（精密仪器及机械专业论文）基于小波变换的图像去噪方法研究.pdf

摘要小波域去噪是根据信号和噪声小波变换的不同表现形态，构造出相应的规则，对信号和噪声的小波变换系数进行处理，处理的实质在于减小以至完全剔除由噪声产生的系数，同时最大限度的保留有效信号对应的小波系数。基于小波变换的去噪方法有很多种，本文主要讨论了其中的阈值去噪方法，详细分析了去噪过程中阈值和阈值函数等关键参数的选取问题，并给出一些选取依据；对小波阈值去噪方法中的几个关键问题进行了详细讨论，并提出了一些改进方案，最后通过仿真实验，证明了这些改进方案的有效性。为了克服传统阈值去噪方法的缺陷，如没有考虑小波系数的先验信息等，本文给出- j b a y e s s h d n k d 。波阈值图像去噪方法，并结合w i e n e r 滤波器，给出了改进的b a y e s s h r i n k 阈值图像去噪方法；又考虑到w i e n e r 滤波器是一种最佳线性滤波器，因此将小波阈值去噪与w i e n e r 滤波结合起来，给出了w i e n e r s h r i n k 去噪方法；本文最后还提出了一种自适应阈值图像去噪方法；通过仿真实验证明了上述几种改进方案的可行性、有效性和优越性。关键词：图像去嗓小波变换小波阈值去噪自适应阈值a b s t r a c tw a v e l e ts h r i n k a 星f ei sam e t h o dt h a tc r e a t i n gc e r t a i nr e g u l a t i o na c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o no fs i g n a la n dn o i s ei nw a v e l e td o m a i na n dp r o c e s s i n gt h ew a v e l e tc o e 伍c i e n t s t h ee s s e n t i a ll i e si ns h r i n k i n go rd e l e t i n gt h ec o e f f i c i e n t sr a i s e df r o mn o i s ea n dr e s e r v et h o s er a i s e df r o ms i g n a l t h e r ea lem a n yd e n o i s i n gm e t h o d sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ，i nt h i sp a p e l ，w h i c hw e r ed i s c u s s e da tt h r e s h o l dd e n o i s i n g a na n a l y s i so ft h ec h o i c eo ft h r e s h o l d ，t i 鹏s h o l df u n c t i o na n ds o m ep a r a m e t e r si nt h ep r o c e s so fd e n o i s i n gi sm a d ei nd e t a i l ，a n ds o m ec h o i c eg r o u n d sa l eg i v e n s o m ek e yp r o b l e m so nd e n o i s i n gm e t h o db a s e do nw a v e l e tt h r e s h o l da r ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n ds o m ei m p r o v e m e n ts c h e m e sa l ep r o p o s e d ，a n dt h es i m u l a t i o nt e s t i n gh a sp r o v e dt h ee 仃e c t i v e n e s so ft h es c h e m e s h lo r d e rt oo v e r c o m et h ed e f e c t so ft h et r a d i t i o n a lt h r e s h o l dd e n o i s i n g ，s u c ha sd on o tt a k eap r i o r ii n f o r m a t i o no fw a v e l e tc o e m c i e n t si n t oa c c o u n t ，a ni m a g ed e n o i s i n gm e t h o do fw a v e l e ts h r i 慨et h r e s h o l db a s e do nb a y e s s h r i n ki sd i s c u s s e di nd e t a i l a n da ni m a g ed e n o i s i n gm e t h o do fi m p r o v e db a y e s s h r i n kt h r e s h o l dc o m b i n e dw i e n e rf i l t e ri sp r e s e n t e d b e c a u