（基础数学专业论文）非扩张映象变形迭代算法的强收敛性.pdf

摘要 非扩张映象变形迭代算法的强收敛性 摘要 本篇论文我们研究非扩张映象各种变形迭代算法的强收敛性 在第一章我们首先介绍非扩张映象迭代算法的研究背景 1 1 7 1 及 一些概念和引理 在第二章我们改进迭代算法x n + l = 。f ( x 。) + ( 1 一a 。) t x 。，引入 新的变形迭代算法 z n + 1 = o l 。f ( x 。) + 岛。z 。+ t x 。 研究一闭凸集合q 上的非扩张映象z 1 的不动点问题当 0 ，1 】中 的系数 。) ， 席 ， ) 满足：o l 。+ 风+ = 1 ，l i r n 。o 。血。= 0 ， 巽i 盘。= o 。，0 l i r n i n f 。风 j m s u p 。o 。届。 1 及其他一些适 当的条件时，则序列 。) 强收敛至变分不等式 ( ( ，一f ) x + ，x + 一x ) 0 ，x f i x ( t ) 的唯一解x + ，去掉了h o n g k u n x u 1 中定理3 2 器o i 叶l 一。l 是实数列，满足：l i r a 。= 0 ， 是1a 。= 。，。0 0 ：l d 。+ 1 一o z 。i 。，甚ll a 卅1 一a 。i 0 0 及其他 一些适当的条件时，序列 z 。) 仍然具有强收敛性我们也研究了变形 扰动迭代序列 z ，i + 1 = a 札乱+ 风。礼+ s k + 1 。+ l ( 。n a n t x ) ，x o = u q 的强收敛性，去掉了上述结果中条件墨1i o ! n + l 一。l o o ，并将条 件甚1l a 。十1 一h l o o 弱化为l i k 。o 。i a 。十1 一k i = 0 关键词：非扩张映象，变分不等式的解，迭代，度量投影，h a u s d o r f f 距 离，逆一强单调映象 一 塑! ! 坠里 s t r o n gc o n v e r g e n c eo fm o d i f i e di t e r a t i v e p r o c e s sf o rn o n e xp ：a n s l v em a p p i n g s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ed e a lw i t hs o m es t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m so fm o d _ i f i e di t e r a t i v ep r o c e s sf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n s ，l e m m a sa n dr e c e n t r e s u l t so fi t e r a t i v ep r o c e s sf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s s e e 【1 - 1 7 】 i nt h es e c o n dc h a p t e r , w eu s eam o d i f i e di t e r a t i v ep r o c e s s x n + l = o l n f ( x n ) + 风z n + t 。n i n s t e a do f z n + 1 = o l n f ( x n ) + ( 1 - - a n ) t z nt os t u d yt h ef i x e dp o i n t sp r o b l e m f o rn o n e x p a n s i v em a p p i n gto nac l o s e dc o n v e xs u b s e tqo fah i l b e a s p a c eh w h e n 。) ，( 风) ， c 【0 ，1 】s a t i s f y ：o n + 风+ = 1 ， l i r n n o 。d n = 0 ，器l o l n = o o ，0 l i m i n f n 。o 。风l i r a s u p n 。o 。