（基础数学专业论文）b型量子对称空间作为uq（so（2n1））的模代数的实现.pdf

论文摘要 本论文的讨论源自对量子对称空间的本身结构的研究。首先b 型量子群的口微 分算子构成的环与经典意义下的微分算子构成的环同构通过将q 微分算子环分解 成较少变元的制算子环的张量积最终递归得d 册( 磷n + 1 ) 型( d i 疋。( 1 ) ) 引“j 。 然后我们定义了d i f r ( 冗+ 1 ) 的子代数吲，使得蚪的元素与长度算子和拉普拉 斯算子都可交换b 型量子对称空间d ( s 暖”1 ) 是蜡的模代数暖。有个h o p f 代数结构，且h 0 p f 代数同构于“。( s o ( 2 n + 1 ) ) 因此我们将b 型量子对称空间 o ( s o ：”1 ) 实现为h o p f 代数“。( s d ( 2 n + 1 ) ) 的模代数 关键词：r 矩阵；量子对称空间； g 微分算子；h 叩f 代数； “。( s 。( 2 n + 1 ) ) 模代数 a b s t r a c t t h ed i s c u s s i o ni nt h ep r e s e n tp a p e ra r i 8 e sf r o me x p l o r i n gi n t r i n s i c a l l yt h e8 t r u c _ t u a ln a t u r eo ft h eq u a n t u ms y r i l i n e t r i cs p a c eo ft y p eb t h er i n g so fq d i 如r e n t i a l o p e r a t o r so nq u a n t u mp l a n e so ft y p eba r ei s o m o r p h i ct ot h er i g so fc l a s 8 i c dd i 行b 卜 e n t i a lo p e r a t o r s ，ec o n 8 t r u c td e c o m p o s i t i o no f 乞h er i n go f 酽d i f f e r e n t i a l 叩e r a t o r s i n t ot e l l s o rp r o d u c t 8o ft h er i n 9 8o fq d i 艉r e n t i mo p e r a t o r sw i t hl e s sv 盯i a b l e s a f l e r t h er e c u r r e n c eo fc a l c u l a t i o nw eg e tt h a td i f f ( 瑶1 ) 些( d i 岛2 ( 1 ) ) 。2 1 1 t h e nw e d e f i n eas u b a l g e b r a 皑w h o s ee l e m e n t sc a nc o m m u t ew i t ht h el e n 酗ho p e r a t o r sa n d t h el a p j a c eo p e r a t o f s t h e nt h eq u a n t u ms ) r m m e 乇r i cs p a c ei sam o d u l e8 l g e b r ao f t h e 皑吖h a s ah o p f 以g e b r as t r u c t u r ew h i c hi 8i 8 0 m o p h i ct o 甜口( s o ( 2 n + 1 ) ) h o p f 出g e b r a s t h e r e f o r ew er e 8 l i s et h eq u a n t u ms y m m e t r i c8 p a c eo ft y p eba sa m o d u l ea l g e b r ao f “口( s d ( 2 几+ 1 ) ) k e y w o r d ：b - m a t r i ) c ；q u a n t u m8 y m m e t r i cs p a c e ；q _ d i 丘矗e n t i a lo p e r a t o r s ；h o p f a i g e b r a s ；“q ( s d ( 2 忆+ 1 ) ) 一m o d u l ea l g e b r a 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意。 