（基础数学专业论文）fourierstieltjes代数及其性质.pdf

摘要 设g 是一个局部紧群，b ( g ) 是群g 的f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数。本文首先对b ( g ) 的基 础知识进行了归纳总结，阐述了口( g ) 是一个交换的b a n a c h 代数，并对一些常见性质 进行了详细的证明。然后论述了g 与其闭正规子群日，商群g 日对应的 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( g ) 、艿( h ) 、b ( g h ) 之间的联系，短正合列h g 专g h 对 应的f o u r i e r s t i e l t j e s 代数b ( g h ) 山b ( g ) 与b ( h ) 不一定是短正合列。最后简单 陈述了f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数与f o u r i e r 代数的关系。 关键词：局部紧群；f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数；b a n a c h 代数；闭正规子群 a bs t r a c t l e tgb eal o c a l l yc o m p a c tg r o u p ，a n db ( g ) b et h ef o u r i e r - s t i e l t je sa l g e b r ao fg t h i s a r t i c l em a i n l ys u m m a r yt h eb a s i ck n o w l e d g eo f b ( g ) f i r s t l y , w ep r o v et h a tb ( g ) i sa c o m m u n i c a t i v eb a n a c ha l g e b r a s e c o n d l y , l e thb eac l o s e dn o r m a ls u b g r o u po f g ，w e d i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nb ( h ) ，b ( g h ) a n db ( g ) ，b u tw ec a n to b t a i nt h er e s u l t t h a t b ( g 日) 一b ( g ) 一曰( 日) i sa l s oa s h o r te x a c ts e q u e n c e a tl a s t ，w ed i s c u s st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nb ( g ) a n d 彳( g ) k e yw o r d s ：l o c a l l yc o m p a c tg r o u p ；f o u r i e r - s t i e l t j e sa l g e b r a ；b a n a c ha l g e b r a ； c l o s e dn o r m a ls u b g r o u p 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：缁盛童 日期：邋匹 指导教师签名： 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：盛盘缡丝生璺 通讯地址：徽磁盘鬈函燧趁z 堡 电话：丝塑趔 邮编：坦旦婴 参一 纽帖等 东北师范大学硕士学位论文 引言 泛函分析是一门较新的数学分支，现在正在蓬勃的发展。在它的发展中受到了数 学物理方程和量子力学的推动，后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果。由 于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因此 逐步形成了种种综合运用代数、几何、拓扑手段处理分析问题的新方法。正因为这种纯 粹形式的代数、拓扑结构是根植与于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由 此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。而f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数作为- f q 新兴的发展中的分析中的一种，它是现代数学的重要基础，它和拓扑、物 理等学科有着密切的联系，在理论和应用上有重要的价值，是研究f o u r i e r 代数的基础， 在泛函分析这一方向上有着举足轻重的地位。 