（基础数学专业论文）基于akiyamatanigawa算法的bernoulli多项式和euler多项式.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘，要 b e r n o u l l i 多项式、高阶b e r n o u l l i 多项式、e u l e r 多项式和高阶e u l e r 多项式在解析数 论和函数论中有着广泛的应用a k i y a m a - t a n i g a w a 算法通常是用来计算b e r n o u l l i 数的 本文应用a k i y a m a - t a n i g a w a 算法，得到了与加权的第二类s t i r l i n g 数有关的高阶b e r n o u l l i 多项式和高阶e u l e r 多项式的一类封闭计算公式，同时给出了两个与两类s t i r l i n g 数有关的 组合恒等式 文章主要内容可概括如下： 1 介绍了b e r n o u l l i 多项式、e u l e r 多项式和s t i r l i n g 数的基本概念和定理以及a k i y a m a - t a n i g a w a 算法 2 应用a k i y a m a - t a n i g a w a 算法，给出了与加权的第二类s t i r l i n g 数有关的b e r n o u l l i 多 项式和e u l e r 多项式的计算公式及证明，同时得到了一个联系b e r n o u l l i 数和第二类 s t i r l i n g 数的组合恒等式 3 应用a k i y a m a - t a n i g a w a 算法，给出了与加权的第二类s t i r l i n g 数有关的高阶b e r n o u l l i 多项式和高阶e u l e r 多项式的计算公式及证明，同时得到了一个联系两类s t i r l i n g 数的 组合恒等式 关键词：b e r n o u l l i 多项式；e u l e r 多项式；a k i y a m a - t a n i g a w a 算法；加权的第二类s t i r l i n g 数；第一类s t i r l i n g 数；组合恒等式 基于a l d y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n de u l e rp o l y n o m i a l sb a s e do nt h e a k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h m a b s t r a c t b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，b e r n o u l l ip o l y n o m i a l so fh i g h e ro r d e r ，e u l e rp o l y n o m i a l sa n d e u l e rp o l y n o m i a l so fh i g h e ro r d e rh a v eaw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si na n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a n df u n c t i o nt h e o r y t h ea k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h mi st h ea l g o r i t h mf o rc o m p u t i n g b e r n o u l l in u m b e r s u s i n gt h ea k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h m ，w eo b t a i nak i n do fc l o s e d f o r m u l a sf o rb e r n o u l l ip o l y n o m i a l so fh i g h e ro r d e ra n de u l e rp o l y n o m i a l so fh i g h e ro r d e r r e l a t e dt ot h ew e i g h t e ds t i r h n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d a sc o r o l l a r i e s ，t w oc o m b i n a t o r i a l i d e n t i t i e sr e l a t e dt ot h es t i r h n gn u