（基础数学专业论文）非自治无穷维动力系统外力项所在的三个抽象函数空间之间的关系.pdf

兰州大学研究生学位论文 摘要 无穷维非自治动力系统的外力项通常依赖于时间t 为了获得这类动力系统的 吸引子的存在性，通常需要外力项，( zt ) 满足定的条件就我们所知，到目前为止 常见的外力项有三类，即：平移紧函数( 三：( 皿：) ) ，正规函数( 鹾( 避) ) 和l ；畔：x ) 函 数 本文的主要日的是研究这三类函数空间之间的相互关系最终得到如下结果 1 ) 工：( r ；) c 三i ( r ；) ， 2 ) 埋( r ；x ) c 工：。( r ；x ) ； 3 )l ! ( r ；) 工i ( r ；) cl ；( 皿，) ； 4 ) l ：+ ( 璃；x ) c 瑶( r ；x ) 最后给出例子说明了瑶( 豫；x ) ，工；( r ；x ) z i 日7 的互不包含关系 关键词：一致吸引予；平移紧；正规；条件( c + ) ；平移有界；非自治n a v i e r s t o k e s 方程；非自治双曲方程 兰州大学研究生学位论文 a b s t r a c t t h ee x t e r n a lf o r c e so fn o n a u t o n o n l o u si n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s r e l yo nt i m e i no r d e rt oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fa t t r a c t o r s ，t h ee x t e r n a lf o r c e sn e e d t os a r i s f ys o m ec o n d i t i o n s b yf a r ，w eh a v ek n o w nt h r e ek i n d so ff a n c t i o ns p a c e 8 ( l ! ( r ；) ，瑶( r ：) a a dl ! + ( r ：x ) ) i nw h i c he x t e r n a lf o r c e sa r e i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h e i rr e l a t i o n s h i p st h em a i n l yr e s u l t sa r ea s f o f l o w s ： i ) 鹾( r ；) c 瑶( r ；) ； i i )l ：( r ，x ) cl 各( 砜；x ) ； i i i )l ：( 碾：) ，l ：( r ；) c 工；( r ；) ； i v ) l ；( 砖x ) c 瑶 ；x ) a tt h ee n d ，w eg e tt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nl ：( 豫；x ) a n dl ( 豫；x ) ( l ：( 腿；x ) 里 l ：( r ；x ) ，l ：( 豫；x ) 型l ! + ( r ；x ) ) k e y w o r d s ：u n i f o r ma t t r a c t o r ；t r a n s l a t i o nc o m p a c t ；n o r m m ；c o n d i t i o n ( g + ) ；t r a n s l a t i o nb o u n d e d ；n o n a u t o n o m o u sn a v i e rs t o k e se q u a t i o n ；n o n a u t o n o m o u sh y p e r b o l i c e q u a t i o n 2 记号 通篇j = | j 下面的记号： m ：具有距离d 的完备的距离空问； 令口( 朋) m 的所有有界子集， z 朋xyc 川： d i s t ( z ，y ) = i 延d ( z ，) ：表示z 和y 的距离； d i s t ( xy ) = s u pi 醇d ( z ，) ：表示x 和y 的h a u s d o r f f 半距离； ( x ，e ) 一扛川1d i s t ( x ，x ) 0 x ( o ) = 埘( 恒等算子) 兰州大学研究生学位论文 如果ac 满足 i 1 紧性：a 在中紧； i i ) 吸引性：对中任意的有界集口，l i i n ( 1 i s t ( s ( e ) s ，4 ) = 0 这里d i s t 表示占中 的h a u s d o r f f 半距离； i i i ) 不变性：s ( t ) a = av t 0 我们把它叫做方程( 11 ) 的全局吸引子从定义我们可以看出“( z ：t ) = s ( t ) “o ( z ) 当 时间趋于无穷时对应于初值一致成立且全局吸引子唯一存在 我们知道如果系统存在全局吸引子，那么吸引子将包含大量关于整个系统的相 关信息，也就是说研究限制在全局吸引子4 上的动力系统将能了解很多重要的反 应整个系统的信息所以证明全局吸引子的存在性是研究无穷维动力系统的首要问 题 相对而言，吸收集的存在性较易获得这样，如何获得紧性将是证明全局吸引 子存在的关键所在通常的办法是验证下列条件之一： i ) 对任意有界集bc h 存在t ( b 1 0 ，使得 us ( t ) b 孔f 功 在日中紧； i i ) 对任意有界列 5 9 k c 日和任意列“_ o 。 s ( “) z k k 在打中相对紧； i i i ) 对于每个t ，s ( t ) = s 1 ( t ) + s 2 ( t ) ，马满足i ) ，岛( t ) ：h 一日连续，并日对每 个有界集c c h 7 。( t ) 一s u p is 2 ( ) 妒i h _ 0 当t o 。 g i v ) 对任意有界集b c h ，存在一个紧集k ( b ) c 圩，使得 d i s t ( s ( t ) b ，k ) 一0 ，当t o o ； v ) 对任意e 0 和任意有界集b ，存在t ( b ) 0 和有限维子空间h ，使得p s ( t ) b 关于t t ( b 1 一致有界且 l i ( i p ) s ( t ) z l l x 4 - rj r 关于妒7 - i 。( 妒o ) 一致成立 证明令妒于乙( 妒o ) 对v te 豫 产”q ( s ) 畦d s 兰e 1 2 ( 上r t 。e 1 3 | | 妒( s ) i l ；8 s + j ( 1 t - ：1e 1 8 l | 妒( s ) i ；“s + ) e 1 ，1e 1 3l 妒( t - l + s ) 1 1 2 ed s + e - 2 1 2 1 | | 妒( t - 2 + s ) j 0 0 幢d s + j s e 一1 ( 1 + e 一1 + e 一计+) s u p 50 _ p 0 + s ) i ；d s t e rj 0 茎而1 s 。u p ：1e 刊。叫州川2 d s 因为妒o ( s ) 是正规的，那么对于ve 0 ，j 卵( e ) 使得， s 。u 。p ，f ，l 。，i 妒。( s + t ) i ；d s 茎； ( 1 8 ) 一 兰型查堂堕塞生堂篁堡皇王一一 可以得到 o 存在x 的一个有穷维予空间x ，使得， 翟，”1 其中是x 在x ，上的正交投影 注记1 2 我们把满足条件( 伊) 的所有函数记作三：。( r ：x ) 或者三：。 当方程( 11 1 ) 的外力项9 满足( c ) 条件时，sm a c k z h o n g 1 6 】中不仅得到了系 统弱解一致吸引子的存在性，而且同日_ j 得到了系统强解一致吸引子的存在性具体 结果如下： i 1 在e o = h o l 2 中的一致吸引子 定理1 5 如果卯( 。，s ) l ；日) ，那么对应于 魂= a 。( “( ) ，g h ：，= *( 11 5 ) 的过程 ( t ，r ) ) 存在一致( 关于r r ) 吸引子a ( ce o ) 等价于过程( ( t ，r ) ) ，g 7 1 ( g o ) 的一致( 关于9eh ( 卯) ) 吸引子山t ( 。) 4 0 一4 秆( 卯) 一u o ，州( 蜘) ( 日o ) = 州( 9 。) 庀9 ( o ) ( 11 6 ) 其中b o 是岛中的致吸收集，厄9 是过程 ( t ，r ) ) 的核且非空 证明略 i i ) 在e 1 = d ( a ) 硪中的一致吸引子 定理1 6 如果g o ( x ，s ) l ( r ；v ) 那么对应于( 11 5 ) 的过程 u 品( t ，r ) 可以 得到一致紧的吸引子a ( ce ，) 证明略 注记1 3 以上x 是h i l b e r t 空间 注记1 4 对一s 方程当卯( z ，s ) l 冬，日) 时，同样可以得到硪巾的一 致吸引子的存在性 本论文主要是研究归纳：平移紧函数( 鹾僻；) ) j f 规函数( 联嘤；) ) ，( l ：，( 码x ) ) 函 数及平移有界函数( 鹾( 豫；) ) 之间的相互关系，归纳得到了 i ) _ l ! ( 碡，) cl ：( r ；)在l 之。