（基础数学专业论文）应用奇点理论研究一类非线性边值问题的分支.pdf

摘要 在分支理论中，研究含参数的非线性微分方程的分支解的存在性以及分支解 的个数是一个十分重要的问题而研究非线性项对方程的分支解的存在性和分 支解的个数的影响，也是很有意义的事情本文主要就是研究非线性边值问题中 非线性项所具有的分支性态对边值问题的分支性态的影响 本文内容分为四个部分在第一章绪论部分，我们简要地介绍了奇点理论的 发展历程和主要研究领域，以及奇点理论在分支理论方面的应用，引出了本文的 主要内容和意义第二章则主要介绍了奇点理论和分支理论中的基本概念和一 些重要思想在接下来的第三章中，简要介绍了已有的研究成果，在此基础上引 出本文所要解决的问题第四章是本文的主要工作，即借助奇点理论的方法研究 了一类带分支参数的非线性边值问题我们首先通过l i a p u n o v s c h m i d t 约化，把 无穷维函数空间转化为有限维情形来处理，将微分系统的动态分支性态转化为静 态分支问题来研究当系统中出现非线性项f 为余维有限的分支问题时，在分支 问题强等价意义下，借助奇点理论的方法与分支理论的知识，证明了非线性项f 的分支性态可确定微分边值系统的分支性态，并在一定条件下给出了微分边值系 统平衡解的局部分支性质( 包括分支解的存在性和分支解的个数) 关键词：奇点理论；分支参数；非线性；边值问题；等价群；有限决定性 a bs t r a c t i nt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y ，s t u d y i n gt h ee x i s t e n c ea n dt h en u m b e r so fb i f u r c a t i o n s o l u t i o n so fan o n l i n e a rd i f f e r r n t i a le q u a t i o nw i t hb i f u r c a t i o np a r m e t e ri sa n i m p o r t a n tp r o b l e m i ti sa l s os i g n i f i c a n tt os t u d yt h ee f f e c to ft h en o n l i n e a rt e r mo n t h ee x i s t e n c ea n dt h en u m b e r so fb i f u r c a t i o ns o l u t i o n so fan o n l i n e a rd i f f e r r n t i a l e q u a t i o n t h i st h e s i sm a i n l ys t u d yt h ee f f e c to fb i f u r c a t i o np r o p e r t i e so fn o n l i n e a r t e r mo nb i f u r c a t i o np r o p e r t i e so fb v p ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) t h ec o n t e n to ft h i sp a p e rw i l lb em a i n l yd i v i d e di n t of o u rp a r t s i nt h ef i r s t c h a p t e r ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n t a lc o u r s eo fs i n g u l a r i t yt h e o r ya n d m a i n l yr e s e a r c h e s n e x t ，w ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no fs i n g u l a r i t yt h e o r yi n b i f u r c a t i o nt h e o r y ，t h e nb r i e f l yi n t r o d u c er e s e a r c h e sa n di n n o v a t i o n so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dm e t h o d s i ns i n g u l a r i t yt