（基础数学专业论文）乘积空间上的混合测度和维数.pdf

摘要 2 本文在乘积空间r 4 = 矽形上定义了一种新的维数，称为预混合维数和 混合维数，分别记为d i m 月b ，d i m a v 我们给出了它的一些基本性质，并比较了它 和h a u s d o r f f 维数d i m h ，上、下计盒维数d i “- ，d i m s ，填充维数d i m p 等维数之间的 关系，对中任意的有界b o r e l 集合目我们得到 d i m h e d i m 四esd i m b esd i m p e d i m 百e 对定义在闭区间 。，6 上连续函数，( z ) 的图象r ，= fx ，( 2 ) ) ：x a ，b 1 钓b o r e l 集e 而言，我们还得到 d i m 四e d i m 船e 墨d i m k e 其中d i m 表示平面函数图象的b o r e l 子集上定义的k 一维数从而表明混合维数 是上述各种分形维数中最接近h a u s d o r 雠数的一种维数就我们所知，w e i e r s t r a s s 函数图像的上述其他各种维数都已知，但h a u s d o r f f 维数尚未求出我们求出 了w e i e r s t r a s s 函数图象的预混合维数和混合维数 对有界b o r e l 集合ec 舻，fc 形，我们得到了下面的乘积公式 d i m w e fsd i m h e + d i m p f 如果f 的计盒维数存在，b p d i m _ bf ：d i m gf ，则有乘积公式 d i m , 晒e f = d i m h e + d i m p f 最后，我们举例说明，虽然对h a u a d o r 窟维数其乘积公式中的等式不能成立，但 对我们所定义的混合维数，它的乘积公式中等式可以成立 关键词：分形；混合维数；h a u s d o r 雠数；填充维数 中图分类号：0 1 7 4 1 2 a b s t r a c t 3 w ei n t r o d u c et w on e wf r a c t a ld i m e n s i o n sd i m h pa n dd i m 霭d e f i n e di nj 一= 彤“x r “n a m e dm i x e dd i m e n s i o na n dp r e - m i x e dd i m e n s i o n w ed i s c u s ss o m eb a s i cp r o p e r t i e s o ft t l e s ed i m e n s i o n sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e ma n dh a n s d o r f fd i m e n s i o n ，u p p e r ，l o w e r b o xc o u n t i n gd i m e n s i o n p a c k i n gd i m e n s i o ne t c f o re v e r yb o u n d e db o r e ls e tecr d ，w e o b t a i n d i m h e d i m 艘e d i m b esd i m p e 茎d i m n e ， w h e r ed i m _ b ，d i “百a n dd i m pd e n o t et h el o w e r ，u p p e rb o xc o u n t i n gd i m e n s i o na n dt h e p a c k i n gd i m e n s i o nr e s p e c t i v e l y f o rt h eb o r e ls u b s e teo ft h eg r a p ho fac o n t i n u o u sf u n c t i o n ( x ) w h i c hd e f i n e do n a ，纠1w ea l s oh a v e d i m m = e d i m p l e e d i m k e ， w h e r ed i m ki st h ek - d i m e n s i o nd e f i n e do n l yo nb o r e ls u b s e