( r ；) 中； i i ) 工：( r ；x ) cl i + ( 砘；x ) 在l 乙。( 碾；x ) 中； i i i ) 工：( r ；) ，瑶( 琏，) cl ；( r ：)在l 己。( r ；) 中； i v ) l ：。( 琏；x ) c 瑶( r ，x )在l 乏。( r ；x ) 中 最后给出例子说明了鹾( 璃；x ) ，l ：，啤；x ) 之问的互不包含关系 8 第二章几种函数空间的关系 讨论之前我们先简单介绍一f 讨硷到的几类函数卒问 2 1 平移紧函数正规函数简介 i ) 平移紧函数 我们先来看一下它的定义， 定义2 1 设g 是一个定义域为实数r ，取值于某个拓扑空间的函数集合并 赋予适当的拓扑使之成为拓扑空间p 9 ，集合知m + s ) 1 r ，在g 中的闭 包称为妒在9 中的壳( h u l l ) ( 记作州( p ) ) 妒称为在g 中是平移紧的如果它的壳在 g 中是紧的 注记2 1 我们把所有的平移紧函数的集合记作霹僻；) 上面的讨论表明，过程族 ( t r ) ，o - 的紧的一致吸引子a e 是通过投影 对应构造的斜积流的全局吸引子得到的而为了斜积流的全局吸引子通常要求具 有某种紧性，应用到非自治发展方程 侥“一a 。( t ) ( “) ， r 定义要求而具有某种紧性 本节我们将概括一类取值于的函数的性质这是为了叙述vv c h e p y z h o v ：f d miv i s h i k 的结果也便于本文工作的引用参阅vv c h e p y z h o v m iv i s h i k 【8 ， vvc h e p y z h o v m iv i s h i kf l a 命题2 1 集合cl ：。僻：) 在l k 畔，) 中是相对紧的当且仪当对每一个 区间段t 2 cr 集合e 吣。】在l 2 ( t 1 ，t 2 ；) 中是相对紧的这里忆# 卅表示集合 在h t ，t 2 上的限制 命题2 2 函数妒( s ) 鹾( 豫；) 当且仅当 i ) 对任意的h r 集合 e 州妒( s ) 如忙r 在中是相对紧的； i i ) l i m l o o f + 1i 妒( s ) 妒( s + f ) l ；d s 一0 ， v t 腿 对任意的h 0 ，令 f t + h ( ) = s u p 1 妒峰d s t rj f 命题2 3 令妒( s ) l 乞。( 豫：占) 则： i ) 对任意的函数妒l 州 ) ，妒1 鹾畔；) 迸一步，“( 妒1 ) ch ( 妒) ； i i ) 集合h ( 妒) 在瑶 ；) 中是有界的，并且对所有的忉“( 妒) ，。( ) 仉( ) ， i i i ) 平移半群 t ( t ) ) t o 在h ( 妒) 上关于l 。畔；) 的拓扑是连续的； 9 一 兰型查堂塑塑圭堂垡笙壅 i v ) t ( 封珂( = “( 纠当f 0 命题2 4 设是自反可分的b a n a c h 空问函数妒l w ( 琏：) 当且仅当 妒；( r ；) 命题2 5 设函数妒( 5 ) l ：，”( r ，) 则 i ) 对任意的函数妒l “( 妒) 妒1 e ，”( r ；) 进一步：爿( 妒1 ) ch ( 妒) ； i i ) 集合咒( 妒) 在l ；( 皿；) 中是有界的，并且对所有的妫h ( ) ，( ) ( ) ； i i i ) 平移半群 t ( t ) ) 脚在州( 妒) 上关于l 2 ( 瓞；) 的拓扑是连续的； i v ) f ( t ) h ( 妒) = “( 妒) 当e o i i ) 正规函数 正是为了来描述更一般条件下吸引子的一些性质，ssl uhqw u & ck z h 0 i l g ：1 4 】提出了正规函数的概念 定义2 2 删如果对任意的e 0 存在q 0 使得 翟，” 那么我们称函数9 l 。 ，) 是正规的( n o r m a l ) 注记2 2 我们把玩。( 璃，) 中所有的正规函数记作层陋；s ) 注记2 3 正规函数的些其它性质参阅s sl uf l q 注记2 4l ：+ 畔；x ) 函数在前言中已有详细描述，在此不再列出 注记2 5 聪( r ；) 表示空间上平移有界函数；l 嘤；表示空间上的局部有界 函数 做了这些准各工作，f 面我们就来看一下前面所提到的几类抽象函数空问之间 的关系 2 2 正规函数和平移紧函数的关系 为了本文体系的完整性和系统性我们把s sl u 15 1 中得到的一些结果列出 来f 附证明1 定理2 6 三：( 碾；f ) c 三；( 皿；占j 证明令 妒n ) 忍，c 瑶( r ) 且在焉( r ；) 中妒。