（基础数学专业论文）酉不变再生解析hilbert模上的算子理论.pdf

摘要 本文主要研究中酉不变再生解析h i l b e r t 模上的算子理论的一些问 题。主要讨论了这类解析h i l b e r t 模上的压缩算子的酉膨胀问题和? 2 0 nn e u m a n n 不等式；t o e p l i t z 算子代数及其自同构群；复合算子的紧性和有界性；在d = 1 情形，研究了此类模的有序性；同时讨论了r i e m a n n 曲面- l o 复合算子 第一章主要讨论酉不变解析h i l b e r t 模的基本性质和结构得到了酉不变 再生解析h i l b e r t 模生成函数的特征，给出一组规范正交基；讨论了此类模的 重要性质及与所谓加权a r v e s o n 空间的关系。 第二章讨论酉不变再生解析h i l b e r t 模上压缩算子的膨胀理论的一些问 题，以及一u m tn e n m m 不等式问题讨论了乘子问题，刻划了乘法算子有界 和本性正规的特征；给出了判别压缩算子是否有酉膨胀和 o nn e u m a n n 不等 式是否成立的条件。 第三章研究t o e p l i t z 算子代数及其自同构群刻划问题。证明了在此框架 下，t o e p l i t z 代数四有短正合序列，证明了c a l k i n 代数霄咒一g ( b d s ，t 】) ， 霄厄的极大理想空间同胚于b d s ，t 。值得注意的是这里的b d s ，t 是具有厚 度的“球壳”，与已知的关于t o e p l i t z 算子代数的正合序列的结果有着本质的 不同；给出了f t e d h o l m t o e p l i t z 算子的指标公式，并利用此指标公式刻划自 同构群a u t ( 曰) 。 第四章研究模琊( c “) 上的复合算子，并在d = 1 情形讨论日：( c ) 的有序 性证明了在c “中，若酉不变再生解析h i l b e r t 模弼( c 4 ) 上的复合算子 有界，则v ( z ) = a z + b ，且l t a i l 1 ，若是紧的，则妒( z ) = a z + b ，且 i i a i l 1 ；利用生成函数的幂级数的系数 a 。 判别空间h ( c ) 的有序性，记 l i r a i n f n _ 。o 羔= f ，我们证明了若f = + o 。，则h f ( c ) 是有序的；若f = 0 ， 则日f ( c ) 不是有序的；而当0 l + o 。时，日 ( c ) 可能有序，也可能无序。 第五章讨论r i e m a n n 曲面上的复合算子。利用计值函数给出了正规 复合算子和拟正规复合算子的特征，并在r i e m a n n 曲面具有有限三角剖分的 条件下，证明了复合算子c 0 的正规性、拟正规性、等距性、可逆性和酉性都 是等价的，其特征是p ：m _ m 是解析同胚 关键词：酉不变解析h i l b e r t 模；口mn e u m a n n 不等式；酉膨胀；t o e p l i t z 算子代数；自同构群；r i e m a a n 曲面；复合算子；有序性。 中圉分类号：0 1 7 7 5 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类： 4 7 8 3 8 ；4 7 a 1 3 ；4 7 a 2 0 ；4 6 h 2 5 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sm a i n l yw i t hs o n i cb a s i cs t r u c t u r e so ft h ea n a l y t i ch i l b e r tm o d - u l e se n d o w e dw i t hu n i t a r yi n v a r i a n tr e p r o d u c i n gk e r n e l ，d e n o t e db y 弼( b ，r ) f o r s h o r t ，a n do p e r a t o rt h e o r yo nt h e s eh i l b e r tm o d u l e s i np a r t i c u l a r ，s o m eb a s i cp r o b l e m so f o p e r a t o rt h e o r y , s u c ha st h es t a n d a r dd i l a t i o nt h e o r yo ft h ed - c o n t r a c t i o no n 明( b ，r ) a n d t h ea s s o c i a t e dy o nn e u m a n n i n e q u a l i t y ，t h et o e p l i t zc + a l g e b r aa n d i t sa u t o m o r p h i s n lg r o u p ，t h eb o u n d e d n e s sa n dt h ec o m p a c t n e s so ft h ec o m p o s i t i o n o p e r a t o r so v e r 翊( b y