s et h ew i e n e rf i l t e ri sab e s tl i n e a rf i l t e r ，s oc o m b i n i n gw a v e l e tt h r e s h o l d i n gd e - n o i s i n gw i t ht h ew i e n e rf i l t e r ，a n dp r e s e n ta ni m a g ed e - n o i s i n gm e t h o do fw i e n ；r s b n kt h r e s h o l d l a s tb u tn o tl e a s ti m p o r t a n t ，w a v e l e tb a s e di m a g ed e - n o s i n gu s ea d a p t i v et h r e s h o l d i n gi sp r e s e n t e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tb o t ht h em e t h o d sa b o v e - p r e s e n t e da lep r a c t i c a l ，e f f i c i e n ta n ds u p e r i o r i t y k e yw o r d s ：i m a g ed e - n o i s i n gw a v e l e tt r a n s f o r mw a v e l e ts h r i n k a g ea d a p t i v et h r e s h o l d i n g西安电子科技大学学位论文创新性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。本人签名：日期西安电子科技大学关于论文使用授权的说明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。( 保密的论文在解密后遵守此规定)本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。本人签名：邂导师签名：吾番辂ivl 产7 v，日期盈：墨竺日期渔鸳! i ：丝l第一章绪论第一章绪论1 1 课题背景小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。它既包含有丰富的数学理论，又是工程应用中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多其他学科和领域的发展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。探讨小波的新理论、新方法以及新应用己经成为当前数学界和工程界的一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。一般来说，现实中的图像都是含有噪声的图像，所以为了后续更高层次的处理，很有必要对图像进行去噪。图像去噪，是一个古老的课题。而人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法，其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪，例如滑动平均窗滤波器、w i e n e r 线性滤波器等，其他的去噪方法还有基于秩一阶滤波( 排序量) 的方法u “。，基于马尔可夫场模型。和基于偏微分方程( p d e ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 的方法”一。和三。正则化w 。方法等。近年来，小波去噪不断出现在有关信号及图像处理研究的文献中u 一”。，这标志着一种新的去噪思路出现。不同尺度上的信号和噪声具有不同特征，小波分析使信号和图像的多尺度处理技术得到迅速发展。m a l l a t 等利用l i p s c h i t z 指数在多尺度上对信号和噪声的奇异性( s i n g u l a r i t y ) 进行描述，提出基于小波变换模极大值原理的信号( 或图像) 去噪方法。随后，以d o n o h o 为首的学术群体另辟蹊径，提出小波域阈值去噪方法，取得了不少理论及应用成果“”1 。小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：( 1 ) 时频局部化特性；( 2 )多分辨率特性；( 3 ) 解相关特性；( 4 ) 选基灵活性。其中，性质( 1 ) 和性质( 2 ) 决定了小波去噪方法能在去除噪声的同时，能很好地保留信号的突变或图像的边缘1 。1 1 1 小波去噪问题的描述在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移版本所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的2基于小波变换的图像去噪方法研究最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分。小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后还能成功地保留图像特征，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。