风 1 a n ds o m eo t h e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ， z n ) c o n v e r g es t r o n g l yt oa f i x e d p o i n to ft w h i c hs o l v e st h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ： ( ( ，一f ) x 4 ，z + 一z ) 0 ，z f i x ( t ) w ed e l e t et h ec o n d i t i o n 是o i a n + 1 一a n i o rl i m n 一 = 1i n t h e o r e m3 1o fh o n g k u nx u 【1 】 i nt h et h i r dc h a p t e r , w eu s e an o n e x p a n s i v em a p p i n gs z ：= ( 1 6 ) z + 5 t xi n s t e a do fn o n e x p a n s i v em a p p i n gt ，i n t r o d u c eam o d i f i e di s h i k a w a - i i i a b s t r a c t i t e r a t l v ep r o c e s s fx n + 1 = o l n 乱+ ( 1 一n ) s ， 【= 风z 。+ ( 1 一) s 。，v n 0 i nar e a lb a n a c hs p a c e ，w h e n 。， 风) c 0 ，1 】s a t i s f y ：h i i l n o 。a n = 0 ， 是o a n = o 。，l i r 。o o 风= 1a n ds o m eo t h e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ， z n c o n v e r g es t r o n g l yt oa f i x e dp o i n to ft w ed e l e t et h ec o n d i t i o n s f i o n t x ni l _ 0a n d 鼽) a r eb o u n d e di nt h e o r e m3o fs s c h a n g ， h w j o s e p hl e ea n dc h i k a nc h a n 【3 】t h e o r e m3 1 o fc e c h i d u m e ， c o c h i d u m e 2 】2 i sa s p e c i a lc a s eo fo u rr e s u l t sw h e n 风三1 w ea l s o g i v eap a r t l ya f f i r m a t i v ea n s w e rt or e i c h so p e nq u e s t i o ni nb a n a c hs p a c e w i t hau n i f o r m l yg s t e a u xd i f f e r e n t i a b l en o r n l i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h es t a b i l i t yo fi t e r a t i v ep r o c e s s z n + l = ( “+ ( 1 一c ) s r 2x n a n t x n ) ，x o = u q ， i n t r o d u c e di nh i i d u k ，w t a k a h a s h i 4 】w i t hr e s p e c tt op e r t u r b a t i o n so f c o n s t r a i ns e t l e tq 口，凫。a r ep e r t u r b a t i o n so fc l o s e dc o n v e xc o m p a c t s e tq ，n o n e x p a n s i v em a p p i n gs ，a n dm e t r i cp r o j e c t i o n 玮r e s p e c t i v e l y ，w e g e tap e r t u r b e di t e r a t i v ep r o c e s s x n + l = 。 l z + ( 1 一( y ) 5 k + 1 。+ l ( z n 入n t x n ) ，x o = q w h e r e q 。) c 0 ，1 ) ， h ) s a t i s f y ：l i r r k - + o 。a n = 0 ，墨1q 。= 。， 甚li a n + l o l l o 。，：li a 肼l k l 。a n ds o m e o t h e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ， z n ) a l s oc o n v e r g et op f ( s ) n v z ( f l ，t ) us t r o n g l y w ea l s o s t u d ya n e wp e r t u r b e di t e r a t i v ep r o c e s s x n + l = o l n u + 阮z n + m ；岛十1 只1 。