（基础数学专业论文）几类拟线性椭圆型方程解的性质研究.pdf

摘要 摘要 本文对几类拟线性椭圆型方程解的性质进行了研究，主要包括存在性，唯 一性，非存在性，解集的结构和解的渐近性等 第一章研究了一类拟线性椭圆型方程特征值问题 掣0 乳p q 吼卜 ”三茎未， ( o o 1 ) t 正= z a q ， 、 其中f c 1 ( o ，。) n 伊 o ，。o ) ，对于s 0 ，f ( s ) o ；a 0 ，1 0 ) 和k e l l e r - o s s e r m a n 条件，对此类问题有界整体解和整体大解的性质进行了研究首先讨 论了有界整体解的存在性和径向有界整体解的非存在性，其次又在p ( z ) 是径向 对称的情况下得到了非负非平凡的径向整体大解存在的充分条件和必要条件 其次假设厂( u ) 不满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件而满足其他条件，首先利用上下解定 理得到了此类问题整体大解的存在性和渐近性其次在p ( z ) 是径向对称的情况 摘要 下得到了径向整体大解的非存在性本章的结果是新的并且推广了以前的结 果 第三章考虑了奇异拟线性椭圆型方程 f d i v ( i v u i p _ 2 v u ) = i ( 1 z l ，让) ，z b ， u 0 ，x b ， 【u = 0 ，z o b 正径向解的存在性非线性项i ( 1 z l ，仳) 可以是变号的，并且允许在u = o 和= 1 处出现奇异由于州z l ，乱) 的奇异性，首先利用上下解定理证明了扰动问题解 的存在性，其次利用逼近方法得到了奇异问题解的存在性 第四章研究了下面方程有界解的存在性 d i v ( 1 v u i p 一2 v u ) + ，( z ，乱) + g ( 1 2 1 ) l x v u p 一2 ( z v u ) = 0 ，z g r ， 其中g r = z r ：h r ( r o ) ) ，n 1 ，1 0 ，q r n ( n 2 ) i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i na n d1 0 a n dt h ek e l l e r - o s s e r m a nc o n d i t i o n 佃限s ) - l p d s = + o o ，f ( s ) = 0 s m ) 班 w ee s t a b l i s hc o n d i t i o n so nt h ef u n c t i o npt h a ta r en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tf o rt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，b o u n d e da n du n b o u n d e d ，o ft h eg i v e ne q u a t i o n i n s e c t i o n3 ，u n d e rs e v e r a ld i f f e r e n th y p o t h e s e so nt h ep ( x ) a n d ，( 7 ) ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fb l o w u pe n t i r es o l u t i o n e x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ri sd i s c u s s e d b y v 一 a b s t r a c t l i i _ _ - i _ _ _ - - _ _ _ _ i i i _ _ 一! ，! ，! ! ，! ，e c o n s t r u c t i n gl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n f o rn o n e x i s t e n c ew ee x p l o r er a d i a ls y m m e t r y , e s t i m a t e so na na s s o c i a t e di n t e g r a le q u a t i o na n dk e l l e r - o s s e r m a nc o n d i t i o n t h e r e s u l t so ft h i sp a p e ri sn e wa n de x t e n dp r e v i o u s l yk n o w n r e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t