（基础数学专业论文）拟线性抛物型方程解的局部性质.pdf

摘要 弱解的局部性质，如解的有界性、h a r 珏a d 【不等式及h 6 1 d e r 连续性是椭圆型和抛物 型方程正则性理论的重要组成部分近十几年，z 口1 b o n i 在一系列的工作中证明了拟线 性椭圆型方程 d i a ( 。札，v u ) + b ( 。“，v u ) = 0 在结构条件的系数属于m o e y 空间或更一般的函数空间时弱解的有界性及h a 皿8 出不 等式舡o 吕o 与s e r r i n 证明了拟线性抛物型方程 饥= 出 a 扛，t ，u ，v 札) + b ( 嚣，t ，仳，v “) 在结构条件的系数属于s 0 b o b e v 空间护，2 ( q ) 时弱解的有界性、h 8 r n b c l 【不等式及h 6 l d e r 连续性 本文研究了拟线性抛物方程的结构条件的系数在更一般的空间下非负弱解的一些局 部性质，如解的有界性、h m a c k 不等式及h 6 l d e r 连续性，这些性质主要通过引入新的 函数空间和应用m 0 8 e r 迭代的方法得到 第一章绪论 第二章预备知识，主要给出了几个函数空间的定义及几个引理 第三、四、五章给出了本文的主要结果及证明，即拟线性抛物型方程解的局部有界 性、h 8 r n a 呔不等式和h 6 l d e r 连续性 关键词：非负弱解；拟线性抛物型方程；有界性；h m a c k 不等式；h 6 l d e r 连续性 耿金波，拟线性抛物型方程解的局部性质 l o c a lb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fq u a l s i l i n e a rp a u r a b o l i c e q u a t i o n s a b s t r a c t t h el o c 8 lb e h 8 v i o ro f 观妇s o l u t i o n 8 ，f o re x 锄p kt h eb 0 1 1 n 血e s 8jh a m a d c 虹 e q u a l i t ya dh 6 l d e rc o n t i n 饥i sm a 血c o m p o n e n to fr e g l l l 删t yt h e o r yo fe u i p t i ca n d p 盯a b o l i ce q u a t i o n 8 r e c e n t l yz 咖b o n ih 阳d i 8 c l 瑚e dt h eb o u i l d n e s s 。h a r n a 出i n e q u a n 七y a n dh 6 l d e rc o n t i n u i t yo fn o n _ n e g a t i v ew e a k8 0 l u t i o n 8t ot h ef 0 1 b w i n gq u 鹊i l i n e 8 re l l i p t i c e q u 8 t i 。n s 出u a 0 ，u ，v u ) + 日 ，t ，v 钍) = o u n d e rt l l ea s s u m p t i o n so ft h ec o e m c i e n t sf o rt h es t r u c t u r ec o n d i t i o 瑚b 曲唱i nm o r r e y s p b c e so rm o r eg e n e r d8 p a o 部a r o n 日o na n ds e r r i nh a d8 t u d i e dt h eb o u n d 】1 鹊s h 眦a d k i n e q u a i i t yf o rn o n n e 9 8 t i v ew e 8 ks o i u t i o n 目t ot h ef o d w i n gq u 明i i i l l e a rp 盯a b o u ce q u a t i o n 8 u t = 出u a 扛，u ，v u ) + b 扛，t ，u ，v 札) h e r et h ec o e 母c i e n t so ft h e8 t r u c t u r ec o n d i t i o n sb e l o n gt os o b o l e v8 p a c e s 上，。