（基础数学专业论文）可约的把柄添加.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 三维流形理论是当前低维拓扑学研究的热点方向之一。目前，关于三维流 形理论的研究主要有代数方法，几何方法和组合方法。在本文中，我们主要采 用的是组合方法。 在三维流形的研究中，组合方法主要是研究流形的h e e g a a r d 分解，d e h n 手术，以及其与流形中的不可压缩睦面之间的关系。而h e e g a a r d 分解，d e h n 手术的问题又可以归结为把柄添加的问题。 继1 9 8 4 年，a c o r d o n 和r l i t h e r l a n d 建立了图论的方法后，在d e h n 手术 的研究中，几乎所有的情况都有了很好的估计。当前，人们把更多的焦点集中 于一般的把柄添加的问题上，尤其是对于分离曲线的把柄添加问题的关注。 m s e h a r l e r m a n n 和y qw u 证明了若m 是双曲流形，卢是m 的一个 亏格大于1 的边界分支上的两条分离的本质曲线，若m ，m f 1 1 都是非双曲 的，则( a ，口) 兰1 4 。在此基础上，对于其中的某些情况，本文中我们得到 了更为精细的结果。即：如果一个双曲的三维流形m ，沿着其上的分离曲线 a ，p 进行把柄添加，如果得到的流形m h ，m z l 都是可约的，那么我们有 陋，卢) 8 。 本文的安排如下： 第一章，我们给出了兰维流形理论的一些基本概念和相关定理。 第二章，我们介绍了图论中的相关概念，定理和结论 第三章，我们给出了本文中心定理的证明。 关键词：把柄添加；双曲流形；d e h n 手术 大连理工大学硕士学位论文 r e d u c i b l eh a n d l ea d d i t i o n s a b s t r a c t n o w a d a y s ，t h e3 - m a n i f o l dt h e o r yi s t h eo n eo ft h eh o t s p o t si nt h er e s e a r c ho f t h el o w d i m e n s i o nt o p o l o g y t o d a y , t h em a i nm e a n so ft h es t u d yo ft h e3 - m a n i f o l d a r et h ea l g e b r a i cm e t h o d ，g e o m e t r i c a lm e t h o d 】a n dc o m b i n a t o r i a lm e t h o d i nt h i s p a p e r ，w em a i n l ym a k e u s eo ft h ec o m b i n a t o r i a lm e t h o d i nt h er e s e a r c ho ft h e3 - m a n i f o l dt h e o r y , t h ec o m b i n a t o r i a lm e t h o dm a i n l ys t u d y t h eh e e g a a r ds p l i t t i n g so ft h e3 - m a n i f o l d s ，d e h ns u r g e r y ，a n dt h er e l a t i o n s h i po ft h e i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e so ft h e3 - m a n i f o l d s a n dt h es a m et i m e ，t h ep r o b l e m so ft h e h e e g a a r ds p l i t t i n g ，d e h ns u r g e r yc a ns u mu p t h ep r o b l e m so ft h eh a n d l ea d d i t i o n s a f t e ra c o r d o na n dr l i t h e r l a n d ss e t t i n gu pt h em e t h o do ft h eg r a p ht h e o r y , a l m o s ta l lo ft h ec a s e sc a nb ew e l le s t i m a t e di nt h er e s e a r c ho ft h ed e h ns u r g e r y a tp r e s e n t ，p e o p l em o r ef o c u st h e i ra t t e n t i o no nt h em a t t e ro ft h eg e n e r a lh a n d l e a d d i t i o n so ft h e3 - m a n i f