最初，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上，虽然它们同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性。小波变换后，由于对应图像特征( 边缘等)处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性u 引，所以便于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小波去噪对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景，因而更利于系统的理论分析。1 1 2 小波去噪基本方法现有小波去噪方法大致可分为3 类：( 1 ) 空域相关去噪，利用信号小波系数在各尺度间具有相关性去噪；( 2 ) 基于奇异性检测的去噪，利用信号和噪声具有不同的奇异性去噪；( 3 ) 小波域阈值去噪，根据幅值较大的系数由重要信号产生这一假设去噪。( 1 ) 空域相关去噪u ：信号的小波系数在不同尺度间具有很强的相关性，噪声系数却弱相关或不相关。将相邻尺度上的系数相乘得到空域相关系数，若某点归一化后的相关系数幅值大于其小波系数幅值，则认为该点为信号突变点，抽取出该点。对抽取出的小波系数进行逆变换，从而得到去噪信号。x u 在提出空域相关滤波方法时，没有给出噪声方差的估计及终止迭代的阈值“。p a n 在计算各分解尺度上噪声方差后，提出噪声能量阈值的理论计算方法，给出了终止迭代的准则，首次提出了理论完整的空域相关去噪算法，并对其进行改进，得到具有满意去噪效果的自适应空域相关滤波算法卜川。值得指出的是，相关系数如何定义将直接影响去噪结果瞄。( 2 ) 基于奇异性检测的小波去噪：m a l l a t 认为信号的l i p s c h i t z 指数为正，噪声的l i p s c h i t z 指数为负u ，通过确定各尺度上信号的模极大值，重构得到去噪信号。若信号在某奇异点邻域内剧烈振荡，小波系数的模极大值则无法描述其奇异性。小波“脚印”( f o o t p r i n t s ) 在一定程度上缓解了该问题，但在实际应用中去噪效果仍不理想。基于模极大值检测的去噪算法有很好的理论基础，滤波性能较稳定，对噪声的依赖性较小，只要信号与噪声具有不同l i p s c h i t z 指数，即可进行去噪；缺点是模第一章绪论3极大值重构信号的算法复杂。( 3 ) 小波域阈值去噪：小波域阈值去噪算法由d o n o h o 等提出，用于滤除信号中高斯白噪声。通过设定某一适当阈值，认为小于该阈值的系数由噪声产生，将其置零；而保留大于阈值的系数，从而抑制信号中的噪声。该方法对阈值选取敏感。对此，潘、张等构造了一个均方差函数的近似函数，通过极小化该函数得到均方差意义下的自适应最优阈值u “。1 2 小波阈值去噪方法概论小波阈值去噪法是目前研究最为广泛的方法，由于阈值收缩主要基于如下事实：即比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的系数则很大程度是噪声。因此可通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置零，而保留大于阈值的小波系数；然后经过阈值函数映射得到估计系数；最后对估计系数进行逆变换，就可以实现去噪和重建。阈值去噪方法中的两个基本要素是闽值和阈值函数。1 2 1 阈值确定小波域阈值去噪中，如何确定阈值是一个关键问题。目前有大量文献提出不同的阈值确定方法1 2 1 6 12 4 - 2 6 ：通用( u n i v e r s a l ) 阈值、极小化风险阈值、假设检验法和b a y e s s h r i n k 阂值等。( 1 ) 通用阈值法对于多维独立正态变量，当维数趋于无穷时，噪声系数幅值大于阈值，= 口2 h 的概率趋于零，其中万为噪声标准差，为信号长度u “。潘等基于小波变换的双通道滤波器组分解结构，从理论上得到盯2 的一致无偏估计“2 7 。进一步提出自适应阈值，：c 仃，验证了c f 3 0 ，4 0 1 是合理的1 8 ，2 2 2 3 。( 2 ) 极小化风险阈值极小化风险阈值即均方差( m e a ns q u a r ee r r o r ，m s e ) 意义下的最优阈值。m s e 函数描述了滤波结果与真实信号在均方意义下的偏离程度。目前主要有s u r e 法、交叉验证算法和广义交叉验证算法估计m s e 函数。( a ) s u r e ( s t e i n su n b i a s e de s t i m a t o ro fr i s k ) 法u 训s u r e 函数是m s e 函数的无偏估计，故极小化s u r e 函数得到的阈值为最优阂值的无偏估计。( b ) 交叉验证( c r o s s v a l i d a t i o n ，c v ) 算法c v 算法是种基于m s e 准则确定最优阈值的方法引。可根据实际问题需要自适应选取估计准则。( c ) 广义交叉验证( g e n e r a l i z e dc r o s s v a l i d a t i o n ，g c v ) 算法嵋训4基于小波变换的图像去噪方法研究g c v 算法以s u r e 为基础，性能优于c v 算法。