（基础数学专业论文）二次域q（√3）的单位给出的两个递归数列中的形数问题研究.pdf

声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任伺贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四| i 大学读书期间在导师指导下取得的，论 文成果归四川大学所有，特此声明。 作者签名里印一 日期：迦! 垒生唑臼 导师签名：之乏 支导师签名：乜i 二 日 期：乏! 1 1 垒生垦! 1 8 叫川人学博 学位论文 二次域o o 的全部整数解是似 y ) = ( 一2 ，1 ) ，( 1 ，1 ) 定理8 不定方程工2 3 y 2 0 + 1 ) 2 1 满足x o 的全部整数解是 y ) 1 ，一1 ) ，( 1 ，o ) ，( 9 7 ，- 8 ) ，( 9 7 ，7 ) 定理9 不定方程石2 + 1 ) 2 1 2 y 2 4 的全部整数解是 ，) ，) 一2 ，0 ) ， ( 1 ，o ) 删川人学博e 学位论文 定理1 0 不定方程缸2 一砂2 ( y + 1 ) 2 4 满足x o 的全部整数解是0 ， y ) = ( 2 ，- 2 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 6 ，一6 ) ，( 2 6 ，5 ) ，( 1 3 5 1 ，一4 0 ) ( 1 3 5 1 ，3 9 ) 定理1 1 不定方程工2 ( 3 x 一1 ) 2 1 2 y 2t 4 满足j ，2 0 的全部整数解是0 ， y ) = ( 1 ，0 ) ，( - 1 ，1 ) ( - 2 ，4 ) ，( - 4 ，1 5 ) 定理1 2 不定方程缸2 一缈2 ( 3 y 一1 ) 2t4 满足枷的全部整数解是0 ， y ) = ( 1 ，0 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 6 ，- 3 ) 定理1 3 不定方程 却4 一酽+ 1 2 y 2 - 9 = 0 仅有正整数解 ，y ) = ( 1 ，1 ) 和( 3 ，3 ) ( 1 6 ) 关键词：二次域，单位，递归数列，f r o n i c 数，三角数，五角数，不定方程 2 型型叁兰堡! ：兰些堡苎 一 r e s e a r c ho l it h ep r o b l e m so ff o r mn u m b e r si nt w or e c u r r e n t s e q u e n c e sa r i s i n gi nt h e u n i t so fq u a d r a t i cf i e l dq ( 3 ) s p e c i a l i t y ：p u r em a t h e m a t h e m a t i c s c a n d i d a t e ：l u om i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs h iw u j i e a b s t r a c t s i nt h i sp a p e rw es h a l ld i s c u s st h ep r o b l e m so fb a s i cf o r mn u m b e r s - - p r o n i c n u m b e r s ，t r i a n g u l a rn u m b e r sa n dp e n t a g o n a ln u m b e r s i nt w or e c u r r e n t s e q u e n c e s 乩 a n d 虼) ，w h i c ha r i s i n gi nt h eu n i t su 。+ k 3 一( 2 + 4 3 ) 4o f q u a d r a t i cf i e l dq ( 3 ) w e s o l v et h ep r o b l e m sc o m p l e t e l ya n df i n do u ta l lt h r e e k i n d so ff o r mn u m b e r si n 以，a n d 圪) a sa p p l i c a t i o n s ，w eo b t a i na l li n t e g e r s o l u t i o n so fs i xr e l a t e dd i o p h a n t i n ee q u a t i o n s ，a sw e l la sg i v ea l le l e m e n t a r y s o l m i o no fa n o t h e rd i o p h a n t i n ee q u a t i o na r i s i n gf r o mc o m b i n a t o r i a ld e s i g n s t h ed e t a i l e dr e s u l t sa r ea sf o f l o