（基础数学专业论文）算子矩阵的谱扰动.pdf

算子矩阵的谱扰动 李愿 y 6 1 0 1 2 2 摘要我们知道算子矩阵是以算子为元素的矩阵近十年来，谱扰动问题吸 引了一大批学者，如h o n g k ed u ；c a i - x i n gg u ，w y l e e ，j k h a n ，h y l e e 等 他们都对2 2 算子矩阵，特别是2 2 上三角算子矩阵的谱扰动问题进行了深 入的研究本文研究了2 2 算子矩阵，特别是2 2 上三角算子矩阵的谱扰动问 题，如左( 右) 谱，左( 右) 本性谱及左( 右) w e y l 谱设丸和是复可分h i l b e r t 空 间b ( u ) 和b ( n ，咒) 分别为“上和从w 到肥上的有界线性算子构成的b a n a c h 空间如果a bc n ) ，b b ( 坛) 给定，设c b ( i u ，咒) ，我们用m c 表示wo 苊上 2x2 上三角算子矩阵： ( 吾g ) 全文共分三章，主要内容如下： 本文第一章研究了当c b ( 1 c ，w ) 限定在闭值域算子集b g ( ，咒) ，左可逆算 子集b , ( 1 c ，w ) ，紧算子集( 尼，w ) 以及有限秩算子集f ( j c ，w ) 上时，m c 的左谱 盯f ( m c ) 的交并且得到 n c e b 。( i c ，u ) a t ( m c ) = d c e b f ( 丘，n ) a l ( m c ) 和 a c 6 k ( 坛h ) 口f ( ) = a c e f ( k w ) d 1 ( 幻) 并推广了f l5 中的一些重要结果 本文第二章主要研究了左( 右) 本性谱印。( m a ) ( a ，。( m b ) ) 及左( 右) w e y l 谱 印u ( ) ( 口r ”( 肘0 ) ) 的扰动问题当a b ) ，b b ( j c ) 给定时，完全刻画了 左( 右) 本性谱的交n c 日恽, n ) a t 。( 肘c ) ( n c 6 b ( ，赳) 听。( 纪) ) 以及左( 右) w e y l 谱的交 n c e b ( ：，n ) a l ”( m c ) ( n c e b q c 赳) c t r ( ) ) 第三章，我们讨论了一般的2 2 算子矩阵m x 的谱扰动问题，其中 m x ：= ( x a 日c ) ：咒。庀_ w 。咒 如果a 目) ，b 日) ，c b c ( 尼，w ) 给定，我们刻画了m x 的左( 右) 本性谱 的交n x 日( 丘n ) a t e ( 奴) ( n x 口( 坛，咒) 。r e ( 慨) ) ，左( 右) w j y i 谱的交a x 6 b ( k , t ) 。协( 舐) ( n x 日( ，w ) 听埘( 圾) ) 关键词：谱本性谱w e y l 谱谱扰动算子矩阵 t h ep e r t u r b a t i o n so ns p e c t r ao fo p e r a t o rm a t r i x 1 r u a nl i a b s t r a c ti ti sw e l lk n o w nt h a to p e r a t o rm a t r i xi sam a t r i xw i t ho p e r a t o r sa si t s e l e m e n t s i nt h er e c e n tt e ny e a r s ，t h ep r o b l e m so np e r t u r b a t i o n so fs p e c t r u mo f2x2 o p e r a t o rm a t r i x ，e s p e c i a l l y2x2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i x ，h a v ea b s o r b e dm a n y s c h o l a r s ，s u c ha sh kd u ，d s d j o r d j e v i c ，j p a n ，j k h a n ，h y l e e ，w yl e ea n d s oo n i n t h i sa r t i c l e ，w es t u d y t h e p r o b l e m s o n p e r t u r b a t i o n s o fs p e c t r u m o f 2 x 2 o p e r a t o r m a t r i x ， e s