（基础数学专业论文）关于微分方程解和微分多项式的值分布.pdf

关于微分方程解和微分多项式的值分布 徐俊峰 山东大学数学学院山东，济南，2 5 0 1 0 0 电子邮箱：j f x u m a i l s d u e d u c n 摘要 应用n e v a n l i n n a 理论的观点来研究复平面上微分方程，开始于1 9 8 2 年，b a n k 和 l a i n e 5 发表在t r a n a m e r m a t h s o c 上的一篇文章自从这篇文章以后引起了大量 的注意他们研究了二阶复微分方程 厂+ a ( ：) 厂= 0 ，( o 1 ) 这里4 ( ：) 是一个整函数直到现在，仍然有大量的研究集中在这类特殊的微分方程 最近的研究主要集中在以下三类问题 第一类是研究非平凡解的零点收敛指数( 参考【5 ，6 ，8 ) ； 第二类是研究非平凡解的零点分布和它的( 及其导数) 渐近性( 参考 4 ，4 1 ，5 2 ) ； 第三类是研究非平凡解的增长性( 参考【3 4 ，3 5 ) 考虑方程( 0 1 ) 解的分布问题当a ( z ) 是多项式的情况已经相当清楚这种情况 首先被s b a n k 和i l a i n e 研究，在 5 中，我们知道这里两个线性无关的解中至少 存在一个解在某个角域里有无穷多个零点在方程( o 1 ) 中，如果a ( z ) 是超越的情况， 这时解的情况就变得非常复杂这种情况下，目前最主要问题是b a n k - l a i n e 猜想：设 ，如是方程( 1 1 ) 任意两个线性无关的解如果a ( z ) 的级是有限级或非整数，那么 m a x a ( f 1 ) ，入( 如) ) = 这个猜想现在仍然没有解决事实上，现在的大多数的研究者 的许多研究或多或少都与这个猜想有些关系( 参考【4 7 ，第五章) 而且，考虑方程( o 1 ) 解的零点的分布和渐进性，这种情况下也比较复杂这种情况下，没有得到一般性的结果 除了方程( 0 1 ) 的一些特殊情况，零点的丰富域( z e r o r i c h ) 与稀少域( z e r o s c a r e ) 能够精 确的确定( 见 4 ，4 1 ，5 2 ) 第一章我们首先给出一些重要的准备工作第二章我们将研究角域内高阶线性微分 方程的解设 厂( 砖) + a k 一1 ，( k - 1 ) + + a l f7 + a o f = 0 ， ( 0 2 ) 山东大学博士学位论文 这里a j 0 = 0 ，1 ，k 一1 ) 在角域瓦( ，) 里解析由于对数导数引理在线性微分方程 的研究方面起着重要的作用，我们首先给出高阶情况下的对数导数的逐点估计然后在 第一节，我们研究方程( 0 2 ) 解在角域内的增长性和解的导数渐进性例如： 定理o 1 设a j ( z ) 0 = 0 ，1 ，：k 一1 ) 在角域瓦( q ，p ) ( o 0 及满足。 咿 口和 l i n i n f 继盟型名- 1 高r 坠型= 。 r _ o 。 n le j 的口具有一正测度；那么方程( 0 2 ) 的任意解，0 都有p a p ( ，) = + 定理o 2 设a j ( z ) 0 = 0 ，1 ，七一1 ) 在角域瓦( ，p ) ( o 0 ，如果2 q ( q ，) - i ，m 一。i n f 兰署妄芋= 。= 。，1 ，s 一1 ，s + 1 ，七一1 ；s = 1 ，2 ，七一1 ) ， 那么如果i 0 是方程( 0 2 ) 的解满足p - p ( i ) o o ，那么对于每个e ( 0 ( 一q ) 2 ) ， 我们有厂( m ) ( z ) _ 0 ( m s ) 在q ( q ，p ) 的任意子角域q ( q + ，一) 内成立 在第二节，方程( 0 2 ) 解的零点在角域的分布被研究例如我们得到下述定理： 定理0 3 设a j ( j = 0 ，1 ，七_ 2 ) 是有限级的整函数，如果在方程( o 2 ) 中存在一个 系数满足p o ，口( 如) = ，那么射线a r g z = 口是丰富的 另外，我们还研究含指数型系数特定方程的解径向零点收敛指数得到如下结果： 定理o 4 设p ( z ) 和q ( ：) 是次数分别为礼1 和m 0 的多项式设 ，尼， 是下述方程的k 个线性无关的解 ，( ) + ( e p ( ：+ q ( z ) ) ，= 0 ， 2 - 4 - e = 九 那么对任意的口满足口( 尸目) 0 ，我们有a o ( e ) 0 0 我们的结果一般化了伍胜健 5 8 ，5 9 ，i l a i n e 4 8 和王书培 5 6 的一些结果在本 章的第二部分，我还考虑了一系列非齐次方程相应的结果 第三章主要研究下述方程解的零点收敛指数 厂( 南+ q l | c 一2 ， 一2 + + q 1 ，7 + ( e 尸( z + q o ) ，= 0 ，( o 3 ) 山东大学博士学位论文 这里七3 ，p ( ：) 是次数 1 的多项式q 1 ，：q k 一2 是多项式同时q o 是级小于 的超越整函数对于这类方程由于其系数含有指数型函数从而具有一定的特殊性 其中二阶的情况首先被b a n k 和l a n g l e 5 在 5 中考虑，接着这个结果被y c h i a n g ，i l a i n e 和王书培在 2 3 中改进相关的结果还有高仕安等国内学者等考虑在本章我们 给出保证方程( 0 3 ) 解的零点收敛指数为无穷的比较广泛的条件证明了如下结果： 定理o 5 假设k 3 ，p ( ：) 是竹1 次多项式，r ( ：) ，q o 是非零的多项式q 1 ，q 南一2 是不全为多项式的整函数? 