g c v 有偏，偏差为仃2 ，但得到的最优阂值无偏。( 3 ) 多假设检验法阈值处理过程可看作是一个多假设检验过程m 。在满足给定错误发现率( f a l s ed i s c o v e r yr a t e ，f d r ) 上界的前提下，最优阈值使所保留的系数个数达到极大值。该方法可解释通用阈值依赖于信号长度的现象，其局限性在于：如何给定f d r ，将信号误判为噪声的情况亦考虑在内。( 4 ) b a y e s s h r i n k 阈值主要针对二维图像提出。假设自然图像的小波系数服从g g d ( g e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ) 分布，极小化贝叶斯风险得到阈值五= 盯2 仃；。其中，盯2 为噪声方差，仃；为g g d 分布的方差。若阈值在整个去噪过程中固定不变，对所有小波系数采用相等的阈值进行处理，可称为全局阈值；而自适应阈值根据小波系数的局部特征进行阈值化处理，最简单的是可以适应于不同尺度上系数特征的阈值。另外，还有基于小波系数尺度内相关性以及尺度间相关性的自适应阈值，这涉及到了对小波系数建模的问题。1 2 2 阈值函数选取阈值函数体现了对小波系数的处理策略。主要分为软阈值函数，硬阈值函数和半软阈值函数，它们的基本思想是去除幅值较小的系数；对幅值较大的系数进行收缩或保留呱1 6 18 2 2 。b r u c e 和g a o 得出结论：硬阈值法往往使得去噪结果有较大方差，软阈值法使去噪结果有较大偏差。为克服软阈值法和硬阈值法的缺点，g a o 提出半软阈值( s e m i s o f ts h r i n k a g e ) 函数，并得到了基于半软阈值法的m i n i m a x 阈值u “。g a o 随后将g a r r o t e 函数作为阈值函数。，并证明上述各种阈值方法得到的去噪结果渐近相等。另外，文献 3 1 3 从选取最优阈值的角度，构造了具有高阶连续导数的阂值函数，通过优化搜索得到最优阈值。以上所讨论的阈值函数，都假定真实信号为确定性信号，可统称为显式阈值函数。另一类隐式阈值函数基于贝叶斯模型得到“”。在假定真实信号的小波系数服从某一先验分布的基础上，得到隐式的闽值化方法收缩函数。这类隐式阈值函数的选取需坚实的统计学基础。1 3 本文的主要工作小波理论经过十多年的发展，虽然取得了许多非常重要的成果，但仍然有一些根本性的问题尚待解决，如小波的构造问题，构造出各种小波，并揭示出它们之间的关系是研究和应用小波的基础。小波应用虽然在某些领域取得了惊人的效第一章绪论果，但依然有许多局限性。小波能否取得成功的应用，必须视实际问题而定。应用问题是否适合于小波分析，这是小波研究者应该首先考虑的，另外针对问题的特殊性和不同的研究角度，选择具有优良特性的小波基也是相当重要的，如何根据信号的特点和信号处理的需要自适应地选取最优小波的问题一直是小波理论与应用研究领域的重要问题之一，也一直是小波研究领域悬而未解的问题。另外，在小波应用的具体技术和方法上也还有很多工作要做，譬如，如何建立高维小波变换和连续小波变换的高效快速算法，如何开辟一些小波新的应用研究领域也是一个非常富有挑战性的课题。本文旨在研究小波的最新理论，进一步完善从小波理论到小波应用的桥梁，在前人提出的有关小波去噪算法的基础上，展开更加系统和深入的讨论，力求探索一些小波理论在信号与图像去噪中的一些新的方法。主要工作包括：第一章是绪论部分，主要介绍了当前小波去噪的一些基本方法，主要讨论了阈值去噪方法中的两个核心问题，即阈值和阈值函数的选取，并简要介绍了全文的主要内容，对全文的各章节做了总体安排。第二章主要讨论了小波分析的基本理论，首先介绍了小波的时频特性以及连续小波变换、离散小波变换和二进小波变换；然后介绍了多分辨分析及规范正交小波基的一般构造方法；最后分析了小波基的数学特性，包括正交性，正则性，消失矩，紧支性以及对称性等。第三章比较系统地讨论了小波阈值去噪方法，在原有算法的基础上作了大量的改进，也提出一些新算法，取得显著的去噪效果。针对小波阈值去噪方法的几个关键问题进行了详细讨论，首先讨论了基小波和小波分解层数的选择与信号去噪之间的具体联系，并给出了一些选择依据，其次讨论了阈值函数的选取问题，并针对硬阈值方法和软阈值方法的固有缺点，提出了四种改进方案，然后对常用的四种阈值选择规则进行了详细讨论，并给出了一些选择依据，最后通过仿真实验得出一些有用的结论。第四章针对常用阈值未考虑先验信息的固有缺点，详细介绍了贝叶斯最优阈值，在此基础之上介绍- j b a y e s s h r i n k i 阈值去噪方法，通过实验仿真，证明b a y e s s h r i n k 要优于常用闽值方法。然后将b a y e s s h r i n k 和经典w i e n e r 滤波器结合起来，提出了改进的b a y e s s h r i n k 方法，在第二节又提出了w i e n e r s h r i n k 去噪方法，通过实验仿真，证明这两种方法均优于b a y e s s h r i n k 阈值去噪方法。最后提出了一种自适应阈值方法，事实证明，该方法要优于本文中提到的所有算法。第二章小变换基本波理论7第二章小波变换基本理论小波分析属于时频分析的一种，是从傅里叶分析中发展而来的，但是又优于傅里叶分析。