p e c i a l l y2x 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i x ，s u c ha sl e f t ( r i g h t ) s p e c t r u m ，l e f t ( r i g h t ) e s s e n t i a ls p e c t r u ma n dl e f t ( r i g h t lw e y ls p e c t r u m l e t 丸a n d _ cb ec o m p l e xs e p a r a b l e h i l b e r ts p a c e s d e n o t eb ( 7 ) a n db ( j c ，“) t h eb a n a c hs p a c e so fa l lt h eb o u n d e dl i n e a r o p e r a t o r s o i l 7 1 a n d f r o m _ i c i n t o “，r e s p e c t i v e l y i f a b ( w ) ，b b ( e ) ，f o r c b ( 咒，咒) ， l e tm ed e n o t et h e2 2u p p e r t r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i x ： 厂a g 、 l 0bj t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sa r t i c l e ，a n dt h em a i nc o n t e n ta sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eh a v es t u d i e dt h ei n t e r s e c t i o no fl e f ts p e c t r u mo fm c ，w h e n0 i sr e s t r i c t e do nt h es e to fa l lt h eo p e r a t o r sw i t hc l o s e dr a n g eb c ( k ，7 ) ，t h es e to fa l lt h e l e f ti n v e r t i b l eo p e r a t o r sb t ( p c ，咒) ，t h es e to f a l lt h ec o m p a c t o p e r a t o r sk ( 瓦，咒) a n dt h es e t o fa l lt h eo p e r a t o r sw i t hf i n i t er a n g e f ( ，7 ) ，r e s p e c t i v e l y w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n s o ft h e m a sar e s u l t ，w eg e t a n d n g b 。( 苊，n ) a l ( m c ) = v i c e b l ( 丘，n ) a t ( m e ) q c e k ( x ：, n ) a l ( m c ) = q c e f ( 丘，u ) m ( m c ) a n di nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eh a v es t u d i e dt h ep e r t u r b a t i o n so f l e f t ( r i g h t ) e s s e n t i a l s p e c t r u m ，a n dl e f t ( r i g h t ) w e y ls p e c t r u m i fa b ( 7 ) ，b b ( 尼) ，w eg i v et h ec o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ei n t e r s e c t i o no fl e f t ( r i g h t ) e s s e n t i a ls p e c t r u m n c b n ) a t e ( m c ) ( q c e b k ，咒) a r e ( m c ) ) a n d t h ei n t e r s e c t i o no f l e f t ( r i g h t ) w e y l s p e c t r u m n c b ( k 。