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两同型部件温贮备可修系统孵的指数渐近稳定性 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果 在第一章，我们简要回顾了可修复系统在国内外的研究现状，同时介绍 了所需一些定义和定理 在第二章，我们介绍了两同型部件温贮备可修复系统的微分一一积分形 式的数学模型，并根据所研究问题的物理背景定义b a n a c h 空间，再运用g 半 群的相关理论，最后得到了系统解的存在唯一性和适定性 在第三章，通过分析系统算子的谱特征，并利用岛半群稳定性的理论， 我们进一步得到了系统解的渐近稳定性 在第四章，通过进步分析研究系统算子的性质，运用拟紧半群的相关 理论，得到系统的时间依赖解当时亥4t 趋向于无穷时，以指数收敛于系统的 稳态解 在第五章，我们讨论作为系统可靠性重要指标之一的系统稳态可用度， 可以通过规范化系统的稳态解直接得到 关键词：特征值，代数重数，拟紧算子，共轭算子，岛半群，可用度 e x p o n e n t i a la s y m p t o t i cp r o p e r i yo ft h e s o l u t i o no ft h er e p a i r a b l es y s t e mw i t hw a r m 8 t a n d b yw i h tt w os a m ep a r t s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o rd u r i n gt h ep e r i o d w h e ns h eh a sa p p f i e df o rt h em d c h a p t e rls i m p l yr e v i e w sc u r r s n ts t a t u so fr e s e a r c h i n go ft h er e p a i r a b l es y s t e mi n b o t hh o m ea n da b m a da n di n t r o d u c e s8 0 m ed e f i n i t i o n sa n dt h e o r y s c h a p e r2i st oi n t r o d u c et h em a t h m a t i c sm o d e lo ft h er e p a i r a b l es y s t e mw i t hw a i 2 1 1 s t a n d b yw i t ht w os a m ep a r t s ，w h i c hc a nb ed e s c r i b e db yag r o u po fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s b yd y n a m i c a l l ys t u d y i n gt h i ss y s t e mo p t t h eb a s eo ft h em a t h e m a t i c a lm o d e l w ed e f i n et h eb a n a c hs p a c e0 i lt h ef a c to fp h y s i c s b a c k g r o u n d ，t h e nw ec a l lo b t a i nt h eu n i q u ee x i s t e n c ea n d t h ew e l l - p o s e d n e s so fs o l u t i o n o ft h es y s t e mb yu s i n gt h ek n o w l e d g eo f 岛s e m i g r o u pt h e o r y , c h a p t e r 3 i s d e v o t e d t o a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n o f t h e s y s t e m b y a n a l y z i n g t h es p e c t r u mo ft h es y