傅里叶分析作为一种经典的方法曾经被广泛的应用，但是由于其自身的缺陷，是一种全局的变换，反映的是信号整个时域对频率的贡献，也就是说傅里叶变换的积分核平滑了信号的突变成分，无法确定信号发生变换的时间位置和变化的剧烈程度，即无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是实际应用过程中的非平稳信号最根本和最关键的性质。后来人们对傅里叶分析进行了改革，提出了一系列分析和处理非平稳信号的新的信号分析理论，其中包括短时傅里叶变换和小波变换。短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当短时窗函数确定后，窗口的形状就确定了，故它是一种单一分辨率的信号分析方法。若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数。而作为傅里叶分析思想发展的小波分析方法是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定、但窗口的形状可变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法：即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率；在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，在时频域都有表征信号局部特征的能力，具有多分辨分析的特点，所以被誉为分析信号的显微镜，本章主要介绍小波分析的基础知识。2 1 1f o u r i e r 变换2 1 小波及小波变换f o u r i e r 3 芝换是利用积分将一个函数f ( t ) ( - o o f 悯) 变为另一个函数f ( j w ) 。设函数厂( f ) 满足e f ( t ) k l t o 是尺度因子，6 是位移，b r ，均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换( c w t ) ，其中，6 ( ，) ：下1 ( 马( 2 5 )显然，6 ( f ) 是基本函数y ( f ) 先作移位再作伸缩以后得到的。若口，6 不断地变化，第二章小变换基本波理论9我们可得到一个族函数帆j ( z ) ，如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从娟到如o 。信号x ( f ) 的小波变换暇( 口，6 ) 是口和b 的函数，眈。( f ) 是母小波经移位和伸缩所产生的一个族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，式( 2 4 )的胛又可解释为信号x ( f ) 和一个族小波基的内积母小波可以是实函数，也可以是复函数。若x ( f ) 是实信号，y ( f ) 也是实的，则w t x ( 以，b ) 也是实的，反之，暇( 口，b ) 为复函数。在( 2 5 ) 式中，b 的作用是确定对工( f ) 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子口的作用是把基本小波y ( f ) 作伸缩。由少( f ) 变成沙( 二) 。当口 1 时，若口越口大，则y n 的时域支撑范围( 即时域宽度) 较之y ( f ) 变得越大，这相当于对低频情口况，小波变换对时间看得粗些，对频域看得细些；反之，当口 o ，扫= 1o )j太沙( 型八爪=vv，r) ，a = 2t( d ) 分析范围图2 1 基本小波的伸缩及参数a 和6 对分析范嗣的控制这样，式( 2 4 ) 的w t 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x o ) 作分析，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。式( 2 5 ) 中的因子下1 是了保证不同的尺度口时，虬，。( f ) 始终能和母函数y ( r )有着相同的能量，即肌1 2 衍= 坤( 字) 卜汜6 )令与导= f 。，贝, l jd t = 口d t ，这样，上式的积分就等于j l y ( r ) 1 2 d t 。口令x ( f ) 的傅里叶变换为x ( q ) ，则( f ) 的傅里叶变换为甲( q ) ，由傅里叶变换的性质，。( f ) 的傅里叶变换为：第二章小变换基本波理论( f ) = 忑1 少( t - b ) a甲。6 ( q ) = 孤( 口q ) p 一脚口由帕斯瓦尔定理，式( 2 4 ) 可重新表为：暇( 口，6 ) = 去( x ( q ) ，甲础( q ) )：要e 砌脚吵此式即为小波变换的频域表达式。2 1 3 小波变换的时频特性( 2 7 )( 2 8 )f 面，我们从小波变换的恒q 性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。比较式( 2 4 ) 和( 2 8 ) 对小波变换的两个定义可以看出，如果虬。( f ) 在时域是有限支撑的，那么它和x i j f ) 内积后将保证暇( a ，6 ) 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使暇( 口，b ) 反映的是x ( f ) 在b 附近的性质。同样，若甲。