（基础数学专业论文）乘积符号动力系统.pdf

中文摘要 动力系统足非线性科学的一个重要组成部分它研究自然现象随时间演变 的极限行为经过p o i n c a r e ，l y a p u n o v ，b i r k h o f f 等人的奠基和发展，动力系 统已成为现代数学的重要分支之一在动力系统的研究中，我们知道符号动力 系统发挥着重要的作用，这是因为符号动力系统既是动力系统研究中重要的研 究对象，同时也是研究一般动力系统的有利工具那么我们为什么要研究乘积 符号动力系统呢? 首先，与符号动力系统相比，乘积符号动力系统具有符号动力 系统的典型特征，同时乘积符号动力系统的动力性状比符号动力系统要复杂， 即在对一般动力系统的研究中，乘积符号动力系统比符号动力系统的研究范围 要广其次，乘积符号动力系统是紧致完全不连通的动力系统的典型代表( 我们 知道符号动力系统不是紧致完全不连通的动力系统的典型代表) ，它为刻画一般 动力系统的轨道结构，尤其是非扩展动力系统的轨道结构提供了框架在本文 中我们系统的引入了乘积符号动力系统的概念，研究了乘积符号动力系统的基 本动力性状，定义了一个动力系统相对于乘积符号动力系统的转移不变集( 广 义转移不变集) 及乘积符号动力系统的子转移，并给出了判断一个动力系统有 广义转移不变集的充要条件和一般动力系统可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力 系统中的充要条件论文的具体内容如下： 第一章主要介绍了乘积符号动力系统的发展史，乘积符号动力系统的物理 意义：及作者的工作第二章，首先系统的介绍了乘积符号动力系统的概念其 次研究了乘积符号动力系统的一些基本性质，得出结论：任一符号动力系统都 可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系统中这说明乘积符号动力系统具有符号 动力系统的很多典型动力性状，如乘积符号动力系统的周期点稠密且它是拓扑 混合的同时乘积符号动力系统有不同于符号动力系统的典型动力性状，如乘 积符号动力系统的周期点集为不可数集且它的拓扑熵无穷大( 我们知道符号动 力系统的周期点集为可数集，且其拓扑熵有限) 这说明与符号动力系统相比， 乘积符号动力系统的动力性状是非常复杂的，它可以用来研究更一般的动力系 t 统第三章给出了广义转移不变集的定义，并给出了判断一个动力系统有广义 转移彳 1 为一个自然数，s = o ，1 ，p 一1 ) 称为状态空间，赋予s 以离 散拓扑记e ( p ) = ( z o ，x l ，) ：x i s ，i = 0 ，1 ，) 当( p ) 赋予乘积拓扑 时，留= m a o ，a l ，a n _ 1 】卜n 0 ，n o ，a i s ，i = 0 ，n 一1 ) 为( p ) 的 一个基底，称为( p ) 的基本基底，其中m a o ，a l ，a n - l 】= z ( p ) l z m 卅= a i ，i = 0 ，佗一1 ) ) 是一个紧致完全不连通可度量空间定义盯：( p ) 一 ( p ) 为对任意z = ( x o ，x l ，) ( p ) ，o ( x ) = ( x l ，x 2 ，) ( p ) 9 为连续的 满映射( ( p ) ，巧) 称为单边符号动力系统，盯称为( p ) 上的k 阶转移自映射 ( p ) 的一个相容度量p 定义如下：v x = ( x o ，z 1 ，) ，y = ( y o ，y l ，) ( p ) ， ，、 1 p y j - 面而磊葛啄磊再酉f 丽 类似地，有双边符号动力系统 8 两北人学硕- 学位论文 2 1引言 u 一o 。1 第二章乘积符号动力系统 自从s h i g e o a k a s h i 在文【2 】中首次提m 乘积符号动力系统这个概念以来， 目前对乘积符号动力系统的研究，甚至是对其最基本的动力性状的研究尚属空 白乘积符号动力系统不仅具有符号动力系统的典型动力性状，而且它的拓扑 结构还非常直观最重要的是它拓展了符号动力系统的研究范围( 它是紧致完 全彳i 迩通动力系统的典型代表) 所以对乘积符号动力系统的研究就显的尤为重 要本章我们系统的引入了乘积符号动力系统的概念，并研究了它的基本动力 性状 2 2 乘积符号动力系统的概念 设( ( 鼽) ，吼) ，i n 为单边符号动力系统，s = o ，1 ，仇一1 ，为 其状态空间，记( 阢) = z = ( z o ，z 1 ，) i x ( 鼽) ，i = 0 ，1 ，) 定 i = 0 0 00 00 0 0 0 义no i ：( 鼽) 一( 鼽) 为对任意z = x o ：z 