o l d s ，e s p e c i a l l y ，p e o p l ec a r ea b o u tt h em a t t e ro ft h eh a n d l e a d d i t i o n so ft h es e p a r a t i n gc u r v e s m s c h a r l e r m a n na n dy - qw u p r o v e dt h et h e o r e m ：s u p p o s em i sah y p e r b o l i c 3 - m a n i f 0 1 d ，l e ta ，卢b et h es e p a r a t l yc u r v e so nag e n u s9 1b o u n d a r yc o m p o n e n t o fm ，i fm 【a ，m 吲a r en o n h y p e r b o l i e ，t h e n a ( a ，卢) 1 4 i nt h i s p a p e r ，a b o u ts o m ec a s e s o fg i v e nt h e o r e m ，w ec a no b t a i nt h ef i n e r c o n c h l s i o no i lt h i sb a s e ，n a m e l y ：s u p p o s em i sah y p e r b o l i c3 - m a n i f o l d ，l e t ，卢a r e t h es e p a r a t l ye s s e n t i a lc u e v e 8o ft h es a m eb o u n d a r yc o m p o n e n to fm i fm 【】，m 嘲 & r er e d u c i b l e ，t h e n ( n ，卢) 8 t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e rs sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ee x p t i a t et h eb a s i cd e f i n a t i o n sa n dt h e o r e m so f3 - m a n i f o l d s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ee x p t i a t et h eb a s i cd e f i n a t i o n sa n dc o r r e l a t i v ec o n c l u - s i o n so ft h eg r a p ht h e o r y i i i 可约的把柄添加 i nt h el a s tc h a p t e r ，w ep r o v et h ec e n t r a lt h e o r e mo ft h ew h o l e p a p e r k e y w o r d s # h a n d l ea d d i t i o n ；h y p e r b o u em a n i f o l d ；d e h ns u r g e r y i v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或 其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：拯日期：丝堕：! ： 大连理工大学硕士学位论文 引言 三维流形理论是当前低维拓扑学研究的热点学科之一。目前，关于三维流 形理论的研究主要有代数方法，几何方法和组合方法。组合方法主要是研究三 维流形的d e h n 手术的性质，h e e g a a r d 分解以及其与流形中不可压曲面之间 关系的研究。1 9 2 2 年p h e e g a a r d 证明了任意紧致的三维流形都有h e e g a a r d 分 解。1 9 6 2 年，l i c o r i s h 在f 5 】中证明了任意可定向的闭三维流形均可通过在三 维球面实施d e h n 手术而得到，这就使得组合方法在三维流形研究中起到了重 要作用。h e e g a a r d 分解，d e h n 手术的问题又都可以归结为把柄添加的问题。 关于双曲流形的研究，一直以来都是拓扑学家比较感兴趣的问题。t h u r s t o n s 证明了一个h a k e n 流形是双曲流形，当且仅当这个流形是不可约的，边界不 可约的，不含有本质圆环和不含有本质环面的流形。这就使得人们可以用组 合方法来研究双曲流形。人们关心什么样的把柄添加会把一个双曲流形变成 非双曲流形( 这样的把柄添加称为是退化的把柄添加) 和有多少退化的把柄添 加。人们通过几何相交数的概念来估计退化的把柄添加的个数。