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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 等腰正交相关问题的研究 摘要 正交性在内积空间中起着相当重要的作用。随着赋范线性空间几何学的 发展，为了对空间性质更好的认识，人们在一般的赋范线性空间中引入了广 义正交的概念。本文利用等腰正交的性质和相关理论研究r 2 空间上的度量椭 圆的结构和性质及与等腰正交有关的几何常数。 首先，对广义正交理论的形成与发展进行了阐述，并重点回顾了等腰正 交理论的研究概况。同时对空间几何学的发展及空间几何常数，点态几何常 数的相关知识做了简要的概述。这些知识铺垫对本文内容的研究会有很多帮 助并会起到相当大的作用。 其次，对r 2 空间上的度量椭圆进行深入研究，通过研究r 2 上的内积空间 中单位圆和r 2 上单位圆为椭圆的空间中度量椭圆的结构，同时利用等距同构 理论研究r 2 上的内积空间中度量椭圆的结构和性质。 再次，在实赋范线性空间是可细化的理论基础上给出实赋范线性空间中 的凸性模和光滑模的等价定义，并得到了非方常数与空间凸性模和光滑模的 关系；接着，在点态凸性模建立基础上研究非方常数与点态凸性模的关系， 从而将空间几何常数与点态几何常数联系在一起。 最后，对s i n g e r 正交的一些性质进行了研究，证明了等腰正交的一些性 质也可以被s i n g e r 正交继承。同时找到了s i n g e r 正交，b i r k h o f f 正交与内积 空间之间的特征性质。 关键词s i n g e r 正交；非方常数；度量椭圆；凸性模；光滑模 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 r e s e a r c ho np r o b l e m sr e l a t e dt oi s o s c e l e s o r t h o g o n a l i t y a b s t r a c t o r t h o g o n a l i t yp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei ni n n e rp r o d u c ts p a c e s w i t ht h e d e v e l o p m e n to ft h eg e o m e t r yo fn o r m e dl i n e a rs p a c e s ，i no r d e rt oa c h i e v ea b e t t e r u n d e r s t a n d i n go fp r o p e r t i e so fs p a c e s ，t h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t yi s i n t r o d u c e di n g e n e r a ln o r m e dl i n e a rs p a c e s b yt h e t h e o r i e so fi s o s c e l e s o r t h o g o n a l i t y , t h ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r eo fm e t r i ce l l i p s e s i nr 2a n dt h e g e o m e t r yc o n s t a n t sa s s o c i a t e dw i t hi s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya r es t u d i e di nt h i s 强咚瓴。 f i r s t l y , t h ef o r m a t i o na n dd e v e l o p m e n to fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i o s t h e o r i e s ，e s p e c i a l l yi s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y , a n dt h eg e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e a n d g e o m e t r i c a lc o n s t a n t sa sw e l l a sp o i n t w i s eg e o m e t r i c a lc o n s t a n t sa le i n t r o d u c e d t h e s et h e o r i e sa n dk o n w l e d g e