作者签名： 鲨坠 日期： 竺! ：! ： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：浓皮 日期： 竺! ： 导师签名 日期 专亳姒 丛b 8 | 第1 节引言 对于一个单李群g ，存在两个h o p f 代数结构，即量子群 g 】和量子普遍包 络代数碥( g ) 特别对每种典型单李群，都有各自对应着的量子空间量子空间是 f r t 双代数的余模代数，而f r t 双代数是用每种类型的量子群的兄矩阵构造的 每个量子空间又可以分解成量子对称代数和量子外代数的直和他们是李代数情况 下关于对合同态的两个特征子空间对称方和反对称方的形变而r 矩阵正是那 个对合同态的形变 类似于经典的情形，在旧和( g ) 中存在h o p f 对偶因此作为 g 卜余模 代数的量子对称空间，也应该是( g ) 一模代数于是就产生了一个自然的问题： 怎样具体地将量子普遍包络代数乩( g ) 实现为量子对称空间上的口- 微分算子，使 得量子对称空间成为( g ) 一模代数。根据 1 0 】这个问题还有它( 非交换) 几何的 意义 由 7 】 4 】对a 型量子群的讨论，发现量子群的微分算子的实现与自然表示有 着密切的联系简单地说，某个未定元。的次数增加一次，需要通过乘一个z 来实 现；而某个未定元的次数降低一次就需要通过作用一个a 来实现。 这里我们考虑b 型量子群“。( s o ( 2 n + 1 ) ) 及其对应的量子对称空间d ( s 优”1 ) 记= 2 竹+ 1 ；记r ，：= o ( s o ：”1 ) 。 我们假设q 非单位根，记m ，别。= 4 b o b a ( = 卜】t = j 】) 量子群及其对应量子空间的结构在【2 】中给出了具体的解释。由于b 型量子空 间的定义关系式的复杂性，q0 0 ) 左作用于z o 上时会产生一个部分长度平方 算子厶，而岛左作用于z o 没有如产生。这就要对实现q 的算子增加些约束条 件( 如与厶的可交换性等) 在 9 】中给出了甄和的交换关系。这有它非交换几何的意义。在这个关 系下，成为量子空间上的一阶协变微分算子。这里我们就用这个交换关系。但 是，这个交换关系要对序号分五种情况讨论，给计算带来了巨大的麻烦，借助于 o o 百e v e t s k y 构造的同构，我们可以换一组有简单关系的生成元。我们先构造群像 元k ，再构造对应于根向量的u u ，使l 1 - 4 0 和e 。+ ，一。在女上的作用效果相同 最后用它们来实现“。( s d ( 2 n + 1 ) ) 。u 。的每个单项式以仇结尾。这样，若l 坷 与其它算子交换后位置放到最后，再作用到1 上就等于o 所以我们只要求出l 4 ， 与其它算子的交换关系并且因为o o g i e v e t s k y 构造的同构是归纳进行的，所以 我们也只需要归纳地定义0 u 。 九十年代初g f i o r e 用了一些物理的语言给出过一个实现的构造( 3 ) ，但他的 大小结论有些错误，使得比较难以理解本文修改了他的错误，重新给出了构造， 本文将“。( s o ( 2 n + 1 ) ) 实现为r ，上的微分算子代数d i f ( r ? ) 的子代数 这篇文章的结构如下：第二节预备知识，首先给出了量子对称空间r 岔和它的 微分算子代数d 证( r ，) 的一些基本概念和生成元关系式，然后对生成元作变换， 找到d 濉( r ，) 上的另一组生成元，且这组生成元满足的关系式与通常微分算子满 足的关系式一致第三节，定义了的d i l f ( r g ) 的子代数昭，使它的元素满足与 长度算子和拉普拉斯算子可交换，找出了这个予代数的生成元、关系式第四节， 我们给出了u ，的h o p f 代数结构，它与“。