（基础数学专业论文）postlie代数及其在sl2上的结构.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 毖圣盛 2 0 1 0 年5 月2 0 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 p o s t l i e 代数及其在s l ( 2 ) 上的结构 姓名张冬威学号 2 1 2 0 0 7 0 0 1 9 答辩日期2 0 1 0 年5 月2 6 日 论文类别博士口学历硕士口硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所数学科学学院 专业基础数学 联系电话 1 51 2 2 3 3 4 5 7 5e m a i lz d v19 8 5 s o h u c o r n 通信地址( 邮编) ：天津市南开大学西区3 号楼3 门4 0 7 室 备注：是否批准为非公开论文否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆。非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 毖釜盛2 0 1 0 年5 月2 0 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( l o 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年 月日至2 0 年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月 日 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 南开大学数学科学学院 2 0 1 0 年5 月 c a n d i d a t e ：d o n g w e iz h a n g g r a d e ： 2 0 0 7 s p e c i a l i t y ：p u r em a t h r e s e a r c hf i e l d ：l i eg r o u pa n dl i ea l g e b r a t h e s i st o p i c ：i n t r o d u c t i o nt op o s t l i ea l g e b r a a n di t ss t r u c t u r eo ns l ( 2 ) f i n i s h e dt i m e ：m a y2 0 1 0 s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r k el i a n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s n a n k a iu n i v e r s i t y , t i a n j i n3 0 0 0 71 ，p r c h i n a m a y 2 0 1 0 摘要 在本文中，我们对o p e r a d t 里论做了一些必要的讨论，包括o p e r a d 定 义，q u a d r a t i co p e r a d 以及k o s z u l m 偶的基本理论。然后讨论了作为o p e r a d 理 论应用例子之一的p o s t 李代数，同时给出- p o s t 李代数在s l ( 2 ) 上所有的分 类。从而证明了与p r e 李代数不同，p o s t 李代数在s l ( 2 ) 上是存在代数结构的。 关键词：范畴；o p e r a d ；k o s z u l 对偶；p o s t 李代数；李代数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt oo p e r a dt h e o r y , i n c l u d i n gt h ed e f - i n i t i o no fo p e r a d ，q u a d r a t i co p e r a da n dk o s z u ld u a l i t y t h e nw eh a v ead i s c u s s i o n o np o s t l i ea l g e b r aa sa l le x a m p l ea n d a p p l i c a t i o nt oo p e r a d f i n a l l yw eg i v ea l lt h e p o s t l i ea l g e b r as t r u c t u r eo ns l ( 2 ) t h i sa l s os h o w st h a tc o n t r a s tt op r e l i ea l g e b r a ， t h e r ee x i s t sp o s t l i ea l g e b r as t r u c t u r eo ns l ( 2 ) k e y w o r d s ：c a t e g o r y ，o p e r a d ，k o s z u ld u a l i t y ，p o s t l i ea l g e b r a ，l i ea i g e b r a 3p o s t l i ea l g e b r a 1 6 4t h ep o s t l i ea l g e b r as t r u c t u r eo ns l ( 2 ) 1 9 b i b l i o g r a p h y 2 7 致谢 2 9 个人简历 3 1 i i i c h a p t e r 1 b a c k g r o u n d a n di n t r o d u c t i o n 1 1t h e b a c k g r o u n da n dh i s t o r y o p e r a d sa r em a t h e m a t i c a ld e v i c e sw h i c hd e s c r i b ea l g e b r a i cs t m c m r eo fm a n yv a - r i e t i e s ，w h i c hi n v o l v ea na b s t r a c t i o no faf a m i l yo fc o m p o s a b l ef u n c t i o n so fs e v e r a l v a r i a b l e sm a p ( x n ，x ) ( s e e 【11 ) w i t ha na c t i o no fp e r m u t a t i o n so fv a r i a b l e s o r i g i n a l l y o p e r a d sw e r es t u d i e da sat o o li nh o m o t o p yt h e o r y t h en a m eo p e r a da n d t h ef o r m a l d e f i n i t i o na p p e a rf i r s ti nt h ee a r l y19 7 0 si nj p e t e rm a y s t h eg e o m e t r yo fi t e r a t e d l o o ps p a c e s ”，b u tay e a ro rm o r ee a r l i e r , b o r e d m a na n dv o g t ( s e e 2 】) d e s c r i b e dt h e s a m ec o n c e p tu n d e rt h en a m e c a t e g o r i e so fo p e r a t