（基础数学专业论文）拟阵算子、拟阵映射及拟阵范畴的性质.pdf

拟阵算子、拟阵映射及拟阵范畴的性质郭建胜摘要与其他数学分支相比，拟阵理论的历史并不悠久，它是在1 9 3 5 年w h i t n e y 分析了向量的线性相关性的抽象性质后建立的之后有了进一步的发展，迄今为止，研究拟阵的基本思想主要源于图论和格论本文将拓扑学的思想渗透于拟阵理论的研究之中，引入了拟阵间的连续映射、开映射、闭映射、同胚映射，子拟阵，商拟阵等概念以及各种拟阵算子，较为系统地讨论了它们的性质并得到了拟阵范畴中态射的一些刻画下面介绍本文的结构和主要内容第一章对文章中要用到的有关拟阵、拓扑、范畴的基础知识和基本结论作了一个简要的叙述第二章在拟阵中定义了闭包算子、内部算子、外部算子、补算子、边界算子证明了在有限集上可以用闭包算子、内部算子、外部算子或边界算子确定唯一的拟阵另外还证明了拟阵中的k u r a t o w s k i 十四集定理最后研究了这五类算子在复合时所形成的新的算子的性质第三章主要研究了拟阵映射及拟阵范畴的性质首先，在拟阵中定义了连续映射、开映射、闭映射、同构映射、同胚映射等概念并且得到了一系列等价刻画；证明了在拟阵中已有的同构概念和本文中定义的同胚概念是等价的；研究了拟阵中的开集、闭集、独立集、相关集、极小圈等在连续映射下是否保持的问题其次，定义了拟阵的子拟阵和商拟阵，研究了拟阵和它的子拟阵中的开集、闭集、独立集、相关集、极小圈、邻域、闭包以及基等概念之间的关系最后，较为系统的讨论了拟阵范畴的性质，给出了单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、等特殊态射的具体刻划此外，还给出了拟阵范畴中的等子和余等子的具体构造关键词拟阵；独立集；相关集；极小圈；开映射；闭映射；同胚映射；闭包算子；内部算子；外部算子；边界算子；补算子；拟阵范畴；单态射；极端单态射；满态射；极端满态射；等子；余等子t h ep r o p e r t i e so fm a t r o i do p e r a t o r 、m a t r o i dm a p p i n ga n dm a t r o i dc a t e g o r yg u oj i a n s h e n ga b s t r a c t ：m a t r o i dt h e o r yi sn o ta nb r a n c hw i t hal o n gh i s t o r yi nc o m p a r i s o nw i t ho t h e rm a t h e m a t i c a lb r a n c h e s i n1 9 3 5 ，w h i t n e ya n a l y z e da b s t r a c tp r o p e r t i e so fl i n e a rd e p e n d e n c eo fv e c t o r s ，a n de s t a b l i s h e dt h ec o n c e p t so fm a t r o i d s a f t e rt h a t ，m a t r o i dt h e o r yh a df u r t h e rd e v e l o p m e n t ，b u tt h em a i ni d e a so fs t u d y i n gm a t r o i dc o m ef r o m 字a p ht h e o r ya n dl a t t i c e i nt h i sp a p e r ，t h ei d e ao ft o t o p o l o g yp e n e t r a t e st h es t u d yo fm a t r o i dt h e o r y s o m ec o n c e p t sa r ei n t r o d u c e ds u c ha sc o n t i n u o u sm a p p i n g ，o p e nm a p p i n g ，c l o s e dm a p p i n g ，h o m e o m o r p h i cm a p p i n g ，s u b m a t r o i d sa n dq u o t i e n tm a t r o i d s a n dm a n yk i n d so fo p e t a t o r s a n ds o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fm o r p h i s r n si nm a t r o i dc a t e g o r ya r es t u d i e d t h ec o n s t r u c t i o na n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ：i nc h a p t e r1w m a i dad e p i c t i o nf o rb a s i ck n o w l e d g ea n db a s i cc o n c l u s i o n so