h e o r ya n db i f u r c a t i o nt h e o r y i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r ，w el i s t o u tt h ek n o w nr e s u l t s ，a n de d u c et h er e s e a r c ht h i sp a p e rw i l ld o i nt h ef o u r t hp a r to f t h i sp a p e r ，ac l a s so fn o n l i n e a rb v p ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) w i t hb i f u r c a t i o n p a r a m e t e ri ss t u d i e db yu s i n gs i n g u l a r i t yt h e o r y f i r s t ，w eu s et h el i a p u n o v - s c h m i d t r e d u c t i o n t r a n s f o r mt h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a lf u n c t i o n s p a c e f o rt h e f i n i t e - d i m e n s i o n a ls p a c e ，a n dt r a n s f o r mt h ed y n a m i cb r a n c hf o rt h es t a t i cb r a n c ho f t h ed i f f e r e n t i a ls y s t e mt os t u d y w h e nt h en o n l i n e a rt e r mfi sab i f u r c a t i o np r o b l e m o ff i n i t e - d i m e n s i o n a li nt h es y s t e m ，w ep r o v et h a tt h eb i f u r c a t i o np r o p e r t i e so ff d e c i d e st h a to fb v pb yt h em e t h o do fs i n g u l a r i t yt h e o r y t h el o c a lb i f u r c a t i o n n p r o p e r t i e so fe q u i l i b r i u ms o l u t i o no ft h es y s t e mf o l l o w sf r o mo u rr e s u l t s ，i n c l u d i n g t h ei n f o r m a t i o no ft h ee x i s t e n c ea n dt h en u m b e r so ft h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o n s k e y w o r d s ：s i n g u l a r i t yt h e o r y ；b i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ；n o n l i n e a r ；b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；e q u i v a l e n tg r o u p ；f i n i t ed e t e r m i n a c y h i 符号 r z + q 工 m r t ( j o r ( 厂) c o d i m f 三 d ”( z ，兄) 符号说明 含义 一维欧式空间 正整数的集合 光滑函数芽环 极大理想 厂的限制切空间 厂的切空间 厂的余维数 表示却( 0 ，0 ) 表示矽在( “，五) 处对甜的r l 阶偏导数 w 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担 作者签名：欧阳卷宏日期：瓣g 月j 莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：l 致墨日态客日期：2 d d 湃5 月1 分日 导师签名：砖互 