且盯( q j ) 0 ，且设a o ( z ) ，a 1 ( z ) ， a k 一1 ( 2 ) ，a k ( z ) 是整函数且a o ( z ) 0 使得 m a x a ( a j ) ：j = 1 ，七) - a ( a o ) = 盯 + 。o ； 且对某常数0 p 0 ，我们有 i a o ( 2 ) l e a 一，( o 0 3 ) h ( z ) l e ，j = 1 ，尼，( 0 0 4 ) 山东大学博士学位论文 当：_ ，对于2 日那么方程 4 忌厂( 七) + a k - 1 厂k - 1 ) + + a o f = 0 ，( 0 0 5 ) 的每个亚纯解f 0 满足o ( f ) = 和a 2 ( f ) = 叮( a o ) ? 第五章主要研究了某些微分多项式的值分布我们的工作主要是给出了一些特定微 分多项式厂2 。厂( 惫) 一1 的定量的估计我们知道，e m u e s 5 1 首先得到此微分多项式的定 性结果后来张庆德【7 0 ，黄小军和顾永新 4 5 用密指量分别在k = 1 , k 2 的情况进 行了定理的估计然而众所周知，n e v a n l i n n a 第二基本定理可采用精简的密指量来估计 自然地，我们受此启发对这类微分多项式进行了一些定量的估计在这章的最后，我们对 微分多项式厂2 一厂( ) 一1 进行了精确估计我们的结果改进了陈怀惠，华歆厚，徐焱等的 结果例子证明我们的结果某种程度是精确的 关键词：亚纯函数；整函数；复振荡；角域；增长性；零点收敛指数；微分多项式；值 分布 山东大学博士学位论文 v a l u ed i s t r i b u t i o n sf o r + s o l u t i o no fc o m p l e x d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dd i f f e r e n t i a lpo l y n o m i a l s x uj u n - f e n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ! s h a n d o n gu n i v e r s i t y ? j i n a n ，s h a n d o n g ? 2 5 0 1 0 0 p ，r c h i n a 、 e - m a i l ：j f x u m a i l s d u e d u a n a b s t r a c t t h eg l o b et h e o r yo fc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s t u d i e df r o mt h ep o i n to fv i e w o fn e v a n l i n n at h e o r y h a sb e e na t t r a c t i n gm u c ha t t e n t i o ns i n c e19 8 2w h e nt h ea r t i c l eb y b a n ka n dl a i n e 5 】a p p e a r e di nt r a n a m e r m a t h s o c t h e ye x a m i n e ds e c o n d o r d e r c o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m f “+ a ( z ) f = 0 1 ( 0 1 ) w h e r ea ( z 1i sa ne n t i r ef u n c t i o n u pt on o w ，ac o n s i d e r a b l en u m b e ro fr e s e a r c hp a p e r s h a sb e e nw r i t t e ni nt h i ss p e c i a la r e ao fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e c e n ti n v e s t i g a t i o n so ft h ee q u a t i o n sm a i n l yc o n c e n t r a t eo nt h r e eg e n e r a lt y p e s o fd r o b l e m s t h ef i r s to n ei n v o l v e sd e t e r m i n i n gt h ef r e q u e n c yo fz e r o so fa n o n t r i v i a l s o l u t i o nw h i c hi su s u a l l ym e a s u r e db yt h ee x p o n e n to fc o n v e r g e n c e ( s e e 5 ，6 ，8 ) ；t h e s e c o n dt