ee x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so fac l a s so f q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n f d i v ( 1 x t u l p - 2 v u ) = 州z i ，钆) ，z b ， u 0 ，z b ， 【u = 0 ，z o b t h ee x i s t e n c ei so b t a i n e db yc o n s t r u c t i n gu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n de m p l o y i n g a na p p r o x i m a t i o np r o c e d u r e t h r o u g h o u t ，o u rn o n l i n e a r i t yi sa l l o w e dt oc h a n g es i g n t h e s i n g u l a r i t ym a yo c c u r a ti , = 0a n d = 1 i nc h a p t e r4 ，e x i s t e n c eo fb o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s so fq u a s i - l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o ni so b t a i n e di ne x t e r i o rd o m a i no fr l v ，n 1 f i r s t l y ，b yu s i n g f i x e dp o i n tt h e o r y , t h ee x i s t e n c et h e o r e mo fac l a s so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i se s t a b l i s h e d t h e n ，b yc o n s t r u c t i n gs u p e r - s o l u t i o na n ds u b s o l u t i o n ，t h ee x i s t e n c e o fb o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o n so fq u a s i l i n e a re h i p t i ce q u a t i o ni sg i v e n t h er e s u l t so f t h i sp a p e ri sn e wa n de x t e n dp r e v i o u s l yk n o w nr e s u l t s k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ；s u b - s u p e r s o l u t i o n s ；e x i s t e n c e ；n o n 。 e x i s t e n c e ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r 一一 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 研究生签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 研究生签名： 日期： 袁馒而 刖吾 上上- j 一 刖吾 自上世纪七十年代开始，数学工作者对方程及方程组的研究兴趣越来 越大由于p - l a p l a c i a n 算子在p 2 时，不再是线性算子，这使得对应于线性算 子的一些理论不再适用或难以验证，而且使得适用于算子方程的一些基本 方法和技巧至少不能直接使用例如半线性椭圆型方程特征值问题 一u = a f ( u ) 缸= 0 ， z qcr n z 0 q 具有古典解( 即光滑解) 而方程 d i v ( i v u l p 一2 v u ) + a f ( u ) = 0 ，z q 的解一般为弱解，因为乩a p l a c i a i l 方程为退化型椭圆型方程在文 9 4 】，【9 5 】中证 明了问题 剖0 乳p 2 乳卜以咄三茎未 ) u = ，z a q ”7 的有界解属于c 1 + a ( q ) ( 0 q 0 ，1 1 q 是有界的连 通区域，边界a q 是光滑的，连通的他证明了如果，c 1 f i t + ) ，在r + 上是 严格递增的，( o ) = 0 ，l i m 8 。