+ 1 ( x n a n t x 。) ，x o = 乱q r v a b s 弧a c t w e d e l e t e t h e c o n d i t i o n 甚11 + 1 一q n f 0 0 a n d u s e a w e a k e r c o n d i t i o n l i m n o 。l a n + l 一入n i = 0i n s t e a do f n 0 0 ：1l a n + l a n i o oi nt h ea b o v e r e s u l t s k e yw o r d s ：n o n e x p a n s i v em a p p i n g ，s o l u t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ，i t e r a t i v ep r o c e s s ，m e t r i cp r o j e c f i o n ，h a u s d o r f fd i s t a n c e ，i n v e r s e - s t r o n g m o n o t o n em a p p i n g v 一 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：後7日期：2 。叼f f 郴 h j - 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位沦文在解密后 遵守此协议。 研究生签名：络2 门 导师签名彳 沙 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 鬻a 裟狁。经 指导教师：二，6 仍 ，绪论 ( 一) 、研究概况 一、绪论 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它 与近代数学的许多分支有着紧密的联系特别是在建立各类方程( 其中包括各类 线性或非线性的、确定或非确定的微分方程、积分方程以及各类算子方程) 解 的存在唯一性问题起着重要的作用用迭代算法求解非扩张映象的不动点问题 已引起国内外许多学者的浓厚兴趣，在理论研究与算法研究上取得了长足的进 步近年来，h o n g k u nx u ，c e c h i d u m e ，c 0 c h i d u m e ，s s c h a n g ，h w j o s e p hk ， h 1 i d u k w t a k a h a s h i ，j i n l u l i 。l u c h u a n c e n g 在迭代算法上做了很多工作，得到 一些最新结果，见【l 一1 0 1 变分不等式是由h a r t m a n 和s t a m p a c a h i a 在2 0 世纪6 0 年代提出并研究的，从此成为数学科学上一项非常有用的工具。变分不等式问题 作为一种数学模型，在非线性最优化中有较为广泛的应用，在微分方程、力学、 控制论、对策论、经济平衡理论、社会和经济模型、非线性规划、交通和工程 科学等领域也有重要的应用本文用迭代算法寻求非扩张映象的不动点和某些变 分不等式的公共解 1 9 6 7 年b r o w d e r 1 1 】最先研究了h i l b e r t 空间中一种特殊情况：对闭凸集n 中的任意点i t ，定义n 上的压缩映象s t ： & z = t u + ( 1 一t ) t x ，z q 令轨是& 的唯一不动点，即 吼= t u + ( 1 一t ) t x t ( 1 2 ) b r o w d e r 证明了在h i l b e r t 空间中，当t o 时，甄强收敛至映象t 的一个不动点， 并且离u 最近，即钍在f i x 口) 上的最近投影点h a l p e r n 1 2 1 繇 - - 年首次引入 使用迭代格式 z 。+ l = 血n “+ ( 1 一o t n ) t x n ( 1 3 ) 一、绪论 其中让h ，x o q 是任意固定的点， n 。) 是( 0 ，1 ) 中的序列，并且证明序列 z 。) 强收敛至? 的不动点的必要条件：( 1 ) l i m 。o 。o t n = 0 ，( 2 ) ：= o 。1 9 7 7 年 l i o n s 1 3 1 仍然在h i l b e r t 空间的框架中研究，并给出如果 o 。，满足附加条件： l i i r k o 。盥毒 二划= 0 ，则( 1 3 ) 式定义的序列 z 。 