1 ，) i i e ( p i ) ， i = 0i = 0i = 0i = 0 c , oo o0 0 1 - i 仍( z ) = ( 仃o ( z o ) ，仃，( z 1 ) ，) 1 7 ( 鼽) 当( 纯) 赋予乘积拓扑时， i = 0 i = 0i = 0 o o 甥= 阢，阢+ l ，巩+ m 】i 踢，j = i ，i + m ，i o ，m o ) 为i i ( 鼽) i = 0 的一个基底，其中踢为e ( p j ) 中的基本基，【阮，阢+ 1 ，玩+ m 】= z = ( z o ，z 1 ，) i i ( 纯) l ，歹= i ，i + m ) 称为i i ( 鼽) 中基本开 i - - - 0i = 0 。 集，它也是闭集( p t ) 是一个紧致全不连通可度量空间，其上度量 为：慨：( z 。一) ，秒：( 矿办) 矗( m ) ，d ( 删) ：妻哗攀，其 。o i = - 0 o 。 i = 0 中p i ( ：，y ) 为( 鼽) 上的度量称( ( 阢) ：i io i ) 为单边乘积符号动力系 9 第：审乘积符号动力系统 统，称i i 以为n ( 鼽) 上的( 如，p ，) 阶转移自映射，简称转移自映射 i - - - 0i = 0 o 。 o o 在上述拓扑结构下1 7c q 为连续的满映射& 称作单边乘积符号动力系 t = o i = 0 。o 统( ( 阢) ，几) 的状态空间 2 类= 0 似双边i 符= 0 号动力系统的概念，我们可以定义双边乘积符号动力系统由 于双边乘积符号动力系统与单边乘积符号动力系统的动力性状很相似，对它们 的研究手法也相似，本文重点研究单边乘积符号动力系统文中的乘积符号动 力系统均指单边乘积符号动力系统 2 3乘积符号动力系统的基本动力性状 定理2 3 1 对任意的k ，( ( m ) ，c r k ) 可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系 统( ( 仇) ，i i 既) 中 。茬明首先i = ，0 对任意i 七，记x i ：( o ，0 ，) ，则为慨) 中的不动点定 义映射九：( p 七) _ i i ( 胁) 为，对任意z ( m ) ，九( z ) = ( 护，z 1 ，x k - i z ， i = 0 z 州，) ( 仇) 对( p ) “中的点z 和可，由乘积符e s 动力系统上度- n 的定义知， ( 2 ( 九( z ) ，丸( 妙) ) = 堕笋m ( z ，可) ，故h 为连续映射因为九是单射及( m ) 是 紧的拓扑空问，所以h 是拓扑嵌入 其次，对任意z 七) ，由 = ( z o ) z 1 ，z 七一l ，仃知( z ) ，z 七十1 ，) = ho 仃忌( z ) 知，( 几) 。h = h 。 蒙上说明，( 南) ，吼) 通过允拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系 统i i ( p 川n 既) 中 1 0 +七 zz 一耙 zz o z 吼 瑚 = z忽 。 盯 枷 西北人学硕- 学位论文 推论2 3 1 ( n ( 仇) i i 吼) 有以每一个正整数为周期的周期点 证明由定理l 知，( ) ，) 可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力 系统中又因为( e ( p k 。) ，r y k 。) 有以每一个正整数为周期的周期点【3 2 i ，所 以( n ( 胁) ，以) 有以每一个正整数为周期的周期点 t = oi = 0 o oo o 定理2 3 2 ( y i 的周期点集在( 仇) 中处处稠密 i = 0i - - - 0 d o 五f 明任取i i ( 肌) 中的一个开集，不妨取成基本开集 u = i 【，阢+ 1 ，沈+ m 】，其中i ，m 0 ，为( 胁) 上的基本开集，i 歹 因为对每个( ( 肌) ，0 1 ) ，砚的周期点集在( p z ) 中处处稠密【3 2 】，所以 当i j i + 仇时，在e ( p j ) 上存在周期为乃的周期点，使得x j 令y = ( y o ，y 1 ，) ，当i j i 十m 时，y j = x j ，其它情况，y j 为的不动点 由乘积符号动力系统中基本开集的定义，y u 。令为? i ，如+ 1 ，2 件m 的最 小公倍数，根据周期点的定义，y 是周期为n 的周期点，故1 7 0 r i 的周期点集 o o i = 0 在n ( 仇) 中处处稠密 i = 0 o 。 