r ) a r ed i s c u s s e d i l la d d i t i o nf o rd = l ，ak i n do fs e m i o r d e r s t r u c t u r ef o rh f ( c ) i sc h a r a c t e r i z e d ，a n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so i lr i e m a n ns u r f a c ea r ea l s og i v e ni nt h i st h e s i s c h a p t e r1 i sc o n c e r n e di nt h eb a s i cs t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so ft h ea n a l y t i c h i l b e r tm o d u l e 川( b ，8 ) w i t hu n i t a r yi n v a r i a n tr e p r o d u c i n gk e r n e l f o rs u c ha 群( b ，咒) ，t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o ngi s c h a r a c t e r i z e d ，a no r t h o n o r m i a lb a s i si se x p l i c i t l yg i v e nt o o ，b yt h e s e ，s o m ei m p o r t a a l tp r o p e r t i e so fh i ( 哦, k ) ，a sw e l la , st h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h es p a c e 日：( b 了8 ) a n dt h ew e i g h t e da r v e s o ns p a c ea c ea l s od i s - c u s s e d c h a p t e r2i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h ed i l a t i o nt h e o r yo fd - c o n t r a c t i o nv i a 明( 硝8 ) a n d t h ev o nn e u m a n n i n e q u a l i t y t h ec o n d i t i o n sf o rm u l t i p l i c a t i o no p e r _ a t o r st ob eb o u n d e da n de s s e n t i a ln o r m a l ，a sw e l la sf o rt h ev o nn e u m a n n i n e q u a l i t y t ob et r u e a r eg i v e nr e s p e c t i v e l y c h a p t e r3i sc o n c e n t r a t e da ts t u d y i n gt h et o e p l i t zc + 一a l g e b r aa n di t sa u t o - m o r p h i s mg r o u p i ti ss h o w ni nt h i sc h a p t e rt h a tt h e r ei sas h o r te x a c ts e q u e n c ea s f o l l o w i n g 0 _ q 臂3 g ( b d s ，t 1 ) _ 0 ， w h e r e 露a n d 尼a r e t h ea s s o c i a t e dt o e p l i t zc + 一a l g e b r aa n dt h ec o m p a c t o p e r a t o r s r e s p e c t i v e l y t h e r e f o r et h ec a l k i na l g e b r a 臂咒i si s o m o r p h i ct oc ( b d s ，q ) i ti s s i g n i f i c i e n th e r et h a tt h em a x i m a li d e a ls p a c eo f 啊限i sh o m e o m o r p h i ct oab a l l - s h e l lw h i 出i se s s e n t i 0 2d i f f e r e n tf r o ma l lk n o w nc l a s s i c a lc a s e a l s 0t h ei n d e xf o r m u l a f o rp r e d h o l mt o e p l i t zd - t u p l e ，a sw e l la st h ea u t o m o r p h i s mg r o u po ft h et