sa r ev e r yu s e f u lf o rt h es t u d i e si nt h i s p a p e r s e c o n d l y , w es t u d ym e t r i ce l l i p s e si nr 2 ，i n c l u d i n gt h es t r u c t u r eo fu n i t s p h e r e si ni n n e rp r o d u c ts p a c e sa n dm e t r i ce l l i p s e si nt h es p a c e sw h o s eu n i t s p h e r e sa r ee l l i p s e s ，a n db yt h et h e o r yo fi s o m e t r i ci s o m o r p h i s m ，t h ep r o p e r t i e s a n ds t r u c t u r eo fm e t r i ce l l i p s e si ni n n e rp r o d u c ts p a c e sa led i s c u s s e d t h i r d l y , b a s e d0 1 1t h et h i n a b i l i t yt h e o r yo fr e a l n o r m e dl i n e a r s p a c e s ， e q u i v a l e n td e f i n i t i o n s o ft h em o d u l u so fc o n v e x i t ya n dt h em o d u l u so f s m o o t h n e s s ，w h i c hg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nn o n s q u a r ec o n s t a n t s a n dt h e m o d u l u so fc o n v e x i t ya sw e l la st h er e l a t i o nb e t w e e nn o n s q u a r ec o n s t a n t sa n dt h e m o d u l u so fs m o o t h n e s sa r ep r e s e n t e d f u r t h e r m o r e ，t h er e l a t i o nb e t w e e n n o n s q u a r ec o n s t a n t sa n dp o i n t w i s em o d u l u s o fc o n v e x i t ya r eo b t a i n e d ，t h u s g e o m e t r i c a lc o n s t a n t si nb a n a c hs p a c e sa n dp o i n t w i s eg e o m e t r i c a lc o n s t a n t sa r e c o n t a c t e d f i n a l l y , p r o p e r t i e so fs i n g e ro r t h o g o n a l i t ya r es t u d i e d i ti sp r o v e dt h a ts o m e p r o p e r t i e so fi s o s c e l e so r t h o g o n a l i t yc a nb ee x t e n d e dt os i n g e ro r t h o g o n a l i t y i n 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 a d d i t i o n ，s o m e c h a r a t e r i z a t i o n sb e t w e e n s i n g e ro r t h o g o n a l i t y , b i r k h o f f o r t h o g o n a l i t ya n di n n e rp r o d u c ts p a c e sa r e o b t a i n e d k e y w o r d s s i n g e ro r t h o g o n a l i t y ；n o n s q u a r ec o n s t a n t s ；m e t r i ce l l i p s e ；m o d u l u s o fc o n v e x i t y ；m o d u l u so fs m o o t h n e s s 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文等腰正交相关问题的研究，是本 人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的 成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。 