一妒 在妒。使得 溜1 1 妒一孙； ，t + l 由定义，存在r = q ( e ) 0 使得 。p ，+ ”_ 1 妒。i l ；d 。： rj f4 1 0 则对任意的e 0 存 ( 21 ) 兰州大学研究生学位论文 由( 2 1 ) 可得 f t + 7 lf t + nf t + 7 s u p | | 妒1 l d s 2s u p 1 l 妒妒。_ | ；d s + 2s u p 1 妒。| 1 ；d s e e rj ttertcr,it 存在函数在l ；( r ；) 中但不在瑶( t r ；占) 中 例2 1 令一r ，构造下面的函数 ，：卜se 陋t + 扑锄 1 0其它 容易知道妒l ；( 腿；r ) 另外：存在e o = l 使得，对任意的q 0 ，存在，且 1 2 k 取t = 2 k 有 。pf ”1 ) 幢d s 广壶( 压) z d s 一1s u p 怕( s ) 幢“( 2 k ) 2 一 即妒( s ) 在l 。 ，r ) 中不是正规的 口 定理2 7 砭( r ；) 是瑶( r ；) 的闭子空间 证明令 ) 罂，c 鹾( 碾) 且在l ：( r ，) 中_ 妒对任意的h r ， 鬻，”“舭s 是瑶( r ；) 中的等价范数对任意的e 0 ，存在n o 使得 攀忪川；d s 蠹 令 它“妒d s 。；，是 ”妒d 引te r ) 的任意予序列由命题22 ， 眨。“妒n 。如) 有收敛的子序列，仍记为 它一妒。d s 可知对所有的充分大的。和，有 | | f + “垆c s ，a s 一+ “妒c s ，a s i | 。 1 i r l + “妒c s ，a s r2 + “妒。c s ，a s 【l 。+ 1 1 上“+ “妒。c s ，a s f + “妒。c s ，a s l i 。 | | r + “妒。t s ，a s f + “妒c s ，a s l l 。 妒一妒。| | ；d sl m z叩印g 胆 眈 e 出s m sds “ 协 一 拈一0 e + i i i i m s 一3 兰州大学研究生学位论文 这表示 f t t + h 妒d s i t r ) 在中是相对紧的类似地有 妒( s + 圳；如 pe + 1 妒。( s ) i | ；d s + 3 l | # 。( s ) 一垆。( s + 2 ) | | ；d s j t + i t 4 - 1 3 l i # 。( s + z ) 一p ( 8 ) 幢d s + l i 妒。( s + z ) 一妒( 8 ) 幢 jc f f + lf t + 1 3 ，( s ) 一( s + 啦4 s + 6 鬻上炉 由命题22 可得 ，“1l 妒( 。) 妒( s + ! ) 幢d s 。o ，当。 j t 再由命题2 , 2 n h 妒( s ) l ：( 琏；) 存在正规函数不属于鹾畔；) 例2 2 令一皿构造下面的函数 f 慨se 卜2 - - 2 k + 甄i + 两1 妒( s ) 一i 一0 ，k1 ，k n ； l 10其它 妒( s ) 是正规的事实上， s 。p ，”| | 妒( 。+ t ) | | ；d 。：。p ，1 i i v ( s + k ) l l zd 。 t e r ，0k e nj 0 剥任意的1 s 1 2 ，令q = e 2 有 因此，有 妒( s + 酬；d s 妒( s ) 幢d s e 口 “ h rr 3 ， 兰妣 ， 0 土船 叩 l 一掳 泰御喃 ，一。擀 忏 何 0 0 一七 、 一卜 泰钔 丽 可一q陋晦诉 斋雁尽 u “瓜 承巾 r，k罂 兰州大学研究生学位论文 然而注意到对任意的瓦砰1 2 2 ) 有 妒( s + 2 k ) 妒( s + 2 一1 ) 1 2d s 一2 由命题2 2 可知妒( s ) 不属于鹾僻；) 口 定理2 8 工：( r ；) cl ：( r ：) 证明妒( s ) l ：( r ；) 意味着 妒( s + t ) t 豫) 在l 乞。( 砘；) 中是相对紧的 由命题2 3 ，可知这等价于 妒( s + t ) i t r ) i 。e 。，l 】在l 2 ( o ，l ；) 中是相对紧的因 此对任意的e 0 ：存在有限多个曲。( s ) ，一，妒( s ) l 2 ( 0 ，1 ；) 使得 妒( s + t ) i 碡) ls n - 】 u b 弘( 。 