( s o ( 2 n + 1 ) ) 同构 第2 节预备知识 记序号( t ) = ( 一n ，一n + l ，一l ，o ，1 ，n ) ，令a = 口一口。 设r 为量子群甜。( s o ( 2 n + 1 ) ) 关于它向量表示的r 矩阵，r ：= ( 确) ，令 兄麓= 瑞，则： a ；q e i 圆e i + 日 弓+ 口一1 e 一。e 二； i 一t t j l 一i t h = 0 + af 姻e ；一。咐q ，。屯1 i jt o 时p l = 专一 ；助= 0 ；p 一；= 一a 定义口一形变度量矩阵g ，c 0 ：= 口一m 6 。， a 一，= g ，e 非对称矩阵，袁为对称矩阵。 2 r 有谱分解： 矗= q p s 一口一1 r + 口1 一“p 1( 2 ) 其中p s ，f ，p 1 为r 在特征空间上的投影算子 量子对称空间r ，上的微分算子代数d i f f ( r ) 由 ，a ) 生成，满足关系式； p a 蔽z “扩= o( 3 ) 巳故仇魄= o ( 4 ) 魏矿= 四十q 磁一魏( 5 ) 记a 作为微分算子在量子对称空间r 内元素，上的作用结果为鼠，i ，岛，l 衅，也称a ，l 为a 在，上的赋值例如； a l l = oa l = 馥( 一) i = b + g 矗碧。如。 由定义，a 满足广义的l e i b n t z 法则： a ( 幻) = a ，i g + ，l 岛9 i其中，9 r d i 行( 吖) 一既可以看作是r 中的元素，也可以看作d i i f ( w ) 是中的元素，表示左乘一 第2 1 节关于生成元，a 的一些具体公式 对任意向量z ：= ) ，我们定义 j ( 1 + g 一撕) ( z - z ) ，：= 口“t k 一 o j n ( 6 ) l _ - j 因为当j = n 时， 一= 口一一z “ 所以，我们称( 。z ) 竹为。的长度平方，并且称( z ) ，o j n 是z 的部分长度 平方 由关系式n 筑一扩= o 得 一 = 驴矿 j 且2 一j 。一 =茁一4 z + a 口一m 一1 ( 茁z ) l _ 1 = g 一2 z 一4 z 。+ a 口一凤一1 ( z z ) 。e = 1 ，一，礼 3 所以 ， 砒。善批气。+ 南如。 对于似) ，用g 7 作为度量矩阵，即令 ( 1 + 9 2 ”1 ) ( a 。a ) 。= 四a 岛= q 一“乱j a l “ 帔m 魏2 p 触t + 南a o a 0 卜篡崇器吐，。 由此，我们也得到了类似( 6 ) 的式子 ( 1 0 ) f 1 1 ) ( 1 2 ) j ( 1 + 口_ 2 0 ) ( a 。a ) ，：= g 一“弘a o j n ( 1 3 ) 值一j 所以我们称为( a o a ) 。拉普拉斯算子，并且称( a o a ) ( o o )( 1 4 ) f i 0 时 血，戛m 。如“m 。幽。+ 禹护护w _ 1 幽2 1 1 j ql i 0 时 z 1 ( 1 + q 2 蝎+ 曲b ) ， 岛z “矿= ( 旷a 一抽1 m 一。一巩) 矿 = 9 2 z “z 魂一a 口1 + “一“。1 ( 1 + q 2 。巩+ 私一岛) j 2 咄1 + ”盯+ 9 2 z “岛一妒1 + 3 。1 矿巩一卯扩”+ 2 。1 ( 一岛) j 5 i 七 0 时a z 一z = q 2 z 一z 馥 一l = 馥( p 旷时+ 煮也。) = 口2 ( q “) a + 矿( z “+ 9 2 2 1 掘) + a 矿“( z l z 岛) 1 k 。 ：。q 2 ( 茹z ) n a - 口一以一h 十1 。一2、 + a g 一“z 。 q 轴一b 一g 却一2 矿巩一( 口轨“( 一岛) ) lj k i ， k j 兰笼挺萼纂。