（基础数学专业论文）典型李代数有限阶内自同构的矩阵表达式.pdf

摘要 摘要 本文首先回忆了典型李代数的矩阵表示及自同构的概念和的一些性质，接着用 矩阵的形式具体给出了典型李代数自同构共轭的充要条件，并给出了证明。接 着利用自同构共轭的充要条件，详细的计算了各类典型李代数某些内自同构的 共轭类以及各共轭类的不动点集，并在二三阶的情况举例说明 关键词；典型李代数，自同构，矩阵形式，共轭类 a b s u a c t i nt h i sp f l p 既, w cf i r s tg i v es o m ep r o p 豇 t i e $ o fa u t o m o r p h i s m so fc l a s s i c a ll i e a l g e b r a s t h e nw cp r e s e n tac l a s s i f i c a t i o no f c o n j u g a c ya u t o m o r p h i s m su s i n go n l yt h e m a u i xt h e o r y f i x e dp o i n ts e t sa t e c o m p u t e df o rs o m ec o n j u g a c yc l a 鹞o f a u t o m o r p h i s m s k e yw o r d s ：c l a s s i c a ll i ea l g e b r a , a u t o m o r p h i s m s ，m a t r i xf o r m ，c o n j u g a c yc l a s s 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：珥毒俊勾 6 年；局钼 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 自同构理论在李代教的研究中起着重要的作用例如。紧李代致的二阶自同构在实李代敦 的分类中起着中心作用目前有限维李代数的自同构理论已经比较成熟可以参看【l 】， 2 l ， 3 】， 4 1 ， 但现有的分类比较抽象根据 ，口，c ，d 型李代敦与矩阵的特殊联系本文给出了各类典堑李 代数某些内自同构分类的矩阵表达式，并计算出了它们的不动点集 首先我们回忆典型李代数a ，b ，gd 的矩阵实现具体可参看文献【1 1 ，【2 1 山型李代敦“+ 1 ，c ) 由所有述为0 的( i + 1 ) “+ 1 ) 矩阵组成 马型李代敷令i n = 2 1 + 1 令 s = ( i引 = a 1 1 砂 4 = o ， = - o ，：= _ u t ，a 1 1 = 一 毛，j i 口= 一如，a 2 1 = 一蜢； ( ：0 ：薹a r t 。曼卜叫 s = ( 三一) ( 也a 1 。1 瓮) ，a n = 他，知= 蜴 d l 型李代数叫搿，c ) 由所有清足条件船+ 函p = 0 的2 阶矩阵a 组成其中 s = ( 三言) l 盎) 山= 一屹, a 2 i 一- 砺 的矩阵组成 定义【l 】1 设l 】为李| 拇运算如果存在向量空问的同构口：f 一7 ，它对z 内所有的x , y 满足( 陋，副) = ( z ) ，( ) 】，则称域f 上两个李代数f ，是同构的李代敢z 的自同构就是 到自身上的同构，若a d x 幂零形如e x p ( a d x ) 的自同构称为内自同构对任意的z f ，满 足矿( z ) = z 的自同构称为r 的k 阶自同构若是z 的自同构。z 内所有满足扛) = z 的元素称为z 的自同构的不动点自同构t 的所有不动点的集合称为的不动点集 定义【2 j 设z 是一个李代数，和是f 的两个自同构，若存在f 的自同构口使得 口。