( q ) t h ea i mo ft h i s t h e s i si 8t o 嘣阻dz 蛐b o n i 8w o r l 【8t op a r 曲o l i ce q u a t i o n s b y d e 丘n i n gan e wf u n c t i o n a ls p a c ea n du s i n gc l a 5 s i c a lm o s e r 8i t e r a t i o n ，w ec a no b t a i nt t l e b o u n d i l e 8 8 ， h 8 r n a c l 【i n e q u 址t ya n dh 石l d e rc o n t i n u 时o fw e 北8 0 1 u t i o 瑚t ot h e8 b a 、，e ( 1 u 8 8 i l i n e a rp a r a b o u ce q u a t i o n 8 t h eb a c k g r o u n da n dh i 8 七o r yf o rt h e 日t u d i e dp r o b 蛔n8 r eg i v e ni nc 1 1 印t e r1 i n 出a p t e r2 ，w e8 h a l lg i v es o m en n c 七i o n a l 印a c e 8a i l dl e m 瑚脚 w bg i v et h em a i nr 鹤u i t 8a dt h e i r 8p r o o fi nc 1 1 印t e r3 5 ， k e yw b r d s ： n o n - n e g a t i v ew e a l cs o l u t i o 舯；q u 铀i l i n e a rp 盯a b o l i ce q u a t i o n s ； b o u i l d n e s s ；h a r a c ki n e q u a u t y ；h 6 l d e rc o n t i 肌i t y i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含 为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的 说明并表示了谢意。 作者签名：碰 日期；c 2 鲤6 笪 、j 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文 版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名 导师签名 雄 盔盈鱼 盘壁6 年丘_ 月4 日 1 绪论 在这一部分，我们主要介绍本文的研究背景及国内外研究现状和本文的主要研究内 容及研究成果 偏微分方程的研究已有悠久的历史由于它与各种技术科学及多种理论科学的紧密 联系从十九世纪以来它一直是数学科学的中心分支之一但由于它的复杂性和困难性，它 很少形成全面的、一般的理论体系许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述， 许多重要的物理、力学学科的基本方程( 如流体力学方程组、弹性力学方程组、m a x w e 方程组、s c h r 砌i n 孽e r 方程、e i 吕t e i n 方程、k d v 方程，y 柚g - m i l l s 方程等) 本身就是 偏微分方程 在微积分出现后不久，人们就开始用偏微分方程来研究力学和物理学中出现的问题 从那时候起，偏微分方程理论一直是数学家、力学家和物理学家所共同研究的重要对象 人们一方面把精力集中在其他科学最感兴趣的那些偏微分方程问题上；另一方面，也力 求发展偏微分方程的一般理论随着科学的发展，偏微分方程中问题越来越多，越来越 难，解决的方法也越来越进步同时，数学家们发现，在建立_ 般性理论时，偏微分方程 是非常复杂的对象即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度至于非线性方 程，人们只能分别针对各种闻题，提出个别的解决办法 在本世纪3 0 年代以前的近二百年中，它紧密地联系着物理学、力学、几何学等方面 的需要，早在1 9 0 0 年，希尔伯特为预见2 0 世纪的数学发展所提出的2 3 个著名问题中， 其中第1 9 个问题和第2 0 个问题与偏微分方程有关，这两个问题都提出了建立系统的偏 微分方程理论的必要性，3 0 年代开始，在s o b o i e v 空间的基础上建立起来的泛函分析方 法，为处理线性及非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的工具和框架，并在实践 中已得到广泛的应用 直到本世纪四十年代，产生了局部凸空间和广义函数理论，它们使偏微分方程的研 究形成了一般理论s o b o l 吖空间是抽象泛函分析理论应用到偏微分方程问题中去的桥 梁应用s o b o l 吖空间，我们可以在更广泛的函数类空间寻求问题的解，这就使得可解 性问题变得容易得多了，这种解往往称为“弱解”或者“广义解”。