（基础数学专业论文）有限群超可解的若干充分条件.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 有限群超可解的若干充分条件 基础数学专业硕士研究生史东风 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 关于有限超可解的研究已经比较成熟了，在前人的努力下许多群超可解的判定 定理已经给出其研究方法主要有以下几种t ( 1 ) 从群g 的阶去考虑，来证明群g 超可解 ( 2 ) 从群g 的生成元个数考虑，来证明群g 超可解 ( 3 ) 假设群g 的某些特殊子群具有某种性质的情况下。如t 半正规性，拟正规 性，弱拟正规性等，来证明群g 超可解 ( 4 ) 关于两个有限超可解群a ，b 之积g 的超可解性问题 本文在已有结论的基础上，在较弱的条件下得出了一系列新的结果，推广了现 有的一些结论 第一部分t 利用半正规，s 一拟正规和弱拟正规的概念，在较弱的条件下得到 了若干群超可解的充分条件主要有定理2 1 一一定理2 9 第二部分t 主要讨论丁两个超可解群 ，b 之积g 的超可解睦问题在较弱的 条件下得到了若干g 为超可解群的结论，这些结果推广了现有的一些结果主要有 定理3 1 一定理3 6 关键词，半正规；拟正规；5 r _ 拟正规；弱拟正规；超可解 西南大学硕士学位论文英文摘要 s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tt h es o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e np r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：d o n gf e n gs h i a b s t r a c t t h es t u d yo fs u p e r s o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p sh a sam o r em a t u r e i nt h ep a s t m a n yo ft h e o r e mt od e t e r m i n eag r o u ps u p c r s o l v a b l eh a db e e ng i v e na tt h ee f f o r t so f o u rp r e d e c e s s o r s i t sr e s e a r c hm e t h o d sa x em a i n l yt h e f o l l o w i n g ： ( 1 ) c o n s i d e r i n gt h eo r d e ro fg r o u pgt h e nw ep r o v et h a tt h eg r o u pg i ss u p e r - s o l v a b l e ( 2 ) c o n s i d e r i n gt h en u m b e ro fg e n e r a t o r so fg r o u pgt h e nw ep r o v et h a tt h e g r o u pg i ss u p e r s o l v a b l e ( 3 ) t h ea s s u m p t i o nt h a ts o m es p e c i a ls u b g r o u p so fgw i t ht h en a t u r eo ft h e c i r c u m s t a n c e s ，s u c ha s ：s e m i - f o r m a l ，q u a s i n o r m a la n dw e a kq u a s i n o r m a le t c ，t h e n w ep r o v et h a tg r o u pg s u p e r s o l v a b l e ( 4 ) t h ep r o b l e mo ft h es u p e r s o l v a b i l i t yo ft h ep r o d u c tgo ft w of i n i t es u p e r s o l v - a b l eg r o u p saa n db i nt h i sp a p e rs o m en e wr e s u l t sa r cp r o v e nu n d e rs o m ew c a kh y p o t h e s e so nt h e b a s eo ft h ek n o w nr e s u l t s ，t h e s er e s u l t sg e n e r a l i z et h ea v a i l a b l eo