w ) 叽 ( m c ) ( n g b ( 尼，h ) o w ( 协0 ) ) i nc h a p t e rt h r e e ，w eh a v es t u d i e dt h ep e r t u r b a t i o n so fs p e c t r u mo fg e n e r a l2x2 o p e r a t o rm a t r i xm x ，w h e r e 蛾：= ( x ag ) ：孔。e - - + 7 。k ： i i i fa 曰( 日) ，b b ( ) ，c b c ( 尼，饨) ，w ec h a r a c t e r i z et h ei n t e r s e c t i o no fl e f t ( r i g h t ) e s s e n t i a ls p e c t r u mo f m x ，n x b ( p c ，7 1 ) a t e ( d x ) ( n x b ( k 咒) 盯唧( 且d i ) ) ，a n d t h ei n t e r s e c t i o n o fl e f t ( r i g h t ) w e y ls p e c t r u mo fm x ，a x e b ( x ：，7 - t ) a t w ( m x ) ( n x 6 b ( r ，丸) 9 r ( w x ) ) k e y w o r d ss p e c t r u m ，e s s e n t i a ls p e c t r u m ，w e y ls p e c t r u m ，p e r t u r b a t i o no fs p e c t r u m ， o p e r a t o rm a t r i x i i i 前言及预备知识 算子理论产生于2 0 世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在2 0 世纪的前三十年就得到了很大的发展目前，算子理论不仅深入到了矩阵论，微 分方程，最优化理论，统计学等众多数学分支，而且它也是量子力学，物理学， 化学等学科中的一个不可缺少的重要研究工具众所周知，算子矩阵是以算子为 元素的矩阵，缺项算子矩阵就是一些元素是已知的，其余元素都是未知的的算子 矩阵而算子扰动问题就是对缺项算子矩阵进行研究，讨论其所缺的项对整个算 子矩阵的影响，如谱的扰动问题 我们知道，如果h i l b e r t 空间上的有界线性算子存在一个非平凡的不变子空 间，则该算子具有上三角算子矩阵的形式，因此2 2 上三角算子矩阵的研究有着 特别重要的意义近十年来，2 2 算子矩阵的谱扰动问题吸引了一大批学者，如 h o n g - k ed u ，c a i - x i n gg u ，w y l e e ，j k h a n ，h y l e e 等他们都对2x2 算子 矩阵，特别是2 2 上三角算子矩阵的谱扰动问题进行了深入的研究本文研究了 2 2 算子矩阵，特别是2 2 上三角算子矩阵的谱扰动问题，如左( 右) 谱，左( 右) 本 性谱及左( 右) w e y l 谱设觎和c 是复可分h i l b e r t 空间b ( n ) 和b ( n ，) 分别为 咒上和从到尼上的有界线性算子构成的b a n a c h 空间如果a b ) ，b b f f c ) 给定，设c 日( 丸) ，我们用m c 表示7 - l o 咒上2 2 上三角算子矩阵： ( a 。量) 全文共分三章，主要内容如下： 本文第一章研究了当c b ( 咒，w ) 限定在闭值域算子集b c ( 1 c ，丸) ，左可逆算 子集b t ( i c ，咒) ，紧算子集( 咒，w ) 以及有限秩算子集f ( e ，丸) 上时，m c 的左谱 a t ( m e ) 的交并且得到 a c e b c ( i c ，h ) 印( m c ) = n c e b f ( n ) a t ( m c ) 和 n g n ) a l ( m c ) = m c e f ( ：，u ) a d m c ) 并推广了 1 5 中的一些重要结果 本文第二章主要研究了左( 右) 本性谱o f e ( 蜘) ( a ，。( 纪) ) 及左( 右) w e y l 谱 a 。( 慨) ( a ，。