o + f ( s ) s p - 1 = o 和( s ) sq 1 + 口2 ，0 o 使得当8 ( 0 ，u ) 时f ( 8 ) 0 ，f ( w ) = 0 ， 当8 u 时f ( 8 ) 0 ，f ( o ) = 0 和( f ( s ) s p - 1 ) 7 o ) ， 则当参数入充分大时问题( 0 o 3 ) 存在唯一正大解1 9 9 6 年郭宗明【4 4 】进一步研 一2 一 前言 究了此类问题，他证明了问题( 0 0 3 ) 存在唯一的正解和如果，是非减函数，存 在q 1 ，口2 0 使得，( s ) o i l + q 2 s 卢，0 0 对于s ( 0 ，t ) 和 ( ，( s ) s p _ 1 ) 7 y 则当入充分大时问题( o o 3 ) 至少存在一个正的最小化解1 9 9 8 年郭宗明和杨作 东【4 7 对非线性项，不要求满足单调性条件在r 中的球域或环域中研究了问 题( 0 0 3 ) 正径向解的存在性和唯一性，并且证明了当参数a 充分大时环域中的 任意解都是径向对称的2 0 0 5 年郭宗明 4 5 】允许非线性函数，( 乱) 变号在单位 球中研究了问题( o 0 3 ) ，得到了当参数入充分大时问题( o o 3 ) 存在两个解，并且 还得到了r 上正解的唯一性与上述结果相比，当入充分小时除了文献 4 3 】， 【4 8 】，【1 0 5 外，似乎很少知道问题( o 0 3 ) 最小化正解的存在性和非存在性如 果，( s ) o ( s o ) 和l i m 。o + s u p ( f ( s ) s p 2 ) 0 ) 和k e l l e r - o s s e r m a n 条件，对此类问题有界整体解和整体大解的性质进行了研究首先讨 论了有界整体解的存在性和径向有界整体解的非存在性，其次又在p ( z ) 是径向 一3 一 前言 对称的情况下得到了非负非平凡的径向整体大解存在的充分条件和必要条件 其次假设，( 让) 不满足k e l l e r o s s e 珊a n 条件而满足其他条件，首先利用上下解定 理得到了此类问题整体大解的存在性和渐近性其次在p ( z ) 是径向对称的情况 下得到了径向整体大解的非存在性本章的结果是新的并且推广了以前的结 果 对于问题 j 扎( z ) = ，( u ( z ) ) ，z q ，m05 、 【u l 脚= + 大解的研究已经取得了丰富的成果( 参见 8 】，【1 1 】，【2 2 ， 2 4 一 2 5 】，【5 5 ， 【5 8 【6 5 - 7 0 】，【7 5 ， 7 8 ，【8 8 【8 9 】，【9 2 】) 其中q 是r ( n 1 ) 内的一个有 界区域在1 9 1 6 年b i e b e r b a c h 在文 8 】中首先考虑了，( u ) = e u 和n = 2 的 情况此时问题( 2 0 3 ) 在具有负的曲率常数黎曼曲面理论和自守函数 理论中起着十分重要的作用b i e b e r b a c h 证明了如果q 是r 2 内的一个有 界区域，其边界a q 是r 2 的一个c 2 予流形，则存在唯一的“c 2 ( q ) 使得 在q 内乱= e u 且l u ( z ) 一l n ( d ( z ) ) q i 在q 内是有界的其中d ( z ) 表示点z 至：u o f l 的 距离1 9 4 3 年r a d e m a c h e r 【9 2 ，利用b i e b e r b a c h 的思想，将上述结果推广到r 3 内 的光滑有界区域上此时问题( 2 0 3 ) 出现在研究灼热的空心金属壳的电位势 中1 9 9 3 年l a z e r 和m c k e n n a 【6 9 】将这些结果推广到了r ( 1 ) 内的有界区 域q 上，q 满足外部球条件，且非线性项f = f ( x ，t z ) = p ( x ) e 钍，其中p ( z ) 在曼上是 严格负的连续函数在m o n g e a m p e r e 算子而不是算子的情况下1 9 9 6 年l a z e r 和m c k e n n a 【7 0 得到了类似的结果，其中q 是一个光滑的严格凸的有界区域。 在1 9 9 6 年p o s t e r a r o 8 9 对f ( u ) = 一e u 和n 2 证明了问题( 2 0 3 ) 解u ( x ) 的估计 特别地，当n = 2 时，p o s t e r a r o 【8 9 】利用q 的测度得到了解乱( z ) 最小值的精确估 计： m 。i 。