w s ： t h e o r e m14 u h + li sap e r f e c ts q u a r en u m b e ri fa n do n l yi fn = 1 s ot h a t 以1 = 2i st h eo n l yp r o n i cn u m b e ri n “) t h e o r e m2t h eo n l yp r o n i cn u m b e r si n 攻 a r ev o = oa n d 1 4 = 5 6 t h e o r e m3t h eo n l yt r i a n g u l a rn u m b e ri n 0a r eg ，y ) = ( - 2 ，1 ) ，( 1 ，1 ) 3 四j i f 人学博i 学位论文 t h e o r e m8t h eo n l yi n t e g r a ls o l u t i o n so ft h e d i o p h a n t i n ee q u a t i o n x 2 3 y 2 ( y + 1 ) 2 1s u c ht h a t x 0a r eg ，y ) = ( 1 ，一1 ) ，( 1 ，0 ) ，( 9 7 ，一8 ) ，( 9 7 ，7 ) t h e o r e m9t h eo n l yi n t e g r a ls o l u t i o n so ft h e d i o p h a n t i n ee q u a t i o n 工2 ( x + 1 ) 2 1 2 y 2 4a r e ，y ) = ( 一2 ，0 ) ，( 1 ，0 ) t h e o r e m1 0t h eo n l yi n t e g r a ls o l u t i o n so ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n 4 x 2 3 y 2 ( y + 1 ) 2 4s u c ht h a tx 0a r eg ，y ) = ( 2 ，一2 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 6 ，一6 ) ，( 2 6 ，5 ) ， ( 1 3 5 1 ，4 0 ) ，( 1 3 5 1 ，3 9 ) t h e o r e m1 1t h eo n l yi n t e g r a ls o l u t i o n so ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n x 2 ( 3 x 一1 ) 2 1 2 y 2 4s u c ht h a t y 0a r e ，y ) = ( 1 ，0 ) ，( - 1 ，1 ) ，( - - 2 ，4 ) ，( - - 4 ，1 5 ) t h e o r e m1 2t h eo n l yi n t e g r a ls o l u t i o n so ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n 4 蔗2 3 y 2 ( 3 y 一1 ) 2t4 s u c ht h a t x 0a r e ( r ，y ) = ( 1 ，o ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 6 ，- 3 ) t h e o r e m1 3 t h eo n l yp o s i t i v ei n t e g r a ls o l u t i o n so ft h ed i o p h a n t i n e e q u a t i o n3 x 4 4 y 4 2 x 2 + 1 耖2 9 = 0a r e ，y ) = ( 1 ，1 ) a n d ( 3 ，3 ) k e y w o r d s ：q u a d r a t i cf i e l d ，u n i t ，r e c u r r e n ts e q u e n c e ，p r o n i cn u m b e r ，t r i a n g u l a r n u m b e r ，p e n t a g o n a ln u m b e r , d i o p h a n t i n ee q u a t i o n 4 四川大学博l 二学位论文 引言 整数递归数列中的形数问题研究是从1 9 4 0 年代开始的，主要集中在二 阶线性递归数列方面。一般的二阶线性递归数列 h 。) 由递归关系式 u 。+ 2 = a u 州+ 如。+ c 给出，其中a 、b 、c 为常数，u 0 、1 为给定的初始值。所 谓形数，与古希腊时代人们对整数的认识方式有关。他们将能够构成特定 的几何图形的点的数目以该种几何图形的名称命名，如三角数 研+ i ) 、 平方数( 四角数伽2 、五角数 m ( 3 m 一1 ) ，等等，现在则一般地将某种代数 式( 如2 x 2 , x 2 + 1 、m + 1 ) 、，) 给出的整数统称为形数。