电路第四版答案邱关源第八章.pdf

第八章 相量法相量法 求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求 解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算， 从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算， 从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运 算。算。 所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路元件用阻抗或导纳表示，画出电路 的相量模型，利用的相量模型，利用 KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方 程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握： （程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握： （1）正弦信号的相量表示； （）正弦信号的相量表示； （2）KCL,KVL 的相量表示； （的相量表示； （3）RLC 元件伏安关系式的相量形式； （元件伏安关系式的相量形式； （4）复数的运算。这就是用相量分）复数的运算。这就是用相量分 析电路的理论根据。析电路的理论根据。 81 将下列复数化为极坐标形式： （1）55 1 jF=； （2）34 2 jF+=； （3）4020 3 jF+=； （4）10 4 jF =； （5）3 5 =F； （6）20 . 9 78 . 2 6 jF+=。 解解： （1）ajF=55 1 25)5()5( 22 =+=a o 135 5 5 arctan= =(因 1 F 在第三象限) 故 1 F 的极坐标形式为 o 13525 1 =F （2） o 13.1435)43arctan(3)4(34 22 2 =+=+=jF（ 2 F 在第二象限） （3） o 43.6372.44)2040arctan(40204020 22 3 =+=+=jF （4） o 901010 4 =jF （5） o 18033 5 =F （6） o 19.7361 . 9 )78 . 2 20 . 9 arctan(20 . 9 78 . 2 20 . 9 78 . 2 22 6 =+=+=jF 注注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即 j aeajaaF=+= 21 ,它们相互转换的关系为： PDF created with pdfFactory Pro trial version 2 2 2 1 aaa+= 1 2 arctan a a = 和 cos 1 aa = sin 2 aa = 需要指出的，在转换过程中要注意 F 在复平面上所在的象限，它关系到 的取值及实部 1 a 和虚部 2 a 的正负。 82 将下列复数化为代数形式： （1） o 7310 1 =F； （2） o 6 .11215 2 =F； （3） o 1522 . 1 3 =F； （4） o 9010 4 =F； （5） o 1805 1 =F； （6） o 13510 1 =F。 解：解： （1）56 . 9 92 . 2 )73sin(10)73cos(107310 1 jjF=+= ooo （2）85.1376 . 5 6 .112sin156 .112cos156 .11215 2 jF+=+= ooo （3）56 . 0 06 . 1 152sin2 . 1152cos2 . 11522 . 1 3 jF+=+= ooo （4）109010 4 jF= o （5）51805 1 = o F （6）07 . 7 07 . 7 )135sin(10)135cos(1013510 1 jF=+= ooo 83 若=+175600100 oo A。求 A和 。 解：解：原式=sin175cos17560sin60cos100jjaA+=+ oo 根据复数相等的定义， 应 有实部和实部相等，即 cos17510060cos=+ o A 虚部和虚部相等 sin17560sin= o A 把以上两式相加，得等式 020625100 2 =+AA 解得 = + = 069.202 07.102 2 206254100100 2 A PDF created with pdfFactory Pro trial version 所以 505 . 0 175 2 3 07.102 175 60sin sin= = A o 34.30= 84 求 81 题中的6 2 FF 和6 2 FF。 解：解： oo 19.7361 . 9 13.1435)20 . 9 78 . 2 ()34(6 2 =+=jjFF oo 68.14305.4832.21605.48= o o o 94.6952 . 0 19.7361 . 9 13.1435 20 . 9 78 . 2 34 6 2 = = + + = j j FF 85 求 82 题中的 51 FF +和 51 FF。 解：解： oo 18057310 51 +=+ FF 5)73sin(10)73cos(10+= oo j o 27.10278 . 9 56 . 9 08 . 2 =j ooo o o 1072180732 1805 7310 51 =+= =FF 86 若已知。,)60314sin(10,)60314cos(5 21 AtiAti oo +=+= Ati)60314cos(4 3 o += （1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） 1 i 与 2 i 和 1 i 与 3 i 的相位差； （3） 绘出 1 i 的波形图； （4） 若将 1 i 表达式中的负号去掉将意味着什么？ （5） 求 1 i 的周期 T 和频率 f。 PDF created with pdfFactory Pro trial version 解：解： （1）)120314cos(5)18060314cos(5)60314cos(5 1 oooo =+=+=ttti )30314cos(10)60314sin(10 2 oo =+=tti 故 1 i ， 2 i 和 3 i 的相量表达式为 AIAIAI ooo & 60 2 4 ,30 2 10 ,120 2 5 321 = 其相量图如题解图（a）所示。 