强收敛至u 在f i x 口) 上的最 近投影点t 9 8 0 年r e i c h 【1 4 】把迭代序列( 1 3 ) 推广到一致光滑的b a n a c h 空间中 并使用系数 n 。= 礼”) ( 0 血 1 ) 证明了迭代序列的强收敛性遗憾的是 序列 8 。= 士 并不满足h a l p e m 和l i o n s 关于实序列 。 的要求1 9 9 2 年 w i t t m a n n 【1 5 】终于解决了这个问题，并证明在h i l b e r t 空间中，如果系数f a 。，满 足( 1 ) l i r a 。_ o 。= 0 ，( 2 ) e 罂0 8 。= o 。，( 3 ) 。o o ；o 口”1 一a n i 0 时，v x ，y q ， 0 ( 一a t ) z 一( j a t ) y l l 2 = i i ( z y ) 一x ( t z t y ) 1 1 2 = 茹一磐1 1 2 2 a ( 。一g ，t z 一功+ 大2 i l t x t y 0 2 1 1 z 一1 1 2 + a ( a 一2 a ) l l t x t y l l 2 ( 1 5 ) 因此，如果a 冬2 a ，则i a t 是一非扩张映象 定义1 3 设a ：h 一2 日是一集值映象， ( 1 ) 映象a 称为单调的，如果 0 一y ，一g ) 20 ，v x ，y h ，a x ，g a y ( 2 ) 单调映象a 称为极大单调的，如果它的图像是h h 中的极大单调集 一3 一 一、绪论 单调映象4 是极大的，当且仅当v ( 。，) h h ，( ，g ) g ( a ) ，如果 一y ，一g ) 0 ，一定有，a x 定义1 4 正规对偶映象j ：e 一2 驴为： j ( 。) = ，e + ， = 0 2 0 1 1 1 1 ，0 z i i = 0 ，| | ) ，z e 定义1 5 设映象t ：q 一日，所谓变分不等式问题：就是寻求一个“q 使得 和一珏，t u ) 0 ，q 变分不等式的解集记作v i ( e ，丁) 定义1 6 设q 是日中的一闭凸子集，p n ：h q 是度量投影，则对任意的 z h ，存在唯一的片2 。q ，使得 z 一只1 。| | f f 。一引 ，v y q ，v 。日 定义1 7 令u = z e ：忙i l = 1 ) ，e 的范数称为一致g & e a u x 可微的，如果对 每个y u 和任意的x u 极限 l i m 崆芈心 一致存在 定义1 8 ( 1 ) 设集合q 1 和集合q 2 是度量空间的闭凸予集，q l 到q 2 的半偏差为： p ( q l ，q 2 ) = 8 u p z 。o 。i n l 2 n 2 l z i 一砘i i = s t 弛l n 。d ( z l ，q 2 ) 集合q 1 和集合啦的h a u s d o r f f 距离为 日( q l ，q 2 ) = m a x s u p z l n l i n 厶0 2 l l a 2 2 i i ，s t 芦_ 0 2 z 咒丘2 n l | l z l 一免l ) ( 2 ) 设q 和q 。，n = 0 ，1 ，2 是度量空间的闭凸子集，称 h a u s d o r f f - 近 似于集合q ，如果当n 0 0 时日( ，q ) 一0 我们也称集合族 q n 是集合q 的扰动集 一d 一 一、绪论 ( 三) 、几个引理 i 理1 1 【1 】设q 。是一列非负实数，若 a 。+ 1 ( 1 一m 。) o + 6 。 其中t 讹) c ( 0 ，1 ) ， 以) 满足： ( 1 ) 甚1 = o o ；( 2 ) l i r a s u p , 。0 0 惫= 0 或县1 1 矗1 0 0 则l i i n 。n n = 0 引理1 2 1 8 】设 z 。 ， ) 是b a n a c h 空间中的有界序列， z 。+ 1 = ( 1 一尻) + 风口。，v n 0 其中 及 c 【0 ，1 】，若满足： ( 1 ) o l i m i n f 。风l i r as u p n 。o 。风 l ； ( 2 ) l i m s u p ( 1 l y - + 1 一口。i i l i 。n + l z 。lj ) 50 ， 则u 瑚h 。i | 肌；一z 。| l = 0 引理1 3d 2 设日是一h i l b e r t 空间，q 是日中一闭凸子集，t ：q q 是一非 扩张映象使得f i z ( t ) o ，如果q 中的序列 茁。) 弱收敛至z 且序列 ( ，一t ) x n ) 强收敛至y ，则( i t ) 茁= 可 引理1 4 【l 】设日是一h i l b e r t 空间，f 2 是h 中一闭凸子集，：q q 是压缩映 象。