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数在现代数学前沿领域中具有重要的地位，它虽然没有悠久的 历史，但是它现在正在蓬勃发展，和很多领域有着紧密的关系。在一些领域如拓扑，理 论物理中有许多的应用。f o u r i e r s t i e l t j e s 代数包含了很多近现代数学史上的漂亮的结果。 对于f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数的学习和研究有利于我们了解现代数学不同学科，不同领域之 间的联系，同时也可能欣赏到一些数学中优美的结论，感受到数学的美。 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数的研究理论比较丰富，有很多漂亮的结果。群g 可以为局部 紧群、紧群、交换群、自由群、连通李群等不同情况，这些都是人们关注和研究的问题。 以及当g 被赋予离散拓扑时所具有的性质，也是人们热衷研究的问题。 传统的f o u r i e r 分析，在尺1 上的f o u r i e r 变换定义为f ( x ) = f e 厕f ( t ) d t ，其中f 厶， 那么在一般的局部紧群上，1 9 6 4 年，e e y m a r d 介绍了非交换的局部紧群的f o u r i e r 代数 和f o u r i e r s t i e l t j e s 代数。设g 为局部紧群，b ( g ) 是作用在g 上的f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数， 它与具有代数和几何结构的g 的酉表示理论有着密切的关系，它为作用在g 上的连续 正定函数的线性组合构成的空间。曰( g ) 与g 的群c 木代数c + ( g ) 的对偶空间是等价的。 当在b ( g ) 上赋予c ( g ) 的对偶范数时，即对于“b ( g ) ，i i n | | = s u p l f ( x ) u ( x ) d x l 。 ”，e 0 ( g ) 月，ka 。 。 这时，b ( g ) 是一个逐点可乘、复共轭、对合、交换的b a n a c h 代数。f o u r i e r 代数a ( g ) 是 召( g ) 的丰子代数，a ( g ) 是由b ( g ) 中具有紧支集的函数生成的代数。特别的， a ( g ) cc 。( g ) ，c o ( g ) 为在无穷远处趋于零的连续复值函数的全体。 在这篇文章中，首先是预备知识，然后在第二章中介绍了f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( g ) l 东北师范大学硕士学位论文 的定义，并对f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数的几个常用的性质给出了完整的证明，完善了 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数性质的证明。在第三章我们主要叙述了局部紧群g 与其闭正规子群 日相关的f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( h ) 、b ( g h ) 与b ( g ) 之间的联系，短正合列 日一g g h 对应的f o u r i e r - s t i e l o e s 代数列b ( g 日) 山b ( g ) b ( 日) 不一定是 短正合列。在第四章主要介绍了f o u r i e r 代数a ( g ) 与f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( g ) 之间的 联系。 2 东北师范大学硕士学位论文 1预备知识 本文中的g 不作特殊说明时，都表示局部紧群。 定义1 ： g 是局部紧群，h 是h i l b e r t 空f u - - j ，u a 为h 上的酉群，7 1 ：g 哼是同 态，万依强拓扑连续，即z ( s t ) = z ( s ) z ( t ) ，v s ，t g v 孝h ，s x ( s ) 4 是连续映射。 称丌为g 的连续酉表示。 g 的连续酉表示的全体记为。 设万为g 上的任意酉表示，fel 1 ( g ) ，定义：万( 厂) = 陟( 石沙( x ) 出，显然万( 厂) 为 以上的有界算子，所以万为刀( g ) 上的一个表示。 定义2 ：设g 为局部紧群，v s g ，定义2 ( s ) f ( x ) = f ( s 。