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齐性s i e g e l 域的全纯自同构群 摘要 1 9 6 1 年，p i a t e t s k i s h a p i r o 1 定义了s i e g e l 域并证明了任何s i e g e l 域 全纯同构于有界域接着于1 9 6 3 年，v i n b e r g ，g i n d i k i n 和p i a t e t s k i s h a p i r o 2 证明了任何齐性有界域全纯等价于齐性s i e g e l 域1 9 7 6 年，许以超【3 构造了一类特殊的齐性s i e g e l 域即正规s i e g e l 域，并于1 9 7 7 年，在许以超 4 中证明了任何齐性s i e g e l 域仿射等价于正规s i e g e l 域d ( ，f ) 1 9 7 6 年，许以超定出了全纯自同构群a u t ( d ( v 。，f ) ) 的李代数a u t ( d ( v 。，f ) 和仿 射自同构群a i f ( d ( v 。，f ) ) 的生成元但是我们不知道李群a u t ( d ( v 。，f ) ) 的另一部分生成元即，我们不知道李群a u t ( d ( v 。，f ) ) 非仿射部分的生 成元- 丫 本文给出了全纯自同构群a u t ( d ( v 。，f ) ) 的非仿射部分生成元集合， 并加以证明 本文共分三章第一章简要介绍了文章的有关背景，发展现状及本 文所要解决的问题及意义；第二章介绍所用的一些符号及后面证明所需 的一些定义及定理；第三章在许以超教授在正规s e i g e l 域所作的工作的 基础上，通过求解一些常微分方程，求出正规s i e g e l 域上全纯自同构群的 一些单参数子群，并证明了这些单参数子群为非仿射全纯自同构群的生 成元 关键词t 正规s i e g e l 域，全纯自同构群，单参数子群，齐性s i e g e 域，仿射自同构群，齐性有界域，李群，李代数 t h ea u t o m o r p h i s mg r o u po fh o m o g e n o u ss i e g e ld o m a i n a b s t r a c t i n1 9 6 1 ，p l a t e t s k j s h a p i r o 【1 d e f i n e ds i e g e ld o m a i na n dp r o v e dt h a ta n 3 s i e g e l d o m a i ni s h o l o m o r p h i ei s o m o r p h i ct o ab o u n d e dd o m a i ns u c c e s sv e3 ，i n 1 9 6 3 ，v i n b e r g ，g i n d i k i na n dp i a t e t s k i s h a p i r of 2 lp r o v e dt h a ta n yh o m o g e - n e o u sb o u n d e dd o m a i ni sh o t o m o r p h i c a l l ye q u i v a l e n tt oah o m o g e n e o u ss i e g e l d o m a i n i n1 9 7 6a n d1 9 7 7 ，x u 【3 】c o n s t r u c t e dac l a s so fs p e c i a lh o m o g e n o u s s i e g e ld o m a i n ，i e t h en o r m a ls i e g e ld o m a i n ，a n dp r o v e dt h a ta n ) h o m o g e n e o u ss i e g e ld o m a i ni sa f f i n ee q u i v a l e n tt oan o r m a ls i e g e ld o m a i nd ( g 、f ) i n 【4 】i n1 9 7 6 ，x ud e t e r m i n e dt h el i ea l g e b r aa u t ( d ( v k ，f ) o ft h eh o l o m o r p h i c a u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( d ( v n ，f ) a n d a p a r to f t h eg e n e r a t e de l e m e n t so ft