nu ( x ) h a ( 8 7 r l q l ) 1 9 5 7 年k e l l e r 5 5 研究了问题( 2 o 3 ) 解的存在性，其中厂是单调的，但是没有给出 解的唯一性的结果对于f ( u ) - - m 一扩，a 1 ，当a = 2 时，问题( 2 0 3 ) 出现在气体 的亚音速运动中( 参见【8 8 】) ，尤其是当1 2 ) ，1 9 7 4 年l o e w e n e r 和n i r e n b e r g 7 5 】证明了如果a q 是由有限个互不相交的且 每个余维数小于2 + 1 的紧g o o 的子集组成，则问题( 2 o 3 ) 有唯一的正解钍且 一4 一 前言 满足1 i m d o ) 。o 乱( z ) ( d ( z ) ) ( 一2 ) 2 = ( n ( n 一2 ) 4 ) ( 一2 ) 4 此时问题( 2 0 3 ) 出现 在微分几何的研究中1 9 9 0 年k o n d r a t e v 和n i k i s h k i n 【5 8 对于一个更一般的 二阶椭圆算子证明了当f ( u ) = i t 口，a 3 且a q 是一个c 2 子流形时解的唯一 性1 9 9 3 年m a r c u s 和v e r o n 7 8 对于f ( u ) = u 口，a 1 证明了当a q 是紧的且 可由一个( 一1 ) 维空间上的连续函数局部表示时解的唯一性1 9 9 3 年d i a z 和l e t e l i e r 【2 2 】对于f ( u ) = ，7 p l ( f 是超线性的) 和a q 是c 2 的情况证明 了方程( 0 o 4 ) 大解的存在性和唯一性l u ，y a n g 与e h t w i z e l l 【7 6 】和y a n g 1 0 0 】 在2 0 0 4 年和2 0 0 6 年分别对于超线性情况，( u ) = u 7 ，1 p 一1 ，q = r 或者q 是 有界区域和亚线性情况7 p 一1 ，q = r n 证明了问题( 0 0 4 ) 大解的存在性 文 1 0 1 中考虑了拟线性椭圆系统正大解的存在性 非线性椭圆型方程的正整体解的研究也是当今偏微分方程研究中的 热门问题之一，引起国内外学者的重视从上世纪七八十年代直到现在 所获得研究成果非常丰富1 9 8 0 年，e s n o u s s a i r 和c a s w a n s o n ( 参见 8 4 】) 以 及1 9 8 6 年n f u k a g a i ( 参见 3 2 】) 的工作是极其出色的，他们总结了用上下解( 弱 上下解) 方法研究椭圆型方程的主要理论1 9 8 4 年，t k u s n a o 和h u s a m i ( 参 见 6 3 】) 研究r 2 中的正整体解，随后，n k w a a n o ，m n a t i o ，s o h a r u ，n f u k a g a i 继 续发表了一系列有关正整体解的文章( 参见【3 3 】， 5 3 ，【6 1 ，【6 2 】) 本文第三章考虑了奇异拟线性椭圆型边值问题 f ，一d i v ( 1 v u p 。2 v u ) = f ( i x l ，让) ，z b ， 仳 0 ，z b ， ( 0 0 6 ) i 乱= 0 ，z o b 正径向解的存在性非线性项f ( i x l ，札) 可以是变号的，并且允许在u = o s n = 1 处出现奇异由于f ( i x l ，缸) 的奇异性，首先利用上下解定理证明了扰动问题解 的存在性，其次利用逼近方法得到了奇异问题解的存在性 1 9 7 9 年b g i d a s ，w n i 和l n f f e n b e r g 3 5 证明了下面这个半线性椭圆型方 程 a u + f ( u ) = 0 ， z b ， u 0 ，z b ，u = 0z o b ， 当厂是c 1 时，其解必定是径向对称的之后e p a c e l l a 等人( 参见 8 6 】) 推 广g n n 的结果到p l a p l a c i a n 方程这也引起了人们直接研究方程径向 解的兴趣这一方面是由于解的对称性是有其物理背景的，对称性符合物理学 前言 的要求另外，径向解也可以作为比较函数，用来证明相近方程解的存在性和 解的一些性质例如，e p u e e i 和j s e r r i n 的最大值定理结果( 参见【9 0 】，【9 1 ) 以及s k i c h e n a s s a m y , l v e r o n 5 7 和m eb i d a u t - - v e r o n 等 7 】对解的奇异分析都是以 已知方程的径向解做为比较函数而得到的本文的第二章和第四章对解的存 在性和渐近性也都是以已知方程的径向解做为比较函数而得到的 对于下面半线性椭圆型问题的正解的存在性 食5m ，u ) ，z 曼 ( o o 7 ) 让( z ) = 0 ， z a q ， 、7 其中，q 是空间r 中的有界区域，表示拉普拉斯算子，是一个非线性反应 项，近三十年来已被广泛地研究，例如h a m a n n ，a a r o s e t t i ，g p r o d i 及j