m b e r so ft w ok i n d sf o l l o w t b em a i nc o n t e n to ft h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 s t u d ys o m eo fc o n c e p t sa n dt h e o r e m so fb e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，e u l e rp o l y n o m i a l sa n d s t i r l i n gn u m b e r s t h e ni n v e s t i g a t i v et h ea k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h m 2 u s i n gt h ea k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h m ，w eo b t a i nt h ec o m p u t i n gf o r m u l a sf o rb e r n - o u l l ip o l y n o m i a l sa n de u l e rp o l y n o m i a l sr e l a t e dt ot h ew e i g h t e ds t i r l i n gn u m b e r so ft h e s e c o n dk i n d a sac o r o h a r y , a nc o m b i n a t o r i a li d e n t i t yc o n t a c t i n gb e r n o u l l in u m b e r sa n d t h es t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n df o l l o w 。 3 。u s i n gt h ea k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h m ，w ea c q u i r et h ec o m p u t i n gf o r m u l a sf o rb e r n - o u l l ip o l y n o m i a l so fh i g h e ro r d e ra n de u l e rp o l y n o m i a l so fh i g h e ro r d e rr e l a t e dt ot h e w e i g h t e ds t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d a sac o r o l l a r y , a nc o m b i n a t o r i a li d e n t i t y - r e l a t e dt ot h es t i r l i n gn u m b e r so ft w ok i n d sf o l l o w k e yw o r d s ：b e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ；e u l e rp o l y n o m i a l s ；a k i y a m a - t a n i g a w aa l g o r i t h m s ； w e i g h t e ds t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d ；s t i r l i n gn u m b e r so f t h ef i r s tk i n d ；c o i n - b i n a t o r i a li d e n t i t i e s i i 大连理工大学学位论文独创性声明 。作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不 包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用 途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：墓玉尘黾归地l 二j 盘峙出区篁基盈哩丛墅巫兰巫堕窭堕逊堡垒亟式 作者签名：五歪至塾日期： 2 塑2 年互月翌日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保留论 文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 日期：型皇年亟月盟日 日期：型2 年l 月丑承 大连理工大学硕士学位论文 l 绪论 1 1 研究背景 