寸” 月 第一章绪论 本章简要地概述了奇点理论和分支理论的发展，并介绍了当今奇点理论的几 个主要研究方向和本文所研究问题的背景和意义 1 1 历史背景与研究动态 奇点理论是分析学科中的一个新的分支，它是处在分析，微分拓扑，微分几 何，交换代数与李群以及微分方程等数学学科交汇处的一门学问，又在诸多领域 如微分方程，振荡积分，动力系统，分支理论，突变理论，几何光学与波动光学 乃至生物学，经济学等学科中有广阔的应用 奇点理论的发展，最早期有2 0 世纪3 0 年代h m m o r s e 的临界点理论，4 0 年代 h w h i t n e y 的与微分流形嵌入，浸入有关等工作，l p o n t r y a g i n 与示性类有关等工 作1 9 5 5 年h w h i t n e y n l 发表了关于把平面映到平面的映射奇点工作，它标志着 奇点理论作为一门独立的数学分支登上了数学的舞台6 0 年代，r t h o m 等人总 结了前人的成果，把奇点理论中的方法和结果统一到一个更为概括的理论框架中 在7 0 年代，v ia r n o l d 凹3 在光滑函数的临界点分类方面做了许多杰出的工作，引 入了一些深刻的工具对一类很重要的函数的分类作出了新的阐释，他还发现了奇 点理论与振荡积分之间的联系，开创了所谓的“量子突变理论 1 9 7 5 年前后v v l y c h a g i n 口1 等人引入了应用奇点理论在接触几何框架下研究 偏微分方程几何理论随后三十年，几何偏微分方程及其几何解的研究有了长足 的进展例如国外有i z u m i y as , j a m e sd a m o n h 朝阳1 等，国内有，余建明，孙伟志， l ib i n g 8 m 1 等，它到现在还是一个研究热点 1 9 7 9 年前后m g o l u b i t s k y 和d g s c h a e f f e r 13 首先引入了奇点理论的方法和 群论方法研究分支问题的思想，他们对分支问题研究所用的工具主要来自于光滑 函数芽的奇点理论中的相关理论其中包括：( 1 ) 分歧问题的开折研究分歧问 题在一般扰动下的变化状态( 2 ) 分歧问题的识别它探讨一个分歧问题在什么 样的条件下等价于给定的标准形式( 3 ) 分歧问题的分类到目前为止，只对几 类分歧问题在低余维条件下的分类问题予以解决在这些方面，国外如j w b r u c e n 2 1 等，国内如李养成，邹建成，l ib i n g n 3 1 4 儿1 5 1 6 1 等近年来也作了大量的工 作( 4 ) 分歧理论的应用许多专家和学者研究了大量带有参数的微分方程模型 以解决应用领域中的问题，例如物理学中的b u c k l i n gm o d e l ，化学中的 r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，t h eb r u s s e l a t o r 等 1 2 问题的引入及意义 奇点理论的应用非常广泛：如m a r t i ng o l u b i t s k ya n dw i l l i a mf l a n g f o r d 在文 献 1 7 】中利用奇点理论研究了一阶微分自治方程在平衡点附近周期解的个数的 分支情况，并得到了正规形及其识别条件；h w b r o e r 等在文献【18 】中应用奇点 理论研究t h ei n v e r t e dp e n d u l u m 的解的分支及其正规形和万有开折；h w - b r o e r ，m a r t i ng o l u b i t s k ya n dg e r tv e g t e r 在文献 1 9 】中应用奇点理论研究了映射在 不动点附近的q 周期轨道条数的分支情况及正规形和万有开折；杜东云和唐云在 文献 2 0 中应用奇点理论研究了d i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c e - a l g e b r a i c 方程解的分支情 况 在应用领域中，带有参数的微分方程模型是十分常见又十分重要的一般都 需要分析其解的分歧性态例如当参数变化时，其解的个数和稳定性可能发生什 么样的变化? 