t so ft h eg r a p h so fc o n t i n u o u s f u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ec a l c u l a t et h em i x e dd i m e n s i o no ft h eg r a p h o fw e i e r s t r a s sf u n c t i o n w h i c hi st h es m a 1 e s tf r a c t a ld i m e n s i o na m o n gt h ea b o v ed i m e n s i o n sf o rt h eg r a p ho f w e i e r s t r a s sf u n c t i o n w ea l s od i s c u s st h ep r o d u c tf o r m u l af o rm i x e da n dp r e m i x e dd i m e n s i o n s f o r b o u n d e ds u b s e t sec r 4a n dfc 形，w eg e t d i m l p e f d i m h e 十d i m p f i ft h eb o xc o u n t i n gd i m e n s i o no ffe x i s t s ，i e d i m sf = d i m e f ，t h e nw eh a v e d i m h 日e f = d i m n e + d i m p f f i n a l l y , w eg i v ea ne x a m p l ei nw h i c ht h ee q u m i t yo fp r o d u c tf o r m u l ah o l d sf o rm i x e d d i m e n s i o nb u tn o tf o rh a u s d o r f fd i m e n s i o n k e yw o r d s ：f r a c t a l ；m i x e dd i m e n s i o n ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；p a c k i n gd i m e n s i o n c l a s s i t i c a t i o nc o d e ：0 1 7 4 1 2 第一章引言 4 自然界中出现的诸如云层的边界，山脉的轮廓，雪花，海岸线等不规则的几何形体，都 难以用经典几何中的直线光滑曲线光滑曲面来描述同时，大量不同类型及不规则的几 何对象常常出现在自然科学的不同领域中：如数学中非线性问题中出现的吸引子，流体力 学中出现的湍流，物理中临界现象与相变，化学中酶与蛋白质的构造，生物中细胞的生长， 工程技术中信号处理，噪声分析等等长期以来，人们试图将它们纳入经典几何的框架中研 究，结果发现，由此导出的模型即使在近似的情形，无论在理论上还是在实践中，均难以处 理所接触的实际情形另一方面人们已注意到不规则的集合往往能够提供许多研究自然 现象的更好的描述早在1 9 世纪中叶，c a n t o r 三分集，k o c h 曲线以及w e i e r s t r a s s 无处可微 连续函数等这些“病态”的曲线集合已经逐步为人们所了解c a n t o r ，w e i e r s t r a s s ，p e a n o ， h a u s d o r f f 等人的工作为分形概念和理论的诞生奠定了基础2 0 世纪8 0 年代初，主要由美籍 法裔数学家m a n d e l b r o t 色e j 立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想，方法和技 巧特别是在近几年来，这一新兴学科在数学，物理，化学，生物，医学，地质等学科中获得 了巨大成功同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展关于分形几何 的理论论述和它在各学科中的应用可以参看文献l 一6 1 分形几何中，各种分形测度和与之有关的分形维数的研究起着非常重要的作用 常见的分形维数有h a u s d o u f f 维数d i m h ，上、下计盒维数d i “l _ 、d i m b ，填充维数d i m p 其中h a u s d o r f 潍数是最为重要的维数，它是h a u s d o r f t t 7 i 在1 9 1 9 年用覆盖集合的方式定义 的，但h a n s d o r f f 维数的计算极为困难例如w e i e r s t r a s s 函数图象是一个典型的分形，其计 盒维数和填充维数都已求出，然h a n s d o r f f 维数至今未知和h a u s d o r f f 维数不同，1 9 8 2 年， 7 i h c o t 【8 j 用填充的方式定义了填充测度和填充维数这种测度和维数与h a u s d o r f f 测度和维 数有着很多对偶关系文献9 1 对定义在闭区间 o ，1 】中的连续函数的图象r ，= ( o ，( z ) ： z 0 ，1 】) 引入了种测度，称之为k 8 一测度( 1 s 2 ) ，从而得到一个相应的耳维数 证明了n 维数是 = t ：h a n s d o r f f 维数太而比下计盒维数小的一种分形维数并且可以严 格计算w e i e r s t r a s s 类函数图象的k 维数但是，k 一维数只对平面函数图像r ，的b o r e l 子 集有定义，不适合研究一般的平面b o r e l 集，更无法用于高维欧氏空间我们在乘积空 间r d = 冗”r n ( d = m + n ) 中，将覆盖和填充两种测量集合的方法结合起来，得到一种新 的测度，从而诱导了一种新的维数分别称之为混合测度和混合维数我们证明了混合测 度是一种度量外测度，讨论了混合维数的一些基本性质，并比较了混合维数和h a u s d o r 雠 5 数，上、下计盒维数，填充维数以及k ，维数的关系，证实混合维数是最接近王i a u s d o r f f , 准数 的一种分形维数，最后我们还严格计算出w e i e r s t r a s s 函数图象的混合维数 另一方面，分形几何中，一部分重要的内容是和各种分形维数有关的乘积公式， m a s t r a n d 1 0 1 给出一般情形下h a u s d o r 雠数的乘积公式： d i m h e f d i m h e + d h n h f 由文献【3 可知，如果e ，f 中有一个是正则集( 即集合的h a u s d o r f f 皇f 苣数和填充维数相同) ，则 上面等号成立 x u ，r e n t l d h o w r o y d 1 2 吩别给出了下面形式的填充维数的乘积公式： d i m p e f d i m p e 十d i m p f 在本文中，我们也推导出预混合维数和混合维数的乘积公式 本文的主要内容有，第三章定义了预混合测度m e s 赫和混合测度m e s 江以及预混合维 数d i m 船和混合维数d i m i 口证明了预混合维数和混合维数具有一般分形维数的基本性质： ( 1 ) 若e c 冗4 ，则0 s d i m 船e d i m 船e 咄 ( 2 ) 单调性：若ecf ，则有 d i m 船e d i m t 扭f ，d i m l - l p e d i m 护f ； ( 3 ) 有限稳定性：若e ，fcr d ，则 d i m 衄e u f = m a x d i m 皿e ，d i m h b f ) ( 4 ) 可列稳定性：设 k ) ! o 为一集列，则 d i m 肝龆峨；s u p 。 磷m 呼取) 0 “：。 第四章，我们比较了( 预) 混合维数和其他维数的关系，得到下面的不等式 d i m h e d i m 四e c l i m b e d i m 百e = d i m p e ， d i m h e d i m 护e d i m b e d i m 百e = d i m p e 中d i m h ，d i “百，d i m _ 口，d i m p 分别表示h a u s d o r i f 维数，上、下计盒维数，预填充维数 而d i m _ 1d i m _ b ，d i m p 依次表示修正的上、下计盒维数和填充维数从中可以看出 6 混合维数是最接： 匠_ h a u s d o r 雠数的一种分形维数在这一章的最后，我们计算了下 面w e i e r s t r a s s 函数 o o w ( ) = a 蚰s i n ( 小t ) ，m k = l 