（基础数学专业论文）几类分形集合hausdorff测度与图像的研究.pdf

摘要 几类分形集合h a u s d o r f f 测度与图像的研究 专业：基础数学 硕士生：涂莹 指导教师：贾保国副教授 摘要 确定分形集的h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数是分形几何研究的重要内容之 一一般地说，要计算分形集的h a u s d o r f f 维数尤其是h a u s d o r f f 测度是相当困难的 本文主要研究几类满足开集条件的自相似分形集h a u s d o r f f 测度的估计与计 算主要讨沦以下三个方面的问题： 第一部分研究两类经压缩映射而得到的自相似集的h a u s d o r f f 测度利用求极 限的方法找出s 的凸包，得h 1 $ ) 5 2 ；币u 用部分覆盖方法与质量分布原理，对于 三分康托集c 与单位区间i 的乘积集e ，得到1 c h 5 ( e ) c 1 4 9 4 3 ，其中s = l 0 9 6 1 第二部分利用i f s 算法研究了维数大于1 的分形集p e n t a k u n 的雪花片图像， 通过部分覆盖方法证明其h a u s d o r f f 钡u 度严格小于其直径的s 次方，其中s 为分形集 p e n t a k u n 的h a u s d o r f f 维数 第三部分研究平面单位正方形内由四个相似映射生成的一类自相似集f 的 3 - h a u s d o r f f 测度，证明了当压缩比a , b 满足：6 0 0 2 7 0 2 及拍+ a 1 时，有h5 ( f ) = 2 2 。 关键词：h a u s d o r f f 维数与测度，自相似集，迭代函数系统 a b s l r a c r h a u s d o r f fm e a s u r ea n di m a g e sf o rs o m ec l a s s e so f f r a c t a ls e t s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：t uy i n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o r j i ab a o g u o a b s t r a c t t h ec a l c u l a t i o no ft h eh a u s d o r f fd i m e n s i o na n dm e a s u r eo ft h ef r a c t a l s e t si si m p o r t a n tp r o b l e m si nf r a c t a lg e o m e t r y i ng e n e r a l ，t h ec o m p u t a t i o n s o ft h eh a u s d o r f fd i m e n s i o n ，e s p e c i a l l yt h eh a u s d o r f fm e a s u r e ，a r ev e r y d i c i c u l t t h i s p a p e r s t u d i e st h ee s t i m a t i o na n dc o m p u t a t i o no fh a u s d o r f f m e a s u r eo fs o m es e l f - s i m i l a rf r a c t a ls e t sw h i c hs a t i s f yt h eo s c w ed e a l w i t h3p r o b l e m sa sf o l l o w s f i r s t ，w ec a l c u l a t et h eh a u s d o r f fm e a s u r eo ft w ok i n d so fs e l f - s i m i l a r s e t sw h i c ha r eo b t a i n e db yt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n g v i at h el i m i t