随着统计学，代数学和数论的发展，特别是电子计算机出现后，诞生于十七世纪的组 合学在很多领域中逐渐显示出其他学科无法替代的作用如今组合学已经渗透到各个学科 中，并且与其它学科相结合，不断创造出新理论及新方法同时，规划学，生物学等学科的 发展也为组合数学论提供了新问题总之，随着科学技术的日新月异，组合数学这门古老的 数学分支充满活力和挑战 本研究课题所属的研究领域是组合数学它是计算机出现以后迅速发展起来的一门数 学分支计算机科学是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象 的处理就成为计算机科学基础理论的核心，而研究离散数据的科学恰恰就是组合数学组 合数学不仅在基础数学的研究中具有极其重要的地位，而且在其它的学科中也有重要的应 用，如运筹学、生物信息学、编码和密码学、物理和化学等学科中均有重要应用如果我们 说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定 了上世纪的计算机革命的基础计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写 了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在 作数值计算正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的组合数学不仅在 软件技术中有重要的应用价值，而且在企业管理、交通规划、战争指挥和金融分析等领域都 有重要的应用如今组合数学的研究领域有很多，如计数组合学、代数组合学、图论及其算 法、组合优化和组合设计等等 本课题所属的研究方向是组合学中的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式，它们都是组合 数学中无处不在、经常遇到的多项式序列，且都具有深刻的组合背景很久以来就有不少人 对它们进行了研究1 8 5 1 年，r a a b e 在文献【1 】中给出了满足下列关系式的b e r n o u l l i 多项 式； 去r 善n - - 1 脚+ 争m b n ( m x ) 1 9 5 1 年，a p o s t o l 在文献f 2 】中给出了a p o s t o l - b e r n o u l l i 多项式b ( x ，a ) 的一些类似b e r n o u l l i 多项式的性质，同时得到了a p o s t o l - b e r n o u l l i 数用第二类s t i r l i n g 数表示的公式1 9 8 8 年， s r i v a s t a v a 和t o d o r o v 在文献i s 中利用g a u s s 超几何函数给出了b e r n o u l l i 多项式显示公 1 基于a k i y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 式： 驰，= 砉( z ) 南圭j = oc 叫护c x + j ) n - k f k - n , k - 1 ；2 k + 1 ；j 他碱 其中f 口，6 ；c ；2 1 表示g a u s s 超几何函数并由下列展开式定义网 哪；c ；扣壹警等， ， 鼠) 相应的指数型发生函数分别为 邱) = k 0 静础) = k o 黔) 2 弦 ”。 知0 o 。 则定义加法； c ( t ) = a ( t ) + b ( t ) 当且仅当 = a k + b k ， k20 而定义乘法： c ( t ) = a ( t ) b ( t ) 基于a l d y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 当且仅当 并且易证： c k - - = a k + ( ：) 。七一，6 + + ( 多) 口知一，+ + 知k ，七。 掣。篆铲k ， 一= 一z 出色! 。 尤u 型d t n 2 铲k 一= 一f 。 鲁! 下面借助发生函数给出了b e r n o u l l i 多项式，高阶b e r n o u l l i 多项式，e u l e r 多项式和 高阶e u l e r 多项式的定义 定义1 1 a s b e r n o u l l i 多项式b n ( z ) 由下列展开式给出 西 6 e x t ；薹眦) 导 2 丌， 其中玩= b n ( 0 ) 称为b e r n o u l l i 数 定义1 2 【1 8 】e u l e r 多项式瓦( z ) 由下列展开式给出 磊= 薹嘶，暑 2 丌， 其中b = 2 亿b ( 1 2 ) 称为e u l e r 数 定义1 3 【1 9 】高阶b e r n o u l l i 多项式醋( z ) 由下列展开式给出 t l o ； s ( 佗，佗) = s ( n ，n ) = 1 ， n 0 人们发现，如此简单的形式所定义的s t i r r i n g 