（基础数学专业论文）无穷级数的发展演化.pdf

中文摘要 作为数学分析的一个工具，无穷级数起着不可低估的作用。利用无穷级数可以将 一些复杂的代数函数和超越函数展成简单形式，然后对其进行逐项微分或积分，进 而对这些函数处理起来得心应手。随着分析的严密化，无穷级数理论逐渐形成，从 而推动了数学的进一步发展。 本文以无穷级数的发展为中心，以无穷进入数学前后思想变化为线索，系统分析 了级数理论形成的历史背景，通过对主要人物工作的总结，概括了级数理论的建立 及其发展的过程。 关键词：函数无穷级数收敛发散渐近级数可和性 a b s t r a c t a sat o o lo fm a t h e m a t i c a la i l a l y s i s ，i n n n i t es e r i e sp l a y sa ni m p o r t a j l tr o i e i tm a k e sa l o to fc o m p l e xa l g e b r a i cf h c t i o n sa i l de x c e s s i v ef u n c t i o n sb e c o m es i m p l e ，a n dt h e nw e c a nd i f r e r e n t i a t eo ri n t e g r a t et e n nb yt e 肌t h e r e f o r e ，t h e s e m c t i o n sc a nb ed o n ew i t h e a s i l y a sa n a l y s i sb e c o m i n gm o r ea n dm o r er 培o m u s ，t h et h e o r yo fi n f i n i t es e r i e sh a s c o m ei n t ob e i n g ，w h i c hp r o m o t et h ed e v e i o p m e n to fm a t h e m a t i c s1 a 唱e l y w i t ht h ed e v e l o p m e mo fi n f i n i t es e r i e sa st h ec e n t e r w i t ht h ev a r i a t i o no ft h o u 曲t m e r t h ei n f i n i t ee n t e r i n gt h em a t h e m a t i c sa st h ec l u e ，t 1 1 i sp a p e ra n a l y z e st h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n do ft h ef o r m o fi n f i n i t es e r i e st h e o r yi ns y s t e m a t i cw a y f u r t h e r m o r e ，w e g e n e r a l i z et h ep r o c e s so fb u i l d i n ga n dd e v e l o p m e n to fs e r i e st h e o r yb yc o n c l u d i n gt h e h i g hp r i e s ta n dt h e i rr e l e v a n tw o r k k e yw o r d s ： f u n c t i o ni n f l n i t es e r i e s c o n v e 娼e n td i v e r g e n ta s y m p t o t i cs e r i e s s u m m a b i l i t v l 北师范人学倾f j 研究生论义 引言 数学分析是一个内容庞大的领域，一开始它是指解释特殊一类问题的特殊演算方 法，如微分法、积分法、无穷级数法、变分法等，它与算术及代数方法的不同在于 它涉及无穷。分析是无穷的代数或普遍的代数。1 8 世纪，欧拉( l e o n h a r d e u l e r ，1 7 0 7 1 7 8 3 ) 把分折方法系统化，出现了函数。数学分析把函数论的内容包含进 来。1 9 世纪，数学分析包括三大领域：实分析、复分析、微分方程及变分法，其中 实分析以变量函数为中心，主要研究函数的表示、函数的演算以及函数的性质等。 在这些问题的研究中发展了一些主要工具和技巧，如无穷表达式、积分变换、积分 展开和函数的逼近等。 从微积分到数学分析的建立，无穷起着关键作用。希腊人惧怕无穷，近代数学正 是在突破这种禁忌的基础上建立起来的，它主要表现在把无穷引入数学，这种向无 穷的跨越不只是形式的推广，它在数学上所起的作用决不可低估。因为只有有了无 穷表达式，才能把量还原成数，而且对数学分析来说，只有有了无穷表达式，才能 由具体的特殊函数向前跨越一步，从而得出一般函数的概念及其表达式。 无穷级数是最简单的无穷表达式，但它的历史是混乱、零散的。这其中的原因很 多，最主要的原因是人们把各个层次的问题混在一起，最早的无穷级数涉及哲学和 逻辑的悖论，并没有推及一般的无穷级数：其次无穷级数往往同微积分在一起叙述， 而这时期无穷级数只是近似计算的工具。