i n g m e t h o dt of i n dt h ec o n v e xh u l l ，w eo b t a i n h l ( s ) 拈2 f o rt h eh a u s d o r f f i i a b s t r a c t m e a s u r eo ft h ec a r t e s i a np r o d u c to ft h em i d d l et h i r dc a n t o rs e ta n dt h eu n i t i n t e r v a l ，t h e e s t i m a t i o n1 日5 怛) 1 4 9 4 3h a sb e e n o b t a i n e d ，w h e r e s ；l o g 1 s e c o n d l y , w eu s et h ei t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s ( i f s ) a l g o r i t h m t o s t u d yt h ei m a g eo fp e n t a k u n s e t u s i n gp a r te s t i m a t i o np r i n c i p a l ，w eh a v e p r o v e dt h a t i t sh a u s d o r f fm e a s u r ei sl e s st h a nt h es t h p o w e ro fi t s d i a m e t e r t h i r d l y , w es t u d yt h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fac l a s so fs e l f - s i m i l a rs e t s e s t a b l i s h e db y4c o n t r a c t i o nm a p p i n g so nt h ep l a n e w eh a v ep r o v e d t h a t h 5 ( f ) = 2 2 w h e nb 0 0 2 7 0 2a n d4 b + a 1 k e yw o r d s ：h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dm e a s u r e ， s e l f - s i m i l a rs e t ，i f s i i l 第1 章相关定义和定理介绍 1 1引言 第1 章相关定义和定理介绍 众所周知，欧几里德几何学研究的都是规则的形状，例如圆、正方形、球等等 构成这些图形的边缘都是连续和光滑的但是在自然界中，许多物体的形状和现象 十分复杂，蜿蜒曲折的海岸线，奇形怪状的云彩，山脉的轮廓，分子无规则运动的轨 迹，等等，都难以用经典几何中的直线，光滑曲线，光滑曲面等来处理和分析另一 方面，人们已注意到不规则集合往往能提供许多自然现象的更好描述8 0 年代初， 由b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何为科学的探讨这些复杂的问题提供了全新的概 念和方法，提示了自然界混乱无规则结构中的规律性及其本质 但直到现在分形仍然没有一个严格而又精确的定义，只知道分形集f 具有以下 所有的或者是部分的性质： ( 【) f 具有精细的结构，即有任意小比例的不规则的细节： ( i i ) f 是如此的不规则，以至于无论它的局部还是整体都不能用传统的几何 语言来描述： ( 1 i i ) f 通常有某种自相似或自仿射的形式，可能是近似的或是统计的 ( i v ) 一般地，f 的“分形维数”( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数 ( v ) 在多数令人感兴趣的情形下，f 有非常简单的方法定义，可能由迭代产生 对于一个几何体，我们感兴趣的是如何来度量它度量分形常用的参数是测度 和维数目前已经出现各种形式的测度和维数，用来刻画分形几何的不规则性波 恩数学家f e l i xh a u s d o r f f 在1 9 1 9 