1 9 4 2 年，w - l j u n g g r e n l l j 证明不定方程x 2 2 y 4 一l 仅有正整数解0 ) = ( 1 ，1 ) ，( 2 3 9 ，1 3 ) ，由此可得到p e l l 数列只+ 2 2 p , + 1 + 只，p 0 0 ，只一1 中的全部平方数。1 9 6 3 年ve h o g g a t t 创立t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y ，并在其创刊号上提出解决f i b o n a c c i 数列 b + 2 l + b ，f 0 = o ，f 1 = 1 和l u c a s 数列l 2 = l 州札。，l 0 = l ，l l = 2 中的平方数、 三角数问题。很快地，j h e c o h n 2 j 于1 9 6 4 年用递归数列方法求得了这两 个数列中的全部平方数及形如及2 之整数。1 9 6 5 年，柯召、孙琦1 3 悃不定方 程方法也独立地求出了f i b o n a c c i 数列中的全部平方数。此后，经许多数学 家的努力，一大批f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列的形数问题得到解决( 参见 文末文献) 。这些工作极大地丰富了该领域的研究成果，同时也导致了许多 不定方程问题及有限群数量刻划问题的解决( 参见文献【4 ，7 ，8 ，9 ，1 2 ，1 3 】) 。 但是，在此后近3 0 年里，由于c o h n 递归数列方法的局限性，h o g g a t t 关于f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列中三角数问题猜想的研究进展非常缓慢。 r s t e i n e r , m h t a l l m a n 和c r w a l l i ”“j 先后用有限的计算检验证实，在 n ：1 0 s 内，e 中仅有f l = f 2 = l 、f 4 = 3 、f s = 2 1 和f l o = 5 5 为三角数。1 9 8 9 年，罗明在仔细考查c h o n 方法后，对其做出了实质上的改进，由此彻底解 决了f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列中的三角数问题1 5 1 , 5 2 】，随后进一步解决了 这两个递归数列中的ir o n i c 数( 形如m + 1 ) 之整数) 、五角数等问题l “。 作为新方法的应用，罗明还解决了一批与组合论、群论有关的不定方程问 题【5 3 , 5 7 1 。 在最近的1 0 年中，w lm c d a n i e l 、vr p r a s a d 、b s r a o 、b k g a n d h i 、 6 四j 1 1 人学博j 学位论文 m j r e d d y 等人继续使用罗明的方法先后解决了f i b o n a c e i 数列和l u c a s 数 列中的七角数问题以及p e l l 数列、p e u 伴随数列( a s s o c i a t e dp e l ls e q u e n c e ) 中的三角数、五角数、七角数、p r o n i c 数等问题( 文献 5 9 6 9 1 ) 。这些结果 均导致相关的一些不定方程的解决。 从上述情况可以看出，迄今为止递归数列形数问题的研究，主要集中 在两个数歹i 卜书e l l 数列、f i b o n a c e i 数列，以及它们的伴随数列上。在这 些数列中，基本的形数问题( 三角数、平方数、p r o n i e 数、五角数) 已获 解决。 从数域的观点看，p e l l 数列及其伴随数列、f i b o n a c c i 数列及其伴随数 列( l u c a s 数列) 分别由二次域q ( 2 ) 、q ( 5 ) 中全部单位的有理系数给出。 这就可以看出以往的工作忽略了一个自然应该提出的问题：即二次域 q ( 3 ) 中单位玑+ 圪3 一( 2 + 3 ) 4 所给出的递归数列 “) 、 圪) 中的形数 问题。这一问题除了它自身的兴趣外，在不定方程及其它领域中也有重要 的应用。在本文末，作者通过找出 k 中全部2 一3 之形数，解决了日本数 学家h e n o m o t o 、n i t o 、r n o d a 等人在组合设计研究中提出的一个不定 方程问题，并且还由此进一步发展了c o h n 的递归数列方法。因此，对上述 问题的研究无疑是有意义的。由于 玩 、 圪 中的平方数问题分别等价于 已经完全解决的不定方程一一3 y 2 = 1 和x 2 - 3 y 4 = l ( 见文献1 5 ，6 1 ) ，本文将对这 两个递归数列中的另外三种基本形数干t o n i c 数、三角数、五角数进行 研究，给出了完整的结果。同时，作为应用，解决了与其相关的六个不定 方程问题。 本文分为四章，前三章分别研究上述三种形数；每章分两节，分别讨 论 以 和 圪 中的该种形数。第四章则是自 三章结果对于不定方程的应用。 文来所附文献给出了近5 0 年来在递归数列形数方面较为丰富的研究成 果，基本反映了目前这一领域的研究全貌。 