i d i a z 都曾在他们的文章或专著中研究过( 参见 1 】，【2 】， 2 3 】) 此类问题在很多 方面都有应用，例如( 有机体的) 氧化，生物数学，化学反应，同时它也提出了许 多有难度的数学问题来自非线性泛函分析的各种技巧都在研究此问题上发 挥了重要的作用，例如变分方法，度理论，上下解的方法等 在此框架下，一些拟线性椭圆型方程边值问题也被研究对于径向解，更多 还是考虑下面这个拟线性椭圆型方程 d i v ( i w l p 一2 v u ) + f ( u ) = 0 ( o 0 8 ) p u c c i 和s e r r i n 等人用的是分析的方法对r ( n 2 ) 中的“g r o u n ds t a t e s ， 即r 中非负非平凡的满足l i m r 。u ( 7 ) = 0 的径向解进行了研究 1 9 9 7 年e r b e 和t a n g 考虑了方程( o 0 8 ) 在r m 3 ) 上单位球中的正径向解的 唯一性，所用的方法依然是分析的方法，但他们建立了一个新的p o h o z a e v 型恒 等式而对于边值问题( o 0 6 ) ，由于非线性反应项依赖空间变量且可能出现奇 异，s e r r i n 等人的分析的方法是不适用的第三章利用上下解定理和逼近的方 法对问题( o 0 6 ) 的径向解进行了研究 从上世纪七十年代开始，由于实际应用的需要，奇异椭圆型方程的研 究开始受到关注当非线性反应项f ( x ，s ) 关于s 在零点有奇性和单调递减时， 1 9 7 7 年m g c r a n d a l l ，eh r a b i o n o w i t z 和l t a r t e r 对问题( 0 0 7 ) 进行了研究并在 一定条件下给出了正解的存在唯一性定理然而，由于奇性引起的困难，使得 对复杂的具有奇性的椭圆型方程的研究很少涉及所以，直至u 1 9 9 6 年，大量的 一6 一 前言 工作是围绕在有界域和无界域上的奇异椭圆型方程 z q ， 进行了研究当p ( z ) 和，y 满足某些条件时，都得到了一些正解的存在唯一性定 理 本文第四章研究了下面方程有界解的存在性 d i v ( i v u l v - 2 v u ) + f ( x ，u ) + a ( i x l ) l x v u l p 一2 ( 。v u ) = 0 ，z g r ， 其中g r = z r 川：i z l r ( 尺 o ) 】，n 1 ，1 4 ) 作者采用自治常微分方程的定性理论构造了所 研究偏微分方程的上解和下解，从而得到了有界正解的存在性2 0 0 3 年z y i n 【1 0 9 讨论了下面二阶非线性微分方程 u - 4 - f ( t ，仳，) = 0 ，t 0 ( 0 0 1 0 ) 一7 7 矿御 p z l l ， 珏0 i i 一 让 ，、【 前言 采用s c h a u d e r - t i k h o n o v 不动点定理得到了单调递增正解的存在性且满足 u m 塑：c o t - - , o ot 并且利用存在性定理得到了半线性椭圆型方程( o 0 9 ) 有界正解的存在性值 得指出的是 1 0 9 证明了方程( o o 1 0 ) 全局单调正解在 0 ，。) 上的存在性，而不 是i t o ，。) ，t o 1 2 0 0 6 年m e h r n s t r f m 【2 6 】也研究了二阶微分方程( o o 1 0 ) 正解 的存在性，同样地，利用存在性定理证明了半线性二阶椭圆方程( o o 9 ) 正解的 存在性，不同的是，此时解具有性) 喷l i m i 霉i 。o ou ( x ) = 0 和 1 0 9 d ? 结果相比主要 区别是解的渐近性，同年m e h r n s t r f m 2 7 】进一步研究了方程( o o 9 ) 径向解的 存在性首先给出了解是径向的充分条件，然后讨论二阶微分方程( o 0 1 0 ) 解的 存在性，最后利用存在性引理得到了具有性质l i m i 茁i o o 牡( z ) = 0 i e 径向解存在 的充分条件2 0 0 7 年m e h r n s t r f m 和0 g m u s t a f a 在 2 9 】中继续讨论方程( o o 9 ) ， 在厂，9 满足更一般的条件下得到了具有性质l i r a i z l 。o ou ( x ) = o 的正径向解的存 在性2 0 0 7 2 0 0 8 年邓继勤在 2 0 】和【2 l 】中也讨论了方程( o o 9 ) 在 2 0 】中，要求 函数厂对第一个变量是径向的，利用常微分方程 ( ) + t ( t ) u 7 ( 亡) + k ( t ，u ( 亡) ) = 0 ，t q 0 ( o 0 1 1 ) 解的存在性得到了方程( o 0 9 ) 正解的存在性且满足条件l i m 吲。o 。