现有的文献对无穷级数某些方面的发展做 了深入的研究，l f e i g e n b a 啪曾详细研究了泰勒定理的产生过程； g i o v a l l l l i f e a r o 【2 】从欧拉对插值问题研究的角度分析了欧拉一麦克劳林求和公式的推导： p d u g a c 【3 】从总结魏尔斯特拉斯( k a r lw e i e r s 廿a s s ，1 8 1 5 1 8 9 7 ) 的研究工作中分析了级数 的一致收敛性。本文从无穷级数的早期背景着手，详细分析了1 8 、1 9 世纪级数发展 的过程，清晰阐明了其发展的前后关系，为实分析的研究提供了一些素材。 无穷级数出现的很早，往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪。无穷 级数使那时的哲学家与数学家着了迷，引起了他们对“无穷”的兴趣。其中最杰出 的代表人物是奥雷姆( n i c o i eo r e s m e ，约1 3 2 0 1 3 8 2 ) ，他明确几何级数有两种可能性。 这些无穷级数的早期研究促使人们接受无穷。1 7 世纪微积分诞生之后，无穷级数作 河北师范火学硕f ：研究生论文 为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用 于超越函数，常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数，泰勒定 理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后，人们又在考虑这个问题的逆问题， 即级数的求和问题。欧拉和麦克劳林( c o i i n m a c i a u r i n ，1 6 9 8 1 7 4 6 ) 为此给出了一个求和 公式欧拉一麦克劳林求和公式。1 8 世纪级数方面的工作大都是形式的，大部分 数学家都把级数看作多项式的代数推广，于是产生许多问题，从而要求数学家进行 严密化的研究。1 9 世纪，柯西( a u g u s t i n l o u i sc a u c h y ，1 7 8 9 1 8 5 7 ) 建立了级数理论， 阿贝尔( n i e l sh e l l r i ka b e l ，1 8 0 2 1 8 2 9 ) 对此进行了完善，后来由魏尔斯特拉斯提出的一 致收敛完成了整个级数理论的构建。级数理论的形成影响了发散级数在数学中的地 位，但最终由于它的实用性形成了渐近分析。 本文共分为三部分，第一部分是无穷级数的前史，着重介绍级数在1 8 世纪的形 式发展；第二部分是理论的形成，系统而全面地介绍级数由建立到完善的发展过程； 第三部分是理论形成后的影响与发展，侧重介绍发散级数的应用与发展。 洲北师范人学坝l 研究生论义 1 前史 1 1 级数的早期工作 无穷级数在希腊数学中出现过，虽然希腊人惧怕无穷，试图用有限和来代替无穷 和，但是这只是潜无穷与实无穷的差别。芝诺( z c n oo fe l e a ，约公元前4 9 0 约公元前 4 2 5 ) 的二分法涉及到把1 分解成无穷级数寺+ 砉+ ，砉+ 砉+ 。亚里士多德( a r i s t o t l e ) 也认为这种公比小于1 的几何级数有和。阿基米德( a r c h i m e d e s ，公元前2 8 7 公元前2 1 2 ) 在他的抛物线图形求积法一书中，在求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级 数，并且求出了它的和。【5 j 中国古代的庄子天下中的“一尺之棰，嗣取其半， 力i 世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。 到了中世纪，无穷级数这个课题曾使那时的哲学家与数学家着迷，既引起了他们 对“无穷”的兴趣，又促使他们就一些明显的悖论进行激烈的争论。例如，休塞特 ( r i c h a r ds u i s e t h 或s w i n e s h e a d ) 解决了这样个问题，1 6 j 它可以借助于运动叙述如 下： 如果一个点在某段时间的前一半以不变的初始速度运动，在接下来四分之一的时 间中以二倍的初始速度运动，在随后的八分之一时间中以三倍的初始速度运动， 这样无限地继续下去，那么这个点在整个这段时问的平均速度等于初始速度的二倍。 把这段时间的长度和初始速度都取为一个单位，则上述问题等价于级数求和 羟+ 号卜司。 一十一+ 一+ - + + - 一z 。 2482 “ 在这方面最杰出的代表人物就是奥雷姆。 7 l 也有许多天才的思想，尤其是无穷的 思想。他明确几何级数有两种可能性，当公比大于等于1 时，无穷几何级数有无穷 和；当公比小于等于1 时有有限和。在欧几里德几何问题( 1 3 5 0 ) 中，他以严格 的方式证明当无穷级数项的值不是按比例减少时，其和也可以是无穷，并且在书中 以调和级数作为例子来探讨。 无穷级数的研究在十五、十六世纪以休塞特和奥雷姆的方式继续前行，但由于仅 限于文字叙述和几何方法，所以没有取得重大进步。