目( 毗，；) ( 22 ) 存在”( ) 0 满足 器j ( i l c d l ；d s i ( 23 ) 由( 2 2 ) 和( 23 ) ，对任意的t r ，存在ie 1 ，) 使得 z 1i 妒【s + t 川；d s 2 z ”1 | 妒( s + 。一哦( s 川；d s + 2 2 1l 也( s 川；d s e ， 这表明 s u p 怕( s ) 幢d s ， 即妒( s ) 在上( r ，碡) 中是正规的 口 事实上，由正规函数的定义易知： 定理2 9 如果妒上k ( r ，) 满足 妒( s ) l8 砘 在中有界，那么妒 碍( 豫，) 注记2 6 然而满足此定理的函数未必是平移紧函数 举例如下： 例2 3 令 e 。) 。e z 是b a n a c h 空间的标准正交基则 妒( s ) = ( 扎+ 1 一s ) e 。+ ( s礼) e 。+ 1 ，s i n ，t t + 1 n z 由定理29 易知妒( s ) 是正规函数： r 扎妒d s ) 。e z = e 时- 一e 。) 。；z 在占中是不紧 的因此不属于霹( 豫；日 口 另一个简单的是正规函数而不是平移紧函数的例子是： 定理2 1 0 如果妒e 睇僻，) ，p 2 ，那么妒碟僻，) 注记2 7 由本节以上的这些定理和例子可以看出： 定理2 1 1 埋畔；) 是l i 啤；) 的闭真子空间 1 3 兰州大学研究生学位论文 2 3l 2 。函数和平移紧函数的关系 我们先来看这样一个重要引理 引理2 1 2 如果g a 足伊条件那么对丁v e 0r 皿我们有 ，【 s u p e ( 一6 0 一3 ) | | ( ，一只。) 9 ( s ) i l 冤d s 茎 j ，0 0 垃r 7 证明设9 ( s ) 上当，那么对任意的e 0f i r ，我们有 s u p | | ( j 一f ) 9 ( s ) 1 蚤d s ( 1 一e6 ) e 所以对任意的r 略我们有， e “( “5 l ( ，一) 9 ( s ) 暇d s r t 1 s e n ( e 拈i | ( 一只。) 9 ( s ) l l 免d s + e 如_ | ( ，一j ) m ) g ( s ) i i 免d s + ) j t 一1d t 一2 茎( 1 + e 一6 + e 一2 6 + ) s u p l ( 工一只。蛔( s ) l l 炙d s r 口 注记2 8 此处及以下r 。见定义( 11 ) 定理2 1 3 设x 是一个日z 拍e n 空间，那么l ：( r ；x ) 是l ：( r ；x ) 的闭子空间 证明设 卧) 罂l 是l ：+ ( r ；x ) 中的点列，且在露( r ；x ) 中肌一9 这里，其中 焉但；x ) 是一个赋予如下范数的b 。c 空间， 州驰矿鬻f 1 怕( s ) 1 1 ；5 那么对v e 03 n o 使得， s u p | | g g 。i ；d s 茎； ( 2 4 ) t rj 由工各皿；x ) 函数的定义，存在自然数m 使得，当m m 时， 咄 l ( j ) m ) 9 n 。i 尧 s j ， 碾， 1 1 4 兰州大学研究生学位论文 结合f 24 ) 我们可以得到 r r r 十1r r 十l 2 i i ( j 一只。) 扫( s ) 一9 。( s ) ) l 娶d s + 2 i i ( ，一p m ) g 。( s ) i i ；d s j tj t j p t + lf t + l 2 上i i ( g ( s ) 一。( s ) ) 限d s + 2 = i i ( 蹋) 如。( s ) l 女4 sjz o 我们固定一列元素 9 ( s + 。) 墨1 使得对v t r 存在一些 i ，l i n 满足： z 1 i ig ( s + t ) 9 ( s + 彘) | 1 蚤d ss ；( 25 ) 进步，因为g ( 【o ，1 ；x ) 在三乇。( o ，l ；x ) 中稠密，所以存在 ) 鲁】cg ( 【o ，1 ；x ) 使得对任意的妒鹾( o ，l ；x ) f 1 i i p 。( s + t ) 一妒( s + t ) | | 羔c ；：v tcrdso ( 26 ) 妒n ( s + t t ) 一妒( s + t t ) | | ；： ( 26 ) j ” 显然，l 畔，x ) 如果 吣) 墨，是x 中的一组标准正交基，那么， 妒。( s + t 。) = 民，( s + ) ( z ) 因此，存在一个足够大的m 使得 1 5 ( s + t 。) 2 d s 0 0 ， 芦 e 一8 h 兽 矗 ， 。