1 工) ，其中f i f ( g ) ，x g ， 则见是g 的连续酉表示，称为g 的左正规表示。 设五为g 的左正规表示，定义：2 ( f ) g = f f ( y ) 2 ( y ) g d y = g ，其中f ，g z ( g ) ， 则彳( ) 为r ( g ) 的左正规表示。 m ( g ) 为作用在g 上的有界复测度的全体，跏m ( g ) ，定义肛0 = p l i ，则m ( g ) 为有单位元的b a n a c h 代数，其中单位元为在e 点的d i r a e 测度皖。在m ( g ) 上定义对合 运算：_ + 满足_ d 2 + = d t ( x 一) ，贝, i jm ( g ) 为对合的b a n a c h 代数。 c ( g ) 为作用g 上的连续复值函数全体构成的代数。e ( g ) 由具有紧支集的连续复 值函数组成，它是c ( g ) 的予代数。c 0 ( g ) 为作用在无穷远处趋于零的连续函数的集合。 p ( g ) 为g 上的本性有界函数全体。( g ) = 厂z ( g ) i 万( 厂) = 少( x ) 万( x ) 出= o ，万 定义3 ：设g 为局部紧群，厂l t ( g ) ，定义新的范数i i 州2 翼忙( ) 则为 _ ( g ) 上的范数，满足l l 厂簟州。- - f l ：，_ ( g ) 在| | | | 。下的完备化c 木代数，称为g 的群c 代数。 定义4 ：设伊是g 上的复值函数。若对任何的m ，y 2 ，乃，蜘g 与 东北师范大学硕士学位论文 ，旯：，乃，氐c ( c 为复数) ，有 丸万。伊( 以) o ， n 州= l 则称够是正定的。 p ( g ) 是由作用g 上的连续正定函数构成的集合。 b o c h n e r 定理：若缈是g 上的连续复值函数，则缈是正定的充要条件是：存在一 个m ( g ) ，j u 0 ，使得对一切y g ，有 缈( j ，) = f - z ( y ) d l z ( x ) 定义5 ：若存在作用在r ( g ) 上的非零正线性泛函m ，满足例= 1 ，聊( ，厂) = 所( 厂) ， 其中f r ( g ) ，工g ，这里，f ( y ) = f ( x 。1 j ，) ，则称g 是顺从的。 k a p l a n s k y 稠密性定理：设m ，都是b ( g ) 的木子代数，n c m ，且在m 中 是弱算予稠密的，贝u 的单位球在m 的单位球中弱算子稠密。 定义6 ：若万为g 的表示，f 以，满足万( g ) 孝的闭包为以，则称孝为万的循环 向量。 若“p ( g ) ，则存在一个与u 相关联的酉表示矾和一个循环向量善h 凡，满足： z f ( x ) = ( 瓦( x ) f i f ) ， v x g 。因此， 存在一个双射“哼吮， 使得 吮( g ) = 且( x ) 甜( x 胁= ( 死( g ) 孝i 孝) ，( g c ( g ) ) 。 “p s ( g ) 是指：若sc ，“p ( g ) ，存在一个正线性泛函，满足对 于所有的f g ( g ) ，f z ( g ) ( s ) ，有 ( 厂- ) = 少( x ( x ) a x 定义7 ：映射z ：g c 具有性质：( 1 ) i z ( x ) i = 1 ，对一切x g 成立， ( 2 ) x ( x y ) = z ( x ) z ( y ) ，就称z 为g 的个特征。用i 表示g 上的一切连续特征所成 的集合。 4 东北师范大学硕士学位论文 定义8 ：令z r ，x , 1 v , u m ( g ) ，通过五( z ) = i z ( y ) d , u ( y ) ，使它与r 上一个函 数脒系起来，并定义它为的f o u r i e r - s t i e l t j e s 变换。 东北师范大学硕士学位论文 2 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数定义及其简单性质 2 1f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数定义的产生 定义2 1 1 ：b s ( g ) 为由属于b ( g ) 的函数的线性组合构成的函数空间。当s 为 时，将艮( g ) 简写成b ( g ) ，即b ( g ) 是由作用在g 上的连续正定函数的线性组合全体。 当s 为研) 时，记为易( g ) 。 当g 为局部紧交换群时，g 的不可约表示是一维的，这时可以令日。