( m g ) ) 的扰动问题当a b ) ，b 口( 丘) 给定时，完全刻哂了 左( 右) 本性谱的交n c e s ( _ ：，圳印。( ) ( n c 日( k ，咒) 。r e ( ) ) 以及左( 右) w e y l 谱的交 m c 6 b ( k ，7 ) a l “，( 讹) ( n 。日( 苊，“) 盯r 叫( ) ) 第三章，我们讨论了一般的2 2 算子矩阵m x 的谱扰动问题，其中 螈：= ( x a 暑) ：丸。庀一丸。咒 如果a b ( 日) ，b b f f c ) ，c b c ( i c ，觎) 给定，我们刻画了m x 的左( 右) 本性谱 的交n x 且( 坛，w ) 盯f 。( m x ) ( n x e b ( e ，n ) a r e ( 如) ) ，左( 右) w e y l 谱的交n x 且( 正，钝) 盯汕( 慨) ( n x e b ( 坛n ) a r ”( 崃) ) 预备知识 设w 和尼是复可分h i l b e r t 空间d i m t 表示h i l b e r t 空间的维数我们分别 定义b ( n ) 和b ( n ，尼) 为“上和从w 到上的有界线性算子构成的b a n a c h 空间 设m 为正整数，我们用f ( 尼，饨) 和f m ( 尼，税) 分别表示b ( 咒，7 - i ) 上的有限秩算子集 和秩为m 的有限秩算子集用k ( i c ，州) ，鼠( 尼，咒) 和b , ( i c ，咒) ( 研( ，丸) ) 分别表示从 丘到w 的紧算子之集，闭值域算子之集和左( 右) 可逆算子之集设t b ( h ，k ) ， 用v ( t ) ，n ( t ) 和a ( t ) 分别表示t 的核空间，值域和谱用n ( t ) 和d ( t ) 分别表 示t 的核空间n ( t ) 的维数和值域的正交补r ( t ) 上的维数，即n ) = d i m n ( t ) ， d ( t ) = d i m n ( t ) 设t s ( n ，i c ) ，我们知道，t 左可逆是指存在算子f 口( 尼，w ) 使得r t = i ， 其中j 表示h i l b e r t 空间“上的单位算子类似的，t 右可逆是指存在算子t ” b ( 1 c ，咒) 使得钾= i ，其中j 表示h i l b e r t 空间芄上的单位算子 定义o 1 设t b ( w ) ，t 的左( 右) 谱a l ( t ) ( a ，( t ) ) 被定义为 a t ( t ) ( a r ( t ) ) = c ：t 一 不是左( 右) 可逆) 由定义不难发现：t 左可逆当且仅当值域r ( t ) 是闭的且n ( t ) = o ；t 右可 逆当且仅当r ( t ) = 7 - 1 定义0 2 设t 日) ，算子t 的近似点谱是复子集 o e r ( t ) = a c ：存在丸中的单位向量列 z 。) 器l 使得口一a ) z 。- o ，n _ 。1 由定义o 1 和定义0 2 ，不难验证c qc t ) = o n ( t ) 定义0 3 设t b ( n ，e ) ，如果存在t b ( 尼，w ) 和k k ( n ) 使得t ，t = j + k ， 则称t 是左f r e d h o l m 算子；如果t + 是左f r e d h o l m 算子，则称t 是右f r e d h o l m 算 子如果t 是左f r e d h o l m 算子或右f r e d h o l m 算子，则称t 是半f r e d h o l m 算子，记半 f r e d h o h n 算子之集为s ，如果t s t ，定义t 的指标( t ) 为： 口) = n ( t ) 一d ( t ) 2 由定义，我们不难得到：t 左( 右) f r e d h o l m 算子当且仅当值域r ( t ) 是闭的 且d i m n ( t ) c x ) ( d i m n ( t + ) o 。) 如果t 既是左f r e d h o l m 算子又是右f r e d h o l m 算子，则称t 是f r e d h o l m 算 子，记f r e d h o l m 算子之集为， 定义o 4 设t 曰) ，t 的左( 右) 本性谱是复子集： o l 。( t ) ( c r r 。