（基础数学专业论文）具有调和共形曲率的黎曼流形上的schouten张量及其应用.pdf

云南师范大学硕士学位论文 摘要 在本文中，我们研究了由崩c c i 曲率和纯量曲率表示的s c h o u t e n 张量( 参考文 【1 3 】) ，并且得出这个张量在具有调和w e y l 共形曲率张量的黎曼流形( 维数n 3 ) e 是个c o d a z z t 张量，我们就把这个张量看成是实空间形式中超曲面的第二基本 形式的一个自然推广，进而可以得到一些类似的定理和结论然后我们利用这个张 量仿照文 3 】中的算子诱导了一个关于铲一内积自伴的算子一口算子，并且得到了 紧致局部共形对称空闻和紧致局部共形平坦空间上的某一函数的不等式进而刻画了 e i n s t e i n 空间和常曲率空问，同时建立了与这个张量相关的一些新的定理，也对一 些已知的定理进行了推广得到的主要结果有： 定理2 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形对称空间，如果m 有常纯量曲率和正的截曲 率，则m 是e i n s t e i n 空间 推论2 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形，如果m 有常纯量曲率和正截曲 率，则m 是常截曲率空间 当我们把定理2 1 中截曲率为正的条件放弱到要求截曲率为非负的时候，就得 到下面的定理和推论： 定理2 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形对称空间，如果m 有常纯量曲率和非负截 曲率，则： 或者 m 为e i n s t e i n 的， 或者 m 可以表示成若干个流形的乘积，即m = m ”z m “r ( n 1 + + 坼= d i m m ) ， 其中每个肼“( 1 i r ) 为e i n s t e i n 的 推论2 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形，如果m 有常纯量曲率和非负截 曲率，则m 可以表成两个常截瞌率黎曼流形的乘积，即m = m p ( c ) x 俨一( 一c ) 定理2 3 令m ( d i m m 3 ) 为有正截曲率的紧致共形对称空闻，如果 旷硝一南= c o n s t 0 则m 是e i n s t e i n 的 推论2 3 令m ( d i m m 3 ) 为有正截曲率的紧致共形平坦空间如果 磅旷南= 僦照s0 1 则m 是常截4 曲k 率空间 定理3 1 令m ( d i m h f 3 ) 为紧致共形平坦流形，如果s 满足： ( i ) l l v s l l 2 i i v t r s l l 2 ， 云南师范大学硕士学位论文 i i ( i i ) t r s _ 番器枷s 卜；( 打s ) 2 那么，或者 2 = 熹( t r s ) 2 且m 是常截蓝率的 或者 打s = 端1 v i s 胪一丢( 打s ) 。2 狮 一) ”n 。1 且s 有两个不同的特征值凡，a 。， 枷枷扣墨乒萼马打s k t 一一k = 击( 一墨、辔渺s 推论3 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形，其纯量曲率r 为常数，如果 打s 耥、i s 胪一：( 打s ) 2 贝| j m 是常截曲搴空间 并且我们推广了g o l d b e r g - o k u m u r a 定理，得到： 推论3 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形如果 ( i ) e 订 l 璐麒一豪= c ( = c o n s t ) ， ( i i ) l l q l i 3 ) w l t hh a r m o n i cw e y lc o n f o r m a lc u r v a t u r et e n s o r t h u sw er e g a r di ta san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo f8 h y p e r s u r f a c ei nr e a ls p a c ef o r m f u r t h e r m o r e ，w eg e ts o m et h e o r e m sa n dr e s u l t s b yu s i n gt h i st e n s o r ，w ei n d u c ea no p e r a t o r 口，w h i c hi ss e ) _ f - a d j o i n tr e l a t i v et ot h e l 2 - i n n e rp r o d u c t t h e n 矾c h a r a c t e r i z ee i n s t e i nm a n i f o l da n dc o n s t a n ts e c t i o n a l c u r v a t u r eb yi n e q u a l i t i e sb e t w e e nc e