当然，为了得到古典 解的存在性，我们必须研究弱解的光滑性，这就是所谓弱解的正则性问题 耿金波，拟线性抛物型方程解的局部性质 h i i b 嘶的2 3 个著名问题中第1 9 个问题是这样叙述的：a r et h e8 0 i u t i o no fr e g l l i a r p r o b l e m 日i t h ec 酊c 1 1 1 u 8o fv 艄i a 七i o n sa l w a y 8n e c e s s 盯i l ya n a l y t i c ? 这种问题的最简单情 况是研究下述泛函的最小问题 国上l l ( v ”( 2 ) ) 如 ( 1 1 ) 其中nc 彤是有界，光滑的区域，拉格朗日函数l ( ) 是定义在舻上的光滑的纯量函 数，是容许函数集所要证明的结论是：如果拉格朗日函数上悠) 是光滑的，是否最 小点u 也是光滑的 ( 1 1 ) 的最小点u 对应下述e u l e r - l 8 9 r g u g e 方程的弱解 亳l 靠( 乳( z ) ) = o ( 1 2 ) 对方程( 1 2 ) 两边关于z k ( 1 自n ) 求偏导，令畿= ，则满足 若矗( ( z ) 嚣) _ 0 ( 1 3 ) 其中系数。巧扛) 一k 6 ( v u ( 。) ) ，当l 是凸函数时，可推出上述方程是椭圆型方程 在2 0 世纪5 0 年代，椭圆型方程的正则性理论本质上是建立在s 出8 u d 估计的 基础上的大体上说，如果。玎g k n 一，则( 1 3 ) 的解属于e 扎o ，= o ，1 ，这样如 果能证明“g 1 一，则= l “o ( v u ( ) g o 一，根据上述s c h 8 u d e r 理论就可推出 g 1 m ( 1 七兰”) ，因此蔚有g 2 一，通过b 0 0 t s t 8 p 方法就可解决砌b 越第1 9 个 问题 如果l 满足强制一致凸和自然增长条件i l ( ) i g i f 【，通过变分法的直接方法可得 到存在唯一满足( 1 1 ) 的最小解，而且u 1 。( q ) ，但没有证明u g 1 一再回到方程 ( 1 3 ) ，当。玎是有界可测时，m o r r e y 在1 9 3 8 年在n = 2 时解决了此正则性问题，所用技 术与复分析和拟保形映射有关对一般空间维数，直到2 0 世纪5 0 年代后期，这一问题 才被d e g i o 蟛【2 6 和n h 2 7 】独立解决，他们所用的方法完全不同，特别是d e g i o r g i 的估计方法，这就是后来著名的d e g i o r 婷a h 估计方法他们最初考虑的方程是 壹杀( ( 考) = 。 ( 1 t ) 其中。玎仅假定是有界可测的并满足一致椭圆性条件他们证明了方程( 1 4 ) 的每一个局 部弱解是h 6 l d e r 连续的，这个结论后来被称为d e g i o r 婷n a 出定理对上述正则性理论 做出重大贡献的还有m 0 8 e r ，m o 鲫? 在【2 8 和 2 9 1 中给出了d e g i o 呼一n 蜩h 估计的新的 简化的证明，并证明了方程( 1 4 ) 的每一个非负弱解的h 口n a c k 不等式，而用h 锄a c k 2 大连理工大学硕士学位论文 不等式可以证明弱解的h 6 l d e r 连续性，m 0 8 e r 所用的证明思想就是后来著名的m 0 8 e r 迭代估计方法无论d e g i o r g i 还是m o s e r ，他们当初研究的方程都是线性的，但是他们 的结果完全可以推广到如下的拟线性椭圆型方程 d 曲，4 ( z ，v “) + b ( 。，让，v ) = o 其满足下面的结构条件 ji a ，) l + i b 和，u ，f ) jsa i 引_ 1 + 妒0 ) 【f a ，u f ) 口j 引一妒( z ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 在这里n ，a 是两个正常数， l p ( f 2 ) 方程( 1 5 ) 的最典型的方程是p l 印l a c i a n 方 程l a d y z h e n 吕k a 归和u r a l t z e v a ，证明了方程( 1 5 ) 在( 1 6 ) 的假设下弱解的h 6 l d e r 连 续性( 见 3 1 j ) 并推广了d e g i o r g i 方法用m 