( t ) ) = c ：t 一 不是左( 右) f r e d h o l m 算子) t 的本性谱是复子集： ( t ) = a c ：t a 不是f r e d h o l m 算子) 定义0 5 设t b ( ? - ，庀) ，如果t 是左( ：吉) f r e d h o l m 算子且i ( t ) o ( i ( t ) o ) ， 则称算子t 是左( 右) w e y l 算子如果t 既是左w e y l 算子又是右w e y l 算子，则称 t 是w e y l 算子 定义0 6 设t 且) ，t 的左( 右) w e y l 谱口p ) ( 西。( t ) ) 是复子集 a l w ( t ) ( a r ”( t ) ) = a c ：t a 不是左( 右) w e y l 算子) t 的w e y l 谱a w ( t ) 是复子集t ( t ) = a c ：t 一 不是w e y l 算子) 定义o 7 设t 口( ，咒) ，如果p t t t ，则称t 是亚正规的；如果p t s 刀 则称? 是余亚正规的 引理0 1 ( 1 3 】) 设t 耳( c ，丸) ，如果m 是r ( t ) 的闭子空间，则出m m o 。 引理0 2 ( 3 中第x i 章定理3 1 1 ) 设a b ( u ，c ) ，k k ( 7 - ，尼) ，如果a 是左 ( 右) f r e d h o l m 算子，则a + k 是左( 右) 半f r e d h o l m 算子 在本文中记， v g t ( a ，b ) = t a c ：r ( b a ) 不闭的且d ( a a ) 。) 虬( a ，b ) = f a c ：r ( a a ) 不闭的且n 旧一a ) m ， n ( b a ) 1 则g f “( ，爿) 则由定理1 i 1 知： 幻、一a 可逆，即a 隹口( m 文) 证毕 记 e ( a ，b ) = o i ( a ) u 听( b ) u a c ：n ( 口一a ) d ( a 一 ) ) u a c ：n ( 日一a ) = a ( a a ) = 。) 由推论1 1 4 ，我们有下面的结论 隹论1 i 5 n c f m ( ，咒) 口( 幻) 三e ( a ，b ) ，m = 1 ，2 ，3 写l 理1 1 6 n n o o = 1n c e 尸n ( 咒，斜) 口( ) = n c f ( 【，w ) 盯( 尬) 定理1 1 7 n c f ( k ，爿) 盯( 拖) = e ( a ，日) 证明由于n n o o = ln c 6 f n ，咒) o ( u c ) = n c f ( 丘，w ) o ( u c ) ，则n c 6 f ( 咒，咒) o ( m c ) 三 e ( a ，日) 设 口一( a ) u 听( b ) 且n ( 日一a ) = d ( a a ) 0 使得对一切川 0 ，使得对一切芦满足i p a o l j 都有a p 。，b p s ， 更近一步有 n ( a a o ) = n ( a 一肛) = 0 ，d ( a a o ) = d ( a 一卢) ； d ( b a o ) = d ( b 一肛) = 0 ，n ( 日一a o ) = n ( b p ) 因此对一切p 满足f p a o f j 都有n ( a 一肛) = d ( b p ) = 0 和n ( b 一卢) = d ( a p ) 0 成立由于a 一卢s ，b 一肛s ，因此r ( a 一卢) 和r ( b p ) 都是闭的又由于 n 似一肛) = d ( b p ) = 0 ，因此a 一芦左可逆，b - # 右可逆因为n ( 日一肛) = d ( a p ) 0 ， 因此且一卢不是右可逆的，b p 不是左可逆的故p t 7 r ( a ) n a 。( b ) a , d a ) u a ，( 口) 8 成立与h ( a ) n 盯。( b ) 】 口。( a ) u 听( b ) 无内点矛盾证毕 1 22 2 上三角算子矩阵的左( 右) 可逆性及左( 右) 谱的扰动 对给定的a ，b ，c ，我们刻画了m c 的左谱和右谱并利用算子分块，得到了 n c 6 b f ( k n ) c r d m c ) ，n c 6 b ，( 芄，) 盯r ( a 幻) ，n c 6 b 。( ，丸) 叽( 。 幻) 和p c ( 坛，丸) 盯l ( 幻) 令 c 1 仍f 岛c 4l ：7 4 0 ( 口) o ( b ) 上- r ( a ) 上。再巧巧o 0 b 1 g = ( 基笼) ：邶) 。肿n 跗舳丽 定理1 2 1 如果a 日) ，b b ( ) ，g b ( ，w ) ，那么m c 左可逆当且仅当 ( i ) a 左可逆； ( i i ) 蛳左可逆，其中 尬：= f 台 ( b ) 0 ( b ) 上+ r ( a ) 上。