这些无穷级数早期研究的主要 贡献并不在于所得到的具体结果，而在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中 河北师范大学硕士研究生论文 可以自由承认无限过程。因此，中世纪的思潮为十七世纪关于无穷级数和无限过程 的重要工作开辟了道路，那时可以使用更有力的算术和代数方法。 1 2 函数的展开 十七世纪，有两个方面的重要发现促进了数学革命，一方面是各种特殊的面积求 法和切线构造法的结合，牛顿( i s a a cn e w t o n ，1 6 4 2 1 7 2 7 ) 和莱布尼茨( g o t t f r i e dw i l h e l m l e i b n i z ，1 6 4 6 一1 7 1 6 ) 由此归纳出了微积分的一些基本的一般算法；另一方面是无穷级 数方法的应用范围。例如，为了把早期的微积分方法应用于超越函数，常常需要把 这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数。因此将函数展成无穷级数成为 大研究课题。【6 】 牛顿在他的流数演算中使用无穷级数作为主要工具，为处理超越函数以及更难的 代数函数铺平了道路。他在1 6 6 5 年初发现一般( 指数埘不限于j 下整数) 的二项式定理： ( ) 小删+ 掣冉生学型“。 1 6 6 9 年夏，牛顿详细写下关于级数研究的论文用无限多项方程的分析学，这 篇论文没有公开，只是在少数人中间流传，直到1 7 1 1 年发表。事实上，墨卡托 ( m e r c a t o r ，1 5 1 2 1 5 9 4 ) 1 6 6 8 年发表对数技术，其中用长除法得到了著名结论 t 。g ( ，+ x ) = x 一手+ 亏一。j 这促使了牛顿写下了自己关于这方面的研究。在分析学中，牛顿给出了自己方 法的几个例子。鄙为了寻求在双曲线y = ( 6 + x ) 下的面积，他第一次使用长除法得 到展式 d 2d 2日2， j ，2 i 一矿抖矿r 然后再逐项积分得到面积( 即墨卡托的结论) 。对于y = ( 口2 一x 2 ) _ 来说，他使用开根 法得到了无穷级数，然后积分得到圆面积。之后牛顿指出如何逐次逼近来转化级数。 这种方法称为“级数的反演”。牛顿利用级数反演法第一次得到了s i n x 和c o s x 的幂级 数。他首先考虑x 2 + y 2 = 1 ，这时角曰= s i n - 1 x 是圆扇形d 鲫的面积的二倍。但是牛 t 町北师范人学坝l j 研究生论文 顿知道，把i = 进行二项式展开，然后逐项积分，就可以得到弓形。尸纵的面积 x 一土。，一j x s 一土一x ，一。由此可知， 64 01 1 2 口：2 ( x 一喜 去 去x ，) 一x 可 、 64 01 1 2 7 吲x 3 一扣一壶几寸堋一圭 川 、 64 01 1 2 。、 28 1 6 。 ：工+ ! + 三+ 三x 7 + 64 u1 1 2 从而得到 s i n l 工：石+ ! ，+ 三x 5 + 三x 7 ” 64 0 1 1 2 然后牛顿通过级数的反演，得到正弦函数的幂级数 s i n x = x 一三x ，+ l x 5 一二一x 7 + 。s l n x = x 一一x 4 + x 7 一x + o 61 2 05 0 4 0 他还利用这些方法得到指数函数、余弦函数以及a r c t a n 工的级数展开。 莱布尼茨曾于1 6 7 3 年同样独立地得到了s i n x 、c o s x 和a r c t a i l x 等函数的无穷级 数展开式，f 9 】以及圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与反正切函 数、余割函数、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来。他经常利用级数展 丌式研究超越函数，有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式。 为了从微分方程口2 ( 出) 2 = 口2 ( 咖) 2 + y 2 ( 出) 2 中求s i n y 的级数，8 1 莱布尼茨令 y = 打+ “3 + 蹦5 + ， 假定出是常量，微分初始方程得到 口2 d 2 y + j ，( 出) 2 = o ， 河北帅范大学硕f ：酬究生论文 然后用级数代替y 、砂出和d 2 y 出2 。在假定6 = 1 的情况下，各项的系数和都等于 0 ，于是得到 一z 5 y 2 x 一丽+ 互_ j ；可一 1 7 世纪后期和1 8 世纪。摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。为了适应 航海、天文学和地理学的进展，要求三角函数、对数函数和航海表的插值有较大的 精确度。【5 1 在这个插值中，关键的公式是由詹姆斯格雷戈里( j a m e sg r c g o r y 1 6 3 8 1 6 7 5 ) 在1 6 7 0 年1 1 月2 3 日给柯林斯( j o l l l lc o l l i n s ，1 6 2 5 1 6 8 3 ) 的信中提出的，而牛顿在原 理第三卷的引理5 和微分法中也独立地给出过，用的方法叫做有限差方法， 这是有限差计算的第一个重大结果。