j ( q ) 具有带通性质，即甲咖( q ) 围绕着中心频率是有限支撑的，那么甲础( q ) 和x ( q ) 作内积后也将反映j ( q ) 在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质显然，这些性能正是我们所希望的，问题是如何找到这样的母小波y ( f ) ，使其在时域和频域都是有限支撑的。若y ( f ) 的时间中心是t o ，时宽是，甲( q ) 的频率中心是q o ，带宽是o ，那么( 三) 与的时间中一t , 9 3 z t o ，但时宽变成口，杪( 与的频谱口甲( 口q ) 的频率中心变为i f 2 0 口，带宽变成q a 。这样，( 去) 的时宽与带宽积仍是，a q ，与口无关，这一方面说明小波变换的时频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒q 性质。定义q = a q q 。= 带宽中心频率( 2 9 )为母小波g t ( t ) 的品质因数，对y ( 三) ，其1 2基于小波变换的图像去噪方法研究带宽中心频率= 会舞= q q 。= q因此，不论口为何值( 口 o ) ，缈二) 始终保持了和( f ) 具有性同的品质因数。恒q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图2 2 说明了甲( q ) 和甲( 口9 ) 的带宽及中心频率随口变化的情况。( a ) a = 1( b ) a - - _ 2( a f 2 )2 9( c ) a = 1 2图2 2 甲( 口q ) 随口变化的说明我们可看n d , 波变换在对信号分析时有如下特点：当a 变小时，对石( f ) 的时域观察范围变窄，但对x ( n 1 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图2 2 ( c ) 所示。反之，当口变大时，对x ( f ) 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且中心频率向低频处移动，如图2 2 ( b ) 所示。将图2 1 和2 2 所反映的时频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图2 3 所示。( a = 1 2 ) 2 9( a = 1 )g( 口= 2 ) g 22图2 3 口取不同值时小波变换对信号分析的时频区间由于小波变换的恒q 性质，因此在不同尺度下，图2 3 中三个时频分析区间( 即三个矩形) 的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，该分析窗口在高频端( 图中2 9 2 。处) 的频率分辨率不好( 矩第二章小变换基本波理论形窗的频率边变长) ，但时域的分辨率变好( 矩形的时间边变短) 。反之，在低频端( 图中g 2 处) ，频率分辨率变好，而时域分辨率变差，但在不同的a 值下，图2 3 中分析窗的面积保持不变，也即时频分辨率可以随分析任务的需要做出调整。众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好，以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a 对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。2 2 离散小波变换和二进小波变换在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化，也就是将函数x ( f ) 的积分形式展开为级数和的形式，取连续小波变换的尺度因子a 和平移因子6 ，分别为口= a o ，b = k g l o j b o ，这里j z ，扩展步长口o 1 是固定值，为了方便起见，总是假定a o 1 ，( 由于可取正也可以取负，所以这个假定无关紧要) ，对应的离散小波变换少m ( f )即可写成：弘 j , k ( t ) = a o - j 2 v 半 = a o - j 2 杪( 酊一蛾)( 2 1 0 )而离散小波变换系数则可表示为q 乒= i ：x ( t ) q j j , ( t ) d t = ( x ，)( 2 1 1 )q 乒2l2 ( x ，乒)( 2 )其重构公式为：石( f ) = c e ，。，。( f )( 2 1 2 )c 是一个与信号无关的常数。二进小波变换( d y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r m ) 是连续小波变换和离散小波变换的1 4基于小波变换的图像去噪方法研究折中，只把正频率轴划分为邻接的频带( 即a ，= 2 取为离散值，b 仍取为连续值) ，二进小波的定义如下：定义2 2 设函数妙m ( f ) r ( 尺) ，若存在两个常数0 a b 使得：a l 沙( 2 。国) l b( 2 1 3 )置= z ii则妙维( f ) 为一个二进小波，上式被称为稳定性条件( s t a b i l i t yc o n d i t i o n ) ，若a = b 则称为最稳定条件，而函数序列 t x ( 七) ) 。e z 叫做x 的二进小波变换，其中：，x ( 七) = x 奉哟( 七) = 吉，r x o ) i l t r ( 2 - j x - k ) d t( 2 1 4 )上式相应的逆变换为：工( f ) = ，x ( 七) m ，( 七) = ，x ( 尼矽：，( 2 一，x - k ) d k( 2 1 5 )e zj c z眠2 。”