引理2 3 1 设z = ( 护，z 1 ，) n ( 鼽) ，若每个( 鼽) 为o i 的周期 i = 0 为佗的周期点，则z 为i i o r i 的周期为n 的周期点 证明根据周期点的定义【3 2 】，对每个，回( ) = ，当0 m 佗 时，仃( ) 因为( 吼) n ( z ) = ( 盯孑( z o ) ，盯? ( z 1 ) ，) = ( ，z 1 ，) = z ， i = 0 当0 o ，使得哼( 巧) = ( 助) 令n = m a x f 码拉歹i + m ) ，则( n 吼) n ( u ) ) 任0 ( 吼) n ( 矿) ，由乘积符号动力系统上转移自映射的定义 o 。 i - 1 i + m ( 几) 扎( 矿) = i i 哆( ( 乃) ) n 哆( 巧) i = 0 j = oj = i j = i + m + l哆( ( 耽) ) = ( 肌) ， 故( 吼) 札( u ) = 慨) i = 0 i = 0 0 o ，当n n 时，有( n 既) n ( u ) nv 仍 i = 0 o 。 证明任取i ) 中两个非空开集以v ，由定理4 知，存在n i = 0 o 。 o o 0 ，使得( no - i ) n ( u ) = he ( p i ) 所以对任意礼n ，( 既) n ( u ) ny = 0 2 ：ui = 0 i = 0 0 0 o o o 。0 0m ( n 吼) n 一。( 观) ( u ) ny = ( n 吼) n 一( ( 仇) ) nv ，由于既是满映 0 2 u1 2 u i = 0i = 0 i = 0 。o o 。 射，故( 叫仆( n ( p t ) ) nv = 慨) nv = v d 1 2 妇北人学硕。l ：学位论文 o o 我们知道：拓扑混合兮拓扑弱混合拓扑传递【3 2 l ，故( 1 i 也是拓扑弱 i = 0 混合，抚i 扑传递的 引理2 3 2 【3 】设x 和y 为紧的拓扑空问，西为x 上的连续自映射， q 0 为y 上的连续自映射，定义矽妒：x y _ x y 为，任意( z ，) x 矽妒( z ，y ) = ( 矽( z ) ，妒( 可) ) ，则咖妒为x y 上的连续自映射，且动 力系统( x 咖q o ) 的熵满足，e 优( 矽妒) = e 礼t ( 咖) + e 耐( 妒) 此处的熵既 是a d l e r 意义下的熵，又是b o w e n 意义下的熵 定理2 3 5 e 谢( 几) = 。o ，即1 1 1 7 i 的熵为无穷大 i = 0i = o mm 证明根据引理2 及e n t ( o d = l g p t 3 2 】知c n t ( 吼) = l g 鼽对任意有 i = 0i = 0 m仇 限个符号动力系统的乘积动力系统( i i ( 鼽) ，n 吼) ，我们用类似于证明定理1 i = 0i = 0 mmo oo 。 的方法，可以证明( i i ( 阢) ，吼) 可以拓扑共轭嵌入于( ( 轨) ，i i 吼) 中， i = 0i = 0i = 0i = 0 o om m o 。 故对任意弧( 吼) e 疵( 吼) = l g 即e m ( n 既) = o o 定义2 3 1 如果存在6 0 ，使得z ，y x ，z y 蕴涵存在几0 ，满 足d ( 厂n ( z ) ，尸( ) ) 6 ，则f 叫作扩展映射，巧叫作厂的扩展常数 定理2 3 6 i i 吼非扩展映射 证明对任意整数m 0 ，令j = 【l o g 多】+ 1 ，则有2 j 仇，取z = x o ，z 1 ，) ，可= ( y oy 1 ，) 丌( 纯) ，其中对每个l ，x l = ( z 6 ，z i ，) ，y t = ( y o ，y ，) ( p 1 ) ，满足，当l = j 时，对每个k ，皖，当l 歹时，= y l , 对任意n 叫( ( 矗几) ( i 。i 仉) 俐：妻业盟掣： 堕尘丛竺2 l j 型：刍 0 ， = $ 1 a oh 一1 ，f oh 一1 1 ，记骘= z = ( z o ，x 1 ， i = o ( 3 1 ) ( 3 2 ) o 。 对每个p t ，r 0 t ，b m ，镶一1c ( 鼽) 是两两不相交的非空闭子 i = o 集，因为紧空间中的闭子集都是紧的，故口孑，b i ，罐一1 是两两不相 交非空 以 o o 1 ) 对任意( j oj 1 ，- h 是同胚映射，紧性在连续映射下保持不变，所 cx 是两两不相交的非空紧子集 ) & ，由霹的定义，( 巩) ( n 礞) = i - - - 0i = oi = o 根据乘积符号动力系统上转移自映射的定义， 一1 ，l = 0 ，1 ，) ) = = 0 ，1 ，) ) ， 吼) ( z = ( x o ，x 1 ，) 因为对i 0 ，0 j p i 一1 ，4 ；i = h - 1 ( 劈) ca ，所以 o o 1 雾) =以雾)= f l a ( nh - 1 ( 啐) ) = 小。 _ ( n 礞) i = oi = o 1 6 ( 3 3 ) u 砖、， 一 肼宠 u ” q 厂 是u n c 请 肌o 1 i d溉喈n 铷 o u 铷训 芄仁脚 碑雒 卜 8 n 渤q ， = 。，八 一 玑1 z a & 班 ” 篷 u 臂伽砒 盯 ! i o 一 忍 一 吼 铷 。 一 九 、，u o z p m 一 歹哆 一y o 圹 0 = 八i 移， z 4 对 令 鼬 一 又 m 矿 a 集 ， 子 ， 紧嵋p 0 4 ，1 一 p 一 一 0 b o z p ：l z o z = z rlfl 盯 n ：l 故 0 ! l 铲 ，fl 1d 0 盯 铷 p 0 都成立，这说明了n ，一8 ( na m 仍 s = oi = 0 0 0 o o 从而对( j o ，。砖，) & ， 厂一8 ( n 以鬟) ) 墨。为x 中具有有限交性质的闭集 族，由于x 为紧致空间，紧致空间中具有有限交性质的闭集族都有非空交，所 0 0o 。 以nn ，- 8 ( a 凳) d i = 0s = o i = 0s = o 下面把这个单点集和它所含的点等同起来 对每个i ，记g = a 分u4 pu u 4 象一l 下碡i 证明 任意z u ( 歹台，歹 ，) ( p 七) ，尼= 是单点集 0 0o o 且人= nn f - 8 ( g ) i = 0s = o 0 00 0 nn ，f - s l a p s ， ( 砧，j ，) ( p k ) ，k = o ，1 ，i = os 2 0 nn 厂8 ( q ) ，对每个i ，s ，存在a 笺 cg ，使 i = 0 s = 0 得z f - 8 ( a 关) ，故z u ( 站，j f ，) ( m ) ，k = 0 ，1 ， f - s ( a 凳) ，所以 对任意z unn ，- 8 ( a 羹) ，对 嘴，升，) 仞 ) ，k = o ，1 ，i = 0s 2 0 o oo o 在( 殆，7 ，) ( m ) ，使得 z ) = nnf - 8 ( a f t ) c 1 8 c 每个k ，存 n ：l ， 七n 鲫 七 r，厂 1 l 、l ， 礤珐 以 n ：l 一 厂 阢珐 以 n 劬 ， n 瑚 n 秘 a n 瑚 “” 上 卜 ， 哆维 n尸v加 ，l ) _ =a盯扛n：l 一 ： 厂 | l n a，om础价御 。扛n 置 唆 隧n 枷 据 = 如 也 吖 ， r _ ，窭m 0 小 故 一 l 亿 0 ，令 彰竺= _ ( nn 厂8 ( a 笺) 1 4 凳 a 菇，月关，a 凳一) ，i = o ，1 ，礼) ， 则。嘭嚣为有限集，且对蟾中任意两个不同集合 nn ，一8 ( a 凳) ，nnf - = ( a 笤) ，有nn ，一8 ( a 关) nnn - 8 ( a p 。；1 ) = 仍这 i = 0s = oi - = 0s = o i = 0s = oi = 0s = o 是凶为，由nnf - = ( 么嚣) ，nn ，一8 ( l 譬) 不相同知，存在 i o 0 ，1 ，7 。) ，5 0 0 ，1 ，m ，使得- - s o ( a p 棚y , ，f - s o ( a p 以z ，o ) 不相同，根据 定理条件对每个i 0 ，a i 。，a ：i ，a 复一1 为x 中两两不相交的紧子集，故有 n ns 一8 ( a 毙) nn n s s ( 4 笞) c - = o ( 4 j p 积i o ) n ，咄( 4 p 。嚣i o ) = 仍i= 0s = 0 i = 0s = 0 1 ” 因此 ，吲a = nn 厂5 ( 镶) n a i a 关 a 纛，a 关，a 凳i - - 1 ) ，待o ，1 ，佗) i = os = o 是山两两互不相交的闭集构成的a 的有限覆盖，也是开覆盖故对每 个m ，礼，nn ，q ( 1 关) na 为a 中的开集 i = 0s = o o。oo0 0 任意z = nn ，一8 ( 1 关) 人， ( z ) = ( ，) i i i ) ，对每 i = 0s = oi = 0 点y = nn 厂8 ( a 霪) nn 厂8 ( a 凳) na ， ( y ) = ( l 。，l 1 ) ) i i ( 优) ， 对每个勋，l k = ( z 台，冶，o 由乘积符号动力系统上度量定义d ( ( z ) ， ( ) ) 喜志+ i 耋。