霉芝筘! ：型舞幽：。坩l ：= 俨一”一a g 即一1 = 口即一q 2 叶2 - a l 誊豢j = o - 讹2 i j q 2 l a + 口一p 一鼽+ 1 z 一 类似证明is0 时的情况。其它各式也类似可得。 口 第2 2 节d 赶( r ) 的另一组成对的生成元 首先我们证明d i f f ( r - 2 ) 到d 砸( r ) 存在一个自然的嵌入。令 掣一n = z n + q n + ；a l 以， j 一“= a 一。+ 矿+ a z “ 对t 士n 易得； 引理2 t 士n 时 a 一”一口一”a ，可一”z = g z 。掣一”， a 。掣一“= q 2 掣一”a 。，暂一“z ”= q 2 z ”掣一”， 6 一。矿= g d 馥6 一。= g d 一。魂 6 一。矿= q 2 矿6 巩6 一。= q 2 6 一。& 6 f 2 0 ) ( 2 1 ) 为了把这个代数的这组生成元乘法都弄清楚，我们还需要算d 一。g 。 引理3 由l = 9 4 l + 9 3 “e + 等可得。( 2 2 ) 。蛊z 乏嚣。纠 ， ( z ”) 一“= g 一“( 。“) + 口一“+ a 。巩z “ 由上面的引理我们得到： n 。y = “+ 掣咄d 一。+ q 从。巩矿= q 2 a 。脚+ 掣”占一。( 2 4 ) 其中“。= 1 + 口 。“ 这组新的生成元满足一 “ “n o + “。扩 d n “” a i p 。 “n = ”弘n = z 卢。 士他 = 口2 z ”肛n = “n d 一 = at 士n = 口2 巩 ( 2 5 ) 以及 a 。= a 。( 2 6 ) 将= 1 + 口a 。“巩代入可证( 2 5 ) ( 2 6 ) 将 ，魏) ：一。换成 ，a ，一n i n ，f ，n 。) 的主要目的是为了实现( 2 1 ) 式的换位，消去了。一，扩，鼠，以。交换作用时产生的尾巴 下一步是要将( 2 1 ) 式中各式系数转化为1 的变换令： x n ：a ：；p ： 口一nd 一。：q 1 a ： p ： 6 一。 x t p ：；z t毋： 岛士n( 2 7 ) x ”= 矿 d 。= 瓯 7 把两步变换合并起来，我们得到d i 行( r ) ( ，岛) 一咩，功)( h 例n ) 生 成元之间的变换关系为： 。 = p 盂x ，馥= 肛主d 。i i l n 茁“= x ” ，巩= d 。 z 一”= a j 芦i 5 j 一”一q 一1 9 “a ( ) i y ) n - d n ( 2 8 ) = a i 卢i x 一”一口1 一a ( z 。) 。如 。 a 一。= g 一1 a 主p ：。d 一。一g 一1 一卧a x ”( dod ) 。一l = q a 差p 矗d 一。一9 1 一加 ( aoa ) 。z ” 以及：= p ( x “，d 。) ：= d 。x “一x “d 。= l + q a x “d 。( 2 9 ) 直接计算可以证明 ，皿( 例 0 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 俨若t 2 j f 3 9 1 l 若j 、 ( 4 0 ) 引理4 我们可以用变量x ，d 和影，9 表示长度平方算子扛z ) 。和拉普拉斯算 扣z ) 。：a i p ： x n x n g m + 口一2 ( x x ) 。一1 = 静础、肿”噜并舭。 ( a 。a ) 。= a i p 二。玩d 一。g m 一1 + q 一2 ( d 。d ) 。一l = 豁城扩” 叶誊 证明：( z z ) 。= 肛。( x - x ) 。一1 + g p r 。z 一”z ” 11 = ( x x ) 。一1 十g ”n ( a i p ：5 x一口一2 一p n ( 口2 1 ) ( x x h l d 。) x “ ( 4 1 ) ( 4 2 ) 0 0 0 = z z z 2 2 一 口 g g ，ij【，l = n 11 = g h a i 面5 x “x 一“+ ( x x ) 。