本文所使用的术语及符号都是标准的，可参阅【5 】、【6 1 、【1 0 】三书及近 年来t h ef i b o n a c c iq u a r t e r l y 一刊中对递归数列符号使用的习惯。 7 列川人学博i ：学位论文 第一章p r o n i c 数问题 在二次域q ( j ) 中，2 + 芎是基本单位，其全部单位表为( 2 + - ) 4 ， 甩取全部整数。因为本文研究的形数均为非负整数，所以可在由 u 。+ k 括。( 2 + 劲“给出的递归数列 巩 、 k 中讨论。p r o n i c 数是指形 如用+ 1 ) 之整数l 砷l ，也称殆平方数例，其中肌是任意整数。本章我们给 出这两个递归数列中的全部p r o n i c 数。 显然，当以或圪= m 沏+ 1 ) 时，4 u 。+ i 或4 + 1 = ( 2 m + 1 ) 2 为一正整数的 平方。因此，只须确定使4 以+ 1 或4 圪+ 1 为平方数的全部厅即可。 为以后使用方便起见，我们在下表中给出巩、圪的前1 0 项： 此外，我们也给出这两个数列m o d3 、m o d5 、m o d8 的剩余序列及周 期以备查用： m o d 3 周期：6 忍ol 2 3 456 7 以 121 2121 2 圪0 1102201 m o d 5 周期：3 8 i i l 川大学博i ：学位论文 到： m o d8 周期：4 从瓯+ k ；- ( 2 + 罚4 可以导出以下关系式，它们将在以后各章节用 巩+ 2 = 4 以+ 1 一巩，u o = l ，u 1 = 2 圪+ 2 - - 4 圪+ l 一圪，= 0 ，h - - 1 【k = 已0 ，= 一 u ：一掣：一1 u h - u ：+ 3 形? 2 【，：- 1 6 形? + 1 吃- 2 【，。k u 。一u 娜：+ w 0 一形孵+ 曙) ”= 玩巩+ 3 。= u 埘k + 以 “+ 篮z 一巩( m o d d 圪+ 篮。一k ( r o o du k ) 例如，其中的( 9 ) 、( 1 0 ) 两式可证明如下： 玑。+ 以。一( 2 + - ) 一( 2 + 压) ”( 2 + 两“ = 帆+ 圪两眠+ 圪西 = ( u 。u n + 弧屹) + 。k + u 。屹) 至 比较两端的有理系数即得结论。 9 m p q 川人学博l 。学位论文 1 1 以中的p r o n i c 数 定理1当且仅当，l = 1 时，4 以+ 1 为完全平方数。即 u ) 中仅有以1 = 2 为p r o n i c 数。 证明当n = o ( m o d2 ) 时，u n t 0 1 ( m o d2 ) ，4 u 。+ l j 5 ( m o d8 ) ，4 巩+ l 不可能 是平方数，故n = l ( m o d2 ) 。 又当n = 3 ( m o d6 ) 时，4 u 。+ l z 6 ( m o d9 ) ，4 u 。+ l 不可能是平方数，故n z - , - 1 ( m o a6 ) 。进一步，当胛；5 ( m o d1 2 ) 时，4 以+ 1 ；6 ( m o d1 3 ) ，而6 是m o d1 3 的平方非剩余，4 乩+ 1 不可能是平方数，故n m l ( m o dx 2 ) 。 如果n = l ( m o d1 2 ) 且竹- 1 ，则可表n = l + ( 1 2 k _ + 4 ) x 3 7 ，其中r 21 。令m = 3 ， 反复运用( 1 1 ) 得： u 。u l + ( 1 n 4 押5 u l 4 。i i - u 1 干h( m o d u h ) 而由( 7 ) ，u ：+ 9 嵋i u 。，所以 4 u 。+ 1 _ 4 【，l 干2 ，+ 1 ( r o o d 【，二+ 9 k ：) ， ( 器) 。( 嚣雾) 根据( 3 ) ( 1 0 ) ，并注意到2j 肼时，u 卅一2 ( m o d8 ) ，一1 ( r o o d8 ) ， 我们有 f 二竺! = 垫1 1 。f - 4 ( 2 uz + 3 v _ 2 ) + 1 1 。f - 8 0 2 , + 1 2 v 2 + 1 lu ：+ 孵ji 吒+ 孵门醒+ 孵 仁7 u ：+ 2 4 u 。一2 7 v 2 1f 2 4 u ，吃+ 3 6 叼 iu ：+ 9 嘭l 以+ 9 c t ( 孺3 v ) 麟) 。( 糌2v 2 ) 一( 而5 瓦) 一( 等孚) 因为 2 巩+ 3 吒 对于m o d5 的剩余类序列具有周期3 ，而m e o ( m o d3 ) 时，2 u m + 3 v , , , m 2 ( r o o d5 ) ，所以 1 0 、iil，、lil， 四川大学博i 。学位论文 ( 嚣番卜一 类似可证 ( 嚣酵) 。( 鼍墨) ( 争l 因此4 以+ l 不可能是平方数。 如果n 一1 ( r o o d1 2 ) l b _ 一1 ，则4 1 1 + 1 = 4 u 一1 ，从而归结为上面情形， 知4 巩+ 1 不可能是平方数。 最后，当席= 1 时，4 u + 1 ：9 为平方数。证毕。 