尼 ( 3 ) 证明充分性：由于a 左可逆，则丑( a ) 是闭的因此w o 尼= w o 旧) o ( 日) 上= r ( a ) 1o r ( a ) o 尼由式子( 1 ) 我们有a l 可逆则 0 ，善譬) ( j a ；1 岛一a ；1 q ) = ( 弓詈茎) ， ( j 一4 ；1 岛一a ；1 c 。) 是从7 4 o ( 日) o ( b ) 1 到7 l o ( 日) o ( b ) 上的可逆算子因此m c 左可逆当且 仅当 ( 尝言蓍) 9 0 舢0 ， | | 中其 是左可逆的又由于a - 可逆，因此地左可逆当且仅当m ：= f 1 逆 警) 左可 必要性：如果m c 是左可逆的，显然4 是左可逆的因此，由上面的推导 m 1 是左可逆的 由定理1 2 1 ，我们有以下结论： 推论1 2 2 如果a 口) ，b b ( i c ) ，c b q c ，w ) ，则 a l ( m c ) = a t ( a ) u a c ：r ( c + i r ( a m - ) + r ( ( 目一a ) + ) ) 证明尬不是左可逆的当且仅当嵋不是右可逆的，即( 是昌) 不是满 的，也就是r ( c + i 剐a 一 ) - ) + r ( 旧一a ) + ) t c 推论1 2 3 设算子对( a ，b ) 给定，如果d ( a ) n ( b ) ，则对任意的c 日( 厄，w ) m c 不是左可逆的 证明如果d ( a ) n 旧) ，则对任意的c 日( 坛，w ) ，q 不是左可逆的由定理 1 2 1 知，m c 不是左可逆的 设m c 有算子矩阵形式( 1 ) ，c 有算子矩阵形式( 2 ) ，则我们有以下结论 推论1 2 4 设a b ) ，b b ( ) ，c b f f c ，丸) ，如果r 旧) 是闭的，则m c 左 可逆当且仅当 ( i ) a 是左可逆的； ( i i ) c i 是左可逆的 证明必要性：由定理1 2 1 ，显然 充分性：由定理1 2 1 ，若a 是左可逆的，则m c 左可逆的充要条件是尬是左 可逆的如果r 旧) 是闭的，则b 1 左可逆设b ，是b 。的一个左逆元则 ( ；一咿) ( 言警) = ( 1b 0 。) 因此尬是左可逆的当且仅当c l 是左可逆的 1 0 推论1 2 5 如果a 左可逆，r ( b ) 是闭的且n ( b ) sd ( a ) ，则存在岛b l ( k ，) 使得m c o 是左可逆的 证明若n ( 曰) sd ( a ) ，则n ( 口) 与d ( a ) 只能为下列四种情况之一： ( i ) n ( b ) o o 且d ( a ) ；( i i ) n ( b ) 。且d ( a ) = o o ；( i i i ) n 哆) = 0 0 ，d ( a ) = 。 且d i m n ( b ) 上 o o ；( i v ) n ( d ) = o o ，d ( j 4 ) = o o 且d i m n ( b ) 上= 0 0 下面我们分别就这 四种情况进行讨论 ( i ) n 旧) o o 且d ( a ) 0 0 显然，d i m n ( b ) j - = 0 0 且d i m r ( a ) = 0 0 因为n ( 日) d ( a ) ，可令s l 和分别 为从i v ( b ) 到r ( a ) 上和从( b ) 上到r ( a ) 的等距算子令 c o = ( 舌岛0 ) ：n ( b ) 。n ( b ) 上一+ 矗( ) 上。r ( a ) 易验证岛左可逆因为r ( b ) 是闭的，由定理1 2 1 ，m c o 左可逆 ( i i ) n ( b ) d ( a 一 ) ) u a c ：r ( b 一 ) 不闭的 证明由推论1 2 3 和推论1 2 5 ，结论显然 定理1 2 7 对给定的算子对( a ，b ) ，我们有： n c e b f ，n ) a t ( m c ) = a t ( a ) u a c ：d ( a a ) n ( b a ) ) u 皿i ( a ，b ) 证明由推论1 2 - 6 ，我们只须证明： ( i ) 奶( a ，b ) 巩( a ) n c 且( 苊，印( ) ( 1 1 ) 如果a5 a c ：r ( b a ) 是不闭的，d ( a a ) = o 。且n 旧一 ) o 。) 钾) ， 则存在岛b d l c ，w ) ，使得m o o a 是左可逆的 ( i i i ) 如果a f a c ：r ( b a ) 不闭的，d ( a 一 ) = 。且n ( b 一 ) = 。) 