( t ) = 2 j 1 2 y ( 2 。 一6 ) )( 2 1 6 )二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平滑参量保持连续变化，因此二迸小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也是它同正交小波基相比具有的独特优点。二进小波是满足可容性条件的小波，它具有很多优良的特性，是离散小波中最常用的一种形式。对众多的小波我们可以根据不同的分类标准对其进行分类，根据小波函数y ( f ) 本身可以把它分为单小波和多重小波：根据框架理论可以把虼。( f ) 分为正交小波，半正交小波和非正交小波。框架是对规范正交基的推广，下面给出小波框架的定义。定义2 3 满足下述条件的离散小波称为框架嘲彳) 腌f ) ，。( 嘶- b i i x ( 邢( 2 1 7 )册”其中0 a b 丁耽卢t o ，m 一 互s s n ( 叫警掣耶m 五8 )0，1 w j ，。i 互其中0 五 互。该方法通过选择合适的阈值互和正，可以在软阈值方法和硬阈值方法之间达到很好的折中，表现出较好的去噪效果，但是它需要估计两个阈值，实现起来较困难，因此这个缺点限制了它的应用。( 2 ) 改进的软阈值函数( 见图3 5 ( d ) )在软阈值的基础上，对其进行改进使其具有更高阶：w j t2唧( 叫m 一丽t ) 枇p 9 ，2 “1，l _ 。l 丁这种阈值函数同硬阈值函数、软阈值函数及半软阈值函数所不同的是，它拥有更高的导数阶。可以看出，它在噪声( 小波系数) 与有用信号( 小波系数) 之问存3 0基于小波变换的图像去噪方法研究更为平滑。( 3 ) 软、硬阈值折中法( 见图3 5 ( e ) )功，t = 0 s g n 一j a _ j l 一口丁：；1 w w 奠i 三：，( 。口，)( 3 ，。)l，：。i r 。称上式为软、硬阈值折中法小波系数估计器。特别地，当口分别0 和1 时，上式即成为硬阈值和软阈值估计方法。对于一般的0 a t 时是高阶可导的，便于进行各种数学处理。指数型阈值函数以w j ，t = 一，。为渐近线，随着一，。的增大，w j ，t 逐渐接近克服了软阈值函数中w j ，t 与m ，。之间存在恒定偏差的缺点。当寸o o 时，( 3 1 1 ) 式为软阈值函数：- - 0 时，( 3 11 ) 式为硬阈值函第三章小波阂值去噪算法的研究数。可见，指数型阈值函数是介于软、硬阈值函数之间的一个灵活选择，可以通过的取值的变化，得到实用有效的阈值函数。目前，关于阈值函数的研究不是很多，现在的小波阈值去噪中最常用的是软阈值函数。基于小波变换的图像去噪方法研究估计小波系数估计小波系数分解小波系数( a ) 硬阈值函数分解小波系数( c ) 半软阈值函数分解小波系数( e ) 软硬阈值折中法估计小波系数估计小波系数分解小波系数( b ) 软阈值函数分解小波系数( d ) 改进的软阈值函数分解小波系数( f ) 指数型阂值函数图3 5 几种阈值函数第三章小波阈值去噪算法的研究3 33 4 阈值的选择小波阈值去噪方法除了阈值函数的选择，另一个关键因素是阈值的选择。如果阈值太小，去噪后的信号仍然有噪声的存在；相反，阈值太大，重要信号( 或图像) 特征又将被滤掉，引起偏差。从直观上讲，对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。以下介绍几种经典的阈值估计方法。3 4 1v i s u s h r i n k 阈值最早的小波阈值去噪方法是d o n o h o 和j o h n s t o n e 在1 9 9 4 年提出的统一阈值去噪方法( 或称为v i s u s h r i n k 阈值方法) 。d o n o h o 和j o h n s t o n e 统一阈值简称为d j 阈值。v i s u s h r i n k 阈值方法是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋于无穷时得出的结论，即大于该阈值的系数含有噪声信号的概率趋于零，是基于最小最大估计得出的最优阈值u 。阈值丁的选择满足r = 吒厮( 3 1 2 )其中口。是噪声的标准差( 或称为均方差) ，为信号的长度或尺寸。d o n o h o 证明了这种估计，在信号属于b e s o v 集时，在大量风险函数下获得近似理想的去噪风险。而现实生活中的大部分信号、图像都近似可由b e s o v 集建模，然而由于这种阈值与信号的长度相关，所以当较大时，阈值趋向于将所有的小波系数置零，这就往往产生“过扼杀”系数的现象，此时，小波去噪退化为低通滤波器。虽然该方法有很好的理论支持，但实际应用效果并不好，有人分析其根本原因在于这一准则是用渐进分析的手段推出来的，但对于实际问题，信号或图像的复杂性相对于样本尺寸是很重要的。3 4 2s u i 己e s h r i n k 阈值s u r e s h r i n k 阈值估计方法是一种基于史坦的无偏似然估计( s t e i n su n b i a s e de s t i m a t o ro f r i s k ，简记为s u r e ) 准则的自适应阈值选择h “，该准则是均方差准则的无偏估计，它是专门针对软阈值函数得出的结论，且s u r e s h r i n k 阂值趋近于理想阈值。