s t e ma n ds o m ek n o w l e d g eo fc os e m i g r o u ps t a b i l i t yt h e o r y c h a p t e r4d i s c u s s e st h em a i no b j e c to ft h i sp a p e rt os o l v et h ec o n v e r g e n c er a t eo f t h et i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o no ft h es y s t e m w h i c ht e n d st ot h es t e a d y s t a t es o l u t i o na s t i m et e n d st oi n f i n i t e b ym a i n l yu s i n gt h ek n o w l e d g eo ft h eq u a s i c o m p a c ts e m i g r o u p ， w eg e tt h ec o n v e r g e n c er a t ei se x p o n e n t i a l c h a p t e r5d i s c u s s e st h ea v a i l a b i l i t y , o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n d e x so ft h es y s t e m r e l i a b i l i t y ，w h i c hc a nb eo b t a i n e db yn o r m a l i z i n gt h es t a b l es o l u t i o no ft h es y s t e m i i k e yw o r d s ： e i g e n v a l u e ，a l g e b r a i c ，q u a s i c o m p a c to p e r a t o r ， a d j o i n to p e r a t o r ，c os e m i g r o u p ，a v a i l a b i l i t y i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：钢嗨- 菇日期：7 9 ，2 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 一躲咽叻幻繇舻斗 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、 刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中 未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：钾喙。 指导教师： l 厂7 第1 章绪论 一、绪论 ( 一) 、国内外的研究现状 可靠性数学理论大约起源于2 0 世纪3 0 年代最早被研究的领域之一是机器维修问 题可修复系统是可靠性理论中讨论的一类重要系统，也是可靠性数学的主要研究对象 之一，可修复系统由一些部件和一个或多个修理设备( 修理工) 组成修理设备对故障 的部件进行修理。修复后的部件可继续工作 研究可修系统的主要数学工具是随机过程理论，当构成系统各部件的寿命分布，故 障后系统各部彳牛的修理时河分布，和其它出现的有关分布均为指数分布时。只要适当定 义系统的状态，这样的系统总可以用马尔可夫过程来描述它的可靠性，但在实践中经常 会遇到部件的寿命或修理时间不是指数分布的情形，这时可修复系统所构成的随机过程 就不是马尔可夫过程，因此需要用其它的数学工具来讨论这类更一般的系统，最常使用 的是t 更新过程、马尔可夫更新过程和补充变量方法很多国内外文献都应用补充变量方 法，通过建立偏微分方程组，运甩l a p l a c e 变换来研究非马尔可夫可修复系统的可靠性， 见文2 3 - 2 6 但是对于这类系统解的存在唯性和渐近稳定性并没有进行深入的理论研 究直到p a z y 在文献【l 】中应用的岛半群理论为解决这类问题提供了重要的工具而 g e n ig u p u r 等人在文献f 2 】中。