图像的预混合维数和混合维数，得到了下面的结论： d i m l p f t j = d i m n b f = d i m k f = s 第五章讨论了混合维数以及预混合维数的乘积公式主要结论有：设ecr m fc 口，则 d i m h p e f d i m h e 十d i m pf 1 d i m h e + d i m s _ f d i m 丑e f d i m h e + d i m 百f 可以看出，只要计盒维数d i m bf 存在，or d i m s _ f = d i m 百f = d i m bf ，上面第二个乘积公 式就成为等式： d i m , u b e f = d i m h e + d i m s f 文章的最后给出一个例子，这是h a u s d o r f f 维数乘积公式等号不成立的典型例子，但对这个 例子，混合维数乘积公式等号成立 第二章预备知识 7 本章给出了分形几何中一些基本的定义和结论，除了记号有所不同以外，它们都可以 在文献 3 】中找到 设q ：2 r d f 0 ，+ 。) 为非负集合函数，满足： ( 1 ) q ( 0 ) = o ； ( 2 ) 若acb ，贝i j q ( a ) 国( b ) ( 单调性) ， 则q 称为兄上的一个预测度，训3 m e s q 令 m e 8 臼( a ) = i n f m e s q ( a i ) ：a cu a 。) ， it 则称m e 8 0 为m e 8 0 的修正由m e 8 0 的单调性，m e s q 。一个等价定义为 m e s q ( a ) = i n f m e s q ( a i ) ：a = u a ) 由文献【3 知，m e 8 口为一外测度称m e 8 q 为m e s o 的修正测度 设m e s 南，s o 是一个预测度族如果对任意acr d ，0 t 0 ，e ( e ) = z r “：舢( z ，e ) e 令 m e 俨h ，嘧，帮， 9 略( 耻1 1 等掣e ul o o ， 分别称t n e 嗜( e ) 、m e s 鱼( e ) 为集合e 的上、下计盒容度，t a m e s t ( e ) 、m e 睦( e ) 表示集 合e 的修正的上、下计盒容度我们用d i “吾e 、d i “垦e 表示集合e 的上、下计盒维数，即 哂川1 哿p ( d 一警) a n n 旦，嘧删一掣) f 再用d i “1 - e 、d i m s e 表示集合e 的修正的上、下计盒维数另外t f 再约定 d i m 百e = d i m _ se 时，称集合e 的计盒维数存在刮q d i m s e 下面的两个定理，可以从文献 3 和文献 6 中归纳出来，它是分形几何中已有的结论 定理2 1 设e cr d ，则有 d i m b _ e d i m 百e = d i m pe ，d i m 百e = d i m p e d i m h esd i m _ 日e d i m 百e d i m 百e 定理2 2 设ecr 4 ，若，为e 上的l i p s c h i t z 映射，即存在常数c ，使得础( ，( $ ) ，( f ) ) 曼 c p a ( z ，v ) ，v ，e ，贝0 m e s ；4 ( f ( e ) ) 至c 8 m e s i ( e ) 第三章混合测度和混合维数 1 0 现考虑乘积空间r 。= r ”f c ( d = m + n ) 用p m ，r 分别表示j p 彤。到r ”，形的 自然投影设e 为口“r “中的有界集合对任意6 0 ，用 v a h ( 其中表示一个指标 集) 表示焉( e ) 的任意j 一开覆盖对每个开集巩，记 a = ( 。，y ) e ：j ) m ( z ，y ) eu anp r o ( e ) ，b = p n ( 4 ) 用半径为掣的球去填充b ，所需要球的最大个数记为n ，令 m e s ，6 ( e ) = i n f n l 队1 8 ：r 。( e ) cu 巩， a a e a 显然m e s 洒j ( e ) 为j 的非增函数，定义 m e s 赫( e ) 2 嬲m e s 岛d ( e ) 容易验证m e s 赫( 0 ) = 0 ，下面证明m e s 岛还具有单调性质 引理3 。1 设e ，f 是r ”xr “中有界集合，若ecf ，则有i n e s 岛( e ) 曼m e s 涵( f ) ， 证设 c _ 为p m ( f ) 的任意一个6 一开覆盖，当然也是p 竹。