数在组合学中有着广泛的应用它们具有许多 好的性质，如下： 定理1 2 第二类s t i r l i n g 数s ( 几，m ) 满足递推关系： s ( n ，m ) = s ( n 一1 ，m 一1 ) + m s ( n 一1 ，m ) ， 死 0 ，m 0 ，( 1 1 0 ) s ( 扎，0 ) = s ( o ，m ) = o ( n 0 ，m o ) ，s ( o ，0 ) = 1 - 定理1 3 【2 0 】第一类s t i f l i n g 数s ( n ，m ) 满足递推关系： s ( 死，m ) = s ( 佗一1 ，m 一1 ) 一( 礼一1 ) s ( 几一1 ，m ) ，佗 0 ，m 0 ， ( 1 1 1 ) s ( n ，0 ) = s ( o ，m ) = 0 ，( 礼 0 ，m 0 ) ，8 ( 0 ，0 ) = 1 7 基于a k i y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 定理1 4 定理1 5 【2 0 】第二类s t i f l i n g 数s ( 扎，m ) 的。垂直”指数型发生函数； 扣1 ) m = 薹跏，m ) 磊，仇 0 ( 1 1 2 ) f 2 0 】第一类s t i f l i n g 数s ( 扎，m ) 的“垂直”指数型发生函数： m 嘉l o g m ( 1 + t ) = s ( 几，m ) 嘉，m 0 ( 1 1 3 ) 另外，第二类s t i r l i n g 数s ( n ，m ) 和第一类数s t i r l i n g s ( n ，仇) 还满足如下的关系 定理1 6 1 2 0 当m ，n 0 时，有 s 唧川咄仇= 三：篡 ( 1 1 4 ) 七 0l ” ”7 - “ ：s ( n ，k ) s ( k ，m ) = 厶，m ( 1 1 5 ) 知o 从而，可以得到关于两类s t i r l i n g 数的反演公式。设 厶) n o ， 鲰) 竹o 为任意两个复数 序列，则 厶= s ( 钆，k ) g k 兮甄= s ( 忍，k ) a 当然，这两类组合数也具有一定的组合意义，这为它们的应用开拓了更广阔的天地 第二类s t i r l i n g 数s ( n ，m ) 的组合意义如下； 集合的划分：将含有佗个元素的集合恰好分成m 个无序非空子集的所有不同划分的数 目即s ( 死，m ) 这种划分通常称为集合的一个k - 划分划分中每个非空子集称为块 而第一类s t i r r i n g 数s ( 礼，m ) 通常是指第一类有符号s t i r l i n g 数i8 ( n ，m ) i 等于恰可表 示成m 个互不相交的轮换乘积的仃元置换的个数 从这两类s t i r l i n g 数所满足的基本关系式( 1 8 ) ，( 1 9 ) 出发，人们在若干文献中推广了 这两个基本关系式，给出了各种各样广义的s t i r r i n g 数对例如，1 9 8 0 年c a r l i t z 在文献 2 6 2 7 】中讨论的一类称之为加权的s t i r r i n g 数的s t i f l i n g 数对1 9 8 2 年，k o u t r a s 在文献 嘲中又给出了一类被称为“n o n - c e n t r a ls t i r l i n gn u m b e r s ”的s t i r l i n g 数对 1 9 8 4 年， b r o d e r 在文献【2 9 】中研究了一对称为。r - s t i r l i n gn u m b e r s ”的s t i r l i n g 数对1 9 8 5 年， h o w a r d 在文献【删中研究了一对名为。d e g e n e r a t ew e i g h t e ds t i r l i n gn u m b e r s ”的s t i r l i n g 数对1 9 9 7 年，徐利治，m u l l e n 及s h i u e 在文献【3 1 】中将两类s t i r l i n g 数与d i c k s o n 多项 式相结合，又讨论了一类被称为。d i c k s o n s t i r l i n gn u m b e r s ”的s t i r l i n g 数对，等等 另外，人们对两类s t i r l i n g 数进行研究的另一个着眼点是它们所具有的组合意义从这 个角度又产生了若干具有一定组合意义的广义s t i r l i n g 数对，如文献f 3 2 ，删等中的所研究 的这些研究同时也为研究s t i r l i n g 数的口一模拟奠定了基础迄今为止，关于s t i r l i n g 数的 g 模拟的研究成果已有很多，可参考文献f 3 4 3 5 】等 8 大连理工大学硕士学位论文 1 4 a k i y a m a - t a n i g a w a 算法简介 本节对a k i y a m a - t a n i g a w a 算法做了简单介绍，更多知识可以参考其它有关文献 3 6 - - 4 0 a k i y a m a 和t a n i g a w a a o 在研究多重z e t a 函数在非正整数情况下取值的过程中，发现 一种计算b e r n o u l l i 数的算法这种算法类似于二项式系数的p a s c a l 三角其算法如下： 首先，我们以序列g i r t ，n 1 作为矩阵的第。