年从测量的角度引进了h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数，这也是目前在理论上最为常用的两个参数 确定分形集的h a u s d o r f f 钡l j 度和h a u s d o r f f 维数是分形几何研究中重要内容之一， 一般地说，要计算分形集的h a u s d o r f f 维数尤其是h a u s d o r f f 测度是相当困难的迄 今为止，分形几何研究成果最丰富的当推自相似集它的h a u s d o r f f 维数已有确定的 计算公式但是对于这种研究得很深入的分形集而言，目前也仅有几种特殊的并且 中山大学硕士学位论文 维数小于1 的h a u s d o r f f 测度被确定例如三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度为1 ；文【2 】 中确定了4 个压缩比为1 4 的压缩函数生成的s i e r p i n s k i 地毯的h a u s d o r f f 测度为 2 等等对于维数大于1 的分形，至今没有算出一个准确的h a u s d o r f f 测度值， 只是估计出了少数分形集的h a u s d o r f f 测度的上、下界因此，还有许多问题值得我 们去探讨和研究。 分形几何，这门新的数学分支一创立，就日益受到各国学者的重视，在过去十 几年里，分形科学已有很大的发展并且由于分形几何方法的引入，使一些原已死 寂一般的老的学科方向焕发了新的生机，也使一些蓬勃发展的新学科获得了巨大的 推动力分形几何与计算机科学的结合就是一个明显的例证一方面，分形理论推 动了计算机绘图方法的迅速发展，使计算机在信息压缩及模仿自然现象中的各种奇 妙图形等方面发挥了重要的作用；另一方面，计算机的应用也大大推动了分形理论 的发展，并且由于模拟分形图成功地展现出优美的分形图像，迅速提高了分形这门 新兴学科的声望，扩大了她的影响同时，绘制的分形图也已成了一种相当时髦的 艺术形式 1 2h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数 h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数是分形几何中最基本的概念之一首先回顾一下 定义： 设u 为完备度量空问x 中任一非空子集，u 的直径定义为 i u 卜s u p i x yl ：z ，y e u ，即u 内任何两点距离的最大值如果 u ) 为可数个直径不 超过6 的集合构成的覆盖f 的集类，即fcu u i ，且对每个i 都有l 玑i c6 ，则称 ) 为 f 的一个d 覆盖 设f c 工，a 0 ，任给6 0 ，定义： h ；( f ) = i n 善i ul “： u ) 为f 的d - 覆盖) ，( 1 - 1 ) 2 第1 章相关定义和定理介绍 日。( ，) 。觋h ；( f ) ，( 1 - 2 ) 上式中极限存在时( 极限值可以是0 或。) ，称h 。( f ) 为f 的口维h a u s d o r f f 钡, , t l 度 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等度量概念可以证明掣中任何子集的n 维 h a u s d o r f f 测度与其n 维l e b e s g u e 测度相差一常数( 见 1 】) 由h 。( f ) 的定义知，它是一度量外测度，且对任何集fcx ，存在唯一非负实数o 。，使 得 聊，。岳 定义1 1 定义f c x 的h a u s d o r f f l 懒d i m hf 为 d i m h f = i n f a ：h 。( f ) = 阱 = s u p a ：8 旷) = ) 记a = d i m f ，若0 d i m h f 。，则称f 为g t 一集 性质1 1 【1 】h a u s d o r f f 维数具有；n t 性质， ( 1 ) 单调性：若e c f ，贝1 d i m h e s d i m h f ； ( 2 ) 可数稳定性：若墨，2 ，为一可数集列，则 ( 1 4 ) d i m 。( u 只) ；s u p d i m 。( e ) ， ( 1 - 5 ) i = 1 由h a u s d o r f f 测度及维数的定义可以立刻得到它们的一个上界估计 定理1 1 i 发e c r n , u k ，) 。 