0 8 e r 迭代方法，s e r | 血f 1 6 和m d i n g 叫粤2 获得了方程( 1 5 ) 的非负弱解的h w n a c l 【不等式 m 0 8 e r 在 17 】和 3 0 】中证明了线性抛物型方程 毗一薹矗( 吲州) 嚣) 训 ( 1 - 7 ) 在系数是有界可测的并满足一致椭圆性条件下非负弱解的h 8 r n 8 止不等式，跟椭圆 型方程一样，由h 8 m a c l c 不等式可推出弱解的h 6 1 d e r 连续性人们自然希望线性抛物型 方程的结果推广到拟线性抛物型方程 u t = 以t ? a 0 ，t ，u ，v u ) + b 扛，t ，u ，v u )( 1 8 ) 满足的结构条件类似( 1 6 ) ，然而m o 日e r 的证明仅仅被推广到p = 2 的情况( 见a r o n s o n 和s e r 血 1 5 】及n u d i n g e r 1 8 】) ，即方程( 1 8 ) 的主部a ( z ，t ，u ，v u ) 关于f v u 的增长条件 是线性的，在同样的情况下l 8 d y z b e n 出町a 在【3 3 】中用d e ，g i o r 昏方强证明了方程( 1 8 ) 局部弱解的丑矗i d e r 连续性同样，n 曲h 的方法也不能解决一般情况主要原因是抛物型 方程与椭圆型方程不同，对抛物型方程来说，方程主部的退化性和奇异性扮演了非常重要 的角色关于该拟线性抛物型方程在一般情况下的正则性理论在2 0 世纪8 0 年代之前一 直没有彻底解决，直到1 9 8 6 年，这一问题才获得突破，d i b e n d e t t o 在1 2 7 】中对方程( 1 8 ) 在p 2 ( 即退化时) 情况下证明了弱解的h 6 l d e r 连续性，后来，陈亚浙和d i b e n d e t t o 于 1 9 8 8 年对方程( 1 8 ) 在1 p 2 ( 即奇异时) 情况下也证明了弱解的h 6 1 d e r 连续性( 见 1 9 1 ) 他们所用的方法是i n t n n s i cs c 日卫i n g 方法( 见 6 ，3 5 ) 上述研究的拟线性方程不管是椭圆型方程( 1 5 ) 还是抛物型方程( 1 8 ) ，都是在结构条 件的系数是正常数或者属于合适的s o b 0 1 e v 空间时研究的。近十几年，z a 刀曲o n i 在一系 3 耿金波：拟线性抛物型方程解的局部性质 列的工作中证明了拟线性椭圆型方程( 1 5 ) 在结构条件的系数属于m o r r e y 空间或更一般 的函数空间时弱解的有界性、h n a 出不等式及h m d e r 连续性本文试图推广z 鲫曲o n i 在拟线性椭圆型方程的研究成果到拟线性抛物型方程中，为此给出了一类新的函数空间 ( 见定义2 3 ) 并研究了拟线性抛物型方程( 1 8 ) 在结构条件的系数属于该函数空间时弱解 的有界性、h a r n a 出不等式及h 6 l d e r 连续性，减弱了a n 8 0 n 和s e r r i 在【1 5 中的条 件并推广了他们的结果 本文的主要研究结果是定理3 1 、定理4 1 、定理5 1 5 4 4 2 预备知识 为了证喱本文的主要结果，我们需要几个函数空间和几个引理 设q 是舻如2 ) 中的有界) 型区域( 见) ，t 是一固定常数，句= q x ( o ，? ) 对比印，b ( $ ，p ) 表示以z 为中心，以p 为半径的球 定义2 1 ( m o r r e y 空间) 设g 1 ， 0 ，口( n ) ，若 鬻专z 。： ( 训2 却= 惦 n + o 。 成立，则称，l 口，1 ( n ) 注2 1定义2 1 中的己口1 ( 蚴称为m o r 。e y 空间，它是一个b 础空闽，关于它 的性质见 1 j 定义2 2 ( 见【1 5 ) 设叫是定义在q 上的任一可测函数，p ，口1 ，若 怕忆，。= z 。( z ，如) ；d 廿i 2 ， 嚣+ ： 1 ， 嚣+ ： n ，则由l e b e 8 9 u e 微分定理对 z q ，有 因而有 ( - r 川t ) ；： j 0 1 ， 嚣+ ； 1 从而可得 u 胪1 ( 0 ) 忙忆u ，2 f 鬻专小雠 s f 霉嘉( 肌慨r s 上篓；毒，：l “l 出) ；l b ( z 9 r ；4 = z 7 霉1 加跏， 因为n 一2 n ，所以由上式可得 肌0 ) f f 矾- ，( o ) sg 肛0 ) f f p ，t ( 所以“l 1 ，1 ，1 ( 0 ) 证毕 在本文中假定a ( z ，f ，u ，) 是从日r 彤到舻的向量函数， 且( z ，t ，u ，) 是从q r 月，到r 的纯量函数， 并且a ( z ，t ，“，) ，口( z ，t ，u ，) 相对于几乎所有的( ，t ) q 是可测的，相对于所有的 “r ，兄“都是连续的，还满足下面的结构条件： k 乳尸 铲 e d 垆 卜一 烈引p引叫悻 怪怪孤 。 