掣南+ 刍瑚明危馘 因为人和i i 慨) 是紧致豪斯多夫的空间，故h 一1 亦连续，因而h 是同 胚映射 ( 4 ) 7 ，。m = ( 吼) 。h 设z = nn ，f - s ( 、a j p ；i ) a ，危( z ) = ( ，0 ，1 ，) ，对每个k ，如= ( 砧，歹 ，) ， 则对每个s ，厂8 ( z ) n 人关，故f s + 1 ( z ) n 1 z + 。，即厂( z ) y - q na ；! + 。) ， 中 a鲰 a n 纯露 4 吖 ， n n 铷 域小开的 z 对 l m几 碚 i l 亿 老 个 西北人学硕。i j 学位论文 又由于nn 厂一s ( 4 笺+ 。) 为单点集，因此，( z ) = nn ，_ s ( a 凳+ 。) h o ，i a ( z ) = i = 0 s = o i = o s = o o 。 o o ，o 厂( 丁) = ( 一1 0 ，百，) ( 鼽) ，对每个七，瓦= 0 ，砖，) ( 吼) 。九( z ) = i = 0 i = o o o o o ( n 以) ( ，o ，1 ) = ( 仃o ( ，0 ) ，盯l ( ，1 ) ，) = ( 一r 0 ，瓦，) ，所以ho ，i a = ( 吼) 。 i = 0 i = o h 综上证明了，有( p 0 ，p 1 ，) 阶广义转移不变集 3 4 本章小结 本章主要给出了判断动力系统( x ，厂) 有广义转移不变集的充要条件当动 力系统( x ，厂) 有( p o ，p l ，) 阶广义转移不变集时，它就是非扩展的，而且拓扑 熵无穷，同时包含着l i y c r r k e 混沌集，具有任意周期的周期点我们知道符 号动力系统是特殊的乘积符号动力系统当将该定理限制在符号动力系统上时， 本章给 j = j 的充要条件正是张筑生在文f 3 1 1 中给出的主要结论作为符号动力系 统在一般动力系统理论研究中的应用，转移不变集的作用很大，但目前对一个 动力系统有广义转移彳、= 变集的实际用途还一明确，有待进一步的研究发现 2 1 筇p n q 审乘积符号动力系统的子转移 4 1 引言 第四章乘积符号动力系统的子转移 子系统在动力系统的研究中扮演着重要角色大体而言，我们要研究一个 紧致系统( x ，- 厂) 的动力性状，由于( x ，) 的每一个子系统的动力性状是它的 动力性状的一部分，所以它的全体动力性状就可以由它的全部子系统决定乘 积符号动力系统是紧致完全不连通动力系统的典型代表所有定义在紧致完全 彳连通空间上的动力系统都可以拓扑共轭于乘积符号动力系统的一个子系统， 凶此对乘积符号动力系统子系统的研究非常重要本章我们定义了乘积符号动 力系统的子系统，即子转移，并给山子转移的个一般性描述 4 2 乘积符号动力系统的子转移的定义 定义4 2 1 若闭子集a 慨) 对n 吼保持不变，则称( a ，( o i ) i a ) i = 0i = 0i = 0 。oo oo o 为( 1 1 ( 鼽) ：i i 吼) 的子转移为方便起见，用l ( i i ( 阢) ) 表 i = 0 i = 0i = 0 示( i i ( 鼽) ，吼) 的全体子转移的集合 定义4 2 2 对i 0 ，m 0 ，当i j i + m 时，若a j = ( a o ，回，哆_ 1 ) ， r j 0 ，为岛上长度为吩的有限序列 a 2 】，则称a = ( a i ，a i + l ，a i + m 一1 ) 是 兀& 卜长度为m 的有限序列，简称 。一序列 i = 0 o 。o 。 设z = ( z o ，z 1 ，) 1 i ( 仇) ，对状态空间i i & 上的有限序列 a = ( a i ，a i + 1 ，a i + m 一1 ) ，其中i 0 ，m 1 ，如果存在佗0 ，使得z 礼 a t ，凡 a i + 1 ，n a 件仇一1 】，即对i j i + m 一1 ，有x j 礼【如】，则说“有 限序列a 出现存z 内”或说“z 含有4 ，记作4 - kz 设人cn ( 鼽) ，对状态空问& 上的有限序列a = ( a i ，a i + l ， a i + m - i ) ，其中i 0 ，m 1 ，如果存在z a ，使得a - kx ，则说“a 出现在a 2 2 西北人学硕。t j 学竹沦文 内” 4 3 乘积符号动力系统的子转移的一般型描述 定理4 3 1 对& 上任意有限序列的集合，记a = z i i ( 仇) i 1 必 i = 0 i = 0 o o 。