压缩系数0 o l 1 ，则 ( z y ，( j 一，) z u f ) v ) ( 1 一o ) l t x 一妙1 1 2 ，茁，y q 即j 一，是( 1 一口) - 强单调的 弓l 理1 5 1 9 1 设q 是暑中的一闭凸子集，昂：蟊一q 是度量投影，则昂在丑 中是非扩张映象，而且具有性质 知一y ，忍z 一岛) l i 晶z p n y l l 2 , 比，y h 一5 一 、绪论 并且z = 岛。当且仅当 0 一z ，y z ) 0 ，v y q 引理1 6 【2 0 】设e 是具有一致g t t e a u x 可微范数的实b a n a c h 空间，则正规对偶 映象j ：e 卜- 一2 p 是单值的，并且按e 的范数拓扑到e 的弱星拓扑在e 的每 个有界子集上是一致连续的 引理1 7 【2 1 】e 是任意的实b a n a c h 空间，驴是e 的对偶空间，j ：e 一2 驴是 正规对偶映象，对任意的x ，y e ， 1 f z + y l l 2 i j z n 2 + 2 ，巧( z + y ) j 扛+ y ) 引理1 8 【2 2 ，2 3 】设映象t ：q 一日是逆- 强单调映象，定义集合q 中的点v 的 正规锥为 n v = 定义为 z 。+ 1 = o 。，( z 。) + ( 1 一o 。) t x 。，礼0 其中z o q ，【o ，1 1 中的数列 血。) 满足下列条件： ( 1 ) l i m 。o 。= o ；( 2 ) 嘉o o ，n = o o ； ( 3 ) e 甚o l n 。+ l a 。i o 。或l i m n _ o o ! ! 蠹量= 1 ， 则 。) 强收敛至变分不等式( ( j 一，) 扩，x 4 一z ) so ，x f i x ( t ) 的唯一解矿q 在此基础上，本文用变形的迭代格式来研究，以求降低系数 口。) 的要求先 介绍变形迭代算法的引入任取一实数t ( 0 ，1 ) ，一压缩映象，i i h ，定义映象 t ，z = t ，( z ) + ( 1 一t ) t x ，z q 易征巧是q 上的压缩映象事实上，y x ，y q ， 0 巧z t y l l = 忙( ，( z ) 一，( g ) ) + ( 1 一t ) ( t x t y ) a t i i 。一引i + ( 1 一t ) t l z 一箩i i = ( 1 一t ( 1 一n ) ) i l z y m 我们对( 2 1 ) 式稍做改动，引入迭代格式 哦。z = t f ( x ) + u x + f 乳，茹q ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中t ，u ，u ( o ，1 ) 且t 十札+ 口= 1 ，在不引起混淆的情况下t f ，。简记作t t ，易证 z 是压缩映象事实上，v 茹，y q ， 一7 一 二、非扩张映象变形选代算法的强收敛性 i l 噩z 一正引l = l i t ( y ( x ) 一，( 可) ) + u ( z y ) + v ( t x t y ) i i t h f ( x ) 一f ( y ) l i + u l l x 一| | + v l l t x 一功j | t a f | z g i i + 训i 。一可i i 十训i 。一可i l = ( 1 一t ( 1 一q ) ) l i z 一引i ， 因为正是压缩映象，所以五具有唯一的不动点，记作规，即 甄= t f ( x t ) + 魏+ v t x t ( 2 3 ) ( 二) 、变形迭代算法的强收敛性结果 定理2 2 在h i l b e r t 空间日中， 轨) 由( 2 3 ) 式定义，“ p 1 ，当t o 时，则 ( 1 ) s l i m 。0 x t = ：z 存在； ( 2 ) x = 如。( ，( 矿) ，等价地，是f i z ( t ) 中变分不等式 ( ( j f ) x ，矿一z ) 0 ，x f i x ( t ) 的唯一解，p r 。( r ) 是日到f i x ( t ) 的度量投影 证明：首先我们证明 砚 有界，任取p f i x ( t ) ， i f 吼一p 0 = l i t y ( x , ) + u x t + v t z t p i l t u ( x t ) 一p i i + u i | 观一p | | + v l l t x f p | i t u ( x e ) 一p 0 + ( u + 口) | | 轨一p 队 于足我们得到 l 乳一p i i i l y ( x t ) 一p l l i l y ( x t ) 一y i p ) i i + l i ，c p ) 一p l i n l i z t p j l + l i f 0 ) 一p 叭 从而 i l x t - - 训而1 i i f ( p ) 一乩 ( 2 4 ) 所以 乩) 有界，立即可得 t x t 。 