首次将g 半群理论成功应用到肼m 1 排队系统， 并解决了此类系统动态解的存在唯一性、渐近稳定性等问题同时，郭卫华和徐厚宝等 人也研究了与之相似的可修复系统的系统解的存在唯性，渐近稳定性等问题，参见文 f 3 - 2 0 ，但是对于系统解的收敛速度都没有涉及到 本文所研究的模型是可修复系统中的一类典型系统一一两同型部件温贮备可修复系 统，我们将采用泛函分析中的岛半群的理论知识和谱理论来研究这个系统解的存在唯 一性，稳定性，最后利用拟紧半群的相关知识来研究这个可修复系统的时间依赖解当时 刻趋向于无穷时强收敛到稳态解时的收敛速度等一系列相关的问题 渐江师范大学硕士学位论文 ( 二) 、一些定义与定理 在整篇文章中，我们用兄表示实数集合。c 表示复数集合，( g ) 表示b a n a c h 空 闻g 上紧算子的集合 定义1 2 1设t 为一岛半群，如果 j i m t 0 ) = 0 ，v x ， 那么称t ( t ) 是渐近稳定性的 定义1 2 2 1 2 7 1 如果 l i r ad i s t ( t ( t ) ，k ( g ) ) = 0 ， 那么称b a n a c h 空间g 上的岛半群t ( 0 ( t 0 ) 是拟紧的 定义1 2 3 算子a 的谱界( s p e c t r a lb o u n d ) s ( a ) 被定义为 s ( 棚：= s u p ：r e a ：a 盯( a ) 定理1 2 1 1 2 1设t ( t ) 是有界q 半群，如果n g r e 7 o ，竭打= 缸，a r ，。o 是箨子a 的预解榘的子集，o 是a 的本征值，0 也是的代数重数为1 的 本征值，那么抽象c a u c h y 问题 篱嚣 的时间依赖解p ( t ) 当时间t 趋向于无穷时趋向于稳态解，即 h n m 。p ( 0 = p ， 这里矿与p 分别满足a p = 0 与小矿= 0 定理1 2 2 1 2 7 1 若r = 口( ) ) c 抄是b a n a c h 空问g 上的拟紧半群，它的生成元是 算子a ，则d 叮( a ) ：r e a o 足有限集( 或是空集) 并且仅包含有限代数重数的极 点如果我们记a 1 ，a 2 ，a 。为特征值的非负实部，记p l ，恳，户l 仇为它们相应的留数， 记( 1 ) ，( 2 ) ，k ( m ) 为极点的代数重数那么 t ( t ) = 正0 ) + 正( ) + + g ) + r ( 0 ， 其中 | 1 幸绪论 霸( t ) = e 印( k t ) 击一a j r ，i i r ( t ) i i 曼c e 。， o ，c 1 定理1 2 3 口7 1如果r = 口o ) ) t 邳是b a n a c h 格e 上的正半群，p 是有界拟紧 的，并且谱界为0 ，那么存在个有限秩的正投影p ，以及相应的常数一 0 ，m 1 使 得 i i t ( t ) 一p “m e 一疵， 2 0 3 - 渐江师范夫学硕士学位论文 二、数学模型及系统解的适定性 ( 一) 、数学模型 温贮备系统是贮备冗余系统的一种，所谓温贮备系统是指贮备单元的贮备失效率 大于零而小于工作失效率，温贮备部件在贮备期间也可能失效，部件的贮备寿命分布和 工作寿命分布般也不同，在初始时刻，个部件开始工作，其余做温贮备，当工作部 件失效时，由尚未失效的贮备部件去替换文【2 2 l 中作者给出了两同型部件温贮备可修 复系统的模型，得到系统定态解的存在性本系统是由两个同型部件和一卟修理设备组 成的，当系统中两个部件都正常时，则一个部件处于工作状态，其余部件处于湿贮备状 态当工作部件发生故障时，贮备部件立即去替换而转为工作状态；当贮备部件发生故 障时，工作部件继续工作因为只有一个修理设备，所以当两个部件发生故障时，只能修 理其中之一，其余部件处于待修状态 该系统弱工作流程图 我们把系统即时所处状态细分如下 状态o ：一个部件在工作。另一个温贮备； 状态l ：一个部件开始工作。另一个因为故障开始修理； 状态2 ：个部件因为故障在维修。另个部件待修； 避一步假设各个随机变量都足相互独立的，故障部件修复后与新部件一样 由文f 3 l j ，知两同型部件温贮备可修复系统可由方程组 4 第2 幸数学模型及系统解的适定性 掣= 一c a + v 蕊( t ) + j ( 。枷脚 叫) 塑掣+ 塑磐= 一。