一1 ( q2 ( 口2 1 ) d 。x ”) = g “a i p ：j x n x n + q 一2 ( x x ) 。一l 对x ) 。一1 也使用( 4 1 ) 的第一式 第二式( 4 2 ) 式同理可得 递推计算，最后用j r 代入，得( 4 i ) 的 口 第3 节d i f r ( r ) 的子代数蟛的定义和性质 定义1 ：对 n 时 fl 帅：口“a ： p 一。 d _ i ) ( x x ) 。1 】d 一。一扩+ m + 2 p ： x n d 一。 i( 加s 捌u er o o 拈) 1 l 一，l ：矿- 2 m _ 2 a 二 芦一。 ( d 。d ) ，i ，x 】一g 。一。_ 1 面；x 。风 0 3 【 ( n 卵口t f u er d 。s ) 定义2 ：l q ：= p ；p 二；( = 1 ，一，n ) 定义3 ：吖为由l ”，l 1 ，b ( 吲 n ，j = 1 ，n ) 生成的d i i f ( r ，) 的子代 数 性质l 【k ，( z t 。) n 】= k ，( a 。a ) 。 = o ，且k ，b 互相交换( i ，j = 1 ，n ) 证明： 由( 3 9 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) 可得口 性质2 ( l “，扛z ) 。 = 【l “r ，( z 。) 。】_ o ( n ) ( l 一，( a 。j = l 一州，( d 。司。j = o ( p f 1 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 【- 面5 劣“玩，p i a i 一。肛i 一。1 一n ：一q 一，a i 。p i 一，【形一玩，z ，一n 卜。 由( 4 1 ) ( x y ) 。一l ：a i 一1 “1 1 囊? n 一1 彤1 一n q p 。一t + 工， fg 一1 厍 卢! 。一“翁一i g l 一 ，a ( x x ) 。巩一1 = g n 一1 a p ! 。 p 一。舅1 一“霸( x ，x ) 。一1 d 。一。】。 = q 一一1 札i 。( 芦i 一。一“霸a i 一。p 乱。彤n 一z ，一n p ，玩一。 一 1 2 一 七 一0 级 万一 吲 影 彤；俨 婷一帆呗卜 喝。阻 肛。 = p 蛐 f f j p ，、【 j 0 时 【l 一r ，l 一， 口= q 2 l j ， l 一，- ，l 一2 l q = l 一 n 七 f 2 时 矿1 ”，l 1 4 ，。= q l ， ， l 一。t h ，l 一1 一= 口一1 l 一2 n 1 时 l o ”，l o ，1 = g l 1 r， l 1 p ，l 一2 ，o = g 一 l 一，一1 口 ( 4 9 ) f 5 0 ) ( 5 1 ) 证明：只证明( 4 9 ) 的两式，其它的类似证明 首先考虑= n 的情形我们注意到，女 f j 时， x ) “l 1 1 = o 。 以及由( 4 6 ) 式，我们有 l r ，岛 口= g p j + + 2 岛，得 l 一，- ，d i 】g = g 一岛+ 9 f + 2 d j 。 另外我们有等式h k 。2 ，6 】。c 十曲kc 】以及，若【。，c 一o ，则【。，【6 ，c 1 。： 。，6 j 。，c 因此我们得； l 1 _ ，l “ 】q = 口一 a i p 一 l 一川，【d l ，( xx ) k 一1 d k 1 一俨一 ”面；x f l 吨，觑】a2 口一 5 一一t ( l 吲，f 毋，x ) 。j 】。d 一。 + g _ 寥”，d t 】) 一一叫4 p i 。驴q 。g 一。a i 5 p t 【l 。，毋l ，( x x ) t i d 一女一口靠一吩+ 4 p i5 x 口 = 口一。+ 2 a i p 一【b ，( x x ) k 一1 d k q 靠一马“p i x b ：q 2 l 1 ，k 又我们有： ( d 。