r t a i nf u n c t i o no i lac o m p a c tl o c a lc o n f o r m a l l y s y m m e t r i cs p a c ea n dac o m p a c tl o c a lc o n f o r m a l l yf l a ts p a c er e s p e c t i v e l y s o m en e w t h e o r e m sa r ee s t a b h s h e da n ds o m ek n o w nr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e d o l i tr e s u l t sc a nb es t a t e d 鸽f o l l o w s t h e o r e m2 1l e tmb eac o m p a c tc o n f o r m a l l ys y m m e t r i cs p a c e ，d i m ( m ) 3 i fmh a sc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ea n dp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e t h e nmi sa e i n s t e i nm a n i f o l d c o r o l l a r y2 1l e tm b eac o m p a c tc o n f o r m a l l yf l a ts p a c e ，d t r a ( m ) 3 i fmh a s c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ea n dp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e it h e nmi so fc o n s t a n t c u r v a t u r e8 p a c e m e nw ew e a k e nt h ec o n d i t i o no fp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r ei nt h e o r e m 2 1 t ot h ec o n d i t i o no fn o n n e g a t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e ，w eo b t a i nt h et h e o r e ma n d c o r o u a r ya sf b u o w 8 t h e o r e m2 。2l e tmb eac o m p a c tc o n f o r m a l l ys y m m e t r i cs p a c e ，d i m ( m ) 3 ，i f mh a sc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ea n dn o n n e g a t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e ，t h e n e i t h e r mi sae i n s t e i nm a n i f o l d o r mi st h ep r o d u c to fs o m er i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，i e m = m “1 m ”rm l + - 一+ n r = d i m m ) ，e v e r y 胛( 1 i r ) i se i n s t e i nm a n i f o l d c o r o l l a r y2 2l e tm b eac o m p a c tc o n f o r m a l l ys y m m e t r i cs p a c e ，d i m ( m ) 3 i f mh a sc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ea n dn o n n e g a t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e ，t h e nmi s t h ep r o d u c to ft w or i e n 2 8 3 1 n i a nm a n i f o l dw i t hc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r e ，i e m = m p ( c ) m “呻( 一c ) t h e o r e m2 3l e tmb eac o m p a c tc o n f o r m a l l ys y m m e t r i cs p a c ew i t hp o s i t i v e s e c t i o n a lc u r v a t u r e ，i f 一莓。