仳( z ) = 0 在 2 1 1 q b ，作者在不同的条件下得到了常微分方程( o 0 1 1 ) 的单调递增正的全局 解的存在性，继而利用此存在性定理得到了方程( 0 0 9 ) 整体解的存在性，且满 足条件u ( o ) = 0 ，当z o 时u ( x ) 0 本章定理一般化了文 2 0 】的主要结果 一8 一 第1 章一类拟线性椭圆型方程特征值问题解的性质 第1 章一类拟线性椭圆型方程特征值问题解的性 质 本章主要研究一类拟线性椭圆型方程特征值问题 一d i v ( i v u p 一2 v u ) = 入，( u ( z ) ) ，z q ， ( 1 0 1 ) u = 0 ，z a q ，( 1 0 2 ) 当参数入很小时，解的存在唯一性，非存在性和正则解的结构这里 c 1 ( o ，) ng o ( 【o ，o o ) ) ，f ( s ) 0 对于s o ；a 0 ，q r n ( n 2 ) 是一个 有界光滑区域并且1 1 q 是有界 的连通区域，边界a q 是光滑的，连通的他证明了如果厂c 1 ( r + ) ，在r + 上 是严格递增的，f ( 0 ) = 0 ，l i m 。o + f c s ) s p - 1 = o 和f ( s ) o t l + 0 t 2 8 # ，0 o 使得当s ( o ，u ) 时，( s ) 0 ， 厂( 叫) = 0 ，当s u 时f ( 8 ) 0 ，f ( 0 ) = o 和( 厂( s ) s p - 1 ) 7 0 ) ，则当参数a 充分大时i - j 题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 存在唯一正 大解1 9 9 6 年郭宗明【4 4 】进一步研究了此类问题，他证明了问题( 1 o 1 ) ( 1 0 2 ) 存 在唯一的正解和如果，是非减函数，存在o q ，o r 2 0 使得f ( s ) o r l + a 2 s 卢，0 0 对于s ( 0 ，t ) ( ，( s ) s p 一1 ) y 一9 一 第l 章一类拟线性椭圆型方程特征值问题解的性质 则当a 充分大时问题( 1 0 1 ) ，( 1 0 2 ) 至少存在一个正的最小化解1 9 9 8 年郭 宗明和杨作东 4 7 】对非线性项厂不要求满足单调性条件在r 中的球域或 环域中研究了问题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 正径向解的存在性和唯一性，并且证明了 当参数入充分大时环域中的任意解都是径向对称的2 0 0 5 年郭宗明【4 5 】允 许非线性函数厂( 乱) 变号在单位球中研究了问题( 1 0 1 ) 一( 1 0 2 ) ，得到了当参 数入充分大时问题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 存在两个解，并且还得到了r 上正解的唯 一性与上述结果相比，当a 充分小时除了文献【4 3 】，【4 8 1 ，【1 0 5 # b ，似乎很 少知道问题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 最小化正解的存在性和非存在性如果f ( s ) o ( s 0 ) 和l i r a 。o + s u p ( f ( s ) s p _ 2 ) 7 p 一1 使得 s - f ( s ) 一p ( s o 。) 引理1 1 1 ( 参见 4 6 】) 对于p 1 ，问题 一d i v ( i v v l p 一2 v v ) = 1 ，z q ， 钉= 0 z d s2 存在唯一的正解v 0 c 1 , a ( 豆) ，其中0 q 0 使得问 题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 对于所有0 a o l 有一个正上解苏( z ) 且对于z q 有厶( z ) 1 引理1 1 3 m 是一个正数使得对于o 8 1 ，g ( 8 ) = ，( s ) - i - m s 是严格递增的 令0 妒 ) ( z ) 且砚( z ) 是问题 一d i v ( i v u l p 一2 v 牡) + a m u = a 夕( 妒( z ) ) ， z q ， u ( z ) = 0 ， z a q 的解则对于z q ，0 面入0 ) 厶0 ) 证明用变分方法容易得到解矾( z ) 的存在性下面仅仅证明第二个不等 式，第一个类似可得由于当a 充分小时在q 内妒( z ) 厶( z ) 1 且夕是递增的， 所以在q 内有 一d i v ( i v 矶p 一2 v 面a ) + a m 面a = a 夕( 妒( z ) ) a 夕( 厶) 一d i v ( i v 厶i p 一2 v f a ) + a 矿厶 则由文献【4 0 】中的弱比较原理，在q 内有 面a ( z ) 厶( z ) 一1 1 第1 章一类拟线性椭圆型方程特征值问题解的性质 下面给出主要的存在性定理： 定理1 1 1 假设( 凰) ，( 玩) 和( ) 成立，则当o 0 ，则由【4 0 】中的强极大值原理得在q 内矶 0 因此找到了问 题( 1 0 1 ) 一( 1 0 2 ) 的一个正解 定理1 1 2 设当o 8 1 时厂是非减函数，满足( 凰) ，( h 1 ) ，( 1 - 1 2 ) 和 ( 日3 ) l i 观s u p ( f ( s ) s p - 1 ) 7 0 s u 1 。 