g r e g o r y - n e 们o n 公式可以叙述为： 巾州州小+ 掣竹扣， 牛顿粗略地给出了一个证明，而格雷戈里却没有。为了计算( x ) 在已知值之间的任 意x 处的值，只需让向= x 一日。这样计算出来的值并不一定是函数的真值，公式计算 出来的是关于厅的一个多项式的值，这个多项式在特殊点玎，口+ c ，口+ 2 c ，的值和函数 的真值相同。 格雷戈里还把这个公式应用于函数f l 十d ) ，他知道这个函数在x = o ，1 ，2 ，3 ，上的 值，因此，( o ) = l ，( o ) = d ，2 ，( o ) = d 2 ，。这样，在公式中，让口= o ，c = 1 和 疗= x o ，再利用厂( o ) ，( o ) ，的值，得到了 ”盯小出+ 掣n 掣肌 这样，对于一般的x ，格雷戈里得到了二项式的展开。 g r e g o r y - n e o n 内插公式由泰勒( b r o o kt a y l o r 1 6 8 5 - 1 7 3 1 ) 发展成一个把函数展成 无穷级数的最有力的方法。二项式定理、有理函数的长除法和待定系数法，都是有 局限性的方法。泰勒在他研究有限差计算的第一本出版物增量法及其逆( 1 7 1 5 ) 中，推导出他在1 7 1 2 年曾经叙述过的定理，这个定理至今仍用他的名字命名，即泰 勒定理。他的做法相当于在船g o r y - n e 、v t o n 公式中让c 变成缸。这样一来。 * 北师范人学顾二 二研究生论文 g r e g 。叫n e 、v t 。n 公式右边的第三项就变成兰堕；弓塑立! ! 兰皱。泰勒说，当出= 。时， 这一项就变成_ j z 2 厂4 ( 口) 21 ，从而整个g r c g o r y - n e 、玑o n 公式变成 ，( 口+ 向) ：厂( 口) + 厂，( 口) 矗+ 厂一( 口) 等+ 厂”( d ) 等+ 。 他没有考虑级数的收敛性，也没有给出余项的表达式。【l o 】 泰勒用他的定理把函数展成级数，得到如正弦函数及对数函数等的标准展式，并 用这一方法求出微分方程的解。他还用级数去解数字方程，得到根的近似值，尤其 是根式方程和超越方程。然丽，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的 重大价值。这一重大价值后来是由拉格朗日( j o s 印hl o u i sl a g m g e ，1 7 3 6 1 8 1 3 ) 发现 的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理，并将其作为自己工作的出发点。1 8 世 纪末，拉格朗闩给出了泰勒公式的余项表达式( 即拉格朗同余项) ，并指出不考虑余 项就不能用泰勒级数。 “泰勒级数”这一名词大概是由s a 吕利埃( l ，h u i l l e r ) 在1 7 8 6 年首次使用的。 在此之前，孔多塞( c o n d o r c e t ) 在1 7 8 4 年对此级数既用了泰勒的名字又用了达朗贝 尔的名字。泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家。 在他之前，至少有五位数学家研究过此级数1 】：詹姆斯格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、 约翰伯努利( j o l l l lb e m o u l l i ，1 6 6 7 1 7 4 8 ) 和棣莫弗( a b r a h a md em o i v r e ，1 6 6 7 1 7 5 4 ) 。 从特恩布尔( t l j m b u l l ，1 8 8 5 一1 9 6 1 ) 对詹姆斯格雷戈里未发表论文的研究中看， 在泰勒增量法发表之前的4 0 年，即1 6 7 1 年，格雷戈里计算出函数在零点展开 的泰勒级数。特恩布尔从格雷戈里1 6 7 1 年1 月1 5 日给柯林斯的一封写有他两周前 一些未完成注解的信时，发现了一个著名的结论。在信中，格雷戈里向柯林斯提供 了七个级数，是关于p = 0 的幂级数展开，即函数t a i l “占、t a n 口、s e c 目、l o g s e c 口、 l o g t a n ( 詈+ 孙s e c “( 詹) 税协n 。1 t a n h 詈 的级数展开。遗憾的是，格雷戈里并 没有解释他使用的方法。但是，特恩布尔能够从它的注解中推导出七个级数中的六 个，而且格雷戈里确实用泰勒公式得到这六个级数中的四个。 特恩布尔从注解中发现格雷戈里犯了一个算术性的错误，这个错误在于他给出的 t a l l x ( 这里是t a i l 曰) 泰勒展式的第五项，而且在注解中给出的t 雠x 七阶导数时也出 洲北师托人学砸i ：研究生论义 现此类错误。格雷戈里给出正切级数为 疗3 2 51 7 盯73 2 3 3 口9 扛卅矿+ 丽+ 百尹+ 面雨矿 其中r 是半径，口是弧长，r 是难切值。如果设f = r t a i l 臼，口= 阳，那么上面的级数 等价于 t a j l 口：疗+ 芝+ 堡+ 型+ 型，( 1 1 ) 3 1 53 1 51 8 1 4 4 0 级数( 1 1 ) 的前四项恰好与正确的正切泰勒级数展开式相同，但正确展式的第五项 是罴篙筹。