州硼如母，v x o ， 掣+ 掣= 刊嘲( 圳+ 如t v z 。 p l ( o ，0 = a p 0 0 ) + p 0 0 以p ，t m 0 ) d 毛 j 0 驰( 0 ，t ) = 0 ， p 口( 0 ) = 1 ，p i ( x ，0 ) = 0 ，i = 1 ，2 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 描述其中( t ，茁) 【0 ，o o 【0 ，o o ) ，r o ( t ) 表示个部件工作，另一个部件温贮备的概 率，p l ( ，$ ) 如表示在扛，x + d x ) 内个部件工作，另个部件在维修的概率，仡扛，t ) 如 表示在0 ，z + 如) 内个部件在维修，另一个部件在等待维修的概率，a 表示工作部件 的故障率，卵表示温贮备部件的故障率，当t = 0 时a = q = 0 ，p 0 ) 是风险函数且在 0 ，o o 】上连续，弘( o ) = 0 且满足 0 s p 0 ) o o ，m = 8 u pp ( 功 叱 0 ，瓤= i a ，o o ，o r 时，令g = p ( z ) e r ( 什p ( 5 ) d x 时，有i g i 1 j 0 证明见文【l7 1 中引理1 ，引理2 引理3 1 2 0 是+ b + e ) 几何重数为l 的特征值 证明 讨论方程+ 日+ e ) p = 0 ，即 ，。p 1 ( z ) p 仁) d x j 0 d p l ( x ) d x q + 7 7 ) 伽 = 一( a + p ( 石) ) p 1 ( z ) 尘掣：一肛扛渤( 。) + 劫。扛) 魏 = o + v ) p o + 7p 2 p d x ， ， j 0 p 2 ( o ) = 0 ， 解( 3 1 2 ) 与( 3 1 3 ) 我们得到 p l ( 功= p l ( o ) e 厅一o + p ( 7 ) ) d r 蜊= z 2 删e 弘时胁d f 把( 3 1 6 ) 代入( 3 1 7 ) 我们有 p 2 0 ) = p l ( o ) ( 1 一e h ) d g p ( 7 陟 把( 3 1 8 ) 代入( 3 1 4 ) 我们又有 n ( o ) = 1 r 型卫一内 z ”荆剧时”6 如弛 一8 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 ，1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 第3 幸系统解的渐近稳定性 最后我们得到 搬0 ) = p 2 ( 动= 紧盟丝二竺! ! ! 生抛，ru p ( z ) e 后一n + 肿) 渺如 j 0 ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 1 ) 结合( 3 1 6 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ，引理( 3 1 ，1 ) 与f u b i n i 定理得到，并利甩e r 一扯( 7 ) 抄 1 ，t s z ，我们推出 | | p | l = i m l + l i p l i l l l o , o 。) + 1 1 协1 1 l 1 i o , = ) o 鲫= 缸，o 0 ，n 兄 是爹纾( a + b + e ) 的预解 集 证明对于任意的- 7 e ，r e , y 0 ，或7 = 缸，口0 ，口r 解方程 即方程组 由( 3 1 2 3 ) 得 ( 7 ，一( a + b + e ) ) p 0 ) = ( 。) n + a + ”) 如一fp 1 ( 肛0 ) 如= v o ， 掣+ n + a + 弘t ( z ) = 秒，忙) ， 掣+ o + 刖) p 2 和) 一- o ) = 抛 p l ( o ) + p 2 p ) 芦p ) 出= o + , 7 ) v o ( t ) w ( o ) = 0 ( 3 i 2 1 ) ( 3 i 2 2 ) ( 3 1 2 3 ) ( 3 1 2 4 ) ( 3 1 2 5 ) p l 扛) = p 1 ( o ) e 一臂 押p ) ) 打+ e - r h + + p ( 1 ) ) 由1 ( f ) d r ( 3 1 2 6 ) ，z j 0 再由( 3 1 2 4 ) ，( 3 1 2 6 ) 可得 ，# p 2 0 ) = e - f ( 什p ( 5 ) 灿( 如l p ) + 轨( r ) ) 打 ( 3 1 2 7 ) j 0 结合口l 工1 【o ，o 。) ，( 3 1 - 2 7 ) 和引理c 3 1 1 ) 我们推出 ， e 片 十p ( r ) 如s 致， e f “+ + “5 ) ) 由出k 2 ( 3 1 2 s ) j 0 d 7 1 3 浙江师范大学硕士学位诧文 i p l ( z ) o = i p l ( o ) e 一譬( 1 + 斗p ( 7 ) 打+ g - r ( 什中) 西暑，1 ( r ) d r l d z l p l ( o ) l ，” 霄(7+a+de- ( r ) 弦如+ ，。，2 e f 州呦l ( 砷打如l p l ( o ) l 霄( ( 7 ) 弦如+ e f 1 州) 灿l ( 砷打如 j 0 j 0 j 0 sb 】( 0 ) i k l + f 爹i ( 砖7 e 一( t + 1 乜( 1 ) ) 由d x d r si p i ( 0 ) i k l + i i y luc o 。) k 2 00 由现l 1 【o ，) ，( 3 1 2 8 ) 和引理( 3 1 1 ) 我们同样可得 艮 譬( 什芦( r ) 净如k 3 ， e - f ( ，+ 小胎d xs 缸 ， ，r l i p ：扛) o ：，”，7e 只h “( 却。( r ) + 耽( 7 ) ) d r 如 j 0j 0 从( 3 1 2 2 ) 直接得到 s ” c o e - r ( ，州一) ) a d x ( a p i ( r ) + 玑( r ) ) 打 j 0r - r ) , k , i i p l l l l o ，* ) + i i 加l l l o ，。) k 4 0 0 ， ( 3 1 2 9 ) ( 3 1 3 0 ) = l 万南铷+ 万南z ”喇荆出1 ( a a 3 1 ， 将( 3 1 2 7 ) 代入( 3 1 3 2 ) ，利用引理31 1 得到 川 南岫+ l 南怔吲删”i i o 蜘= i a ，a 0 ，d 劭是算子( a + b + e ) 的预解 集，0 是( a + b + e ) 与( a + b + e ) + 的几何重数为1 的特征值，且0 也是( a + b + e ) 的代数重数为1 的特征值 ( 二) 、系统解的渐近稳定性 在上一节中，我们讨论了系统算子的谱特征，这为进一步了解系统解的渐近稳定性 奠定了基础，本节我们将重点研究系统解的渐近稳定性 由定义1 2 1 我们知道了g 半群t ( t ) 的渐近稳定性的定义，实际上，t ( t ) 的渐近 稳定性等价于抽象c a u c h y 问题( 2 1 7 ) 的广义解p ( ) 的渐近稳定性，也就是说，可以通 过研究岛半群的渐近稳定性来讨论系统解的渐近稳定性 由定理3 1 3 和文【2 】得到本节的主要结论 定理3 2 1 令q = ( 1 ，l ，1 ) ，则系统( 2 ，1 1 ) 一( 2 1 6 ) 的非负时间依够噶罪多0 ，t ) 当 时间t 趋于无穷时，趋于系统的稳态解反即 j i m 庐( z ，t ) = 多= ：声， 一 这里如是系统的初始值，多是由。对应算子( a + b + e ) 的特征向壁p 扛) = ，妒1 ( z ) ，张0 ) ) 规范化后的向量，即】；= 触，多l ( o ) ，勘( z ) ) = 2 - - 定理3 2 1 说明系统的时问依赖解】；( z ，t ) 当时间t 趋于无穷时，趋于系统的稳态解 p ，并且该稳态解与系统的初始值飙无关 一1 6 第4 章系统解的指敷渐近稳定性 四、系统解的指数渐近稳定性 在第三章给我们出了系统的时间依赖解多( z ，当时刻t 趋向无穷大时，收敛到系统 的稳态解a 在本章我们将重点研究系统解的收敛速度 ( 一) 、拟紧半群 本文，我们首先证明s ( t ) 是拟紧的，再由e 是紧算子。我们得到t ( t ) 也是拟紧的， 最后利用第三章中得到的0 是a + 口+ e 和似+ 口+ e ) + 的几何重数为1 的特征值， 利用定理1 2 3 推出我们的结论 命题4 1 1 若p ( x ，t ) = ( s ( t ) 妒) ( z ) 是方程 的解，则 p ( z ，t ) = ( s ( t ) ) ( z ) 掣= ( a + b ) p ( ) p ( o ) = ， 毋x z t 巨西o e - ( ：时：a ) t ：三：茹。