对于一类特 殊的把柄添加，即在环面分支上作的把柄添加，称为d e h n 手术1 9 8 4 年， a c a s s o n 和r l i t h e r l a n d ( 参考文献【4 i ) 建立了图论的方法。这一方法后来被 广泛的应用到d e h n 手术的研究中。几乎将所有情况都给出了很好的估计。 设m 是双曲流形，并且有一个环面边界分支t 2 ，a ，p 是其上的本质的 曲线，设m 嘲，m 恻是沿着卢作d e h n 手术得到的流形。 如果：m h 和m 悯都是可约的，cg o r d o n 和j ，l u e c k e 证明了( o ，卢) 曼 1 ，见参考文献 6 。 如果：m 【a 】是可约的，m 例是边界可约的，m s c h a r l e m a n n 证明了 ( a ，卢) 0 ，见参考文献【7 】。 如果：m 【a 】是可约的，m 含有本质圆环的，y - q w u 和r u i f e n g q 分 别独立证明了( a ，卢) 2 ，见参考文献【8 1 9 】。 如果：m 蚓是可约的，m 旧含有本质环面的，s o h ，y q w u ，分别独 1 可约的把牺添加 立证明了证明了( ，国3 ，觅参考文献【1o 】，( 1 1 】。 如果：m a 】和m 矧都是边界可约的，y - q w u 证明了( o ，p ) 1 ，见 参考文献【1 2 】_ 如果：m 川是边界可约的，m 含有本质圆环的，c h a y a s h i 和k m o t e g i ，c ，g o r d o n 和y - q w u 分别独立证明了( n ，刃2 ，见参考文献( 1 3 1 ， 1 4 】。 如果：m 是边界可约的，m 含有本质环面的，c h a y h i 和k m o t e g i ，c g o r d o n 和j l u e c k e 分别独立给出证明了( o ，卢) 兰2 ，见参考文献 【1 5 】。 如果：m 叫和m 矧都含有本质圆环，c g o r d o n 和y q w u 证明了 ( 卢) 5 ，见参考文献【1 6 】，【1 7 】。 如果：m 江】含有本质圆环，m 捌都含有本质环面，c g o r d o n 和y - q w u 证明了( d ，p ) 5 ，见参考文献( 1 6 ，【l7 】 如果：m a 1 和m 渊都含有本质环面，c g o r d o n 证明了( n ，卢) 8 ，见 参考文献 1 6 j 。 虽然对于d e h n 手术的研究，人们研究得比较透彻，但对于一般的把柄添 加问题，则相关结果较少。事实上有例子表明有三维流形，在其上可以做无数 种退化的把柄添加。m s c h a r l e m a n n 和y qw u 于1 9 9 3 年在1 3 】中证明了虽然 有无数种退化的把柄添加，但是有很多的不分离的退化曲线都是和某些分离 的退化曲线共面的。而分离的退化曲线只有有限条。这就使得人们开始关注沿 着分离曲线做的把柄添加。在f 3 】中m s c h a r l e m a n n 和y - qw u 证明了：若m 是双曲流形，a ，卢是m 的一个亏格大于等于2 的边界分支上的两条分离的 本质曲线，若m i n i ，m 【翻都是非双曲的，则( 。，卢) 1 4 在3 1 中，m s c h a r l e m a n n 和y - qw u 只是对所有的情况作了一个大致的 估计。而在本篇论文中，我们证明了：如果一个双睦的三维流形m ，沿着其 上的分离的曲线n 、p 进行把柄添加，如果得到的流形m i n i ，们悯都是可约 的，那么我们有( 。，卢) 兰8 。这是关于此类问题的一个有益的尝试。 本文所用的方法主要是图论的一些方法。( 见参考文献1 8 ) 2 大连理工大学硕士学位论文 本文的结构如下： 在第一章里给出了三维流形理论方面的相关的定义。 在第二章里列出了图论的一些相关概念 在第三章里给出定理的证明。 在本论文中，如果不加特殊说明，我们用d 表示2 维圆盘。用b 3 表示 三维球，s 2 表示二维球面，s 3 表示三维球面，记j = i o ，l l ，记? 2 为二维环 面 3 大连理工大学硕士学位论文 第一章三维流形基础 本章给出三维流形中的一些基本概念、定理和结果这些主要是为了后继 讨论作准备 1 1流形的定义 定义1 1 1 设是m 一个h a u s d o r f f 空间，如果m 中的每个点都有邻 域同胚于r ”，则称肘是一个n 维流形，为肘的维数，记为d i m m = 。 定义1 1 2如果m 中每一点都有一个邻域或同胚于形，或同胚于 r = 扛= ( x l ，x 2 ，x n ) ：墨 o ，i = 1 ，2 ，札) ，则称m 是一个挖维带 边流形。记所有邻域同胚于冗! 的子集为o m ，称之为m 的边界。注意， o m 也是一个流形，a 8 m = b ，并且d i m o m = d i m m 一1 定义1 1 3 如果m 是紧致的无边流形，则称m 是一个闭流形 蜘如：s 2 ，严等。 n = 2 的流形我们称之为二维流形，记作2 流形，也就是常说的曲面。 n = 3 的流形我们称之为三维流形，记作3 一流形，也是我们重点的研究对 象。 