h e h o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( d ( v n ，f ) ) b u tw ed o n tk n o wt h eo t h e r g e n e r a t e de l e m e n t so ft h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( d ( ? n ，f ) ) ， n a m e l y + w e d o n tk n o wt h eg e n e r a t e de l e m e n ts e to ft h en o n - a 矗n ea u t o m o r - p h i s mg r o u po f t h en o r m a ls i e g e ld o m a i nd ，f i nt h i st h e s i s ，w eg i v es o m eg e n e r a t e de l e m e n ts e t so ft h eh o l o m o r p h i ea u t o - m o r p h i s mg r o u pa u t ( d ( v n ，f ) ) ，w h i c ha r ed e t e r m i n e db ya l ln o n a f f i n eh o l e - m o r p h i ca u t o m o r p h i s m sa n dp r o v et h a tt h e s ee l e m e n t sa r eap a r to ft h eg e n e r a t e de l e m e n t so fa u t ( d ( v n ，f ) 。 t h e r ea r ea l t o g e t h e rt h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e b r i e f l yi n t r o d u c e t h er e l a t i v eb a c k g r o u n dk n o w l e d g e ，t h ed e v e l o p m e n ts t a t ea n d t h ep r o b l e mw h i c hw ew i l ls o l v ei nt h i st h e s i sa n di t sm e a n i n g si nt h es e c o n d c h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h en o r m a ls i e g e ld o m a i n ，s o m en e c e s s r r yd e f i n i t i o n s a n dt h e o r e m s i nt h el a s tc h a p t e r ，w eb a s eo u rw o r ko n p r o f e s s o ry i c h a ox u s a n dw o r ko u ts o m eo ft h eo n ep a r a m e t e r s u b g r o u p sb ys o l v i n gs o m ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h e np r o v et h e ya 五趋固o ft h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u p o ft h en o r m a ls i e g e ld o m a i n o 豫 神。f 一，t k e yw o r d s ：n o r m a ls i e g e ld o m a i n ，h o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u p ，o n e p a r a m e t e rs u b g r o u p ，h o m o g e n o u ss i e g e ld o m a i n ，a f f i n ea u t o m o r p h i s mg r o u p ， h o m o g e n o u sb o u n d e dd o m a i n 。l i eg r o u p 。