= c ，则 万( x ) ( z ) = f ( x ) ( z ) ，( z c ) ，其中f 是g 寸t ( t 是单位圆周) 的连续同态，称为g 的 特征元，所有特征元的全体记为g ，根据b o c h n e r 定理可知，丑( g ) 与m ( g ) 中测度的 f o u r i e r - s t i e l t j e s 变换全体一一对应，所以我们称上述b ( g ) 为f o u r i e r - s t i e l o e s 代数。 2 2f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数的性质 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( g ) ，比一般的函数代数有着更为优越的性质，这些性质也是 我们关心和研究的对象。为了更充分的研究b ( g ) 的性质，我们先介绍一个引理，它是 我们研究性质1 和性质3 的基础。 引理2 2 1 ：u ：g 岭c ，sc 罗。则下列命题等价： ( 1 ) “是由属于b ( g ) 的函数的线性组合得到的函数。 ( 2 ) 存在刀，且刀从属于s ，孝，7 7 以，满足“( x ) = ( 万( x ) f i 刁) 。 ( 3 ) , t 是g 上的有界连续泛函，且 倒器b 。x m 出i 0 且扑i = 。当且仅当甜2 0 。 对u ，v b ( g ) ，有 i l u + v = 倒器k 鲷l p ( 喇x ) + v ( x ) ) 出l s 船，a i 少( x ) “ ) d x + s u 彬p if x ) v ( 舳。i f e l ( g ) 1 1 1 f 。l i ( g )， a 。彬8 z 翊 - i n + l v l i 即0 t t + v 0 - k ，v x g ，有 i u o ( x ) 一“( x ) l 占 8 东北师范大学硕士学位论文 。册。ij 厂( x ) “( 圳x i _ s u pdis s x ) ) a x i i ，e l l ( g ) ，1 1 z 翻。f i ! l j ( g ) i s l zg s u p i 厂( x ) ( “( x ) 一u n ( x ) ) 厦r l f e l i ( g ) , i s i z 组。 刖潞i i gj 1 似愀x ) 一( x 牺 于是有 s u p i 陟( x ) 甜( x ) d x l o o ，e 一( g x 扩ks 1 o 。 根据引理2 2 1 ，可得“b ( g ) 。 所以b ( g ) 中的基本列是收敛列。 由此可以证明b ( g ) 是完备的。 因此b ( g ) 是啊空间，其上的范数为 肛1 1 = 。潞l ：盈f 少( x 川出i ，“b ( g ) 。 由性质二和b ( g ) 的意义可知： 对v “b ( g ) ，则存在死及孝，7 7 ，满足甜( x ) = ( 死( x ) 善1 7 7 ) v v b ( g ) ，则存在矾及f ，r l ，满足v ( x ) = ( 万，( x ) 纠刁) ， 且i i 材0 = 0 善j 7 7 0 ，l i v 0 = 0 善7 7 0 于是“( x ) 1 ，( x ) = ( 以( x ) fj 7 ) ( 万，( x ) 乡i 誓f ) = ( ( 万。q 万，) ( x ) 孝o f i r l o r l ) 所以可得u v b ( g ) 且驯死。瓦胎。圳i r p r 0 0 孝p 孝叫7 7 p7 7 l i = i 孝孝7 7 7 7 0 = 耳nl l u v l j = l l u l i h l ， 所以b ( g ) 是一个b a n a c h 代数。 9 东北师范大学硕士学位论文 因为常值函数1 是连续的且正定的函数， 所以1 b ( g ) ， 则1 是曰( g ) 的单位元， 这是因为v u b ( g ) ，有 l u = 1 ( 死( x ) fj 刁) = ( 死( x ) 孝1 7 7 ) = 甜 u l = ( 死( x ) 孝1 7 7 ) 1 = ( 死( x ) 善l 刁) = “ 即l u = u l = u 。 所以b ( g ) 是一个有幺元的b a n a c h 代数。 下证交换性。 v u 曰( g ) ，存在死及善，即，满足“ ) = ( 死( x ) 孝1 7 7 ) v v b ( g ) ，存在死及孝，r l 以。，满足v ( x ) = ( 瓦( x ) 孝1 , 7 ) 由于b ( g ) 中的乘法定义为逐点乘法， 则( u v ) ( x ) = u ( x ) v ( x ) = ( 死( x ) 孝1 7 7 ) ( 瓦( x ) 孝1 , 1 ) = ( ( 7 乙。巩) ( x ) f p f i 刁p 印) = ( 瓦( x ) f i 印i ) ( 死( x ) f 1 7 ) = 1 ，( x ) “( x ) = ( ) ( x ) v x g ， 所以有u v = v u 因此b ( g ) 是一个有幺元的交换的b a n a c h 代数。 