，v a ) ，则a l ( n 慨) ) i = 0 证明对i 0 ，m 0 ，设a = ( a t ，a + 】，a + m 一】) ，按定义，a 可 以在其内出现的点的集合为a 上形如 n a i 】，n a 件1 】，n 【a 件m 一1 】，n 0 ，的 柱形的并因为对i j i + r n ，n 【如】为2 ( p j ) 中基本开集，根据乘积符号动 力系统中基的定义知，【札 a i 】，n 【月件1 】，n 【a 件m 一1 】，几0 为i i ( 鼽) 中基本 oo(30 i = o 开集，因而可数个开集的并uh 1 t 】，n ( 1 件1 ，n l 件m - 1 是( 仇) 中的 n - - 0 i = - 0 开集，因此a 不能l 中i 现在其内m 现的点的集合 o 。 o oo o n = i i ( 阢) 一u n 4 i ，n a i + i ，几 a 件m 一1 是( 鼽) 的闭子集，而a i = 0礼= 0 i = 0 0 0 既是当a 跑遍时a 所对应这样的乃的交，故a = n 乃是慨) a i = 0 的闭子集 。o 下而说明人，对吼是不变的，任取z 人，由a 的定义有，任 意a 人，4 z 若存在i 0 ，m 0 ，b = ( 玩，b i + 1 ，b 件m 一1 ) ，使得 b 一 0 ，使得( 吼) ( z ) k 【b i ，n b i + i 】，n 反+ m 一1 】， 则z 【n 十1 b i 】，n + 1 【b 件l 】，n + 1 【b i + m 一1 】 ，这与j e 77 幺z 矛盾，故 b ( 吼) ( z ) ，这说明a 对i io i 是不变的 i = 0i = 0 o 。 定理4 3 1 说明，每给定& 上一个有限序列的集合，就决定 i = 0 。 o o 了( 肌) 的一个对i if f i 不变的闭子集a 奶因而也就决定了一个子系 i = 0i - - - - 0 统 2 3 衫 八 1 、 八 八 弋叫 盯 铷 第阴章乘积符号动力系统的。f 转移 叫做子转移( a ，( 吼) 1 人一) 的排除系统，( a d ，( n 吼) i a ) 叫做由排除系 i = 0 i = 0 统决定的子转移为方便起见，记人= z 1 - ( 仇) i a 。，v a ) i = 0 o oo 。 定理4 3 2 设a l ( i i ( 鼽) ) ，则存在i i & 上有限序列的集合，使 得人= 人 证明令是& 上所有不出现在a 内的有限序列集合，由排除系统 的定义人a 矶若a 妄a 矶人为a 中闭集，则a 一a 是a 中的非空 开集，故存在i i ( m ) q - 的非空开集u ，使得uf a = 人一人根据拓扑 空间中基的定义，存在有限序列b = ( b t ，b 件1 ，b 件m ) ，其中i 0 ，m 0 ， 便 o 鼠j ，0 b i + 1 ，0 鼠+ m j 】，且( o 邑 ，0 【b i + 1j ，0 鼠+ m j j f1a 口， 于是有【o 8 i ，0 【b i + 1 ，o 【b t + m 】3n 人a 一a 若存在y a ，使b _ 0 ，。十1 ，且= u 识，则a = na 娠 n 0n o 证明 设，为& 上有限序列的集合，由排除系统的定义及定 理4 3 1 的证明过程可得a = na a 进而，n 人 a ) = nna a = n 八。= n 人咖 研l 矿 n o o o 定理4 3 3 设，衫为1 - i 虢上有限序列的集合，则存在i i & 上有限序列的 集合1 f 。簖 茫l ，满足。+ l ，= u 。，因而a = na 蛎 n on o 证明对每个礼 0 ，令编是衫的长度不大于n 的有限序列的集合显 2 4 西北人学硕_ f - 学付论文 然有。螈职+ 1 和= u 职，再由推论4 3 1 ，得a = na 碥 n 0 n 0 4 4 本章小结 本章定义了乘积符号动力系统的子转移，并给出了子转移的一个一般性描 述，即通过排除系统来刻画子转移一个排除系统可以决定一个子转移；同时给 出一个子转移! 它也可以看成是某一个排除系统决定的子转移但是排除系统 与子转移问不是一一对应的，一个子转移对应着多个排除系统我们知道，乘积 符号动力系统是紧致完全不连通动力系统的典型代表而且任意一个定义在紧 致完全不连通空间上的动力系统都可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系统中， 即在拓扑共轭意义下作为乘积符号动力系统的个子转移因此，通过对子转 移的刻画可以揭示所有紧致完全不连通动力系统的动力性状 2 5 筇 章一个动力系统以拓扑j i 轭嵌入到乘积符号动力系统中的允璎条件 第五章一个动力系统可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力 系统中的充要条件 5 1引言 在对符号动力系统的研究中我们得到了很多结论，然而通过a k a s h i 和以 上我们对乘积符号动力系统的研究，发现乘积符号动力系统的很多动力性状还 没有研究比如，在上一章我们定义了乘积符号动力系统的予转移，并对了转移 进行了刻i 日l j 可是一般动力系统满足什么条件才可以拓扑共轭嵌入到乘积符号 动力系统中? 