（基础数学专业论文）紧支撑m带最小能量紧框架的直接构造.pdf

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b a n d m i n i m u m e n e r g yt i g h t f r a m e s 少= y i ，) a s s o c i a t e d w i t hm - b a n dr e f i n a b l e f u n c t i o nw i t hc o m p a c ts u p p o r t f i r s t ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nm - s c a l es y m b o l o fr e f i n a b l ef u n c t i o na n dm - s c a l es y m b o l so ff r a m ef u n c t i o n s ，t h e ng i v eap r e c i s e e x i s t e n c ec r i t e r i o no fyi nt e r m so fa ni n e q u a l i t yc o n d i t i o no nt h el a u r e n tp o l y n o m i a l s y m b o l so ft h er e f i n a b l ef u n c t i o n ，f i n a l l yg i v et w oc o n s t r u c t i v ep r o o f so fc o m p a c t l y s u p p o r t e dm b a n dm i n i m u m e n e r g yt i g h tf r a m e s ，t h e nw ec o m p u t et h ee x p r e s s i o no f m i n i m u m e n e r g yt i g h tf r a m e sa s s o c i a t e dw i t hb - s p l i n e sf u n c t i o na n dg i v et h ef i g u r e so f s y m b o l so fr e f i n a b l ef u n c t i o na n df r a m ef u n c t i o n s k e y w o r d s ：w a v e l e t s ，m - b a n dt i g h tf r a m e s ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m r s ) ， r e f i n a b l ef u n c t i o n ，m - s c a l es y m b o l s ，m i n i m u m e n e r g yf r a m e ，b - s p l i n e s c i a s s n o ：0 17 4 4 4 1 引言 小波分析是今年来迅速发展起来的新兴学科，它同时具有理论和应用的双重 广泛意义。它的应用范围包括数学领域本身的许多学科，以及信号分析、图像处 理、量子力学、电子对抗、计算机识别、地震数据处理、边缘检测、音乐与语音 人工合成、机械故障诊断等许多方面。 小波分析是近几年出现的一个新的前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析的一个 突破性进展，它给信息科学等领域带来了前所未有的广阔的应用前景被称为“数 学显微镜”，它是调和分析发展史里程碑的进展。 f o u r i e r 分析是数学分析中最古老的学科之一，它对数学家和工程师都是相当 重要的。从实用的角度的观点看，当把函数厂看作是一个模拟信号时，它的定义 域就是时域，而它的f o u r i e r 变化厂就是频域。f o u r i e r 理论在时频分析上发挥了 巨大的作用，但是由于它的窗函数在时频域上的窗口大小是大小固定的，只能进 行平移，这极大的限制了它在一些高频频域的应用。 而小波理论则是在f o u r i e r 理论的基础上进一步发展的数学分析工具，它的窗 函数在时频域上的窗口大小是可以进行大小伸缩的，这可以帮助更好的对信号本 身进行更好的宏观和微观的分析，达到更好的效果。