一 兰卅i 大学研究生学位论文 即 z 1 结合( 25 ) ( 2 6 ) ( 2 ，7 ) ，我们有 + 4 + 2 1 i l ( f 1 | i ( 只。) 妒( s ) l i 羔d s 一i i ( i 一只。) 妒( s + t ) l 羔d s j 0 r 1 p m ) 妒0 + t ) 一( 一焉) 妒( s + t ；) | i 羔d s + 2 j o ) 妒( s + t ) 一( 一f ) 妒0 + t 。) l 羔d s e v t r 只。) 妒( s + 缸) 一( ，一j ) 妒。如+ t 。) l l 妥d s 岛) ( s + t 。) 幢d s 由定义知，9 符合c + 条件 注记2 9 本节及下节中x 是h i l b e r t 空间 ( 27 ) 2 4 正规函数和l i + ( r ；x ) 函数的关系 口 这也是本文伊始最关心的一个问题，可惜的是最后用例子说明了它们在h i l b e r t 空 间中的互不包含关系，这一节我们主要来介绍一下两个反例，以说明鹾( r ；x ) m 数 空问和l 吾假；x ) 函数空间之间的关系 注记2 1 0 存在函数在l ：( 峨x ) 中但不在瑶( r ；x ) 中 例2 4 设日= l 2 ( n ) 我们构造如下函数： 其中，口扛) l 2 ( n ) ，h ( s ) l ；( r ；r ) 且， 吣) ：瓜蚓2 岫嘉睢n 10其它情况， 显然，g ( x ，s ) 是平移有界的，且g ( z ，s ) l ! + 畔；l 2 ( n ) ) 事实上，令日= h 1 0 h 2 不妨设风的维数为m ( 0 我们可以选 m 足够大，使得， l ( 一只。) a ( z ) 】| 刍 去， ( 2 8 ) 1 6 v ， ， 厂 r厶，几 兰州大学研究生学位论文 因为，日到峨是正交投影，因为 ( s ) 工；( 皿i r ) ，我们得到 f t + 1 s l i p i ( s ) 2d s 茎c o 有， 厂1 1 ( ，一础s 川弘= ”11 1 ( ，酬蝴川j d s = 1 l ( ，一p m ) “( 。) 幅i ( s ) 1 2d s 0 ，孤使得，矗sq 取t = 2 k ，我们得到 由f 28 1 知 翟，” ( 。) 2 ，2 “击( 厄) 。d 。：1 f t + l i t + y s u 。p g ( x ，s ) 1 2d s = 1 1o ( z ) 1 5s u p i ( s ) 【2d s 到“( z ) 暇 t rj tt e rj t 所以9 ( 8 ) 不是正规函数 另外有例子说明： 注记2 1 1 存在函数在e ( r ；x ) 中却不在l i + ( r ；x ) 中 例25 设 e 。) 。z 是h i l b e r t 空间h 的一组标准正交基 令 9 ( s ) = ( 竹+ 1 一s ) e 。+ 扣 n ) e 。+ l ，8 竹n + 1 ， n z 由定理21 0 知9 ( s ) 是正规函数 但是对v n z 我们有， f 1 1 ( i 所以函数不是工：。嗥；x ) 的 珞) g ( s ) 幅d si ( 8 一) e ( s j v ) 2 d s ( 29 ) 口 ：。 兰j , i 、i 大学研究生学位论文 注记2 1 2 以上2 2 节的讨论在b a n a c h 卒 问中进行，2 3 24 节的讨论在h i l b e r t 空 间中进行 注记2 1 3 能力所限，本文给出的例子从某种意义上训：都是“分离形式”的，所 以本人认为：是否存在一般形式的函数作为例子来说明它们之问的关系是值得研究 的 1 8 3 5 6 【9 】 【1 0 f l l 1 2 1 3 1 4 参考文献 g rs e l la n dyy o u ，d y n a m i c sd ，e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s n e w y o r ks p r i n g e r ， 2 0 0 2 j cr o b i n s o nh t f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sa ni n t r o d u c t i o nt od i s s i p a t i v ep a r a b o l i cp d e sa n dt h et h e o w0 g l o b a la t t r a c t o r s c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，2 0 0 1 rt e l y i a n l ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m si nm e c h a n i c sa n dp h y s i c s ， 2 n de d n ，b e r l i n ，s p r i n g e r ，1 9 9 7 cmd a f e r m o s ，a b n o s tp e r i o d i cp t o c e s s s sa n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s 。