题解 86 图 （2） ooo 90)30(120 2112 = ooo 18060120 3113 = （3） 1 i （t）的波形图见题解图（b）所示。 （4）若将 1 i （t）中的负号去掉，意味着 1 i 的初相位超前了 180 o 。即 1 i 的参考 方向反向。 （5） 1 i （t）的周期和频率分别为 mssT2002 . 0 314 22 = Hz T f50 02 . 0 1 2 1 = 注注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相 位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率； （2）同函数，即都是正弦或都是余弦； （3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。 PDF created with pdfFactory Pro trial version 87 若已知两个同频正弦电压的相量分别为VU o & 3050 1 =VU o & 150100, 2 =， 其频率Hzf100=。求： （1）写出 1 u ， 2 u 的时域形式； （2） 1 u 与 2 u 的相位差。 （1）Vtfttu)30628cos(250)302cos(250)( 1 oo +=+= Vtfttu)180150628cos(2100)1502cos(2100)( 2 ooo = Vt)30628cos(2100 o += （2）因为VU o & 3050 1 =VVU oo & 30100150100, 2 = 故相位差为 ooo 03030=，即 1 u 与 2 u 同相位。 88 已知：Vttu)120314cos(2220)( 1 o = Vttu)30314cos(2220)( 2 o += （1） 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率 f 和周期 T； （2） 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差； （3） 如果把电压 2 u 的参考方向反向，重新回答（1） ， （2） 。 解：解： （1）波形如题解 88 图（a）所示。 题解 88 图 PDF created with pdfFactory Pro trial version 有效值为 Vuu220 21 = 2 u 频率 Hzff50 2 314 2 21 = 周期 s f TT02 . 0 50 11 21 = （2） 1 u 和 2 u 的相量形式为 VU o & 120220 1 = VU o & 30220 2 = 故相位差为 ooo 15030120 21 = 相量图见题解图（b）所示。 （3） 2 u 的参考方向反向， 2 u （t）变为 2 u （t） ，有效值、频率和周期均不变， 2 u （t）的相量为VU oo & 15020018030220 2 = 故 1 u 和 2 u 的相位差为 ooo 30)150(120 21 = 波形图和向量图见题解图（a）和（b） 。 89 已知一段电路的电压、电流为： Vtu)2010sin(10 3o = Ati)5010cos(2 3o = （1） 画出它们的波形图和向量图； （2）求出它们的相量差。 解：解： （1）Vttu)11010cos(10)2010sin(10 33oo =，故 u 和 i 的相量分别为 VU o & 110 2 10 = AI o & 50 2 2 = 其波形和相量图见题解图(a)和图（b）所示。 PDF created with pdfFactory Pro trial version 题解 89 图 （2）相位差 ooo 60)50(110= iu ，说明电压落后于电流 o 60 。 810 已知图示三个电压源的电压分别为： Vtua)10cos(2220 o +=，Vtub)110cos(2220 o =， Vtuc)130cos(2220 o +=， 求： （1）3 个电压的和； （2） bcab uu ,； （3）画出它们的相量图。 题解 810 图 解：解： a u ， b u ， c u 的相量为 VU a o & 10220 = VUb o & 110220= VUc o & 130220= （1）应用相量法有 ooo & 13022011022010220+=+ cba UUU 0= PDF created with pdfFactory Pro trial version 即三个电压的和 0)()()(=+tututu cba （2） oo & 11022010220= baab UUU V o 403220= oo & 130220110220= cbbc UUU V o 803220= （3）相量图如题解 810 图所示。 题解 810 图 811 已知图 （a） 中电压表读数为VV30: 1 ； VV60: 2 ； 图 （b） 中的VV15: 1 ；VV80: 2 ； VV100: 3 。 （电压表的读数为正弦电压的有效值。 ）求图中电压 s U 。 题 811 图 解法解法一一： （a） 图：设回路中电流 o & 0= II，根据元件的电压、电流相量关系，可得 题 811 图 PDF created with pdfFactory Pro trial version VRIIRUR oo & 0300= VIXIjXU LLL oo & 906090= 则总电压 VjUUU LRS 6030+=+= & 所以 s u 的有效值为 VUS08.676030 22 =+= （b） 图：设回路中电流相量AII o & 0=，因为 VRIIRUR oo & 0150= VIXIjXU LLL oo & 908090= VIXIjXU CCC oo & 9010090= 所以总电压 VjjjUUUU CLRS 20151008015=+=+= & 故 s u 的有效值为 VUS252013 22 =+= 解法解法二二： 利用相量图求解。设电流 o & 0= II为参考相量，电阻电压 R U & 与I&同相 位，电感电压 L U & 超前I& o 90 ，电容电压 c U & 要滞后I& o 90 ，总电压 s U & 与各元件电压向量构 成一直角三角形。