fm a t r o i d ，t o p o l o g ya n dc a t e g o r yw h i c hw o u l db eu s e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2w eg i v eo u tt h ed e f i t i o n so fc l o s u r eo p e r a t o r s ，i n t e r i o ro p e r a t o r s ，e x t e r i o ro p e r a t o r s ，c o m p l e t i o no p e r a t o r sa n db o u n d a r yo p e r a t o r sa n dp r o v et h a tw ec a ne n s u r eau n i q u em a t r o i db yo n eo ft h ec l o s u r eo p e r a t o r ，i n t e r i o ro p e r a t o r ，e x t e r i o ro p e r a t o ro rb o u n d a r yo p e r a t o ri naf i n i t es e t i na d d i t i o n ，t h ek u r a t o w s k if o u r t e e ns e t st h e o r e mi nm a t r o i dt h e o r yi sp r o v e d a tl a s tt h ep r o p e r t i e so fn e wo p e r a t o r sc o m p o u n d e db yt h e s ef i v ea r es t u d i e d i nc h a p t e r3t h ep r o p e r t i e so fm a t r o i dm a p p i n g sa n dm a t r o i dc a t e g o r ya r es t u d i e d a tf r s t ，w eg i v eo u tt h ed e f i t i o n so fc o n t i n u o u sm a p p i n g ，o p e nm a p -p i n g ，c l o s e dm a p p i n g ，h o m e o m o r p h i cm a p p i n g ，a n di s o m o r p h i s mi nt h em a t r o i d s ，a n dw eo b t a i ns o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n s a n dt h e n ，w ep r o v e dt h a th o m e o m o r p h i ci nt h em a t r o i da n di s o m o r p h i s mt h a td e f i t i e db yu si nt h i sp a p e ra r ee q u i v a l e n t ；w es t u d i e dt h ep r o b l e mw h e t h e rt h eo p e ns e t s ，c l o s e ds e t s ，i n d e p e n d e n ts e t s ，d e p e n d e n ts e t sa n dc i r c u i tw e r ek e e p e du n d e rt h ec o n t i n u o u sm a p p i n g s e c o n d ，t h es u b m a t r o i d sa n dq u o t i e n tm a t r o i d sa r ed e f i n e d t h er e l a t i o n so fo p e ns e t s ，c l o s e ds e t s ，i n d e p e n d e n ts e t s ，d e p e n d e n ts e t sa n dc i r c u i t s 、n e i g h b o r -h o o d e s 、c l o s u r e s 、b a s e sb e t w e e nt h em a t r o i da n ds u b m a t r o i d sa r es t u d i e d a tl a s t ，w es y s t e m a t i c a l l ys t u d yt h ec a t e g o r i c a lp r o p e r t i e so fm a t r o i dc a t e g o r y a n dt h ec o n s t r u c t i o n so fm o n o m o r p h i s m ，e p i m o r p h i s m ，e x t r e m a lm o n o