( e ) 的一个6 一开覆盖，记 j 、；“z ，y ) f ：f ) 仇( 嚣，y ) 。( f ) n a ) ， e = “z ，y ) e ：。p m ( z ，y ) f ) m ( e ) nc 厶) 用半径为掣的球去填充r ( j h ) ，r ( 凡) 所需球的最大个数分别记为n 旱，n f 则有n 赛 n f ，从而可得 礼# i 巩r n f i 巩一 由 以 e 的任意性可得m e s s 册6 ( e ) m e s s 髓6 ( f ) 因此 成立 m e s 洒( e ) r u e s 赫( f ) 1 1 由此，m e s 是彤“f p 上的一个预测度，对其进行修正得到一个外测度，记为m e 8 知， 即 m e s 如江) = i n f m e s 岛( 晶) ：e = u 昂) i1 对于上匦引进的这个外测度m e s 如，有下面的结论 定理3 1m e s 知为r “= r ”f 2 n 上的一个度量外测度 证设e ，f 为刑= r ”钟中的有界集，且m ( e ，f ) 0 ，其中m 表示f 乎上的欧几里 德度量设 巩) a ：为p m ( euf ) 的一个d - 开覆盖，要求o 5 p d ( e ，f ) 记 ( e u f ) = 0 ，y ) e u f ：只n 扛，y ) 只n ( e u f ) n 巩) ， e , x = “。，y ) e ：f ) m ( 。，y ) 只n ( e ) n ， j 、= ( z ，y ) f ：f ) m ( z ，y ) ，r n ( f ) nu 义) 易得陋u f ) = bu 足，从而r ( 既u n ) = r ( 毋) u 尸n ( 几) 对任意x e e x ，z f b ，则有 p i ( r ( z e ) ，。p n ( z f ) ) p ；( z e ，z f ) 一p ( r 。( 嚣e ) ，。r 。( z f ) ) p 2 d ( e , x ，兄) 一l u l l 2 p ；( e ，f ) 一j 2 因此只要取o j 即可得 礼a = n 聋+ 礼f 因此 n l 叭1 8 = n i 巩i 。+ n f i 巩1 5 m e s 扬，a e ) + m e s 赫，d ( f ) a e 由 _ ) 的任意性可知m e s 岛d ( euf ) m e s 盗，5 ( e ) + m e s ，6 ( f ) 令6 0 ，得 m e s ( euf ) m e 8 ( e ) + r u e s 岛( f ) 同理，对任意a c r 8 ， m e s 岛( a n ( e u f ) ) r u e s 涵( a n e ) + r u e s 洒( 4 n f ) 如果e u f c u ，a t ，那么 这就得到 又因为 m e s 岛( a 。) ( m e s 岛( a ine ) + m e s 涵( a i nf ) ) zi = m e s a s ( a i n e ) + m e s ；s ( a inf ) m e s , m ( e ) + m e s 涵( f ) ii m e s 如( euf ) m e s 知( e ) + m e s 赫( f ) m e s 如( euf ) m e s 知p ( e ) + m e s 沥( f ) 所以 m e s 岛( euf ) = m e s 岛( e ) + m e s p ( f ) r p m e s i p 为r “= r “r ”上的一个度量外测度 1 2 现在证明了j 一= r ”尼。中的b o r e l 集都是m e s 知可测集，称m e s 孙为尼”xr ”上 的s 维混台测度类似于文献【3 中的讨论，容易证 ) l i n e s 赫$ i m e s 知都具备临界性质， 叭m e s 芏毋和m e s 如出发，我们可以对r ”r “中集合定义两个相应的维数，称为预混合维数 和混合维数，分别记为d i m , 船和d i m m ，即 d i m h be = i n f s ：m e s 南b ( e ) = o ) = s u p t ：m e s 缶b ( e ) = o 。) d i m m ，e = i n f s ：m e s 如( e ) = o ) = s u p t ：m e s ( 刀) = o o ) 按照文献 3 】中对h a u s d o r f f $ 往数的性质的讨论，我们可以轻易地证明预混合维数和混 合维数有下面性质 命题3 1r 8 = 彤n r n 上的预混合维数d i m 西和混合维数d i “砰有下列基本性质 ( 1 ) 若ec r d ，则0 d i m t m e sd i m 册e 咄 ( 2 ) 单调性：若e f ，则有d i m 船e d i m n sf ，d i m , 舻e d i m z - 俨f ( 3 ) 有限稳定性：若e ，fcr 。