磅一高= c 删- o t d k ，lt j 女 。 t h e nm i se i n s t e i n 云南师范大学硕士学位论文 c o r o l l a r y2 3l e tm ( d i m m 3 ) b eac o m p a c tc o n f o r m a u yf l a ts p a c ew i t h p o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r e 磊啪一告一照s 。 。2 t h e nmi sac o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r es p a c e t h e o r e m3 1l e tm ( d i m m 3 1b eac o m p a c tc o n f o r m a l l yf i a tm a n i f o l d i fs s a t i s f i e s ( i ) l t v s l l 2 i i v t r s l l 2 ， ( i i ) t r s 曩勰、i i s 卜：( 打s ) 2 t h e n e i t h e r | | s | j 2 = 砉( 打印2 a n dmi sc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r es p a c e ； t r s = 2 v 鹅r n 而- 1 v i i s 俨一去( 打、s ) 。 一、 ” 他、 。 a n dsh a st w od i f f e r e n te i g e n v a l u e sa 1 ，a n ，w h e r e 枷乩= i 1 ( 1 + 墨 a k + 1 一。= 击( - 一是 ) t r s s c o r o l l a r y3 1l e tm ( d i m m 3 ) b eac o m p a c tc o n f o r m a l l yf l a tm a n i f o l dw i t h c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r er i f t r s t h e nmi sc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r es p a c e w eg e n e r a l i z et h eg o l d b e r g - o l m m u r a sp i n c h i n gt h e o r e ma n do b t a i n c o r o l l a r y3 2l e tm ( d t m m b e a c o m p a c tc o n f o r m a b l yf i a tm a r 吐f o l d 疆 ( o e i j , k j 璐剐一杀备= c ( = c o r t s t ) ， ( i i ) l l q i i 3 ) 为紧致共形对称空闻，如果m 有常纯量曲率和正的截曲 率，则m 是e i n s t e i n 空间 推论2 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形乎坦流形，如果m 有常纯量曲率和正截曲 率，则m 是常截曲率空间 当我们把定理2 1 中截曲率为正的条件放弱到要求截曲率为非负的时候，就得 到下面的定理和推论： 定理2 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形对称空间，如果m 有常纯量曲率和非负截 曲率，则： 或者 m 为e i n s t e i n 的， 或者 m 可以表示成若干个流形的乘积，即m = m “z x 扩r ( m + + 协= d i m m ) ， 其中每个m ”t ( 1 s sr ) 为e i n s t e i n 的 推论2 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形，如果m 有常纯量曲率和非负截 曲率，砌m 可以表成两个常截曲率黎曼流形的乘积，即m = m p ( c ) xm ”，( 一c ) 定理2 3 令m ( d i m m 3 ) 为有正截曲率的紧致共形对称空间，如果 一2 噶捌一璐斛+ 高= c o n s t 0 t j ，知jt ，j ，南j 一 则m 是e i n s t e i n 的 推论2 3 令m ( d i m m 3 ) 为有正截曲率的紧致共形平坦空间如果 一2 r 晕j k t 一矗= c o n s t 0 则m 是常截韭率空间 我们知道，任何2 维的黎曼流形都是共形平坦的，在维数大于2 的黎曼流形上 的共形平坦结梅是黎曼曲面上的保角结构到商维的自然推广共形平坦结构的整体 性质的研究起源于n h k u i p e r ，在文【1 4 】中，他研究了紧致共形平坦流形的基本群 此后，共形平坦流形的研究对象是紧致流形，1 9 6 0 年，y a m a b e ( 【2 6 ) 提出猜想：每 个佗( 3 ) 维紧致光滑黎曼流形( m ，g ) 都能通过共形变换成一个具有常纯量曲率的 黎曼流形1 9 7 6 年，t a u b i a 对此做出了很大贡献，在局部证明了维数大于6 的非共 形平坦流形可以共形变换成常纯量曲率流形( 1 1 】) 1 9 8 4 年，r s c h o e n 在文f 2 1 中 云南师范大学硕士学位论文 证明了上面的猜想如所知，常曲率黎曼流形都是共形平坦的，那么，自然会提出这 样的问题：纯量曲率在满足什么条件下共形平坦流形是常曲率流形? 