对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法 律结果将完全由本人承担。 作者躲栅乎期叫年妒归 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 等腰正交相关问题的研究系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导 师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文 的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、 使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文 被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：杪阻1 3 日期蛳畔月佃 导师签名： 咿仰 l 嗍：矸午月日 lf 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 一般赋范线性空间中的广义正交性是内积空间上的正交性的推广。一般赋 范线性空间中的广义正交性的引入及研究让人们对空间性质有了更好的认识。 继1 9 3 4 年b d r o b e r t s 根据欧氏平面中“垂直平分线上的点到线段两端距离相 等”这一性质提出了r o b e r t s 正交的概念之后【l 】。人们先后提出了不同的正交的 概念 2 , 3 1 。这些正交的概念在一般的赋范空间中虽然各不相同，但他们在内积空 间中都是一致的，都从不同的角度反映了欧氏空间中的正交性的一些本质的属 性。在这些正交性当中，最基本、几何背景最直观并且得到较为广泛研究和应 用的要属b i r k h o 旺交，等腰正交和勾股正交【4 5 】。作为对等腰正交研究的延伸， 吴森林在1 9 9 6 年引入度量椭圆的概念 6 1 ，把欧氏空间中椭圆的概念推广到一般的 m i n k o w s k i 平面上去，给出了度量椭圆的定义。目前关于这一几何结构已经得到 了一些重要的结论。 空间几何常数是空间几何性质的量化和深入，从几何性质的研究到几何常 数的计算是从定性到定量的推进。空间几何常数的取值范围直接决定了某些几 何性质的有无。到目前为止，我们已经获得了一些几何常数【7 9 1 0 i i , 1 2 l 。1 9 3 5 年 j o r d a n p 和v o n n e u m a n n j 定义了j o r d a n - n e u m a n n 常数g ，f j r ) ，给出了空间x 是h i l b e r t 空间的等价条件是g ，( x 1 = l ，开始了对几何性质进行量化的研究【l 引。 1 2 一般赋范空间中正交理论的形成与发展 对于欧几里德和牛顿来说，空间具有各向同性，然而这样的概念不符合于 我们在现实生活中的某些经验。例如，“上 、“下修的含义是与“东 、“西一不 同的；再如，由于存在某些“优先 的方向，晶体将生长成为多面体而不会长 成类似于肥皂泡的球形。m i n k o w s k i 几何就是这样一种几何理论，有限维的赋范 线性空间上的几何称为m i n k o w s k i 几何。在外界看来，m i n k o w s k i 几何对于不同 的方向，度量的单位是不一样的，m i n k o w s k i 空间中的“圆、“球面 是一些凸 的图形，而不像欧式空间中的圆或者球面那样是圆形；但是以m i n k o w s k i 几何的 理论看来，各个方向的度量单位都是“一样的 ，因为此时我们所用的标尺随着 所度量方向的改变( 在外界看来) 在自动的改变。但是，我们依然可以利用 m i n k o w s k i 几何的度量方法来证明，这种几何理论是非欧式的：因为在欧式几何 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 中，单位圆的周长是2 a ，但是在m i n k o w s l d 几何中，这个值可能是6 到8 之间的 任何一个数，而且对于空间中的不同的平面，这个值一般也是不同的，这清楚 的表明，m i n k o w s k i 几何不具有各向同性。m i n k o w s k i 几何与欧式几何最大的不 同在于m i n k o w s k i 几何中不具有“正交 的概念。虽然，在m i n k o w s l ( i 几何中， 一点到一条直线也有最短距离，不幸的是这个最短距离可能在许多不同的点达 到，而且以“距离最短 定义的正交关系也不具有对称性。