m o r p h i s m ，e x t r e m a le p i m o r p h i s me q u a f i z e r ，c o e q u a l i z e ri nt h em a t r o i dc a t e g o r ya r eg i v e n k e y w o r d s ：m a t r o i d ；i n d e p e n d e n ts e t s ；d e p e n d e n ts e t s ；c i r c u i t ；o p e nm a p -p i n g ；c l o s e dm a p p i n gh o m e o m o r p h i cm a p p i n g ；c l o s u r eo p e r a t o r s ；i n t e r i o ro p e r a t o r s ；e x t e r i o ro p e r a t o r s ；b o u n d a r yo p e r a t o r s ；c o m p l e t i o no p e r a t o r s ；m a t r o i dc a t e g o r y ；m o n o m o r p h i s m ；e x t r m a lm o n o m o r p h i s m ；e p i m o r p h i s m ；e x t r m a le p i m o r p h i s m ；e q u a l -i z e r ；c o e q u a l i z e r学位论文独创性声明y9 0 0 7 1 9本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：互盟日期：丛学位论文使用授权声明本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。作者签名：蔓煺日期：型前言拟阵理论主要是研究定义在一个集合的子集合上的抽象的相关关系具有这种关系的例子可以在不同的数学分支中找到比如在线性代数中向量的相关或无关性；又如在图论中一个图g 中边集的相关关系它最早可以追溯到1 9 3 0 年代数学家v a n d e rw a e d e r n 在其著作现代代数学中对线性独立和代数独立所进行的抽象化和公理化，而拟阵概念是在1 9 3 5 年w h i t n e y 分析了向量的线性相关性的抽象性质后建立的拟阵是图、矩阵、向量相关关系等概念的抽象和推广 1 ，2 】，在组合优化、整数规划、网络流及电网络理论中有着广泛的应用尽管拟阵理论的研究历史并不是很长，但是由于它在实际中的应用价值和数学工作者的努力，拟阵理论已有了很大的发展，形成了一个引入瞩目的数学分支与不同学科结合是拟阵研究的一个典型特征，比如可以把拟阵与图论，格论，代数，组合，几何等学科相结合起来研究，这使得拟阵理论有了许多新的生长点，从而不断发展壮大作者目前学习过格论，拓扑，范畴等，积累了许多格论，范畴论，拓扑学【3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，方面的知识和技巧，我将把拓扑学和范畴知识应用到拟阵中【1 6 ，1 7 1 在拟阵理论中有许多概念和拓扑非常接近，如拟阵中有开集，闭集，闭包，连通性等所以拟阵理论和拓扑理论存在着某些相似之处，可以用研究拓扑的方法来研究拟阵本文将拓扑学的思想渗透于拟阵理论的研究之中，引入了拟阵间的连续映射、开映射、闭映射、同胚映射，子拟阵，商拟阵以及各种算子等概念，详细研究了这些概念在拟阵中的性质以及一些等价刻画另外，得出了拟阵范畴中态射的一些刻画，如拟阵范畴中单态射，满态射，极端单态射和极端满态射等找出了拟阵中等子和余等子的构造方法下面介绍本文的结构和主要内容第一章对文章中要用到的有关拟阵、拓扑、范畴的基础知识和基本结论作了一个简要的叙述第二章在拟阵中建立了闭包算子、内部算子、外部算子、补算子、边界算子证明了在有限集上闭包算子、内部算子、外部算子和边界算子可以确定唯一的拟阵另外，。还证明了k u r a t o w s k i 十四集定理在拟阵理论中也是成立的最后研究了这五类算子在复合时形成新的算子的性质第三章首先，在拟阵间引入连续映射的概念，以及相应的有开映射、闭映射、同构映射、同胚映射等，得到了一系列等价条件而且也证明了在拟阵中同构和同胚是等价的其次，研究了拟阵中的开集、闭集、独立集、相关集、极小圈等在连续映射下是否保持的性质其次，定义了拟阵的子拟阵和商拟阵，研究了开集、闭集、独立集、相关集、极小圈、邻域、闭包以及基等概念在拟阵和它的子拟阵之间的关系最后，较为系统的讨论了拟阵范畴的性质，给出了单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、等特殊态射的具体刻划此外，还给出了拟阵范畴中的等子和余等子的具体构造2第一章预备知识本章简要介绍本文所需要的有关知识，包括拟阵，拓扑，范畴等方面的一些基本概念和结论1 1 拟阵的基本概念和结论本节给出了本文所需要的有关拟阵的基本知识和基本结论所提及的概念和命题参见文 1 ，2 定义1 1 1 ( 独立公理) 设e 是一个有限集合，z _ c2 e 是e 中子集的集合，若z 满足下列三个条件：( i i ) z ( 1 2 ) 若6z ，及，。