下证b ( g ) 对合的性质。 定义牛：“寸t l ，满足u 奉( x ) = u ( x ) ，v x g ， 则v u ，v 曰( g ) ，v 兄c ，有 ( 甜+ v ) 宰( x ) ：丽( x ) ：云( x ) + 虿( x ) ：u 奉( x ) + 1 ，木( x ) ， l o 东北师范大学硕士学位论文 即( u + 1 ，) 宰= “宰+ v 宰。 ( 元甜) 乖( x ) = ( 五“) ( x ) = z u ( x ) = 2 u 幸( x ) ， 即( 砌) 木= 2 u 幸。 ( u v ) 幸= u v ( x ) = u ( x ) v ( x ) = v ( x ) u ( x ) = v 幸( x ) u 牛( x ) ， 且i ( “v ) 毒= v * u 事 一 = ( u + ) 宰( x ) = u 木( x ) = “( x ) = “( 石) ， 即 木) 牛= u 所以b ( g ) 具有对合的性质。它的对合运算就是它的共轭运算。 综上所述，可以证明b ( g ) 是交换的有幺元的对合b a n a c h 代数。 在这个定理的完备性的证明，还可以有不同的方法，可以利用广群的性质来证明， 在参考资料 3 0 】中给出了简单的证明，我们就不再介绍。 下面给出对f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( g ) 的自伴性质的简单证明。这个性质是 f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数的基本性质，很多人认为这是显然的性质，然而对于初次接触b ( g ) 的人来说，详细的证明还是有必要的，它有助于我们把以前的知识连贯起来。 性质2 2 4 ：u b ( g ) ，则有由u 诱导的作用在c 掌( g ) 上的函数u 定义为： 【厂( 厂i ) = 少( x ) “o ) a x ，厂c 宰( g ) ，f 刀( g ) ，是自伴的当且仅当“= 磊。 这里u 是自伴的指u ( f + ) = u ( f ) 。 证明：若u 是自伴的， 则有u ( f ) = u ( f 5 。 因为u ( f 宰) = i u ( x 矿峰( x ) a x = f u ( x ) 而( x ) 一1 d x = f u ( x ) 而( x - h a ( x ) a x 。1 = p ( x 一) 而珏 而丽= p ( x ) 厂( x ) 出 1 1 东北师范大学硕士学位论文 = j “( x ) f ( x ) d x 因为u ( f 木) = u ( f 5 所以u ( x ) = u ( x _ ) u ( x 。1 ) = u ( x ) 五( x ) = “( x ) 所以当u 是自伴时，有“= 磊。 反之，当甜= 磊时，通过相同的运算可得u ( 厂) = 丽，从而得到u 是自伴的。 结论得证。 1 2 东北师范大学硕士学位论文 3 正合列h j g _ g h 对应的f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数 设g 为局部紧群，日为g 的闭的正规子群。i ：h _ g 为嵌入映射，因此它也是 一个单同态。仃：g _ g h 是自然连续同态。 显然h g g h 是一个正合列。我们关心的是它们对应的f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( h ) ，b ( g ) ，b ( g h ) 之间有着怎样的关系? b ( g h ) 专b ( g ) jb ( h ) 是否也 是正合列? 3 1b ( g h ) 与b ( g ) 的关系 令为g 的连续酉表示的全体，。为g 的连续酉表示的全体。 x 寸y - w r 。，则有万。c rag 的连续酉表示，即万。仃： v s c 。，有s 。盯= 万。仃防s ) ，则有s 。盯为的子集。 由于 v u b ( g h ) ，存在瓦。及孝，7 h 毛，使得 “( x ) = ( 九( x ) 孝1 7 7 ) 且= 所以 v y g ，有“。盯( j ，) = ( 死。c r ( y ) 孝 l r ) 又因为 死。仃 所以 u 。盯b ( g ) 从而存在映射j ：b ( g 日) 专b ( g ) ，使得 ，似) = uo 仃，v u b ( g 日) 命题3 1 1 ：- ：b ( g ih ) 一曰( g ) 是等距映射。 证明：令a 为由c o ( x ) 生成的c 幸( g ) 木宰的木子代数，其中工盯( g ) ，c o 为由 1 3 东北师范大学硕士学位论文 p ( g ) 中元素决定的所有表示的直和，则a 在c 木( g ) 木水中稠密。 