1 9 6 7 年，n n n i 证明了具有常纯量曲率的紧致连通共形平坦流形，如果其r i c c i 曲率为正，则该流形 为常曲率的( 【2 5 】) 1 9 7 6 年，g o l d b e r g 证明了具有常纯量曲率r 的紧致连通流形，如 果r i 拟张量的长度i i q t l 满足 q l l 3 ) 为紧致共形平坦流形，如果s 满足： ( i ) l l v s l l 2 ll v t r s l l 2 ， ( i i ) 坩云舞枷s 卜扣s ) 2 那么，或者 例2 = 妄( 打s ) 2 且m 是常截曲率的 或者 打s = 耥 o s 驴一；( 打s ) 2 且s 有两个不同的特征值a 1 ，k ， a t 一= h = ：( 1 + 元2 一n 2 j v ( n - 1 ) 七( n - 旦) 螂 州一- = h = 磊1 ( 1 一石2 一n 。，( n ( - 两。一。k ) r s 当我们令纯量曲率为常数时，满足定理3 1 中的条件( i i ) 的紧致共形平坦空间 就是常蓝率空闯，即我们得蓟的推论： 推论3 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形，其纯量曲率r 为常数，如果 淞丽n ( n 彳面- 2 ) 狮删2 一扣即 则m 是常截曲率空闻 我们发现推论3 1 其实就等价于下面的g o l d b e r g - o k u m u r a 定理： 推论3 2 ( g o l d b e r g - o k u m u r a 1 2 ) 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形乎坦流形其纯量 曲率r = c o n s t 如果r i c c i 张量q = 黾m 畸的长度i i q | | 满足 i i q i l 3 ) 为紧致共形平坦流形如果 ( i ) 试”硝m 一鑫= c ( - c o n s t ) ( i i ) l q i i 3 ，则 圹= 一雨n - 2 q 讹 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 定义1 1 对于张量场c = z 咄固畸o u 固叫，如果满足f ，j = 0 ，则称c 是调和的如果黎曼流形m 上的w e y l 共形曲率张量g 的共变导数为以我们称 m 为共形对称空间 云南师范大学硕士学位论文 7 由( 1 2 1 ) ，我们有下面的结论： 引理1 1 由( 1 1 3 ) 式定义的s c h o u t e n 张量s 是一个c o d a z z i 张量当且仅当g 是 调和的特别的，如果流形m 是局部共形对称的，则s 一定是c o d a z z i 张量 接下来，外微分( 1 1 6 ) 式我们得到 础a w k = q 州+ ( 1 _ 2 2 ) f kr nr “ 因此， ( 埘一曲拈) 岫 = 2 ( + n 哪) ( 1 2 3 ) 将( 1 4 ) 代入( 1 2 3 ) 经过整理，即有 削一跏= “+ 最。腩 m m ( 1 2 4 ) 另外，我们给出共形平坦黎曼流形的定义( 参看文【1 3 】) ： 定义1 2 如果黎曼流形( t g ) 上的任意一点p m ，存在p 一个邻域u 及某一函 数札：u r ，使得度量互= e 2 u g 在矿上是平坦的，则称m 是共形平坦的 并且有下面的定理： 定理1 1 ( w e y l - s c h o u t , e n ) f 参考口劬黎曼流形m ( d i m m 3 ) 是共形平坦的当且 仅当 d i m m = 3 时，s c h a u t e n 张量是一个g o d a z z i 张量i d i m m 3 时，w e y l 张量消失 证明从略，参看 13 2 局部共形对称流形上的口算子及s c h o u t e n 张量的一些相 关结论 首先，仿照文【3 中c h e n g - y a u 引进的算子，我们引进一个如下定义的口算子 口，= ( 如鼠一s , j ) f , j ( 2 1 ) 莳 其中r 伊( 云南师范大学硕士学位论文 命题2 1 令m 为局部共形对称流形，如( 2 1 ) 定义的口算于是关于m 的驴一内 积自伴的，即 lf 口g ： g 口f j mj m 证明；首先，令加= 如瓯 一 口算子是自伴算予的充要条件是已幻j = 0 ( o ) 事实上，的共变导数定义为 如眦：= d 如+ u 可+ c k j w k t 七七k 使得( 与标架的选取无关 由( a ) 成立，我们有 