十o 口“= ，则称和是共耗的所有共轭的自同构的集合为共轭类 2 一、典型李代数自同构的明显确定 如果y 是c 上有限维向量空问，用g t ( v ) 表示y y 线形变换组成的代教设c 为 ( 矿) 的一个半单纯子代散，z 是使a d z 幂零的c 中元素因为线性变换a d c c 所组成的代数 是半单纯的所以。存在日c 使得【z 明= z 由此得z 是幂零的我们有o a t , = z r z “ 园此 e 叼d z = 翻怖一z l = 矗协唧( 一z l ) ， 因为 z s z l 】= o 于是 唧( a d 刃= ( 卸z ) r ( 鲫( _ 刃) 工 = ( 姊z ) a ( “z ) ) ：1 着令a = e x p z ，朋c 的自同构“舯d z 是映射 x ，a - l x 九 现在考虑典型李代数的情况t a l ，若a 是一非退化矩阵，于是x a - 1 x a 是c 的个白同构目为与所有迹为零的 矩阵可交换的矩阵只有纯量矩阵。所以显然有自同构 x a 一1 x a 与x 呻口一1 x b 相同当且仅当b = p a ，p c 除了自同杓x a 一* x a 外，还有c 的自同构x 一并7 ，更般的我们有自同构的集合x 一 - 1 矿 如 果自同构工一一x r 与莱一自同构x a o x a 致那么对所有连为0 的x ，麓有 “x a = 一f 这就推出 一x = j 4 2 7 ( ) 一1 = 一a t a 一1 x a ( a t ) 一1 于是 ( r ) 一1 与所有的x 可变换这就得出a t = p a ；因此a r = 士 所以a 一* x a = 一x r 就可以写成a 1 妒a = - x 满足这个条件的x 所成的集台或者为辛李代数，或者为正交事代 效相应的维教为世! 甚业( 只对l 为奇数) 或坐笋( 对f 为奇或偶) 因为迹为。的( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) 矩阵所组成的空间维致为1 2 + 2 1 ，所以必须有，或者1 2 + 2 1 = 坐2 掣垃或者p + 2 l = 蜓掣唯一的 鲁是f = 1 这时1 2 + 2 1 = 幽砦垃这时，我们看到要x 一x 7 与某一形如x a 一* x a 的 自同构囊必须l = 1 这部分开头的结果指出。 的每一内自同构有形式x - 1 x a 对a 1 ，这是所有的自同构对a ，l 1 ，还有外自同构x 一a 1 1 f 。奉文只考虑内自同 构 马，a ，d 1 设0 为满足o r s o = p o 的矩阵，其中p 0 为c 中元素于是o 是非退化 的若x c 埘y = 0 - 1 x o 满足 s 一1 y f s 毒s 一1 ( 0 - 1 x o ) t s 氲s 一1 0 r f 0 伊1 一。s _ 一s 一1 0 t s x s 一1 s ；一o 一1 x ( p - 1 0 ) 暑一d 一1 x 0 = 一z 因此y ec 所以j r y = 0 1 x o 是c 的个自同构用p i o = 0 l 来代替0 ，从而我们 得到 听1 x o l = y o f s o l ；曼 3 如果仍把0 l 写成o ，则对于且与d l ，o 为正交矩阵( s = 1 ) ，对于c l ，o 为辛矩阵 综上，在n 阶矩阵组成的集合m 。上定义映射 r ：x _ a 一1 x p ：x 一一一 关于典型李代教的自同扮辟。