y p ei n v o l v e ss t u d y i n gt h ed i s t r i b u t i o na n da s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft h ez e r o s o fs o l u t i o n s ( s e e 【4 ，4 1 ，5 2 ) ；t h et h i r dt y p ei n v o l v e sc o n s i d e r i n gt h eg r o w t ho ft h e s o l u t i o n s ( s e e 3 4 ，3 5 ) c o n c e r n i n gt h ep r o b l e mf o rt h ed i s t r i b u t i o no ft h ez e r o so fs o l u t i o n st o ( o 1 ) ，t h e s i t u a t i o nw h e na ( z ) i sap o l y n o m i a li sf a i r l yc l e a r t h ec a s ef o rt w ol i n e a r l yi n d e p e n d e n t s o l u t i o n sw a sf i r s tc o n s i d e r e db yb a n ka n dl a i n ei n 5 】f r o mw h i c hi tc a nb ei n f e r r e d t h a t a tl e a s to n eo fa n yt w ol i n e a r l yi n d e p e n d e n ts o l u t i o n sh a si r d i n i t e l ym a n yz e r o si ns o m e s e c t o r ( s ) w h e na ( z ) i st r a n s c e n d e n t a li n ( 0 1 ) ，h o w e v e r ，t h es i t u a t i o nb e c o m e sm u c h m o r ec o m p l i c a t e d t h em a i np r o b l e mi nt h i sc a , s ei st h eb a n k l a i n ec o n j e c t u r e ：l e t 厂1 ， ，2b ea n yt w ol i n e a r l yi n d e p e n d e n ts o l u t i o n s t h e nm a x a ( f 1 ) ，入( 儿) = 。ow h e n e v e r v t 】 山东大学博士学位论文 t h eo r d e rd t 厂4 ( ：) i sf i n i t ea n d7 l , o t i , 一i n t e g e r ，t h i sc o n j e c t u r es t i l lr e m a i n so p e ni ng e n e r a l a 1 1 d i nf a c t m o s to ft h er e s e a r c h e so n ( 0 1 ) h a sb e e nm a d em o r eo rl e s st o w a r d sp r o v i n g t h i sc o n j e c t u r e ，s e e ，e g ， 4 7 ，c h a p t e r5 f u r t h e r m o r e ，c o n c e r n i n gt h e d i s t r i b u t i o na n d a s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ez e r o so fs o l u t i o n st o ( 0 1 ) ，i ta l s os e e m si y l o r ed i f f i c u l t , i nt h i s a a s e n og e n e r a lr e s u l t sh a sb e e no b t a i n e di nt h i sa s p e c t ，e x c e p tf o rs o m es p e c i a lc a s e s o ff 0 11 i nw h i c hc a s e st h ez e r o r i c ha n dz e r o - s c a r er e g i o n sc a nb ed e t e r m i n e de x p l i c i t l y ， s e e ，e g ， 4 ，4 1 ，s 2 a f t e rs o m ew e l l k n o w np r e l i m i n a r i e si nc h a p t e r1 ，w ew i l li n v e s t i g a t et h es o l u t i o n s o ft h eh i g ho r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni ns o m ea n g l ei nc h a p t e r 2 ，( 七) + a 七一1 ，( 七一1 ) + + a l f 7 + a o f = 0 ， ( 1 2 ) w h e r ea j = 0 ，l ，良一1 ) a r ea n a l y t i co n 孬( q ，盼i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w es t u d yt h e g r o w t ho r d e ra n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ez e r o so fs o l u t i o n so f ( 0 2 ) t h e o r e mo 1 l e ta ( 2 ) 0 = 0 ，1 ，k 一1 ) b ea n a l y t i co nq ( ，p ) ( o 0t h eo sw h i c hs a t i s f yo l 0 卢a n d l i m i n f 继丛堂名高等趔= 。 f o r mas e to fp o s i t i v em e a s u r e t h e nf o re v e r ys o l u t i o nf 0o f ( 0 2 ) w eh a v ep a p ( 厂) = + o 。 ， t h e o r e m0 2 l e ta j ( 名) u = 0 ，1 ，惫一1 ) b ea n a l y t i co nq ( q ，f 1 ) ( o 0 ，i fz a ( a ，p ) l i m i n f r o 。 瓦a j ( z 万) z 耳= 。a 。( z ) 。 ( j = 0 ，1 ，s 一1 ，s + 1 ，k 一1 ) ， t h e ni ff 0i sas o l u t i o no f ( 0 2 ) w i t hp 口口( 厂) 。，t h e nt h e r ee x i s t s ac o n s t a n t b 。一1 0s u c ht h a tf o re v e r y ( o ( 卢一q ) 2 ) ，w eh a v e 厂( m ) ( z ) _ 0 ( m s ) a s z _ i n a 】：1 ，rs u b a n g l eq ( + ，一g ) o fq ( q ，卢) i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h ez e r o so fs o l u t i o n so f ( 1 2 ) i ns o m ea n g l e i si n v e s t i g a t e d t h e o r e m0 3 l e ta f0 = 0 ，1 ，k 一2 ) b ea ne n t i r ef u n c t i o no ff i n i t eo r d e r ，i ft h e r e e x i s t so n ec o e f f i c i e n tp o , o ( 如) = 。f o r ( o 2 ) ，t h e nt h er a ya r g z = 0i sz e r or i c h m e a n w h i l e w ea l s oi n v e s t i g a t eac e r t a i nc l a s sd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hh a st h e e x p o n e n tt y p ec o e m c i e n t v l 】l 山东大学博士学位论文 t h e o r e m0 4 l e tp ( ：) a n dq ( ：) b et w op 0 1 ) a l o m i a l so fd e g r e e s 2 1a n dm 0 r e s p e c t i v e b r l e tf l ：f 2 、， kb ea n ) kl i n e a r l 3 i n d e p e n d e n t , s o l u t i o n so f ，忌+ ( e p ( ：+ q ( ：) ) ，= 0 ( 0 0 6 ) a 1 1 ds e te ：，1 如 t h e nf o ra n 3 0s a t i s f y i n go ( p 0 ) 0 w eh a v el e ( e ) o 。 o u rr e s u i t sg e n e r a l i z e ds o n l er e s u l t sw h i c hw e r ep r o v e db ys j w u 【5 7 5 s i l a i n e a n ds j w u 4 8 a n ds p 、7 z a n g 5 6 c h a p t e r3i sd e v o t e dt os t u d ) ，t h ef r e q u e n c ? ，o fz e r o so fs o l u t i o n si nt h es p e c i a l c a s e o f 。厂( 七+ q 七一2 ，( 七一2 ) + + q 1 f 7 + ( e p ( 。