小波分析是一种能同时在时、 频域分析的一种分析方法，具有多分辨分析的特性，利用在时频平面上不同位置 具有不同的分辨率，能有效的从非平稳信号中提取瞬态信号，有效的提取信号的 波形特征。 在上个世纪初，数学家h a r r 提出了第一个小波函数- h a r r 函数，随后的半个 世纪以来，许多数学家投身于小波函数的表达式的具体计算的工作上并计算出了 一些表达式。但是由于没有一套完整的理论加以支撑，成果有限并且在没用在实 际应用中发挥较大作用。 1 9 8 8 年，m a l l e t 提出了m r a ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的思想，为小波 变换的大规模的发展和应用奠定了理论的基础。小波理论的核心数学思想就是多 分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 。其基本原理为：根据一些算法构造出一个 嵌套空间序列来逼近空间，然后根据这个嵌套空间序列构造出它们的补子空间序 6 列。在实际的应用中我们就可以把空间中的元素进行嵌套空间序列和补子空间序 列的投影分解，从而达到对这个元素进行多方面的分析和了解。 这个思想把小波理论同函数空间连联系在一起，为小波的发展道路指引了方 向，为近二十年的蓬勃发展奠定基础。随后的十年时间里，小波正交基，小波双 正交基的理论基本得到了完善并在实际应用中发挥重大作用，但是由于一些本身 固有的缺陷影响了它们的处理效果。 2 0 0 0 年c k c h u i 和w h e 发表的论文提出最小能量框架概念，并给出两 种的具体的构造方法。最小能量框架既保持了单小波的优点，又克服了单小波的 缺陷，它把正交性、光滑性、紧支性、对称性等完美的结合了起来。 小波理论的重点就是嵌套空问和其补子空间的基的构造问题。目前大部分的 研究都集中在小波正交基和双正交基的构造问题上。正交小波基无疑具有许多的 优点，但却有一个很大的先天缺陷，那就是紧支性，对称性和连续性三者之间的 矛盾。而这三者在实际的应用过程中都有着很大的用处，紧支性保证精确度，对 称性保证重构过程数据不会失真，而连续性则可以避免在断点上出现锯齿现象。 而小波双正交基虽然可以克服这一点，但是由于失去正交性，因此它的分解和重 构算法用的不是一个系统，极大地影响的它的应用。 因此近数年人们开始渐渐把研究内容集中在小波紧框架上。小波紧框架虽然 不可避免会带来数据的冗余问题，但它在很大程度上克服了正交基和双正交基的 缺陷，而且具有j 下交基和双正交基所无法比拟的许多优良性质和良好的应用前景。 目前大部分的小波理论都是建立在2 带的基础之上，2 带小波基是目前研究和 应用最多的小波基。小波函数的计算问题涉及到单位圆上根的分布问题，上述的 小波理论大部分都是建立在2 带的基础上，其原因是在于2 这个数字使得根在单 位圆的位置很好，使计算的难度大大减低，给构造方面带来极大的方便。虽然带 数的大小会很大程度影响到处理效果，而3 带4 带甚至更大带的小波基由于本身 带数大小的原因，给空间的小波基的构造带来很大的困难，我们知道多带紧框架 小波基在信号处理中非常有价值，而目前对多带紧框架小波基的研究成果很少。 2 带基础上进行的小波变换，它对高频子带具有较宽的带宽，对低频子带具有 较窄的带宽，这一特性使得2 带小波分析非常适合于低频信号中混有的脉冲或短 时暂态信号的分析。然而当所要分析的信号为高频信号且混有短时脉冲或暂态信 7 号时，2 带小波显得不适应，而提高带的大小可以很大程度上提高分析效果。窗函 数所开出的时一频窗口的大小一个跟带数成正比，另一个成反比，因此随着带数的 提高，我们可以在实际应用中开出更大或更小的时一频窗口，可以更好进行分析。 目前在2 带小波紧框架构造方面，一些国内外的论文大部分都是根据2 带小 波酉扩张定理，然后结合一些具体的尺度函数，给出了一些构造方法，并具体计 算出了一批具体的框架函数的表达式 1 】。但是更多带小波框架构造方面几乎没有 什么好的成果。 本文在2 带小波酉扩张定理的基础上，给出了任意带的酉扩张定理的内容和 证明。然后在这个基础上给出了两个任意带的和尺度函数相联系的最小能量小波 紧框架的构造性证明，并具体计算出一系列的在信号处理方面性质优良的和b 样 条函数相联系的小波紧框架的函数符号的表达式。 本文出现的函数都是属于f ( 尺) 空白j ，且内积和范数符号分别为 和00 。 