l i ea l g e b r a 第一章闯题简介及主要绪巢 1 9 7 6 年，许以超【3 】构造了一类特殊的齐性s i e g e l 域卵正规s i e g e l 域，井于1 9 7 7 年，在 f 4 1 中证明了任何齐性s i e g e l 域仿射等价于正规s i e g e l 域d ( ，f ) 1 9 7 6 年，许以越定出了 全鳟鑫嚣鞫群a u t ( d ( v 。，玛) 熬李霞羧a u t ( d ( v 。，f 纛a u t ( d ( v 。，f 弱缒嚣甜骞阉搀群懿生 成元但是我们不知邋a u t ( d ( v 。，f ) ) 的非仿射部分生成冗 本文求出了全纯基恩掏群a u t ( d ( v 。，f ) ) 鲍非仿射部分的生成元集合，并加以诚明。这 样，就求舀了全纯宣阍构群a u t ( d ( v 。，f 豹新有生成霸丽正秘s i e g e l 躐d ( ，均酌所 有垒纯自同构都可以由生成元中的某些变换连续作用而成，、给出众纯自同构群的明确表达 式，对进一劳研究正规s i e g e l 城的性质是摄有擐靛。 o2 t 本文的主要结果为下面的定理 定理1 _ 1 设d ( v n ，f ) 撼c “c 中正规s i e g e l 域，它由砸规矩阵缌 a 巍翻；) ) 定 义记a u t ( d ( v n ，f ) ) 为全纯皇同构群a u t ( d ( v n ，f ) ) 的李代数，则a u t ( d ( v n ，f ) ) 有子空间 直接积分解 a u t ( d ( v n ，f ) ) = a f f ( d ( v n ，f ) ) + l 1 + l 2 ， 取撵撂1 i l i 茎n 逡舍鑫嚣葶l 淫2 , 6 孝浆疆令条谗懿簸穴褰，这样，岛黻一些 毋和碟为旗。l 1 以一些丑( o ，) 为基则e x p ( l 2 ) 由下丽两类单参数子群生成； r p = 8 p + t ( 1 一s d ) 一1 和i f 勺= 却+ t ( 1 一$ l 笱一1 p 锰 w p i2 如f ( 1 一曲t ) ，p i 鳓2z i p ( 1 一s d ) ，i p p i ，“= 岛f l s d ) 一1 i p ， 饥p = # 印+ t ( 1 一s f 圹1 犏a 卸s l ；p t m ， 詹 p i ， 暂睁= # 卸+ t f l s l 如1 z “( s ) 。华、，t “s p ) ， k i 芦 呦= z k p + t ( 1 咱t ) 1 ：是z l p a i 篓，i 女 p ， = “p + q l 咱f ) “拶u i 戳，p i ， q = u i ( 1 一s 弗) 一1 ， 印= “p + t ( 1 一吼z ) _ 1 罐q $ ，i p ( i i ) e x p ( o t j ) w ”= ( ：u + 目( 5 ：勺一：, j z j ) ec ) ( 1 2 0 ：g r ；：s ，( 1 2 0 ：一0 2 ( s ，s j 一：”：j ) ) 一1 ， 。= 彤( 1 2 0 ：g 一目2 ( s 。卸一：u ：j ) ) 一1 ， r p = ( 1 2 0 ：j t 一0 2 ( s t s j 一：，j ：；) ) 一11 8 p 目2 ( s ，s j 一：u ：j ) ) 一 一2 0 s v z g ) + 2 0 拶：，_ 誊 + 0 2 s i z p j ，+ s j 和f 弓；一s p ( s ，s j 一：o ：i ) 一2 芝二：基k a 翟：i j ，p i r p = ( 1 2 0 ：g 一0 2 ( s 丹一：玎：j ) ) s p 一2 0 s p z ：+ 2 p ：譬“、s j ，i ； + 0 2 【乱却j j + s j = 毕。知一卸( s i 一：玎：o ) 一2 ：p j 、几徊s j ) 7 ：0 j i p j ， = ( 1 2 0 。g 一目2 ( s ，s j 一。”：j ) ) 一1l 卸一2 0 z g + 2 0 ：，p a ”t p j i p + 目2 q 勺p 。知+ s j z 增：0 一卸( s i s j 一。i j - i j ) 一2 ：g ：巾4 玎s p 。i p j ，j p 嘞= ( 锄+ 0 s ，z p 3 a p i e 一口啦锄；) 7 a 私e r ) ( 1 2 0 = g 一8 2 ( s l 勺一：口：；) ) 。1 p z 嘞= ( 如，+ 目s j z ) e t ( a 舅) 一口。p 3 a p i 。扣( 4 ) ( 1 2 目：g 一目2 ( 即，一 j j 2 峥j = ( ；力+ p 勺。i “p l e t a 嚣 w i p = ( 却+ o s f 缸a i p z p j e 。 w i p = ( 。9 + o s l z j p ( a 等) 一p = g 。