正如曲线在研究曲面过程中发挥了重要作用一样，了解3 一流形中的曲 线、曲面对于了解3 一流形本身是十分重要的。 定义1 1 4 设m 是一个n 一维流形t 称s 是m 的一个m 维子流形，若s 中每一点均有一个邻域u ，使得 ( 以u n s ) 同胚于标准对( 舻，r “) ，称，：s m 是一个嵌入，若，是从s 5 可约的把柄添加 到m 的子流形，( s ) 的同胚。 定义1 1 5 假定m 是一个3 一流形； ( 1 ) 设岛，是m 中的两个( 嵌入) 曲面，称s 1 和& 在m 中处于一 般位置( 或横截相交) ，若它们的相交任意局部均如图1 1 1 所示 图l l l ( 2 ) 设s 是m 中的一个( 嵌入) 益面，c 是m 中的一条简单闭曲线， 称s 和e 在m 中处于一般位置( 或横截相交) ，若它们的相交任意局部均如 图1 1 2 所示 。 6 大连理工大学硕士学位论文 图1 1 2 定义1 1 6 设s 是m 中的一个嵌入曲面，若o sco m ，i n t sci n t m ， 则称s 是m 中一个真( 嵌入) 的曲面 定义1 1 7 设m 是一个3 一流形，若h ：m xi m i 是一个同 胚，并且对每个t j ，h ( x ，t ) = ( 甄( 盘) ，亡) ：m 斗m 均为同胚，则称日为 从z 南到皿的合痕( 或同痕) 对于m 中的曲面岛，& ，如果存在合痕日， 使得h o = i d m , h l ( s o ) = s 1 ，则称s o 和冀是合痕的 7 可约的把柄添加 1 2曲面上的曲线 在第一节中，我们已经对于三维流形作了大致的介绍，从本节起，我们将 对三维流形的各部分内容作系统细致的介绍正如盖屋要需要从砌砖开时一 样，我们先从最基础的部分一一蓝面上的蓝线进行介绍。 定义1 2 1 设。是曲面f 上的真嵌入的曲线段，如果存在f 的边界上 的曲线段e 。使得o e = o a ，并且a 与e 界定f 上的圆盘，则称a 为曲面f 上的平凡的曲线段，也可称作曲线段b 在曲面f 上是平凡的 定义1 2 2 设a 是曲面f 上的真嵌入的曲线段，如果不存在f 的边界 上的曲线段e ，使得a e = 钆，并且n 与e 界定f 上的圆盘，则称。为曲面 f 上的本质的曲线段，也可称作曲线段。在曲面f 上是本质的 如图1 2 1 所示：忱是平凡的，口l ，0 3 是本质的。 图1 2 1 定义1 2 3 设c 是曲面f 上的真嵌入的闭曲线，如果c 在f 上界定圆 盘，则称c 为曲面f 的平凡闭曲线，也称作闭衄线c 在曲面f 上是平凡的 否则称闭曲线c 为曲面f 上的本质闭曲线。 如图1 2 2 所示：c 1 是平凡的，c 2 ，c 3 是本质的。 8 大连理工大学硬士学位论文 f 图1 2 2 定义1 2 4 令a ，卢为三维流形m 上的睦线，我们将q ，声在合痕意义下 最少的交点的个数称作a ，卢几何相交数，记作：( a ，卢) 。 如图1 2 ，3 所示，a 和卢的几何相交数为4 0 cb 图1 2 3 9 可约的把柄添加 1 3三维流形中的曲面 n 一1 维流形的性质的研究对于n 维流形的研究是十分重要的。所以对于 三维流形的学习来说，有必要了解一下二维流形( 即曲面) 的相关知识。 定义1 3 1 设m 是一个三维流形，f 是m 中一个真嵌入的曲面或者 fc o m 如果下面的任意一种情况发生z ( 1 ) f 为o m 上的圆盘或f 为m 中的真嵌入圆盘，并与o m 上的圆盘 界定m 中的实心球； ( 2 ) f 为m 中的平凡球面； ( 3 ) 存在着m 中的圆盘d ，使得d n f = o d ：并且o d 不界定f 中的圆 盘( 如图1 3 1 所示) 我们将f 称作在流形m 为可压缩的，我们通常称第三种情况下的圆盘 为流形m 的压缩圆盘。 如果f 在m 中不为可压缩的，则我们称曲面在流形m 中为不可压缩 的。 m 中一个可压缩曲面f 可通过如下方式加以简化t 1 ) 舍弃所有非本质的二维球面和与边界平行的圆盘； 2 ) 若存在f 在m 中的一个压缩圆盘d ，如图1 3 1 所示取d 在m 中的一个同胚于dx ，的邻域，使得( dxi ) nf = ( o d ) ，令f = f = 硒西f 玎u ( d o i ) ，如图1 3 2 所示，则f 是m 中比f 简单的曲面 通常称f 是f 沿d 在m 申压缩而得到的。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 fd 图1 3 1 f d x 0 d x i 图1 3 2 注意：一个不可压缩曲面是不毹按上述方式简化的。 定义1 3 2 设m 是一个带边的三维流形，f 是m 中的一个真嵌入的 曲面，a f 0 ，若存在m 中的一个圆盘d ，使得d n f = n 是a m 上的一 段弧，d n a m = p 是a d 上的另一段弧，满足a n 卢= 她= ，并且或者 d 不分离f ，或者血分离f 所得的两个分支均不是圆盘，则称f 在m 中是 边界可压缩的，此时也称d 是m 的一个边界压缩圆盘。通常，m 中的一个 边界平行的圆盘也被称为边界可压缩的。 