（基础数学专业论文）有限域fq上辛对合的计数定理及其应用.pdf

摘要 设s ( f q ) 是有限域f g 上所有n 阶辛矩阵所构成的集合( g 为素数的幂) 该文通 过s ( f q ) 中对合矩阵的相似标准型计算出其中元素的个数最后，作者利用s p 。( f q ) 中对合矩阵的标准型构作了一个g 。r t e s t 帆认证码，并计算出了它们的参数进一步，假 设编码规则是按等概率分布选择的，分别计算了成功的模仿攻击概率和成功的替换攻击 概率 关键词：辛矩阵，辛对合矩阵辛相似标准型，计数定理，认证码 a b s t r a c t l e ts _ n ( f q ) b et h es e to fs y m p l e c t i cm a t r i c e 8o v e r 丘n i t e6 e l d f o w h e r eq1 sp o w e ro fa p r i m e i n 七h ep r e s e n tt h e s i s ，b yt h en o 啪a lf o r mo f 1 n v o i u t l o nm a t r i c e so v e r5 ( f g ) 1w ec o m p u t et h en u m b e ro fi n v o l u t i o n m a t r l c e 8 a tl a s tw ec o 璐t r u c to n e c l a s 8 c a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o nc o d e 8 a n dc o m p u t et h e l rs i z ep a r a m e t e r s m o r e o v e ra 8 8 u m i n gt h a tt h ee n e o d i n g r u i e 8 廿ec h o s e na c c o r d i n g 七oau n i f o r mp r o b a b i l i t y d i 8 t r i b u t i o n ，w ea i s o c o l p u t et h ep r o b a b i l i t i e so fas u c c e s s f u li m p e r 8 0 n a t i o na t t a c ka n d o fa s u c c e s s f u ls u b 8 t i t u t i o na t t a c kr e s p e c t i v e l y k 哟7w o r d s ： s y m p l e c t i cm a t r i c e s ，t h en o r m a lf o r mo fs y m p l e c t i c m y o l u t l o nm a 七r i c e s c o u n t i n gt h e o r e m ，a u t h e n t i c a t i o nc o d e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 、们 学位沧文作者签名：2 l 丝日期：星塑! 芝7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：埋一指导教师签名：燃 日 期；迎五：! ：埤日期：趔杰丝：兰7 学位论文作者毕业后去向 工作单位磁逊墨蝴， 通讯地址： 电话： 邮编： 1 引言 我们用f q 表示口个元素的有限域，g 是一个素数的幂，k 为f q 上的n n 交错矩 阵，s 陬( f q ) 表示域f 口上所有n 阶交错矩阵构成的集合 引理1 1 设k 为f q 上的n n 吏错矩阵，那么的秩一定是偶数设k 的秩为 2 p ，那么k 一定台同于 01 。1 。， d 一1o o1 10 臼 o 0 ( 11 ) 故我们令n = 2 v 即5 p 。( f q ) 表示域f g 上所有2 阶非奇异交错矩阵k 构成的集合 故我们令n = 2 v 即5 p 。( f q ) 表示域f g 上所有2 阶非奇异交错矩阵k 构成的集合 命髓1 1 y s p 2 。( f q ) l = ( 9 2 1 ) 口”3 ( 12 ) i = 1 2 辛对合 本节首先我们给出辛对合方面一些基本的定义和转换结果更详尽的内容可参阅 2 ) 定义2 1 一个辛矩阵丁称为辛对合，或简称对合，如果 ? 2 = ， 引理。，辛矩阵t = ( 三言) 是对合当且仅当 ( 三言) = ( 二，葛7 ) 江- ， 引理2 2s 砘。( f q ) 中任一对合t 皆辛相似于以下标准形： ( ：；) ， 。， 其中t ，= 【1 ，一，1 ，一1 ，一，一1 = ( s ，t ) ( 记号) 是由s 个+ 1 和t 个一1 组成的对角形 矩阵即有p s p 2 。( f q ) ，使 一= ( ：；) 证明：当n = 2 时，引理显然成立实际上，令 t = ( ：) 砘叫， 则由引理2 1 推出 o = d ，6 = 一6 c = 一c 于是o = d = 土l ，6 = c = 0 故 假定我们的引理对于阶数 2 ”的辛对合是成立的，我们来证明引理对于阶数n = 2 v 的辛对合也成立 依引理2 1 ， 丁= ( 三；) ， ib 7 2 一b ，g = 一g ，a b = 日7 a ， lg a = a ，a 2 + 日e = ， 因b 斜对称，故有非奇异矩阵0 存在，使 q b q 7 = ( 6 ：) = b t 其中6 ( r 是个非奇异的秩为r 的斜对称矩阵，o r v 于是，在辛相似变换 x 一( qq ，。) x ( q 。) - 1 之下，r 的b 就变成日我们不妨一开始就假设 b = ( 譬：) 写 a = ( 茹，棼) 因a b 对称，有幻= o 而且。1 6 1 对称，令 p = ( ；，) p t p = ( ；，) ( 善；) ( 二，) s = ( 。