即在拓扑共轭意义下，如何判断，个动力系统可以作为某个乘积 符号动力系统的子转移? 本章我们给出了判断一个动力系统可以拓扑共轭嵌入 到乘4 符号动力系统巾的充要条件，并且具体研究了该充要条件的应用 5 2 主要结论 定理5 2 1 设( x ，) 是一个拓扑动力系统，则( x ，) 可以拓扑共轭嵌入到 乘积符号动力系统( i i ( 鼽) ，几) 中的充要条件是：x 中存在可数个由两两 互不相交的开闭集构成的集族。i 。f ，q ，l f i - 。1 t i = 0 ，1 ，) ，其中如为不大于p i 的 整数，满足： 如一1 1 ) 对每个i ，u 巧= x ， i = o o o0 0 2 ) 刈。每个i ，及( 砧，者，) ( 鼽) ，c a r d ( nnf - s ( f ，i ；) ) 1 ， i - - - os = 0 o oo omk 3 ) 如果nn - s ( f ，i ；) = _ z ) ，则 nn ，一8 ( f ，i ；) ) ：o 构成点z 的一个 i - - - - 0s = 0i = 0s - - - - o 拓扑基 证明先证必要性由( x ，厂) 可以拓扑共轭嵌入到乘积符号动力系 统( ( m ) ，i i 瓯) 中，知存在i i ( 鼽) 的一个子空间z 和一同胚映射h ： i - - - - 0i - - - - 0i = 0 o o x _ z ，满足h 。f = ( 既) 。h i - - - o 2 6 西北人学坝 学化论文 对i = 0 ，1 ，歹= 0 ，1 ，p i 一1 ，记磅= 3 7 = ( 。o ，z 1 ，) i i ( p i ) l i = 0 e o 阴) ，其中对1 耳0 ，1 ，z 2 = ( z 6 ，z i ，) ( p ) ，令巧= h - x ( 嘭nz ) 由q 的定义知，对每个i ，蕊，口i ，b 0 ；一1 ) c p t l 不相交的开闭集，且u 磅= 个 i ，毋， j = o 为x i i ( 阢) 是两两 i = 0 o 。 i i ( 鼽) ，根据h 的连续性得，对每 i = 0 中两两互不相交的开闭集，再根据h 的满性 p z 一1p t 一1 有u 碍= u 一1 ( 嘭nz ) = 九一1 ( z ) = x 因为嘭nz 可能为空，所以 j = oj = o 有些巧可能为空，但并不是所有的巧均为空集，否则所有的qnz 为 空集，则z 只能为空集，进而x 只能为空集，显然这是没意义的不失一 般性，下而假设当0 ，如一1 时，巧函，当毛j p i 时，弓= 仍， z i 一1 p t 一1 则u 碍= u 巧= 九一1 ( z ) = x 条件1 ) 成立 j = oj = o o o 由h 。，= ( 观) 。h ，有h 。，n = i = 0 吼) noh ，从而 ，一n 。h 一1 = h 一1 。( i i 吼) 一对i = 0 ，1 ，及( 霜，i ，) ( 纯) ，有 i = 0 o 。o oo o nn 厂s ( 磋) = nn 厂s 。允_ 1 ( 磅；nz ) t = 0s = 0i = 0s = o 0 0o o = nn i = 0s = 0 o o _ 1 。( i = 0仍) q ( 镶n z ) = = 1 ( ( ，o ，l ，) i i ( p i ) i 厶= i = 0 ( 弼，歹i ，)( 乃) ，待0 ) 1 ) 1 nz ) o oo o 当( i o ，l ，) z 时，因为h 是同胚映射，所以c r 。( f ( nn ，- s k f 以i ) ) = 1 ，当 i = 0 s = 0 o oo 。 o oo 。 ( ，o ， ，) z 时，则nn 厂8 ( 磋) = 国，综上c a r d ( nn ，- 8 l ，以i ) ) 1 条 i = 0s = 0i = 0 s = 0 件2 ) 成立 设 x o 厂q ( ) ，则对每个i ，s ，- 厂8 ( z o ) 磋，根据碍的定义，有 f 8 ( 茁o ) h - 1 ( 彰jnz ) ，即x 0 ，叫。h - 1 ( g ：nz ) = h 一1 。 