因为z 专c o ( x ) ，g 一曰( n o ) 是强连续的，a 在c 宰( g ) 木木中稠密， 所以由k a p l a n s k y 定理得a 的单位球在c 木( g ) 木掌的单位球中稠密。 因为对v “b ( g 日) = 讲( g 日) ，有“。仃& 伊盯 ( g ) 所以 f 。盯l l = “。g 乙s u 缈p 。n 归z c u o o - ( y ) i = 一 。1 c n u ( x s u p。) i 2 伊( 酬州h 归l 乙 月) 1 2 s 。s 4 u p p 峥i 1 = l l u l i 从而得出是等距映射。 命题3 1 2 ：b ( g h ) 一曰( g ) 的象是b ( g ) 的子代数，象集是由作用在g 的等价 类上为常值的函数构成的代数。特别的，象集中的元素作用在h 上为零。 证明：若，恐g ，满足 五】= 【恐】 则有u 。o - ( x , ) = “( t ) ，u 。o r ( x 2 ) = “( 恐】) 因为 五】_ x 2 ，所以“( 五 ) = “( 【t ) 所以u 。o - ( x , ) = u 。盯( z 2 ) ，即j ( u ) ( x t ) = j ( u ) ( x z ) 从而得出象集中的元素作用在g h 的等价类上为常值。 特别的，v x h ，存在五，x 2 g ，使得x = 五一x 2 ， 五 = 【屯】， 则x u b ( g h ) ，有 ( “) ( x ) = ( “) ( - - x 2 ) = ( “) ( 葺) 一( “) ( x z ) = 0 即象集中的元素作用在h 上为零 结论得证。 命题3 1 3 ：v sc ，有( b s ( g 日”= b s 。口( g ) ， 特别的，当s 为协) 时，有( 毋( g h ) ) = b 咿( g ) 1 4 东北师范大学硕士学位论文 证明：因为对v u 岛( g 日) ，有u 。盯b s 。，( g ) u 。盯为作用在g h 的等价类上为常值的函数。 所以uo 盯= j ( u ) j ( c ( g 日) ) 即b 。( g ) cj ( c ( g 日) ) 所以( b ( g h ) ) = 岛。盯( g ) n j ( c ( g h ) ) = b s 。( g ) 即( b ( g 日) ) = b 。，( g ) ， 命题得证。 3 2 b ( g ) 与b ( ) 的关系 v u 召( g ) ，因为hcg ，所以uh b ( 日) 从而存在限制映射h ：b ( g ) - - he ( h ) ，使得 ( “) = uo i = u l h ，v u b ( g ) 对于b ( g ) 中的元素，通过限制映射，可以映射到b ( h ) 中的元素，是否有曰( h ) 中 的元素可以扩张到b ( g ) 中的元素? 若g 为交换的局部紧群，b ( 日) 中的元素可以扩展为 曰( g ) 中的元素，否则的话，则b ( h ) 中的元素未必可以扩展为曰( g ) 中的元素。反例见 附录。 因为 k e r h = “b ( g ) l 甜作用在g 的子集日上为零的函数 ， i m j = “口( g ) l “为作用在g h 的等价类上为常值的函数) ， 虽然k e r h 与i m j 中元素作用在g 的子集日上均为零， 但是我们并不能得出k e r h = i m j 因此，我们得出结论： 虽然片一g 专g h 是短正合列，但是我们并不能得出它们对应的 f o u r i e r - s t i e i t j e s 代数列b ( g 日) 山b ( g ) b ( 日) 也构成正合列。 这个结果虽然这与原来的预想b ( g 日) 山b ( g ) 与b ( 日) 也是短正合的有很大 的差别，但这只是研究中出现的一个小障碍，当g 与日满足什么样限制条件时，会有 l s 东北师范大学硕士学位论文 k e r h = i m j ? 若日是顺从的，会有怎样的意想不到结果? 引理3 2 1 - 若仃：g 专g l 是单同态，且g 是顺从的，则有( b ( g 1 ) ) 在b ( g ) 中是弱宰稠密的。见参考文献 2 9 。 性质3 2 2 ：如果h 是顺从的，则有办( b ( g ) ) 在b ( h ) 中是弱木稠密的。 证明：因为嵌入映射为单同态，所以应用前面的引理3 2 i 可以直接得出五( b ( g ) ) 在 b ( h ) 中是弱木稠密的。 对于局部紧群g 的一般子群h ，b ( g ) 与b ( h ) 之间又有着怎样的关系? 令鼠( g ) = b ( g ) n c o ( g ) 性质3 2 3 ：g 为局部紧群，为g 的开子群。