我们有， 定理1 ( 2 1 3 0 2 - 3 0 6 定理5 ，定理e c 1 ) a l 的所有自同褶为 “i a 为2 x2 可逆矩阵 ， 的所有自同构为 似i 为( i + 1 ) ( 1 + 1 ) 可逆矩阵) u “p i 为o + 1 ) ( 1 + 1 ) 可逆矩阵 ( 2 ) 岛( 1 2 ) 的所有白同构为 印i d d + 饼+ 1 ，丑) 其中0 + 僻+ l ，r ) 为甜+ 1 阶旋转矩阵群 ( 3 ) c l ( 1 芝3 ) 的所有自同构为 下old 蠢足条件d 7 = 田 d l ( 1 5 ) 的所有自同构为 仍i d d 僻，励) 。其中d 僻。固为篮阶正交矩阵群 甥2 【2 ，a w - s o e 与 ( 或马，或a 。或功) 中所有元素可交换的矩阵只有纯t 矩阵 i = 、两自同构共轭的条件 定理3 ( 1 ) 李代教山的两个自同构7 a 和印共轭的充分必要条件是存在可逆矩阵k 和一 个非零的敦 ，使得a a = k b k 或者存在可逆矩阵p 和个非零的敦 c 使得 m = ( i c 一1 ) r ( 口一1 ) t f ( 2 ) 事代致 的两个自同构t a o p 和r ao p 共轭的充分必要条件是存在可逆矩阵k 和个非 零的致 c ，使得 m = ( k f ) - i 刖p ， 或者存在可逆矩阵p 和个非零的教 e c 使得 a , 4 = 畔一1 ) 7 ( b 一1 ) 7 k 。1 证明，( i ) 由定义，自同杓啊和印共轭的充分必要条件是存在个白同构，使得 即 口o “0 0 一l ；t b 但由定理1 我们有口一r k 或口= 豫o p 其中耳为可逆矩阵如果，= 咏由 口o 2 僧0 f 爰n 的定义，我们有对任意x 1 ( 1 + 1 ，c ) ， k 一1 一1 x a k = 口一i 耳一x x k b 坤 x a k b 一1 耳一l = a k b l 耳一i x 所以由定理2 可得，a k b 一1 k 一1 为个纯t 矩阵印存在个鼓 c 使得 a k b 一1 k l = 艟 由于a ，b ，耳都可逆。量然a 0 于是 一 j f 日k 。i 如果 ，5 佑o 由 一o n 暑7 b 0 口 5 及y a 和p 的定义我们有对任意x e d ( 1 + l ，q - k 一1 ( 一1 x ) t k = 一扩1 j r 。矿觚y 印 x t ( a t ) 1 k b 一1 耳一1 一似7 ) 一1 k b 一1 k 一1 x 所以由定曩2 可得 ( a t ) 。1 k s 一1 r 1 为十纯量矩阵即存在个敦 ec 使得 ( a d 一1 k b 。1 耳一l = a e , 由于a ，口，k 都可逆曼然 0 于是， a = a ( 眉1 1 口一1 j i f f ( 2 ) r a o p 和佃。p 共轭的，b 分必要条件是存在个自同构口使得 坤 ，o r a p o o 一12 印0 p , 盯o no p = 功o p o 口 但由定理1 我们有 口。僧 或，= 信o p ，其中k 为可逆矩阵如果口= 信，由 口o t a o p = 印o p o ， 及啊的定义。我们有对任意x “( 1 + 1 ，o ， - k 一1 a 一t a x 一一b 一1 暇一1 x k ) 7 且 坪 x t a k s 一1 j p = a k b 。1 j p x 7 所以由定理2 可得 a k b 一1 j p 为个纯量矩阵即存在个致 c 使得 a k b 一1 一a e 由于 县，都可逆，曼然 0 于是。 = k 一1 b ( k 一1 ， 如果口；研o p 我们有对任意x e a ( i + 1 c ) 。 1 ( 耳- 1 x r l o t a k 一1 【且1 x r b ) t k 整理得 x ( 驴) - 1 脯一1 矿= ( j p ) 一1 a k 一1 矿x 所以由定理2 a i r ， c k 7 ) 一i a k 4 矿 为个纯量矩阵即存在个数 c 使得 ( k 7 ) - 1 a k o 矿= a e , 由于a ，b k 都可逆曼然 0 于是 a = x f f ( f ) - 1 置 证毕 定理4 ( 1 ) 李代敢局u 2 ) 的两个自同构r o 。