固0 u u 矗“t 0 扛一 旧州 ，-i_j、_i、 大连理工大学硕士学位论文 在这里 其中o ，a 为正常数，l 1 1 ( q ) ，l 2 t 2 ，1 ( 国) 的定义见定义2 3 为了书写方便，记v = u 。 ( 2 2 ) 定义2 4 如果有一可测函数u 满足u l 誉( q ) 且虬上芝( q ) 使得 z 一仇+ a ( z u ，u 。) 如出= z 筘b ( z ，t ，u ：u z ) 如出却c 宇 ) ( 2 _ 3 ) 成立，称u 是方程( 1 8 ) 的局部弱解， 对v ( 2 ，j ) q ，兄( p ) c 伊表示边长为p 的中心在i 的正方体 记0 ( p ) = 兄( p ) ( f p 2 ， ) ，为了证明的方便，用m ，( p ) 表示在0 ( p ) 上的p ，9 范数， f = s u p 川掣，叫，这里的上确界是所有，q 7 ) 的共轭指数对( p ，q ) 满足 嚣+ ；l p ，p 兰南，在这里目为任意固定的非负实数 引理2 1 ( 见【1 5 设l ”1 ) n 价1 ( q ) ，这里；= ；+ ；，击= 击+ 等 ( a ，芦o ，a + 肛= 1 ) ，则叫护，”( 0 ) ，且满足 l l 叫l | p 谬。s1 1 叫0 j q l f i 叫l i 冀， 注2 3本引理的证明比较简单，可以通过应用h 6 l d e r 不等式来完成，证明略 引理2 2 ( 见f 1 5 】) 设n 兰2 ， 是q 中的任意可测函数，满足她0 2 ，2 旧) ，而且还 假设对几乎所有的t ，u ( ，t ) 在n 中有紧支集，则 忡怯，2 g 0 2 这里2 。= 墨，扎 2 ，特别的当n = 2 时，2 。是任意有限数，g 是只依赖n 和n 的直 径的正常数 注2 4 本引理的证明比较简单，可以通过应用关于z 的s d 6 0 把不等式( 见【2 1 ) 后再关于c 积分来完成，证明略 9 l 懒恸帅啪姑淼 。 致 耿金波：拟垡丝塑塑型查堡堡盟曼苎堡堡一 一一 滞曙紫乏i 毙黑鬈瓣篡嚣导完嚣的曩曩嚣孑耄翼霎挈 满足叫l 2 ，。旧) ，叫。l 2 2 ( q ) ，而且还假设对几乎所有的o ，叫( 。，j 征5 。甲啊系卫采 则叫l 卸，幻( q ) ，并且满足 | | w 1 1 ，。r 茎g p t o w l l ：，。+ l i 叫* i f ：，2 ， 在这里数对，q 7 ) 的共轭指数对( p ，q ) 满足 云+ ；n 忙1 _ 百一西， 2 p 。口一。 q印 e 是只依赖n 和q 的直径的正常数- 证明：设n 2 ，令r 7 ，s 1 ，则依据引理2 1 得 1 1 w l i 知血，兰t “| | 1 1 知，。r ，st ”0 u l l ：，。l l 叫l l ； 又设 ”20 ， d a 墨2 ， l1 1 入2 一入 孑。万+ u 歹2 i + t = 互 从而可得 2 s 15 61 。 “。石而“一1 一日( s 一2 扫 若n 2 ，令5 ；2 + ：各，因此有 = ；，v = 口= 1 一；一嚣，又应用y 。讪n g 不等 期冀兰嬲雩嚣吲+ ，吲司。手 胴上一步的证明过若 = 2 ，令5 = 2 + 砉，因此a 一；+ 争，”。i 。i ( 1 一；一；j ，州上一歹剐“”“ 耐雾孰 茹 螂帅j 2 0 ， o 茹 d ，则1 w 【嚣) i s 蠢如1 w i 廿z 十。j di i “。卫1 丌3 埘i n 自删s 艇不等式可得 ( z 8 f w l 2 4 d 。) 2 d 一1j ( 81 叫1 2 d 十2 d + 1z 8 1 w * f d z ( 15 ss o 。) 同理对任意区间( m d ，( m + 1 ) d ) ，( m 是大于等于1 的整数) ，都有 ( 加) 2 d l - 1 外2 小+ 1 弘一2 如 ( 2 1 4 ) 成立 令d 2 = 告掣麓，由( 2 - 4 ) 式可得 ( 几f j | 2 协) ； 4 ( 训铡l ( 1 + ) ( 讪) 瓠。如 ( 2 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 证毕 由( 2 5 ) 式得 o w o ；。，；，4 i i 叫畦譬l l ”。