在t a n 目的第六阶导数中，格雷戈里错误地将其第二项系数2 7 2 + 9 6 。写成 2 7 + 9 6 0 ，从而得到错误的系数9 8 7 。在第七阶导数中，他又错误地将其第二项系数 2 7 2 + 3 1 2 3 2 = 3 9 6 8 写成2 7 2 + 3 9 8 7 = 3 2 3 3 。 从注解中可以看出，格雷戈里使用逐次微分来计算s e c 臼、s e c 一f 厄一1 和 z t a n “( t a n h 詈 的级数，而- 。g s e c 目和- 。s t a n ( 罢+ ；) 的级数分别是t a n 口和s e c 口级数 的逐项积分。但是，正如特恩布尔所指，无论是在注解中还是在格雷戈里的工作中， 都没有明确陈述一般泰勒定理的存在性。但是泰勒确实接触过格雷戈里给柯林斯信 中的七个级数，因为格雷戈里信中包括的级数发表在1 7 1 2 年的通报( c o n n e r c i u m e p i s t o l i c 啪) 上。重要的是，泰勒在皇家学会任职的最后一周主管这期通报的发 表准备工作。 格雷戈里自己似乎错误地假定他的逐次微分方法曾被牛顿考虑过，而牛顿推测格 雷戈里的方法是他自己方法的一个重新发现。格雷戈里承认牛顿推测的优先权，认 为牛顿应该享受首次发表的权利。结果，在格雷戈里一生中，牛顿没有发表，这直 接影响了泰勒定理的发展过程：格雷戈里的方法从未公之于众，并且也无人精确地 重建它。特恩布尔还揭示了，格雷戈里技巧中的重要算术性错误在发表其通信时无 声地被修改了，因此这导致了格雷戈里的伟大成就从史册中不小心被抹掉了。 牛顿不愿发表自己的工作，从而影响了泰勒定理在另一条道路上的发展。正如近 期发表的他的论文中所显示，f 1 2 】在1 6 9 l 一1 6 9 2 年的冬天，牛顿已经发现表示变量y 的 河北师范大学倾i 二研究生论文 幂级数系数与y 的逐次流数之间明确的解析关系。牛顿对于推断幂级数的系数所包含 的重要信息具有浓厚的兴趣，这一点在其发表的著作中有两个地方体现的最为明显。 在原理第二卷命题x 的第一个例子中，他认为表示曲线纵坐标的幂级数的系数 提供了曲线本身的几何性质；在曲线求积术( 1 7 0 4 ) 的最后注释中，他把( x + o ) ” 二项展开中的项( o 是无穷小) 与矿的逐次流数联系在一起，但是在这两个地方他没 有为导数表示系数建立明确的公式。这一深层次的见解是用待定系数法证明泰勒定 理的关键。我们将斯特林( 1 7 1 7 ) 和麦克劳林( 1 7 4 2 ) 采用下面的方法来确定泰勒 系数来赞誉牛顿：首先假定级数的形式，然后逐次微分，最后在某点估计导数来得 到系数。 牛顿在命题随后的讨论中，为方程产生的逐项解来解释他的方法。在要求y 的 展式的第一项中，z 的指数是根据原始方程的指数值按照算术规则计算得到的。假定 这第一个指数是v ，那么z ”的系数是通过用凹代替原方程中的y 来确定的。一旦找 到c ，再用船”+ p 代替y ，使得推导的方程包含新变量p 和它的流数。新方程再重复 同样的步骤，从而得到p 的级数展式中的第一项( 和y 的第二项) 。通过这个连续过 程，得到要求的级数。由他的方法得到的级数包含2 的非整数幂，因此牛顿考虑推论 3 和推论4 的特殊情况，即解是幂级数的特殊情况。 斯特林( j a m e ss t i r l i n g ，1 6 9 2 1 7 7 0 ) 和麦克劳林求泰勒系数的公式只局限于z = o 的 特殊情况，与他们相比，牛顿明确处理了推论4 的更一般情况：用z 一国f = x ) 的幂表 示级数，用z = 珊处估计的y 的流数来表示它的系数。但是没有任何证据表明牛顿用 推论3 和推论4 作为生成幂级数的公式，或者像泰勒那样用这些推论解流数方程。 他关于幂级数系数的解析与几何观察似乎是在其它方法生成这些级数之后得到的。 斯特林引用牛顿的工作作为自己的主要动机，他于1 7 1 7 年发表了一个与泰勒定 理等价的定理。如同斯特林所做的，泰勒在增量法中，并没有把命题7 的推论2 应用到一般方程中，也没有明确将函数，如( 口+ z 1 ”展成z 的幂级数。但是，斯特林 所考虑的四个例子1 中使用的方法与泰勒在运用命题7 的推论2 解流数方程的方法恰 斯特林为了说明y 是如何表示成x 的幂级数时所考虑的例子，x 与y 是用普通方程或流数方程表示的 河北师范大学硕j 二研究生论文 好相同：为了用低阶流数表示高阶流数，反复微分方程；然后为了得到级数的系数， 在某点( 此处x = 0 ) 估计流数。 与格雷戈里、牛顿相比，莱布尼茨和约翰伯努利的研究主要是通过对彼此发表 和未发表工作的了解与重视而受到启发的。实际上，他们在1 6 9 4 1 6 9 5 年之间的通信 表明这是一次非常成功而又非正式的合作，这次合作不仅得到了与泰勒定理等价 的结论，而且还为微积分引进了几个精巧而重要的概念和方法。 1 6 9 4 年1 1 月，约翰伯努利在教师学报上发表了一个求面积的新定理他 认为此定理是莱布尼茨待定系数法的一个改进。然后他通过引进自己的“s e r i e s u n i v e r s a l i s s i m a ”：【8 】 r， z 2 幽z 3 d 2 订z 4厅 j 肋钏卜了瓦+ 万万一面万+ o 2 出2 3 出22 3 4 如3 把此应用到正弦函数的微分方程 咖= ( 口2 一y 2 ) 啦州口， 他令 因此 或者 y = l d y = 约翰伯努利发现 胛：坠丛，沈：出 口 缁 f z ( y 2 ) 啦f 一。 