1 m 啦，= j m 嘎蝻弛嘲一 磊蜥9 ， 同样 扣9 2 l m 嘎蝴洳小l 磊蚋函 因此，由s t o c k s 定理 i d g = g o l ( 6 ) 反过来，也可由( 6 ) 得到( o ) 那么接下来只需证明f 如，j = 0 成立即可， 由( 1 1 8 ) 及t r s = i 恐= r 知， j = ( 如一南) j = 幻( 打s ) 扩鼢 礼一2 n 一2 2 丽7 厂丽q ：o ， 因此，证得口算子是关于m 的l 2 一内积自伴的，即( 2 2 ) 成立 _ ( 2 2 ) 下面，我们利用刚刚定义的口算子以及l a p l a c e 算子和梯度算子找到关于 s e h o u t e n 张量的一些不等式，并得出一些相关的结论我们用和v 分别表示 l a p l a c e 和梯度算子，则有 8 云南师范大学硕士学位论文 9 ；z x l l s i l 2 = ， + & j s , j ，胩 一 j ，kj ， = i l v s l l 2 + 禺( ( 岛砧一& k a k ) + ( k 一甜) i , j 。七 十( & k ，柳一k ，莳) + & k ，u ) = l l v s r 1 2 + 岛( t r s ) ，妤+ 岛( 岛i 局巧女+ s r , k j k ) ( 2 3 ) 上式最后个等号成立是由于张量s 是个c o d a z z i 张量和( 1 2 4 ) 成立得到 因此我们有 d ( t r s ) = ( & j t r s 一岛) ( t r s ) ，甜 = ( t r s ) a ( t r s ) 一j s ；c j ( 打s ) ，u ( 2 4 ) 谢 2 i ( t r s ) 2 一l l v 打s l l 2 一i 8 s 0 2 + i l v s l l 2 + & j ( & k r l ，j 女+ & f r l 柳女) ，j ，七，j 在p m 点附近选取标准正交标架场e l ，e ，使得岛= a i 幻则( 2 3 ) 式和 ( 2 4 ) 式可以简化成 i a i l s l 2 = l l v s l l 2 + 凡( 亡r s ) 膏+ i 最航k ( 沁一k ) 2 ， ( 2 ，5 ) 口( 螂) = 互i ( t r s ) 2 一i i v 们i f 2 一互1 i i s i l 2 + 娜r 1 2 + ；r 姗( 凡一k ) 。 ( 2 6 ) 由于m 是紧致的，并且a 和口是自伴的，通过对( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式积分我们得到 小v 鼾i 旧抖；丢咄) 2 - 。， ( 2 7 ) 办v 硎2 刈v 删2 + 互i ( a i - a t ) 2 _ 0 ( 2 8 ) 则由( 2 8 ) 式我们立即得到下面的结论： 定理2 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形对称空问，如果m 有常纯量曲率和正的截 曲率则m 是e i n s t e i n 宦问 云南师范大学硕士学位论文 如所知，如果共形平坦流形也是e i n s t e i n 的，则它一定是常截曲率空间( 参看 2 1 ) 那么，我们有： 1 0 推论2 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流彩，知果m 有常纯量曲率和正截曲 率，则m 是常截曲率空间 当我们把定理2 1 和推论2 1 中截蓝率为正的条件放弱到要求截曲率为非负的 时候，就得到下面的定理和推论： 定理2 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形对称空间，如果m 有常纯量曲率和非负截 曲率，则j 或者 m 为e i n s t e i n 的， 或者 m 可以表示成若干个流形的泵积，即m = m m m ”积1 + + = d i m m ) ， 其中每个舻( 1 t r ) 为e i n s t e i n 的 证明；当纯量陆率为常数时，t r s = c o n s t ，则知( 2 8 ) 可以写成： 小v 剐2 + ；i , k ( ) u - - a k ) 2 - o 因为截曲率非负，显然有： ( i ) v s = 0 ， ( i t ) 当丸h 时，忍鼬= 0 若a 1 = 入2 - = a 。，此时m 是e i n s t e i n 的 若有r 个九不相等，适当选取f 目 的顺序，使 a 1 = = a 。a 。+ 1 = - t = k ：a n ，- i = = a 。， 忆。一ls 讧s 几。，l asr ，( 规定n o = 1 ) o = & 。如，j 屿= d & 。妇+ & 。j 印+ s 鲥畸七= ( 如一如) u 训口= ( a 讧一a 抽) w i 。如 j jl 则她。b = 0 龇。2 屿 吻t 。一坼。 屿。k ， 分布 “1 = 2 1 = 0 ，1 + 12 。