若b o ( g ) 在男( g ) 中是弱宰闭的，则 鼠( 日) 在b ( h ) 中是弱木闭的。见参考资料 2 7 】。 证明：令( 仍) 是p ( 日) n c o ( 日) 中的网，满足仍_ 伊p ( 日) 在日的紧子集中一致收 敛。 令仍和伊表示仍和伊在g 中的平凡扩张。 即伊( x ) = 仍( x ) = o ，v x g h 。 则显然有仍户( g ) 厂、c o ( g ) ，矽p ( g ) 且仍。矽在g 的紧子集上一致收敛。 因为缈c o ( g ) ， 所以矿g ( 日) 。 从而可以直接得出鼠( 日) 在b ( h ) 中是弱，c 闭的。 推论3 2 4 ：g 为顺从的紧群，日为g 的开子群，则鼠( 日) 在b ( 日) 中是弱木闭的。 证明：因为若g 是顺从的紧群，则b o ( g ) 在召( g ) 中是弱木闭的。从而应用性质3 2 3 ， 可以直接得出b o ( ) 在b ( h ) 中是弱木闭的。 性质3 2 5 ：g 为局部紧群，日为g 的闭子群，满足g h 是紧的。若鼠( 日) 在b ( h ) 中是弱，c 闭的，则鼠( g ) 在b ( g ) 中是弱，c 闭的。参考资料 2 7 】。 1 6 东北师范大学硕士学位论文 证明：对作用在g 上的任意函数矽以及x ，y g ，令 ，矽( y ) = 妒( x 一1 y ) ，识( y ) = 妒( 胗) ，矽。( ) ，) = 庐( x 叫胗) 。 若是作用在g 上的正定函数， 则v x g ，有 y j + y + ，+ 虬和沙。+ 沙+ f ( 。y 一虬) 也是g 上的正定函数。 事实上，对所有的f z ( g ) ，有 = = 。 令( 仍) 是p ( g ) 厂、g ( g ) 中的网，满足仍一妒p ( g ) 在g 的紧子集中一致收敛。 则v x g ，有 群一矿， + 仍+ ，( 仍) + ( 仍) ， 伊。+ 妒+ ，妒+ 依 + 仍+ f ( ，仍一( 仍) ，) 一妒。+ 妒+ f ( ，伊一纯) 在g 的紧子集中一致收敛。 因为 b o ( h ) 7 0 s _ b ( h ) 中是弱卑闭的，对执g ，有，q , i h c o ( h ) ， 所以 缈j 日，矿j 日，( 矿+ 矽+ 。矽十纹) j 日以及( + 缈+ f ( 工缈一败) ) i h 在日的无穷远处趋于零。 又因为g h 是紧的，由缈的一致连续性，可得伊c o ( g ) 所以鼠( g ) 在曰( g ) 中是弱枣闭的。 反之，若鼠( g ) 在曰( g ) 中是弱水闭的，h 为g 的闭子群，满足g 日是紧的，则不 一定有鼠( 日) 在召( 日) 中是弱木闭的。何时有鼠( g ) 在b ( g ) 中是弱木闭的与b o ( h ) 在 b ( h ) 中是弱宰闭的等价? 1 7 东北师范大学硕士学位论文 4b ( g ) 与a ( g ) 的联系 令f ，g r ( g ) ，我们有 所以f g 易( g ) ，且 厂幸g = 少( x t ) - 丽) d t = ( 九( x 一1 ) 厂i g ) ， i l i i 1 1 ：i i g l l 2 0 记由f * g ，厂，g l 2 ( g ) 生成的函数空间为臣。 我们令最为由p ( g ) nc c ( g ) 生成的函数空间，e = 艿( g ) ne ( g ) 。 则在毋( g ) 中，巨、最、岛有相同的闭包。我们把臣、岛、e 在岛( g ) 中的闭包记为 a ( g ) ，称a ( g ) 为g 的f o u r i e r 代数。 由定义我们可以知道，f o u r i e r 代数a ( g ) 是f o u r i e r - s t i e l t j e s 代数b ( g ) 的闭子集。事 实上，a ( g ) 在b ( g ) 中更具特殊性。 性质4 1 ：a ( g ) 为b ( g ) 的理想。 证明：若u p ( g ) ，v p ( g ) n e ( g ) 则“v p ( g ) n e ( g ) 所以p ( g ) nc c ( g ) 是p ( g ) 的理想， 因为a ( g ) = s p a n p ( g ) nc c ( g ) ， b ( g ) 是p ( g ) 中元素线性组合生成的b a n a c h 空间， 所以a ( g ) 为b ( g ) 的理想。 性质4 2 ：当g 为紧群时，a ( g ) = b ( g ) 证明：因为彳( g ) 是具有紧支集的连续函数的全体 1 r 东北师范大学硕士学位论文 常值函数1 在g 上的支集是g 本身，g 是紧集 所以1 a ( g ) 又因为a ( g ) 是b ( g ) 的理想 所以a ( g ) = b ( g ) 性质4 3 ：g 为局部紧群，则b ( g ) n f f ( g ) ga ( g ) 证明：v 伊b ( g ) ，定义映射g _ 召( g ) ，石 - h 名( x ) 妒= 纹，其中元为g 的左 正规表示。 