和7 d ，共轭的充分必要条件是存在正交麓转矩阵 d 和一个非零的敦 e c ，使得a o x = o 一* 0 2 d ： ( 2 ) 李代致q ( 1 3 ) 的两个自同构r o 。和t 巩共轭的充分必要条件是存在清足条件d ，嗣0 = 占 的可逆矩阵0 和个非零的敷a ，使得a o l = 0 1 0 2 0 ( 3 ) 李代数d k i 5 ) 的两个自同构1 - 0 和t 如共轭的充分必要条件是存在正交矩阵0 和个 非零的敷 ，使得a o l = 0 - 1 0 2 d 证明( 1 ) 由定义自同构t o 。和，巩共轭的充分必要条件是存在个自同构，使得 o o t o io o 一1 2 他， 即 ，o r o t = t 0 2o 仉 但由定理i 我们有f = 1 0 其中。为正交麓转矩阵如果，= 印由 盯o r o j = t o , o 口 及r o 。的定义。我们有- 对任意x 耐雹+ 1 c ) ， d - 1 耐x 锄o = 谣d x o r o , ， 坤 x r o 。o r j , * 0 “= r 0 i d 碍d x b i l a r h f a _ a2 可得t o , o r 6 * 0 1 为个纯量矩阵。印存在个教 ec 使得 i 0 i o r 5 l o - 1 一擂， 由于d l ，0 2 ，0 都可逆量然 0 于是， r o t = a o r o , o 7 ( 2 ) 由定义。自同杓 l o s 和l o g 共靶的充分必要条件是存在个白同构，使得 ( r 0 1 0 1o a l 。铂， 即 口o r o s2 锄o a o 但由定理1 。我们有，= r o 其中d 为政矩阵如果口；r o 。由 ，o i 0 1l l o so 盯 爰7 仉的定义我们有对任意x 颤甜+ i ，c ) 。 0 4 科硒。d = 吞d x o r o , ， 印 x 印。d 吞d “= t o ，o 访o x 所以由定理2 可氘嘞d 碍d 1 为懈髓阵即存在t 敷af c 使得 t o i d 右d - 1 = 坫， 由于d l ，伪，d 都可逆曼蒜 0 于是 f 确= 加7 岛d ( 3 ) 由定义，自同枸，仇和r c 共靶的充分必要条件是存在个自同构口使得 口o r o lo f l 。他， 耶 ，o i 0 1 = 而，o 仉 但由定理l 。我们有口；仞。其中d 为满足别中0 8 0 = s 的可逆矩阵如果，；r o 由 ，o f d l 。1 o so 口 及1 0 。的定义，我们有对任t x es o ( 2 j + 1 0 ， 0 - 1 讲枷d = 嚼d x o r o 一， 即 x r o 。d 嚼0 _ 1 = r o i d 暖d “置 所以由定理2 可得舰。瑶。一1 为十纯量矩阵即存在卟致 ec 使得 r o l d 茜d “= 崛 由于d l ，仉，d 帮可逆曼然 0 于墨 t o , = 伪锄d 一 8 征毕 注。如果定义两个同阶方阵 和日为拟相似报合同) 的，如果存在可逆p 及非零常数a 使 得p a p _ 1 = 加( p a p = 且) ( 当a = 1 时，就是线性代数中矩阵的相似和合同) ，则本命 题指出两个内自同构“和佃共轭的充分必要条件是a 和b 或者a 和1 是拟相似的 两个外白同构“o p 和佃o p 共轭的充分必要条件是a 和口或者a 和f 1 是拟合同的类 似于线性代致中的相似和合同我们很容易爿断出两个矩阵j 哇和b 是否拟相似或拟合同 9 兰、内自同构的共轭分类及各共轭类的不动点集 肚r 而e ) n 功冬sr ，r = l + 1 一一卜局弛) 一t 一( 1 也 ) e “。