在这里，对s u r e 准则下的推导方法不加详述，而是给出m j a n s e n 的另一种更简单易懂的推导方法。设原始信号( 或图像) 的小波系数估计通过软阈值函数来收缩得到，即：砭= 7 7 ，( r ) = ( r s g n ( r ) ，) ，( i r i ，)i = 1 ，2 ，( 3 1 3 )基于小波变换的图像去噪方法研究其中，( x ) 代表示性函数，当，( x ) = 1 时，x 为真；，( x ) = o 时，x 为假。阈值的选择可以通j u , x 下面的风险函数来定义：r ( ，) = 如研由于小波变换的正交性，风险函数可以同样在小波域中写成如下形式：r ( ，) = 刳仍( 】，) 一x i l 2记丁( ，) - 刳仇( 】，) 一r l l 2则e r ( r ) = - 争i i o , ( y ) 一y l l 2= 专e 瞰y ) 一x + i x y 1 1 2= 专e 呐( 】，) 一x l l 2 + i i x r l l + 2 ( 研( y ) 一x ，x y ) = e 足= 职f，可以证明，当y 服从g u a s s 分布时，有下面的等式成立e ( 玩( i ) ，形) = 尸( i r l f )( 3 1 4 )( 3 1 5 )( 3 1 6 )( 3 1 7 )( 3 1 8 )其中p ( 吲 r ) 服从二项分布，其概率可以用m ，出现的频率近似。则( 3 1 7 ) 式中的最后一项可以表示成号e ( 仍( 】，) ，y ) = 万2e 善仍( z ) 矿，= 万2 善ne 玩( r ) v , - i( 3 1 9 )：簪np ( 阶，)智u 叫7：垡羔，(ir,i，)n智7将( 3 1 9 ) 式代入( 3 1 7 ) 式，得到风险函数的期望表达式如下：yxa ，一、yyy仇仇ee2一2一+口盯+第三章小波阈值去噪算法的研究3 5e r ( ，) = e r ( ，) 一+ 等2 善n 硼】，p ，)= 专缸w 一等( - 烈n 即) )2 。，= 万1 善n ( 阢l ，) 2 + + 等善圳y ，l ，)其中1 是示性函数，a 表示两数取小。于是，最佳的阈值选择可以通过最小化e r ( t ) 得到，即= a r g m i n e r ( t )( 3 2 1 )由于信号长度( 或图像尺寸) n 是已知的，所以上式可以表示成= a 唱- 密 喜( i y j r ) 2 + 一2 否n 州y ，i ，) 职( r ) ( 3 2 2 )可见州】，小 f ) 表示的是取集合 】，i y ， ， 中元素的个数。为了减少计算时搜索的范围，在上式中最佳阈值的选择范围可以缩小到一个有限范围，即 y i i y ， 3 2( 3 卫4 )其中为信号长度( 或图像的像素点数) 。我们知道，对噪声进行小波分解时，也会产生高频系数，所以，一个信号的高频系数向量是有用信号和噪声信号的高频系数的叠加。由于s u r e 和m i n i m a x i 阈值选择规则较为保守( 仅将部分系数置为o ) ，因此当信号的高频信息有很少一部分在噪声范围内时，这两种阈值非常有用，可以将弱小的信号提取出来。另外两种阈值选择规则，在去除噪声时显得更为有效，但是也可能将有用信号的高频部分当作噪声信号去除掉。第三章小波闽值去噪算法的研究3 73 5 仿真实验与讨论对于去噪性能的评定，一般采用信噪比s n r 和均方根误差r m s e 来衡量。在本实验中信噪比的定义为： ，x 2 ( 刀)一1 0 培i 骊n = ll ni ；( 疗) 一x ( 刀) ( 3 2 5 )其中，x ( 疗) 为原始信号，x ( 玎) 为估计信号。按上式计算的信噪比单位是分贝( d b ) 。均方根误差r m s e 定义为：r m s e = 万1 善n 柏一x ( 刀) 2( 3 2 6 )3 5 1 噪声方差估计对于图像去噪算法，噪声的方差是个重要参数。但是通常情况下，噪声的方差是未知的。这就需要从含噪声图像中估计出噪声的方差。噪声方差可采用鲁棒中值绝对估计方法瞄酬，该方法简便易行，在小波去噪领域得到了广泛的应用。首先对含噪声图像进行小波分解，由于小波分解具有能量集中的特性，可以认为高频细节子带h h l 包含了很少的图像信息，h h ! 子带主要包含噪声。独立同分布加性高斯噪声，在离散正交小波域仍为独立同分布高斯噪声。设 从 为个均值为0 ，方差为o - 2 的相互独立的高斯随机变量，则e ( m e d i a 刀( 1 以f ) 。勤s ) o 6 7 4 5 0 。所以，噪声标准差估计为；= m e d i a ，z ( i 沙6 7 4 5( 3 2 7 )取绝对值的中值，使该噪声标准差估计对h h i 子带中包含的少量大幅值小波系数不敏感。m j a n s e n 提出了另一种小波域噪声方差估计方法引，k r a n k 提出了空域滤波器噪声标准差估计m9 l ，这些噪声方差估计方法都不如基于最高细节子带小波系数绝对值中值的估计方法简便、精确。基于小波变换的图像去噪方法研究3 5 2 各种阈值函数的比较信号去噪的目的基本目标是：既希望尽可能的去除信号，同时又希望原始信号的信息丢失的尽量少。然而这两者并不统一，有时候甚至矛盾，因此构造了一个去噪结果的评估系数r l ，定义为r l = ( s n r s n r ) , 0 0( 3 2 8 )式中，彤佃是小波去噪技术应用于含噪得到的去噪后的信号的信噪比，s n r 是小波