o r si ns t a n d a r df o r m , i n s p i r e db y a d a m sa n dm a c l a n e i nf a c t ，t h e r ei sa na b u n d a n c eo fp r e h i s t o r y w e i b e l ( s e e 【3 】) p o i n t so u tt h a tt h ec o n c e p t f i r s ta r o s eac e n t u r ya g oi na n w h i t e h e a d s at r e a t i s eo n u n i v e r s a la l g e b r a ”，p u b l i s h e di n18 9 8 w h i t e h e a dw a sa c t u a l l yd e s c r i b i n gq u a d r a t i c o p e r a di nt h ec a t e g o r yo fv e c t o rs p a c e s ，s p e c i f i c a l l yt h o s eg e n e r a t e db yas i n g l eb i n a r y p r o d u c t i nt h e19 9 0 s ，t h e r ew a sa r e n a i s s a n c ea n df u r t h e rd e v e l o p m e n to ft h et h e o r yi n s p i r e db yt h ed i s c o v e r yo ft h er e l a t i o n s h i p sw i t hc o h o m o l o g ya n ds t r i n gf i e l dt h e o r y ( s e e 【4 1 1 5 1 1 6 7 ) t h eg e n e r a l i z a t i o no fq u a d r a t i cd u a l i t y ( e g l i ea l g e b r a sa sd u a lt oc o m m u t a t i v ea l g e b r a s ) t o g e t h e rw i t ht h ep r o p e r t yo fk o s z u l n e s si na ne s s e n t i a l l yo p e r a d i c c o n t e x tp r o v i d e da na d d i t i o n a lc o m p u t a t i o n a lt o o lf o rs t u d y i n gh o m o t o p yp r o p e r t i e s o u t s i d eo ft h et o p o l o g i c a ls e t t i n g s ( s e e 【8 1 ) i n2 0 0 7 ，b r u n ov a l l e t t e ( s e e 【9 】) s t u d i e dt h eh o m o l o g yo fp o s e t so fp a r t i t i o n sa s s o c i - a t e dt oa no p e r a di nh i sp a p e r h ep r o v e dt h ef a c tt h a tt h eo p e r a di sk o s z u li fa n do n l yi f t h ep o s e t sa l ec o h e n m a c a u l a y h es h o w e dt h ee q u i v a l e n c eo ft w oh o m o l o g i c a ln o t i o n s ： k o s z u lo p e r a da n dc o h e n m a c a u l a yp o s e t s a st h ea p p l i c a t i o no fh i st h e o r ya n di m 。 p o r t a n te x a m p l e ，h ei n t r o d u c e dk o s z u ld u a l i t yo ft h eo p e r a d sc o m t r i a sa n dp o s t e i e t h en o t i o no fp o s t l i ea l g e b r aw a si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r ，w h e r ei ti sp o i n t e do u tt h a t p o s t l i e ，t h eo p e r a do fp o s t l i ea l g e b r a s ，i st h ek o s z u ld u a lo fc o m t r i a s ，t h eo p e r a do f c o m m u t a t i v et r i a l g e b r a s i n2 0 0 9 ，c h e n g m i n gb a i ，l ig u oa n dx i a n gn i ( s e e 10 1 ) s t u d i e dt h en a n a b e l i a n g e n e r a l i z e dl a xp a i r s a c c o r d i n gt ot h ec l a s s i c a ly a n g b a x t e re q u a t i o n ，t h e ys h o w e d t h e r en a t u r a l l ye x i s t sa na l g e b r a i cs t r u c t u r eb e h i n da no o p e r a t o ro fw e i g h ta ，n a m e l y , t h ep o s t l i ea l g e b r aw h i c hv a l l e t t ed i s c o v e r e di nas t u d yo fo p e r a d s t i l e ya l s or e v e a l e d ar e l a t i o nb e t w e e np o s t l i ea l g e b r a sa n dd e n d r i f o r mt r i a l g e b r a so fl o d a ya n dr o n c o ( s e e 【l o ) b ya c o m m u t a t i v ed i a g r a m w en e x tg i v eas u m m a r yo ft h i sp a p e r w eb e g i no u rs t u d yb yi n t r o d u c i n gs o m e b a s i cc o n c e p t si nc a t e g o r yt op r o v i d es o m en e c e s s a r yl a n g u a g ea n dt o o l s i nc h a p t e r 2 ，w ei n t r o d u c et h eo p e r a dt h e o r y , i n c l u d i n gt h ed e f i n i t i o no fo p e r a d ，q u a d r a t i co p e r a d a n dk o s z u ld u a l i t y i nc h a p t e