| | ：；j ， 这里j + = 1 ，又应用y o “n 9 不等式可得 j j w | 知，：rs 丁一叫o ，每墨4 丁。j l w | j ：叠lj ! | i 。4 7 1 一 i ”i 层。+ j j u 。 臣。 引理2 4 设弘是一个印( o ，r ) 中的非负测度，如果对任意的( z ，t ) 冗“( o ，t ) 存在一个正常数m ，使得“日( z ，r ) ( o ，t ) 】sm 一，o r 。成立，其中a = ；( n p ) 1 p s 1 均为常数， b ( f ) l 1 ( o ，b ) ，且( n ，6 ) ，口( ) o 则对任意常数 7 ，o 一y 对，应用( 2 6 j 式得 警+ a ( s w ) 口m ( s ，雌o 上式两端同除以( s 一) 。，同时对t 从f = o 到t = 6 积分得 a ”( 8 ) sf 硕辛( 8 c ) ，( 2 - 7 ) 这里m ( s ) = e m ( s ，t ) 出令 吣，= ：7 譬 记，= 厂0 一c ) ，如出，则= ，扣一c ) 如出= ，皿( 叫一c + r b d f ) 如d f f 注意到 皿( u 1 + u 2 ) 皿( u 1 ) + 皿( “2 ) ，可得 ，蔓母( u ，一c ) d z 出+ 皿( z 6 b 出) i 。l ( w c r 如d c + l + 皿( z 6 口出) ) i q l 南“，有界可得 厂 再由( 2 7 ) 式可得引理结论 ：一。( s c ) ，d m ( s ) j c + l = 嘶+ 1 ) + ，( r l m 如 l q i + ( 口一1 ) ( n 一7 1 ) j 4 】_ 1 ( 2 8 ) 推论设引理2 5 的条件满足，又设v 在( a ，b 】上是连续可微的，则对任意常数 1 ，o 7 a 一1 有 ( d c ) 7 d z 出再- 二_ 禹+ 2 + ( z 6 b d t r ) i q l 成立，这里d = v ( 6 ) 证明； 大连理工大学硕士学位论文 论 在引理2 5 的证明过程中作变换y 一一u 一t 一6 + n 一，即可得到本推 引理2 6 ( 见【1 5 j ) 设”是方程( 1 8 ) 在月( 1 ) ( o ，1 ) 上的一个非负局部弱解，则 蚺s 渊删t 妒“ 0 一口+ 成立，其中c 是只依赖于n ，l l 铲忆，b ”巳”b 的正常数，口= u + + s 为定理3 1 中的，e 为一任意固定的正数 螂，= ：誉 d ，= r ( ；) ( 0 ，i ) ，d ：= r ( ；) ( ；，- ) 印+ ，0 一分别是d 1 ，d 2 通过变换+ 2 + q ，z + 如+ 岛得到的两个柱体 证明： 为了简单起见，不妨设g = 1 ， q + ，q 一分别是r ( ；) ( o ， ) ，r ( ) x ( ，1 ) 定义跗一删u ，= + 1 卢篓? il o g 札p = 一上 s 9 n 卢( 妒。a 一妒口) 叩2 i ( u ) i o l 面。1 2 6 2 面一，2 ) 一2 叩i 盯。i s ( u ) ( 丘【豇* l + e 口+ 一 町2 s ( ) c l 豇。i + d 面+ g ) ( 2 9 ) s 2 ( ) ：面口+ 1 掣， ( 2 f 1 0 ) 由( 2 3 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 式可得 咖肼加啦驯离d 蚪警厂枷肛1 蚶捌o j n j p 扩1 删f + 2 厂q i 仇l 【l ( u ) i 如扼 ( 2 1 1 ) 在这里f = 毋q 2 + 2 g l q l i + h 1 i 一f l = i 口f ( 6 2 + 嚣) + 口十1 ) + 翕和爿l = 糟 1 3 耿金波拟缵陛抛物型方程解的局部性质 上( 栉难二2 如+ ；厂碉计蛐) f d z d t + z ”i - t 【i ”i a z d t ， ( z 。) 令1 ( z ，) = ( ( z p ( t ) ，其中( 0 ) 满足o q 1 ，在r ( ) 中，q il ，在r ( 3 ) 外，叩io 此外还满足i 毛l 6 u ( ) 满足o u ( t ) 曼1 ，当t 下1 时，u ( t ) ；1 ，当t 号时， u ( ) ；o 可得( 2 1 2 ) 式右端第二项为零，且 令 f f f l ，ls g + 6 4 ( 1 + 2 一1 a 2 ) = y ( ) =- 厂( 2 t ( z ，) 如 j ( 2 如 o z ( 1 ( 2 1 3 ) 应用 17 】中的l e m m a3 得 r ) 2 d 础端一蚶姗 由，2 如 硪j ) f = 2 一，应用( 2 1 2 ) 式得 y ( n ) 一y ( n ) + a ( ”一 删s2 “f l 捌t ( 2 1 4 ) 上式左端的积分区域包含r ( ) 帆，n ) ，上式右端的积分区域为r ( 1 ) h ，他) ，这里 a 2 东琦 ( 2 1 4 ) 式两边同除以他一下l ，又令乃一n = t ，可得 警+ a 卜卅2 蜒脚 ( 2 1 5 ) 这里b ( t ) = 2 “厂f 如 对( 2 1 5 ) 式应用引理2 5 ，取n = 2 ，7 = ；，考虑t 的区间巨1 ) ，可得 妒扣一m ) 妇疵s 去+ 兰；孕 q + 同理应用引理2 5 的推论， 蜘一 口一 考虑t 的区间( o ， ，可得 岫出s 去+ 警 1 4 ( m = y ( 扣 ( 2 1 6 ) 1 沏= y ( 抄 ( 2 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 显然妒( 训1 + 川2 ) s 砂( 叫1 ) + 1 = f i ( 叫2 ) ，由( 2 1 6 j ，掣1 7 ) 式日j 得 帅巾，旷咄删础 2 “。1 帅一m ) 出如n 刊咖埘 2 一n f 且一1 + 2 一n + 、压f 面 = b 又由u = 一1 0 9 日，可得引理结论 引理2 7 ( 见 17 】) 给定，( z 7 ) = 一1 0 9 2 7 ，比7 ，= ( 。，) r t 。i 1 1 ，= 讥+ ，蛋( s ) = g - 1 e ”，协冗，n ，e 为两个正数d + = ( 。，) r “i 1 ， t 1 ) ，d 一= ( z ，) 胛i 1 ， 一t 1 ) g + ，g 一分别是d + ，d 一通过变换 一f 2 + a ，。一如+ g 得到的两个柱体，如果 1， 矿而_ 毋( m ，) m ) ) 础1 成立，则有 两。高町( 叫们) 蹦由7 1 注2 6本引理的证明比较复杂，为了缩短文章的长度，略去证明 3 拟线性抛物型方程解的局部有界性 在这一部分，我们将研究拟线性抛物型方程( 1 8 ) 的弱解的局部有界性，主要结果 为： 定理3 1 设结构条件( 2 1 ) 和( 2 2 ) 满足，u 是方程( 1 8 ) 在q 中的局部弱解，则对 每一个q ( 3 p ) c q ，成立 “i 【l * ( q ( p ) ) g p 一2 铲( 【i 岐2 ，( 3 以+ ) ， ( 3 1 ) 在这里= b + 胪忆1 ， + i i 川2 1 2 ， ，c 是只依赖于佗，a ，jj 6 2 忆1 ”b c 幢。，。，b ，。的正常数 证明： 布妨设0 = 0 ( 3 p ) ，令= m 雠( o ，u ) + ， 跏，= f 墓己j ：裂：， 令廿( t ，r ) 是( o ：r ) 上的特征函数，设l ，满足p z 7 l 2 p 选取截断函数q ，使得 os 叩( z ，t ) 1 在q ( ，) i q ；1 ，在q ( ) 外，q = o ，此外还满足k 【，i 叩f i 2 口一) 对任意的f ( 0 ，列，令妒0 ，) = _ 2 s “) 妒8 ，r ) ，则 妒。= 1 2 s 7 “u 。弋2 口s ? ：，。 t t 令砌，= 嘉瓮豺黧警厂泛美姥 由于上，心) 一s ( ) ，町2 s ( u ) 饥= ( q 2 l ( u ) ) t 一2 叩仇l 扣) ，所以 扣妣= r z 榔h 如出= p 删一扣f z 。附删弛， 1 7 耿金渡t 拟线性抛物型方程解的局部性质 亏虑a 一妒b ，依琚绢稠条件( 2 - lj 口j 得 妒。4 一妒b 叩2 s 7 ( u ) o l 面。1 2 6 2 面一，2 ) 一2 叩i 即。1 s ( u ) a l 百。l + e 日+ ) 一 2 s 扣) c f n 。f + d 口+ 9 ) ， 又可验证s 2 ( u ) s 面4 + 1 ，即s ( ) 5 “两 吾丽，则有 2 叩( 蚓训蚓曼i 帕俐划：+ 等刚。扩1 同理有 g s ( u ) i 面。i ：s 7 ( u ) i 面m 1 2 + ：g 2 豇卢+ 1 ， 且 l ( u ) 南6 m 由f 2 3 ) 式得 z 妒u t 出出= z t 妒m a 一妒b ，出缸 由( 3 2 ) 一( 3 7 ) 式可得 上( q 2 l ( u ) ) t = ，如+ ；q 2 s ( u ) 1 1 2 出出 兰删+ 争a + ；+ 知+ 2 ( e + 卸卅譬啪秒出 + 南忡阳删t 先考虑( 3 8 ) 式右端第一项 归( 。2 + 菩) + a + ；+ 芸】- 2 面口+ 1 a z a t 令。