。2 口22 3 口32 3 4 口4 r 2 3 口2 r 口一一 2 口 + i 再订矛一 丁一 + i 再萨。 饿似2倒3 垆鬲+ 瓣+ 石可+ + 。 口+ 工 2 ( 口+ x ) 23 ( d + 石r 并且注意到这个级数虽然与莱布尼茨的不同，但它们的值相同。很容易证明，伯努 利级数等价于( 但不等于) 泰勒级数，通过分部累次积分法可以得到相同的积分： 南 p 口北师范人学坝i j 研究生论文 r 厂c ，讲= ，。，：! ：；菇二f ；暑爱。，西 c z ， 第一个式子中若用n 代替厂，则可以得到伯努利级数，第二个式子是泰勒级数。 莱布尼茨对递减的级数采用差分法得到伯努利级数 肛= 三崩差+ 南x 3 等 y ：! 石掣一上涮磐+ 上宴一l x 霉+ ，( 1 3 ) 垆了石云一西涮意+ 雨一希一西雨r 番- 。3 用现代函数符号表示为 m ) 一厂( o ) = ，( x ) x 一厂。( 工) 争。，”( x ) 争 或 巾) 一坤) = 厂( o ) z + ，”( o ) 丢+ ，。( o ) 争。 泰勒叙述命题7 的推论2 时，给出了包含正负项交错的另一个级数，用现代符号表 m v ) = 仆) 一厂( x ) v + 厂( x ) 丢一广( x ) 蔷 如果设v = x ，那么得到的仅仅是莱布尼茨的级数( 1 3 ) 。有趣的是，伯努利和莱布 尼茨都没有注意泰勒的另个级数，这个级数类似于伯努利级数，与莱布尼茨的级 数( 1 3 ) 相同。 如果莱布尼茨在给伯努利信中的说明是正确的，那么莱布尼茨显然预料过伯努利 和泰勒的发现甚至也考虑过泰勒证明的方法。虽然他们的证明稍有不同莱布 尼茨用高阶差分表示递减的一阶差分的级数，而泰勒用一阶和高阶差分表示递增的 纵坐标的级数但基本思想是相同：从有限差分定理开始，通过使差分变成无穷 小，在微分运算中将它变换成其相应部分。 从莱布尼茨与伯努利的通信中可以看出，莱布尼茨没有认识到自己所取得成就。 河北师范大学顶i j 研究生论文 分，那么可能会有完全不同的历史篇章。我们可以把下面的结论归功于莱布尼茨： 伯努利级数、泰勒的命题1 2 和泰勒后来用以证明命题7 的推论2 的有限差方法的本 质。 在明显类似于莱布尼茨给出伯努利级数早期的证明下，棣莫弗宣布了一个结论， 这个结论在1 7 0 8 年6 月6 日给约翰伯努利的信中提出，他在其中讨论了关于数列 的性质。在研究数列差分的过程中，他得到了类似于伯努利的一个结论。而伯努利 在读棣莫弗的信时，想到莱布尼茨在1 6 9 4 年寄出过一封关于伯努利级数的证明的信： 首先考虑数列及其差分，用相等直观的极限过程，得到一个包含变量的逐次导数的 类似无穷级数。 泰勒命题7 的推论2 的证明与棣莫弗的证明实际上是相同的，而且泰勒的产生级 1 数与棣莫弗的级数d + x + 妄x 2 d ”+ x 3 + 不仅等价还相等。在推导过程中只有两 2 6 个微小的差别：与泰勒相比，棣莫弗实际上重述牛顿的引理5 ，把其作为证明的中间 步骤：不像泰勒和莱布尼茨在离散与连续之问的符号上进行区别，棣莫弗从整体上 使用统一符号，d ”，d ”，。棣莫弗证明的另一个显著特点是他的总结方法，实际上 他认为泰勒级数的积分形式是伯努利级数，也就是在他的级数与伯努利级数之间的 形式上存在可忽略的差别。由此暗示了，他没有把自己的级数看作是一个新的结论。 1 7 世纪末1 8 世纪初，许多数学家同时对泰勒级数的研究可以归于三个因素：首 先是泰勒级数本身的特殊性质；其次当时数学知识与应用的一般状况，主要通过微 积分概念和方法的迅速发展以及它们在数学与物理中许多问题的应用来描述的；最 后是数学团体中成员之间的广泛交流，从英格兰到瑞士，乃至遍及整个欧洲，他们 以通信、期刊、文章、挑战问题和激烈的争辩等形式进行相互联系。 1 3 级数的求和 在1 7 1 8 世纪，数学家打破对无穷的禁戒，逐渐应用无穷级数作为表示数量的工 具，同时研究各种无穷级数的求和问题。1 7 世纪中叶，圣文森特的格雷戈里( g r e g o r y o f s t v i n c e n t ，1 5 8 4 1 6 6 7 ) 在他的几何著作( 1 6 4 7 ) 中，证明了阿基里斯( a c h i l l e s ) 追龟的悖论可以用无穷几何级数的求和来解决。格雷戈里第一次明白了无穷级数表 示一个数，即级数的和，并称这个数为级数的极限。他说：“一个数列的终点就是它 河北师范_ 夫学顺上研究生论文 即使延续到无限项也不能达到的这个级数的尽头，但是这个数列却能够比任何给定 的区间更接近它。” 1 6 5 0 年，门格里( m e n 9 0 1 i ，1 6 2 5 1 6 8 6 ) 给出【4 1 1】1 瓦+ 两+ 。+ 币可+ 一。 级数】”( ”+ 1 ) 容易求和，因为恰有 l11 疗( 珂+ 1 ) 行 刀+ l 因此， 击+ 扣t + 赤= ( - 一州矧+ ( 吉一击) 斗熹。 设胛寸。，就可以得到这个无穷级数的和为1 。 第一个真正粗略求和的问题是1 + ；+ 当+ 嘉+ ，门格里对这个级数的研究没 有取得成功。