j ，则i z ( 1 3 ) 若 ，l z 且i l e a对偶地，设，g ：a + b 是c 态射二元组( e ，c ) 称为 g 在中的一个余等化子，c o h ( c ) ，e ：b 。g 如果( 1 ) e ：b c 是c 态射( 2 ) eo ，= e 。g ( 3 ) 对任意c 态射e ：b + e 7 使得e 7o ，= e 7o9 ，则存在唯一的c 态射百：c _ 使得e = 百oe 9第二章拟阵中五类算子的复合性质拟阵是图、矩阵、向量相关关系等概念的抽象和推广，它在组合优化、整数规划、网络流及电网络理论中有广泛的应用虽然拟阵理论与一般拓扑学是两个不同的数学分支，但它们有一些名称相同( 含义当然不同) 的概念，如开集，内部，闭包算子等人们已在拓扑空间中得到了一些与这些概念有关的、有趣的结果( 例如k u r a t o w s k i 十四集定理) ，一个自然的问题是：相应结论在拟阵中如何建立? 本文将以一般拓扑学为蓝本，在拟阵论框架中研究有限集上的取闭包、取内部、取补集、取外部和取边界等五类算子以及由它们复合得到的不同算子的性质，证明k u r a t o w s k i十四集定理若无特别说明，本文中的集合指的都是有限集2 1 五类算子的定义定理2 1 1 设( x ，刁为拟阵，为拟阵中闭集的全体，c l 是拟阵中的闭包运算，则，满足以下的性质：( 1 ) x 厂( 2 ) 若f 1 ，f 2 芦，则f 1nf 2 ，( 3 ) 若f ，且 f l ，b ，最) 是，中包含f 为真子集的全体极小成员，则 f l 一只f 2 一f 】，f 七一f ) 是x f 的一个划分( 即u b l ，2 ，廿( 最一f ) = x f ，且当i j 时，有( 只一f ) n ( 日一f ) = 咖) 证明( 1 ) 由x d ( x ) x 知x = c 2 ( x ) ，因此x ，( 2 ) 要证c f ( f 1nf 2 ) = f 1nf 2 ，只要证明c f ( f 1nf 2 ) 曼f 1n 马由f 1 ，马厂知c f ( e 1 ) = 日及c f ( f 2 ) = f 2 ，因此c f ( f 1nf 2 ) c f ( r ) = f 1 ，同理c f ( f 1nf 2 ) c 2 ( f 2 ) = f 2 ，从而c f ( f 1 nf 2 ) f 1 nf 2 d ( f l nf 2 ) 这说明c f ( f l n f 2 ) = f 1 nf 2 故f 1 nf 2 ，( 3 ) 显然有u 试加k ( 只一f ) x f ，另一方面，假设。x f u 仁1 盔，k ( f , - f ) = x u 仁1 2 ，只，则c l ( f u x ) 三d ( f ) = f 设d ( f u z ) 2e2f( 1 is ) ，y 只一f ，孤竣y c l ( f u z ) - c l ( f ) ，从而z c l ( f u y ) r ，由f u x r 得d ( fuz ) c 2 ( 只) = 只，可知z d ( f uz ) = 只，这与z x u b l 加曲只矛盾，故x f u 吐2 ，( 最一f ) = ，即x f u ：l 加，k ( r f ) ，这样就得1 0到x f = u 扛l 。2 ，k ( e f ) 设i j ，l i ，j k ，如果( r f ) n ( 乃一f ) 也设z ( 最一f ) n ( 乃一f ) ，则f ，c f ( fu z ) c ? ( 只) = 最，由曩的极小性可得r d ( f v x ) ，同理可得弓= c f ( f u z ) 故只= 弓，矛盾因此( r f ) n ( 日一f ) = 西0 j ) 定理2 1 2 设x 是有限集，2 爿满足定理2 1 1 的( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 条，则( x ，)是拟阵，且，d = ，证明定义映射c f ：2 x 一2 x 具体为：v a 2 x ，d ( a ) = n b r l a b ) ，首先证明定义的映射c f 是闭包算子( 1 ) 由c f 的定义易知a c 2 ( a ) ( 2 ) 若a l a 2 ，贝0 由c l ( a 1 ) = n b 1 r l a l b 1 ) 及d ( a 2 ) = n b 2 j ：i a 启e ) 知对b 2 ，如果有a 2 b 2 ，必有4 l a 2 岛，所以d ( a 1 ) b 2 ，继而d ( a 1 ) n 易，i a 2 b 2 ) = c f ( a 2 ) ( 3 ) 要证c z ( c l ( a ) ) = c f ( a ) ，只须证d ( c l ( a ) ) c f ( a ) 由于d ( c z ( a ) ) = n b f l d ( a ) b ) ，而由c 的定义和定理2 1 1 中的条件( 2 ) 可知d ( a ) ，同时又有c l ( a ) c f ) ，故c f ( c f ) ) c z ( a ) ，于是就证明了c t ( d ( a ) ) = c