口a s pn u t p ) ，) ( 1 2 0 ： 一口2 ( 目s t 一。u ：j ) ) 一1 ，j p 哟p = ( 。p + o s j ；咖a 筹一占甾勺p ( a 孑) 7 a “t p ) ( 1 2 0 ：g 一目2 ( 目s j 一：”：0 ) ) 一1 j p q = ( 蛳+ o s i 嘶q 8 一日：g “q g q g ) ( 1 2 0 ：g 一矿( 矗勺一：“：0 ) ) 一1 ， 铲( “，仙m 础一目：铷虿啪( 1 捌：争口2 ( 蚋矧) ， 唧 = ( 1 2 目：一目2 ( q 勺一：，j ：o ) ) 一1 如一2 目却k ：g + o z p ，a 品e ：靠，- 4 誓e ：e ， + 口e 。a 嚣：麓：p ，a g e ：e r + 口2 s - p ) a p t ：e s + q ：”a 算：0 e 。 0 p 舱2一d v j p ae j ： ”妒 a j和 ， p一 叫锄 一 叶 ，萨 ， q ，一 q却嘴q q 叩 a ”叩 a 小唧 v 一 一荨切铝。o e 。彤：。：舟+ 善4 麓为却，a 如 卜铂( 日s j 一铆：；) j7 ，p i ”舻( 1 2 9 。g 一8 2 ( q 勺。玎：抄1 a p 女一巷+ 口锄a 强* ( a 。, k ，) ， 枷莓州腻一( a 茹) ，+ 矿【；n z p i a 一 q z ：一+ 毫勺拶引以筹) ， 莩锄4 茹毛讯群一莓r ) 锄4 囊嘞e 。( 群? ) 7 一协( 。，咛一铆为) ， p i j ， 2 ( 1 2 9 z g ) - 0 2 ( 8 吩一勺咯) ) 一1 z p k - 2 0 z p k z + 口劲铝。；讯( 4 饕) ， + 9 莓拶耳e ( 磅) + 口2 ；耐搦勺。( a _ i ：。，讯( a 一莩z p j a 箸。o 讯( 群 ) 7 一莓甾讳铝砖矾( 群，) 一铆( 矗勺勺；：) 】1 ， 毗2 1 铆z s ) - 0 2 ( s i s j - - 。矿1 f z p a - 2 0 z p k 甾+ 口。以。以警 + 9 莓。$ e t a 翟锄卅苗+ 一2 【莩弘p 黧e 。+ 勺z 皋) z l k a 爹 一z l j a 鳓* q o k 一莓弗勺缸，a 喾嘲如啷圳，却 4 印2 1 2 9 z s ) - 0 2 ( s 勺一勺。；) ) 一1 i z t , 一- 2 0 z v k 4 ；1 + o z 屯4 ，a j z 力t 盔。4 峦 + 9 莓龇a * ( 磅卅哆( 4 “q 铷磅 一夸哪a 嚣刍句 a 苦一莓2 $ q g e ：勺一( 铹) 一诎h 一勺为) 1 脚2 ( 1 2 8 搿一8 2 h q 一幻为j ) z p * 一2 0 z v * + 口铹t p t 司。a 苗 州莩锄t p e ：钒铹+ 口2 f 享日出勺。铹+ 勺乏) z l h a 筘 一丢z 弘船坞叩tj k r k 一= z o ) e a 。s p 。, a r 。，k z 呻l 郫i 一丢j 1 1 1 j 2 p j 女 j p 矗 咋2 1 2 9 一萨( 8 i 8 j - - z ，) ) 一1 卜- 2 0 u p 拶+ 口铂。“礤 + 9 莓缓。e ：唧石f + 一2 莩矗掳，叶万+ 圭q 。，碡， - 莩? 擘万一秽叫 萄吩万叶一圳i 咋2 9 帕2 蚴一叫k 删唧枷即舭q + 日：辨t | 4 罩e ：u ，诣口2 一二”1 4 茗：v j “t q ：； s ，圳u j 而q p j + r ) u t 锩 “r ( 5 f5 j 一：u ：；) l 旷( - 础：弘眈s i s j - - z i j z ：，) ) 。卜2 ：牡8 莩州t p ”t u t r + 一莩：一孑e ：嘶。嚣+ p 2 【莩5 t 圳q q 笋+ 莩8 ，墨u l q 一：g e r a 孑弓，u ，q 享+ ：。( s ) a s ，p e ：q 。；一u ，( 5 ，勺一：u ：0 ) j j 9 。p ( l 1 ) 由。p ( z ( 口。) ) 生成，其中q c “而e x p ( z ( 叫) ) 为 印：卸一( 1 啦1 2 ：。= 刍+ 2 壤“，q 刁) ( 、= t + 矗f d 1j 2 + 2 “f 可) 一1 ，p i ， n = 丁日( j + s i 2 + 2 冒) ， 勺：如一( 蚓2 狮；o + 2 接“，万) ( 仃+ 矗i 。j 2 + 2 u 爿) ， 嘶，：( 仃z p i - - 8 i 邯础可针= 踟万掣酬( 仃怕旧1 2 + 2 u i 爿) 一1 p 2 w i p = ( 一1 ： 一5“，q 2 万e 。+ ：铷础万爿e ，) ( = t + s i 蚶拙，爿) 一1 ( j + 旬h 1 2 + 2 u 。