莱布尼茨考察过调和级数1 + 丢+ ；+ 丢+ + ，曾试图将喜吉和善嘉表 示成一个有限值，但是后来未能做到这一点。1 6 9 6 年他认识到将善去表示成有限值 这一想法是错误的。 雅各布伯努利( j a c o bb e m o u l l i ，1 6 5 4 1 7 0 5 ) 在1 6 8 9 1 7 0 4 年间撰写了5 篇关 于无穷级数的论文，共6 0 个命题，使他成为当时这一领域的权威。【9 】在第一篇论文 中，就级数理论本身而言，雅各布伯努利做出了一个很有启发性的工作，即证明 调和级数1 + 圭+ 吉+ 丢+ 圭+ 的和是无穷。他首先指出了 熹+ 击争( 峙斗吉一十+ - 一十、 l 力一九l - = l 一一肝+ 1玎+ 2胛 、 7 2门 故有 去+ 嘉+ 击争疗”+ 1门+ 2雅2 这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1 ，于是我们总可以得到调和 级数的有限多项的和，使官大于任何给定的量，从而整个级数的和必是无穷。在文 洲北师范人学硕上研究生论文 章末尾，他还证明了无穷级数七4 的和是有限数，他虽然承认自己还不能求出这个 和的精确值，但却知道关于优级数2 t 一( + 1 ) “可以求出它的前”项和。 = i 雅各布伯努利去世之后，级数七。的和最后由欧拉于1 7 3 7 年成功地得到。 = 1 约翰伯努利昕到这个消息后极为兴奋，他说“要是我的哥哥活着，这使他最热望 的心愿得以满足”。事实上，约翰伯努利听说这个级数的和是冬之后，也给出一 o 个证明，同欧拉的方法一样。 欧拉可能是级数运算以及l + 毒+ 当+ 吉+ 求和的最伟大鉴赏家，这个级数的 求和是他最具冒险性的论证( 之后他给出更严格的证明) 。考虑方程 墅篁：l 一三+ 一+ t 一o ， ( 1 4 ) 7 一= l 一一+ 一一+ t - = u ， l 1 qj x315171 这个方程的根是葺= 万2 ，屯= ( 2 万) 2 ，为= ( 3 万) 2 ，但没有o ，因为在x _ o 时 辈一l 。如果一个代数方程 、，x l + 口i x + 呸x 2 + - + 巩x ”= o 的根为x = 而，而，吒，那么可由笛卡儿( r e n 6d e s a r 9 1 】e s ) 的因子定理得出 1 + 口i x + 口2 x 2 + + 石“ 此外，也可以得出 ( 勘一寸( ，一书 ll + + 而 + = x ( 1 5 ) 的负系数等于一巩，因为( 1 5 ) 中右边展式的每一x 项都是由一三与其它因子中的1 相乘得到的。假定对t 一无穷多项式”方程( 1 4 ) 也成立，我们得到上+ 土+ + 土：x 黾屯xn 河北师范人学顾士研究生论且= 的负系数等于一( 一击) 。也就是 因此 l1l1 + 两+ 两扣一i - + + 扣一等。 在级数求和的问题中， 1 1 + 1 1 + ( 1 6 ) 引起了极大的争议。如果把级数写成( 1 1 ) + ( 1 一1 ) + ( i _ 1 ) + ，结果为o 。如果把级 数写成 1 一( 1 一1 ) 一( 1 一1 ) 一( 1 一1 ) 一 ( 1 7 ) 结果为l 。但是，如果把级数( 1 6 ) 的和表为s ，则s ：1 一s 。从而s ：三。5 1 格朗 迪( g u i d og r a n d i ，1 6 7 1 1 7 4 2 ) 是比萨大学的数学教授，在他的圆和双曲线的求积 一书中，用表达式 一= l x + x 2 一x 3 + 1 + z 令x = 1 ，得到三= l 一1 + 1 1 + 。他主张级数( 1 6 ) 的和为丢，还表示由于级数( 1 6 ) 在( 1 7 ) 的形式下为o ，他业已证明世界能够从空无一物创造出来。1 7 1 3 年以后， 莱布尼茨在和沃尔夫( c h r i s t i a j lw 剖e 1 6 7 8 1 7 5 4 ) 的相互通信中，也研究过级数( 1 6 ) ， 并同意格朗迪的结果，但他有另一种论证的方法。莱布尼茨认为，如果取级数的第 一项，前两项的和、前三项的和、前四项的和等等，那么就得到1 ，o ，1 ，0 ，。在这里 取1 和o 的几率是相等的，因此必须取算术平均数作为和，因为这个算术平均数是 最有可能取到的值。雅各布伯努利、约翰伯努利、丹尼尔伯努利( d a l l i e l b e m o u l l i ，1 7 0 0 一1 7 8 2 ) 以及拉格朗目都接受这样的解释。菜布尼茨受格朗迪论证的影 响，推广这种可能率的论证方法，得到薹( 一1 ) ”2 “= 三和薹( 一1 ) ”3 ”= 言。叫】 欧拉对于级数( 】6 ) 的和主张，由于 河北师 = c ( 人学侦l 研究生论义 土= l l + 1 1 + 一， 2 因此和是三。又当x = - 2 时，( 1 8 ) 表明 三：l 一2 + 2 2 2 3 + ， 3 因此右边的级数和是；。欧拉还通过推广麦克劳林级数中形如g ( x ) ，( 上) 的多项式 比，然后设x 呻1 来计算许多发散级数的和。例如， 南_ ( 1 叫。2 叫抖，x 2 地4 + 当x = l 时，得至0 土= 1 2 + 3 4 十- 。再由 4 南= ( 1 叫) ( 1 ) “。h s z 2 也 取x = l ，得至0 0 = 1 3 + 5 7 + 。