1 ) 为e 的一系列哦覆盖，哦一o 如果存在正常数 列q ，使得对任意女，l 咖i 。 1 2 k l i m i n f qco 。，则日5 ( e ) c 。，从而d i m “e s s 由此可见对于h a u s d o r f f 维数的上界估计，可以通过考察一些特殊的覆盖得到对于 下界估计，我们引入质量分布原理 首先就其中涉及到测度论方面的有关知识做一介绍 定义1 2 【1 1 设x 是一集合，x 的子集族b 称为x 的一个盯代数，如果满足： ( 1 ) x e b ； 镰确 觏托 中山大学硕士学位论文 ( 2 ) 妻口果e u _ b ，贝0 z e e b ； ( 3 ) 如果e 曰，月l 则u e c b 定义1 3 1 1 设b 是x 的盯一代数，p ：b 一 o ，o o ) * g s b - - + n 度，如果满足： ( 1 ) p p ) = 0 ； ( 2 ) 如果e e b ，n2 1 ，且e 彼此两两无交，则 肛( _ 邑) 2 荟( e ) ( 1 _ 6 定义1 4 【l 】设，d ) 是一度量空间，则称包含x 的所有开集的最小仃一代数为x 上的 b o r e l 集类 定义1 5 1 1 设e c x ，称e 对于测度是一可测的，如果对任意4 c x ，有 卢( 爿) = u ( a n e ) + ( 爿- e ) ； 如果所有的b o r e l - 集是岸- 可测的，则称口是b o r e l 测度 定义1 6 1 1 设为r “上的b o r e l 测度，则肛的支撑是指使p 僻“一e ) = 0 的最小闭集 e 支撑在ec r ”上的正有限b o r e l 测度称为e 上的一个质量分布 定理1 2 【1 1 ( 质量分布原理) ： 设是f 上的质量分布，且对某个s 存在c ，0 , n6 ，0 ，使 ( u ) sc l 【，r( 1 7 ) 对所有满足i u 忙d 的集u 成立，则h 5 印) ( f ) c ，r ss d i m 。f 引理1 2 1 】 若e 彤，f c r “是b o r e l - 集，且日。怛) ，日陋) c h 5 ) h 。( f ) ，其中c 仅依赖于s 和t 从而对于e = c x o ，1 】，s = 1 + l o g ；， h 1 仙g ；( c 【o 1 】) 苫2 - ( 1 + l o g i ) h 地；( c ) 日1 ( 【o ，1 1 ) = 2 - o + i o g ) 一0 3 2 2 9 综上，我们可得o 3 2 2 9sh 。幅) e1 4 9 4 3 ， 显然此时的下界是令人不满意的， 下面我们将利用质量分布原理来进一步改进其下界 对于分形集c 【o ，1 】，e 由6 ”个边长为去的正方形组成，每个这样的正方形称为基本正方 中山大学硕士学位论文 形，记为g ，在吒上定义分布函数p ，满足 肛( 岛) ；2 2 ， 弘皈) = 虿1 茹，玎= 1 ，2 ，轧 u ( e o c c ) = 0 则口为上一个测度，且p 为c x c 上的一个质量分布 图2 6 o o ； l ；一； 一； 一 图2 7 如图2 - 6 建立直角坐标系，e o 的主和斜对角线方程分别为y = z ，y + x = 1 c x o ，1 与【0 ，1 区间的交是三分c a n t o r 集，邑n 【o ，1 】由掣个长为三的闭区间组成，每个这样的闭区间称 j 为基本区间，记为i 在e f l o , 1 上定义分布函数h ，满足 。( 0 ，1 ) = 1 ， 一1 ( l ) ；萧1 ，h = 1 ，2 ，3 ， “( o ，1 卜c ) = 0 则u 。为【o ，1 】上的一个测度且一为c 上的一个质量分布f t , ( 【o ，x 】) 即是著名的c a n t o r 函数 ( 如图2 - 7 ) ，它在 o ，1 上单调增加且连续 引理2 1 【6 1 对任意x ( o ，1 ，则“( o ，石】) z ；x 5 ，其中s = l o g ! 证：根据“( 【0 ，x ) 与i 3z 5 的连续性，只需对x 取( n 0 ) 的端点证明即可容易知道 丛半只可能在基本区间。( l 【。，； ) 的左端点“取得最小值下面用数学归纳法 第! 