冒) - 1 l p i ， 嘶：m 一( 卅始，( 货) ，+ 拶爿狮( a 孑) + 邯万冒：( 祥) 7 ) j j j ，u ( 一1 + s ，i o t i l 。+ 2 u l 面。) - 1 ，l i p ， ，= 。f p 一( 蚓2 。p 锄硝+ 硼础“，s p + u ，啡可。e s ( - 荆) ( 仃+ 出1 2 + 2 u t 碍) ， i f p 一 。，：。，+ ( 仃帕蚶+ 2 u ；) 1 ( 叫u ，掣a i 万+ 仃：踟t 掣 + 。舳万啡，冒q 万一蚶牡可一u ，。弦u r 万) ， z 0 1 5 4 = 、= t ( 乱呲+ “，) ( 、j + 以1 n ，p + 2 “。z 彳) 一1 ， 印：。p + ( 汀+ 封。，j 2 + 2 u i 万) 一1 ( 一s ，“p 口2 耐q q 宰+ 仃：譬。i q i ；) 4 玎 0 ”咿 川 ： s p ” 钆 ，们巾 4e 万q u +e 巾 a，-冒 扣” 0 p u + 叭扫 a0 。 2 口 p 一 p l ：l i p u + ：铷础万爿啦础一蚶：铷蟛一u p 万碍蛳啪，i ， 注记( 1 ) ：本章所用的符号，见下一章符号简介 注记( 2 ) ：这篇论文是在许以超教授的悉心指导下完成的 5 第二章符号简介 首先，我们介绍正规s i e g e l 域如下： 给定非负整数n i j ，1 茎i j n ，其中= 1 ，1s i 蔓a 记n = _ 整数m 。，1 茎i n ，记m = e r t ic “中的点：的坐标排为 i = 1 n 。给定非负 ：n ，s n ) ，勺2 ( z l j ，。2 j ，一1 ，j ) 其中 s i c ，：。c “，锄= ( ：g ，。譬”) 当。的坐标中s j = 1 ，其余坐标全为零时，记：为e ；当。的坐标中：g = 1 ，其余坐标全为 零时，记z 为e 黔c 中的点u 的坐标排为 其中u j = ( q 1 u = ( u 1 ，一，u ) ，“j c m ，1 兰j n 弓) 当u 的坐标中“；。= 1 ，其余坐标全为零时，记“为e ；。 定义2 1 给定秩为的正规矩阵组，记作 a 咎，1s i j ! n + 1 ) 其中当1s sn i j ，1s i j 后n 时为n 路n j k 实矩阵；当lst n 1 i j 时 为m i m j 复矩阵a u t , n + 1 = o 乳其中m ，= n 叫+ 1 ，isi 茎v 定义条件为 若n m = 0 ，贝0 n l j n j k = 0 ，1s f j 七n + 1 砑a 笞+ 虿a 咎= 2 j ( 其中1 s ，t n i j ，isi j 七n + l ； n f 筠s k 勺t k 产( e ，a 筹e t t ) a ， r = 1 其中1s ss n i j ，1s fsn f l ，1si j ? 七n + 1 ； 其中1 茎s “蚶，1 fsr z i l ，1 i j f ksn + 1 6 ( 21 ( 2 2 2 3 ) 2 4 )q o “玎 4 =a 虿 记 n ：端n + n + 1 + tv + r q n 敬：酽，# g m ，记 q ( 。) = ( 为n j 呓方阵，其中1sjs n 弓时l ： - 弓 s j + l ，“+ 1 ； 曩浑。，。 m = k w + - = m i ( 2 , 5 n ，j 磷( 。) = 。：t 蠢警) 7 ，1s i j k 曼nf 2 6 ) r = 1 为n i j n i k 矩阵再引进吗m j 复矩阵 ? 脚) ；| 警扭) 咒弦( u ) ( 27 ) 其孛1 s j 蔓n ， ( 。) ：釜踟。石巧了巧：登小。i 耐( 2 8 ) r = l r = 1 为n j k 。n + i = 蛐。叻矩眸，1sj k 要n 定义2 。2 飨定正规矩簿缀 咎，q g ，1 篓i j 0 ，1 s j s n ) 称为正规s i e g e l 域避为d ( ，固其中f 袭零为 f ( u ，n ) = ( f 1 l ( i t ，“) ，f 2 ( u ，“) ，f 2 ( u ，i t ) ，f _ ( i t ，“) ，珊( n ，“) ) 玛( i t ，u ) = ( 凡j ( “，i t ) 最l f “，n ) = “i 可 墨鸭“) = 汹q g 号) ，r e ( u q 穹斡 7 。