+ l c ，- 妾t r t ，= 町 m 豆然，该不动点集同构于 一( r 1 ，c ) 0 1 ( 内q o 毋时( r ，q o c o l 。 。= ( 1 亍b 岛0 t ( 言弓山一三。) i t 吖 ，+ 毒r c ，+ 打c 一一+ - ， 它同构于 村( r + l 。c ) + 一( + 1 q + 村o r 一+ 2 ，c ) + 6 l l 2 、马的情形t 对于i 阶自同构仞，我们有 喀( a ) = j t ， 任意的 ( 2 f + 1 ，c ) 即d 。与任意反对称矩阵可变接从面由定理2 可得，d 。为纯t 矩 阵墟但0 为旋转矩阵所以必有 0 = 启 政矩阵的特征多项式是个实系教多项式，其复根必共轭成对出现。并且有 。口= 辛0 可= 两 我们可以对v 的列向量进行适当地交换使得 因此 y = h ，饥，t * + l ，巩+ l ，口k + r ，巩+ r ) 钾tv ( 1 ，1 ，- 1 ，一1 ，嘶l ，k 1 。- 。d “，k ) o u l , + = 函咔，t * ，d 巩州皇k 可州，j 1 ，2 ， 啪= 击+ 咖) ，z 击( 帅一嘶h - l 2 ，r 朋不堆验证， 口= 扣l ，啦，地，啦l ，口0 l i - ，口竹口，+ ) 量正交矩阵。并且 。坼- = 击o + ) = 击( 帅+ k ) 2 责( 啊白( + 嘶，卜咖毋一) ；竺生f 迎啦! + 塑丝! 堡霉弛! ，2l 、，2 = “毋。州+ 咖乃叱， 同理 所以有 其中 仇，i = _ 乃“一血毋t - 如 o “1 ，吒+ 1 ) = ( 。l ，吒+ 1 ) r ( 乃) 聃，= ( 篇嚣) d 0 = 口d ，口1 0 口= d 1 2 其中 d = ( 马 一局1 s ( 0 1 ) l 1 r ( o o ) ， 其中q = 2 t 为儡敢根据定理4 的( 1 ) ，自同构仞与r d 共轭，并且它们有相同的阶从面 d k = e 哉 0 f f i 警 其中1 s j k 一1 于是自同构- r o 的不动点集为所有与d 可交换的2 f + 1 阶反对称矩阵根 据分块矩阵的乘法，计算可得如果 a d = d a , 用 其中 缸：f o - - a k 山；f 吣 - c t j i 为雹一2 一甜+ 1 阶反对称矩阵也为甜阶反对称矩阵因为 构成的李代致同构于 口 如 _ 一露 o o札如j|“ o o 。缸缸嵋。h，以 。如o o o 血o 0 0 o o ，j-_l_-_-_-_ = 订， 、，一 坯 q 坯 “ h m 苫踟 、i-ii、 “缸 厶 扎，啦 ，l-_-_ 、llli_l 跏跏 却 幻 虮劬 ，-ii_l_-i、 构成的李代数而后者又同构于 一( q 一村“c ) oc l ， 所以k 阶自同构印的不动点集同构于 即 ( 2 0 j 一日+ l ，q o s o ( 2 t ，c ) m g l ( s ，c ) 髻岛一一i o d t o a - i o c t 倒如，时r = ( ：) 赭删= ( 1 1 三) 于是= 阶自同构的不动点集为 d ：f 而一2 i + l f 0 一：) t = ( 吉羔) l ，= 一 ， 它同构于 国一豁+ l ，q o c ) f , g 马一ed i k = 3 时。 d - ( 马 、 聃) k 川 l 且似) 三阶自同构的不动点集为 ( 烈一知+ l ，c ) o g l ( a ，c ) = 局- o a j 1 毋c z 1 4 a a 的情形 令村h ( c ) 为复数域c 上鼽阶方阵的集合 s p ( 2 n c ) = f d 射h ( c ) l o t s o = 毋， 容易证明 引理s p ( 2 n ，c ) 是十彝并且如果o s p ( 2 n c ) 则矿，0 - 1 s p ( 2 n ，c ) 定理5 对任意o 8 p ( 2 n 。