童翌耋坌受堡笪型堕笪生 一一 一一一 稍焉掣2 寿2 吾， 假设当n ：k 时引理成立，即对基本区间疋，( 一【0 ；1 ) 的左端点& 都有 肫( 【o ，以】) 22 3 ! - x 当n ：k 十l 时( i ) 觏厂每，刍鄹= 寺测 缒! ：兰：互；竺：三 ，5 ( 争岔z ( i i ) 若砟。；也，则由归纳假设知，引理成立- ( i i i ) 若坼。；耳+ 晏i ，则n ( n t 一) = 以( 【o ，矗】) + 专，放 h ( o ，_ j ) 一吾五+ j ；肫( 【0 ，诈 ) + 击一号。= 吾矗+ 嘉一虿3 也+ 务) 5 ， 令，= 吾屯5 + 专一虿3 + 尹2 3 测当x ( 0 1 】时，。从而，x 在砷刈上是单 调递减的注意到靠s 1 一歹1 ，从而 _ l ( 【0 ，吒+ 1 】) 一吾- 以。”2 3 ，( 1 一；) 。+ 六一吾( 1 一刍) 0 所以当n = k + l 时，引理2 1 成立 1u 推论2 。1 对任意x ( o ，匀，则口，( 【o ，x 1 ) z 素 一= 吾掣2 杏2 詈 其余完全类似于上面引理的证明从略 设g 为平行于玩的斜对角线且与民相交的直线，记原点到g 的距离d ( ( o ，o ) ，g ) 。g 2 0 记g 与x 轴，y 轴围成的三角形为。( 见图2 - 6 ) 引理2 2 f ( 蚶= 弓卜9 肛g 兰孚 中山大学硕士学位论文 证龇g s 铷存在正整数n ，使舅铘等湎图2 8 ) 考虑如下脚隋况 ( 1 ) 若i 观l 0 图2 1 1图2 1 2 ( 3 ) 若v 与巨中4 个基本正方形q ，q ，q ，q 相交，不妨设v 与位于上方的两个基本 正方形不相交( 如图2 1 1 ) ，记 a = m i n x ：( x ，y ) e v n ( q u q u 岛u q ) ) b ；1 - m a xx ：o ，y ) e v n ( q u q u q u 睦) ) 1 8 第2 章两类分形集的测度估计 贝 j l v l z 卜一虮由推论2 1 和o c 吼6 c ；得到， 压3压5 鹏卜扩以亩扩。 因此一) ；圣篓一( - 3 。，。2 + 圣b x 2 ) 2 4 2 故国卟娴胡( 1 - a - b 卜半+ 毫n 5x z + 旁x 2 ) 令，( ，6 ) ；j 5 ( 1 一n 一6 ) s 一_ 2 4 2 + ( _ = 3 。s 。2 + _ 3 ；扩2 ) 对厂( 口，6 ) 求偏导数并令 4 24 2 。卸。5 密乩2 0 6 0 9 令 2 + ( 玎 d 12 ( n ，6 ) l 。s a + 6 s 吾 ，y n 证明f ( 。，在闭区域d 1 上的最小值大于零由于 ，( n o ，b o ) = 0 7 3 9 8 3 1 1 7 3 2 4 + 0 5 1 8 7 7 0 ， 在d 1 的边界上，当n + 6 = 詈时， ， ，6 ) ：压3 ( 1 一一6 ) s 一半+ 晴3 口s 2 + i 3 矿。2 ) j 22 = 拉5 一学+ 去嘶弘压吲一竽+ 去4 譬，5 2 焦，o 压5 2 当+ 扫：o 时，。；o ，扫：o 故，( o ，o ) ：互5 一兰娑，o 因此互l yr t 4 v ) ，0 ，6 ) o 1 9 o o ； 昔 矿 扩 旦拉鱼拉 + + 曲 曲 卅 叫 0 o 压 压 心 吖 = = ( 中山大学硕士学位论文 若v 与巨中4 个基本正方形8 ，q ，砬，q 相交，当q ，q ：q ，睦中有两个位于对角线上 时f 如 图2 1 2 ) n 类似情形( 2 ) ， 郇断- g ，- 9 3 , 川z 压一等2 _ 9 5 - 9 6 _ 芋喝- 9 6 ( 其中。c g 。c 了4 7 ，f ：1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ， 从而i y i = 警一型! 学丝0z 由于车( g l + 9 3 + 9 6 + 9 5 ) s 亚4 4 _ 生3 c 1 ，从而由命题2 1 - n g i n2 _ 2 矢口 z 洋冲一费( 础学监) rz 洋h 争c 暴h 丝! 学垫川 ( 争节2 2 s + 9 3 ，。