8 2 肛带最 xf l l 。二量紧框架的定义 我们称一个集合吵= 缈1 ，y ) c 口僻) 为p ( 尺) 空间上的一个肛带紧框架，当 对任意的函数f r ( 尺) 满足条件 n i 2 一- - - i i 1 1 2 ( 2 1 ) 其中，t ( z ) = m m y ( m z 一后) 。 多分辨分析( m r a ) 的思想在小波分析理论中处于核心地位，我们假定尺度函 数矽生成一个m r a 嵌套序列空间 巧) 。，其中嵌套空间定义如下： 巧 = - c l o s f ( 办后z ) ，z ， ( 2 2 ) 满足 o , e - - c 圪lckc 巧c 一r ( 尺) ( 2 3 ) 日 n 巧= o ) ；，c l o s l 2 u 巧= r ( r ) ( 2 4 ) j e zj e z 为了说明和尺度函数矽相联系的紧框架和多分辨分析的关系，类似于2 带的定 义 1 ，我们给出从带m r a 紧框架的定义。 定义1 设一个尺度函数矽生成一个m r a 嵌套序列空间 巧) 。，有限集合 沙= 缈1 ，少) c 口( r ) 为r ( 尺) 空间上的一个m 前紧框架。如果沙ck ，则我们称 y = 缈1 ，y ) 生成一个和尺度函数矽相联系m - 带m r a 紧框架。 为了构造出的更好性质的框架，类似于2 带的定义 1 ，我们进一步加强条件， 给出了m _ 带最小能量紧框架的定义。 定义2 设函数矽r ( r ) ，其中 ；r ( r ) ， ；在。点连续且多( o ) = 1 是一个生成 嵌套空间序列 1 ) ：。的尺度函数。对任意的函数厂r ( 尺) ，如果一个有限集合 沙= 缈1 ，缈) cr ( r ) 满足 r2 e l 1 2 = e l 1 2 + 羔i i ( 2 5 ) 9 其中从( x ) = m j 7 2 # ( m 7 x 一后) 。则我们称这个集合生成一个和尺度函数矽相联 系的协带最小能量紧框架。 根据嵌套空间序列 _ ) 二。的空间分解关系，可以得到对任意的函数f r ( 尺) ( 2 5 ) 等价于下列等式【1 】 厂，办，。硝，。= 厂，九，。确，。+ = 0 成立，即暗示着哆，p 砌等于零，所以q ，= o 。 ， 综上所述，定理1 得证。 m - 带酉扩张定理给出了一个构造和尺度函数相联系的最小能量框架的思路， 即构造出满足( 3 1 6 ) 的矩阵8 ( z ) 。 3 2 尺度符号的判定定理 既然我们研究紧框架的一个目的就是达到紧支性，所以本文下面出现的所有 的多项式全部是洛朗多项式。 在上小节中我们给出了一个构造紧框架的重要定理协带酉扩张定理。根 据这个定理我们知道，在构造出满足( 3 1 6 ) 的矩阵r ( z ) 之前我们必须要先研究一 下尺度函数符号p ( z ) 的问题，因为并非所有的尺度函数都能够有与之相对应的最 小能量框架。那么满足什么样条件的尺度函数可以构造出和它相对应的最小能量 框架呢? 下面我们给出论文的第二个主要结果。 定理2 一个具有紧支性的尺度函数矽r ( 尺) ，多r ( r ) ，在。点连续且 多( o ) = l ，其从尺度符号( m 2 ) p ( z ) 为洛朗多项式。尺度函数存在和它相联系的具 有紧支性的最小能量框架少= 缈1 ，。) 的充分必要条件是e ( z ) 满足下列不等式 i p ( z ) 1 2 + l p ( z 。) 1 2 + + i 尸( z 村一。) 1 25 l ( 3 2 1 ) 其中l z i = l 和z f = z e 叫2 州肘( - ，= 1 2 ，m - 1 ) 。 证明：先证明必要性，我们假定一个矩阵 n ( z ) = q l ( z ) q ( z 。) g ( z u 一) q 2 ( z ) q 2 ( z 。) q 2 ( z m 一。) 鳊( z ) 绒( z i ) 鳊( z m 一。) 其中z = z o ，i z i = 1 和乙= z e 啦州m ( = l ，2 ，m 一1 ) 。 则( 3 1 6 ) 等价于 或者 尸( z ) 尸( 乙一) l m 一 【p ( z ) p ( 乙一。) 】+ q ( z ) q ( z ) = 如， 【p ( z ) p ( 乙一。) 】= q ( z ) q ( z ) ， 1 4 因此 q ( z ) q ( z ) = 1 一i p ( z ) 1 2 一p ( z 。) p ( z )1 一l p ( z 。) 