c ) 如果o 可对角化，则存在个p s p ( 2 n ，c ) 使得p 。1 0 p 为 对角矩阵 证明t 令y 为复数域c 上的2 n 维向量空间，( ，) 为v 上的个非退化反对称双线性童则称 v 为辛空问辛空间y 上的一组基 称为关于( ，) 的组标准基，如果 c 1 ，幻。， ，厶 ( e ，h ) = l = - ( h 白) ，t = 1 ，2 一，n ， 并且其余基元素问内积全为0 聿空问y 上的线性变换称为个辛变换如果对任意的 e v ，都有 ( a w ，4 = ( 。 记所有辛变换集合为s p ( v ) 取定y 的组标准基 o l ，句，一，“， 。五，厶 删$ p ( 2 n ，c ) 与s e w ) 之问有个一一对应辛矩阵0 s p ( 2 n 。c ) 对应一个辛变换0e s p ( v ) 因0 可对角化。所以辛变换0es p ( y ) 也可对角化即存在一组线性无关的特征向 量 c l ，毫i h t 使得 d ( 6 ，6 ，一钿) 掌( 6 ，6 ，一毫h ) d ， 其中d 为对角矩阵对矗由于( ，) 非遇化定存在莱个矗。使得他i ) 0 令 e l 一l ，o i = c ， 适当选取k 可使 如l ，e n 4 1 ) = 1 再令 m = s 舯n c e ：，o ，件1 ) 勺= 白+ ( e j 1 ) 5 1 一( 白，e “+ 1 ) e l ( j 1 ，n + 1 ) ， 眉 e i - 旬。句 = t 乱臼，一缸，a ，a ，厶，( k 知梳) 一一卜b 。 若r d 为女阶自同构。砌对任意a l p ( 2 ，l ，c ) ，咭) = a 即a o k = o k a 。所以 0 k = f 从而辛矩阵0 可对角化根据定理5 ，存在辛矩阵p 使得p - z o p = d 由引理， 对角矩阵d 也是辛矩阵，所以 。= ( d 1 巧。) c 耻r 局日) ， t ( 玩巧。) ( ：- 日a t ) = ( c a 二) ( a 巧。) 垆= 且= 研 = t ( 。a 二) i 戮；僦：荨z 矧掣糍剁哥挚 a = ( 而一易) ， t i a l l 0 b 1 1 0 ) ， = t ( 2 如果k = 3 埘 - 肌a t 。) i 职c u 乩= c 1 i ) 。t ( 2 墨) i 甓二芝， 警印( 2 p ，c ) o 印( 2 一p ) ，c ) = g o g - ， a 一( 而。警局。警马) ， 且1 0 0 一碍 0 0 1 7 o o 碍 o 一如 0 、lj。肠。镅 o o缸oo o 缸o o o 缸o o o o 一t ( 2 巍)- = ：b a z z ，。t ( 2 麓 垒s p ( 2 p ，c ) o 矿加一p , c ) = g 毋 i _ p - i oc l 三阶自同构的不动点集同构于 g 毋l o c i 4 d l 的情形t 类似于马。功的 阶自同构r d 和, r d 共耗，其中 d = 马一目州以，n(so，+一=翟一知 州以) l ，p + 口= 翟一知 ) ， 并且 d - 昌e 敛 巩= 竿， 其中1sjsk 一1 于是自同构仍的不动点集为所有与d 可交换的盈阶反对称矩阵根据 分块矩阵的乘法，计算可得如果 d = d 用 其中 舢= ( 二苫) m 螂“ 知；( = 老) m 驯， a i 为p 阶反对称矩阵 j 为q 阶反对称矩阵 当p 为奇敦时，其不动点集为 口孚。脚e a o l o c l 当p 为儡敷时其不动点集为 毋d l e a o i o c l - 删= ( ：) 或者月= ( ：三) 。 。= ( 言一三，) o o钆缸厶 o o 。缸如嵋。缸，以 o 屯0 o