当x = 一l 时，由( 1 9 ) 得至9o 。= 1 十2 + 3 + 4 + 5 + 。 关于o = l 一3 + 5 7 + 尼古拉伯努利( n i c h o l a sb e r n o u i j i ，1 6 8 7 - 1 7 5 9 ) 在1 7 3 4 年给 欧拉的一封信上说，级数1 3 + 5 7 + 的和是一m ( 一1 ) 。他说，欧拉等于。的结果 是一个无法解决的矛盾。尼古拉还注意到，在( 1 8 ) 中当x = 2 时，有 一l = l + 2 十4 + 8 + 。而对于 丁二三【_ j f = - + z + 2 x 2 + 。x 3 + 取x = 1 ，得到一l = l + 1 + 2 + 3 + 4 + 。这两个不同的级数都得出一l 这一结果，而且 它们本身也都是一个无法解决的矛盾。否则，就可以认为这两个级数相等。 在研究调和级数时，欧拉指出能用对数函数来求原来调和级数的有限多项的和。 他从 b s ( + 妻) = 圭一专+ 专一嘉+ 出发，经过移项变形得到 扎g 孚) + 嘉一专+ 嘉， +x+x+x+ l | 上h 有时 一 = x 当 河北师范大学硕上研究生论文 然后代入工= l ，2 ，3 ，九，就得到一系列式子，再经过计算，最后得到 1 + 昙+ ；+ + 丢= l 。g ( 打+ 1 ) + c ， 2 3 胛 v 、 7 这个c 就是现在通称的欧拉常数y ，【1 7 】 y = 嬲扣g 疗) o 在数学及其应用中，最强有力、实用的定理是欧拉一麦克劳林求和公式，它的现 代非对称形式表示为： 喜_ 厂( f ) r 厂o + 圭 厂( 一) 一( 。) + 鲁 ，7 ( 一) 一厂( 。) + 鲁 厂”( ”) 一，”( 。) 赢旷叫( 九) 一，( 2 “) ( 0 ) + 皿 其中r = 胪州( 枇出= 丢+ 搞+ 蔫鲁，e 就 是我们所称的第f 项伯努利数。 正如它的名字所暗示的，这个公式实际上是由欧拉和麦克劳林独立并同时发现 的。但他们的方法不同，对余项或所用的一般伯努利数的详细说明不同，而且都给 出逐次系数各自的数值，这些数值是通过迭代过程得到系数 专刖+ 击，斛一志j 剐+ 志一 当然，非常重要的伯努利数是由雅各布伯努利在猜度术中给出的该书在 他死后的1 7 1 3 年才发表。1 8 世纪3 0 年代中期，欧拉和麦克劳林是否已经认识到这 些数的作用( 即在级数中作为系数) 我们并不确定，但欧拉却广泛了解伯努利家族 发表的所有数学论文，麦克劳林也熟悉猜度术的内容。事实上，两人都采用了 相同的迭代过程来计算求和公式的系数，并且清晰阐述了计算系数的过程。当然这 个方法可以和许多现代的迭代定义做比较，即e = ( 口+ 1 ) ”占表示b 在展式中的第 一项，最一是第二项等等。 欧拉和麦克劳林都是用泰勒级数进行推导的。欧拉采用1 8 世纪莱布尼茨的微积 分形式，而麦克劳林仍然沿用牛顿的微积分形式。麦克劳林在他的流数论中给 河北师范大学硕士研究生论文 出求和公式，它似乎是几个“源于流数方法中的定理”之一，并且在“对数的计算 和圆的求积法”中得到应用，和许多问题的解法中提到的所谓牛顿“微分法”混在 一起。【1 2 】然而，公式本身早在流数论另一个定理的证明中以将近4 0 0 页的形式 给出了描述： “当( 曲线下的) 面积有极限，我们可以得出由纵坐标表示的级数和有极限；同 时当前者的极限为已知时，可以近似估计后者的值。” 在证明中，麦克劳林提到，如果爿表示曲线下的面积，口表示第一个纵坐标与最 后一个纵坐标之差，6 表示它们的一阶流数差，d 表示它们的三阶流数差，等等。“其 后的流数间隔地采取，并且总是正的。”“通过计算 爿千三口+ 土6 一上d + l ， + ” 几乎可以得到“完全向后延伸的这样级数值”的逼近。麦克劳林继续说，“如果朝6 的 方向取爿尺等于彳曰的一半，在月处的纵坐标与曲线交于点y ，月尸y 的面积极限( 或 当矗p 假定为无穷乘积时它的值) 由4 来表示，那么采用与上面的纵坐标和的相同记 号，通过计算4 一去6 + 丢杀d 一磊芫丽厂+ 可以得到”。这个说法等价于现代对称 的欧拉一麦克劳林求和公式： 喜巾) 弘净+ 善q 卢“ 其中( 胛) 一致收敛。与欧拉一样，麦克劳林从未考虑过余项r ，但是他得到并陈 述了对称与非对称的求和公式，这两个式子是等价的。 欧拉的方法与麦克劳林的方法有很大的差异，因为它不是建立在几何基础之上。 洲北师范人学坝 ：研究生论文 这个公式出现在1 8 世纪3 0 年代中期的两篇论文2 中，在第一篇论文中，欧拉试图进 行纯分析概括，却导致了在符号上的混乱。【噶1 在第一篇论文中，他考虑一个代数级 数，它的第n 项为，从第一项到，级数的和为s 。于是 d sd d sd 3sd 4s 2 i 否i 一了丽+ 了i r j j 万一了i r j 丽+ 。 经过变形后得到 s = 舾删+ p 笔+ y 豢+ 6 鲁一 而 d ：三，口：兰一三，y ：旦一兰+ 上， 2 。 2 6 262 4 占：兰一旦+ 旦一上，占：鱼一上+ 旦+ 上 从而， s ：胁一上+ 当一_ 坠+ 墼， ( )s = i f 砌一一+ - 一i + 7 一- ，( j j 21 2 幽7 2 0 砌53 0 2 4 0 咖 由( +