行； 然后，由递推关系 n t 汁1 ，仇2 ( 7 n + 1 ) ( l ，m a n ，m + 1 ) ， 给出矩阵第礼行m 列的元素+ 1 ，m 0 ，m o ) 下面给出矩阵描述： 1 1 2 1 31 4 1 51 61 71 81 9 1 21 31 41 51 61 71 8 1 9 1 61 63 2 02 1 55 4 2 3 2 87 7 2 0 1 3 01 2 02 3 5 5 8 45 8 4 - _ 。1 3 0 _ 1 3 0 - 3 1 4 0 - 。1 1 0 5 0 。 0 _ - 1 4 2 _ 。1 2 8 - 4 1 0 5 1 4 2 1 4 2 i i 4 0 0 1 3 0 - 1 3 0 该算法被称作a k i y a m a - t a n i g a w a 算法通过这种算法我们得到序列 ，o ) 便是b e r n o u l l i 数鼠，其中b i = 1 2 k a n e k o 3 6 给出了b e r n o u l l i 数的a k i y a m a - t a n i g a w a 算法，其结论如下： 命题1 1 1 设初始序列a o ，仉) m o 若由递推关系 a n ，m = ( m + 1 ) ( o 忭一1 ，m a n 一1 ，仇+ 1 ) ， 扎1 ，m 0 ，( 1 1 6 ) 得至q 序歹i j o n ，m ) n 1 ，灵l j n n ，o = ( 一1 ) 仇m ! s ( n + 1 ，m + 1 ) a o ，m ， m = 0 其中s ( n ，m ) 是g ：- 类s t i d i n g 数 例如，当初始序列取 丽1 ，m o 时，由命题1 1 得到了b e r n o u l l i 数 玩= 妻业型筹产业 m = 0 基于a k i y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 其中b 1 = 1 2 当初始序列 南) 仇o 时，应用同样的算法， k a n e k o 还得到了p o l y - b e r n o u u i 数 d 乎) ： 础= 熹业警带业， 这里p o l y - b e r n o u l l i 数d 譬) 【4 1 4 3 由下面的指数型发生函数给出定义： 訾：主磷，等，酽一1 一”佗! 其中l i k ( t ) = 箍1 等称为p o l y - b e r n o u l l i 数【4 1 1 c h e n 【3 7 】在命题1 1 的基础上，将递推关系推广为 a n ，m = m a 一1 ，m 一( m + 1 ) o n 一1 ，m + 1 ， n 1 ，m 0 ，( 1 1 7 ) 得其结论如下。 命题1 2 f 3 7 】设初始序列 知，m ) m o 若由递推关系( 1 1 7 ) 得到序列_ 【口n ，m ) 礼1 ，则 其中s ( 死，m ) 是第二类s t i r i i n 9 数 例如，当初始序列取 击) m o 时，由命题1 2 得到了b e r n o u l l i 数 其中b 1 = 一1 2 当初始序列取_ 【六) m o 时，得到了e u l e r 数 当初始序列取 上业等等掣) m 。时，得到了t a n g e n t 数 瓦：妻业竺驾翥掣型型， m - - - - - 0 其中陆1 表示小于等于z 的最大整数以，t 定义如下： = 1 m = o o o e u l e r - s e i d e l 矩阵【4 6 】是另一种计算b e r n o u l l i 数的算法 定义1 7 设序列_ ( n o ) 为初始序列若矩阵满足以下条件 j 蚧钏n ，礼o ， 【a k 加2a k 一1 ，n + n 南一1 ，n + 1 n 0 ，k 1 其l j 这个矩阵称为觇z e 卜s e i d e l 矩阵 当初始序列a n = 玩时，通过e u l e r - s e i d e l 矩阵我们得到了矩阵第o 列序列a n ，0 ，则 a n ，0 = 鼠，其中a l ，o = 1 2 对应的e u l e r - s e i d e l 矩阵如下： 1 - - 1 21 6 0 _ 1 3 0 1 2- 1 31 6 - 1 3 0 1 6- - 1 62 1 5 0 - 1 1 3 0 _ 1 3 0 下面将a k i y a m a - t a n i g a w a 算法和e u l e r - s e i d e l 矩阵统一起来，得到了一个更一般的 结论 命题1 5 【弱】设 。