= u n 2 = 0 ，- ，u * 一1 = = ，= 0 是可积的，并且给出了m 的局部分解( 参见文f 4 j ) 云南师范大学硕士学位论文 1 1 因此，m = m m m ”( n 1 + + 礼，= d i m m ) ，其中每个m “( 1 t sr ) 为e i n s t e i n 的_ 推论2 2 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共彤平坦流形，如果m 有常纯量曲率和非负截 曲率，则m 可以表成两个常截曲率黎曼流形的乘积，即 m = 护( c ) xm ”( - - c ) 证明： 由于m 是共形平坦的且( 1 1 5 ) 成立，我们有 o = 冠。= i 与( & 。+ 以。一s 矗一如。s 矗) = 而1 ( a 。+ a 。) 固定九，对于所有的k = 一a 。则有： k + 1 = 一 。， 1 a p ，p 十1 o t5n 令a 1 = = b = a ，九件l = = a 。= 肛 贝0 血b ，口p 时，( 1 a ，b p ，p + 1 a ，p n ) m p 的截曲率为 = 击鼠+ 跣) = 而2a 。= 高a = 啪她 p 呻的截曲率为 吼脚= 老( 鼢+ 跏) = 圭k = 而2 肛= 一厕2 a = c t 因此，若m p 的截曲率为常数c ，则m n 一- 的截曲率为常数一c ，即 m = m p ( c ) m “_ p ( 一c ) i 引理2 1 等式 ( t r s ) 2 一i i s 2 = c o n s t 0 蕴涵着下面的不等式 i i v s l l 2 一i i v t r s i t 2 0 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 一墨壹堕蕉叁堂塑堂焦熊圭 1 2 证暇。 ( 2 9 ) 的共变导数为： 并且 s , j s , a = ( 打固( 打趴，1 茎惫n l ，j 卵l l v s l l 2 ( ，t ) 2 = s ) 2 i l v t , s l l z k 订 则显然有结论成立1 忪旧i v 打硎2 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 5l 埋z 2 祭更流形上有等式 品一磊+ 研4 泔s ) 2 = 一禹例2 ( 2 1 3 ) 成立 证疑；利角( 1 1 2 ) 通过直接计算可得到： ；d , k j 2 磊一老轰 氓k s j m 赢一酶嘞) + 南磊t 如勘均* 嗨嘞跚2 。乏磁扩再2z 、节r 舯善粥t + j , k 獬一 十rf&)+而面旗唧l+啄。l，拙1，。n岬k，叶唧i1 1 222 2 2 22 + 2 如岛f 鼢鼠 2 札岛矗岛 一2 瓠岛l 岛ks i l ” j 一， 一2 吩l s k 盈f 毋k 2 岛f 最西k & + 2 氐l 岛 国 & d 2 磊喘* r i 8 忑荨( + 未) + 石怜| f 2 + 尚( 淞) 2 一志z 2 嘉一两8 2 一研8 ( 删2 + 而4 l l s | 1 2 + 矿4 坪( t r s ) 2 2 蒹一而4f | s | | 2 一南卵 上面倒数第二个等号成立是由于( 1 1 4 1 的第一式i 云南师范大学硕士学位论文 引理2 3 一个莽曼流形上，如果 则有 盖旷磊端一辫卵= 0 i ( 2 1 4 ) i i v s i l 2 一i i v t r s l l 2 0 ( 2 1 5 ) 证明；由引理2 2 ，可以计算得到 盖觚- i , j , k , l 磅一搿卵= 刍 r s ) 2 圳n ， 再由引理2 1 可知等式右边满足( 2 9 ) 的条件，因此可得结论 i 定理2 3 令m ( d i m m 3 ) 为有正截曲率的紧致共形对称空间，如果 嘴“一璐h + 刍= c o n s t o ( 2 1 6 ) t j ，k ，ft j k ，r ” 则m 是e i n s t e i n 的 证明： 由( 1 1 4 ) 可得( 打s ) 2 = j ；番r 2 ，即有；岳= 若替( t r s ) 2 ，则条件( 2 1 6 ) 就等价于( 2 1 4 ) ，并且由引理2 3 可以j 鲁到( 2 1 0 ) 成立因此，由于截曲率为正且有 公式( 2 8 ) 成立可知k = k ，即s 在m 上的特征值都是相等的，又由( 1 , 1 8 ) 可知 s 的特征值都是常数所以m 是e i n s t e i n 的i 推论2 3 令m ( d i m m 3 ) 为有正截曲率的紧致共形平坦空间如果 蒹。磅扩熹s 坯。 ( 2 1 7 ) 则m 是常截曲率空间 证明：由定理1 1 我们知道对于共形平坦空间m ( d i m m 3 ) ，其w e y l 共形曲 率张量消失，即“女，l 嘴材= 0 因此，( 2 1 7 ) 等同于( 2 t 6 ) ，由定理2 3 就有结论： 肘是e i n s t e m 的 显然共形平坦的e i n s t e i n 空间是常截瞌率的，所以知m 是常截曲率空间i 1 3 云南师范大学硕士学位论文 3 共形平坦黎曼流形上的一些相关结论 首先，我们知道下面的著名的引理( r a m 1 8 】) 引理3 1 令口，为实数，t = 1 ，使得e 啦= 0 ，并且e 。