1 2 一一p ( z , ) p ( z m 一。) = ( z ) 设 厂( 允) = i a 一( z ) i ， 当名：1 一m - i i p ( z ，) 1 2 时， 厂( 旯) = 0 。因此 允= 1 一i p ( z ，) 1 2 是矩阵( z ) 的一个特征值因为矩阵( z ) 是一个酉对称矩阵， 因此我们可以知道旯o ，即i e ( z ) 1 2 + i p ( z 1 ) 1 2 + + i p ( 乙一。) 1 2 1 关于充分性的证明，我们只需证明当p ( z ) 满足( 3 2 1 ) 时，构造出一个具有紧 支性的最小能量框架即可。因l i t 我们把这部分的证明推迟到下- - 4 , 节的证明。 下面我们举个例子来更好的说明定理2 。 函数m ( x ) 为第门次序的b 样条函数，其中 m ( x ) ：= m 一- ( 卜x ) d t ，( 甩2 ) ( 3 2 2 ) 姗加 蒜1 1 1 。经过懈啪艄号为 肥，- f 学r 慨2 劫 其中z = e 拇。经过化简，我们得到 厂( m ，z ，p ) = l 尸( z ) 1 2 + i p ( z 。) 1 2 + + i p ( z 。一。) 1 2 = 善( 五歹j ) 如。( 3 2 4 ) 我们知道对所有的m 2 和0 r ，当仃= 1 ，函数f ( m ，1 ，0 ) 兰1 。i 豆l i 3 _ 研究函 数f ( m ，以，0 ) 的表达式，我们很容易知道对所有的m 2 和0 r ，当0 i m - i 时，i ms i 、n ( m o ) 丽卜所以如果，l i 加： 1 删 f ( m ，玛，0 ) f ( m ，刀2 ，0 ) 因此我们可以得到 f ( m ，刀，o ) = l e ( z ) 1 2 + l p ( z 。) 1 2 + + i p ( z 肘一。) 1 2 厂( m ，1 ，p ) = 1 ( 3 2 5 ) 1 5 根据定理2 可知存在和尺度函数m ( z ) 相联系的最小能量框架。 3 3 由个函数生成的最小能量框架的构造方法 定理l 给出了关于最小能量框架的构造的总体方向，而定理2 则讨论了其中 关于尺度函数部分的内容，下面我们开始讨论其中关于框架函数部分的内容。 生成最小能量框架的有限集中函数的个数问题直接关系到框架的性质，我们 先给出一种用m 个函数生成一个和尺度函数相联系的最小能量框架的具体构造方 法。 本文第三个主要结果如下。 定理3 设矽p ( r ) 是个具有紧支性的尺度符号，其中多( o ) = l 。如果胁尺度洛 朗多项式符号p ( z ) 满足 i p ( z ) 1 2 + i p ( z 。) 1 2 + + i p ( 乙一。) 1 2 - l ， 其中i z i = 1 和乙= z e 川州村( = 1 ，2 ，m - 1 ) ，则存在一个和尺度函数相联系的， 有蚧具有紧支性的函数组成的最小能量框架y = 缈1 ，：，m ) 。 定理2 给出一个构造最小能量框架关于尺度函数的先决条件，而定理3 则在理 论上给出了充分性的证明并具体给出了满足这个先决条件后的一种具体计算由m 个函数生成的最小能量框架的数学表达式的方法。 在正式给出定理3 的证明之前我们先介绍一下一种多项式的分解技巧。 设p ( z ) 和q ，( z ) ，j = l ，n ，为洛朗多项式，则有如下分解： m 尸( z ) = 片( z ，) + z b ( z 吖) + + z ，- 1 昂( z ，) 4 e q j ( z ) = q j 。( z m ) + z q j 2 ( z m ) + + z 肛1 ( z m ) ，j = l ，2 ，n ( 3 3 1 ) 其中异( z ) 和q ，( z ) ( f = l ，朋；= 1 ，) 也都是洛朗多项式。 为了证明定理3 ，我们需要给出下面的引理。 口+ 2 协 引理1 设z ，= e m ，其中0 r 和，= o ，m 1 则对所有的七z 但 k 0 ，我们有如下结论 1 6 利用复数的相关理论我们可以很容易证明引理1 ，这里我们就不给出具体的证 明过程。 即 利用( 3 3 1 ) 的分解技术和引理1 ，我们可以得到 尺( z ) 面1 然后 因此 1 1 ( z t 一) 一 ( 掣。1 ) _ 1 ( 乙一。) ( 彩m 一- 。i ) 一 1 ( z o ) 一 1 ( z 1 ) 叫 1 ( z m i ) 一 p l ( z m ) 8 ( z m ) q i 。