则当a 充分小时问题( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) 存在唯一最小化解 证明由l i m 。o + s u p ( f ( s ) s p 一1 ) 0 ，可知存在0 马 1 使得当s ( 0 ，s 1 ) 时( ，( s ) s p - 1 ) 7 0 ，使当a ( 0 ，口2 ) 时，有l 垮a l l o o 0 ，问题( 1 o 1 ) ( 1 0 2 ) 不存在解乱入满足当a o + 时k i l l u 入l l 恐 假设 ( 仳n ，a 住) ) 是问题( 1 0 1 ) 一( 1 0 2 ) 满足当h _ o + ( 凡一) 时k i i l l l o 。鲍的正解序列则由g ：伊( q ) _ 诺( 豆) 的紧性可得存在 】- 的子列( 仍用_ 牡n ) 表示) 和面c o ( 西) ，使得在c 1 ( 豆) 中u n _ 瓦，这里用了厂( 让n ) 是 一致有界的其中砩是a 1 = - d i v ( 1 v l p v ) 在d i r i c h l e t 边值条件下的逆算子 因此瓦满足 一d i v ( i v 西l p 一2 v 西) = 0 ，z q ， 豇= 0 z a q 因此在q 内瓦兰0 与砜_ 面( 扎一o o ) 和尬l i u n l l 鲍矛盾 1 2 非存在性结果 本节研究下面问题正解的非存在性 d i v ( i v u l p 一2 v u ) + a f ( u ) = 0 ， z q ，( 1 2 1 ) 让( z ) = 0 ，z a q ， ( 1 2 2 ) 这里1 p 。使得对u a 有( g + 1 ) f ( u ) u f ( u ) ，其中f ( u ) = 片f ( v ) d v 和a 是一个使得f ( a ) o 的正常数 第1 章一类拟线性椭圆型方程特征值问题解的性质 ( 日1 ) ，当1 0 使得对u v 一口 a 有( g + 1 ) f ( u ) u ，( u ) ，其中f ( u ) = 片f ( v ) d v 和a 是一个使得f ( 4 ) o 的正 常数 为了证明主要定理考虑初值问题 ( 啡( 州+ 墨姒u ”m ( 州= 卟 o ， ( 1 2 3 ) 让( 0 ，q ) = 口 0 ，仳( 0 ，q ) = 0 ，( 1 2 4 ) 其中西p ( s ) = l s i p 8 ，p 1 ，q b 容易证明( u ( ) ，a ) 是问题( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 的正径向解当且仅当u ( ，口) 是 问题( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 的正解且u ( r ) = u ( 7 _ 入1 p ，口) 和入= 舻( 口) o ；对l p 0 在陋，o 。】上定义两个正 函数r + ( b ) 和r ( b ) 如下 r ，( b ) p ( p 一1 ) = m ( 百) 一i 0 , 一1 ) b 第1 章一类拟线性椭圆型方程特征值问题解的性质 州缈= ( 寿) p - 1 ( 等) p ( 即) ) - 1 ， 其中对p 2 ，一b = 【一1 ( p 一1 ) ( 一1 ) p ) + 1 】7 1 b ；对1 p 2 ，一b = 【2 ( 2 一v ) l ( p 一1 ) 一1 i ( p 一1 ) ( 0 1 ) p ) + 1 1 7 1 1 b ，m ( 百) = m a x f ( u ) ：u o ，司) 首先证明对于固定的b a ，r ( q ，b ) 存在一个上界和一个下界 引理1 22 如果当p 2 时，满足( 玩) 或当1 0 因此对于任意口( a ，。o ) ， 由( 1 2 8 ) - - 1 知在( o ，r 1 ( 口) ) 内u 7 ( r ja ) 0 此外，对于一切q ( a ，o 。) 有r l ( a ) 0 0 事实上，e 甘( h 1 ) 或( 曰1 ) 7 可得存在正常数m 使得对一切u a 有 ，( 钍) m 由( 1 2 3 ) - ( 1 2 4 ) 和( 1 2 9 ) ，对7 ( 0 ，兄l ( q