d ) “l 。，j = o ， ( l 一“，x 一，：一妒一n 一1 * f l 一”，l 一。：。2 9 9 f 一2 9 k 一2 a i5 卢一t x 一f ( 。) * 一，x 。j ，l l 。 一妒一9 t “酊o x 仇，l 一。， 。 2 g 一旷1 a 冉一p ，h ( 。) 。， ， + 妒一 p a l 由，风 = 一护一2 一2 a i 肛一k x 一+ x j ，( d 。_ d ) k 11 q 。一 “i x ，d 女：l k ，j 不断使用嵌入映射，我舸可以证明对一般的女，( 4 9 ) 都成立同理可证其它式子 性质5 f k f ，l “， 。= o k ，l “，“1 。= o 卜 n = g 【， 卜 一 ；2 1 4 口 若 = 七 1 时 l 1 一m ，m ，l 1 一，】= o l m ，m 一1 ，l 一。，。一1 = o l 1 + 一m m 一，l 2 一m ，mj 。= l m m 2 ，l 一m ，m 一一1 。= o 口 ( 5 9 ) ( 6 0 ) 其中n = ：。茎；三：且m s 时 c e ， 胆赫蠹僻篙 证明t 使用定义( 4 3 ) ，x ，d 的交换关系式，以及( 3 2 ) 式计算可得 叼的所有基本交换关系是 ( k 1 ) ，舭1 q = o ( k 1 ) ，l _ 1 ，o 】口一- = o 畔l = 。荨 第4 节皑的h o p f 代数结构 ( 6 2 ) 口 在这一节里我们证明吖是一个h o p f 代数，并且它与( s o ( ) ) h o p f 代数同 构。我们通过在皑的生成元与( s o ( ) ) 的生成元之间构造一个可逆变换，将皑 的定义关系式、余乘、余单位和对极对应到( s 。( ) ) 的定义关系式、余乘、余单 位和对极。 假设h 叩f 代数( 8 0 ( ) ) 由蜀，只，疋；，赶i 1o = l ，n ) 生成，它们满足下 列关系式： 蜀，弓 = 等三等， c c 与心：善，毛，虹弓d = 2 j 呵厅 喜( _ 1 ) 吼( 砒( 矿”2 = 0 ( 嗍) 3 鬈( - 1 ) 胤( 硝础广_ 0 ( ) 其中掣，旷粼一一肌= 瑞 o d 为c a r t a n 矩阵 余乘、余单位e 、对极s 在生成元上分别定义如下 【k。，。n1。：。：f；：。篓：i!二。0 o 和前面的关系式，我们可以得到：k 。一i = 一 口一2 若 ：一 1 时： 咖( 最，只】) = 口【l 1 一咖( 矗) ，l 一讲一1 = 口q 一2 l 1 一r ，l 叫。一1 。妒( 。) = 竿铲= 警 所以对任意 ，j = l 扎有西( 慨，只 ) = 幻丛生l 掣成立。 啦一吼 下面证明最后两个s e r r e 关系式t ( i ) l i j | 1 时，= o 。要证明咖( e 弓一日日) = o 只要证【l 1 _ q 妒( 如) ，l 1 _ 。( 杨) _ o 。 由上面的引理，上式左端= l “”，l 1 - ”】妒( 矗b ) = o ( i i ) i = j 一1 l 时，o u = 一l 。要证 妒( 霹最+ 1 一 2 m 蜀e + l e 十日+ l 霹) = o 只要证( l 1 一即) 2 l 一。，+ 1 一妇+ g 一1 ) l 1 一郴l 一2 j + 1 l 1 一。o + l 一，冲1 ( l 1 一舭) 2 = o 苄 由( 4 9 ) ，l 1 一”l 一”+ 1 = g l 一4 ，件1 l 1 一”+ 9 2 l 1 一”+ 1 所以来式左端= 一q - 1 【l 1 _ ”，l 1 卅1 声11 ，+ 9 2 l 。4 ，屯1 1 州 = 一g l l 一。，件1 l 1 1 。十口2 l 1 一，l 1 一。，件1 = 一口阻1 - ”“，l 1 _ ，。】g = o 2 1 黝慨j 啦动 酽一g 烈 ，、l 卸 埘 一 l o g ，旧岛f 习乒岛毋+ 脚乒岛霹岛唧：。 