1 1 可约的把柄添加 f 图1 3 3 若f 在m 中不是边界可压缩的，则称f 在流形m 中是边界不可压缩 的。 设掰是一个三维流形，s 是膨中的一个闭凿面，分离m 为m 1 ，m 2 。 设f 是m 中的一个曲面，与s 处于一般位置。记f = f n m l 。假设f ，在 m 1 中是边界可压缩的，d 是f 的一个边界压缩圆盘。如图1 3 4 所示： f 图1 , 3 4 在m 中沿着_ d 如下图所示合痕移动f 得到曲面f 1 ，称f l 是f 在m 中沿着d 作一个合痕所得的曲面，如图1 3 5 所示： 1 2 大连理工大学硕士学位论文 图1 3 5 可约的把柄添加 1 4三维流形的构造 三维流形是低维拓扑的主要研究对象，但是三维流形的情况是极其繁琐 的，单纯的给出一个三维流形，它的性质可能十分复杂，不易于了解。如果给 出某些性质，并且能够通过这些性质对三维流形进行分类，一类比较复杂，另 一类比较简单，并且复杂的流形可以用简单的流形通过某种方式进行构造， 那么，只要我们知遭了简单流形的性质及其相互之间的连接方式，则可以间接 的了解复杂流形的性质，这便给我们对于整个三维流形的研究带来了很大的 便利本节便是依照此原则，给出了三维流形的可约性，不可约性，边界可约 性，边界不可约性，连通和与边界连通和等概念，以此来初步介绍一下三维流 形的构造， 定义l 4 1 设m 是一个三维流形，s 是m 中的一个二维球面，若s 不是必中的一个实一5 - 球的边界，则称s 是m 中的本质的球面。 定义1 4 2 设m 是一个三维流形，s 是m 中的一个二维球面，若s 是m 中的一个实心球魄边界，则称s 是m 中的平凡的球面 定义l 4 3若三维流形m 中存在着本质的球面，我们就称流形m 是 可约的 定义1 4 4 若三维流形m 中没有本质的球面，我们就称流形m 是不 可约的。 定义1 - 4 5 设m 是一个三维流形，m 中有一个二维球面分离m 为两 个三维流形i ，2 ，令= lub 3 ，a 岛= 2ub 3 ，则我们称m 是尬与 如的连通和，记作m = 尬带m 2 。 显然，对于任意的流形m ，均有m = m # s 3 。 定理1 4 6 ( m i l n o r 定理) 任意三维流形m 均可以表示为m = 妈岿她社搀m 靠 其中慨“= 1 ，2 ，n ) 为不可约流形，且在同胚意义下是准一确定的。 通过连通和的定义，我们可知任意一个三维流形均可以通过不可约流形 1 4 大连理工大学硬士学位论文 进行构造，从而不可约流形为类基本流形，其它流形可由不可约流形相粘得 到，所以对于不可约流形的性质的了解对于整个三维流形体系的研究具有巨 大的帮助。 定义1 4 7 如果带边的三维流形m 的边界0 m 是可压缩的，则我们称 流形盯是边界可约的。其边界的压缩圆盘称为m 的边界压缩圆盘。 定义1 4 8 如果带边的三维流形m 的边界8 m 是边界不可压缩的，则 我们称流形m 是边界不可约的。 定义1 4 9设m 是一个边界可约的三维流形，则m 中有一个分离的 边界压缩圆盘d ( 如图l 4 i ) ，将艏分为两个三维流形蝎，捣，则我们称似 是尬与蝎的边界连通和，记作m = 胍社o m 2 。 m m 1 图1 4 1 定义1 4 1 0设m 是一个边界可约的三维流形，则m 中有一个不分 离的边界压缩圆盘d ，沿d 将m 切开，得到流形m = m i n t n ( d ) ，则 1 5 可约的把柄添加 我们称m 是m 的边界自连通和，记作m = # a m 7 。如图1 4 2 所示。 图1 4 2 定义l ：4 1 1 设f 是m 中真嵌入的曲面，如果沿着f 把m 切开，得 到的流形m = m i n t n ( f ) 有一分支是同胚于f i ，则我们称f 是平行 于边界的。否则称f 是不平行于边界的。 定义1 4 1 2 设f 是m 中真嵌入的曲面，如果f 是不可压缩的、边界 不可压缩的并且是不平行于边界的，则我们称f 是m 中的本质豹馥面。 定义1 4 1 3 如果m 中不含有本质的圆环，则我们称m 是不含有本质 圆环的。 定义l 。4 。1 4 如果m 中不含有本质的环面，则我们称m 是不含有本质 环面的。 设a 是m 中真嵌入的圆环，如果a 是可压缩的，则a 压缩后构成丁m 的边界压缩圆盘。如果a 是平行于边界的，则沿着a 把m 切开，得到两个 流形，一个同胚于ax _ ，一个同胚于m 本身当a 是m 中的本质的圆环 】6 大连理工大学硕士学位论文 时，和边界可压缩的情况作类比，我们知道沿着a 把m 切开，则得到的流形 ( 要么有两个分支要么有一个分支，这取决于a 在m 中是不是分离的) 要比 m 简单。 同样的，如果设m 是不可约的，边界不可约的，不含有本质圆环的，但 含有本质的环面。那么m 同样有一个以环面为分界的分解。 1 7 大连理工大学硕士学位论文 第二章图论及其相关结果 三维流形的研究，很大程度上依赖于对图形的直观观察能力，因为三维流 形已经超出了人们的想象能力，这样对于三维流形的整体把握会有一定的难 度，所以在三维流形的研究中，我们往往着重于对流形的局部研究，如流形中 嵌入的曲面，监面与曲面的相交等。