n e s i nt h ef i r s ts e c t i o nw eo b t a i n e ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs u p e r s o l v a b l eg r o u p s b yu s i n gt h ec o n c e p to fs e m i n o r m a l 、s - q u a s i n o r m a l i t ya n dw e a k l yq u a s i - n o r m a l i t y u n d e rs o m ew e a kh y p o t h e s e s m a i nr e s u l t sa r et h e o r e m 2 1 一t h e o r e m 2 9 i nt h es e c o n ds e c t i o nw ed i s c u s s e st h ep r o b l e mo ft h es u p e r s o l v a b i l i t yo ft h e p r o d u c tg o ft w of i n i t es u p e r s o l v a b l eg r o u p saa n db t h e ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o ft h es u p e r s o l v a b i l i t yo fga r r eo b t a i n e du n d e rs o m ew e a kh y p o t h e s e s t h e s er e s u l t s g e n e r a l i z et h ea v a i l a b l eo n e s m a i nr e s u l t sa r et h e o r e m 3 1 - t h e o r e m 3 6 西南大学硕士学位论文英文摘要 k e yw o r d s ：s c m i n o r m a l ；q u a s i - n o r m a l i t y ；s - q u a s i n o r m a l i t y ；w e a k l y q u a s i n o l z n a l i 够；s u p e r s o l v a b l eg r o u p 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：史存汉签字日期：矽呷年 嗍厂。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：啉保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：荧存氨导师签名： 鹳啡川私川。日辨魄7 明p 日 西南大学硕士学位论文引言 1引言 关于群超可解性的研究已经比较成熟了，并且判定群超可解的方法也是多方面 的有从群的阶去考虑的、有从群的生成元个数去考虑的、有从子群性质上去考虑 的、还有通过研究两个超可解群的积来研究群的超可解性的，并且得出了许多结论 本文主要从后两个方面对群的超可解性进行了进一步的探究 首先利用子群的性质来研究群的超可解性，在这方面前人通过努力已经把条件 从正规和次正规逐渐弱化到了半正规、拟正规、s 一拟正规和弱拟正规等。本文旨 在前人的基础上，将已有定理的条件进一步弱化，得出了一些新的判定群超可解的 结论，对已有的结果进行了推广 其次在两个超可解群的积的问题上b a e r 、樊恽、k e g e l 、a s a a d ，s h a a l a n 、王 坤仁等已不断将条件弱化得到了不少结果本文在他们的基础上再次将条件弱化， 并得到了一些新的结论，推广了已有的结论 作者沿着这两个方向对群的超可解性进行了进一步的研究，得出了以下主要结 论： 本文的主要结论如下： 定理2 1 设g 可解，若g 的s y l o w 子群的极大子群弱拟正规于g ，则g 超可 解 定理2 2 群g 有指数为素数的可解正规子群日，若的每个s y l o w 子群的极 大子群在g 中弱拟正规，则g 超可解 定理2 3 群g 有指数为素数的正规子群日，若日的s y l o w 子群及s y l o w 子群 的2 极大子群皆在g 内弱拟正规，则g 超可解 定理2 4 设g = a b ，a 超可解，b 是p 一群，p = m a x7 r ( g ) ，若b 与a 的 极大子群可交换且a 弱拟正规于g ：则g 超可解 定理2 5 l 为g 的幂零极大子群，若m 及其极大子群皆在g 中弱拟正规，则 g 超可解 定理2 6 g 可解，f ( g ) g s y l p ( g ) ，p 7 r ( g ) 若g 的s y l o w 子群的2 一极大子群 