a ? = c o n s t 0 ，则 莩a f l 丽n 两- 2 ( 莩固 ( 3 1 ) 等号成立当且仅当礼一1 令衄相等，或者所有的= 0 证明；我们可以通过拉格朗日乘子法找到符合条件t = o 及q t 2 = c o n , , s t 0 的临界点，证明从略 1 下面，我们仿照文【1 7 中李海中对实空间形式中超曲面的第二基本形式的讨论， 设为s 的特征值，锄= ；打s 一九，则 皤2 = i l s l l 2 一去( 打s ) 2 ， ( 3 2 ) a ；3 = 一杀( 郴) 3 + i 3 ( 打s ) l l s l l - t r ( s 3 ) ( 3 3 ) 我们发现： 1 ) a t = 0 2 ) 啦= o 错a ；= o 售i l s l l 2 一妄( 打s ) 2 = o ( 3 4 ) 由( 3 3 ) 我们得到： n t r ( s 3 ) 一# ，- s ) l f s l l 2 一暑( 淞) 3 + 2 渺s ) l l s l l 2 一行霹 ( 3 5 ) 再由( 3 i ) 和( 3 2 ) 知： 莩。? 稿( 莩嘲k 赫州s i l 2 一知) 2 ) ；( 3 e ) 将( 3 6 ) 代入( 3 , 5 ) 得到： n t r ( s 3 ) 一( t r s ) l l s l l 2 那酽书s ) 2 2 t r s 一黼辱) ( 3 1 4 云南师范大学硕士学位论文 由引理3 1 及( 3 4 ) 我们知道( 3 7 ) 中等号成立当且仅当l i s l l 2 一( 亡r s ) 2 = 0 或者 n 一1 个九相等由于： ；丢( a t - a k 卜南( n 婶却r s ) i | 刚2 ) ( 3 8 ) 将( 3 7 ) 和( 3 8 ) 代入到( 2 8 ) 得到下面的重要的积分不等式： 川v s 卜黔s i l 2 + 南( 2 一扣s ) 2 ) 牺s 一丽n ( n - 2 ) 而) 3 ) 为紧致共彤平坦流形，如果s 满足? i l v s l l 。i i v t r s l l 2 ， 俐嬲煮器枷s 卜；( 打s ) 2 那么，或者 l l s l l 2 = 去( 打s ) 2 且m 是常截曲率的 或者 打s = 鹅1 v s 驴一去( t r s ) 。 2 n ( n 一) ”“ 礼、 7 且s 有两个不同的特征值a l ，a 。， 枷枷；( + 熹、坠半型渺s 址，= - - 乩= ；( i - 墨譬n ) 打snn zv 一甩 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 证明： 由( 3 2 ) 我们知道0 s i l 2 一j ( t r s ) 2 0 ， 那么，又由条件( i ) ，( i i ) 我们可以得出两种情况， 第一种情况： l i s i l 2 = ；( r s ) 2 ， j i v s l l 2 = i i v t r s i l 2 由( 3 4 ) 知必然有s 的每个特征值 = 百t r s = c o n s t 因此，m 是e i n s t e i n 的，由于 共形平坦的e i n s t e i n 空间是常截衄率的，则m 是常截曲率的 第二种情况： 1 5 云南师范大学硕士学位论文 一1 6 i l v s l l 2 = 1 1 w r s l l 2 ，t r s2 弓稿、峪| | 2 一；( t r s ) 2 ，s 有两个特征值a 1 , a n 下面简单计算确定a 1 和h 令 1 = 一 = a ，a 女+ 1 = = a n = p 我们已知 t r s = 忌a + ( 他一七) 弘， i l s l l 2 = 码= a 瓣= k a 2 + 一角) p 2 幻刈 那么，通过直接计算得蓟： i l s l l 2 一击( 打s ) 2 = ( 等) 七( a + 肛) 2 将上式代入( 3 1 0 ) 经过整理即可得到( 3 i i ) 和( 3 1 2 ) i 推论3 1 令m ( d i m m 3 ) 为紧致共形平坦流形，其纯量曲率r 为常数，如果 打s 耥、i i s 胪一：( t r s ) 2 ( 3 1 3 ) 则m 是常截曲率空间 证明： 纯量曲率r = c o n s t ，又由( 1 1 4 ) 说明定理3 1 中条件( ) 成立，而且( 3 1 3 ) 就是定理3 1 中的条件( 扼) 因此，我们由定理3 1 知道：或者彤是常截曲率空间，或者( 3 1 0 ) 成立且由引 理3 1 有n _ 1 个相等接下来我们要证明后面的情况不可能 ( 反证) 假设( 3 1 0 ) 成立且- 1 个凡相等，不失一般性，我们设： 入1 a 2 _ - = h ，则由( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 可得： n ：( 14 - 垫n - - 型2 m s k = ；( 1 - 墨渺s ( 3 1 4 ) 由( 3 9 ) 及r = c o w , s t ，我们得到l i v s l i = 0 ，即，k = 0 由于a 1 = c o n s t ，我们有娼，= 0 且j 2 时， 0 = s i j ，k 0 2 k = 峨+ s l k w k j + = ( a 1 一k ) u 1 j ( 3 1 5 ) 由a 1 h 知 u 1 ，= 0 ，j 2 对( 3 1 6 ) 式微分，我们有： ( 3 1 6 ) o = 灿l ， 一i 粕删 岫= 一；凡l o l j k a o j l ( 3 z t ) k 。