由于没有正交和直 角的概念，欧式几何中最主要的定理之一勾股定理在m i n k o w s b 几何中也就没有 意义了。正交性的概念在欧式空间的几何理论中扮演着相当重要的的角色，它 不仅仅出现在欧几里德的第四公设中：所有的直角都相同，而且在其它的一些 基本定理，例如勾股定理中都有它的身影。其它四个分别是：任意两点一定可 以用直线连接；直线可以任意延长；可以以任何一点为圆心，任意长为半径画 圆；过直线外一点恰有一条直线与已知直线平行。在赋范空间几何学的研究中， 一个潜在的主题就是在更为一般的空间中寻找一个新的概念来替代欧式空间中 的正交性。 对于内积空间x 中的两个向量x , y ，如果满足 2 ，存在巳，e 2 s ( x ) ，使得q 上，吃， 并且 i 。n ( 。9 e , + 他i i = 2 一1 ) 当且仅当存在x 的一个二维子空间x 。以及粕s ( x o ) ，使得是单位球面上长 度不小于芝的线段的公共端点。 对二维序列空间及对称的m 赫s k i 平面上的d 伍) 有如下定理。 f1 翩1 一( 1 ) 叭功地f 南出【0 ，q ( 幼l i m 。d ( 1 , , ) = 2 啦一1 ) ( 3 ) 令石是r 2 上一个对称的m i n k o w s h 平面，e l = ( 1 ，o ) ，乞= ( o ，1 ) 是x 上的 一对对称轴，则 烈朋划 而赫加r j 其中肌表示x 的对偶空间的范数； ( 4 ) 如果x 是一个对称的m 姗s l c i 平面，则d 伍) = d 似) 。 关于广义正交性之间的差异还有其它一些结论【2 3 一。 1 3 3 等腰正交与内积空间的特征性质 定理1 9 2 5 】设x 是一个实赋范线性空间，d i i i l ( x ) 2 ，下列事实等价： 1 等腰正交是齐次的，即对任意t r ，而y j 隋，x 上，y x 上，t y ； 2 对任意”，1 ，s ( x ) ，t o 有，t u 上，1 ，“上，； 3 对任意”，1 ，s ( x ) ，存在w s ( s p a n ( u ，1 ，) ) ，使得对任意f r 有 上，抑 4 存在ce ( 0 , 1 ) ，对任意x , y 贿，x 上，yj x 上，c y ； 5 等腰正交是可加的，即对任意工，y ，z 贿，x 上，乙y 上，z j ( x + y ) 上，z ； 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 6 对任意“s ( x ) ，存在过原点的超平面日，使得掰上，日； 7 任意过原点的超平面日，存在“s c x ) ，使得u 上，h ； 8 对任意蠢k ：x j - iz ，z x 是凸集； 9 对任j 靓 z ：z 上，z ，z x 含于某个过原点的超平面中； l o 对于某些满足条件2s 刀d 的n ，如果五，瓦线性无关，并且对任意 z s p a n ( 西，) 满足工上jx ，j = t ，靠，贝 l 茗= o ； 1 1 x 是内积空间。 1 3 4 等腰正交与度量椭圆 作为对等腰正交研究的延伸，根据欧氏平面上的椭圆是到两定点e ，e ( 焦 点) 的距离之和等于定长，并且知大于两定点之间的距离勘的点的集合。吴森 林，计东海在1 9 9 6 年把欧氏空间中椭圆的概念推广到一般的m i n k o w s k i 平面上 去，给出了度量椭圆的定义 定义1 3 【6 1 3 4 令x 是一个m i n k o w s k i 平面，而ye 置工y 并且c 肛一硼， 称集合 e ( x , y , c ) = z x l l l x - z i i + l l y - z 1 1 - - c 为以五y 为焦点，大小为c 的度量椭圆。 吴森林，计东海已经证明 6 1 3 4 - 3 5 ： 奶，c ) 。掣d 函，尚，南j + 孚 所以，为了研究一般度量椭圆的结构和性质，只需研究形如： 如，c ) = x 肛+ 堋+ 肛一硼；c j 的度量椭圆，其中工s ( 彳) ，c 2 。 吴森林，计东海研究了度量椭圆在一般的m i n k o w s k i 平面上的结构。首先 考虑x s ( x ) ，c = 2 时的情形。 定理1 1 0 t 6 1 3 7 - 3 8 设x 是一个m i n k o w s k i 平面，x s ( 工) ，则 ( 1 ) 如果x 是s 似) 的端点，则e g ，2 ) = 【- 戈，x 】； ( 2 ) 如果k ，v ies ( x ) 是包含x 的极大线段，则e g ，2 ) 是以x 和一x 为一对顶 点，并且四边分别平行于直线( 0 掰) 和 2 的情形。 定理1 n 【6 p 螂设x 是一个m i n k o w s k i 平面，对任意x s ( x ) ，c 2 ，度量 椭圆e k c ) 是一条中心对称的闭凸曲线。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 上面的定理表明，如果x 是一个m i n k o w s l d 平面，对任意x s ( x ) ，c 2 ， 度量椭圆觑而c ) 是一条中心对称的闭凸曲线。