+ q o ) - - 0 ， ( 0 3 ) w h e r e 七3 ，尸( ：) i sap o l y n o m i a lo fd e g r e e7 1 ，1 ，q 1 ，：q 恐一2a x ep o l y n o m i a l s ，w h i l e q ni sat r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o no fo r d e r 礼f o rs u c he q u a t i o n s ，w ei n v e s t i g a t e t h ec o n d i t i o nw h i c hw i l lg u a r a n t e et h a ta l ln o n - t r i v i a ls o l u t i o n so f ( 0 3 ) s a t i s f ya = o 。 t h es e c o n dc a s ef i r s ts t u d i e db yb a n ka n dl a n g l e ) ，【5 】t h e nt h er e s u l t si m p r o v e db yy c h i a n g ，i l a i n ea n ds p v r t a n gi n 2 a t h e o r e m0 5 s u p p o s et h a tk 3 ，尸( ? ) i sap o l y n o m i a lo fd e g r e e 卯1 ，r ( ：) ，q o a r en o n - z e r op 0 1 ) m o m i a l s q 1 ，e 惫。2a r en o t a l lp o l y n o m i a l s ，a n d 盯( q j ) 0 ， a n dl e ta o ( z ) ，a 1 ( 2 ) ，a 七一1 ( z ) ，a k ( z ) b ee n t i r ef u n c t i o n sw i t ha o ( z ) 0s u c ht h a t m a x a ( a j ) ：j = 1 ，后) a ( a 0 ) = 仃 + ； a n df o rs o m ec o n s t a n t s0 0s u f f i c i e n t l ys m a l l ，w eh a v e a ( z ) i i a o e i e 口 一， 一5 ，j = 1 ，k ， a sz 0 0f o r ? h t h e ne v e r ym e r o m o r p h i cs o l u t i o n 0o f a 七，( 七) + a 惫一1 厂( 七一1 ) + + a o ，= 0 ， ( 0 0 8 ) ( 0 0 9 ) ( 0 0 1 0 ) s a t i s f i e s 盯( 厂) = o oa n dc r 2 ( f ) = a ( a o ) c h a p t e r5i n v e s t i g a t et h ev a l u ed i s t r i b u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s o u r w o r km a i n l yc o n c e n t r a t e do ng i v i n gs o m eq u a n t i t a t i v ee s t i m a t i o no ns o m ec e r t a i nd i f - f e r e n t i a lp o l y n o m i a l sf 2 ，( ) 一1 a sw ea l lk n o w n ，t h es e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e mi n n e v a n l i n n a st h e o r yo fv a l u ed i s t r i b u t i o nu s et h er e d u c e dc o u n t i n gf u n c t i o nt oe s t i m a t e t h en e v a n l i n n ac h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n n a t u r a l l y , w ec a np o s et h ef o l l o w i n gi m p o r t a n t q u e s t i o n ：w h e t h e ro n ec a ng i v es o m eq u a n t i t a t i v ee s t i m a t e so nt h ed i f f e r e n t i a lp 0 1 ) r n o m i a l sb yt h er e d u c e dc o u n t i n gf u n c t i o n ? i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v es o m ee s t i m a t i o