，e v o l u t i o n a le q u a t i o n s ，p m ei n t e r ns y r a p ，u n i vo ff l o y i d u ，a c a d e m i cp r e s s n e w y o r k ( 1 9 7 7 ) ，4 3 5 7 gr s e l l n o nn “o o n o m o u s & f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt o p o l 0 9 i c a ld y n a m i c s ，i ， i i ，t r a n sa i n e rm a t hs o c ，1 2 7 ( 1 9 6 7 ) ，2 4 12 6 2 ，2 6 3 2 8 3 r km i l l e r a l m o s tp e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sd y n a m i c a ls y s t e m sw i t h a p p l i c a t i o n st ot h ee x i s t e n c e 。fa l m o s tp e m o d i cs o l u t i o n s ， d i f fe q1 ( 1 9 6 5 ) ， 3 3 7 3 4 5 v vc h e p y z h o va n dmiv i s h i k ，a t t r a c t o r s 对0 m l , t 0 0 0 l o z l s 由n a m i c a ls y s t e r n 8a n dt h e i rd i m e n s i o n ，jm a t hp u r e sa p p l7 3 ( 1 9 9 4 ) ，2 7 9 3 3 3 v vc h e p y z h o va n dm 1v i s h i k ，n o n a u t o n o m o u 8e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n sw i t h t r a n s l a t i o n c o m p a c ts y m b o l sa n dt h e i ra t t r a c t o r s ，cra c u d s c i p a r i ss d ri m a t h ，3 2 1 ( 1 9 9 5 ) ，1 5 3 1 5 8 v vc h e p y z h o va n dm iv i s h i k e v o l u t i o ne q u a t i o n sa n dt h e i rt r a j e c t o r ya t t r a c - t o r s ，m a t hp u r e sa p p l ，7 6 ( 1 9 9 7 ) ，9 1 3 9 6 4 v vc h e p y z h o va n dmiv i s h i kt c a j e c t o r ya t t r a c t o r s 如re v o l u t i o ne q u a t i o n s ， c ra c a ds c ip a r i ss 6 rim a t h 3 2 1 ( 1 9 9 5 ) ，1 3 0 9 1 3 1 4 ah a r a u x ，a t t r a c t o r s0 sa s y m p t o t i c a l l yc o m p a c tp r o c e s sa n da p p l i c a t i o n st o n o n l i n rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o m m