m ) ， ) 和 ) ( m 0 ) 是交换环中的序列推广的e u l e r - s e i d e l 矩 阵满足： j 知，m = 【，m = 一1 ，m + q 几一1 ，m + 1 ( m 0 ，佗1 ) 则有 饥，知一1 ，m 芦z 枷) h - k ( y m ，+ 1 ，+ 七) ， k - - - - 0 j = 0 1 2 大连理工大学硕士学位论文 其中k ( 铆，磊) 是完全对称函数序列，由下面发生函数给出定义： 萎k ( 钆扬矽2f 丽矗面丽o n 、“。7、。7 特别的，当m = 0 时，有 礼 k - a n 唧= z - - c ( ) k 一七( 蜘，弧) k = 0 j = o 1 3 大连理工大学硕士学位论文 2b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 通过前面的章节，我们已经对a k i y a m a - t a n i g a w a 算法有了个初步的了解这一章首先 介绍了加权的第二类s t i r l i n g 数，然后利用a k i y a m a - t a n i g a w a 算法给出了b e r n o u l l i 多项 式和e u l e r 多项式的封闭计算公式，并且在此基础上得到一组合恒等式 2 1 加权的第二类s t i r l i n g 数 关于加权的第二类s t i r l i n g 数，文献1 2 6 ，2 7 】给出下面的性质。 递推关系为 s ( 亿+ 1 ，m ，z ) = ( m + z ) s ( 佗，m ，z ) + s ( n ，m 一1 ，z ) 发生函数为 丁e = t ( e t - - 1 ) m ：妻跏m z ) 筹 一= 7 i7 z 7 n z l 一 m ! o 、。17 死! 当z = 0 时，有s ( n ，m ，0 ) = s ( 礼，m ) 关于加权的第二类s t i r r i n g 数和第二类s t i r l i n g 数的关系由下面的等式给出t 定理2 1 【1 1 】当扎，m 0 ，则 跏删= ( 扩s c n - - k ，r n ，k s ( 佗，m ，z ) = ( ：) 扩s ( ) = 0 、7 设初始序列_ ( 印，m m o ，序列 o 住，m ) n 1 满足递推关系式 ( 2 1 ) a n ，仇= m 一1 ，m 一( m + 1 ) 一1 ，m + 1 ， 死1 ，m 0 ( 2 2 ) 设鲰( ) 是序列_ ，m 礼1 的发生函数 鲰( t ) = a n , m r m ， n 1 t n = 0 ( 2 3 ) 多项式a n ，r n ( 。) 和g n ( z ，t ) 通过哑运算定义 ( 垆( 蚪) n = 妻( z ) 也m n 独 4)k = 0 、7 基于a k i y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 嘶却州枷n = k = 0 ( 力 一班 佗 0 ( 2 5 ) a k i y a m a - t a n i g a w a 算法原本是计算b e r n o u l l i 数的算法，下面定理将其推广到计算其 多项式的算法这个定理在计算b e r n o u l l i 多项式，高阶b e r n o u l l i 多项式，e u l e r 多项式和 高阶e u l e r 多项式中起着非常重要的作用因此，本文在这里给出了它的证明过程【1 1 】 定理2 2 【1 1 】给定初始序列a d ，m ) m o 若序列a n ，m ) n 1 满足递推关系( 2 2 ) 并且多项式 序列a n ，仇( z ) ) n 1 满足( 2 4 ) 定义，则 n 伽( z ) ：妻( 一1 ) m m ! s ( 礼，m ，z ) 知，仇 ( 2 6 ) 其中s ( 几，m ，z ) 是加权的第二类s t i f l i n g 数 证明：由( 2 3 ) 和( 2 5 ) 两式可v s 鲰c 州，= 熹( z ) x k g n _ = 妻k - - - - 0 ( ：) 矿薹飞 通过递推关系( 2 - 2 ) ，有 础= k = 0 ( 扩三 - k - l , m - - ( m + 1 ) a n - k - l , m + l 妒 2 ( 垆薹c m + 咖“ 州俨+ 1 一k = o ( 垆三( m + 1 ) _ 州俨 = k = 0 ( 垆( h ) 三( m + 1 ) 气州 = 耋( z ) 出h ，拉m ， = 壹k - - - - 0 ( 抄( c ，扩七撕 利用定理1 1 有 ( ”1 ，爰) n = 塞跏朋叫m ( 舻 从而 埘，= 壹k - - - - 0 ( 垆三n - k 跏咄卅矿( 爰) m 槲 大连理工大学硕士学位论文 令t = 0 ，利用二项式卷积公式得 咖( 垆( - 1 ) 吲蚧( n k ) x k s r n = o k - - - - o ( n 咄m ) 应用定理2 1 得 o - , n , o ( x ) = ( 一1 ) m m ! s ( n ，m ，z ) n 0 m = 0 得证 令序列a o ，m ) m o 的普通发生函数： o o a ( 亡) = a o ，m t m 多项式序列 ，o ( z ) ) n 1 的指数型发生函数： 脚) = 塾舡) 暑 。 