于是有一个很自然的问题，是不 是所有的中心对称的闭凸曲线都可以用某个m i n k o w s k i 平面上的度量椭圆来表 示呢? 下面的定理表明，一般来讲，答案是否定的。 定理1 1 2 1 6 4 设x 是一个m i n k o w s k i 平面，不存在x s ( x ) ，以及c 2 ， 使得e k c ) 是一条平行四边形。 一个赋范空间x 被称为是严格凸是指它的单位球面s ( x ) 不包含任何非平 凡直线；另外一个等价条件是：对于满足条件肛+ y 8 = l h i + l 刎的任意的工，y ， 都有石= 勿，其中见0 。下面的定理表明了空间的严格凸性和由它生成的度量 椭圆的严格凸性之间的关系。 定理1 1 3 【6 1 驯1m i n k o w s l d 平面x 是严格凸的当且仅当任意工s ( x ) ，c 2 ， 度量椭圆e k c ) 是一条严格凸曲线。 定理1 1 4 【6 j 4 州设x 是一个m i n k o w s k i 平面，对任意t 0 ，令 c ( f ) = s u pi n f c ：t b ( x ) c d ( x , c ) x e s ( x ) 则( 1 ) 对任意t 0 ，c “) 2 , i + 产；， ( 2 ) 如果对于某些t 0 t 萑l 以) 2 4 1 + t 2 成立，则x 的范数是由内积诱导 的，其中 盹c ) - b , x 肚+ y 0 + 肛一卅s c j r = t a l l | 篓l ：刀= 2 ，”，后= l ，2 ，靠一l l z n j 容易知道如果x 的范数是由内积诱导的，则对任意石s ( x ) ，c 2 ，度量 椭圆e kc ) 是形如y = 锨+ 肛上的点构成的集合，其中一s ( x ) ，上x ，并且 b 1 ) 2 + 2 + x ( c r + l y + 2 = c 。那么反过来一个w s k j 平面应该满足什 么样的条件才可能是内积空间? 下面的定理1 1 6 表明如果m i n k o w s k i 平面满足 上面的条件，则该m i n k o w s k i 平面是内积空间，从而给出了内积空间的一个新的 特征性质。 定理1 1 5 6 4 5m i n k o w s k i 平面x 是内积空间当且仅当对任意t r ，存在 e l ，e 2 s ( x ) ，使得i i q + 镌| 1 2 = l + f 2 。 定理1 1 6 1 日4 洲设x 是一个m i n k o w s k i 平面，则x 是内积空间当且仅当存 在而，y o s 似) ，使每对于任意c 2 ，、 e k c ) = + 矾l 0 一1 ) 2 + 2 + 缸+ 1 ) 2 + 2 = c 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 4 空间几何常数的研究与发展 空间几何常数是空间几何性质的量化和深入，从几何性质的研究到几何常 数的计算是从定性到定量的推进。空间几何常数的取值范围直接决定了某些几 何性质的有无。与等腰正交相关的几何常数有j a m e s 非方常数g 似) 和s d 通脑 非方常数g 似) ，非方常数源于j a m e s 在1 9 6 4 年提出的一致非方空间的概念。 定义1 4 2 6 1 设x 是一个赋范线性空间，常数。 c ，( x ) = s u p l x + y 9 i i x - y l l ：工, j ，s 仁) 称为x 的j a m e s 非方常数； c s ( x ) = i n f l i x + y l l vg x - y l l ：x ，yes ( x ) 称为x 的s c h 五f f c r 非方常数，其中忙+ 卅人肛一y 表示肛+ 州与肛一卅的最小值， 忙+ y i i v 忙一y 0 表示忙+ 硎与肛一y 的最大值。 非方常数是空间几何性质的量化和深入，表示着空间的非方状态，若 q ( x ) l ，则单位球( 面) 是一致非方。此外非方常数的值与一致正规结构和 空间的一些其他的几何性质密切相关阻勰】。因此非方常数的引入方便了空间几 何性质的研究。 1 9 9 4 年，王廷辅与计东海在关于“赋范空间的非方常数 一文中得出 2 9 1 。 如果x 是一个赋范线性空间，则q 似) g 伍) = 2 当且仅当a i m ( x ) 1 ；而 且给出了非方常数在一些经典的b a n a c h 空间，如，c ，0 ，厶中的下述等价 表示： g ( x ) = g i l p k + 叫：b + 叫= 肛一y 8 ，毛y s 伍) g 伍) = i n f i k + 枷：牡+ 卅= i k 一叫i ，毛y s 伍) j 这便为非方常数的计算提供了方便。 1 9 9 9 年，计东海提出细度的概念。 