1 2 圪中的p r o n i c 数 引理1 当n m o ( m o d l 2 ) 时，仅有n = o 使4 圪+ 1 为平方数。 证明因为当n 5 时，令 f2 7若r - 0 ，1 ( m o d3 ) m = j 、7 1 3 x 2 7 若r t2 ( m o d3 ) ， 则有脚a 6 4 ，1 2 8 ，9 6 ( m o d2 2 4 ) 而对r = l ，2 ，3 ，4 ，则分别耿研= 3 x 2 ，2 2 ，2 3 ， 3 2 2 4 ，即m = 6 ，4 ，8 ，1 4 4 对以上，l 各种取法，雄均可表为n = 2 l m ，其中2 f f 反复运用( 1 2 ) 得 4 k + 1 暑4 v “n m + l f f i 一4 i 4 + 1 一一2 2 3 ( m o a ( 1 ( 等) 4 ( 篑) 。 对 巩 取m o d2 2 3 ，其剩余类序列周期为2 2 4 ，有下表： m ( m o d2 2 4 ) 4 686 4 9 6 1 2 8 1 4 4 u 卅( m o d2 2 3 ) 9 71 38 5 7 1 4 64 6 6 表中c k 各值均为m o d2 3 3 的平方非剩余，因此4 k + 1 不可能是平方数。 当n = 4 时，4 v 4 + 1 = 2 2 5 = 1 5 2 为一平方数。证毕。 定理2 序列 ) 中仅有v o - - o 和1 1 4 = 5 6 为ir o n i c 数。 证明由引理1 ，2 知，当n - o , 4 ( m o d 3 6 ) 时，仅有捍= o ，4 使4 k + 1 为 平方数，此时虼为p r o n i c 数。因此，只需验证当n 手0 ，4 ( m o d 3 6 ) 时，4 1 + 1 不为平方数即可。 四川人学博i ：学位论文 因为n m ( m o d2 ) 时，圪；1 ( m o d2 ) ，4 k + 1 ；5 ( m o d8 ) ，所以4 v n + l 不可 能是平方数。而当n f f i 2 ，6 ( m o d8 ) 时，4 v n + l f f i 3 ，6 ( m 0 4 ：17 ) ，4 + l 也不可能 是平方数。这就排除了玎| 2 ( m o d4 ) 。剩下情形为n i o ( m o d4 ) 。 又当n m 2 ( m o d6 ) 时，4 圪+ 1 1 2 ( m o d3 ) ，4 i i + 1 不能是平方数。这排除了 弹；8o n o d1 2 ) ，剩下情形为胛；0 ，4 ( m o dl z ) 。 取m o d3 7 ， 4 k + 1 ) 的剩余序列周期为3 6 当n , , 1 2 ，1 6 ，2 8 ( m o d3 6 ) 时， 4 i i + l f f i l 3 ，1 7 ，2 0 ( m o d3 7 ) ，均为m o d3 7 的平方非剩余，从而被排除。 最后取m o d7 3 ， 4 圪+ 1 ) 的剩余序列周期仍为3 6 ，h e 2 4 ( m o d3 6 ) 给出 4 v + 1 2 0f m o d7 3 ) ，为m o d7 3 的平方非剩余，排除。 至此剩下情形为万一0 ，4 ( r o o d3 0 证毕。 叫川人学博学位论文 第二章三角数问题 三角数是指形如 历+ 1 ) 的整数，其中m 是任意正整数在本章中， 我们将给出 仉 、 圪 这两个递归数列中的全部三角数。 显然，当碥或圪= 肌+ 1 ) 时，8 u 。+ l 或8 k + 1 = ( 2 研+ 1 ) 2 为大于1 的 平方数。因此，只须确定使8 + i 或8 v + 1 为平方数的全部弗即可。 2 1 玑】中的三角数 定理3 序列 碥 中仅有u o = l 为三角数。 证明易知当 1 ，3 ( r o o d8 ) 时，“a 2 ，5 ( m o d7 ) ，此时， ( 竿) 。( 罕) 。( 捌沪卜 故当2 f n 时，8 u + 1 不是平方数。 若2in ，则令n = 2 m ，并设8 u , , + l - - - y 2 ，y o 根据( 5 ) ，有 ) ，2 8 0 h + 1 8 ( 2 u ：- 1 ) + 1 1 一。2 - 7 所以， ( 甜。+ y x , u t 。- y ) 一7 ， f 4 1 3 。+ y 一7 l4 u 。一y 一1 。 解得c = 1 ，m = o ，n = o 这给出8 o + 1 = 9 为平方数。因此，仅有u o = l 为三角 数。证毕。 2 2 圪 中的三角数 我们先证明一个以后将多次使用的有关j a c o b i 符号计算的引理。 硼3 妫，舢，舢则( 岩 ) 4 ( 糕) 证明由c 4 ，知( 考) 5 ，即( 毒) 。( ) 根据心“5 s l 旧川人学博f ：学位论文 并注意到如庐1 ( m o d8 ) ，知k ) ，我们有 ( 掣) 。( 雩考孚) ；( 等等) 一( 南) ( 糕蚓( 器) ；锹麓) 一锹器) 以( 矗) ( 裟) i + ( 篱) 。f 掣1 证毕。 4 l i 万万j “哥 引理4 当席| 0 ( m o d l 0 8 ) 时，仅有n = o 使8 圪+ 1 为平方数。 