 一( r l 弦】+ 占+ 。 u ，夕= ( 一z l 这里s = 卜( r l 弦 o ，亡) ，由第一种情况的讨论可得 夕( 叠) = 俐= l ，l i 歹i i - - - 1 同时还有 夕( 舅一歹) = 峥( 一z ) ( ( 1 一s ) 毛+ 。- 2 - ( r - i ) s 】而) = 2 一( 尺一1 弦 阻硎= l 删( 1 + g ) 毛+ 。- ( r - 1 ) g 毛l l - l 旁( z + 。) ( ( 1 + s ) 吒+ i 一( 尺一1 ) 占x n ) = l + g 由p ) 的定义可知 u j ( 2 - ( r - 1 ) e ) = u 二( 2 一( r 1 ) g i ) 三_ = 也等价于 哪= 哪三( t 一蔷) 哈尔滨理工大学理学硕寸：学位论文 这显然也是一个矛盾。综合上述两种情况，司知x 具有正规结构。 注记2 5 对于v s o ，l 】，显然厂( s ) 要，所以定理2 4 推广了引言中 s a c j u n g 关于巩p ) 的结果，而且由于p ) 以p ) ，因此引言中j i a o 等人 的结果成为了定理2 4 的推论。 定理2 5 假如存在s 【o ，1 】，满足嘭( 1 + g ) f ( 6 ) ，那么x 具有正规结 构。这里的函数厂( s ) 和定理2 4 的相同。 证明类似定理2 4 的讨论，同样只需证明x 具有弱正规结构即可。首先当 g 【0 时，令+ 戈= ( 毛“一而l ，夕= 【l 一( r 一1 ) 占】+ + s u ，于= ( 五+ 。l 由上面定理2 4 的讨论可得 夕( i ) = 0 i 4 = 1 ，0 夕4 l 同时还有 丢夕( 孟一歹) = 丢1 争( 厶。) ( ( r 1 ) g k 。一( 1 + g k ) = 坚寻生 卜硎= l 酬【( 尺一1 ) s k 。一( 1 + g ) 毛i l l 咖( 一z ) ( 【( 尺一1 ) g k ，一( 1 + 占) 毛) = l + g 因此由暇( s ) 的定义，可以得到峨( 1 + s ) ：畴( 1 + s ) 尘三尘，这与已知条件 矛盾。假如占( i 1 ，l 】，那么一定有r l ，否则便得到g 1 与已知矛盾。令 孑= ( 毛+ ，- x ) u ，夕= 【l 一俾一1 ) 占】而+ 占毛+ 。 u ，夕= ( z + 。l 这里s t - l _ ( r - 1 ) z o ，去) 。由第一种情况的讨论可得 夕( i ) = 删= l ，例1 同时还有 丢夕( i 一夕) = 圭l 争( z + 1 ) ( ( 1 ) - 【2 一( 尺一1 ) 占】吒) = 丁1 - - o p t 卜硎= 1 酬l ( 1 若) 毛+ - 2 - ( r - 1 ) z x 1 l - l i u m ( - f ) ( ( 1 - 占) 。- 2 - ( r - 1 ) e 】) = 2 一( r 一1 ) w 。 由呒 ) 的定义可得 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 畋( 2 一( r 一1 ) 占= 暇( 2 一( r 1 ) s ! 丢 也等价于 哟删= 哪圭( 一嵩) 这显然也是一个矛盾。综合上述两种情况，可知x 具有正规结构。 注记2 6 对于v f o ，1 1 ，显然厂( s ) 要，所以定理2 5 推广了引言中 s a e j u n g 关于嘭( s ) 的结果，而且由于暇p ) 露( s ) ，因此引言中j i a o 等人 的结果同样成为了定理2 5 的推论。 2 4 本章小结 本章首先通过对广义凸性模和弱正交系数以及b e n a v i d e s 系数关系的讨 论，得到了空间具有一致正规结构的几个充分条件，得到的结论推广了高继的 结果。同时对u 凸模和矿凸模也进行了类似的讨论，得到的结果推广了 s a e j u n g 和高继等人的结果。此外还给出一些例子来说明我们的一些条件是严 格的。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章高继常数和参数化的j a m e s 常数 3 1 引言 最近许多知名学者通过考虑各种常数之间的内在联系，或将常数参数化， 得到了空间具有一致正规结构的许多重要结果，使得蕴含不动点性质的空间进 一步扩大。例如，最近j g a o 就得到了下面的几个定理。 定理3 1 对于超自反的b a n a c h 空间x ，假如光滑模满足条件 既( f ) 3 c o ( x - ) t - 1 ，且f 彩( x ) l ，那么x 具有一致正规结构。 定理3 2 对于超自反的b a n a c h 空间x ，假如非方常数( x ) 满足条件 ，( x ) 2 c o ( x ) ，那么x 具有一致正规结构。 定理3 3 对于超自反的b a n a c h 空间x ，假如高继常数满足条件 e ( x ) - - 以( - u 。) + 毵( q ) 因此得到下面的不等式： m i n 慨i n f i l + 蛾i i ，! i m i n f u , , 一f 骖t l + t c o ( x ) 由高继常数的定义，对任意的n 1 可得 e ( t ，x ) - l l u 。+ f 4 2 + l l u 。一f q 旷 因此 e ( f x ) 2 ( l + j u a 一( x ) ) 2 或者等价于 d 2 2 ( 1 + t o o ( x ) ) 2 e ( t ，x ) 再由弱收敛序列系数w c s ( x ) 的定义，可以得到 唧c 科唧 毪铲爪矧 推论3 1 设x 是b a n a c h 空间，假如存在0 ts1 满足 e ( t ，x ) 2 ( 1 + t o o ( x ) ) 那么x 具有正规结构。 证明 由已知条件e ( f ，x ) 1 即可。当0 注记3 1 对于超自反的b 二a c h 空间x ，已经螽道e ( t ，x ) ：e ( t ，j ) 和 国( x ) = 缈( j ) 踟，运用定理2 1 的方法，同样可以证明推论3 1 的条件蕴含着x 具有一致正规结构。而且当f = 1 时，得到e ( x ) s u p 掣爪矧 i也u ，五jl 推论3 2 设x 是b a n a c h 空间，假如存在0 t 1 满足 e ( t ，x ) ( 1 + f ) 2 ( 1 + c o ( x ) 2 ) 那么x 具有正规结构。特别当f = l 时，e ( x 。) 4 ( 1 + 缈( x ) 2 ) 蕴含着x 具有正 规结构。 证明由已知条件e ( f ，x ) 1 即可。因为存在 0 - 推论3 3 设x 是b a n a c h 空间，假如( x ) 1 + t o ( x ) 2 ，那么蕴含着x 具 有正规结构。 证明 由已知条件( x ) l + 国( 朋2 ，可知x 是自反的，因此 国( x ) = 缈( x ) ，而且对任意的b a n a c h 空间( x ) = ( x ) ，因此原来的已 知条件等价于( x ) 0 ，类似定 理3 4 的讨论，可以找到( “。) c 品和( ) c & ，满足下面的关系式： 幽慨i n f