o e p l i t z c + 一a l g e b r a 四a r ec o m p l e t e l yd e t e r m i n e d c h a p t e r4i sa i m e dt oi n v e s t i g a t et h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ro nh i l b e r tm o d u l e 琊( c “) a n d as e m i o r d e rr e l a t i o nd e f i n e do nh ( c ) i ti sp r o v e di nt h i sc h a p t e rt h a t i ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r o i l 明( c “) i sb o u n d e dt h e n 妒( 2 ) = a z + b ，v z c “ w i t hl i a l l 曼1 ；i ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r o n 日：( c “) i sc o m p a c tt h e n 妒( z ) = a = + b ，v z c “w i t hl i a i i 1 a l s os o m ec r i t e r i af o rh f ( c ) b e i n go rn o tb e i n g s e m - o r d e r e da r eg i v e ni nt e r l n so ft h en u m b e r2i l i r a i n f n - o 。n 。a 2 a + _ 】，w h e r e a n ) 铲 i st h ec o e f f i c i e n ts e q u e n c eo ft h ep o w e re x p a n s i o no ft h eg e n e r a t i n gf u n c t i o ng ( ) i nf a c ti ti ss h o w nt h a ti fl = + 。t h e n 日 ( c ) i so fs e m i o r d e r e d ；i ff = 0t h e n 日 ( c ) i sn o to fs e m i o r d e r e d i nt h ec a s e0 f 0 使得 0 , n 舻曼m ，( n = o ，1 ，2 ，) ，且d 2 ，则琊( b j 8 ) 上的乘子mch o 。( b ，8 ) ，且 此包含式是真包含从而，可知当d22 且序列 。r “ 有界时，d 一位移君不满 足 mn e u m a n n 不等式特别地，对于由生成函数g ( z ) = 矗雨，0 5 + 。生 成的再生解析h i l b e r t 空间，由于这时o 。= d ( n 。o ) ，易知，当且仅当0 d 1 2 时， 。) 有界，从而可知d 一位移j 不满足y o n e u m n 一不等式w a r v e s i n 在f a r v l l 中证明了a r v e s o n 空间中u o nn e u m a n n 不等式不成立，而a r v e s o n 空间仅是上述结论中的8 = 1 情形由于 u o t 。n e u m a n n 不等式的研究与压缩 算子组的膨胀理论密切相关，许多数学家围绕此问题做了大量的研究，其主 要成果可参阅t b h a t t a c h a r y y a 关于压缩算子组的膨胀理论的综合报告 b h a t 及文献i d r u l 、 d r u 2 、 c r a b 、 v a ，- p 等 第三章讨论”d 9 ，x r d 瓶、! 上的t o e p l z t z 算子代数及其自同构群我们称满足 条件s u p 者 o 。和i i i _ + o 。离并一百a n - i = 0 的生成函数9 为正则的在此 章中，给出多元算子 地1 ) - - ，地。) 的t a y l o r 谱为 口 心，地。) = z c 4 ：i z l 墨t ) 本性t a y l o r 谱为： 口。 m ：，一， 疋。) = z c “：s 1 4 t d ；e fs a s ，t l 其中s 2 = l i m i n f n _ + o 。案，t 2 = l i r as u p 。- + 。且a n + 1 而且证明了：当g 为正则 时，有短正合列 0 _ + 咒l 霄与c ( a d s ，t 1 ) 。0 其中k 为彤( b j 8 ) 上的紧算子全体，7 = 为 地， ) 生成的一代 数，”是由”( m z ，) = z i 给出的t 一同态由此可知，在酉不变再生解析h i l b e r t 模明( b j 8 ) 情形，多元乘法算子 以- ， ) 的本性t a y l o r 谱一般是一个 具有一定厚度的“球壳”g e l s ，t 】，而c a l k i n 代数四俾可视同于“球壳”b a s ，4 上的连续函数代数，这使得我们对以前关于h a r d y 空间、b e r g m a n n 空间情 形的相应结果有了更为深刻的认识。