下面定理给出发生函数a ( t ) 和b ( x ，t ) 之间的关系它在b e r n o u l l i 多项式，高阶 b e r n o u l l i 多项式，e u l e r 多项式和高阶e u l e r 多项式的计算公式证明过程中起着很大作 用 定理2 3 给定初始序列 口o ，m ) m o 若序列a 他，m ) n 1 满足递推关系( 2 2 ) 并且多项式序列 a n ，m ( z ) ) 竹1 满足( 2 4 ) 定义，则 b ( x ，t ) = d t a ( 1 一e t ) 证明：由定义得， 得证 b ( x ，t ) 塾署= 薹( 羹m 咖咖屿 ( m 妻= o ，m 地mt 而n ) = ( - - 1 ) m o o 耐( e 一1 ) m m = 0 = e 科知，m ( 卜e ) 仇 m = 0 = e x t a ( 1 一e t l 1 7 基于a k i y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 2 2b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式的计算公式 根据定理2 2 选取适当的初始序列，可获得b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式的一类封 闭计算公式【1 1 】本节主要内容是利用上一节里的定理2 3 给出新的证明并且利用其计算 公式建立起联系b e r n o u l l i 数和第二类s t i r l i n g 数的一个组合恒等式 定理2 4 【1 1 】若初始序列为a o ，仇= 1 ( m + 1 ) ，其中m 0 ，则有 b 如) ：a n , o ( x ) ：壹( _ 1 ) 酬等掣 ( 2 7 )n ( z ) = = ( 一1 ) m m ! 掣筹孚 ( 2 7 ) m = u 证明：由定义知 a ( 亡) ：o f ) a o m t m - - 掣 m = 0 。 由定理2 3 知 b ( x ，t ) = a ( 1 一e t ) 2 南 由b e r n o u l l i 多项式的发生函数的性质知 既( z ) = a n ，o ( z ) 由定理2 2 知 脚) = 塞( _ 1 ) 吲挈 得证 在( 2 7 ) 式中当z = 0 时，我们得到b e r n o u l l i 数的计算公式： 推论2 1 当n 0 时，有 玩= 塞( _ 1 ) 酬帮 定理2 5 1 1 1 】若初始序列为a o m = 1 2 m ，其中m 0 ，则有 鼠( z ) ：n 邶( z ) ：壹( 一1 ) m m ! 刿2 m ( 2 8 ) 证明：由定义知 聃m 厶- ：0 扩= m 妻- - - - 0 u ( 兰) m = 走 大连理工大学硕士学位论文 由定理2 3 知 b ( z ，t ) = e 霉。a ( 1 e 2 ) = 而2 e x t 由e u l e r 多项式的发生函数的性质知 既( z ) = a n ，o ) 由定理2 2 知 磊( z ) ：妻( 一1 ) 酬掣 得证 在( 2 8 ) 式中当z = 1 2 时，有 e n ( 1 2 ) ：妻( 一1 ) 酬业朵塑 因此，我们得到e u l e r 数的计算公式t 推论2 2 当佗0 时，有 晶：壹( - 1 ) 吲掣 m = o 。 b e r n o u l l i 数不仅在数学分析中占有重要的地位，而且在组合数学的研究中越来越显示 出重要作用；第二类s t i r l i n g 数是组合数学中一个十分重要的计数函数，它的作用几乎是无 可替代的所以建立起b e r n o u l l i 数和第二类s t i r l i n g 数之间的联系，是有必要的 命题2 1 当0 仇 0 时，有 跏川= 嘉姜c 旷( 妒 当m = 1 时，显然( 2 9 ) 式成立 假设当m = k 时，( 2 9 ) 式成立 那么当m = 七+ 1 时，由上面的迭代式有 w + 1 ) = n 壹i1(川)嚼壹(妒歹(扩=0 j - - - - - o ， = 学妻，静- i ( 删 = 譬妻，协知n 争一时 = 踹善kc 叫尼办弧，n - k _ j n - k ， = 蹒卜厂七妻孵1 ) 严妻心1 ) 卅 2 0 ( 2 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 = 踹卜矿以隆妒( 忌抄+ 妒1 川，刁一壹j = o 孵1 ) 广) 应用常见的恒等式 妻c叫j(扩1-oj= o 、。