巩( a ) ， 则存在c o b f ( 1 c ，“) ，使得m c o a 是左可逆的 下面我们分别证明这三个结论 ( i ) q t ( a ，b ) a t ( a ) n g 且( k ，科) 盯f ( ) 设a 奶( a ，b ) 印( a ) ，ceb ( 1 c ，a ) ，m c a 具有算子矩阵形式( 1 ) 且c 具有 算子矩阵形式( 2 ) 因为a a 左可逆，由定理1 2 1 ，m c a 不左可逆当且仅当 ( 鲁b 0 。) 不是左可逆的 反设存在四_ 口( 旧一 ) ，r ( a a ) 上) 和c o b ( n ( b a ) 上，t i ( a a ) 上) 使得 ( 譬b 擘。) 是左可逆的，则它是左一f r e d h o l m 算子由题设 k “l ( a ，b ) 川( a ) ，则d ( a a ) o o ， 故四和础都是紧算子由引理0 2 ，得 ( ：b 。! a ) 是左- f r e d h o l m 算子因此兄( b 1 一 ) 是闭的但由a m f ( a ，b ) a d a ) 得r ( b a ) 不是闭的矛盾 ( i i ) 如果a c ：r ( b a ) 是不闭的，d ( a a ) = 。且n ( b a ) o 。) a l ( a ) ， 则存在岛b d l c ，霄) ，使得m c o a 是左可逆的 设n ( b 一 ) = m 令 e t 罂1 ， ， ) 墨l 和协) 罄1 分别是2 v ( b a ) ，r ( a 一 ) 上和 n ( b a ) 上的标准正交基定义g l 和q 分别为从n ( b a ) 到r ( a a ) 上和从 n ( b a ) 上到r ( a a ) 1 的算子，其中t 且 白( e i ) = ，i = l ，2 m q ( 毋) = 疗+ m ，j = 1 ，2 定义瞰和w ，2 分别是从r ( a 一 ) 1 到( b a ) 和从r ( a 一 ) 1 到n ( b a ) 上 的算子，其中： f 肌( ) = e t ，i = 1 ，2 m ， 1 ( 五) = o ，i m + 1 且 1 3 j ( f j ) = 0 ，j = l ，2 m lw ，2 ( 疗+ m ) = 毋，j = 1 ，2 容易验证 ( w 1 ：) ( 譬且2 。) = ( 麓鲁麓笺) = ( ：；) t s ， 定义 岛= ( 台学) 由推论1 2 4 ( i i ) ，c o 左可逆由于a 一 左可逆，由定理1 2 1 ，m c o a 是左可逆的 ( i i i ) 如果a a c ：r ( b 一 ) 不闭的，d ( a a ) = o 。且n ( b 一 ) = o 。) a t ( a ) ， 则存在c o b t ( i c ，州) 使得m c o 一 是左可逆的 由r ( b a ) 不闭知d i m n ( b a ) 上= o 。设 e i ，函， ) 函和h ) 鐾。分别是 n ( b 一 ) ，a ( a 一 ) 上和n ( b a ) 上的标准正交基定义e 1 和岛分别为从n ( b 一 ) 到r ( a a ) 上和从n ( b a ) 上到r ( a 一 ) 上的算子，其中： q ( e i ) = ，2 f ，i = 0 ，1 ，2 且 岛( 毋) = 扬+ 1 ，j = 0 ，1 ，2 ， 定义算子m 和w ，2 分别是从r ( a 一 ) 上到n ( b a ) 和从n ( a 一 ) 1 到n ( b 一 ) 上 的算子，其中： ，啊( ，2 t ) = e ，i = 0 ，1 ，2 ， 【啊( h i + a ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ， 且 ，( 扬) = 0 ，j = 0 ，1 h 2 一， i ( 扬+ 1 ) = 彩，j = 0 ，1 ，2 ， 容易验证等式( 5 ) 成立，定义 岛= ( 台譬) 由推论1 2 4 ( i v ) ，c o 左可逆由于a a 左可逆，由定理1 2 1 ，得m c o a 是左可 逆的证毕 由定理1 2 7 的证明可以得到 1 4 推论1 2 8 ( 1 5 ) 设a b ) ，b b ( i c ) ，则 a c b ( ，瓤) 0 1 ( 幻) = n c b 。