_ 燃 、lll|l|， 计季。? ，盹 砖 、；， 它满足 0 ( f ( “，“) ) = r e ( r j ( u ) 可可 定义2 3 给定1 i 0 ， n 对称方阵 称为关于指标( i ，j ) 适合条件： ( i ) 任取f i + l ，j 一1 ) ，只要( ”mn u ) 0 ，就有 ( i i ) 当p i - t - l n “= n t j = n 玎， n p i2n p l2n p j p 2 b i p 2 n i p2n j p ，j p j 一1 1 时有 n i p = t t p l = n p j ，i p ，； ? l i p = n 。p = “p j ，1 p 0 ，且矩阵s 关于指标( i ，j ) 适合定义2 3 中的条件，则有 ( a “t j ) 7 ( e ：+ e ：e 。) a 篡= 2 凡。p u t e a t p ：( e ：+ e ：) ( a 2 ) 7 = 2 5 。，“”，p i c e ( a 挈) ( e ：e 。+ e ：e 。) a 2 = 2 氏。，“， e a 宰( e ：e 。+ e ：e 。) ( a 譬) 7 = 2 乱。，”，i p j 以及 a u t ll a u s l ) 7 + a “s l ”t 1 ) = 2 以t ，【“， a 3 j ( a 。t j = ( e 。a 托”z ， i l j ， a 尊似筹) = ( e 。且孙) a 。r p i j p 当取+ 1 时，对复矩阵组有 q 0 q = ( e 。a z ：e t t ) o 甚，七 i ， j o 每o ；= ( e 。a z e 。) q ：】：， i j p 29 f 21 0 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 、， m j | 薹= 1 1 m ，i | i s 定理2 5 r n 或c n 中的域。上的解析或全纯向量场x = 耋引z ) 矗a u t ( 。) 决定 的单参数子群e x p ( t x ) 为域d 上的解析或全纯自同构y = ，( 。，t ) ，砘“它是常微分方程 组 dyt*_a)：f(t)dt 7 7 的适合初值 y ( 0 1 = z 的唯一解析解，其中( z ) = ( f - ( z ) ，矗( ) ) 引理2 6 设d ( h ，f ) 是伊c “中正规s i e g e l 域，它由正规矩阵组 a 学，o g ) 定 义记a u t ( d ( v n ，f ) ) 为全纯自同构群a u t ( d ( v n ，f ) ) 的李代数，则a u t ( d ( v n ，f ) ) 有子空间 直接和分解 a u t ( d ( v n ，f ) ) = a f f ( d ( v n ，f ) ) + l 1 + l 2 其中l ：有基 b i ，i i l ，i 2 ，i p ) 及 碟j ，1s t 墨n i j ，i j ， ，j i l ，i p ) ， l i 1 i 2 i p ；l 1 有基 z i ( n 。) ，i i l ，i 2 ，i p ) 的充分必要条件为d ( v n ，f ) 适合下面条件： 指标l 茎i i ，s n 是适合下面条件的最大集这些条件是 ( 1 ) 实对称方阵s 关于指标( i 。， ，) 适合定义2 3 中条件并且有 ( 2 ) 条件； ( 3 ) ( 4 ) 其中 m i d = m i 。= m i ，培 l p i t ； 当i i h 一，i 。一1 ，i i 。时，实对称方阵s 关于指标( i ，i 。) 不适合定义2 3 中的 n ，i = 0 ，i a i ，i i o + l ，一，i p ； ( q 5 2 ) ( e ：e 。+ e ：e 。) 口：乏= 0 ，1 兰“，”m ，1s i i ， b t 2 菇卸南老+ 4 ，：。去+ s 薹砸南+ s ? 最+ 矗 怕蕃砩岳+ 。聂。莩艘k p z p ，r 南+ 。萎，莩圳引硝，南 十，委，莩讯( s ) z a s 蚀p i + p i s 圳u r 万要p + 丢莩弗k 。茜 9 = 2 跗o 击+ 2 叩：老+ 2 薹莩：牡翟e ；去州萎，莩：乳- t 掣：玉毒 + 2 卸( a 圳t p 嘞, 矗+ 嘲) ：一s - ：”4 秘e 。 j p p s 一：牡。j ( a 象) 7 a 墨e 矗 再g q _ + 2 ：g ：， s ，r ”。p 1 l ( f + q e t a 。, ，j ：玉e 。一：譬：，4 嚣( 4 翠) e ，e r + s 。哥，( _ 夥 p j 5 p j r j p j p 莩批r a 孑( a 剐去+ 萎_ 孑去 5 。p j p u 。j p +。萎莩。(彬(哟南+(8i8jtkp，) 南 f ；w pd ：? ；7 + ，乏，荨锄爿蒯岛雏毛南+ 。聂。莓锄锥出朋引，：毛南 + 如，4 黟州? ) 去+ 龇- 4 e 。( 筇) ，筹 p i k s。p r 女 i p j5 r u ：k p + q 善莩。