这种变化所揭示的现象带有普遍性又如文献【2 l 】中长为万的压杆 的屈曲问题可归结为对下面的e u l e r 方程： 2 的解的分歧性态的研究 电力系统中如文献 2 2 2 3 】，常常需要研究下列的模型： 称之为带参数见的微分代数方程( d a e ) ，在这方面，袁斌，孙启宏在文献 2 2 2 3 】 中主要利用分析的方法和多尺度计算的方法研究该系统在奇点附近的局部分支 性态和全局分支性态；陈伯山等在文献 2 4 】中在一定条件下把该系统转化为在子 流形上的受限系统，然后在受限系统的基础上考虑其解在奇点附近的分支和标准 型，他们所使用方法的基础是分析和微分流形的理论2 0 0 2 年杨志辉等在文献 【2 5 】中用奇点理论研究了如下系统： f i d x ：，( 工，见)l 一2 ，i z 以j 1 刃 、7 l - 0 = g ( x ，五) 引入g t - 等价关系，然后在此等价关系下研究一维d a e 的分类，给出了较低余 维( 0 ，x ( o ，o ) = o ，人( 0 ) = o ，以( 0 ，0 ) 0 和a 五( o ) o 特别当上式中的 童 人( a ) 暑五时，厂和g 称为强等价，并记作g - f 在上述定义中记f = ( s ，x ，人) ls ( o ，0 ) o ，x ( o ，0 ) 0 ，置( 0 ，0 ) 0 ，a 五( o ) 0 ) ，对 f ，= ( s ，五，人，) f ，忙1 ，2 ，令： s ( x ，五) = s 2 ( x ，五) s ( 置( x ，五) ，人2 ( a ”! x ( x ，z ) = 五( 置( x ，五) ，人2 ( 允) ) 人( z ) = 人l ( 人2 ( 五) ) 则定义了r 上的一个运算，并且r 关于这种运算成为群，r 在q 五上的作用定为： “s ，x ，人) g ) ( z ，名) = s ( x ，五) g ( x ( x ，妨，a ( a ) ) 其中g q 工，( s ，x ，人) r ， 2 5 分支问题的切空间和余维数 2 5 1 切空间 下面我们定义分支问题的限制切空间，它是环q ，a 中的理想 定义2 5 1 对于分支问题，厂的限制切空间r t ( f ) 定义如下： l o r r ( f ) _ & j 定义2 5 2 设h 毛_ ，定义尸( ) 如下： 如果对任意的g - h ，f r ，均有r t ( g + t p ) = r r ( g ) ，则p p ( ) 定义2 5 3 芽厂t 丑的切空间定义为： 丁( 厂) = 矿+ 妖+ 畈i 口，b 巳c 毛) = + 乞 厶) = r t f + s a a + r l ) 显然切空间一般不是环t 五中理想但有r 丁( 力c 丁( 厂) 成立( 在不引起混淆的情 况下我们一般把理想r t ( f ) 所在的环q 五省掉) 我们现在看个简单的计算设f ( x ，名) = ，+ a x 则： r t ( f ) - - = = m 3 + m t ( f ) = + 毫 x ，3 x 2 + 旯)( 2 5 1 ) 2 5 2 分支问题的余维数 定义2 5 4 称厂毛，五余维有限或有限余维，指r ( ) 在q ，名中的余维数有限 即r ( 厂) 看成实向量空间在q 五中的补空间是有限维的实向量空间 我们通过计算就可以知道f 的余维数由( 2 5 1 ) 我们知道丁( 厂) 在_ 中的补 空间为r i ，x 2 ) 或r 1 ，a ) ，所以t ( f ) 的余维数为2 也就是的余维数 第三章已有结论和新的问题 在分支理论中，研究含参数的非线性微分方程的分支解的存在性以及分支解 的个数，是一个十分重要的问题而研究非线性项对方程的分支解的存在性及分 支解个数的影响，也是很有意义的当( 含参数的) 方程中非线性项是一个可微 映射芽时，我们就可以自然地用可微映射的奇点理论来研究分支性态( 参见文献 二阶非线性系统是一类十分重要的数学模型，在大量的实际应用中都会出现 这类模型( 例如文献 2 6 】【2 7 】等等) 对于非线性的二阶系统的分支问题，已经 有许多工作，例如文献【1 0 】【2 8 】【2 9 】【3 0 】【3 5 】【3 6 】等等本章中将重点介绍 【2 8 2 9 3 0 】的已有结果 3 1 不含一阶项的非线性二阶系统边值问题的研究 早在1 9 7 9 年前后，g o l u b i t s k y 和s c h a e f f e r 就在 1 0 】中引入了奇点理论的方法， 讨论过一些非线性边值问题的局部分支性态例如 一“。+ 彳，( 甜) = 0 ，“( 0 ) = ”( 1 ) = 0 与 一材。- 五s i n u = 0 ，甜( 0 ) = ”( 万) = 0 在局部材= 0 ，五= 气处的分支性态 定理3 1 1 啪1 设f 名是一个等价于办( x ，名) = 占矿+ 8 2 ( k 3 ，f ，万= 1 ) 的奇 点，则边值问题 ( “，a ) = ”。