z ( a ) ( 4 ) 设e 2 爿，z ，y x ，y c l ( e u z ) 一c z ( e ) ，要证z d ( e u 可) 由已知的( 3 ) 可知c l ( e ) 卵，设 f 1 ，f 2 ，以) 是，中包含c t ( e ) 为真子集的全体极小成员，由定理中的条件知f 1 一c t ( e ) ，最一d ( e ) ，r c f ( e ) ) 是x d ( e )的一个划分，再由y d ( euz ) 一c i ( e ) x c t ( e ) 知存在1 i 茎k 使y 只一c f ( e ) ，其中只是包含c ( e ) 为镇子集的极小成员因为e c f ( e ) 只，故c i ( f , ) c l ( eu y ) c f ) = 只，由只的极小性知c t ( f , uy ) = r ，若z e l ( e ) ，贝0z d ( e ) d ( eu f ) ；若z x c f ( e ) ，贝归竽在1 jsk 使z r c t ( e ) ，故c t ( e uz ) c 2 ( 毋) = 毋从而有y c l ( e u z ) 一c l ( e ) 弓一c f ( e ) ，于是有( 只一e l ( e ) ) n ( 乃一c f ( e ) ) ，故e = 毋，因此z c i ( e u x ) b = 置= c f ( 日u 口) 因此c f 是闭包算子，( x ，c f ) 是拟阵下面证明，c l = ，这里，_ d = a 2 x l d ( a ) = a ) 一方面，对任意a 乃，有a = d ( a ) = m b ，i a 垦b ) ，由，满足的条件( 2 ) 知a = d ( a ) ，即证明了五i ，另一方面，对任意a 厂，由c f 的定义可知a c t ( a ) ，此外，a a ，故d ( a ) = n b r l a 日) a 这就得到了d ( a ) = a ，故a 了_ c f ，即，c 从而，o = ，1 1由上面的定理可知一个拟阵可以由它的闭集族完全确定所以，拟阵( e ，刁也可以记为( e ，f ) 定义2 1 3 设( x ，) 为拟阵则，中的元素叫闭集，闭集相对x 的补集叫开集若e x ，则m f ，le f ) 是( x ，芦) 中的闭集，称为e 的闭包并记作e 一同理u cx g ，且g e ) 是( x ，) 中的开集，称为e 的内部并记作e 。容易验证e o = e “7 且e 一= e ”，其中e 7 = x e 设z x 且u 2 x 如果存在个开集y 使得。vcu ，则称矿是点z 的一个邻域如果c ，是包含点x的一个开集，则称矿是点x 的一个开邻域定义2 1 4 设( x ，1 ) 和( r ，2 ) 为拟阵称庐：( x ，1 ) _ + ( ，。) 为同构( 这时称( x ，) 与( y ，_ 2 ) 同构并记作( x ，t ) 竺( 7 乇) ) 是指它满足( i ) 是一一对应( i i ) 对任意子集e x ，e z ( x ) 当且仅当o ( e ) e 2 7 ( y ) 定义2 1 5 令，= x ，田，1 = 2 。x ，则称( x ，凡) 为乎庸拟阵，称( x ，1 )为离散拟阵注2 1 6 ( 1 ) 称满足以下四条的映射d ：2 x + 2 x 为闭包算子：( c 1 1 ) e c l ( e ) ( v e x ) ；( c 1 2 ) 若a b x ，贝4c l ( a ) c f ( 日) ；( c 1 3 ) c l ( c l ( a ) ) = c l ( a ) ( v a x ) ；( c 1 4 ) 设z ，y x ，e x 若y d ( e u z ) ) 一c a ( e ) ，贝0z d ( e o g ) ( 2 ) 设( x ，月为拟阵令c l ( e ) = e 一( v e 2 x ) 则c f ：2 x - - - - - 42 x 为闭包算子反之，设c l ：2 x 2 x 为闭包算子，令厂= e 2 xe = c 2 ( e ) ) 则可证( x ，) 是拟阵，c l ( e ) = e 一( v e 2 x ) ，且这种，是唯一的( 即可以用闭包算子确定拟阵) 定理2 1 7 设噬，a 为拟阵，厂为拟阵中闭集的全体，则c l ( a ) = n ( b 5 c a b ) 证明由c l ( c l ( a ) ) = c l ( a ) 知c l ( a ) ，再由a c l ( a ) 知a ( a ) 2n ( b ，i a b ) 另一方面，对于任意b 芦且a b ，有d ( a ) cd ( b ) = b ，故d ( a ) n b f i a b ) 因此d ( a ) = n b ，i a b 定理2 i 1 8 设( x ，) 为拟阵，c f 是拟阵中的闭包运算，以，b x ，则以下命题成立：( 1 ) 若a d ( b ) c f ( a ) ，则d ( a ) = c f ( b ) 1 2( 2 ) 若b 垦c l ( a ) ，则c l ( a ub ) = c l ( a ) 证明( 1 ) 由a d ( b ) 得c z ( a ) 冬c z ( c ( b ) ) = c f ( b ) ；再由d ( b ) d ( a ) 即可得c l ( a ) = c l ( b ) ( 2 ) 由闭包算子的保序性易知c l ( a ) d ( aub ) ；另一方面，c l ( aub ) c l ( auc l ( a ) ) = c l ( c l ( a ) ) = c l ( a ) 因此d ( aub ) = c l ( a ) 定理2 1 9 记c ( e ) 为有限集e 上全体闭包算子之集，f ( e ) 为e 上的闭集族的全体，对每个竹f ( e ) ，令g ( q ) = g ，且对每个c c ( e ) 令h ( c ) = o c 则得两个映射g ：f ( e ) 一c ( e ) 和h ：c ( e ) 一f ( e ) 它们满足h o g = i f ( e ) 和g o h = i c ( m ) ( 其中i f ( e ) 和i c i e ) 分别为f ( e ) 和c ( e ) 上的恒等映射) ，从而互为逆映射定义2 1 1 0 称映射c ：2 x ，2 x 为补算子，具体为c ( a ) = a 7 定义2 1 1 1 称映射i ：2 x + 2 x 为内部算于是指它满足以下四条：( i l ) 对任意子集a x ，有i ( a ) a( i 2 ) 若a b x ，则i ( a ) i ( b ) ；( i 3 ) 对任意子集a x ，均有 ( ( a ) ) = i ( 舢；( i 4 ) 设z ，y x ，若y i ( a ) 一i ( a z ) ，贝4z 隹i ( a 一) 注2 1 1 2 设( x ，) 为拟阵令i ( e ) = e o ( v e 2 x ) 则i ：2 x 一2 x 为内部算子反之，设t ：2 x + 2 x 为内部算子，令f = x e 2 xe = i ( e ) ) 则( x ，) 是拟阵，i ( e ) = e o ( v e 2 x ) ，且j 塞种，是唯一的( 即可以用内部算子确定拟阵，见定理2 1 1 3 ) 定理2 1 1 3 设i ：2 x + 2 x 是内部算子则在x 上存在唯一拟阵，) ，使得i ( a ) = a o ( v a x ) 证明定义映射c f ：2 x 2 x 使得c l ( a ) = c ( i ( c ( a ) ) ) ( v a x ) 下面我们证明c l 是闭包算子，即证明c f 满足( c 1 1 ) 一( c 1 4 ) ( c 1 1 ) 设a x ，则c ( a ) x ，由( i 1 ) 得 ( c ( a ) ) c ( a ) ，从而c 0 ( c ( a ) ) ) 2c ( c ( a ) ) = a ，即c l ( a ) 三a ( c 1 2 ) 若a b x ，则c ( a ) 三c ( b ) ，从而t ( c ( a ) ) 2t ( c ( b ) ) ，c ( i ( c ( a ) ) ) c ( i ( c ( b ) ) ) ，即d ( a ) c z ( b ) ( c 1 3 ) 由于c 0 ( c ( a ) ) ) = c ( i ( c ( c 0 ( c ( a ) ) ) ) ) ) ，所以c l ( a ) = c l ( c l ( a ) ) ( c 1 4 ) 设z ，y x ，a x ( 从而c ( a ) x ) 若y c l ( a ) uz ) 一c l ( a ) ，即1 3y c ( i ( c ( auz ) ) ) 一c 0 ( c ( a ) ) ) ，则y c ( i ( c ( a ) nc ( z ) ) ) nc ( c 0 ( c ( a ) ) ) ) = c ( i ( c ( a ) nc ) ) ) nl ( c ( a ) ) = c a ( c ( a ) 一z ) ) n4 c ( i ( 4 4 ) ) ) ) ；c i ( c ( a ) 一z ) uc ( i ( c ( a ) ) ) ，所以y 聋i ( c ( a ) 一。) u c ( i ( c ( a ) ) ) ，即有y i ( c ( a ) ) 一i ( c ( a ) 一z ) 由( i 4 ) 知z 隹i ( c ( a ) 一) ，从而z 4 i ( 4 a ) ) ) = c 0 ( c ( c ( c ( a ) 一可) ) ) ) = c ( i ( c ( c ( c ( a ) ) ug ) ) ) = d ( au 可) 由此知c f 是一个闭包算子，所以存在唯一拟阵( x ，芦) ，使得在此拟阵上，v a x ，页= c f ( a ) 在此拟阵上a o = a “= c ( c f ( c ( a ) ) ) = i ( a ) 显然( x ，) 也是x 上唯一使i ( a ) = a o 成立的拟阵定义2 1 1 4 设( x ，f ) 是个拟阵，a x 是个子集，我们称a 8 = a 。为a的外部，即一个集合的外部等于它的闭包的补集定义2 1 1 5 称映射e ：2 x + 2 x 为外部算子如果它满足以下四条：( e 1 ) 对任意子集a x ，有a ne ( a ) = 咖；( e 2 ) 若as 口x ，则e ( a ) e ( b ) ；( e 3 ) 对任意子集a x ，有e ( c ( e ( a ) ) ) = e ) ；。