2 k ( ) 南+ 。蓦。，莩：2 。，( a 孑九蛸) 去 + e t a i “p z p j z i k 4 苗去+ 壤) e a s j 熹 i p j i “p l ：最 u ：i + e i k p jo ， + 蚋。g ，羔 。莩划4 孙讯a 苦彘 + 。篆，莩叫翠u t 砧岳+ 。篆，莩锄( a 孙 q ：；茜 + 莩。g q 万q 譬毒+ 萎莩圳叶礤两岳 蜀j = 2 佩，一班石0 + ”, z z r 。z z 。4 ；i u p q 品碌毒州, ：t z 。z ；：。) u p 万匆毒 + 仃薹莩“一啡吲q 毒+ 毛p 唰u i 毒+ ，聂。p 簧i 砑0 “j 丁 “旦 争四 罐 钻 如 静 “ 。穆嗡 旦弛 万 + 珂鹕老 。 一k 端， + n 一 一 f i i 十善训；毒j + 河p i s 龇万掣万斋, r + 行荨莓龋q 置万寿+ 何i p s 邯v 虿- p t7 吼，熹 + i i u 叫以? 参+ 莩州扩若+ 。“( 峭，若 + 龇万- 毒+ 佰邯鹕钒万p 鲁 l uzippi s p i s 1 1 第三牵越规s i e g e l 域的全纯宣溺梅群 在这一章，我们首先根据许以超教授所做的工作，写撼正规s i e g e l 域的仿射鲁两构群 的生成元然后，通过求解一些微分方程，求出正规s i e g e l 蛾的一些单参数予群，并证明这 些摹参数手嚣爨正嫒s i e g e l 壤豹众楚塞嚣襁群菲傍舞鄂分懿生成元，嚣证骥t 第一露孛定 理1 1 3 1 彷射自蔺构群 密隰焉强f 足理 寇理3 1 1 由正规矩阵组 a 誊q 黜决定的正规s i e g e l 域d ( k ，f ) 的垒纯自同构群 记作a u t ( d ( v 。，f ) ) ，a u t ( d ( v 。，f ) ) 为它的攀代数，则a u t ( d ( v 。，f ) ) 有子空阔蠢接和分解： a u t ( d ( v 。，f ) ) = , f r ( d ( v 。，f ) ) + l 1q - l 2 其孛a 联d ( v 。，f ) ) = l l l 一2 + l o 为正甄s i e g e l 域鲍黉射爨鞫构释a f f ( d ( v 。f ) ) 瓣攀霞 数虽有 “= n 要叫) ， “邓至o u + 2 厅即周丢阳甜) 讧泌丢t 磋 其中。a 券a f f ( v n ) ，a g l ( n ，r ) ，b g l ( m ，c ) ，又“c m ， f ( u b ，“) + f 心，u b ) = ，( “，“) 矗 丽且，a 趣d ( v 。f ) ) 的予代数l 。翕子空阐直接和分解： l 。= t ( d ( ，叼) n l 。+ 西( d ( 1 0 ，f ) j + 掣( d ( ，f ) ) ， 其中 t ( dc v 。，f ) ) c ) l 。= a j ，x 乎，1 l n l j ，1 竖i j ) ， 南= 。唧葛0 + 善锄老+ 丢劲去+ 勘著，5 舡 肖9 1 = 。：g 两0 + 勘毒+ 薹莩却，a 嬲毒 +摹eta挈锄南十萎“a等)去十q万：旦ouiiipj v p3 p 1 r 邶( ，州： 锄砉+ u 尬嘉】_ j 。 l 。1 i j j v 为实斜对称方阵，k 。1 i t 为斜h e r m i t e 方阵它们满足下面条件 子空间( d ( ，f ) ) 有基 其中k ? 如下定义 厶k 4 咎+ a ”t k 岛k = ( e ，l l j e t ij 玎r k n 。v 。t + o j = ( e r l i j e ：) o g 彬= ，“q 汐差，t 墨z 孙， 蟛= 。：去怕南+ 薹莩撰k ( ) 7 啬 + i 妻p ，莩= 牡t a g 南+ j 羡椰a 等为 j 5 p 。 此外，劣a f f ( d ( v 。，f ) ) 当且仅当n n 实对称矩阵s = ( n ，。) 满足定义2 3 中的条件 使得当蚴0 ， m i = ”f2 m j ，i l 定理3 1 2 设d ( v n ，) 为c “c ”中的由正规矩阵组 4 若，q g ) 定义的正规s i e g e l 域，那么，d ( ，f ) 的仿射自同构群a f r ( d ( v 。，f ) ) 有半直积分解： a f f ( d ( v w ，f ) ) = t ( d ( v w ，f ) ) i s o ( j 川( d ( v n , f ) ) n a f r ( d ( v w ，f ) ) 】 a 刖d ( v 。，f ) ) 的单位连通分支的生成元为： ( 1 ) t ( d ( n v ，) ) ： 2 ：+ 2 二r f ( u ，卢) + v z t f ( f l ，卢) + 口， “_ u + 卢，卢c m ，口砘“； ( 2 ) 紧李子群o ( d ( ，) ) ： _ 8 j ，。”