2 7 吼) 叫( 磅；n z ) ， ：l ，l 刁 n骘 弋广 几 御n 鳓n 枷 矿 n 鲫n 枷 御 ，l 篼- h 审一个，；l j 力系统- j 。以拓扑j 轭嵌入到乘积符号动力系统中的允要条件 从而 ( z 。) ( 吼) 一5 ( 嘭：nz ) ，( 吼) 8 。 ( 。o ) ( 嘭；nz ) ，这说明 i - - - - 0i = 0 ( z o ) = ( o ，i i ，) 丌( 仇) ，对每个i ，五= ( 靠，j i ，) 慨) i = 0 mk 下面说明 nn 厂邓( 磋) ) 筋：o 构成点x o 的一个拓扑基令u 为x o 在x 中 任一开邻域，区l 为h ：x _ z 是同胚映射，所以h ( u ) 为h ( x o ) 在z 中开邻域， 从而存存i i ( 胁) 中一个基本开集。u = 【v 0 ，】，其中对每个i ， i = 0 k = o 【死，j l 。，矗】，佗0 ，使得。un zc 尼( u ) 由于。u = nn ( n 几) 叫( 嘭：) ，故 一1 ( 。unz ) = _ 1 ( nn ( n 几) 叫( 殇；) nz ) = i = 0s - - oi = 0i - - - - 0s = oi = 0 综上有u ) h - 1 ( 。unz ) = nn 厂8 ( 巧i ；) ，从而说明 nn 厂8 ( f ，i ；) ) 赫：o 构成点x o 的一个拓扑基 i = 0s = 0i = 0s = 0 条件3 1 成立 下而证明充分性设对i = 0 ，1 ， 。f ，i ，d f , - 。1 为由x 中两两互不相交的非 空开闭集构成的集族，且满足定理条件因为( n ( 2 i ) ，n 巩) 通过恒等映射可 o o i = 0 0 0 i = 0 以拓扑匕轭嵌入到乘积符号动力系统( n ( 鼽) ，n 吼) 中，其中l i p i ，所以充 i - - - - 0i - - - - - 0 0 00 0 分性的证明只需证( x ，) 可以拓扑共轭嵌入到( n ( 如) ，吼) 中即可 i = 0i = 0 首先，构造映射h ：x _ ( 如) 对每个。x 及每个t ，s n ，由上述 i = 0 条件及条件1 ) ，知存在唯一的j j o ，1 ，如一1 ) ，使得厂8 ( z ) f j i ；，即z 0 0o 。 o oo 。 - - 8 ( 吆) ，从而z nn 厂q ( 磋) ，根据条件2 ) ， z ) = nn - - 8 ( f ，i ；) ，定 s = o i = 0s = o i = 0 义，。( z ) = ( ，0 ，1 1 ，) ( 如) ，其中对i = 0 ，1 ，厶= ( 弼，歹i ，) ( 如) i = 0 0 0o o 1 ) h 是单射任意z ，y x ，不妨设 z ) = nnf - s ( 磋) ， oo。o o o i = 0s = 0 j = nn f - s ( 磋) ， ( z ) = ( ，o ，l ，) ( 如) ， ( ) = ( l o ，l - ，) i = 0s = oi = 0 ( 2 i ) ，其中埘每个庇，死= ( j o k ，歹 ，) ，l 岛= ( f 5 ，f ，) 若 ( z ) = 危( 可) ，则 2 8 呸 川 f j n n 枷七n | i 们 劢 n 唠 圹 o 厂 n | nn 等 硒北人学硕f 学位论文 对每个七，i ，有j k = 2 7 ，即f j i ：2 嚏，从而z 2 y 2 ) 令危( x ) = zc ( 2 t ) ，现证明h ：x _ z 连续 i = o 任取 z o = nn ，5 ( 磋) cx ，则h ( z o ) = ( ，0 ，l ，) z ，其中对每 个i ，i = ( 7 - o i ，7 i ，) ( 如) 任取h ( x o ) 在z 中的邻域u ，根据拓扑空间中 基的定义，存在h ( x o ) 在z 中的基本开邻域v = 【u o ，u 1 ，】nz cu ， 对0 i ，r ，。，既= o 眈，j l 。，幺】，其中他0 ，又由于九( nni 厂一8 ( 磋) ) = v ， s = o i = o 再由每个壤都为x 中基本开闭集，知nnf - , ( 壤) 为z o 在x 中的个 开邻域，这就说明h 在点z o 连续，由z o 的任意性，得h 在x 上连续 3 ) h 。连续任取( ， ，) z ，其中对每个i ，厶= ( 面，歹i ，) ( 瓦) ， 令h - a ( ，0 ，1 ，) = x o x ，u 为x o 在x 中任意一个邻域根据h 的定义，有 z o ) = nn ，喵( 磋) ，再由定理条件3 ) 知，存在m ，忍n ，使得 s = o i =