1 三 0 图2 - 1 3 2 0 图2 1 4 第2 章两类分形集的测度估计 ( 4 ) 若v 与臣中3 个基本正方形q ，q ，岛相交，若这三个基本正方形并不位于同一直 线上( 如图2 1 3 ) ，记口= m i n x ：( z ，y ) e v n ( q u q u g ) ) b = 1 - m a x x ：0 ，y ) e v n ( q u q u g ， ，则l y l z l - a - b ， y r 苫吾一2 5 仁笋) 5 = 吾一；( “5 + 一2 ；l y 卜2 。；一2 1 5 ”1 。5 + 由推论2 1 和0 0 若v 与墨中3 个基本正方形q ，g ，q 相交，若这三个基本正方形位于同一直线上( 如图 2 1 4 ) ，记= m i n y ：“y ) v n ( q u q u q ) ) ， b ；1 - m a x y ：0 ，y ) e v n ( q u q u 岛 贝0j v i 苫1 一n b ：= i v l 5 【1 - ( a + 6 ) 】5 由图可知，对于长度为a 的矩形，其质量分布姚量= 等一旭，= 譬口 3 了 从啾啪孚( 叭争 因此) s 譬一牟a + 孚垆竿【1 一。删】由于。c 咖c j ，故 压5 5 一弘0 i ) ；压i 【1 一( n + 6 ) 】l1 1 一 “) 畸2 压5 【1 _ 。+ 6 小【1 一 曲) r 一争 ，压5 刹1 扩一护1 o 2 1 中山大学硕士学位论文 y 图2 1 5 ( 5 ) 若v 与巨中2 个基本正方形q ，q 相交 i ) 若这二个基本正方形位于同一水平方向上( 如图2 1 5 ) ，记 a = m i n x ：( x ，y ) v m ( qu q ) ) ， 图2 1 6 b = 1 - m a x x ： ，y ) e v n ( q u q ) ) ，则 y l l - a - b y i ：手一掣( 二a f + b ) 5z 舌一手( 口3 + 旷) 一茹i 矿卜2 1 - l z 一2 1 5 ”k 5 + 6 5 ) 由推论2 1 和0 l - a - b , 书r z 吾+ + 6 ) 5 因枞跏孚( 啪等6 ， 第2 章两类分形集的测度估计 从而p s - 压5 - 5 一( - 压5 - 。- 。+ 孚：压5 唁1 一j 1 + 堋， 压5i 训蛳5 印m 卜扣妒刘1 z 压5 【哆一j 1 ) + i 1 ( m ! 一。+ 6 ) 5 】 0 3 1 2 4 0 1 8 2 9 0 情形二：若n + b ) = 2 ，此时i 矿i 值可能很小( 如图2 1 7 ) ， 图2 _ 1 7 必定存在正整数i ，使；c l 矿k 刍，则此时v 与乓中至少2 个基本正方形q 相交，由e 的 自相似性，类似前五种情形的证法，我们依然可得) 52 2iv 卜 ( 6 ) 5 n v 仅与e 1 中1 个基本正方形q 相交，则p ) = t , c e n 岛) ，若y n q 仅与e 2 中一个 基本正方形相交，则弘( 矿) = p n q ) ，若矿n q 与易中二个，三个，六个基本正方形相 交，则由( 1 ) 一( 5 ) 知，) = 肛n q ) s2 2i v l 5 由数学归纳法知：或者肛( 矿) s2 2i 矿1 5 ，或者 ， 1 2 5 存在g e ，使得p ) 2 o s n r , ) 5 p ( q ) 2 吾令n _ ”，得肛) = o s 2 2 i vr 证毕1 2 5小结 由质量分布原n 3 i , n 引理2 3 知 三兰 2 2 日5 ( c x 0 ，1 】) ( c 【0 ，1 】) = 2 2 ， 从而h 。( c 【0 ，1 】) 1 在2 3 节中己得：h 5 ( e ) s 1 4 9 4 3 综合上述h a u s d o r f f 测度的上、下界估计可得： 1 蔓h 。( c 0 ，1 1 ) s 1 4 9 4 3 ， 其中s = l 0 9 3 6 中山大学硕士学位论文 第3 章分形集p e n t a k u n 问题及图像的研究 3 1迭代函数系统算法 迭代函数系统算法( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ，i f s ) 【7 】是分形理论的重要分支i f s 将待生成的图像看成是由许多与整体相似的( 自相似) 或经过一定变换与整体相似的( 自 仿射) 小块拼贴而成 仿射变换的数学表达式为 川【x ) ， 。= 。