n s a tt h e e n do ft h ec h a p t e r ，w ea l s og i v es o m ep r e c i s ee s t i m a t i o n so nt h ed i f f e r e n t i a lp 0 1 ) 7 n o m i a l ，2 一- 厂( 七) 一1 o u rr e s u l ti m p r o v e dt h er e s u l to fh c h e n ，x h u aa n dy x u e x a m p l e s s h o wo u rr e s u l ti nt h el a s ts e c t i o ni sp r e c i s ei ns o m es e n s e k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；e n t i r ef u n c t i o n ；o s c i l l a t i o n ；g r o w t ho r d e r ； d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s x 州 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：蝉日 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：衅导师签名： 窒脚日 山东大学博士学位论文 第一章准备工作 1 1n e v a n l i n n a 理论的基本结果 r n e v a n l l i n a 开创了现代亚纯函数值分布的研究：证明了下面的两个基本的定理 即n e v a n l l i n a 的第一基本定理和第二基本定理( 见 3 6 ) 首先我们给出一些n e v a n l l i n a 引入的记号和概念设，( ：) 是复平面上亚纯函数 对于任意a c ，若n ( r ，a ，f ) 表示厂( ：) 一a 在r 内的零点数目( 若a = 。c 表示， 的极点) ：这里考虑重数对于每个实数z 0 ，令l o g + z ：= m a x 0 ，l o g z ) 对于一个亚 纯函数厂我们称 m ( r ，f ) ：= n ( r ，f ) ：= 去序o g + i f ( 秸吲观 z 业业竽幽d t + n ( 。隅脯r ， t ( r ：f ) ：= r n ( r ：，) + n ( r ：厂) ， 分别为厂的逼近函数，计数函数和特征函数当然，如果i 厂为整函数，则t ( r ，f ) 三m ( r ，) n e v a n l l i n a 理论发展的一个重要的工具是p o i s s o n j e n s e n 公式通过这个公式我们 可以得到n e v a n l l i n a 第一基本定理 定理1 1 ( 第一基本定理) 设f ( z ) 是c 内的非常数的亚纯函数且a c 那么 1 t ( n 亡) = 丁( 7 一，) + 。( 1 ) ， ( 1 - 1 1 ) 特征函数提供了一种自然的测量亚纯函数增长性的工具： 定义1 1 亚纯函数厂的级p ( f ) 的定义为 p ( f ) = l i m s u p 笋 下级肛( 厂) 定义为 肛( ，) ：l i m i n f 堕墨业 r _ o o l o gr 为了得到著名的第二基本定理，我们需要下面的引理 山东大学博士学位论文 引理1 1 ( 对数导数引理) 设，( ：) 是c 内的非常数的亚纯函数如果f ( o ) 0 ，那 么对于任意正整数k m ( 7 ，等) = 0 ( 1 0 9 t ( r ，f ) + l o gr ) ， ( 1 1 2 ) j 当r _ 。除去一个可能的有限线性测度例外集特别，如果厂为有限级，那么 ，( 七) m ( r ，等) = o ( 1 0 9 r ) ( 1 1 3 ) j 定理1 2 ( 第二基本定理) 设f ( z ) 是c 内的非常数的亚纯函数且0 1 ，a 2 ，a 3 为扩充复平 面上的互异值那么 t ( r ，f ) + n ( r ，f 7 = o ) ) _ 卜s ( _ f ) n ( r ，= 劬) + s ( r ，n ( 1 1 4 ) 这里 洲却( r ，手) + m ( r ，舟) 叫警l + l o g 2 ， 引理1 2 ( h a y m a n 不等式) 设厂( 2 ) 是c 内的非常数的亚纯函数且设k 是一正整数 如果f ( o ) 0 ，( 七) ( 0 ) 1 ，f ( k + 1 ) ( o ) 0 和 ( k + 1 ) ，惫+ 2 ( o ) ( ，( 凫( o ) 一1 ) 一( k + 2 ) ，( 七十1 ( o ) 2 0 ， 那么 丁，) ( 2 + 石1 ) 嘶，7 1 ) + ( 2 + 罢) _ ( r ，志) + 趴，) ( 1 1 6 ) 为了表示的方便，我们给出下面的定义 定义1 2 设f ( z ) 是c 内的非常数的亚纯函数，且设孔o ，札j ，n 七是k + 1 个非 负的整数我们称m f 】：= f n o ( f 垆1 ( ，( 七) ) n t 为一个关于函数，的且阶为7 m ：= n o + t b l + + 扎惫的微分单项式我4 1 1 ；5m a 门，尬 门，尬 州为2 个阶分别为7 m 1 ， 7 m 2 ，7 m l 的关于厂的微分单项式，而b 1 ，6 2 ，b l 为f 个关于，的小函数我们称 m + ，】：= b a m l f + b 2 m 2 f + 十6 2 蚴 ， 为一个关于函数，的且阶为7 m ：= m a x t i n ， - ，亿，7 舰) 的微分多项式特别地，若7 m = 1 ，则我们称m + 门为一个关于函数， 的线性微分多项式缪阅文献 纠，? 