在g 内弱拟正规，则g 超可解 1 西南大学硕士学位论文 引言 定理2 7 若群g 的孓极大子群都在中半正规，且g 的生成元个数不等于2 ，则 g 超可解 定理2 8 群g 的极大子群的s y l o w 子群的极大子群都在g 中半正规，且g 的 生成元个数不等于2 ，则g 超可解 定理2 9 设 ，半正规与g m g ，若m 的每一极大子群在g 中半正规， 且k 圣( g ) ，则g 超可解 定理3 1 g = a b ，a ，b 为g 的超可解子群， aqg 若“4 i ，i b i ) = 1 , b 在g 中半正规，则g 超可解 定理3 2 g = a b ，a ，b 为g 的超可解子群若( 1 a ，l b i ) = 1 ，aqg 且b 与a 的极大子群可交换，则g 超可解 定理3 3 g = a b ，( i a i ，ls 1 ) = 1 若a 司g 且月，b 的极大子群及8 皆在g 中 半正规，则g 超可解 定理3 4 g = a b ，b 为g 的超可解子群，( i a i ，i b i ) = 1 若aqg ，a 的极大子 群及b 在g 中半正规，则g 超可解， 定理3 5 g 可解，g = a b ，( i a i ，i b i ) = l ，若a ，b 的极大子群皆在g 中半正 规，则g 超可解 注本文中用到的符号除特别说明外都是标准的 2 西南大学硕士学位论文利用弱拟正规、9 拟正规、半正规的概念研究群的超可解 2利用弱拟正规、$ 拟正规、半正规的概念研究群的超可解 首先我们先给出一些定义和引理 定义1 群g 的子群，称为在g 中弱拟正规，如果对g 的任意子群k ，至少 存在一个k 的共轭子群k x , x g ，使得h k 工= k h 2 定义2 设g 是有限群，h g ：如果阿与g 的每个s y l o w 子群可交换， 则称”为g 的s - 拟正规子群 定义3 群g 的子群a 称为在g 中半正规，如果3 b g ，使a b = g ，且对 于b 的任意真子群b l ，使肖b 1 l ，f ( e ) n ，= 1 ，m 为g 的超可解的极大子群 引理5 1 2 2 设在g 中s 一拟正规，阿k g ，则h 在中s 一拟正规 设n 司g ，h 在g 中s 一拟正规，则 在g n 中s 一拟正规 引理6 【3 】如果4 为g 的半正规子群，则对v x g ，a 。仍为g 的半正规子群， 并且( 4 ) = 昆( 小) ，又若b s a ( a ) ，则对v y g ，b 掣( a ) 引理7 【3 】设a 为g 的半正规子群，则 ( 1 ) 如果a h g ，那么a 是胃的半正规子群 ( 2 ) 如果n 1 令坞， 知。为m 的一组s y l o w 基，不妨设p l = p 显然。f ( a ) 为 g 的p - s y l o w 子群令s 为 知，f ( g ) 的包含朋- p 。的极大子群，令k = snf ( c ) 易知s = k 。，k 1 显然f ( g ) h 且h = f ( g ) ( ，n ) ，设珥是的p - s y l o w 子群，则 f ( a ) p 且珥= f ( g ) ( ，nu p 再令p 屏且珥nm p ，则p = ( p ( g ) n | p ) ( mn ) 由p 在g 中弱拟正规知，存在z g 使得p m 。成群又 因为m z 1 ，f ( g ) nm = l ，m 为g 的超可解的极大子群 令 勺， 靠。为 ，的一组s y l o w 基，不妨设p l = p ，那么 知，e ( g ) 为g 的一个s y l o w p 子群由条件知 易。1 且f ( g ) 为初等a b e l 群取p 为f ( g ) m p 。的极大子群且包含 0 。，则p = m p 。( p nf ( g ) ) ( 因为f ( g ) 司g ，所以 pn f ( c ) qp ) ，令k = pnr ( c ) 于是p = k 7 i l p 。若k = 1 ，则有p = 鸭。，从而 由p j 7 i 易，f ( g ) 得l f ( g ) i = p 矛盾，所以k 1 再取p 为p 的包含的极大子群，由 ，1 知户p 由条件知户在g 中弱拟正规，从而存在x g 使得p m z 成群比较l f ( g ) m 2 i 与i f ( c ) m i 知t f ( c ) nm 。= 1 又因为k 户且k f ( g ) ，所以knm 。= 1 从而由k f ( g ) 知 俨 p m 。 g ，这与m 。