证明若开- o ，则可表n = 2 x 3 3 x k x ：2 r ，其中2 l 七，r 1 令 f 2 7 当r - 3 7 ( r o o d8 ) i3 2 7 当r1 1 5 ( r o o d 酏 肌。3 2 2 ，当，- 0 4 ( m o d 8 ) 3x 2 7 当r - 2 ，6 ( m o d 8 ) ， 则m ；6 ，8 ，2 6 , 2 8 ( r o o d3 0 , 且可表n = 2 m l , 2 1 1 于是，反复运用( 1 2 ) 可 得 8 圪+ 1 i 8 1 7 j 槲+ 1 i - - - - 8 v 2 , , , + 1 ( m o du 抽) 由引理3 得 ( 等) ；( 等) 4 ( 半) 对 8 圪) 取m o d6 7 ，两个剩余类序列周期均为3 4 ，当m ；6 ，8 ，2 6 ，2 8 ( m o d3 4 、时，分别有 “+ 8 z 2 0 ，3 ，4 4 ，2 ( r o o d6 7 ) 及巩一8 a 2 ，4 4 ，3 ，2 0 ( r o o d6 7 ) 因为 ( 嚣) 2 ( 未) 2 ( 茜) 。( 吾) 1 ， 四川人学博上学位论文 所以 ( 等) | - l 棚“不是平撒 而当n - - o 时，8 k + 1 = 1 为平方数。证毕。 引理5 当n ；6 佃o d l 0 8 ) 时，仅有n = 6 使8 v 。+ l 为平方数。 证明若甩- 6 ，则可表n = 6 + 2 x 3 3 x 2 7 x k , 其中2j k ，r 2 1 当r z 4 时，取 1 3 2 7 若，一0 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，9 ，1 0 ( m o d l l ) 1 3 2 2 若，- 1 ，7 ，8 ( m o d i t ) ， 此时m 鼍4 8 ，6 4 ，9 6 ，1 2 8 ，1 9 2 ，2 0 8 ，2 5 6 ，2 8 8 ( m o d3 6 8 ) ；而对r = l ，2 ，3 ，则分别 令m = 3 x 2 ，3 x 2 2 ，3 3 2 3 ，即m = 6 ，1 2 ，2 1 6 对小的各种取法，厅均可表为 n = 6 + 2 m ，其中2 fz ，6 i 历反复运用( 1 2 ) 得 8 k + 1 i 8 1 7 玉撕+ l i 一8 i 6 + 1 _ 一6 2 3 9 ( m o d ( 厶) ， ( 等) - ( 等) 。( 高) 。酬1 7 , 、堕3 6 7 ) 【 对m o d1 7 的剩余序列周期为1 8 因为6 k ，即m - o ，6 ，1 2 ( m o d1 8 ) ，分 别给出砜；1 ，8 ，8 ( m o d l 7 ) ，l 鲁i 毒1 所以 ( 等) 2 对 巩 取m o d3 6 7 ，其剩余类序列周期为3 6 8 ，有下表： 表中各值均为m o d3 6 7 的例陬，叫等) 一点“ 不可能是平方数。 当n = 6 时，8 v 6 + 1 = 6 2 4 1 = 7 9 2 为一平方数。证毕。 1 6 叫川人学搏j + 学位论文 引理6 当2 i z 且n s o ，6 ( m o d l 0 8 ) 时，8 圪+ 1 不是平方数。 证明 对序列 8 圪+ l 取r o o d5 ，其剩余序列周期为3 ，当厅；2 ( r o o d3 ) 时，8 圪+ 1 ；3 ( m o d5 ) ，为m o d5 的平方非剩余。故排除开；2 ( r o o d6 ) ，剩n = - o ， 4 ( m o d6 ) 为了简便，我们以后将用简略的方式进行这种论述，而省略周期、排 除理由等，前者可从排除的一所对应的模看出，后者则总是由于平方非剩 余这一理由。 m o d3 排除n e 4 ( r o o d6 ) ，此时8 v + 1 ；2 ( m o d3 ) ，剩n - o ( m o d6 ) ，即 n - o ，6 ，1 2 ，1 8 ，2 4 , 3 0 ( , n o d3 6 ) m o d3 7 排除厅；2 4 ，3 0 ( m o d3 6 ) ，此时8 v n + i - m 4 ，1 4 ( m o d3 7 ) ，剩托暑0 ，6 ， 1 2 ，1 8 ( m o d 3 6 ) ，即厅暑0 ，6 ，1 2 ，1 8 ，3 6 ，4 2 ，4 8 ，5 4 ，7 2 ，7 8 ，8 4 ，9 0 ( r o o d l 0 8 ) m o d1 0 9 排除冗s 7 2 ，7 8 , 8 4 , 9 0 ( m o d1 0 8 ) ，此时8 v + 1 2 2 4 5 0 ，5 0 ，2 4 ( m o d1 0 9 ) m o d1 2 9 7 排除n z l 2 , 1 8 ，3 6 ，4 2 ( m o d1 0 8 ) 此时8 i i + 1 m 7 7 8 ，1 1 5 4 , 1 1 5 4 ， 7 7 8 ( m o d1 2 9 7 ) 此时，剩下情形为冗目o ，6 ，4 8 ，5 4 ( m o d1 0 8 ) 以下排除咒；4 8 ，5 4 ( m o d 1 0 8 ) ，这等价于，l s 4 