f ( x d ) 也有界又因为 i i z 一t z | l = f i t f ( x , ) + u 2 7 t + v t x t t z d i = l i f f ( x t ) + u x t 一( t + u ) t x d i t l l f ( x t ) 一t x t | i + u 0 观一t x # l l ， 二、非扩张映象变形迭代算法的强收敛性 由 口 1 可得 i l x t - - t x , i i 而t i l l ( z ) 一t 甄t l o ， 一o ) ( 2 5 ) 关键是要证明 观) 当t o 时是相对紧的假设 t 。) c ( 0 ，1 ) 当n o 。时 t 。一0 记z 。：= z 幻先来证明 z 。) 含有一子列强收敛至矿，其中矿是f i x ( t ) 中交分不等式( ( j f ) x ，矿一z ) s0 ，z f i x ( t ) 的唯一解因为 ) 有界，所 以 z 。 有一子列 z 。 弱收敛至矿，不失一般性，就设 。 弱收敛至矿由引 理1 3 知矿f i x ( t ) 另一方面 卫一z + = t f ( x t ) + u x t + v t x t o + = t ( f ( x t ) 一z ) + u ( x t z ) + v ( t x t z + ) ， f f 觑一z + 0 2 = t ( f ( x t ) 一矿，x t 一。+ ) + u ( x t 一矿，x t z ) + v t x t 。，甄一。+ ) t ( f ( x t ) 一$ ，观一+ ) + ( u + v ) l l x , 一z + 1 1 2 ， 于是我们得到 | i 施一z + 2 ( ，( n ) 一。，轨一z + ) = ( ，( 魏) 一f ( x ) ，轨一。+ ) + ( ，( z + ) 一x ，现一z + ) q 0 轧一z + 酽十( f ( x ) 一z + ，吼一茁+ ) ， 化简上式得到 舭一矿1 1 2 而1 ( m + ) - - x * ，x t - - x * ) ( 2 6 ) 取 孔) 为 z 。 ，( 2 6 ) 式化为 恢一矿1 1 2 击( m + ) - - x * ，x n 一矿) ( 2 7 ) 由z 。一矿知z 。一x + 再证矿是( ( ，一f ) x ，矿z ) 0 ，。f i x ( t ) 的解因为 ( i f ) x t = ( t 一1 ) f ( x ) 十u x t + v t x t 一- ( u + ) ，( 觑) + 乱舭+ v t x t = u ( x t f ( x f ) ) + v ( t z t f ( x t ) ) = u ( ，一f ) x t + v ( t x 一，扛t ) ) ， 所以 ( i - 伽产击( ? 觑一f ( x d ) ， 二、非扩张映象变形迭代算法f j 强收敛性 取o f i x ( t ) ，有 ( 口一厂) 觑，x t z ) = ( t x t f ( x t ) ，茁t 一。) = 亡，_ ( t x t x t ，轨一z ) - t - 芒，- ( 筑一f ( x d ，x t z ) ， 从而结合，一丁的单调性有： ( ( j 一，) z t ，z 一z ) = 与墨i 笔( t x t x t ，x t z ) = 早( ( j t ) x t ，瓯一z ) = 早( ( ，一t ) x t 一( i t ) z ，孔一z ) s0 令t = k 一0 ，得到矿是( 口一1 ) x ，x 一z ) 0 ，。f i x ( t ) 的解下证 现 强 收敛至矿，假设z 。一面，8 。一0 ，因为i f i x ( t ) ，由上述不等式知 ( ( ，一s ) x ，z 一罾) 0 交换矿，z 有 ( ( j 一，) 牙，虿一o ) 0 ( 2 ，8 ) ，( 2 9 ) 两式相加得到 ( ( ，一) x + 一( ，一，) 互，z + 一_ ) 0 ， 由引理1 4 及( 2 1 0 ) 式有虿= ( 2 8 ) ( 2 9 ) f 2 1 0 ) 定理2 3 设日是一h i l b e r t 空间，q 是日中一闭凸子集，t ：q q 是一非扩张 映象使得f i x ( t ) 口，：q q 是压缩映象，其压缩系数0 o i 1 ，序列 z 。 由下式生成， z 。+ 1 = 。f ( x 。) + 风。+ h t 。n ，t , 0 q ，礼= 0 ，1 ，2 ( 2 1 1 ) 其中 o 。) 风) ， ) 是【0 ，l 】中的数列，而且满足： ( 1 ) d n + 风+ y n = l ；( 2 ) l i m 。o 。o n = o ； ( 3 ) e 器1 口n = o o ；( 4 ) 0 l i r a i n f n 。o 。