为g 的极大子群矛盾，则g 超可解 定理2 7 设群g 的3 - 极大子群都在中半正规，且g 的生成元个数不等于2 ，则 g 超可解 证明因为群g 的3 极大子群都在群g 中半正规，所以由引理7 知群g 的3 - 极大子群都半正规于包含它们的极大子群，于是由【3 中定理6 知群g 的每一个极 大子群都是超可解的 若g 的生成元只有一个，则g 循环，我们断言g 超可解；若g 的生成元个数 大于2 时，则对于g 的任意二元生成的子群必定包含在某个极大子群之中，又因为 g 的每一个极大子群都超可解，所以g 的任一个二元生成的子群都是超可解的，于 是由 7 】定理7 9 可知，g 也是超可解群 定理2 8 设群g 的极大子群的s y l o w 子群的极大子群都在g 中半正规，且g 的生成元个数不等于2 ：则g 超可解 8 西南大学硕士学位论文 利用弱拟正规、9 拟正规、半正规的概念研究群的超可解 证明由于g 的极大子群的s y l o w 的极大子群在g 中皆半正规，则由引理7 知 它们皆半正规于包含它们的极大子群，于是由【3 】中定理1 0 可得的g 每一个极大子 群都是超可解的 若g 的生成元只有一个，则g 循环，我们断言g 肯定超可解；若g 的生成元 个数大于2 时，则对于g 的任意二元生成的子群必定包含在某个极大子群之中，又 因为g 的每一个极大子群都超可解，所以g 的任一个二元生成的子群都是超可解 的，于是由【7 定理7 9 可知，g 也是超可解群 定理2 9 设g 的极大子群m 在g 半正规，且m 的每一极大子群在g 中 半正规，且k 西( g ) ：则g 超可解 证明由于m 的任意一个极大子群k 圣( g ) m ，所以要么圣( g ) = ，要么 圣( g ) = 若圣( g ) = m ，则g 的任个其他极大子群府，有m 府，从而由m 的极大 性和半正规性知；【g om = 素数，从而可得g 超可解 若西( g ) = k ，此时若k = 1 ：则有i m f = p ( 素数) 令【g ：厨】= g ( 素数) ， 则i g i = p q 如果p = q ，则g 超可解；如果p q ，则由【7 】定理7 3 5 知g 亦超 可解若k 1 ，对g 的阶进行归纳假设，易得：m 西( g ) 满足定理条件，由于 l g 圣( g ) l l g l ，由归纳知：g 圣( g ) 超可解，从而可得g 超可解 9 西南大学硕士学位论文利用半正规和拟正规讨论两个超可解群的之积的超可解性 3 利用半正规和拟正规讨论两个超可解群之积的超可解性 在此所用到的半正规的定义和基本性质在前面已经给出，下面主要给出拟正规 的定义和基本性质 定义设a ，b 是g 的子群，若a 同b 的每个子群可交换，则称a 在j e i 中拟正 规 引理3 1 设玎在g 中拟正规， k g ，则口在k 中拟正规设nqg ，h 在g 中拟正规，则日v 在g i n 中拟正规 定理3 1 设g = a b ，其中a ，b 为g 的超可解子群，a 1 g 若( 1 月l ，i b i ) = 1 ，b 在g 中半正规，则g 超可解 证明首先因为a ，b 都是超可解，且aqg ，( i a i ，ib 1 ) = 1 ，所以有g a2b 即 g 可解 因为aqg ，所以于是对任意的b 的极大子群b l ，都有a b l 成群又b 超可 解，所以 b ：b 1 】= 素数，则月b ，的指数为且l a b e l = 齿格堆删= d 尚导甓芦， 又因为nb 1 anb ，所以a b l 为g 的极大子群，且 g ：4 b l 】= 素数由b 半正规于g 知，存在c g 使得b c = g ，由( 1 a l ，l b i ) = 1 且g 可解，则有a 共 轭的含于c 中，但aqg ，因此a c 若a c ，则由半正规的定义有a b g ， 矛盾于g = a b ，故a = c 再由半正规的定义知对v a l a 有a 1 b 成群又由a 超可解，所以 a ：a 1 】= 素数，于是同上 g ：a 1b 】也是素数 对g 的任意极大子群m ，由g 可解有【g ：m 】= p 8 ，再由g 可解及g = a b ， 知存在z g 使得 ，必包含舻或伊若m 包含舻，则由aqg 知a m ，且 彳= a nm = a 。b 。nm = a b 。nm = a ( b 。n ，) 我们断言mnb 2 b 否则 有b 1 b z 且mnb b 1 ，进而有m = a ( mnb z ) a b l g ，与m g 矛盾 若伊包含于m ，同理可得m = ( mna ) b 2 由a = c 知，a s o ( 8 。) ，我们断 言 fna a 否则有a l a 且a 彳na a 1 ，进而由半正规定义得a 1 8 7 成群， 那么m = ( ；1 ina ) b z a l b z g ，与m 的极大性矛盾 综合以上可知，g 的极大子群要么为a 与b t 的一个极大子群的积，要么为 伊与月的个极大子群的积，所以g 的极大子群在g 中的指数都是素数，于是由 1 0 西南大学硕士学位论文利用半正规和拟正规讨论两个超可解群的之积的超可解性 引理8 和引理9 知g 超可解 定理3 2 设g = a b ，其中ab 为g 的超可解子群若( i l ，i b i ) = l ，aqg 且b 与月的极大子群可交换，则g 超可解 证明首先，因为a ，b 都是超可解，且aqg ，( i a i ，i b i ) = 1 ，所以有g a 篡b 即g 可解 因为a 超可解，所以对任意的月的极大子群a 1 , 【月：a 1 】= 素数，又因为b 与 月的极大子群可交换，有以1 b 成群，又( 1 a l ，i b i ) = 1 则同定理3 1 证明有 g ：a 1 b 】 是素数从而a l b g ，再由引理8 知月l b 在g 中半正规对任意的b 的极大子 群b 1 ，因为aqg 所以a b l 成群同上可得月口l 为g 的极大子群，且【g ：a b l 】= 素数，即a b l 在g 中半正规 由g 可解，对g 的任意极大子群m ：有【g ： ，】= p 8 再由g 可解及g = a b ， 知存在x g 使得 ，必包含a 。或俨若 z 包含a 。，则由aqg 知a m ，且 ，= a ( mnb 。) 我们断言mnb 。b ，否则存在b 1 b 2 使mnb z b 1 ，进 而有m = mn g = m n ( a b 。) = a ( mnb 。) a b l g ，与m g 矛盾若伊 包含于m ，则同理知，m = ( mna ) b z ，此时必有mn 4 a 否则3 a 1 a ，使 ，na a 1 a 由b 与月的极大子群可交换和a 幻g 可知，郐 a 又由b 与a 的极大子群可交换知a ；“b 成群，故a 1 8 7 成群从而m = ( mna ) r 。 a 1 8 2 g ， 与 ，的极大性矛盾 综合以上可知，g 的极大子群要么为a 与伊的一个极大子群的积，要么为 伊与a 的一个极大子群的积，所以g 的极大子群在g 中的指数都是素数，于是由 引理8 和引理9 知g 超可解 定理3 3 设g = a b ，其中( i a | ，l b i ) = 1 若aqg 且a ，b 的极大子群及b 皆 在g 中半正规，则g 超可解 证明因为a ，b 的极大子群都在g 中半正规，则由引理7 知，它们也分别在 a ，b 中半正规，从而由引理9 知a ，b 超可解 因b 在g 中半正规，所以存在g ，使得b c - - i g 由( j 以l ，l b i ) = 1 知a c ，( z g ) ，从而由半正规定义和引理6 知g = a b = c 。b ，又a b 。：若a c ， 则由半正规的定义有a b g ，矛盾于g = a b ：故a = c 七即a ( b ) ：则b 与 11 西南大学硕士学位论文利用半正规和拟正规讨论两个超可解群的之积的超可解性 a 的任意子群之积成群 因为a 司g 超可解，所以月的极小正规子群日为p 阶群，由上述知h b 成 群比b 由a 司g 知，a ，又z h z b = z _ 1h x b ；h b ：故 z = a nh b = h ( anb ) ：又因为月nb = 1 ，所以h z = h 那么g y g ，很显 然h v = h 所以日qg 令0 = a b h ，经验证0 满足定理条件，所以由对g 的阶的归纳可知，0 超 可解，又i h i = p ，于是g 也超可解 定理3 4 设g = a b ，其中b 为g 的超可解子群， “4 i ，i b i ) = 1 若aqg ，a 的极大子群及b 在g 中半正规，则g 超可解 证明首先因为月的极大子群在g 中半正规，所以由引理9 知a 为超可解又 b 都是超可解，且aqg ，所以有g a 兰b 即g 可解 因为a 司g ，所以于是对b 的任意极大子群b l ，都有a b l 成群又b 超可解， 所以【b ：b 1 】= 素数，则a b 的指数为两l a 可l = 篙牿毪删= d 号铲，又 因为anb 1 anb ，所以【g ：a b l 】= 素数由b 半正规于g 知，存在c g 使得b c z = g ，( z g ) ，且a 俨若a c z ，则由半正规的定义有a b g ，矛 盾于g = a b ，故a = c 2 即a ( b ) 所以由半正规的定义知，对v a l a 有 a 1 b 成群又由肖超可解，所以 a ：a 1 = 素数，于是同上 g ：a 1b 】也是素数 由g 可解，对g 的任意极大子群m ，有 g ：m 】= p 8 所以v m g ，有 m g = a b ，且存在x g 使得i ，必包含a z 或伊若m 包含a 。，则由aqg 知a f ，m = mna z b z = mna b 。= a ( mnb 。) 我们断言mnb 。b ， 否则有b 1 b 。且，使得j 7 l ，nb 。 b 1 ，进而有m = a ( mnb z ) a b l g ，与 m g 矛盾若伊包含于m ；则由a ( b ) 和引理6 知，a s g ( b 卫) ，于是有 ，= ( mna ) b 茁，此时必有mna a 否则有a 1 a 且 ，na a 1 ，进而由半 正规定义得m = ( ，na ) b 。 