w 把t ) e 埘卜t ， l 西1 ( 。一o e m 正t 一( r ) c hi ，石t 咖1 0 t ) e 一丘t 肿胁( 1 一e 咄) + 也。一一丘t “7 埘 、， h e一 打 1 肿 露竹 n 舶 一 一 e e 功曲 n 一 一 讳 矗矗 一e 如n n ，f-i一 浙江师范大学硕士学位论文 证明 堕学：一( a 十q ) p 0 ( t ) 出 、“。 o p t f ( z , t ) + 笺些：一( a 十p 扛) ) p l ( z ，t ) ， 况a 譬 。一“”“” 垫笋+ a p 2 f ( x , 0 ：一肛o k ( 孔t ) + 概( z ，t ) a 如 、7 、7 、 如( 0 ) = 如，p i ( x ，0 ) = 也 ) ，i = l ，2 ， ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 ，5 ) ( 4 1 6 ) 令f = z t ，并且定义q 1 ( t ) = p l g + t ，) ，q 2 ( t ) = p 2 ( f + t ，) 则由( 4 1 2 ) ，( 4 1 3 ) 我们有 d q j l - ( t ) =一n + 弘健+ t ) ) q 1 ( t ) ， ( 4 1 7 ) d q 苫2 广( t ) = 一芦嬉+ t ) q 2 ( ) + a q l ( t ) ( 4 1 8 ) 如果f 0 ，即z t ，那么我们对( 4 1 ，7 ) 一( 4 1 8 ) 由一到t 积分，因此，方程( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 的解可表示为 p l 缸，t ) = q 1 ( t ) = q 1 ( 一f ) e 一1 0 k ) 一熊押涉 p l 扛，t ) = p a ( o ，t 一$ ) e 一“一露p ( r 弦( 4 1 9 ) 纯缸，t ) ：q ( 幻：q ( ) e 一，二l “针r 拇+ a e 一乓一妊+ 帕7 ，a 加) e 珏绯+ r 弦咖 = 张( o ，t 一茹) e 一贸p ( r 胁+ 沁 ，z 嚣p p 胁q i 话一 ) e 岩川 ) d f d y j 0 = 耽( o ，f 一$ ) e 一霄p ( 7 胁+ a e 一贸川 r 胁p l ( 掣，可一) e 臂p ( f 冲d y “1 1 0 ) ， j 0 因为 ，所以由( 4 1 9 ) 我们得到p l ( ，y 一 ) = p 1 ( o ，一) e 一却一口p ( 7 渺， 并将它代( 4 1 1 0 ) 中，我们就有 p 2 ，力= p 2 ( o ，t 一霉) e 一膏以7 ) 打+ p 1 ( o ，t z ) e 一臂p 打( 1 一e k ) 由( 4 1 1 ) ，( 4 1 6 ) 我们推出 如( t ) = 如e 一( 1 + 咖 一1 8 - ( 4 1 1 2 ) 如 、j0 p 曲0m ，如 + 、jo 如玎 + d q | | l | 曲母 1 2 p p 第4 章系统解的指数渐近稳定性 出国= ( 庐，( x - o e - 1 ：- , 西竺o e - 篡( , r i - j ) t 茹叫。，。 c 嘞= 。s 龇，：i ， 。， ( i 矿o ) p ) o ) ： s ( t ) p ) o ) i 。【0 ，。) ，、 ( 4 1 1 4 ) 1 0 z i t ，+ o o ) ， o ) 牌上i o + 一咖( 霉) ld z = o ， y 致) ( i i ) l mf f 妒缸4 - 妨ld x = 0 ，y 一致) 由引理4 1 2 容易推出以下引理4 1 3 引理4 1 3x 中的有界闭子集y 是紧的，当且仅当以下两个条件满足 ( i ) 牌；：1 上i c a x + h ) 一c a z ) l 如= 0 ， = ( 粕，妒l ，也) y 一致) ( 回j m 譬：l i 如l 如= 0 ， = ，妒1 ，如) y 一致) ， 1 9 浙江师范大学硕士学位论文 定理4 1 1 如果王正( z ) 是l i p s c h i t z 连续，且存在出可使得0 壁s p 0 ) 曩 + o o ，那么w ( t ) 是x 上的紧算子 证明 首先当。