( z 肼) q 1 2 ( z 肘) ( 碟= 1 1 ) 一 昂( z m ) g 肘( z 肘) q k 。( z m ) q _ ：( z m )q k ( z m ) 1 m l 1 ( z o ) 。1 ( z 1 ) - 1 ( 翟。1 ) 一 ( z ，- 1 ) - 1 1 ( 乙一。) 一( z 捌) 一 日( z m ) 8 ( z m ) q 。( z )g ：( z 肘) q 。( z m ) 级：( z m ) l l r z、一1 一村一i ， ( 茗。1 ) 1 ( z ，_ ) 1 ( m 一- 。i ) 一 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 名( z 村) 8 ( z m ) 岛( z m ) q l 。( z 村)g ：( z m )g ，( z 村) q k 。( z m ) q k ：( z m ) q ( z m ) r ( z ) 尺( z ) 1 7 1 1 ( z o ) 。1 ( z ) - 1 ( 乙一。) 卅 ( 甜一) 一 ( 掣q ) 一 - 7 m i 、一1 i , z m 一1 ， ( 3 3 4 ) 0 l l r 乙 瑚 ) ) h ， 眇协 引如 r ，r ， 翟掣 ，l，l g ( z m )足( z 肼) ( z ) q l 。( z m ) q i ：( z 肘) 9 - , 村( z m ) q 。( z m ) q ：( z m ) q m ( z m ) g ( z m )昱( z 肘) 昂( z m ) q ( z m ) 9 _ 1 ：( z m ) q j 肘( z m ) q 。( z m ) 级：( z m ) q n m ( z m ) 显然( 3 3 5 ) 等价于( 2 2 6 ) 。 为了简化概念，我们设”= z 肘且m n 。显然矩阵 # ( “)( ”) 目+ 。( ”) g 。似)q l ：m ) g + - ( “) 绋( “) q ：( “) 鳊m - ( “) = i m ( 3 3 5 ) 是一个酉矩阵。 现在我们给出定理3 的具体证明过程。 定理3 的证明： 设洛朗多项式毋 ) ，匕( “) 是p ( z ) 的分解成分，即 4 - m p ( z ) = g ( z 肘) + z e ( z 肘) + + z 肼一1 昂( z 肘) 因此有 i p ( z ) 1 2 + l p ( z 。) 1 2 + + l p ( z m 一。) 1 2 = i 片( z ) j 2 + i 罡( z m ) 1 2 + + p m ( z m ) 1 2 ， 因为 l 墨 ) 1 2 + l ( “) 1 2 + + i ( “) 1 2 1 ，l u = 1 其中“= z m = ( z 1 ) m = = ( z m i ) ， 利用r i e s z 定理，我们可以找到一个洛朗多项式+ 。 ) 来满足下面的条件： 1 日( “) 1 2 + i 罡( “) 1 2 + + i 昂( “) 1 2 + 1 名+ 。( “) 1 2 = 1 ，i “i = 1 ( 3 3 6 ) 在( 日( “) ，( “) ，昂+ 。( “) ) 的左边乘上一个对角矩阵d i a g ( u , “t 2 ，“) 。其中 z ( i = 1 ，2 ，m + 1 ) 且使 h n 曰( “) “屯只( “) 一- 昂+ 。( “) r = 宅掣7 ( 3 3 7 ) 中的每个元素都是关于，的具有最低次数的多项式，其中a j r 肌1 ，a o o ，a 。0 因此根据( 3 3 1 6 ) 我们有 ( 姜口，“， 羔口，“， = - ，i “i = ， c 3 3 8 ， 且t 口。= 0 ， 下面我们考虑( m + 1 ) ( m + 1 ) 维i 拘h o u s e h o l d e r 矩阵【1 】 q - 一卉 其中v = a 。he l ，e i = ( 1 ，0 ，0 ，o ) r ，我们选择正负号中的一个来确保y o 。 则有 h 。a n = 千1 l q ( 3 3 9 ) 和 日r n i = 厶一卉阿、卉7 r = 毛，( 3 3 1 0 ， 所以( q 口o ) 7 ( h ) = 口j = o ，且根据( 3 3 1 9 ) ，l f i 量h 。a o 的首个元素为零。