( e 4 ) 设z ，y x ，若y e ( a ) 一e ( a u z ) ，贝4z 譬e ( a us ，) 注2 1 1 6 设( x ，) 为拟阵令e ( e ) = 口( v e 2 x ) 则e ：2 x 一2 x 为外部算子反之，设e ：2 x + 2 x 为外部算子，令，= x e 2 xx e = e ( e ) 则可证( x ，户) 是拟阵，e ( e ) = e 。( v e 2 x ) ，且这种，是唯一的( 即可以用外部算予确定拟阵，见定理2 1 1 7 ) 定理2 1 1 7 设e ：2 x ，2 x 是外部算子则在x 上存在唯一拟阵( x ，芦) ，使e 是( x ，) 的外部运算定义2 1 1 8 设( x ，一是拟阵，a x ，我们称a o = a na 为a 的边界，即一个集合的边界等于它的闭包与其补集的闭包的交从而集合的边界是一个闭集定理2 1 1 9 拟阵，) 上的边界运算有以下性质；( 1 ) a o = a 府( v a c x ) ( 2 1a a o c a on a c x ) ( 3 ) a n b n ( a n b ) a2a n b n ( a a u b a ) ( v a ，b x ) ( 4 ) 若a 日，则a n b 。a o ( v a ，b x ) ( 5 ) v ，y x ，若y ( a uz ) a a o ，则正( a u 可) a ( v a x ) ( 6 ) ( a u a 8 ) 。垦a 。( v a x ) 1 4证明( 1 ) 由定义a 旧= a ，一7 1 a ”= a 。n a 一= a 8 ( 2 ) a = ( a n a 卜) a = ( a n a 7 一) 二n ( a n a 卜) 一( a n a 一) 一= a a ( 3 ) 事实上a n b n ( a a u b a ) = a c lb n 【( j 4 一f l a 一) u ( b n b 7 一) a n bn【a 。u b 7 一 ( a n b ) n ( a n b ) 。= ( a n b ) n ( a n b ) 一n ( a n b ) ”= a n b n ( a n b ) 8 ( 4 ) 设a b x ，则由( 4 ) a 1 3bn ( an 3 ) 。三anbn ( a 。ub o ) 即a n a a2 ( a n a a ) u ( a n b 。) ，所以a n b a a n a a ，当然有a n b a a a ( 5 ) 设。，x 当3 7 = 矿或z a 时结论显然成立，当f a 时，若可( a u z ) 。，贝0 由( 5 ) 知y a n ( a u 正) 8 至a o ，从而y ( a u z ) 。一a 。= ，所以必有z b ( a u y ) 成立所以下面只须证z 可且z ，y 隹a 的情形若y ( au z ) a a a = 【( a u z ) 一n ( a u z ) k 】一【a n a 7 一】= ( a u z ) 一n ( a 一z ) 一】一陋一n a “】= 【( a u z ) 一n ( a 7 一z ) 一 n 阻一u a “】= 【( a u z ) 一n ( a 一z ) 一n a r u ( a u z ) 一n ( a 一。) 一n a 卜7 】= ( a u z ) 一n ( a 7 一z ) 一n a 一= 【( a u 茁) 一一a 一】n ( a 一z ) 一所以y ( a t j g ) 一一a 一且y ( a 一z ) 一由y ( a u z ) 一一a 一得z ( a u 可) 一，显然z ( a 一) 一，所以z ( a uf ) 一n ( j 4 一可) 一= ( a u 可) 一f 7 ( a u y ) t - = ( a u 可) 8 ( 6 ) ( a u a 。) 8 = ( a u a 8 ) 一n ( a u a 8 ) 。= ( a u a 。) 一n ( a n a o ) 一( a u a 。) 一n 爿一= ( au ( a na 一) ) 一na “= 【( aua 一) n ( aua “) 一na “= ( a nx ) 一n 爿一：a 一一na ，一= a o 定义2 1 2 0 称映射扩：2 x + 2 x 为边界算子是指它满足以下四条：( b * 1 ) 扩( a ) = 6 4 ( c ( a ) ) ( v a x ) ；( 扩2 ) 6 市( 矿( a ) ) 6 i ( a ) ( v a x ) ；( 扩3 ) a n b n 扩( a n b ) 2 a n b n ( 扩( a ) u 矿( 日) ) ( v a ，b y ) ；( b * 4 ) 比，y x ，若y 扩( a u z ) 一扩( a ) ，则z 扩( a u y ) ( v a x ) ；( b * 5 ) 扩( a u 扩( a ) ) 至矿( a ) ( v a x ) 定理2 1 2 1 设b + ：2 x 一是边界算子则在x 上存在唯一拟阵( x ，万) ，使b + 是( x ，) 的边界运算证明定义映射c l ：2 x 一2 x 