这一新的认识也更体现了我们对一般的 酉不变再生解析h i l b e r t 模粥( b y 8 ) 及其上的算子进行研究的重要意义在 这- - j , 节中，我们还给出了t o e p l i t z 算子代数霄的自同构群a u t ( 臂) 的特 征刻划和f ，e d h o l m t o e p l i t z 算子组的指标公式，这些结果实质性地推广了d 中单位球b d 的日w d y 空间上t o e p l i t z 算子代数的相应结论( 参见 c l l r l 】、 f b d f 、( g u o j 、 f a n s 】) 第四章讨论霹( c d ) 上的复合算子和空间h f ( c ) 的序特征解析函数空间 上的复合算子的研究已有大量的文献，多数研究是在复平面c 中的单位园盘 d ，或在c “中的单位球目上的h a r d y 空间、b e r g m a n n 空间和b l o c h 空间 3 等经典函数空间上进行的【见【c m l 、( x u l 】、 j m c p 、i s h a l 】等专著) 在 f o c k 空间框架下，b c a r s w e l l ，b d m a c c l u e r ，和a s c h u s t e r 给出了复合算子 有界或为紧算子的特征( 见【c m s ) ，证明了：在f o c k 中，若复合算子有界 ，则其诱导函数妒= a z + b 且f i a i i 1 ；如果为紧算子，则妒= a z + b 且 i i a i l 1 郭坤宇和ki z u c h i g u o i 】在一维复平面上研究了f o c k 型空间上的 复合算子，得到了相应的结果我们曾在一维情形，在一般的酉不变再生解析 h i l b e f t 模月曾( c ) 框架下得到相应的结果 x u 3 在本节中，我们首先证明了： 在c d 中的一般酉不变再生解析h i l b e r t 模琊( c “) 框架下，相同的结论成立 证明了；若。在弼( c “) 上有界，则其诱导函数妒( ：) = a z + b 且f l a i f 1 ； 若为琊( c d ) 上紧算子，则妒( z ) = a z + b 且l i a i i 1 。在第二小节中， 我们讨论了复平面e 上由整函数组成的再生解析h i l b e r t 空间日 ( c ) 的序特 征，给出了利用生成函数g 的幂级数系数 o 。) 表述的有序性判别条件证明 了：当l i m 。_ ，。老j = + 。时，日 ( c ) 必是有序的；而当l i m i n f 。= ! 等= 0 时，月等( c ) 必是无序的，为判别整函数空间h f ( c ) 是否有序提供了一个较为 实用的方法同时举例说明了：当l i m i n f 。g ! 一= f ，( z 0 叫百 严 一 p 。骣碳 由于风( z ) 为再生核，对任何a o ， c 4 有 妒= ( ，k ( z ) ) = n 川群( 妒，严) 舻 a o 由此可知：当a 卢时，( 扩，扩) = 0 ；当o = p 时，妒= o 辩妒1 1 扩旷，故 有j j 妒| 1 2 芈烂= 1 ，即可知印( z ) 为单位向量，从而可知 e 。( z ) ：n 0 ，a = ( a ho l 2 ，o d ) ) 为h y ，b , r ) 的规范正交基 推论1 2 3 在弼( b 扩) 中，若。川0 ，则单项式产的范数为 刑i 毡= 鼎，v a 。 推论1 2 4若k ( p ，a ) 是由生成函数g 导出的再生核，则 i l k i l = 以砰i 其中| i | | 为琊( b y r ) 中的范数。 证明由再生核函数的定义和性质 f f 配酽= ( 甄，配) h ：= 配( a ) = k ( a ， ) = 9 ( ( ， ) ) = 9 ( 1 1 ) 2 注1 2 5记h 2 接如础，称其为弼的规范再生核 命题1 2 6 对，蝣( b 彳8 ) ，其中r 为生成函数g = 甚o o 。z “，( n 。o ) 的收敛半径，若，( z ) = 巽。尝。，则有 盯i i 施= 薹去i 三帮 在上述求和式中，若o = 0 ，则在上述求和式中的第k 项不出现。 8 证明设，( z ) = 墨o ：k 芝笋= 。，则由推论1 2 3 知 盯1 1 锄：妻掣严i i 列i 锄 。眇( o ) 1 2 n ! 一台( a ! ) 2 a l o l l , 1 l ! ：子土f 趔 售n k 急o ! 由极化恒等式可得内积表达式： 命题1 2 7 哦中的内积为 蛔= 品 f k k = o 三镯俨i “女 。 在上述求和式中，若a k = 0 ，则在上述求和式中的第k 项不出现 注1 2 8若日：( b 驴) 为h i l b e r t 模，则它包含所有多项式( 参见 c h c ) ， 从而可知，对任何非负整数n ，a 。0 我们熟知的许多解析函数组成的h i l b e r t 空间，都是由某个具有非负系数 幂级数9 ( z ) = 墨o a n 扩生成的再生解析h i l b e r t 空间。 例1 2 9 ( a r v e s o n 空间哪j a r v l 设9 ( z ) = 甚。