而 h l u t 暑( ”)甜疡+ ( “) r = 主( q 口， j = o l i t d i a g ( u - l , l ，1 ，1 ) q “异( “) “z ( “) “昂+ 。 ) r 也是个由多项式构成 的向量，其中川= 1 且其中的多项式次数不大于，l 一1 令 d i a g ( u - , 1 ，i ) h i “片( “) “屯罡( “) 其中丘。o ，玩0 类似的定义矩阵 驴k 1 请炉 其中矿= 元，i 丘 i q ( 同理选择正负号中的一个来确保旷o ) 我们重复这个过 程至多不超过n 一1 次就可以得到一个洛朗多项式矩阵 h = 皿d i a g ( u - , l ，1 ) 亿一i d i a g ( u - , 1 ，1 ) - = ，j 刀+ 1 且当m = l 时为酉矩阵。因此有 1 9 “ _ 巳 羔舢 = 1 j 、， “ ，l +匕 k 日 “一片( “) “屯昱( 甜) “t 巳+ 。( 甜) 丁= e i 即 p 日( “) “。z 最( “) “昂+ 。( “) r = d i a g ( “ ，t 2 ) ，“) 日d i a g ( + _ l ，1 1 ，d e , 或 p 号( 甜) 甜红罡( 甜) “- ”乓+ 。( “) r ( a i a g ( + _ z ，1 1 ，1 ) h d i a g ( “ ，u t 2 ，“) 由此可知， “# ) “乞昱( “) 甜- “兄+ 。 ) 是酉矩阵 d i a g ( + l ，1 1 ，1 ) h d i a g ( u 1 ，u 屯，u ) 的第一行。令 a i a g ( + _ l ，1 ，1 ，1 ) h d i a g ( u 1 ，u h ，u ) = 则我们有 1 日( 甜) 最( “) 昂( “) lq l 。( “)q i ： ) q l ，( “) i 鲸( “) 锄：( “) 绋，m ( “) 日( “)罡( “) i m + 。( “) q l 。( “)q l ：( “) q l 朋+ 。似) q 0 l ( 甜) i 如：( “) q m 村+ l ( “) 舅( )昱( “) 昂( u ) q l 。 )q l ： ) q 1 m ( ) 鳊( “) ：( “) 绋m ( “) = 如，l u i = 1 4 m q j ( z ) = g 。( z m ) + z 2 ：( z m ) + + z m 。1 q 知( z m ) ，j = 1 ，2 ，m ， 我们可以得到r ( z ) r ( z ) = 。 综上所述，定理3 得证。一 下面我们利用定理3 的构造性证明计算出一些和尺度函数为b 样条函数m ( 石) 相联系的由m 个函数生成的最小能量框架。 例1 ：当m = 3 ，n = 2 时，经计算可以得到 p ( z ) = ( 1 + 2 z + 3 2 2 + 2 2 3 + z 4 ) 9 ， 因此p ( z ) 的多项式分解成分如下 眉( ”) ：等( 1 + 2 讥最( “) = 等( 2 + 趴b ( “) = 等。 我们假设 聃) = 竽( 卜“) 来使 i 暑( “) 1 2 + l 罡( “) 1 2 + l e x u ) 1 2 + 1 只( “) 1 2 = 1 ，l u l - - - - i 根据定理3 的证明过程，我们可以得到 旷【了2 , 5 ，孚，孚，- 2 厂, 5 】t ，旷 等，了2 , 5 o ，学】t口0 2 【了，了了厂j - ，口1 2 【了了u 了j 和 d i a g ( u “，u 屯，u b ，u ) = d i a g ( u ，u ，1 ，u ) ， 我们知道 h = h 2 d i a g ( u - 1 , i ，1 ) q 根据定理3 的构造性证明的过程，最终通过计算我们可以得到生成最小能量框 架的三个函数符号的具体数学表达式如下： q 。( z ) ：- 宰( - o 6 6 6 7 2 3 + 0 6 6 6 7 2 4 ) ， q 2 ( z ) = 拿( o 1 9 2 5 + 0 3 8 4 9 z + o 2 11 3 2 2 - o 5 2 5 8 2 3 - o 2 6 2 9 2 4 ) ， q 3 ( z ) ：4 _ 3 ( o 19 2 5 - o 38 4 9 z + 0 7 8 8 7 2 2 - o 1 4 0 9 2 3 - 0 0 7 0 4 2 4 ) 下面我们给出其绝对值的图像以更方便的了解其具体性质。