，h 【o ，0 ，z + h 【o ，t ) 时， 喜知，t ) 嘶f ) i 如 = z 2 b 仁+ k ) 一p t 扛，圳d z + z 现。+ 埘一现。) 出 ：，i m ( o ，t - - x - - h ) e - ) i 。+ ) 一厅+ p ( r ) 一p 1 ( o ，t 一。) e h 一君“r ) d t d x d o + ，1 w ( o ，t z 一 ) e j 彳+ p ( r ) 打( 1 - - e - z + 埘) 一p l ( 0 ，f z ) e j i p p ) 打( 1 - e - “) j d x j 0 ，i v l ( o ，t - - x - - ) l e 一 扛+ h ) 一詹+ p p ) d r e k 一片p p ) d t l d = j 0 + ，i v y ( o , t - x - 九) 一p 1 ( o ，一z ) i e h 一席一( r i 如 j 0 + l p l ( o ，一z h ) i l e 一臂+ “r ) 打( 1 一e 一 扛+ 砷) 一e 一臂p p 渺( 1 一e - x - ) l 如 j 0 + z 。胁( o , t - z - 1 ) - p ，( 0 , t - x 一臂时砂( i - e - x 2 ) 如 一2 0 一 ( 4 1 1 5 ) 第4 章系统解的指数渐近稳定性 接下来我们估计( 4 1 1 5 ) 中的各项 由( 4 1 4 ) 和定理2 2 2 ，我们有 i p t ( o ，t z 一 ) i = i x v o c t 一霉一h ) + 】【( s ) 轨( s ，t z h ) d 5 i ， j 0 si a v o ( t 一。一+ 万p 2 ( s ，t z 一，1 ) d s i ， j 0 = m a x a ，面) 0 p ( ，t z h ) l l x = n l a x a ，可 l l s ( t 一。一 ) 毋( ) l l x sm a x a ，可 l l 毋l l x 我们估计( 4 1 1 5 ) 的第一，三项，由( 4 1 t 6 ) ，我们推出 ，o 。i i p l ( o ，一$ 一h ) l l e 一谁+ ) 一露+ “r 净一e 一蛔一牙以r ) 打l c b71 ( o ，一$ 一一谁+ ) 一露“枷一e 一蛔一牙州打l d 嚣 j 0 z + 砷一片+ “p 一) d r e - x - - q op ( r - 1 6 k ，面) 0 妒0 x 。+ 砷一片+ “p ( 7 ) d r 一 - 1 6 k j 0 “1 1 6 ) 一0 ，( i h l 0 ，对妒一致成立) ( 4 ，1 1 7 ) ，1 w ( o ，t z 一功l l e 一詹+ p ( r 渺( 1 一e 一 扛+ 砷) 一e 一后硝) 打( 1 一e h ) l c b j 0 sl n a x t a ，面 1 1 毋1 1 x ”i e 片+ “r ) 打( 1 一e 一 和+ ) - - e - j i ( r ) “( 1 - e - k ) i d x j 0 0 ， ( h 一0 ，对产致成立) ( 4 1 1 8 ) 由“1 4 ) 和命题4 1 1 ，并分别运用新积分变量t z h s = 口，t z s = y ，我们可 2 1 渐江师范大学硕士学位论文 以得到 l p l ( o ，t 一石一h ) 一p 1 ( 0 ，t 一动l = i o + q ) 如( t z 一助+ p ( s ) 弛( s ，t z 一 ) d 3 一o + q ) p d o 一。) 一p ( s ) p 2 ( 5 ，t z ) d s i s ( a + 町) l p o ( t z 一一p o c t z ) i + i p 如) p 2 0 ，t 一一h ) d s 一p o ) p 2 0 ，一= ) d s i = q + v ) l c o ( e 一1 p 一砷一e - 1 c t 一7 ) ) i ，f 十 + i p 0 ) p 2 ( s ，t 一霉一h ) d s + p 0 如0 ，t z 一 ) d 8 j 0 j t z h 一厂俐荆一如一芦鼢叫翻 = ( a + 目) l 西o l l ( e 一1 0 一砷一e - x ( 。