+ f ( 材，a ) = 0 ，a u ( o ) + b u ( 0 ) = 0 ，c u ( 1 ) + d u ( 1 ) = 0( 3 1 1 ) ( 其中谢一b c 0 ) 在( o ，o ) 处的分支情况如下： ( 1 ) 当c = 0 或c ( b c 一口 + d ) ) 0 时，边值问题( 3 1 1 ) 不发生分支； 1 2 ( 2 ) 当c , 0 $ i rb c - a ( c + d ) = 0 时，令口= - ( c + d ) c ，则有结论： 当口 一1 2 或口 - 1 2 但k 为偶数时，边值问题( 3 1 1 ) 发生分支，且与f 有相 同的分支性态； 当口 - 1 2 或口 - 1 2 但k 为奇数时，边值问题( 3 1 2 ) 发生分支，且与f 有相 同的分支性态； 当口 一1 2 且k 为偶数时，边值问题( 3 1 2 ) 发生分支，其分支性态与 五( x ，f 【，) = 1 3 x 七一懿( 七3 ，p ，万= 1 ) 相同 定理3 1 3 咖1 设f q 五是一个分支问题，若c o d i m f 3 ，占，万= 1 ) 的分 支问题，则边值问题( 3 1 3 ) 在( o ，0 ) 处发生分支，并与，的分支性态相同 定理3 1 6 m 1 设f 名是一个等价于石( x ，z ) = 占+ 觑x ( k 是奇数， 万= 1 ) 的分支问题，则边值问题 ( 材，五) = “。+ 材+ f ( u ，五) = 0 ，材( 0 ) = u r ( 万) = 0 在( o ，0 ) 处发生分支，并与f 的分支性态相同 例3 1 6 考虑边值问题 在( o ，0 ) 处的分支情况 却。+ s i n a u + s i n u = 0 ，“( 0 ) = 甜( 万) = 0( 3 1 4 ) 令f ( x ，旯) = s i n 2 x + s i n x x ，则( 3 1 4 ) 可写成 注意到 ”一+ “+ f ( u ，五) = 0 ，“( 0 ) = 材( 万) = 0 ( 3 1 5 ) ，c 而动= c 触一乎+ 譬+ o 一言+ 丢- ，一x ：五x 一+ 。s 31 其中d 5 表示5 次以上的高阶项可以验证f ( x ，名) 等价于一x 3 + 触( 见 3 2 c h a p t e r 1 4 d p 命题9 2 ) 由定理3 1 5 ，即知( 3 1 5 ) 从而( 3 1 4 ) 在( o ，0 ) 处发生分支，且其分 支性态与一x 3 + a x 的分支性态相同 3 2 余维不超过3 的非线性二阶系统边值问题的分支 文献 3 0 考虑了如下形式的非线性二阶系统边值问题： g ( u ，旯) = u 。+ a u + b u + f ( 甜，d = 0 ，“( 0 ) = ”( 万) = 0( 3 2 1 ) 其中五是分支参数，a 0 ，f ：( i r xr ，0 ) 专( 酞，0 ) 是一个分支问题，c o d i m f 3 在 1 4 一定条件下， 3 0 l 给出了系统( 3 2 1 ) 的平衡解的局部分支性质 为了便于结论叙述，列出f 面的条件： c 1 ：e o 或者f e = o ，其中只表示f ；n 名在原点处的偏导数，0 表示f 对 x 在原点处的二阶偏导数 定理3 2 1 设厂q 名是一个分支问题，如果c o d i m f o ，则当f 属于吃类时，nn ( 3 2 1 ) 属于占类，而当f 属于其它 类时，系统( 3 2 1 ) 与分支问题有相同的局部分支性质； 若a 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，则有： ( 甜，五) = ”。+ g l 甜+ ( 劬+ 9 3 9 4 ) “+ e ( “，兄) = 0 ( 3 2 4 ) 带边值条件：“( 0 ) = ”( 万) = o ，其中g ( u ，兄) = q 3s i n ( q 4 u ) - q 1 2 - - q 3 9 4 “显然 ( o ，o ) = o ，g ( o ，o ) = o 并且e 是一个分支问题，g ( x ，名) 等价于一x 3 一五，属于口2 一，类， 且c o d i m f 2 = l ，所以( 3 2 4 ) 满足系统( 3 2 1 ) 的形式 由定理3 2 2 ，如果3 k z + ，有9 1 2 4 ( q 2 + q 3 q 4 ) = 一( 2 k ) 2 ，贝j j ( 3 2 4 ) 在原点附 近有： 当k 为奇数时，系统( 3 2 4 ) 与一x 3 一五有相同的局部分支性质，属于c 三f 一。类； 1 6 当k 为偶数时，系统( 3 2 4 ) 与一x 3 + 名有相同的局部分支性质，属于c 、_ 3 , 1 。