高，6 因，b ) 的秩为v ，故瓤非奇异 ( 23 ) ( 2 4 ) 。o o 、 肚io 。p 2 与) 3 就) 舭 。眈鬻 因此，辛对合t 辛相似于 注意( 2 6 ) 是两个辛对合 和 ：) ( 乏三) ( 2 6 ) 的直接和依归纳法假设，知当o s 。的情形同理可得相似的结果 下面我们来分别计算模仿攻击成功的概率p ，和替换攻击成功的概率b 我们知道 b = 嬲坠啬剑， m j d j 故b = 襞搿器，我们引进一个函数，令，( 。) ：i b 则 ，( s ) = n ( 9 2 一1 ) ( 产一1 ) g 冉( p ， 故 帮= 器端蚰一可2 牙f i 【可g 1 3 0 j 0 如o o 一 ：，一 ， | | 叫 q 趣逻 ，0 o 厶 o o 。w 八 ，、 2 2w 八嘞如 马皿 如鼬0 当v 为偶数时 令s = ；一l ， 令s ：昙 故当s = 1 ，2 即，( s ) 在1 ，2 ， 又当s = ；，；+ 1 帮= 器高a 。“，( s )( 口( ”2 ) 一1 ) 1 ，( s + 1 1 一 ，( s ) 必 】 ，( s ) 7 亦即，( s ) 在；，；+ 1 ，v 一1 上为增函数 故我们只须比较，( 1 ) 与，( v 1 ) 的大小关系 所以 当v 为奇数时 令。：宰， 令s ：掣 令。：半 q 2 1 p 一1 ，( 1 ) = m 一1 ) = ( q 2 1 ) ( q “一1 ) = 1 b = 筹f 4 帮= 黔弑矿4 t ，( 8 )( q ( ”1 ) 一1 ) 1 s 2 + l 时，即5 l 2 配+ 1 ，4 s 2 2 s l + 2 o 掣 1 5 0 p b 、，0 s 一 1 + 钝在 s ，l， 数函故 故9 ( 5 2 ) 为减函敦 当s 1 5 2 故9 ( s 2 ) 为增函数 所以我们只须比较变量s z = 1 及s 2 = s - 一1 时函数值的大小关系 经计算 们) 刊s ，_ 1 ) = 筹矿2 n 综合以上两种情况可知s - 一s z = 1 ， 9 旧- 1 ) _ ，( s 1 ) = 貉9 2 “， 又因，( s - ) 为减函数，故当s ，= 2 时，( 2 ) = i 予为最大 故替换攻击成功的概率 b 2 寿 定理4 1 前面我们构作的认证码的参数为 l s i = 一1 ， ”霎垂譬寻仃“小v ， 旧= 阮胛训= 直( 9 2 一啦”， 马= 筹f 。，玛= 南 1 6 参考文献 万哲先等著，有限几何与不完全区组设计的一些研究北京科学出版社， 1 9 6 6；t 华罗魔万哲先典型群科学出版社，l 一1 8 21 9 6 3 h u n g e r f o r d ，锄1 0 m a swa l g e b r a ，s p r i n g e r _ v e r l a g n e wy o r ki n c1 9 7 4 h nz h e 五a 1 1 附h e rc 0 s t r u c t i o n so fc a r t e s i a na u t h e n t i c a t i o n c o d e s & o m s y m p l e c t i cg e o m e 七r y 旧n o r t h e a 8 七e r nm 砒hj ，8 ( 1 ) ：4 - 2 0 1 9 9 2 w a nz x ，g e o m e 田o fc 1 8 s 8 i c 出g r o u p s 删矗m e 最e l d s ，s t n d 时 a t u r ，c h 缸tw e l lb r a 土t ，l u n d ，s w e d e n ，1 9 9 3 y b u h o n 篮a r l dg a o y b u s o m en e wc o n s t r u c t | 0 n s0 fc a r t e s i a na u t h e 小 t i c a t i 0 c 0 d 船台d ms v m d l o c 虹cg c o m e tn rs v s t e ms c i e n c ea n dm a 抽b m a t i c “s c i e n c e ，v 0 1 u r e7 n o40 c t o b e r 1 9 9 4 南基洙，高锁刚有限局部环z ，乙- 上辛几何中计数定理，数学杂志， 1 7 1 9 9 7 1 如u h 叩ga n dn 眦j i z h u u 血gn o r m 以f o 珊。fm a t t i c e so rf 1 i l i t e f i e l d st oc o i l 8 t r t l c tc 删e 8 i a na u t h e n t i c a t i o na o d e sj o u m 出o fm a t h e m a t k a 工r e s e a r c hd 屯0 s i t i o n v d u m e 1 8 n o 3 ，3 4 l 一3 4 6 a u 9 1 l s t1 9 9 8 y o u h o ga 1 1 dz h e n g b a o d o n g u s i i l gi n v 0 1 u t o r ya n di d e m p o t e n tm a t r i c e 8a 鸭rf i n i t ef i d d st oc o n 8 t n i 航c 缸t 商a na m b c m j c a t i o nc o d c s j o u r n a l o f h a r b i n i n s t l t u t eo f t e c h e n o l o g y ( n e ws e n 髑) v o l u r n e 6 ，n o3 ， 1 9 9 9 南基洙、吴炎环别毛* 上m 阶交错矩阵的计数定理及其应用数学物 南基洙、吴炎环别毛* 上m 阶交错矩阵的计数定理及其应用数学物 理学，0 32 0 0 4 1 7 翻 互= 闭 嘲 唾 眦眦 致谢 本