扩= 南，则g 的收敛半径 为j ，由g 生成的再生核为 驯。) = g ( ( 孙) ) = = 丢 故群( b d ) = 瑚( 玩) ，即a r v e s o n 空问是由g ( z ) = 击生成的解析h i t b e r t 空 间 例1 2 1 0 r 球- b d 上的h a r d y 空间日2 ( a b d ) j 设g ( z ) = 南。这时，地( ) = 面老邪因为g 有幂级数表达式 咖，= 薹等等肚争“， 9 其中。= 渊，故这时若，弼( b d ) ，设 化) ：妻学严 女= 0 i 划= i 则由命题1 2 6 及，拍“，可知 盯i i 勰= 薹去i 量帮 r o or ( d 1 ) ! i ，( 8 ( o 胪 ：、rf 幽! 二! ! ：生! ：j k 上一= 0 l 籀( l o , i + 卜1 ) 1 0 1 1 0 4 1 =妻，萎。蕊i以叫2k= 0 l a l = “1 7 = m i 备t ( 。吼) 。f f o b a l ，( ) 1 2 打( f ) 例1 2 1 1 仁上的f o c k 空间，设9 ( 。) = 矿l z = 墨。燕，则：走。于 若 k a ( z ) = 9 ( ( 2 ， ) ) = e 。，3 ) ：妻种1 2 k ，舻 ：、r f 2 灿2 乞! = 鑫嘉i 量挚。 上述推导中，我们应用了引理j2 j 于是由推论2 3 可得 2 h ：= 2 k k t 。! = f c i 矿1 2 e 一哆啡) 一般地，若，明，则有 t ：， ，圳。一毕删( ：) 这时，g ( z ) 的收敛半径为r = + o o 。故哪= l 2 a ( c “) 。 1 0 例1 2 1 2 ( d i r i c h l e t 空间口( b d ) j设9 ( z ) = 甚l 鲁l o g ( 1 z ) ，则 k x ( z ) z o g ( 1 ( 2 ，a ) ) 这时由推论j 2 。3 知 j k 。i l 致丑d ) = 乏孙= 蕊岛若，v ( b d ) ，则有 m ) ：妻学矿 = 薹，轰簧躺严 = 薹，薹器 掣严 由于，e 。( ：) = 孵z a ， ( 。o ) ，是磷( b d ) 中的规范正交基，故 幅，= 妻l 圣。描= 。， 女= o l n l ：k ” 于是，d i r i c h l e t 空间口( 现) 即为函数9 ( z ) = 甚1 鲁l o g ( 1 名) 生成的再 毕懈析h i l b e r r 空间。 设，( z ) = 。扩，9 ( 。) = 。b 。扩且o n 0 ，b n 0 ，令 ( ，) = 协：a 。o ) ，( g ) = n ：b n 0 如暴，、- 鸠，我们可构造一个等距算子y ：- 明，使得v e 。= e ：，其 中 ， 一卜蚵 e ：小l 钾严 我们可以定义弼中的对角算子d 如下： d e ：2 嚣屯i o 令 a = s p a n e n ) ，a 9 = 印o n e ：) 那么包含算子i a ，c a 9 ，h hh 可分解为i = d v 事实上，由上面的讨论可 得下面的命题 g h x 】： 命题1 - 2 1 3如果( ，) ( 9 ) ，那么 r 订i ：h 日：有界当且仅当 s u p a , q 0 ，由于 眦，= 薹帮 1 2 其中r ( s ) = j ：；r 。：l i s - - 1 e d x ， ( s o ) 为r 一函数。为书写方便，我们常记 r ( s ) = ( s 一1 ) ! ，干是有 肫，= 壹k = o 爷锗r z m 若，y 1 时， 云a n = 暑鬻1 硼( 当n 一+ 。) “：( r + n 一) 7 7 、 。 因此i ：硪( b d ) _ h ( b d ) 是紧的。 在复平面c 上，郭坤宇和严丛荃曾给出过酉不变解析再生核的特征【g y 】 在多复变情形，我们可证酉不变解析再生核有类似的特征，其证明的方法与文 【g y 相似，但作者未曾见有人发表，为参考方便，现将其列于此： 定理1 2 1 6( 酉不变解析再生核的特征) 设函数9 ( z ) = 墨o “。垆，r 为其 收敛半径，耳( 。 ) ：k ( z ) = 9 ( ( g ，a ) ) 。则k ( z ， ) 为_ b 护上的再生核的充要 条件是口。0 = o ，l ，2 ，- ) ， 证明设k ( z ， ) 为b 护上的再生核，则在b 护上存在唯一的再生解析 h i l b e r t 空间h ：( b 护) 以k 为再生核由命题1 22 ，e 。( z ) = n 掣】 矿，( v a2 1 3 o ) 为疗：( b 护) 的规范正交基。于是 k ( z ，a ) = 。( z ，a ) ” ：壹。譬黜 = i 掣r = 。 一n = o l 三mj 州p m 。i 啦。l n b nl o o j ll o j 因此，我们有 裂。蓦( 掣) ( 掣胪) = 萎l 掣卜 特别地， 掣 o ( v 。 0 ) d p 口”i 脚二” u 二w 另一方面，由于k ( a ， ) = 9 ( 1 1 2 ) = 墨o n 。i ；q 2 “= 是o o 。f 舻。- t - ：是 o 掣 邓j ) 2 。 一a 芹a 1 ：o 。 反之，若。n 0 ，( n = o ，2 ，) ，那么对任何有限个a i ，a ? ，k 妒 和复数a 1 ，n 2 ，q 。c ，有 1 4 k 【九，) 。t 丐2 2 1