a “x + + b 咖y + + e ， 其中，6 2 , 代表仿射变换x 和y 是变换前图形的坐标，x 和y 是变换后图形的坐 标a ，b ，c ，d ，e ，f 是仿射变换系数 另外，仿射变换族 ) 中，每一个仿射变换被调用的概率不一定是相同的，也就是说， 落入图形各部分中点的数目不一定相同，于是引进一个新的变量，即仿射变换被调用的概 率p 从而，6 个仿射变换系数a ，b ，c ，d ，e ，和一个概率p 便组成了i f s 算法最关键的部分 i f s 码 p e n t a k u n 集嘲是由压缩映射e ( z ) ：生：兰。一只) + 只构成的自相似集，其中 p ；p 2 “。“5 为了画出该图，我们要先计算出p e n t a k u n 集的i f s 码 算法与步骤： 1 、生成随机数r ，并使r 的值在0 与1 之间 2 、分配q ，鸭，咄，鸭这五个仿射变换的概率空间，分别为 0 , 0 2 ，( 0 2 ，0 4 】， ( 0 4 ，0 6 】，( o 6 ，0 8 】，( o 8 ，1 】 3 、判断随机数落入哪一个概率空间，并调用相应的仿射变换所具有的i f s 码值， 赋给相应的参数q ，包，c i ，d i ，q ，正 第3 章分形集p e n t a k u n 问题及图像的研究 算 4 、根掘计算仿射变换的关系式，算出仿射变换后新的坐标值x ，y 5 、在( x ，y ) 处画一点 6 、循环执行步骤1 5 ，并将上一次计算出的x ，y 值作为这一次的x ，y 值参加计 7 、完成循环次数后结束结果如图3 - 1 所示 3 2 计算i f s 码 图3 - 1 由于生成的五个五边形的面积相等，所以我们取每一个p i 的值都相同或相近此时 p i = 0 2 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 下面计算i f s 码： 方法( i ) 找出平移点a 、b 、c 、d 、e ；若选点a 为坐标原点，则只需计算b 、c 、d 、 e 点的坐标即是q ，五的码值设原始正五边形的边长为1 ，而其内角为： 1 8 0 。| x ( 5 2 ) + 5 = 1 0 8 。，压缩比a 己知是三二：坚，由此可解三角形 在z 5 a m n 中： a n 2 ；a m 2 + m n 2 2 删a n c o s l 0 8 。a c ：彳b 2 + b c 2 2 a b b c c o s l 0 8 。 = 2 a 2 2 a 2c o s l 0 8 9 = o 3 8 1 9 7 ， - 、瓜i 夏丽f ；1 6 1 8 b ；a n ；瓜丽；o 6 1 8 4 = 0 4 = 0 e = e 2 = 0 6 1 8 b ，= 是= 0 域= e 4 = 0 + b ) c o s 7 2 。；o 3 0 9 d v = 厂4 = 0 + b ) s i n 7 2 。= o 9 5 1 1 e = e 3 = ( a + b ) c o s 3 6 。= 0 8 0 9 c ，；五= b s i n 7 t = o 5 8 7 7 5 e = e 5 = - b c o s 7 2 。= 一0 1 9 0 9 7 e y = = b s i n 7 2 。= 0 5 8 7 7 5 中山大学硕士学位论文 其i f s 码如表3 - 1 所示 表3 1 la 1 b i c id i e 1f i p 1 10 3 8 2oo0 3 8 20o0 2 20 3 8 2o00 3 8 20 6 1 80 0 2 30 3 8 2000 3 8 20 8 0 90 5 8 7 80 2 40 3 8 2o00 3 8 20 3 0 90 9 5 1 1o 2 50 3 8 2oo0 3 8 2- 0 1 9 0 9 70 5 8 7 7 5o 2 方法( i i ) 若选中心为坐标原点则只需依次计算出不动点a 、b 、c 、d 、e 的坐标即是 q ，正的码值 图3 2 其i f s 码为： e = q = 1e = e 2 = c o s 7 2 。 q2 厶2 0 d y = 厂2 = s i n 7 2 。 e = e 3 = c o s l 4 4 。a x = e 4 = c o s 2 1 6 。 = ，3 = s i n l “。4 = ，4 = s i n 2 1 6 。 表3 2 反= = c o s 2