因此，我们常把对三维流形的研究转化为 对于曲面上的图的研究，所以图论的某些方法及结论对于三维流形的研究与 发展具有巨大的推动作用。例如图论在d e h ns u r g e r y 方面的应用，扭结的研 究等。故这里有必要将图论的某些基本概念及一些基本结论在文章中加以介 绍。 一 2 1基本概念 定义2 1 1 图的定义： 设v ( r ) 一 1 ，v 2 ，) 是一个非空有限集合，e ( r ) = e l ，e 2 ，e q ) 是与v ( r ) 不相交的有限集合。一个图r 是指一个有序三元组( 矿( r ) ，e ( r ) ，毋( r ) ) 其中皿( r ) 是关联函数，它使e ( r ) 中的每一个元素对应于v ( r ) 中的无序元 素对( 可以相同) 。 图r = ( y ( f ) ，e ( r ) ，皿( r ) ) 中，v ( r ) 和e ( r ) 分别称为r 的顶点集合和 边集合。v ( r ) 中的元素称为r 的顶点，e ( r ) 中的元素称为r 的边。 通常我们将图r = ( y ( r ) ，曰( r ) ，( r ) ) ，简记为f = ( y ( r ) ，e ( r ) ) 或 r = ( k e ) 或r 。 1 9 可约的把柄添加 定义2 1 2 嵌入图：图可以用曲面上的点和曲线段表示，把e ( f ) 中的 点用曲面上不同的点相对应，把v ( r ) 的边用曲面上的连接相关顶点的越线 段表示。并且边与边之间只在顶点处相交，如果存在这样的表示，则称这种表 示为图在曲面上的一个嵌入或嵌入图如图2 1 1 所示，是一个环面上的嵌入 图。 图2 。1 1 定义2 1 3 设r 是f 上的嵌入图，则f f 的连通分支被称作是r 的 面 定义2 1 4 球面图t 球面上的嵌入图称为球面图。 在接下来的讨论中如果不加特殊说明，本文出现的图均视为球面图。 定义2 1 5有限图：如果一个图f 的顶点集y ( r ) 和s ( r ) 都是有限 集，厦9 该图成为有限图，否则称为无限露。 定义2 1 6 环t 两个顶点重合为一个顶点的边称为环。 如图2 1 2 所示，e 4 为一个环。 大连理工大学硕士学位论文 图2 1 2 定义2 1 7 度数： 图r ( ke ) 中与顶点相关联的边数( 每个环计算2 次) ，称为顶点的度数 记为d ( v ) 。 如图2 1 2 所示；d ( v 1 ) = 2 ，d ( v 2 ) = 2 ，d ) = 7 ，d ( v 4 ) = 3 。 2 1 可约的把柄添加 2 2 球面图的格关概念 在上一节中我们定义了球匿图的概念，在这节中，我们进一步介绍一下球 面图的性质 定义2 2 1如果从i 、的一个顶点出发，不重复的经过若干条边又回到 出发点，则经过的边被称为环路，也成为圆周新闻经过的边的条数n 被称 作为环路的长度，也称为长度为n 的圆弼 如图2 2 1 所示，8 l ，旬，e 3 构成了长度为3 的圆周， e 4 构成了长度为 1 的圆周，而e 5 ，8 4 ，e 7 构成了长度为3 的匿厨。而8 5 ，e 6 构成了长度为2 的圆 甩。 图2 2 i 注意到长度为1 的圆周就是环。 定义2 2 2 如果边e 为r 的长度为1 的圆周，并且e 在球面上界定圆 盘d ，i n t d 不含有f 的其他顶点，则我们将d 称作单边面。如图2 2 2 中 d 1 。 2 2 太连理工大学硕士学位论文 图2 2 2 定义2 2 3 如果c = e ，ue 2 为长度为2 的圆周，并且界定球面上的圆 盘e ，i n t e 不含有1 1 的其它顶点，此时e l ，e 2 被称作是平行的。 定义2 2 4 如果e - 与e 2 是平行的，并且界定球面上的圆盘e ，i n t e 不 含有r 的其它边，此时e 被称作双边面。如图2 2 ，2 中d z 。 定义2 2 5 - 如果f 为球面上的有限图，如果将r 的每一组相互平行的 边由一条边代替，这样得到的图我们称之为r 的约化图，通常记作r 7 。 2 2 1 的约化图如图2 2 3 所示： 。2 忙 图2 2 3 2 3 可约的把柄添加 定理2 2 6 如果r 为没有单边面的图，工1 为r 的约化图，则在一至 少存在一个顶点，它的度数至多为5 。 证明：我们用e ，f ，v 7 分别表示f 7 的边的个数面的个数及顶点 的个数这里我们不妨假设r 为连通图( 如果r 不连通的话，我们n 上- - 边，使之变为连通图) 假设r ，的每一个顶点的度数至少为6 。由题设r ，中无单边面，同时我们 知道一条边上有两个端点，则可得2 e 6 v 7 。 又因为r ，中无单边面和平行边。则每一个面至少由3 条边构成。又因为 球嚣上的一条边在相邻的两个面上，则可得2 e 7 3 f 。 由球面图的e u l a x 公式；2 = v 一e 4 - f v 3 e 一e 4 - 2 3 e = 0 ，矛 盾。 所以定理成立 推论2 ，2 , 7令f 为球面上的无单逸面的有限图，对于任意整数n 2 ， 如果r 的任意顶点的度数大于5 m 一1 ) ，则1 1 一定有仲条相互平行的边。 