a l b z g 与m 的极大性矛盾 综合以上可知，g 的极大子群要么为a 与伊的一个极大子群的积，要么为 伊与a 的一个极大子群的积，所以g 的极大子群在g 中的指数都是素数，于是由 引理8 和引理9 知g 超可解 定理3 5 设g 可解，且g = a b ，( i a i ，i b i ) = 1 ，若月，b 的极大子群皆在g 中 】2 西南大学硕士学位论文利用半正规和拟正规讨论两个超可解群的之积的超可解性 半正规，则g 超可解 证明因为a ，b 的极大子群都在g 中半正规，所以由引理7 和f 3 】中定理4 知， g 的极大子群皆超可解 取a l ，b 1 分别为a ，b 的极大子群，由条件知月l ，b 1 在g 中半正规，于是存在 a 1 ，使得a 1 a 1 = g 且比g 有a 1 a 1 z = g 因为( 1 a l ，i b i ) = 1 ：所以存在t g 满足b 肓1 。，于是由半正规的定义知a 1 b 成群同理可证a 与曰的极大子群 之积也成群因为月超可解，所以对任意的4 的极大子群a ，【a ：a 1 】= 素数，又 ( 1 a l ，i b i ) = 1 则有【g ：月1b 】是素数从而a 1b g ，再由引理8 知a 1b 在g 中半 正规对任意的b 的极大子群b 1 ：同上可得a b l 为g 的极大子群，且【g ：a b l 】= 素数，即a b l 在g 中半正规 由g 可解，对g 的任意极大子群m ，有 g ：m = p 8 再由g 可解及( i 4 l ，i b i ) = 1 ，知存在z g 使得m 必包含月z 或伊若j 7 l ，包含a z ：则m = a z ( ，nb ) 我 们断言mnb 。b 。，否则存在b 1 b 使 ，nb z b 1 ，进而有m = mng = ，n ( b z ) = a 卫( mnb 。) a 。b 1 g ，与m g 矛盾若伊包含于m ，则同理 知，m = ( mna 。) 伊：此时必有 ，na z a z 否则3 a 茁，使 ，na 。 a 1 从而m = ( j 7 i ，n a z ) 伊 a 1 b 。 g ，与 ，的极大性矛盾 所以g 的极大子群在g 中皆半正规，于是由引理9 知g 超可解 1 3 西南大学硕士学位论文 问题与思考 问题与思考 问题关于群的超可解性的判定上已经有了许多结论，但是事实上这些判定定理 对群超可解的判定上都比较烦琐，那么如何找到更简便条件更弱的判定定理还是需 要我们进一步去探究的 1 4 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 【1 】钱国华超可解群的一些充分条件i j 】南京师范大学学报1 9 9 8 ，2 1 ( 1 ) ：1 5 - 1 8 f 2 】2 赵啸海超可解群的几个充分条件【j 】广西大学学报2 0 0 1 2 6 ( 2 ) ：1 3 7 - 1 3 9 f 3 】苏向盈有限群的半正规子群f j 】数学杂志8 ：1 ( 1 9 8 8 ) ，5 - 9 【4 】a s a a dm ，s h a a l a na o nt h es u p e r s o l v a b i l i t yo ff i n i t eg r o u p s j s o u n d e r d r u c kr u s a r c hm a t h ，1 9 8 9 ，5 3 ：3 1 8 - 3 2 6 f 5 】王品超关于有限群两个超可解子群之积的问题【j 】数学研究与评论 6 】王坤仁关于两个有限超可解群的积 j j 四川师范大学学报1 9 9 7 ，2 0 ( 4 ) ：6 - 1 0 【7 】陈重穆内外群与极小非群 m 】重庆：西南师范大学出版社1 9 8 8 【8 】徐明曜有限群导引( 上) 【m 】北京：科学出版社 1 9 8 7 【9 1 张远达有限群构造( 下) 【m 1 北京；科学出版社1 9 8 2 【1 0 h u p p e r tb e n d l i c h eg r u p p e ni f m 】b e r l i n ? h e i d e l b e r g ，n e wy o r k ：s p r i n gv e r l a g ，1 9 6 7 f 1 1 】王品超超可解群的若干充分条件【j 】数学学报1 9 9 0 ，3 3 ( 4 ) ：4 8 0 - 4 8 5 f 1 2 】王坤仁子群皆半正规的有限群【j 】四川师范大学学报 1 9 9 6 ，1 9 ( 6 ) ：4 0 - 4 4 f 1 3 】陈顺民某些弱拟正规子群对有限群可解性的影响【j 】四川大学学报 2 0 0 7 ，4 4 ( 3 ) ：4 7 2 - 4 7 6 【1 4 1 曾凡辉半正规，c 一正规与有限群的超可解性【j 】广西科学2 0 0 3 ，1 0 ( 2 ) ：8 1 8 5 【1 5 】王燕鸣极小子群对有限群结构的影响f j | 数学学报2 0 0 1 4 4 ( 2 ) ：1 9 7 - 2 0 0 f 1 6 】张勤海