我们可记这个映射为旯，兄( x ) = 纯， 则有映射名是连续映射。 对v 缈b ( g ) n l 2 ( g ) ， z ) 为c o ( g ) 中的渐进单位元， 则有 忉木z 一缈k ，= o 因为缈木z a ( g ) ，且a ( g ) 是闭的， 所以妒a ( g ) 。 从而可以得出b ( g ) n l 2 ( g ) 量a ( g ) 。 性质4 4 ：a ( g ) 在b ( g ) 中是弱木稠密的，当且仅当g 是顺从的。 证明见参考资料 2 6 】。 特别地，当日为g 的闭正规子群时，同对b ( g ) 的研究一样，我们可以得出：( 1 ) ：a ( g h ) - ha ( g ) 是等距同态； ( 2 ) i m j 中的元素作用在g 的等价类上为常值。 1 9 东北师范大学硕士学位论文 附录 g 是局部紧群，日是交换的正规闭子群，z 是作用在h 上f r o 连续特征函数。 假设e g ，v 是e 在g 中的一个邻域，则存在j v ，h h ，使得z ( s h s 1 ) z ( h ) 。 由此可证z 不能扩展到作用在g 上的连续正定函数。 下面我们用反证法证明z 不能扩展到作用在g 上的连续正定函数。 假设z 可扩展，则存在g 的连续酉表示，万：h _ 三( 以) ，善以 满足z ( 乃) = ( 万( 矗) 善i 孝) ，h h ，= 1 l ( 万( 办) fl 孝) l = i z ( 忍) i = 1 = 0 万( 办) f 洲f 0 所以n - ( h ) 4 = z ( 办) 孝，( h h ) 一方面，觇g ，六= x ( x 一) 善 有v h h ，万( 办) 最= x ( h ) x ( x 一) 孝 = 万( x 。) x ( x h x q ) f = x ( x 一) x ( x h x 。1 ) f = x ( x h x 叫) 六 另一方面，连续映射gj 以：x 一万( x 一) 孝= 妥 所以在在g 中的存在一个邻域矿，使眠v ，有l i 六一纠 芝。 由前面说明，我们知道：存在s v ，h h ，使得z ( s h s 一) x ( h ) 而由万( ) 色= x ( x h x 一) 六，蚓i = 1 及孝与在日中正交( 因为对于相同的酉算子万( 办) ，f 与是不同特征值对应的特征向量，所以孝上六) 所以f i 文一刮= 虿，这与0 六一刘 互矛盾。 所以z 不能扩展到作用在g 上的连续正定函数。 2 n 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】张恭庆，搬繇泛函分析讲义( 上) 【m 】一匕京：北京大学出版社 【2 】张恭庆，郭懋止泛函分析讲义( 下) 【m 】北京：北京大学出版社 【3 】周民强调和分析讲义【m 北京：北京大学出版社，1 9 9 9 【4 】李炳仁b a n a c h 代数 m 】。北京：科学出版社，1 9 9 7 【5 】李大华应用泛函简明教程【m 】华中科技人学出版社，2 0 0 2 【6 】江泽坚，孙善利泛函分析 m 】高等教育出版社，1 9 9 4 【7 】童裕孙泛函分析教程【m 】复旦大学出版社，2 0 0 3 【8 e y m a r d p ：l a 1 9 6 b r ed ef o u r i e rd u ng r o u p el o c a l e m e n tc o m p a c t m t ，b u l l s o c m a t h f r a n c e 9 2 ， 1 9 6 4 ：1 8 1 2 3 6 9 1 a d e r i g h e t t i ，s o m er e s u l t so nt h ef o u r i e r - s t i e l t j e sa l g e b r ao f al o c a l l yc o m p a c tg r o u p j ， c o m m e n t a v i im a t h e m a t i c ih e l v e t i c i 1 9 7 0 ，4 5 ( 1 ) ：2 1 9 2 2 8 【1 0 w o l f g a n ga r e n d ta n dj e a nd ec a n n i e r e ：o r d e ri s o m o r p h i s m so ff o u r i e r s t i e l t j e sa l g e b r a s j ， m a t h a n n ，1 9 8 3 ，2 6 3 ( 2 ) ：1 4 5 1 5 6 【11 v o l k e rr u n d ea