，则 d i m 昭e u f = m a x d i m h b e ，d i m h b f ( 4 ) 可列稳定性：设 i k ) k ! o 为一集列，则 d i m n p 。u 、。e k2 = s k u p 。 d 1 m 艘e k k 0 “二” 第四章和其他维数的比较 1 4 本章讨论混合维数和其它维数的关系，比较它与h a u s d o r 雠数，计盒维数以及填充维 数的大小 引理4 1i s 设c 为一正常数，又i 醴m e s q l 为、预测度，m e s q 。：2 m e s q ，的修正测度 m e s q 2 为另一外测度如果m e s 0 1 c m e s q 2 ，则有m e 8 0 1 c m e s q 2 定理4 1 设e 为只o = r m r n 中的有界集，则 m e s 备( e ) ( 2 i ) 3 m e s 赫( e ) 证对任意d 0 ，i 殳 v a h 为p m ( e ) 的一个d 一开覆盖记 毋= “z ，f ) e ：p m ( z ，) p m ( e ) n 巩) ，足= p n ( 毋) 用半径为掣的球填充毋，所需球的最大个数记为n ，记这些球为b ，b ，硪， 则2 b ，2 b i ，2 磁。就可以覆盖乃( 其中2 霹表示与b ? 同心，半径是它的二倍的球) ，而每 个2 聊都可以包含在一个边长为2 i 巩i 的n 一维立方体中去，记这些立方体为d ，d j ，一，| d 氛 同样巩也可咀包含在一个边长为2 | 巩f 的立方体c i 中，从而 c d ：i = 1 ，2 ，n ) 就 构成z h 的一个覆盖而 g i d j ：i = 1 ，2 ，n a ，a 就构成e 的一个覆盖由于 得到 于是 a d 1 2 = i g l 2 + i d o l 2 ，i a l = 2 、，丽j 巩i ，i d i = 2 何f 巩 a d l = 2 瓶i 巩 m e s 备2 4 - d z ( e ) i 晚d ”= n 刘a d = ( 2 x d ) 。n 川巩r t = 1a 6 a a 6 a 由 的任意性可知 m e s 备2 以6 ( e ) ( 2 、- ) 8 m e s 岛，d ( e ) 令j 一0 ，得 由引理4 1 ，得 m e s 备( e ) ( 2 、历) 5 m e s 岛( e ) m e s 备( e ) s ( 2 怕) 8 m e s i p ( e ) 1 5 剥给定的d 0 ，用d ( e ) 表示半径为j 的球覆盖e 昕需球的最小个数，用( e ) 表示半 径为j 的球填充e 听需球的最大个数则有下面的两个引理 引理4 2 【目设e 为r 4 中的非空有界集，则 5 一d d ( e ) 竹( e ) 茎( e ) d ( e ) 引理4 3 a l 设e 为中的非空有界集，则对任意的j 0 有 ( e ) c d 庐l d ( e ( d ) ) n o ( e ) c d ( 2 j ) 4 其中c d 是r 4 中单位球的体积 定理4 2 设e 为r 8 = r ”r ”中的有界集，则存在仅与m ，礼，s 有关的常数c ，使得下面 不等式成立 m e s ( e ) c m e 喳( e ) c i n e 嗜( e ) ， m e s 岛陋) c m e s 刍( e ) c m e s - 旨( e ) 证设e 为r 4 = 彤“舯中的有界集，对任意d 0 ，取正整数满足j 南6 嘉， 用w 名( e ) 表示_ r 4 中和e 相交的阶二进立方体的个数，记这些二进立方体为e l ，岛，玩，e f = w k ( e ) ，由于半径为d 的球可以被3 4 个k 阶二进立方体所覆盖，结合引理4 2 ，有 1 = w ；( e ) 3 d - j ( e ) s3 d 5 4 如( e ) 用，一，k ，表示e 1 ，e 2 ，e f 在r ”中的投影( 可能会有不同的e 投影到同一个巧) 容易证明f7 = 帆( 只。