定义1 5 刚o x 是一个赋范线性空间，对任意五y e s ( x ) ，忙+ y 0 忙一y 6 ， c 【o ，i i x + y l l - 4 x - y l i 1 1 如果存在而，y o s ( x ) 使得 l ix + yi i | fx o + y of i | ix o 一i i 习ix - yi i 且l i + y 0 8 = l i x o y o0 = c 则这个空间是可细化的。， 同时证明了如果伍，| | i | 肼) 是一个实赋范线性空间，i j t d i m ( x ) 2 ，则伍，| i | l 肘) 是可细化的，从而给出了一般的b a n a c h 空间中非方常数的等价表示。 定理1 1 7 鳓4 4 2 设，i i l lj 是一个实赋范线性空间，且d i m ( x ) 2 ，则 c j 伍) = s u p i 卜+ y 0 ：l k + y 0 = 肛一y l ，毛y s ( ) c 名( ) = i n f i k + y 0 ：l x + j ，l = i i x y i i 毛y es c r ) c ( z ) c s ( x ) - - 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 o p l 赢+ 赢0 ：9 市旨+ 赢0 = n l l 翥l 一赢8 ，毛y i n f 雌x i f + 刮i ：峙+ 刮= 一赢4 ，而y 事实上，它还可以表示为： q 似) = s u p 舡+ j ，0 ：x 上， g 伍) = i i l f 舡+ y 0 ：x 上， q 陆o p l l 高+ 制 g 陆m f h + 制 y ，毛y s 伍) y ，而j ，s 伍) l sy , x , y ；e0 i sy , x , y ；e o ) 有了上述等价表示，我们还可以把非方常数理解为单位圆的内接等边四边 形的最大边长，这里面“等边一是指各边的范数相等。 我们知道内积空间的非方常数是2 ，但是非方常数是2 的空间是不是内 积空间呢。j b o r w e i n 和l k e e n e r 在1 9 8 0 年提出的更为经典的一个问题是【3 l 】： 如果一个空间x ，对某个固定的兄r ，满足下列的只性质，那么这个空间是不 是内积空间。 只性质：对任意五y s ( x ) ，x 上，a j ，j 忙+ 名j ，1 1 2 = 肚一五川2 = l + 名2 1 9 8 8 年j a l o n s o 和c b e n i t e z 否定回答了这个问题【3 2 l ，证明了如果r 2 上某 个赋范空间的单位球面旋转g = 2 ，3 ) 不变，并且 z n l a = t a n 竺仗= 1 ，2 ，甩一1 ) 2 n 则这个空间满足只性质。于此同时两个新的问题又被提了出来。 1 满足足性质的空间是否一定旋转o = 2 ，3 ，) 不变? z 刀 2 三维以上的实空间如果满足只性质是否一定是内积空间? 以上两个问题至今没有解决。 另外一个概念是对称的m i n k o w s k i 平面的概念嘲1 2 。设x 是一个m i n k o w s k i 平面，如果存在q ，e q s ( x ) ，使得9 力b + l , l e ：8 - i i 五e + 胆：恃l 胁+ 鸽8 ，我们 就称x 是一个对称的m i n k o w s k i 平面。关于对称的m i n k o w s k i 平面已经得到如 下事实： 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 设x 是一个对称的m i n k o w s k i 平面，任意毛y s ( x ) ，x = 媚+ 庳2 ，则 y 上，工当且仅当y = ( 一庇+ t t e 2 ) ； 2 对称的m i n k o w s k i 平面的单位球面是r a d o n 曲线当且仅当它是h i l b e r t 空间； 3 正2 刀边形是对称的m i n k o w s k i 平面的单位球面当且仅当n 是偶数。 与r a d o n 曲线相比，对称的m i n k o w s k i 平面没有得到广泛的研究，目前已 知的结论只有“对称的m i n k o w s k i 平面的单位圆的周长不小于2 万一。但是，对 对称的m i n k o w s k i 平面进行深入研究是有必要的，这是因为对称的m i n k o w s l d 平面是广泛存在的，例如实二维空间，。的单位球面都是对称的m i n k o w s k i 平面。 r a d o n 曲线和对称的m i n k o w s k i 平面正好是对正多边形范数的一个分类。 1 5 记法与标记 本文中，称实的有限维赋范线性空间为m i n k o w s k i 空间上的几何理论为 m i n k o w s k i 几何。设x 是一个m i n k o w s k i 空间，i 0 是x 上的范数，集合： s 伍) = k e x ：删i = 1 j 口伍) = k e x ：l l x l l 2 ，存在x o ，y o 五，使得t x = x o ，砂= 蜘且 k 。= 。= 删= 1 ，l y 。