= 日7 ，r = 学则上式可写为 = 咿( 。2 + 茄) + 一+ ；+ 芸j ”2 f ) 2 a 。以 义舍 札邓z + 菩+ d + ；+ c 2 ) 批， 则 p 口 ，p ) ( o ，r ) 】sp 3 ( f f 6 2 n l + f f c f f ；2 + 2 ) 印 舢 印 钟 砷 0 0 p 0 p 大连理工大学硕士学位论文 令 吖= 咿| | l ，1 + | | c | | ；鱼 + 2 ， 由引理2 4 得 _ 。”。d 肛( l q ”i 。d 肛) ；p b ( z ，p ) ( 。，丁) 1 一； e ( a ，n 丁一1 ) m ( i 阳2 如出+ m 2 1 1 2 出出) ( 3 9 ) 再甲s ? 丙足【7 t 一2 ) ；23 同理还可得如下几个结论： 2 ( e + ：) q 1 f 面胖1 如出sg 7 ( 1 | 2 ”2 出d t + j 厂2 川2 d z 出) ， ( 3 1 0 ) 厂警胁舭揪g 坩渤础， ( 3 1 1 ) ”“2 出出2 川2 出班+ 2 出出， ( s z 。) 其中m = 蚓h + 1 ，将l ( u ) ，s ( u ) 代入( 3 8 ) 式，并应用( 3 9 ) 一( 3 1 2 ) 式，则( 3 8 ) 可 变为 歹击上矿 t 肿i 一( i + 1 ) 面舻+ p 辨1 t = ，如+ 警厂”2 矿。1 i 如| 2 如出 s c 婵一) 2 ；，2 口) ， ( 3 1 3 ) 其中c 是仅依赖于竹，a ，咿忆。， ，删b ， ，川b ，。的正常数 因为( 3 1 3 ) 式左端第二项非负，所以 南上矿矿l ( 卢+ 1 ) 。护+ p 伊1 b 出 因为 ( 妒吲) 【篱+ 筹 ， 所以 砂1 一+ 1 ) + + 1 一胪十l 而 七芦+ 1 豇口+ 1 = u 2 ， 1 9 耿金渡：拟线性抛物型方程解的局部性质 所以( 3 1 4 ) 式可化为 南胎( 谁m m 副。 5g 0 一f r 2 i 。2 f sg p g ，) _ 2 ”； ( 31 5 ) 即 嘉而知。) 副。 2 + 1 ) 以”= t sg 舢删十格堋 ( 3 _ 1 6 ) 由r 的任意性知 j j 俐，i | ；，。sa 0 一掣) 一2 r 二| | i t ，| j 偿 同理( 3 1 3 ) 式左端第一项也为正数，故可得 忡。嵫g 0 一7 ) 。2 r 2 u ； 设一；l + 罂，矿) 的共轭指数p ，满足 易+ ；，以一南2 p g 一一 一1 一目 则 咿晦加，= 2 叫细， 又令 誊嚣。肇。q = 盯q 经过简单的计算可得 ( a 神满足引理2 3 的条件，则应用引理2 3 可得 | | l o ”r i ；s i i ”u | 1 ；。o 。+ i i ( q ”k i 臣2 2 ( f f 邵，f 臣。+ f f f 臣2 + 4 p 一) - 2 肛f 臣2 ，f a 0 一f ，) _ 2 r 2 m ； 令= 。= ( 1 + 2 一m ) p ，7 = 。= ( 1 + 2 一m 一1 ) p ，妒。= u ；和 = 面r ，r ；口m 又由q 的性质及( 32 0 ) 式，有 妒。+ 1s ( 3 6 g ) 击( 2 口) 舞妒。 ( 3 2 1 ) 2 0 柳 0 b 查垄里王查堂翌主兰垡丝一 通过数学归纳法司得 + l c 一叫( 2 盯) 2 e 矿3 ( ) 。1 2 ( j + 1 ) 7 一妒。 即妒竹i + 1 e p 一! ! 铲妒o 从而可得 搿6 2 e p 一筹恻毗 剩下的部分只需证明 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) h | 司 选取试验函数 妒( z ，) = 矸2 s ( ) 妒0 ，n ，7 1 ) 妒辑7 1 ，r 2 ) 为区闻( l ，恐) 上的符征函数。作截断函数使得os 口s1 ，在q ( 2 p ) 中， q ；1 ，此外还满足l ，i m f 8 ， 令豇= m a x ( o ，u ) = 面一，在l ( ) 中取卢= 1 同上面的计算过程可以证明 ( 矸2 6 ) f 暑2 如+ d q 2 i o 。1 2 d 出 s 。厂删“茄) + d + ；+ 知+ 2 ( e + 却啦l + 譬i 1 2 ，豇2 d z 出十町i 仉i 豇2 d z d f ( 3 2 5 ) 进行与前面( 3 8 ) 式的相同的计算过程可得( 3 2 5 ) 式右端项小于或等于( 叨2 + 忙幢。) 应用引理2 3 ，可得 ( | 1 l 叼面】1 f 2 + 1 1 面1 1