类 3 3 新问题的引入 注意到文献 2 8 2 9 中考虑的方程均没有一阶项，而文献 3 0 考虑的只是 c o d i m f 0 ，用文献 2 8 2 9 3 0 中的结论将不能对系 统( 3 2 4 ) 做出判断我们要解决这个问题，就必须进行新的研究在下一章中， 我们将综合考虑文献 2 8 2 9 3 0 的条件和结果，借鉴已有的方法，得到我们想 要的结论 1 7 第四章应用奇点理论研究一类非线性边值问题的分支 本文研究的非线性二阶系统边值问题为： ( “，五) = ”。+ a u + b u + f ( “，见) = 0 ，”( 0 ) = u o r ) = 0( ) 其中旯是分支参数，a 0 ，f ：( r r ，0 ) 寸( r ，0 ) 是一个余维有限的分支问题 当参数名= 0 时，“= 0 是系统( ) 的平衡解当参数兄发生变化并经过0 时，系 统的平衡解的个数可能发生变化如果随着参数兄的变化，系统( ) 的平衡解的个 数发生变化的情况与某个分支问题f ( x ，名) 平凡解的个数随参数五变化而发生变 化的情况完全一致，则称系统( 叶与分支问题f ( x ，五) 有相同的局部分支性质 4 1 主要结论 下面我们主要考虑尸与分支问题办或石强等价时，系统( ) 在原点处的分支情 况，其中： 么： ( 1 ) h ( x ，五) = s + 8 ；k k 2 ，s ，万= 1 ) ： ( 2 ) 石( x ，旯) = 占z 七+ 8 2 x ( k 3 ，s ，万= 1 ) 引理4 1 1 3 2 1c o d i m h = 七一2 ( k 2 ) ，c o d i m h = 七一1 ( 七3 ) 定理4 1 2 设，与h 强等价，且3 k z + 使得系统( ) 满足a 2 4 b = 一( 2 k ) 2 ，那 ( 1 ) 当k 为奇数或a 七 0 时，系统( ) 与分支问题 栩( 戈，旯) = 6 x 一觑( 七2 ，g ，万= 1 ) 在原点附近有相同的局部分支性质； ( 3 ) 其余情况下，系统( ) 与分支问题吃( x ，a ) = 噌矿+ 觑( 七2 ，占，万= 1 ) 在原点附 1 8 近具有相同的局部分支性质 定理4 1 3 设f 与石强等价，且3 k z + 使得系统( ) 满足a 2 4 b = 一( 2 k ) 2 ，那 么： ( 1 ) 当k ，k ( k 3 ) 均为偶数并且口 1 时，由上式定义的g ( x ，名) _ 是一个分支问题 引理4 2 3 m 1 令x = 伽c 2 【0 ，x l “( o ) = 甜( 万) = 0 ，y = c 0 ，万】，在系统( ) 中， 如果对v k z + ，有a 2 一舶- ( 2 k ) 2 ，则k e r l = 0 ；如果：l k z + 使得a 2 4 6 = - ( 2 k ) 2 ， 则k e r l ：r s i i l ) 需要说明的是，当系统( 木) 满足条件3 k z + 使得a 2 4 b = 一( 2 k ) 2 时，与系统( ) 相应的非线性算子妒：x xr _ y ( 其中j = u c 2 【o ，7 】| u ( o ) = u ( x ) = 0 ，y = c 【0 ，7 】) 必满足引理4 2 1 和引理4 2 2 的条件事实上，x ，】，是b a n a e h 空间，x ，y 上可定义 内积 = r 唐d ，( 参见【2 9 】) ；由引理4 2 3 知，d i m k e r l = 1 ：三是指数为0 的 f r e d h o l m 算子( 参见文献 3 2 p r o p o s i t i o n a 4 1 ) ，所以三的伴随算子r ：x 寸l ，为： r 国= 矿一a 舀o + 6 缈且国满足w ( o ) = 国仞) = 0 ，从而k e r e = r e 卅2s i n k t ) ，又由 f r e d h o l ma l t e r n a t i v e ，有( r a n g e l ) 上= k e r e ，所以n = k e r e 在后面的讨论中我们 将取定v - - - e 一叩s i n k tk e r l ，= e a 2s i n k t n 于是就由算子决定了一个光滑 映射芽纵z ，名) ( 见引理4 2 1 ) 和一个光滑函数芽( 见引理4 2 2 ) g ( x ，五) ，9 此时具 有形式： 缈( 栅，z ) = ( ，一e ) 矽( 删+ w ( x v ，允) ，名) ，x r ，( 4 2 3 ) 其中w ( x v ，旯) 由e c ( x v + w ( x v ，旯) ，见) = 0 唯一确定，并且皿为从m 