使得c z ( a ) = au6 + ( a ) v a x 我们证明c l1 5是闭包算子，即证明c 满足( c n ) 一( d 4 ) ( c 1 1 ) v a x ，显然有a au 扩( a ) ，即有a c l ( a ) ( c 1 2 ) 首先证明d ( a u b ) 2c l ( a ) u d ( b ) ，即证c ( c l ( a u b ) ) c ( d ( a ) u c l ( b ) ) c ( c l ( a u b ) ) = c ( a u b u 矿( a u b ) ) = c ( a ) nc ( b ) n ( o ( b + ( c ( a ) i - c ( b ) ) ) )= c ( a ) n c ( b ) 一扩( c ( a ) nc ( 且) ) = c ( a ) n c ( b ) 一( c ( a ) n c ( b ) ) n 扩( c ( 4 ) n c ( 口) )c ( a ) nc ( b ) 一( c ( a ) nc ( b ) ) n ( 矿( c ( a ) ) u6 + ( c ( b ) ) )= c ( a ) nc ( b ) 一( 扩( c ( a ) ) ub 掌( c ( b ) ) ) = c ( a ) nc 【b ) n ( c ( 矿( a ) u 扩( b ) ) )= c ( a u b u ( 扩( a ) u6 + ( b ) ) = c ( c l ( a ) uc j ( b ) ) ，所以c l ( a u b ) c l ( a ) u d ( b ) 若a 垦b x ，贝0d ( b ) = c l ( a u b ) 三d ( a ) uc f ( b ) 所以c l ( a ) cc 2 ( b ) ( c 1 3 ) 方面c l ( d ( a ) ) = c l ( a u b + ( a ) ) = ( a u b + ( a ) ) u b * ( a u b + ( a ) ) a u b + ( a ) u矿( a ) = au 矿( a ) = c f ( a ) 即c l ( c l ( a ) ) c ( a ) ，另一方面，c l ( a ) = au 扩( a ) ( au 扩( a ) ) u 矿( au 扩( a ) ) = c l ( au 扩( a ) ) = d ( c f ( 4 ) ) 因此c l ( c l ( a ) ) = c l ( a ) ( c 1 4 ) 若。a 或y a 或z = y ，则结论显然成立当。，y 圣a 且z y 时，若y c l ( a u z ) 一c f ( a ) = 【( a u 。) u6 + ( a u z ) 一【a u 扩( a ) j= ( a u 。) u6 i ( a u z ) n 【c ( a ) nc ( b + ( a ) ) = 【( a uz ) nc ( a ) nc ( b + ( a ) ) u 6 + ( a u z ) nc ( a ) nc ( 扩( a ) ) 】b nc ( b + ( a ) ) 】u 【( 矿( a u z ) 一扩( 4 ) ) nc ( a ) 】cz u 【( 矿( a uz ) 一矿( a ) ) nc ( a ) 所以9 f 6 uz ) 一矿( a ) 】，从而由定义2 1 2 0 中( b * 4 ) 可得z b + uy ) 至b + u y ) u ( a u y ) = c i ( a u 可) 由此知c l 是个闭包算子，所以存在唯一拟阵( x ，) ，使得在此拟阵上，v a x ，五= d ) 在此拟阵上a 8 = a na = c ? ( 且) nc f ( c ( a ) ) = ( au 扩( a ) ) n( c ( a ) u6 + ( c ( a ) ) ) = ( anc ( a ) ) u ( an 扩( c ( a ) ) ) u ( 6 丰( a ) nc ( a ) ) u ( 矿( a ) n 矿( c ( a ) ) )= 咖u ( an 扩( a ) ) u ( c ( a ) n 矿( a ) ) u6 幸( a ) = 【( a uc ( a ) ) n 扩( a ) u6 + ( a ) = 矿( a ) 显然( x ，) 也是x 上唯一使a o = 扩) 成立的拟阵定理2 1 2 2 设”，“”和分别是拟阵( x ，) 中的内部运算，取补运算以及闭包运算则( 1 ) a o = a “( v a x ) ，因此a 一= a t 0 1 ( 2 ) a ”= a ”( v acx ) ( 3 ) a _ 0 _ 0 = a 1 ( v a x ) 1 6( 4 ) a 一一= a 一7 一一7 一( v a x ) ( 5 ) a o o = a o 一。一。一。( v a x ) ( 6 ) a 。一。一= 4 。一。一。一。一( v a x ) 证明( 1 ) 由闭包的定义知a 7 爿一所以a “a ”= a 又由a 为闭集知a “为开集，且包含于a ，所以由内部的定义得a 7 a o 反过来，由a o a 得a a “，那么a “就是包含a 7 的闭集，从而包含a ，