( e ) ) ，记 a t = ( 。，) e ：只。( 。，y ) k n p r o ( e ) ，黾= f ( a ；) 1 6 那么 f 阢( 及) = 巩( e ) = f ， z = 1 因此 z ( 鼠) l m f 8 = w k ( e ) i v d8 3 8 肌( e ) l k 一 = 1 另一方面，用半径为掣= 搿m 一b t ，所需要球的最大个数记为啦，则= m 筹( 玩) 由于舻中边长为击的立方体可以被半径为黔的球所覆盖，记2m l n ( ： 害、广) ，则有 ( 鼠) 鼎( b ) 5 4 筹( 最) 5 一鼎( 鼠) 由引理4 2 ，得 5 - - d e o 近( b i ) 5 - d k o m 正。( b i ) 兰5 - d k o m 巫( 岛) 2 k + 1 + k o2 k + l + b2 蚪1 从而 f 7 f 7 若( 酬k i e 。5 - d k 。m 筹( 驯w ， 一善啪险5 一h m e s 麓簪( 司 绪台曲看得 5 - d k o m e 8 二，辱( e ) w k ( e ) i v d 5 ( 2 、同5 酽3 8 炳( e ) 由引理4 3 可得 一b 一麓，簪( 司 0 ， 设 厶) e 为p l ( e ) 的任意由开区间组成的6 一覆盖，定义e 的k 5 一测度为 8 ( e ) 。溉i n “卯。f 厶r ：p i ( e ) cu 厶，f 厶f 0 ：k 3 ( e ) = o ) = s u p s 0 ：k 8 ( e ) = o o ) 易知1 d i m k r ，2 1 8 现对开区间jc 【o ，1 ，用n ，表示半径为兽的球填充，( ，) = p 2 ( r ，( 驯所需要球的最大 个数由于，( ，) 是区间，每个半径为学的球就是长度为i j i 的区间，而q 也就是覆盖，( ，) 的长 度为l 引的k i - 1 的最小个数，容易得到n = q 1 因此，在k 5 一测度的定义中，口h 可以用” 来 代替这样按定义和文阢对e f ，我们有 m e s t p ( e ) m e s 江( e ) 茎k 8 ( e ) d i m h esd i m 月psd i m 船e d i m k e d i m p e d i m p e 可见混合维数比k 一维数更接近h a u s d o r f f ! l 数 定义函数，在区间，上的振幅为 o s c ( f ，i ) = s u pi ，( z ) 一f ( y ) ， z ，” 则有下面结论 引理4 4 【9 】设，( t ) 是定义在区间【n ，纠上的连续函数，1 s 茎2 ，记= 口= t o t l t 2 ， t 。= 6 为忙，纠的一个划分，。= f t i - 1 ，t j ，i 1n 一1 ，。= f t n - i ，球 j = m a x l _ i _ nl l l ，则有 ( r ，) 2 黜i n 。f 。车o s c ( f ，i ) i a i i ”1 下面讨论w e i e r s t r a s s 函数图象的混合维数，我们先叙述和证明下面几个引理 引理4 5 【3 】设 ( ) ：曼a ( s - 2 ) s i n ( ”t ) ，t 【o ，1 i 当a 足够大时，存在两个常数c l ，c 2 ， 使得对于给定的区间jcf 0 ，1 】，成立下面不等式： c 1 i x l 轴s0 s c ( w ，) c 2 即一8 引理4 6 设，= ( n ，b ) f 0 ，1 】为一个开区间，当 足够大时，有 从而有 d i m 口l ( j ) = d i m k f 。( ，) = 8 d i m 珊r 乙= d i m k r w = s 1 9 证记= n = t o t l t 2 t n = 6 ) 为( a ，b ) 的一个划分，a 1 = ( t o ，t 1 ) ，t = 陬一1 ，如) ，i 2n ，f l 2 。m 。a x 。i a t l 考虑到连续函数在区间蛾一l ，纠，( t 一1 ，“) ，一1 ，t t ) 上 振幅相等，则由引理44 ，得 ( 蹦驯2 蹦i n f 莓o s c ( 吣她i 1 由g l 芏4 5 可知，存在常数。