到r a n g e l 的可逆 线性映射 下面给出两个很重要的式子： ( 1 ) 州似撕= 鲁船嘻一- o ( 4 - 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 4 2 4 ) 和( 4 2 5 ) 均参见 6 c h a p t e ri 3 ，这里如引理4 2 1 中所讲，d f k ( u ，a ) 表示 在( 材，旯) 处对u 的万阶偏导数，“，v j 都假设与f 有关这两个式子在下面的计算中 将多次用到 在下面的i y _ 明中为了记号的简便，我们把( 善) q , ( x v ，五) 简记为( 删，五) 或更 o x 4 简单地： 纷，d ( 删+ w ( 删，五) ，名) 则简记为d 2 ，其余类似 注：对引理4 2 2 中的g 与矽有： g 手t = 运 ( 4 2 6 ) 引理4 2 4设，x ，y 符合引理4 2 2 的条件，9 ，w 如前面引理所给出， 则当k 2 时有： e d # ( x v + w ( x v ，五) ，力) ( w j ( 】渺，允) ) 1 个 ，l - - - = - e d 2 矽( 删+ w ( 删，元) ，z ) ( ，+ w , ( x v ，五) ，1 ，+ w a x y ，见) ) ： + 4 d # ( x v + w ( x v ，五) ，a ) ( ( 删，班) 】 i s k 1 ( 口 七 q , ：( x v + w ( x v ，五) ，五) ( 2 ) = ( 一e ) 【d 矽( x v + w ( x v ，五) ，：t ) ( v + w a x v ，五) ，v + w , ( x v ，五j ) + 易d f k ( x v + w ( x v ，兄) ，兄) ( ( 捌，班) 】 o s k l a k 注意上面和式中的被加项是指通过求导后所能得到的项，4 ，色r 为相应各项的 系数 证明：对k 用数学归纳法，计算中多次用到( 4 2 5 ) 式，不一一注明 1 ) 由引理4 2 1 知： o 参见武汉大学硕士毕业论文：用奇点方法讨论两类非线性边值问题的局部分歧性态，李兵，1 9 8 8 2 1 加一西 愀 = ， h哆一钰协堕嘞 ， 1 “ 、， t d 0 烈 v 矿b子争艺闩 e 矽( 删+ 以删，五) ，名) = 0 当k = 2 时，等式两边对x 求二阶偏导有： 而投影e 是线性的，即有： e d 2 ( 1 ，+ 叱，1 ，+ 叱) + 却叱，】= o 尉0 = 一e 口2 ( v + 叱，1 ，+ 心) 结论成立： 当k = 3 时，( 4 2 7 ) 两边对工求三阶偏导有： e d 3 ( ，+ 叱，+ ，v + 叱) + 3 d 2 夕( v + 比，) + d 】= 0 即 e d # w ：= 一e d 3 矽( ，+ 叱，1 ，+ ，v + ) + 3 d 2 ( 1 0 ，+ 叱) 】 结论成立： 假设k 刀时，结论成立当k = 刀时，有： ，价 e d c w ：= 一e d ”矽( 鬲i 芍瓦) + 互矿( ，) 】 l s n l u n 当k = n + l 时，上式两边对x 求一阶偏导有： 其中： 朴 研d 2 ( w ， ，+ 嵋) + 彬】= 一研盖d ”矽p + 心，+ 屹) a ，_ - 似荟昙d 钗，) 】全一研+ 以】 ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) 以：昙( 再瓦暑j 瓦) ：d 州( 再焘) + 耐愀，再瓦j n - l + 了丽) o x 。 一 以中的第二项由微分算子的对称性保证 注意以= 互昙d 5 ( ，) 在上面的等式中是确定的，按( 4 2 5 ) 式对这个 l s n 姒 和式求导后全部相加，仍得到一个和式，其每一琢具有形式d 5 ( 峙，) ，其中s ，口 h 1 个 满足l s n + i ，1 口 n + 1 又注意到正的后一部分n d 一矽( 峰，五i j 葡) 与 d 2 ( ，1 ，+ 叱) 都符合上述形式，于是由( 4 2 8 ) 式得到： e d f 6 w = - e d 肿1 ( 0 + 屹，v + 以) + 4 ( w ，) 】 l s n + l l a n + l 故结论成立 2 ) ( 4 2 3 ) 式两边对x 求二阶偏导有： = ( ，一e ) 【d 2 ( ，+ 心，+ 比) + d 庐岭】 故k = 2 时，结论成立 假设k 刀时，结论成立当k = 押时，有： 当k = n + l 时： 现在来计算以，也： = ( ，一e ) f ”烈0 + 也，- 以) + 茸d 5 ( 屹，) 】 o a n - i i a 如- i 铂2 丢叫咽 扣( 高) ( 4 2 9 ) ，阶 搬。