其中f 习。= g j ，：。+ z 十。，只要证；h 。 ( i 。，1 ) 3 l 一1 ，- 一( g + 】+ g 1 ) ( l 。，1 ) 2 l 一】，2 l 。，i 。， + ( g + i + g 1 ) l 。1 1 l 一1 ，2 ( l 。，1 ) 2 一l l ，。( l 。，1 ) 3 ：o 使用皿4 1 ，l 。2 j a 。a 2 l q 2 ， q 1 ，l n 2 j ：。；l ， 皿。，l 蛐；。一。 式的左端= 叮2 ( l 。f 1 ) 氇。_ 一( 1 + g 1 ) ( l 。，z ) 2 l 1 ，2 p 】 ：曼+ 1 叼。j l 4 l l 2 ( l 0 i ) 。一一气啪。 盎口2 l o ，1 l 。，2 l o ”一口j l 。，1 l 1 ，2 、叫 + 1 7 4 f l 1 2 ( l 4 1 ) 2 一( 矿+ 口) l 叭l 。，。l 即l 。一一班删血。1 l 0 z l 。，i “ + ? ( 3 十止叩( 。，。1 。 对角+ 。，。一9 5 l 。2 l 4 1 口l 4 2 ( l m l ) 2 + g ；l ，：l 。，j2 l 。气l 吣) 。：。 对负根也可类似地证明 、7 一“ 慧骅蛐蜘蚴嘲一为晰做w 叫机啪等 2 2 = 法 吼方 以 ， 昕o ， j j h h 要 o t j 弓 藏一 时嘲， ， 时 弓2 j j h f f 曲 f f 靴 参考文献 1 1a k l i i y ka i “ks d l i d d g e j j“q l 工a t u mg r 。u p sa n dt i l e i rr 印r e s e n l a u o l l s ” s p r i l 培e r _ v e r l 8 9 ，b e r l l n h e l d e 】b e 。g n e wy 。r k 1 9 9 7 2 】ck 雌s e l l “q i l n n t u mg r o l l p s ”，g r 刚1 1 a t e 豫t si nm a t h e m 舭i c s ，v 0 1 1 5 5 ，s p r j n g e 卜 v e r i a g ，n e wy o r k b e i n ，1 9 9 5 【3 】g f i o r e ，r e a l j z a t j 仙o f ( 8 d ( _ ) ) w i 蛆皿l t l l ed i h he i l t i a l a 1 9 e b r a 佃硝， 凸m m m n 弘1 6 9 ( 1 9 9 5 ) ，4 7 5 - 5 ( 】0 4 】j cj a n t z e n ，l c c t u r c so nq 耻曲t u mg r o “瑚”，g r 蛐d 1 1 砒es 饥d i e si nm a t h e m 砒i c 8 ， v b l 6 a m e r i c a nm 砒h e m 毗i c a ls o c i e r 吼1 9 9 6 【5 】j ，eh u m p h r e y s ，“i n t r o d u c t i o nt ol 1 ea i g e b r 鹕8 n dr e p r 鹤e n t a t i o nt h e 0 。y ”，g t m j v o lg s p r i n g 盯- v 帆1 a g ，n e wy o r k 聃d e i b e r g b e r h ，1 9 9 5 【6 jm s w e e d l e r ，髓o p fa l g e b r a s ”，b e n j 锄i n n 唧y 0 r k ，1 9 7 4 【7 jn m h o n gi i u ，q u a t u md l v l d e dp 讲v e ra l 霹e b f a 、q - d e r i v a t l 懈，a n ds o m en e wq u a l l t u mg r 伽p s ，j 伽m