大连理工大学硕士学位论文 第三章可约的把柄添加 在前两章的理论基础上，我们进入本文的主体部分：即可约的把柄添加的 论述 3 1把柄添加 在本章中所有的三维流形都假定为可定向的。 定义3 1 1 添加1 - h a n d l e ，2 一h a n d l e ，3 一h a n d l e ： 设m 是一个带边的三维流形，设d i 按照以下方式粘到m 的边界上： ( 1 ) 1 一h a n d l e ：如图3 1 1 所示把dx o ，d 1 ) 粘到o m 上，称为是往 m 上添加1 - h a n d l e 。 md xl 图3 1 1 ( 2 ) 2 一h a n d l e ：如图3 ，1 2 所示把o d i 沿着o m 上的一条简单闭曲线c 的正则邻域粘到o m 上，称为是往m 上沿着嘲加2 - h a n d l e ， 2 5 可约的把柄添加 m 图3 ：1 2 f 3 ) 如果m 的边界有一个分支是铲，则沿着铲粘一个伊，称为是往m 上添加3 - h a n d l e 定义3 。1 。2 设a 先a 豁上的舍痕类，在m 上沿着添翅2 - h a n d l e ， 并沿着因加2 - h a n d l e 而可能产生的球面分支添加3 - h a n d l e ，我们称此操作为 在m 上沿着o f 作把柄添加，并把得到的滤形记作m b l 。 _ 二一 图3 1 3 定义3 1 3 如果在上面定义中a 为o m 的环面分支上的合痕类，添加 2 - h a n d l e 就相当于在m 上沿着。添加固体环，这时的把柄添加称作在m 上 沿着a 作d e h n f i l l i n g 。 另：本章若无特别指出，则所有曲线均可视为合痕类。 2 6 大连理工大学硕士学位论文 3 2 双曲流形 定义3 2 1 如果可定向的三维流形m 为不可约的，并且含有可定向的 不可压缩的曲面，则我们称m 为h a k e n 流形。 定义3 2 2如果m 是一个h a k e n 流形( 特别地，o m 不含有球面分 支) ，如果m 为不可约的，边界不可约的，不含有本质平环的和不含有本质 环面的流形，则我们称m 为双曲流形。 定义3 2 3 如果m 为双曲流形，m m 不为双曲流形，那么将此把柄 添加或d e h nf i l l i n g 称作退化的把柄添加或退化的d e h nf i l l i n g ，将a 称为退 化曲线。 从双曲流形的定义，我们不难看出，双曲流形不能用本质球面，本质圆 盘，本质平环及本质环面进行分解，从某种意义上说，双曲流形是比较简单基 本的流形，其他流形可由双曲流形通过不同的方式相粘而获得，可见对于双曲 流形的性质的研究，对于整个三维流形的研究具有重要的意义。 一 可约的把柄添加 3 3可约的把柄添加及相关结论 定义3 3 1 设a ，卢为曲面f 上的曲线，如果f n u 卢的某些分支是 平环或是有一个洞的平环，则a ，卢被称作是共面的。 如图3 ，3 1 所示，n ，与风是共面的，n 2 与岛是共面的，但a l 与毗，侥 不共面，岛与。，岛也不是共面的。 图3 3 1 在m a r t i ns c h a r l e m a n n 和吴应清在 3 1 中已有例子表明，存在三维流形 其上可作无穷种退化的把柄添加。在这些退化曲线中，大部分的曲线都与某些 分离曲线共面，所以研究分离的退化l 街线具有重要意义。 定义3 2 3 设p 为流形船上的可展曲面，如果，( g p 的任一边界分支 均平行于口，则它们必在船中界定圆盘，用m 中的互不相交的圆盘把 a p 的所有分支都堵上，则我们得到m 陋】的曲面p 。如果p 为m m 的可 约球面，那么我们称p 为原始可约曲面。 目i 理3 3 3 如果m m 是可约流形但边界不可约的流形，那么肼中存 在本质的可展曲面，并且其边界分支均平行于。 证明：因为m h 为可约流形，则一定存在原始可约曲面p ，我们适当的 大连理工大学硕士学位论文 选取p ，使得p 的边界分支数最小。 则p 为不可压缩的。 若不然，假设p 为可压缩的，则存在压缩圆盘d ，沿着d 将j p 进行压缩 变换，得到曲面p ，p ”，如图3 3 3 所示。则p 7 ，p ”中至少有一个为原始可 约曲面。而且有l a p ，| l o p l ，l o p ”l i o p i ，这与p 的选取矛盾，故p 为 不可压缩曲面。 d 图33 3 并且p 为边界不可压缩的，若不然，假设p 是边界可压缩的，则存在边 界压缩圆盘d ，o d = u u ，其中u o m ，( v ，o v ) ( p ) o p ) 。因为p 不可压 缩，则不能台痕于o f ( 平行于边界的) 。即( u ，砒) 在( o m ，a p ) 上本质。这 时，u 可为下面的两种情况： ( 1 ) 的两个端点落在p 相邻不同的分支a 只与职+ - 上。如图3 3 4 所 示 2 9 可约的把柄瀑加 a p 2 o i = 1b p i 卵n 。 