l 。= 渺8 - - h 。 因为忙+ 叫| + 忙一硎= c ，所以n x o + y o h ，+ u x o - y 。1 1 = c ，故e k ，c ) 。 反之，对任意y o e ( 而，c ) ，存在y e kc ) ，使得砂= 蜘且 炒。肌= l 陟8 - i l y 8 所以丁是e k ，c ) 和e kc ) 的等距同构映射，根据引理2 2 知，层k ，c ) 是椭 圆或圆，故e kc ) 也是椭圆或圆。 定理2 2 设x - ( r 2 ，j i j j ) ，则x 是内积空间的充要条件是存在其度量椭圆 是椭圆或圆。 证明：根据定理1 1 6 ，设而= ( q ，1 5 i ) ，y o = ( 口2 ，6 2 ) ，对任意y = o ，f ) e ( 而，c ) 有 忙芸：2 从而存在，魄，屹，v 2 ，使得 因为 即 所以 因而e k ，c ) 是椭圆或圆。 兰+ 卤= t 44 譬+ 臀= t c l c 一4j 44 证毕。 吖嵋 + + 即舭 = = 口矽 ，【 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 3 本章小结 本章首先证明r 2 上的内积空间中单位圆为椭圆或圆，接着通过讨论r ：上单 位圆为椭圆的空间中度量椭圆的结构，并利用等距同构理论得到了r 2 上的内积 空间中度量椭圆的结构为椭圆或圆。容易知道两个内积空间的度量椭圆是有交 集的，同时注意到内积空间是线性等距同构的。如果可以利用度量椭圆给出二 维赋范空间线性等距同构的一个充要条件，这将对相关的理论研究有很大帮助。 再者，可以考虑在二维空间基础上给出三维空间度量椭球的概念，并对其结构 及性质进行研究。这样将度量椭圆问题由二维空间推广到多维空间也具有十分 重要的意义。这些问题有待我们继续研究。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章等腰正交相关几何常数的研究 3 1 引言 与等腰正交有关的非方常数源于j a m e s 在1 9 6 4 年提出的一致非方空间的概 念，非方常数是非方问题的量化，它们的取值与一致正规结构和空间的一些几 何性质紧密联系。计东海1 9 9 9 年提出细度的概念 3 0 1 4 4 0 ，同时证明了一个二维以 上的实赋范线性空间是可细化的。从而给出了一般的b a n a c h 空间中非方常数的 等价表示。 凸性和光滑性是空间中最基本的性质，对于这些性质的研究有助于揭示空 间的自身结构。目前有关空间各种凸性和光滑性的研究已趋于完善。自从1 9 3 6 年j c l a r k s o n 开创从b a n a c h 空间单位球的几何结构出发来研究b a n a c h 空间性 质的方法以后【3 3 1 ，人们从多侧面对空间的凸性和光滑性进行了研究，并从不同 角度给出了空间凸性模和光滑模的定义。 另外，点态凸性是空间凸性的点态化，局部化。点态几何常数的表示，估 计和计算是点态几何性质的量化，是空间几何常数的局部化，精细化。因而点 态几何常数的研究可以使我们从微观上更深刻，更细致的了解空间自身的结构 卧3 毛蚓。2 0 0 5 年姚君，计东海引入了点态凸性模的定义【3 7 1 ，对点态凸性模的相 关问题进行了研究和讨论，并得到了一些有用的结果。 3 2 预备知识 定义3 1 例枷一般赋范线性空间x 是可细化的是指：对任意而y s ( x ) 0 x + y l i i k y 8 ，c 【o ，肛+ y i 一肛一y 眦 存在而，y o s ( x ) ，使得 l i x + y l l - i l x o + y 。k y 。h k y i l 且慨+ 蜘h k y o l i - c 定理3 1 t 3 0 1 4 4 2 设义是实赋范线性空间，其中d i m x 2 ，则( 置j j | ) 是可细化 的。 m m d a y 根据j a c l a r k s o n 引入的一致凸的概念给出了赋范线性空间凸 性模的定义。 定义3 3 1 3 8 1 设x 是赋范线性空间，称 以协砒| 1 - h ：悱悱1 ，u x - y b 习 ( 0 姐 0 ( o o ) 为空间x 的凸性模，且x 是一致凸的充要条件是对任意f 0 ，办( t ) 0 。 之后，t f i g i o l 通过研究证明得到了这两种凸性模之间的关系。 以g ) = 0 一以g m x l 赢j m m d a y 同时给出空间中光滑模的定义。 定义3 5 【3 8 】3 1 7 9 设x 是赋范线性空间，称 柞) 叫背：悱刎_ l b - y l l 妇) 为赋范线性空间x 上的光滑模。 定理3 3 t 3 s 1 3 7 蝴1 设x 是赋范线性空间，则 ( 1 ) 赋范线性空间x 是一致光滑的充要条件是l 硒孙p ) = 0 ； ( 2 ) 若x 是内积空间，则g ) ：，7 g ) ：互1 丝兰； ( 3 ) 对任意占( 0 ，2 】，7 x g ) r np ) ； ( 4 ) 如果如果对某些s (