r3a n d4 ，w eg i v eas u r v e yo fp o s t l i ea l g e b r aa n dp r o v i d e a l lp o s s i b l ep o s t l i ea l g e b r ae x a m p l e so ns l ( 2 ) 1 2i n t r o d u c t i o nt oc a t e g o r y i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt oc a t e g o r yi nm a cl a n e sv e r s i o n ( s e e 【5 1 ) a c a t e g o r ycc o n s i s i t so fa c o l l e c t i o no fo b j e c t s ，o b ( c ) ，a n dac o l l e c t i o no fa r r o w s ( a l s oc a l l e dm o r p h i s m s ) ，a r ( c ) e a c ha r r o wfh a sas o u r c e ( d o m a i n ) o b j e c ta n d at a r g e t ( c o d o m a i n ) o b j e c tw h i c hi sd e n o t e da sf ：z y b e s i d et h ec o l l e c t i o no fo b j e c t sa n d a r r o w s t h e r ei sg i v e nar u l ef o rc o m p o s i n ga r r o w s ；t h a ti si ff ：z _ ya n dg ：y z ， t h e nt h e r em u s tb ea na r r o wgof ：z _ z a n dt h i sc o m p o s i t i o ni sr e q u i r e dt ob e a s s o c i a t i v e ，fo ( g oh ) = ( fog ) oh f i n a l l y , e a c h o b j e c tx c o m e se q u i p p e dw i t ha tl e a s t a ni d e n t i t ya l t o wi d ：茁_ zs u c ht h a ti d0 = 0i d = f a l lt h ei n f o r m a t i o ni na c a t e g o r yi sc o n t a i n e di nt h ed a t a ( o b j e c t s ，a r r o w s ，c o m p o s i t i o nr u l e so fa r r o w s ) t h u sa c a t e g o r yc a nb ev i e w e da sas p e c i a lk i n do fd i r e c t e dg r a p h ，w h e r eo n eh a st h ea b i l i t yt o c o m p o s et h ea r r o w s c h a p ，r e r1 b a c k g r o u n da n di n t r o d u c l r i o n 3 af u n c t o ri sam o r p h i s mo fc a t e g o r i e s i nd e t a i l ，f o rc a t e g o r i e sca n d 侈，af u n c t o r t ：c _ 召c o n s i s t so ft w or e l a t e df u n c t i o n s ：t h eo b j e c tf u n c t i o nt ，w h i c ha s s i g n s t oe a c ho b j e c tco fca l lo b j e c tt co fba n dt h ea r r o wf u n c t i o n ( a l s ow r i t t e nt ) w h i c h a s s i g n st oe a c ha r r o wf ：c c ，o f ta na n o wr f ：t c t do f 3 i ns u c haw a y t h a t t ( 1 。) = 1 t o ，t ( 9of ) = t g ot ， af u n c t o rw h i c hs i m p l yf o r g e t ss o m eo ra l lo ft h es t r u c n i r eo fa na l g e b r a i co b j e c ti s c o m m o n l yc a l l e daf o r g e t f u lf u n c t o r t os e ei tm o r ec l e a r l y , l e t s s e eo n ee x a m p l e f i r s t ，t h ef o r g e t f u lf u n c t o ru ：g r p _ s e t ( g r p ：o b j e c t sa r eg r o u p s ，a r r o w sa r eg r o u p h o m o m o r p h i s m s ；s e t ：o b j e c t sa r es e t s ，a i t o w sa r ef u n c t i o n sb e t w e e nt h e m ) a s s i g n st o e a c hg r o u pgt h es e tu go fi t se l e m e n t s ，f o r g e t t i n gt h em u l t i p l i c a t i o na n dh e n c et h e g r o u ps t r u c t u r e a n dua s s i g n st oe a c hm o r p h i s mf ：g g 7 t h es a m ef u n c t i o n r e g a r d e dj u s ta sa f u n c t i o nb e t w e e ns e t s g i v e nt w of u n c t o r ss ，t ：c _ 履an a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n7 - ：s _ ti sa f u n c t i o nw h i c ha s s i g n st oe a c ho b j e c tco f ta na r r o w r e = 7 c ：s c _ t co f 召i ns u c ha w a yt h a te v e r ya r r o wf ：c c ，i ncy i e l d sad i a g r a m s c 三t c l s ，i t ， s e _ t d r f ( 1 1 ) w h i c hi sc o m m u t e t oe a c hc a t e g o r yc w ea l s oa s s o c i a t et h eo p p o s i t ec a t e g o r yc 叩t h eo b j e c t so fc o p a r et h eo b j e c t so fc 。