1 ，c 2 使得 。l i a 。1 2 8 o s c ( w ，氆) c 2 i 。1 2 从而 c - 鲥( 州) 2 黜i n 。f 。荨“( 吣濉i 1 鲕 设 厶) y b ( a ，6 ) 的开覆盖，因为厶为有界开集，所以可以表示成至多可数个互不相 交的开区间的并，记为厶= u k ( ) 霹，这里露是互不相交的开区间用n 2 ，n 分别表示用 半径为掣，掣的球填充w ( 露) 和w ( 厶) 所需球的最大个数，则成立下面的不等式： 啦，警叫，一- 掣弧 因此有不等式： 啦，警= 警掣厕1 5 t 细。警而1 5 1 由引理4 5 ，有 警 c 2 肿s j 旦o s c ( w , 5 ) 矧 从而就有 n 2 1 c i l c 2 n i 矗j 1 5 l i s 一1 ， 或 所以 ( n 2 一1 ) j 露1 8s 百1 c 2 n h i 堙| | 厶l ”1 ( n 2 一1 ) 旧5 c i l c 2 n 厶吲”1 旧c i l c 2 n l 。1 5 1 8 kk 或 ( n 2 1 ) 5 c 1 1 c z 吲3 ak a 因为 ) 是 o ，1 的任意一个开覆盖，而 聪) k ( ) 又是 o ，1 的个开区间覆盖，注 意到当1 8 墨2 时，有 1 n f i 堙1 8 ：【0 1 】cu 厶，j 厶l 0 ，使得p l ( 司cu 。，其中矗= ( n 一e i 厶| 风+ e l 厶1 ) 则有 b = ( z ，y ) e ：p l ( 。，y ) 厶np 1 ( e ) ) ，兄= p 2 ( b ) e i = ( z ，) 百：p l ( z ，) np 1 ( 吾) ) ，f 二= 最( 暖) m 蛐( f 二) i 1 2 - - 2 1 嘶f 铲： 一 m e s 掷m r 气簖掣 u l 6 ) u i 由覆盖的任意性得到 5 n m e s s 册+ t “e f ) m e s 备“e ) i n f ( 墨；磐：i 矿l 取c = 5 - n c n ，令6 0 ，便得 m e s 嘉t ( e f ) c m e s ( e ) m e s 釜( f ) 定理5 2 设e ，f 分别为r m ，冗“中的有界集，则 i n e s 苗( exf ) m e s 备( e ) m e s ( f ) m e s 富( e f ) m e s k ( e ) m e s 刍( f ) 证设 l _ ) 为e 的一个d 一开覆盖，l ine 0 记 凡= “z ，g ) e f ：p m ( z ，) 巩n 目，鼠= r ( 山) = f 同样用半径为掣的球去填充b ，所需球的最大个数记为n ，则这n 个球就构成日 的一个 填充，故有 n i 巩1 8 m e s 参d ( 风) = m e s 刍, 5 ( f ) 于是 n - 巩r 。n i 巩巩 m e s 知( f ) i 巩i 。 a 因此 m e s 知d ( e f ) m e s 刍, d ( f ) l 巩r 不等式右边对e 的任意j 。开覆盖都成立，因而有 m e s ，d ( e f ) m e s 参, 6 ( f ) i n f l u l l ：ecue ) = m e s 置d ( f ) m e s 备，d ( e ) e 令6 0 ，得 m e s 富( e f ) 兰m e s ( e ) m e s 刍( f ) 又因为m e s 苗( e f ) m e s 富( e f ) ，作修正便得到 m e s 藩s ( e f ) m e s ；：( e ) m e s 釜( f ) 2 5 由定理51 和定理5 2 以及定理4 3 ，并注意到d i m pe = d i m 百e ，自然有下面的结论 定理5 3 ( 乘积公式) 设ecr ”，fcr n ，则 d i m ，m e f d i m h e + d i m p f d i m h e + d i m _ b f d i m h b e f d i m h e + d i m 百- f 由上面定理可知，只要计盒维数d i m 日f 存在，目p d i m b _ _ f = d i m 百f = d i m s f ，就有等 式： d i m f m e f = d i m h e + d i m b f 下面给出一个例子，这是h a u s d o 珊维数乘积公式等号不成立的典型例子，但对