风l i m s u p o o 风 1 ， 则 。 强收敛至变分不等式( ( ，一，) ，矿一z ) o ，z f i z ( t ) 的唯一解 一1 0 二、非扩张映象变形迭代算法的强收敛性 证明；首先我们证明 茁。) 有界，任取p f i x ( t ) ， l | z 。+ 1 一p l i = i i o 。( ，( 。) 一p ) + 风( 。一p ) + 7 n ( t x 。一p ) 0 o l i ，( z 。) 一刮i + 风| | 4 ；一p f | + 7 1 1 t x 。一p i i n 。( 1 l f ( x 。) 一，( p ) l | + l l ，) 一p 帖+ 届。0 z 。一p i l + 1 i i t x 。一p l l ( 1 一o l n ( 1 一口) ) l i 。一p i i + n 。i i ，) 一p l | sm a x l l x 。一p i ，亡五l i ，p ) 一p | | ) ， 于是我们得到 i i z - p l m 。z j i x o - p h ，1 1 i l l ( p ) 一p ) ，扎o ，( 2 1 2 ) 从而 z 。) 有界，立即可得 t x 。， ，( z 。) ) 也有界下证i i z 。l z 。0 0 令。+ 1 = ( 1 一风) + 风z 。，则= 塑皆= 坠地罄等! ，所以 钿+ l 一= 丝世锑鲁监堕一业学 = i ! ! ；鲁，( 。n + - ) 一t i ，( z n ) + 器t 。n + 1 一t _ - b ：t x n = i i ；鲁( ，( 。n + ，) 一，( a 硫) ) + ( i i ；鲁一亡胬) ，( z n ) + i ! l 毒( t z n + ，一t x n ) + ( i ! ；告一i 薏) t z n = 叠；者( ，( 。n + z ) 一，( 。n ) ) + ( 器一t ) ( ，( z n ) 一t x n ) 1 1 2 - - p n l + l7 1 1 ”n + l t x n ) ， 从而 i i z 。+ 1 一0 一i i z 。+ 1 一。0 芒告0 ， n + t ) 一，( a ) i i + i t ! 鲁一芒麓，( 。n ) 一t x n | | + t ! ；8 2 1 + 1 一t x n i 1 1 2 n + 1 3 k 8 1 - - f l n + l1 1 z n + 1 一z n 0 + i i - - 堑3 土。+ l i i ! 岔，( 。n ) 一t x n l l + 舀戋恢+ ，一x n l | 器( 1 + 8 ) i | z n 十t 一。n | | + l 器一彘川，( z n ) 一t x n m 由一0 ， 。) ， t x 。) ， ，( z 。) ) 有界，知 t i ms u p ( h z n + 1 一磊；i l i l z 。+ 1 一z 。i i ) 0 n 根据引理1 2 知0 一z 。| | 一0 一o 。) 所以 曼i i z n + 1 一z n 05 县恐( 1 一风) i i 一z n l l = 0 - ( 2 1 3 ) 二、非扩张映象变形迭代算法的强收敛性 另一方面 | z 。一t x 。j | | 。一t n + l lj + | | 。+ l t x 。l l = i l z 。一x n + l l f + l a f ( x 。) + 风2 ：n 一( 口。+ 风) 7 k 。i l i l 翰。一。+ 1 l + l l f ( 2 ：- ) 一t x 。l l + 风f f 一t x 。队 于是我们得到 1 l l 卫”一t 2 ：。i i 彳二。万( 1 i 。n 一。n + 1 l i + 凸0 ，( z n ) 一t x n l l ) ，0 ( 2 1 4 ) 1 一 下证l i ms u p 。o 。( f i x + ) 一，z 。一矿) s0 选取子列 。) c z 。) ，使得 1 1 竺挈( m ) 一矿，一。) 。墨恐( m + ) 一x * i 。n t 一矿) n 一 因为 z n 。 有界，所以 z n 。) 有一予列( 。n b ) 弱收敛至虿，不失一般性，就设 z n - ) 弱收敛至虿根据引理1 4 及( 2 1 4 ) 式，得到z f i x ( t ) 因此 l i ms p ( f ( z + ) 一z + ，。一。) = ( f ( z + ) 一z + ，虿一z + ) 0 ( 2 1 5 ) n 。o 最后我i f l i e 明z 。一矿事实上 0 z 。+ 1 一。+ n 2 = ( o 。f ( x 。) + 风o 。十1 h 丁z 。一。+ ，x n + l 一。) = o l n ( ，( z 。) 一矿，。+ 1 一。4 ) + 风( n 一矿，。