7 可得 跏h 1 ，= 踹( 蹇孵1 ) 川叫m ”矿) = 南善k + lc 计州( 尼挣n 因此当n = k - t - 1 时( 2 9 ) 式也成立，所以对于一切 i t 0 ，m 0 定理都成立 口 定理2 7 设鼠( z ) 是b e r n o u l l i 多项式序列，则有 证明：利用定理2 4 球，= 塞喜c 叫? ) 等 m = 0 扛= 0 、7 鼠( 垆妻( _ 1 ) 吲等掣 m - - - - 0 。 将( 2 1 ) 式( 2 9 ) 式代人上式得 鼠c z ，= 妻室喜c 叫击，( 0 ( m = 0 七= m 纽1 、7、7 利用二项式卷积公式得 巩c z ，= 薹( 薹击姜c 一1 ，( 0 扩知) 得证 在( 2 1 0 ) 式中当z = 0 时，b e r n o u l l i 数的显示表达式； 推论2 3 当n 0 时，有 玩= 塞姜c 以了) 斋 由b e r n o u l l i 数的性质b 2 k + 1 = 0 有如下结论： 2 1 ( 抄 ( 2 1 0 ) 基于a k i y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 推论2 4 当佗0 时。有 2 三n + l 三r nc 似? ) ( 一1 ) ( z 。) m = 0i = 0 、。7 定理2 8 设晶( z ) 是e u l e r 多项式序列，则有 证明：利用定理2 5 i 2 n + 1 m + 1 嘶，= 熹扣，( ? )m = 0t = 0 、7 = 0 ( z + ) n 玩( z ) ：壹( 一1 ) m m i 掣 ，n = 0 将( 2 1 ) 和( 2 9 ) 式代人上式得 利用二项式卷积公 得证 在( 2 1 1 ) 式中当z = 1 2 时，有 m ( - - 1 ) 扣“( 凳) ( 旁 击砉c 似妒七) 。 信o 。 既( 1 2 ) = 毫喜( 一妒( 型箬仇= 0t = 0 、。7 ( 垆 因此，由关系式鼠= 2 n 既( 1 2 ) ，我们得到e u l e r 数的显示表达式： 推论2 5 当n 0 时，有 b = m = 0扣，( ? ) 警 由e u l e r 数的性质易七一1 = 0 有如下结论： 推论2 6 当n 0 时，有 2 三n - - i 三r nc 可( m 。) ( 一1 ) ( i ) m ，= 0t = 0 、。7 唉笺2 n ；= o 9 仇一+1。 ( 2 1 1 ) ：l 大连理工大学硕士学位论文 3 高阶b e r n o u l l i 多项式和高阶e u l e r 多项式 3 1高阶b e r n o u l l i 多项式和高阶e u l e r 多项式的计算公式 根据定理2 2 选取适当的初始序列，可获得一类与加权的第二类s t i r l i n g 数有关的高阶 b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式的新的封闭计算公式 定理3 1 若初始序列为伽，仇= 搿s ( m + k ，七) ，其中m 0 ，则有 黜加塞( m ? - 1 s ( m + k , k 融蚋 ( 3 1 ) 其中s ( 佗，仇) 是第一类s t i f l i n g 数 证明：由定义知 雒) 2 三蚧2 三( - 1 ) m 高s ( m + k , k 妒 = 0 0 高s c m + k , k ，等 名( m + 惫) ! 气 7 m ! 。 由第一类s t i r l i n g 数的发生函数性质知 邱) = ( - l o g ( 攀1 - ) 知 由定理2 3 知 b ( z ，t ) = e 疵a ( 1 一e t ) = ( e t - z ) 七e 武 磷( z ) = n ( z ) 由定理2 2 知 取加熹( m 妄七- - 1 8 ( m + k , k 哪 得证 在( 3 1 ) 式中当z = 0 时，我们得到高阶b e r n o u l l i 数的计算公式： 基于a t d y a m a - t a n i g a w a 算法的b e r n o u l l i 多项式和e u l e r 多项式 推论3 1 当n ，k 0 时，有 醋) = 毫( m 嘉忌- 1 8 c m + k , k m ) 定理3 2 若初始序列为a o ，m = 击( 七+ ：- 1 ) ，其中m 0 ，则有 e ( k = 塞( 训掣 其中( 尼) m = k ( k + 1 ) ( 南+ 仇一1 ) 称为忌的长为m 的升阶乘 证明：由定义知 ( 1 一t 2 ) 由定理2 3 知 b ( 叫) = 一a ( 1 _ e t ) = ( 而2 ) 七 由高阶e u l e r 多项式的发生函数的定义知 磷( z ) = n 子( z ) 由定理2 2 知 磁( z ) ：妻( 一1 ) m ( 知) m 掣 m = 0 “ 得证 在( 3 2 ) 式中当z = k 2 时有 磷