图3 3 4 沿着d 对p 作边界压缩运算，得到的曲面记为p ，且p 7 新韵边界分支 在m 上是平凡的，则我们甩m 中的平凡圆盘将其堵上，如此得到的曲面 记为p 用命代替p ，则i p i i p l ，与p 的选取矛盾 ( 2 ) u 的两个端点落在p 相同的分支上( 落在a l p 或以。p 上) 。如图3 35 所示 o p 2 o p lo p i a p n 。 图3 3 5 同样的，我们还是沿着d 对p 作边界压缩运算，得到的曲面记为p 7 ，则 3 0 大连理工大学硕士学位论文 p 有两个分支，且尸7 新的边界分支在m 上是本质的，从而p 7 每一个分支 都独立构成了m a 】的一个边界压缩圆盘这与m 【n 】是边界不可约的矛盾。 证明完毕 现在对o p 的分支，按照它们在o m 上出现的顺序进行编号：0 1 p ，岛p ， ，氐。p ，即晚p 与晚+ 。p 之间界定m 上的一个平环。如图3 3 6 所示。 a p 2 a p 泸 图3 3 ，6 类似的，我们对a q 进行标号。 定义3 3 4 令尸为三维流形中的处于一般位置的真嵌入的曲面，如果 满足下面条件t( 1 ) l o pno q l i o p na 国亿对任意的曲面q 合痕于0 ； ( 2 ) i 尸n o fsi p n q 化对任意的曲面q 合痕于q 我们称p ，q 处于最小相交位置。我们把鼠p ，a q 的交点记为( 玖设 p 与0 处于最小相交位置，关于标号我们有如下引理 引理3 3 5 设p 与q 处于最小相交位置，在& p 上j 嘎时针走一圈，标号 依次为( “，1 ) ，( u ，2 ) ，( “，n 口) ，( u ，即) ，( “，2 ) ，( “，1 ) ，重复出现( 。，卢) 2 次如图3 3 。7 所示： 3 1 可约的把柄添加 i i + 1 j 图3 3 7 证明：给吼p 一个定向，假设在这个定向下，乱p 从a 一1 0 的一侧经 过旌0 ，则接下来鼠p 必与a 十1 q 相交。若不然，设其还与磊q 相交，则我 们可以同过合痕，来减少鼠p 与最q 的分支数，与p 与勺处于最小相交位 置矛盾 当吼p 由巩。一1 q 的- - n 经过吼。q 时，因为口是分离的，即磊，q 是分 离的，巩p 只能和晶。q 再相交 回上，当a 。p 从a + 1 q 的一侧经过晓q ，则接下来吼p 必与鼠一1 q 相 交。当吼p 由侥q 的一侧经过a q 时，乱p 接下来只能和。l q 再相交。 因此标号只能以( u ，1 ) ，( 扎，2 ) ，( “，即) ，( “，即) ，( 就，2 ) ，( “，1 ) ，的顺 序重复的出现。 我们还知道a p 的每一个分支与a q 的每一个分支都交于( o ，p ) 次，因 此引理得证。 定义3 3 6 在民p 上，如果l ，2 ，竹。沿着逆时针出现，我们称之为 正序列。反之，如果1 ，2 ，沿着顺时针出现，我们称之为负序列。 则由弓f 理3 3 4 我们知道在吼p 上，正负痔列交替出现 对于p 与q 的相交的睦线段，我们同样也可以给与同样的标号记( u ，i ) - ( v ，j ) 表示曲线段的顶点一端是( 让，i ) ，另一端是( ”，j ) 。 3 2 大连理工大学硕士学位论文 为了研究的需要，这里我们仿照g o r d o n ，l i t h e r l a n d 的方法，把我们的问 题转化为图论的问题由上面的讨论可知，m 卅为可约的三维流形时，令p 为m m 的本质的= 维球面，贝唾p = p nm 为m 的一个可展曲面，且有p 的每一个边界分支在o m 上都是平行于a 的。同样，若m f 1 也为可约流形 的话，也存在着可展曲面q = q n m ，( q 为m 口 中的本质球面) ，其边界分 支平行于卢。由曲面的一般化位置理论可知，p n q 为一些圆圈和瞳线段 此时我们把注意力集中在p n 0 的曲线段分支上，这些曲线段都连在o p 上，如果把o p 的每一个分支都看成一个点的话，那么这些曲线段和点就构成 了一个球面图r 尸，如图3 3 8 所示同理由q 也可以得到一个球面图。 图3 3 8 这样我们就可以把我们研究的某些问题转化为图论的问题进行讨论。 引理3 3 7 设p ，q 为双曲流形中的本质曲面，且p 与q 处于最小相 交位置，则r p 与r 。没有单边面 证明：若不然，即r p 或r 。中存在着单边面，不妨设r p 存在着单边面 d ，线段e = o d ，则由f p , f o 的定义可知，e 也在上，则e 有两种情况： ( 1 ) e 在q 上是的本质的； ( 2 ) e 在q 上是平凡的，此时a e 一定落在q 的同一分支上 3 3 可约的把柄添加 隆一 淄 图3 3 1 0 3 4 大连理工大学硕士学位论文 若e 为o m 中的本质圆盘，则与m 为边界不可压缩的流形矛盾； 若e 为a m 中的平凡圆盘，则可知c 与c ，在a m 上合痕，从而可以通 过合痕减小p 与q 的分支数，与p ，q 处于最小楣交位置矛盾。 所以r p 中不含有单边面。 同理可知r 。中也不含有单边面，引理得证。 引理3 3 8 设m 为不可约、边界不可约的三维流形，设p ，0 为m 中 的处于最小相交位