+ l x + ) + ( t z n z ，z n + 1 一x + ) 风( 0 z 。一矿0 2 + l l z 。+ 1 2 7 * 0 2 ) + 1 。( | i 。一。1 1 2 + 1 1 2 ：。+ 1 一。0 2 ) + a n ( ，( 正。) 一z + ，x n + 1 一z ) ( 1 一o ：n ) ( 1 1 x 。一z + 1 1 2 + l i 。+ 1 一z 酽) + o 。( ，( z 。) 一z + ，x n + l z ) ， 于是我们得到 i | 。+ 1 一。i | 2 ( 1 一n n ) 1 1 2 ：n z 1 1 2 + 2 0 ( ，( 。) 一z ，2 ：r “- i 一。) = ( 1 一o 。) l i 。一x + i i 2 + 2 0 h ( ，( z 。) 一，( z ) ，x n + l 一。+ ) + 2 a 。( ，( z ) 一2 ，z n + 1 茁+ ) = ( 1 一a 。) l t x 。一z + 1 1 2 + 2 0 ( ，( 。) 一f ( x + ) ，z 。一z ) + 2 盘。( ，( z 。) 一f ( x ) ，z 。+ 1 一。) + 2 。( ，( 矿) 一。，茁n 十1 x ) ( 1 一a 。( 1 2 a ) ) | i z 。一z + 1 1 2 + 2 a 。( o l | z 。z + z 。+ l z 馆l i + ( ，( z ) 一。+ ，x n + 1 一矿) ) ， 二、非扩张映象变形迭代算法的强收敛性 显然o 。( 1 2 口) 一0 ，器o ( 1 2 o o ， l 罂p 南强i z n - - x * l l l s z + l - x n j l + ( m 卜一，“) ) 。 根据引理1 1 知一证毕 注2 1 我们引入的变形迭代算法( 2 1 1 ) 改进了原来的算法，在证明过程中去掉了 定理2 1 中e 嚣0 1 + 1 一i 一 v 玑 ，弦k一们 0 一 0 + = 风 铀 舻 ，-j、1。、 三，非扩张映象变形i s h i k a w a 迭代算法的强收敛性 任意的 q ，定义一列压缩映象& ：qb - - - - + q & z ) = t u + ( 1 一t ) t z ，2 q 其中0 强收敛至t 的一个不动点 证明：我们分为四步来完成证明 第一步首先我们来证明 z 。) ， 蜘) ， s z 。 ， s 跏) ， t x 。) ， 有界观察到s 也是非扩张映象并且与丁拥有相同的不动点集因此 一施i i = 0 风x 。一磊) + ( 1 一风) ( s z 。一4 ) 风i i x 。一缸0 + ( 1 一风) i i s 。一磊i i l i z 。一气i i ， 一1 5 一 ( 3 3 ) 三、非扩张映象变形i s h i k a w a 迭代算法的强收敛性 于是 l l 茁。+ l 一。+ l l = l l 。( 让一4 ) + ( 1 一c ) ( s 。一“) l i 引剖燃1 二：监二裂 4 ， q 。i f t 一缸i + ( 一n 。) l 。一“0 、 m a x r l 一气i f ，l i x 0 一z , l l 由( 3 | 3 ) 和( 3 4 ) 我们知 z 。) ， 鲰 有界进一步有 s z 。一z + i f i4 z 。一五j | ，礼o ；l i s 聃；一磊l i | l 弘；一氨| | ，佗0 1 t x n z , i l j j z n 一4 l l ，尼o ；l i 丁斩。一以i i | | 斩；一氛f i ，竹0 于是我们得到 s z 。) ， s 鼽) ， r x 。) ， 死h 都有界 第二步接下米我们证明当扎一0 0 时，l i 。一s z 。 一0 定义 = 1 一( 1 一d 。) ( 1 6 ) 【风+ ( 1 一风) ( 1 6 ) 】 叫。：垫兰堂 观察到礼一0 0 时一6 由和s 的定义，我们得到 a 。u + ( 1 0 ：。) 6 t y n + ( 1 一o z 。) ( 1 一风) ( 1 6 ) 6 t x 。 饥= 一 因此 8 铷。+ 1 一| l17 + i - 一署1 1 1 年i i 与嚣等量6 t y + l 一与产6 丁鼽f | + i i 羔蓑( 1 一风+ 1 ) ( 1 6 ) 5 t x n + l i + | | 旦蓑“( 1 一像) ( 1 6 ) s t x n | f i o o + , 一嚣珏i i + | i 三蓑等三6 t y + l 一量 s t y l l l + 与箸导( 1 5 ) s h t x 。+ i l + 昱导( 1 一d ) j l l n 。i | 一1 6 一 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 三非扩张映象变