8 ，5 4 ，1 5 6 , 1 6 2 ( m o d2 1 6 ) m o d4 3 3 排除n s 4 8 ( m o a2 1 6 ) ，此时8 v n + 1 = 2 0 5 ( i n o d4 3 3 ) m o d7 排除厚s 2 ( m o d8 ) ，此时8 v + 1 s 5 ( m o d7 ) ，从而排除n ；1 6 2 ( m o d 2 1 们 m o d7 3 0 0 8 0 1 排除n e 5 4 ( m o d7 2 ) ，此时8 v + l m 7 2 8 8 3 2 2 ( m o d7 3 0 0 8 0 1 ) ， 从而排除九* 5 4 ( m o d2 1 6 ) 还须排除的是n z l 5 6 ( m o d2 1 6 ) ，即n ；1 5 6 ，3 7 2 ( m o d4 3 2 ) r o o d9 7 排除n m l 2 ( m o a1 6 ) ，此时8 i , + 1 - - - 3 8 ( m o d9 7 ) ，因此排除n ；1 5 6 ( m o d4 3 2 ) m o d3 7 6 3 3 排除n ；3 6 ( m o d4 8 ) ，此时8 v n + 1 ；3 6 7 3 8 ( m o d3 7 6 3 3 ) ，故排 除n - 3 7 2f m o d4 3 2 ) 至此，最后剩下情形为n = - o , 6 ( r o o d1 0 8 ) 证毕。 引理7 当脾1 ( m o d 8 0 ) 时，仅有n = l 使8 圪+ 1 为平方数。 1 7 i ，l 川t 人学博【：学位论文 -_-_-_-_-_-一一一一 证明若，l l ，则可表n = l + 2 x 5 x k x 2 。，其中2 l k ，r 3 取历= 2 r 或5 x 2 r , 反复运用( 1 2 ) 得 8 圪+ 1 葺8 n + 2 m + 1 皇8 ( u 加+ 2 1 7 l ) + 1 兰1 6 1 7 h + 1 ( m o d y 2 州) 由引理3 得 ( 等) _ ( 掣) 2 ( 警 对 既1 6 圪 耿m o d2 5 9 ，两个剩余类序列周期均为7 2 现具体选取m 如下： f 2 当r9 0 ，2 ，3 ，5 ( m o d6 ) 1 5 2 7 当，1 ，4 ( m o d6 ) ， 则有m - - 8 ，3 2 ，4 0 ，6 4 ( m o d7 2 ) 对应地有 【k + 1 6 = 2 0 4 ，1 5 ，2 5 3 ，1 3 4 ( r o o d2 5 9 ) ， 一1 6 m 3 4 ，2 5 3 ，1 5 ，2 0 4 ( m o d2 5 9 ) 因为 ( 琴) 2 ( 茜) 2 、2 2 ，5 。3 ) ，。( 等) ， 删 【等卜，s 附坏解撒a 而当，l = 1 时，8 v + 1 = 9 = 3 2 为平方数。证毕。 引理8 当h e 3 ( m o d 8 0 ) 时，仅有n = 3 使8 v + l 为平方数。 证明若甩3 ，则可表n = 3 + 2 x 5 x k x 2 f ，其中2l 七，2 3 令 f2 7当r s l ，2 ，4 ，5 ( m o d6 ) 小2 1 5 x 2 ，当r 。o , 3 ( m o d 6 ) ， 则m m l 6 ，3 2 ，4 0 ，5 6 ( r o o d 7 2 ) 反复运用( 1 2 ) 得 8 i i + l i 一8 t , 3 + 1 - = - 1 1 9 ( r o o d 砜) ， 于是 ( 等) - ( 晋) 。( ) 对 以 取m o d1 1 9 ，其剩余类序列周期均7 2 ，当m m l 6 ，3 2 ，4 0 ，5 6 ( m o d 1 8 叫j 1 1 人学博上学位论文 7 2 ) 时，分别有【0 2 9 2 ，2 9 ，2 9 ，9 2 ( m o d1 1 9 ) 所以 ( 等) 8 v + l 不是平方数。 2 予州 而当n = 3 时，8 v n + 1 = 1 2 1 = 1 1 2 为平方数。证毕。 引理9 当2 i n 且厅j i 1 ，3 ( m o d8 0 ) 时，8 嵋+ 1 不是平方数。 证明我们对序列 8 圪+ 1 ) 取一系列模，排除那些使8 k + 1 为平方非剩 余的玎值，直至达到所需要的结论。证明过程采取如同引理6 那样的叙述 方式。 m o d1 9 排除嚣- 2 ，4 ( m o d5 ) 此时，8 v + i e l 4 ，1 2 ( m o d1 9 ) 故排除h i 7 ， 9 ( m o dl o ) ，剩n = l ，3 ，5 ( m o d1 0 ) 。 m o d1 8 1 排除n * , l l ( m o d2 0 ) ，此时8 v + 1 i 1 7 4 ( m o d1 8 1 ) 剩n = l ，3 ，5 ， 1 3 ，1 5 ( m o d 2 0 ) ，即n = l ，3 ，5 ，1 3 ，1 5 ，2 1 ，2 3 ，2 5 ，3 3 ，3 5 ( m o d 4 0 ) m o d3 7 4 4 1 排除n = 5 ，1 3 ，1 5 ，2 1 ( m o d4 0 ) ，此时分别有8 v 。