三，争批，) 俄，旧m 以】 n + 1 个n 一1 个 ：d n + l 则十咐一，v 十叱+ 蒯一( ，再i 葛丽) 注意以= 哆昙d 5 矽( ，) 在上面的等式中是确定的，和式中每一项求导后全 o s k - i 姒 部相加仍得到一个和式，其每一项具有形式d 矽( ，) ，其中s ，口满足 o s n + l ，l a n + 1 又注意到的第二项符合条件上述形式，故从( 4 2 9 ) 得到： n + i 个 ：( i - e ) d 州矽( 鬲矗i 石) + q 似屹，) 】 o s n + l l a s n + l 所以结论成立 引理4 2 5 设系统( ) 满足定理4 1 2 中的条件，则对上述由系统( ) 确定 的伊( 删，名) 和以胛，a ) 有： ( 1 ) ( o ，0 ) = o ； 肘个 ( 2 ) ( o ，o ) = ( ，一e ) d ”媳o ) 再矗； 其中0 m k 证明：1 ) 首先有：w ( o ，0 ) = w a o ，0 ) = o 事实上，由引理4 2 1 ，显然w ( o ，0 ) = 0 又( 4 2 7 ) 式两边在原点处对x 求一阶偏导有：e d ( o ，o ) ( v + w a o ，0 ) ) = o ，因v k e r l ， 即有：e l w , ( o ，0 ) = - e l y = 0 而皿为m 到r a n g e l 的可逆映射，所以w a o ，o ) = o 故 当m 1 时，结论成立 现假设m n ( n k ) 时结论成立，即 时个 ，- - _ 、 ( 0 ，0 ) = d ”w ( o ，0 ) ( 1 ，v ) = 0 ，( 聊刀 k ) ( 4 2 1 0 ) 又f 强等价于h 的识别条件为( 参见文献 3 2 ) ： f ( 0 ，o ) = c ( o ，o ) = = 乃- ( o ，o ) = o ，s = s g n ( o ，o ) o ，艿= s g l l f a o ，o ) 0 故当m = n + l k 时，由引理4 2 4 ，我们有： 肿1 个 ，- - - - - - - - - - e d f 6 ( x v + w ( x v ，五) ，五) ( w 一( 】彤，z ) ) = 一e d 肿1 ( 期，+ w ( 】，名) ，五) ( ，+ 屹( j r l ，五) ，v + w ，j ( 删，五) ) + 4 ( 删+ w ( 删，a ) ，( ( 列，) 】 l s n + l l a n + l 在原点处，把( 4 2 1 0 ) 代入上式可得： e d ( o ，0 ) ( h ( 0 ，o ) ) = e l ( w ，“( 0 ，o ) ) 一川柙棚商n + l - 川 瓦八渺n + l 。l 。 ：一尉川旭o ) 万高：一e o i ，- 【乳v ，o ) 1 = 一e d 州f ( o ，o ) ( 高) ：一( o ，o ) 帅州：0 2 4 ( 其中这里的“表示函数相乘) ，因而皿( ( 0 ，o ) ) = 0 ，又e l m 到r a n g e l 的可逆映射，故峰。( 0 ，0 ) = 0 当朋= k 时，把上述结果代入引理4 2 4 中的( 1 ) 我们有： e d 矽( o ，0 ) ( ( 0 ，o ) ) = e l ( w ：( o ，0 ) ) k 个个 ：一尉t ( o ，o ) 商：一尉t f ( 0 ，o ) 万书 记厶= - j c r p l 。( s i n k t ) m d t ， 则有： 4 k p ( 一1 ) k + 1 + 1 】 r 万 0 坐凳豢塑，：詈 五丽- 1 t2 i 令4 = 一t a ( k - 1 ) ，6 = k ，刀= 川，则厶= f r e a t , 3 i n ”6 础 又根据积分学里面的计算公式： pqn”触=一e。sinn-i b x ( a s i n b x - n b c o s b x ) + 警筹卜s i n - - 2 触，力2 当聆= 2 m + 1 ，m = 1 ，2 ，时 f re a s i n b 础一n 。( n - 。1 ) 。b 2 e a s i n “- 2b 础= 彳n ( n 丽- 1 ) b 2 彳( n 了- 2 石) ( n 丽- 3 ) b 2re a ts i n ”- 4b 础 n ( n 一1 ) b 2 ( 刀一2 ) ( 疗一3 ) b 2 ( 刀一4 ) ( 胛一5 ) b 2 彳2 + 刀2 b 2