题解 8-11 图（a）和（b）为对应原图（a）和（b）的相量图。由题 解图（a）可得 VUUU LRS 08.676030 2222 =+=+= 由题解图（b）可得 VUUUU LCRS 258)80100(15)( 2222 =+=+= PDF created with pdfFactory Pro trial version 题解 811 图 注：注：这一题的求解说明，R，L，C 元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相 位关系（如下表所示）是我 们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。 812 已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为AA5: 1 ；AA20: 2 ；AA25: 3 。 求： （1）图中电流表 A 的读数； （2）如果维持 1 A 的读数不变，而把电源的频率提高一倍， 再求电流表 A 的读数。 题 812 图 解法一：解法一： （1）R，L，C 并联，设元件的电压为 o & 0=UUUUU CLR 根据元件电压、电流的相量关系，可得 A R U R U IR o & & 05= AjA X U jX U I LL L 2090= o & & Aj X U jX U I CC C 25902590= = oo & & 元件 相量关系 有效值关系 相位关系 相量图 电阻 R RR IRU & = RR RIU= iu = 电感 L LLL IjXU & = IjXU LL & = o 90+= iu 电容 C CCC IjXU & = CCC IXU= o 90= iu PDF created with pdfFactory Pro trial version 应用 KLC 的相量形式，总电流相量为 AjjjIIII CLR o & 45255525205=+=+=+= 故总电流表的读数AI07 . 7 25= （2）设 o & 0=UUUUU CLR 当电流的频率提高一倍后，由于A R U R U IR o & & 05=不变，所以UUR & =不变，而 LX L 2=增大一倍， C XC 2 1 =减小一倍，因此，有 =20 2 1 2 Lj U jX U I L L & & A c j U jX U I C C oo & & 905090252 2 1 = = = 所以 40550105jjjIIII CLR +=+=+= & 即，电流表的读数 AA31.40405 22 =+= 题解 812 图 解法解法二二： 利用相量图求解。设 LR UUUU & o =0 C U & =为参考向量，根据元件 电压、电流的相位关系知， R I&和U & 同相位， C I&超前 o 90 ， L I&滞后U & o 90 ，相量图如题 解 812 图所示，总电流I&与 R I&， C I&和 L I&组成一个直角三角形。故电流表的读数为 PDF created with pdfFactory Pro trial version AIII LCR 22 )(+= 即 （1）A07 . 7 )2025(5 22 =+= （2）A31.40)1025(5 22 =+= 注注：从 811 题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是首先要 选好一个参考相量， 这个参考相量的选择， 必须能方便地将电路中其它电压、 电流相量， 根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系。 最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选电流作参考方向 较方便，如 811 题。对并联电路，则选电压作参考相量较方便，如 812 题。有些问 题通过相量图分析将很直观和简便。 813 对 RL 串联电路作如下两次测量： （1）端口加 90V 直流电压（0=）时，输入 电流为 3A； （2）端口加Hzf50=的正弦电压 90V 时，输入电流为 1.8A。求 R 和 L 的值。 题解 813 图 解：解：由题意画电路如题解 813 图所示。 （1）当 s u 为 90V 直流电压时，电感 L 看作短路，则电阻 =30 3 90 i u R s （2）当 s u 为 90V 交流电压时，设电流AII oo & 08 . 10=，根据相量法，有 8 . 18 . 130+=+= LLS jXIjXIRU & 故 22 308 . 190 LS XU+= =4030) 8 . 1 90 ( 22 L X PDF created with pdfFactory Pro trial version 根据LX L =，解得H f XX L LL 127 . 0 100 40 2 = 814 某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述 4 种情况时，它可能是什么元 件？ （1） += += Ati Vtu )13510sin(2 )4510cos(10 o o （2） = = Ati Vtu )100cos(2 )100sin(10 （3） = = tAi tVu sin cos10 （4） = += Ati Vtu )314cos(2 )45314cos(10 o 解：解： （1）把电流变为余弦形式有Atti)4510cos(2)9013510cos(2 ooo +=+=，u 和i 的相量为 VU o & 45 2 10 =， AI o & 45 2 2 = 则 = o & & 05 I U 即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系 可知这是一个 5的电阻元件。 （1） 把电压变为余弦形式有 Vjtu)90100cos( o = （2） u 和i的相量为 o & 45 2 10 =U AI o & 0 2 2 = 则 L jXRj I U +=+=)1 ( 2 5 455 o & & 即这是一个= 2 5 R的电阻和= 2 5 L X的电感的串联组合。 815 电路由电压源Vtus)10cos(100 3 =及 R 和 L0.025H 串联组成。电感端电压的有 效值为 25V。求 R 值和电流的表达式。 解：解：由题意画电路的相量模型如题解 815 图（a）所示，相量图如题解