一。) ) i 十l p 0 一z h 一) 优0 一一h y ，t z 一 ) d y + p ( 5 ) 眵2 ( s t + z + 危) e j ：件；+ 一p ( 订打 + 毋1 ( s t + z + h ) e j _ t + 计一“7 ) 打( 1 一e - x ( 扣2 一叼) 】如 ，i-z， 一p 0 一z 一分) p 2 ( t 一$ 一y ，t z ) d y 一p ( s ) 睁2 ( s t + z ) e j 0j 一z 一1 0 一t + z ) e j ：_ 蚪z p ( r ) 打( 1 一e 一3 ( 。一。) ) 】如i s ( a 十叩) l 粕| | ( e 一1 0 一。一 ) 一e - x ( 一。) ) i + l p 0 一z h 一掣) m ( 一z h y ，t 一石一_ 1 1 ) d y 一肛0 一z 一) p 2 0 一z 一，t 一却匆i + f p ( s ) 锄如一t + x + 危) e j ：件，+ 一p ( 7 ) d , d s 一7p 0 ) 也p t + $ ) e 一丘c + t 时净如j + l p ( s ) 咖1 0 一t + $ + 危) e j ：件蚌一p p ) 打( 1 一e - x ( 一 ) d s 一7弘0 ) 九一t + $ ) e 一丘蚌上“7 归( 1 一e 以( “2 ) 如| _ ：。+ ；p ( r ) d r ( 4 1 1 9 ) 接下来我们需要估计( 4 1 1 9 ) 中的各巩分别引入新的积分变量s - t + x + h = ，s t - t - x = 玑结合p ( z ) 是l i p s c h i t z 连续的( 不妨设l i p s c h i t z 常数是1 ) 2 2 第4 章系统解的指数渐近稳定性 估计( 4 1 1 9 ) 中的第三项，我们得到 i 弘( s ) 也0 一t + 石+ ) e 一：_ t + l + “7 ) 打d s j t - z - h 一 灿( s ) 也如一t + ) e l - t 佃“r ) 打出l ， = i p ( 暑，+ t 一$ 一 ) 西2 ( 可) e 一片“一4 p ( 7 ) 打d y ， 一p o + t z ) 也( ) e j 了“一。p ( ) 打咖i = i ，也( ) 眦白+ - - x - - 均e j 矿，一“r 弦d 2 一p 国+ z 一茁) e 一口+ 扣2 “r ) 打1 句 j o = ，如o)阻(苫+-x-i t 助( e p + 。一“p ( 砷打一e - 譬+ “4 p p ) 打) = f如0 ) 阻0 +助( e j ；。 9 砷“一 j ； ”p ) “) j 0 + ( p 白+ t z h ) 一p 白+ t z ) ) e 一口+ i 叫“7 ) 打】由i 面8 u pl e - g 。“7 渺一e p “吨p p 胁i + i h ls u pe 一只叫“m i i 咖2 i i t 【0 ，鳓 y e o ，e | u ， 一0 ，( i h j - - - - 40 ，对卜致成立) ( 4 1 2 0 ) 估计( 4 1 1 9 ) 的第二项，利用命题4 1 1 、( 4 1 1 6 ) 我们推出 p t - ：e - h if舻o z h 一) 见一z h 一，t 一。一7 以匆 j 0 ，l z 一7p ( t z 一掣) 印8 一。一仉t z ) 句l j 0 ；i ，“。p ( t - - x - - h 一咖1 ( 0 口) e 一君一h ，“r 沙( 1 一e 枷一) 咖；i p一掣) p 1 ( 0 ，暂) e j i 。烈炒7 ( 1 一e m 扣4 一“一纠) 咖 j 0 ，1 ：- - z 一p 0 一g 一童f ) p l ( o ，掣) e 一詹一“7 ) 打( 1 一e 一, x ( t - 。- 扪) 奶 j 0 2 3 浙江9 f 范大学硕士学位论文 ：l ，“一p ( t - - x - - 一咖1 ( 0 ，口) e 一扩”时) d r 、 i e 珊一- a - u ) h ) d y= l p 一) p 1 ( 0 ，口) e 一片“7 、一e 一1 # 。 j 0 一，“p ( t -