k , t。kz 云南师范大学硕士学位论文 由( 1 1 5 ) 和( 3 1 7 ) ，我们有 o = 凰玎= 而1 ( 入1 + k ) e h ( 3 1 4 ) 知t r s = 0 ，则 1 = a 。= 0 与a z 。矛盾 即证得m 是常截韭率空间_ 由( 1 1 4 ) 我们得到不等式打s 赫扣丽等价于不等式 事实上， ( 丢硝) 5s 南 i j 2 一扣) 2 _ 荨确一芸 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 将( 3 1 9 ) 代入打s 若氍兰孔i 两f 丽即可得( 3 1 8 ) 因此，推论3 1 就等价于下面的g o l d b e r g 定理 推论3 2 ( g o l d b e r g - o k u m u r a 口圳令m ( d i r n m 3 ) 为紧致共形平坦流彤其纯量 曲率r = c o n s t 如果r i c c i 张量q = 黾，岫。屿的长度i i q i i 满足 r 3 ) 为紧致共形平坦流形如果 俐i , j , k j 端埘一；击= c ( = c o a s t ) 一砂| | qj | 0 ，我们有 c = 一面4 ( 渺s ) 2 一2 ) o ( 3 2 2 ) 因此，由引理2 3 和定弹3 1 可得结诊i 1 8 墨壹堑整盎堂塑堂垒堕窭 3 8 嘲 【3 】 【5 】5 【6 1 1 7 【8 】 参考文献 a u b i n ，t ，e q u a t i o n sd i f f s r e n t i e u s sn o n - l l n d a i r e se tp r o b l e m sd ey a m o b ec o n c e r n a n t l ae o u r b u r es c a l a i r e ，j m a t h p u r e 8e ta p p l ，5 s ( 1 9 7 s ) ，2 6 9 - 2 9 6 自正国，沈一兵，黎曼几何初步，高等教育出版社，1 9 9 2 c h e n g8 ，y ，y a us t ，t t y p e r s u f f a c e s w i t hc o r k s t a n ts c a l a r c u r v a t u r e , m a t h a n n ，2 2 5 ( 1 9 7 7 ) ，1 9 5 - 2 0 4 c h e r ns sd oc a r m om ，a n dk o b a y a s h is ，m i n i m a ls u b m a n 咖f do ibs p h e r ew i t h s e c o n df u n d a m e n t a l ，o n 珏d ，c o n s t a n tf 肌舭，i nf a c t i o n a la n a l y s i sa n dr e l a t e d f i e l d s ( f e b r o w d e r ，e d ) s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ( 1 9 7 0 ) ，5 9 - 7 5 陈省身，陈维桓，微分几何讲义，北京大学出版社，1 9 8 3 ， 陈维植l 微分流形初步，高等教育出版社，1 9 9 8 陈维桓，李兴校，黎曼几何引论，北京大学出版社，2 0 0 2 d e r d z i g n l d ，a ，s o m er e m a r k so nt h el o c a ls t r u c t u r eo ，c o d a z z it e n s o s i ng l o b l a l d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg l o b a l a n a l y s i s ( f e r u s ，d ，k u h n e l ，w ，s i m o n ，u a n d w e g a e r b ，m s ) ，l e c t u r en o t e s i n m a t h 8 3 8 ，2 5 1 2 5 5 ，s p r i n g e r - v e r l n g ，b e r l i n - h e i d e l b e r g ，1 9 8 1 | g d e r d z m n k i ，r o t e r ，o nc o n f o r m a l l ys y m m e t r i cm 和i 出w i t hm e t r i c s 。，i n d i c e s0 a n d , t e n s o r ，n s ，s 1 ( 1 9 7 7 ) ，2 5 5 - 2 5 9 1 0 】f e t u s d 且r e m a r ko n c o d