_ z l j o i j ， ls i j n ， “f _ “i 阢，1 s i s n 其中o i j o ( ”“) ，以u ( m 。) ，且满足 1 3 r ， 0 芦 0 钾 i i 0l s 件u a0 j q e = 女q a d ( 3 ) 单参数子群e x p ( z i j ( o 口i j ) r j = s i 七s i o 二3 。| + 2 0 8 t 唯= 5 p ，p j ， w l j2s i o 既3 + ：， w p ，= z p j + 0 毒：屈，( - 4 翟) t 铷，= ：。+ 目：g 屈j 4 茗， w j g = 勺9 + 0 口l j e ：w - 4 孑， 1 p i j g w p q = z p q ，p 口 3 ，p j gj p 0 又若砧a f f ( d ( v n ，f ) ) ，则 o r r e x p ( 写。j t z ? ) 可以部分地写为 q ( 口弘) ) = r ( d ) 伉( 。) r ( 口) ，r k ( c r “( u ) ) = r ( o ) 风，v o 皿”， 1 1 女 i n 女kn k ，+ l 脚) = f 。扎川 础。，羔州，1 ； j ( i n n l 且有1 1 一= o ，= 1 当p j 或q j 时，a p q = 0 3 2e x p ( t b i ) 在这一节，我们计算b ，所决定的单参数子群不妨设向量：= ( s 经全纯自同构一作用后变为向量w = ( 亿w 2 ，一，w 。，r n ) ，向量u = 量 = ( ，) 由定理25 列出下面满足在零点的初值为( ：，“) 的微分方程组： 所以e x p ( t b i ) 为 鲁= 蛳蟛，p i 鲁= 脚”o ，i p 警一惭，州， 百d r i = r ? 訾一r 惭泌p w k i a k p w p i p i ”2 w i p ( 4 嚣) 7 ，k i p 譬w i p a 嚣，i p ”蚍q 黔p i ， z 2 ，8 2 ，o ，s nj ( “。，“。) 变为向 r p = 8 p + t ( 1 一s d ) 一1 却i 弓，p i ， n = s d l s 3 ) 一1 ， r p = s p + ( 1 一矗t ) - 1 哪。0 ， i p ， w p l = z p i ( 1 一s t ) ，p i ，毗p = z i p ( 1 一s t f ) ，i p w 却= 。砷+ z ( 1 一s l ) 一1 铂a 却s l 。一i e 。，七 p i ， 叫却= ：k p + ( 1 一s t t ) 一1 ：) z i p ( a 菸) ， 七 i p ， w 却= ：却+ z ( 1 一目t ) 一1 芝二壤：叩a 冀， i k p ， 唧= 邯+ t ( 1 一s t f ) “壤) u l q ；- - - r , ，p i ， p ，= u i ( 1 一s d ) - 。， 邯= u p + t ( 1 一州) “毒) u l q ；，i p p ( 5 p q 巾 ， 嘴。 = i | 堕疵崛百 3 3 e x p ( e t ! * 妻篓：节，我爨谤葵甾赛决定懿肇参数子群。垒缝逡楚糖佟建后惫繁 毫法骜燮像与 前一节相同 。一“7 ( 一) 由定理2 5 列出下面满足在零点的初慎为( ：，。) 的微分方程组 等= 2 r i 蚺 堡d o = 2 r j w s 。 d 劣w i j 芝( q q 培州0 ) e + 2 ”玎趔；，d 口芝( ”t q 培州0 ) e + 2 ”玎蟛；， 鲁。2 彬w v j a ； e 0 p t = 2 毽蛀a f s j 始ii p d 枷r 2 _ p = 2 凹咖a 嚣t 吩， j n 鲁跳w p i a p ；e 麓+ 嘶j ( 4 署) a 嚣e ；卸，p i 虿d w 4 p 皲；鲥i p w p j 蚺w 直器崖粼i p 五 警= 一，( 黝+ 姑。，髓t p 、。玎a p ) ，j 弘 垃d o = 。岛懈) + 4 取蛳( a ，s j ；j ，p i ， 万d w v j = t 罅e t a 霉+ 。a 摹嗡嘶_ 鬈，i p j ， ! 挚= r j w i ，筠t p + 砖 蓉) ，a , y ，j p ， 穹笋= 蟛e 缸a 茹嘁而十，且嫠。( 群i ) ，蟛冉 ，p i ， d 枷w 2 1 ：2 莩唧j a 跏州nn 川p i t 。i k 纠确，p 兰挚= ； 嚣e ；铆* f 一；j 7 + 蝼畸。f a 。t ，k 汽群 ) 曩p # j ， 万d w p k 2 ；鲥挈略_