+ l m l 6 7 3 ， 2 3 2 8 9 ，1 6 7 3 ，3 7 4 3 4 ( m o d3 7 4 4 1 ) 剩n i l ，3 ，2 3 ，2 5 ，3 3 ，3 5 ( m o d4 0 ) ，即n e l ，3 ， 2 3 ，2 5 ，3 3 ，3 5 ，4 1 ，4 3 ，6 3 ，6 5 ，7 3 ，7 5 ( m o d8 0 ) m o d9 7 排除i 9 ，1 5 ( m o d1 0 , 此时8 v , + 1 1 9 0 , 9 0 ( m o d9 7 ) ，从而排除 n 1 2 5 ，4 1 ，6 3 ，7 3 ( m o d8 0 ) m o d7 9 排除n ；2 3 ，3 3 ，3 5 ，4 3 ，6 5 ( i n o d8 0 ) ，此时8 i + 1 2 4 7 ，6 3 ，1 4 ，3 9 ， 2 9 ( m o d 7 9 ) m o d1 7 9 2 7 5 9 9 排除n = 7 5 ( m o d8 0 ) 此时8 k + 1 - 1 7 9 2 5 9 2 8 ( m o d 1 7 9 2 7 5 9 9 ) 至此，剩下情形为n m l ，3 ，( m o d8 0 ) 证毕。 定理4 序列 圪 中仅有h = 1 、v 3 = 1 5 和i 6 = 7 8 0 为三角数。 证明当n 为偶数时，由引理卜引理6 知仅有苊= o ，6 使8 t i + 1 为平 方数。但v o = o 不是三角数，而虼：7 8 0 = 3 9 4 0 为三角数。当，l 为奇数时， 由引理7 _ 一引理9 知，仅当n = l ，3 时8 v n + l 为平方数。此时，t q = l = x i x 2 ， = 1 5 = 5 6 均为三角数。证毕a ， 1 9 州川人学博l 学位论文 第三章五角数问题 五角数是指形如吾m ( 3 m 一1 1 的整数，其中m 是任意正整数。如果允许 m 取任意整数，则这种形式给出的整数称为广义五角数【删。在本章中，我 们将寻求 以 、 圪 这两个递归数列中的全部广义五角数，同时也就得到 了其中的全部五角数。 显然，当仉或圪= m ( 3 m 一1 ) 时，2 4 “+ l 或2 4 v , , + l = ( 6 m 一1 ) 2 为一平方 数。因此，要找出数列 巩 、 中的全部广义五角数，只须确定使2 4 以+ 1 或2 4 圪+ 1 为平方数的全部n 即可。 3 1 巩 中的广义五角数 对n 分为奇偶两种情况考虑。先考查n 为偶数的情形。 引理1 0 设2 h ，则当且仅当n = o ，2 时，2 4 以+ 1 是平方数。 证明令n = 2 m ，并设2 4 u , , + 1 - - y z , y o 则由( 5 ) ， y 2 2 4 u 2 。+ l 一2 4 ( 6 v 2 + 1 ) + 1 一( 1 2 ) 2 + 2 5 ， ( ) ，4 - 1 2 v r , x y 一1 2 ) 一2 5 因此有 p “2 吃e 5( 1 3 ) i y 一1 2 v , , 一5 、7 或 盟= c 或 f 篇： ， ( 1 3 ) 给, q 4 = 0 ，m = o ，n = o ，此时，2 4 u + 1 = 5 2 ；( 1 4 ) 给出= 1 ，m = l ，n = 2 ， 此时，2 4 + 1 = 1 3 2 ；( 1 5 ) 给出= 一1 ，所= 一1 ，n = 一2 ，此时也有，2 4 u + 1 = 1 3 2 证毕。 以下考查甩为奇数的情形。 婴业查兰堡主兰垡堡奎 引理1 1 当n 墨+ - - 1 ( m o d6 0 ) 时，仅有n = 1 使2 4 u 。+ 1 为平方数。 证明若厅，1 ，则可表n = l + 2 x 3 x 5 x k 2 r ，其中2 i k ，r 2 1 取脚= z 或 3 x z 或5 x 2 7 。反复运用( 1 1 ) 均可得 2 4 巩+ 1 一一2 4 【，土1 + 1 l - - 4 7 ( m o d ，历) 于是 ( 等) 。( 芒) 。( 等) 对 巩 取m o d4 7 ，其剩余类序列周期为2 3 现具体选取m 如- f - f 2 小。j 3 x 2 ， 1 1 5 2 ， l 当，i4 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ( m o d l l ) 当r _ 0 1 ，2 ( m 0 0 1 1 ) 当，- 3 5 ( m o d l 0 则可验证m = 3 ，5 ，6 ，1 2 ，1 3 ，1 6 ，1 8 ，2 0 ( m o d2 3 ) 此时，对应地有t 2 6 ，3 3 ， 3 5 ，5 ，1 5 ，1 3 ，3 3 ，2 6 ( m o d 4 7 ) ，均为m o d 4 7 的平方非剩余 所以( 等) 。( 等) 一朋州不是平撒。 而当玎= 1 时，2 4 + 1 - - 4 9 = 7 2 为平方数。证毕。 引理1 2 当肛3 佃0 d 1 2 0 ) 时，仅有栉= 3 使2 4 u n + l 为平方数。 证明若一，3 ，则可表n = 3 +