伉3 邑彳7 ，鲜 少 = ，p 八一 = f jp o 二 r ，l 一 吼 | | ，p 3 僦 山东大学博士学位论文 定义1 3 如果微分多项式m 厂 的系数是a j ：j = 0 ：1 ，礼它们满足 m ( r ：a j ) = 5 - ( 7 ：厂) ： 那么微分多项式m 门被称为关于厂的拟微分多项式 下面的引理是标准的c l m l i e 引理的变形( 参考 2 2 引理1 ) ( 1 1 7 ) 引理1 3 ( c l u n i e 引理) 设厂( ：) 是c 内的非常数的亚纯函数jq l f ，q 2 ， 是关于f 的拟微分多项式且满足，n q l 厂 = q q f j 如果q 2 的次数大于等于凡：那么 m ( r ，q ， ，】) = s ( r ：厂) 1 2 复振荡的一些结果 引理1 4 ( w i n m a n - v a l i r o n 定理 4 7 ) 设厂( ：) 是超越的整函数，6 是满足0 j i 0 ，i = 1 ，m ，且设 0 是一 个给定的常数那么下述三种情况成立? ( i ) 那么存在一个线性测度为零的集合ec 0 ，2 丌) ，使得如果讥 0 ，2 7 r ) 一e ，那么这 里存在一个常数r o = r o ( 砂o ) 0 使得对于所有的z 满足a r g2 = 矽。及h r o ， 且对于所有的( k ，j ) r ，我们有 搿睁袱州删 ( 1 2 2 ) ( i i ) 那么存在一个有限对数测度集合e lc ( 1 ，。o ) 使得对于所有的z 满足l z ig 易u o ，扎 我们有( 1 2 2 ) 成立 山东大学博士学位论文 ( 喇) 那么存在一个线性测度集合e 2c 0 ，) 使得对所有的。满足ge ：3 及对所有 ( 屉，j ) r ，我们有 1 竺尘兰黑i l ：i 七一j ) ( 仃+ e ) ( 1 2 3 ) | w ( j ) f 0 1l l “l 、1 。7 引理1 6 设p ( ：) 是次数满足 1 的多项式，且设 0 是一个给定的常数考虑指 数函数4 ( ：) = e x p ( p ( z ) ) 在射线r e 棚上那么我们有j ( 1 ) 如果口( p0 ) 0 ，这里存在一个r ( o ) 使得l o gi a ( r e 坩) i 在 r ( p ) ，。o ) 上增长且 a ( r e 徊) i e x p ( ( 1 一盯( 尸，口) ) 7 n ) ( 1 2 4 ) ( 2 ) 如果仃( 只0 ) 0 ：由这个定义这个序列怠，r i 卜收敛但嘉，r i a + 发散 我们以竹( r ) 表示，在 hsr ) 一( 0 ) 内非零零点的个数：且置 州= 0 7 华砒 那么我们获得下面的结果 ( r ! 多) = n c r ，+ ( 。，手) ， ( r ：手) = c r ，+ ( 。，；) ，。g r 命题1 1 设厂是一个超越的亚纯函数，具有无穷多个零点，其零点收敛指数为a ，则 入：一l i r al o g ，n ( r ) ：一l i ml o ，gn ( r ) r 一l o g 7 r o c , l o g7 一 明显地，对任意的亚纯函数f ，a ( ，) p ( ，) 下面的定理是h a d a m a r d s 分解定理推广到亚纯函数的情况 定理1 3 ( h a d a m a r d s 分解定理) 设厂是有限级的亚纯函数且级为p ( f ) 记 ，( z ) = c k z 七+ c k + l z 七+ 1 + ( c 七0 ) 在2 = 0 附近且设 0 1 ，a 2 ，) 和如1 6 2 ，) 分别为厂在c 一 o ) 的非零的零点和极点 那么 f ( z 旧叩器， 这里r ( z ) 和r ( z ) 是，的典型乘积分别由厂的非零的零点和极点构成，q ( 名) 为一次 数不高于p ( f ) 的多项式 山东大学博士学位论文 第二章角域内线性微分方程的解 2 1 齐次的情况 2 1 1 解的增长性和渐近性 设q ( q ，) ( o p q 2 7 r ) 表示角域( ：；q r gz o ) ，对于任意的 g c ，用虿表示g 的闭集 假设f 0 在角域豆( ，) 是一个解析函数我们定义 m ( r ，豆( q ，) ，) = 口m 娥a x i f ( r e i 8 ) 和f 在角域豆( ，p ) 的增长级p c , ，( f ) 为 脚( f ) = l i r a s u p 塑掣产 如果一s 2 ( c x ，) = c ，我们用p ( f ) 表示厂的增长级 考虑下面的二阶线性微分方程 f l + a ( z ) f f + b ( z ) f = 0 ， ( 2 1 1 ) 这里a 和b 在豆( 口，) 内解析易知如果在方程( 2 1 1 ) 中a 和b 为整函数，而厂是 方程( 2 1 1 ) 在c 中的一个解，那么在任意一个角