( e ，n ) a t ( m e ) = a t ( a ) u a c ：d ( a a ) n ( b a ) ) u 雪r ( a ，b ) 证明注意到m c 和蟾的伴随关系，我们直接计算得 q c b ( r ，咒】听( ) = n c e b ( 咒，咒) ( 咕) ) + = ( q c e s ( n ，赳) 川( m 占) ) + = ( 巩( b + ) ) + u ( c ：d ( b + 一a ) n ( a + 一a ) ) ) + u ( a c ：n ( a + 一a ) 是不闭的d ( 口+ 一a ) a ( a 一 ) u a c ：r ( b 一 ) 不闭的) u a c ：d ( a a ) = o 。且n 旧一a ) = o 。) 如果 擘口l ( a ) u a c ：n ( b 一 ) d ( a a ) ) u a c ：r ( b - ) 不闭的) u a e ： d ( a 一 ) = 0 0 上t n ( b a ) = 。) ，则a a 左可逆，r ( b - a ) 是闭的，d 一a ) n 旧一a ) 且n ( b a ) n ( b a ) ) u a c ：r ( a a ) 不闭的 u a c ：d ( a a ) = n ( b a ) = 。o ) 1 6 证明由协和蟛的伴随关系及t b ( c ，爿) 是紧的当且仅当t + 是紧的， 我们不难得到结论 我们可以得到定理1 1 8 推论1 2 1 4 对给定的算子对( a ，b ) ，我们有 n c e k ( e ，n ) a ( m c ) = n g f ( k ，州) 口( 如) = a t ( a ) u 口，( 口) u f c ：d ( a a ) n ( b 一 ) ) u c ：d ( a 一 ) = n ( b a ) = o o 证明由定理1 2 1 2 和推论1 2 1 3 ，结论显然 1 7 第二章2 2 上三角算子矩阵左( 右) 本性谱及w e y l 谱的扰动 2 1 引言 对给定的算子对( 4 ，口) ，d s d j o r d l e v i c ( 1 5 ) 得到： n c 口( 坛n ) a ( m c ) = c r i e ( x ) u a r e ( b ) u a c ：n ( b a ) + 忆( 且一a ) d ( b a ) + d ( a a ) 关于算子t 的w y e l 谱a w ( t ) ，本性谱a e ( t ) 和b o r w d e r 谱a b ( t ) 的问题吸引了许多 学者( 如【7 】1 【1 5 】，【3 2 ) 、 在本章里，我们刻画了：c i c e b ( ：，n ) a t m ( ) ，n c e 曰( 【，7 v ) a r m ( m g ) ，n c b 7 t ) a l e ( 拖) 以及n c b ( r ，w ) 听e ( a 幻) ，得到 n o b ( t c ，7 t ) a l e ( m c ) = a j e ( a ) u 垂f ( a ，b ) u 皿i ( a ，口) ， 其中 卸( a ，b ) = a c ：r ( b a ) 是闭的，d ( a a ) 。j i n ( b 一 ) = o 。) ， 且 k 。l ( a ，b ) = c ：n ( b a ) 不闭的且d ( a 一 ) o o 关于右本性谱，我们有： n c e b ( r ，t v ) a r e ( m e ) = o r e ( 曰) u 垂r ( a ，b ) u 皿，( a ，b ) ， 其中啡( a ，b ) = a c ：r ( a 一 ) 是闭的，d ( a a ) = o o 且n ( 目一a ) a ( b a ) 十d ( a a ) ) ( 7 ) 对右w e y l 谱，我们得到： n c 6 b ( e ，7 ) e r r ( m c ) = o r e ( b ) u 西r 训( a ，b ) u 皿，( 且，b ) ，( 8 ) 其中 c p r z o ( a b ) = a c ：r ( a a ) 是闭的，n ( b a ) + 扎( 4 一a ) d ( b a ) + d ( a a ) ) ( 9 ) 18 2 22 2 上三角算子矩阵左( 右) w e y l 谱的扰动 引理2 2 1 如果t b ( n ，尼) 是左w e y l 算子且s b ( 尼，7 4 ) 可逆，则s t 和t s 都是左w e y l 算子 证明如果t b ( u ，尼) 是左w e y l 算子，则t 是左f r e d h o l m 算子，故存在 t b ( 1 c ，7 i ) 和风k ( t i ) 使得t t = ，+ 凰成立因为t 7 s 一1 s t = ，+ 硒， s 叫t t s =