加上尺度函数的 符号共有4 个函数，我们给出这4 个符号函数的绝对值曲线图。其图如下： 2 l 例2 ：当m = tn = 2 时，类似于例1 ，我们可以得到 p ( z ) = ( 1 + 2 z + 3 2 2 + 4 2 3 + 3 2 4 + 2 2 5 + z 6 ) 1 6 和其它4 个生成最小能量框架的函数的符号数学表达式如下： q l ( z ) = 0 5 ( 0 0 2 5 1 + 0 0 5 0 2 z + 0 0 7 5 2 2 2 - 0 1 5 8 5 2 3 - 0 5 2 7 1 2 4 + o 7 8 2 3 2 5 0 2 4 7 2 2 6 ) ， q 2 ( z 产o 5 ( 一0 0 13 4 - 0 0 2 6 8 z - 0 0 4 0 2 2 2 + o 0 8 4 8 2 3 - 0 5 4 8 8 z - o 16 5 2z 5 + o 7 0 9 8 2 6 ) ， q 3 ( z ) - o 5 ( 0 1 0 2 1 + 0 2 0 4 1 z + 0 3 0 6 2 2 2 + o 3 5 5 1 2 3 - 0 4 8 3 7 2 4 - 0 3 2 2 5 2 5 - 0 1 6 1 2 2 6 ) ， q 4 ( z ) = o 5 ( 一0 1217 0 2 4 3 4 z 0 3 6 5 2 2 2 + o 7 6 9 2 2 3 o 0 6 8 6 2 4 + o 16 5 7 2 5 - 0 13 6 0 2 6 ) 加上尺度函数的符号共有5 个函数，我们给出这5 个符号函数的绝对值曲线图。 其图如下： 202 例3 ：当m - 5 , n = 2 时，同理我们得到 p ( z ) = ( 1 + 2 z + 3 2 2 + 4 2 3 + 5 2 4 + 4 2 5 + 3 2 6 + 2 2 7 + z 8 ) 2 5 和其它5 个生成最小能量框架的函数的数学表达式如下： q i ( z ) = 0 0 2 5 4 + 0 0 5 0 8 z + 0 0 7 6 2 2 2 + 0 1o 16 2 3 - - 0 218 6 2 4 0 4 5 7 7 2 5 + 0 7 9 8 7 2 6 - 0 t 9 2 6 2 7 - 0 1 8 3 9 2 8 q ，( z ) = 0 0 0 6 5 + 0 0 13 0 z + o 0 19 5 2 2 + o 0 2 6 0 2 3 - 0 0 5 5 9 2 4 - 0 4 6 8 9 z s - 0 138 6 2 6 + o 8 2 0 0 2 7 - 0 2 214 2 8 q ，( z ) 一0 0 1 2 4 - 0 0 2 4 9 z 一0 0 3 7 3 2 2 - 0 0 4 9 7 2 3 + o 1 0 6 9 2 4 - 0 4 8 0 2 2 5 - 0 0 7 6 0 2 6 - 0 16 7 5 2 7 + o 7 4 1o z 8 q 。( z ) = 0 0 6 3 2 + 0 1 2 6 5 z + 0 1 8 9 7 2 2 + 0 2 5 3 0 2 3 + o 。4 5 5 8 2 4 0 4 3 5 3 2 5 - 0 3 2 6 5 2 6 - 0 2 1 7 7 2 7 - 0 1 0 8 8 2 8 q ，( z ) ：- 0 0 8 4 6 0 1 6 9 2 z 0 2 5 3 8 2 2 - 0 3 3 8 4 2 3 + o 7 2 7 9 2 4 o 0 5 0 1 2 5 + 0 2 8 0 0 2 6 + 0 0 5 6 1 2 7 - 0 1 6 7 9 2 8 加上尺度函数的符号共有6 个函数，我们给出这6 个符号函数的绝对值曲线图。 其图如下： 例4 ：当m = 6 ，n = 2 时，同理我们得到 p ( z ) = ( 1 + 2 z + 3 2 2 + 4 2 3 + 5 2 4 + 6 2 5 + 5 2 6 + 4 2 7 + 3 2 8 + 2 2 9 + z 1 0 ) 3 6 和其它6 个生成最小能量框架的函数的数学表达式如下： q ( z ) = o 0 2 1 8 + 0 0 4 3 7 z + 0 0 6 5 5 2 2 + 0 0 8 7 4 2 3 + o 1 0 9 2 2 4 0 2 3 8 7 2 5 0 4 0 9 7 2 6 + 0 8 0 0 7 2 7 - 0 17 9 7 2 8