t h ea r r o w so fc o pa r ea l t o w sl 郇，i no n et oo n ec o r r e s p o n d a n c e ，_ pw i t ha r r o w sf o f c f o r e a c ha r r o wf ：a _ bo f c ，t h ed o m a i na n dc o d o m a i n o ft h ec o r r e s p o n d i n gf o pa r ea si nf o p ：b _ a n ec o m p o s i t ef o p g o p = ( g f ) o pi s d e f i n e di nc 印s o m ea u t h o r sc a l lc o pt h ed u a lc a t e g o r y c o n s i d e raf u n c t o rs ：c 叩一召i saf u n c t o r b yt h ed e f i n i t i o n i ta s s i g n st oe a c h o b j e c tc c 叩a no b j e c ts co f 召a n dt oe a c ha r r o wf o p ：b zo f c 印o fc 0 pa na r r o w s f ：舶_ s ao f 召，w i t hs ( f 。p g 。p ) = ( s f 。p ) ( s g 。p ) t h ef u n c t o rs od e s c r i b e dc a nb e e x p r e s s e dd i r e c t l yi nt e 肋so ft h eo r i g i n a lc a t e g o r yci fw ew r i t es ff o rs ，印i nt h i s w a ys i sac o n t r a v a r i a n tf u n c t o ro nct o 召t ot h ec o n t r a s t t h ef u n c t o ri nt h eb e g i n n i n g c 4 c h a f f e r1 b a c k g r o u n da n dd 盯r r o d u c l 0 n 4 i sa l s oc a l l e dc o v a l i a n tf u n c t o r i fs ：刃一ci saf u n c t o ra n dca no b j e c to f c ，au n i v e r s a la r r o wf r o mct osi s a p a i r ( r ，钍) c o n s i s t i n go fa no b j e c tro f7 9a n d a na r r o wu ：c _ 跏o f c ，s u c ht h a tt o e v e r yp a i r ( d ，f ) w i t hda no b j e c to f 刃a n df ：e _ s d a na r r o wo f c ，t h e r ei sau n i q u e a r r o wf 7 ：r _ do f l ) w i t hs f 7o 乱= f l e tca n d 歹b ec a t e g o r i e s ( jf o ri n d e xc a t e g o r y , o f t e nf i n i t e ) t h ed i a g o n a lf u n c t o r a ：c _ c js e n d se a c ho b j e c tct ot h ec a n s t a n tf u n c t o ra c ，t h ef u n c t o rw h i c hh a st h e v a l u eca te a c ho b j e c ti 了a n dt h ev a l u e1 ca te a c ha t o wo f 了i ff ：c _ c ，i sa n a r r o wo fc a fi st h en a t u r a lt r a n s f c i r m a t i o na f ：a c a c ，w h i c hh a s t h es a m ev a l u e f a te a c ho b j e c tio f 歹e a c hf u n c t o rf ：歹_ ci sa no b j e c to f c j au n i v e r s a la l t o w ( r ，u ) f r o mf t oai sc a l l e dac o l i m i td i a g r a mf o rt h ef u n c t o rei tc o n s i s t so fa l lo b j e c tr o fc ，u s u a l l yw f i r e nr = c o l i m f ，t o g e t h e rw i t i lan a t u r a l 仃a n s f o r m a t i o nu ：f _ r w h i c hi su n i v e r s a la m o n gn a t u r a lt r a n s f o r m a t i o n s7 ：f _ a c f o r o b j e c t sa a n d b i n t h ec a t e g o r y c t h e h o m - 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u r a ln u m b e r si d e n t i f i e dw i t ht h es e t s n 】= t 1 ，佗) ，a n dt h em o r p h i s m sa l en a t u r a l l y i d e n t i f i e dw i t ht h es y m m e t r i cg r o u p s 。= e n d e ( 【n 】) t h ec a t e g o r yf u n ( e w ，c ) o f c o n t r a v a r i a n tf u n c t o r sf r o m t oci sc a l l e dt h ec a t e g o r yo f 一m o d u l e s n o t et h a ta 一 m o d u l eai sr e p r e s e n t e db yas e q u e n c eo fo b j e c t s ， a ( 【咒】) ) n 1 w ew i l lu s et h en o t i o n a ( n ) i np l a c eo fa ( 【佗】) c h a p t e r 2 o p e r a d s i nt h i sc h a p t e r w eg i v ead i s c u s s i o na b o u to p e r a d s f i r s tw er e c a l lt h ed e f i n i t i o no f m o n o i d a lc a t e g o r y t h o u g hi th e l p st os e eg r a p h i ce x a m p l e so fo p e r a d s ( t w ok i n d st h a t a l ep a r t i c u l a r l yi m p o r t a n ta l et h et r e eo p e r a d sa n dt h el i t t l ec u b e s ( o rd i s k s ) o p e r a d s ) ， w et r yt of o l l o w 111 2 0 21 】t og i v eas t r i c tc o m p l e t ei n t r o d u c