（基础数学专业论文）一类四阶微分差分方程的边值问题.pdf

摘要 摘要 本文采用多种方法讨论了一类四阶微分差分方程的边值问题主要涉及边值问题解 的存在性和唯性以及解与近似解的误差估计并通过构造拟线性迭代序列，研究了边 值问题解的收敛性和唯性全文共分四章 第一章简述了微分差分方程的历史背景，现状以及本文的主要工作 第二章应用不动点理论讨论了四阶微分差分方程边值问题解的存在性和唯一性，给 出几个主要定理及其性质 第三章使用p i c a r d s 迭代序列和近似p i c a r d s 迭代方法，得到了四阶微分差分方程 边值问题解与近似解的误差估计 第四章借助拟线性化方法来讨论四阶微分差分方程的边值问题，得到了收敛于方程 唯一解的迭代序列 关键词微分差分方程；边值问题；p i c a r d s 迭代序列；拟线性化方法；近似解；误差 估计 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ei n u l t i p l em e t h o di sa p p l i e dt od i s c u s st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fac l a s so ff o u r t h o r d e rd i 髓r e n t i a l - d i 能r e n c ee q u a t i o n s i tm a i n l yi n v o l v e 8t h ee 】d s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h es 0 1 u t i o na n dt h ee s t i m a t i o no fe r r o rb e t w e e nt h e8 0 l u t i o na n dt h e a p p r o ) ( i m a t es 0 1 u t i o nf o rt h eb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e m m e a l l w h i l e ，t h ec o n v e r g e n c ea n d u i l i q u e n e s so ft h es 0 1 u t i o nf o rt h eb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e ma r e 帆t i g a t e db yq u a s i l i n - e a r i z a t i o ni t e r a t i v es e q u e n c e sc o i l s t r u c t e d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts i t u a t i o n0 ft h ed i 髓r e n t i a l - d i 丘e r e n c ee q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e da s r e ua st h em a i nw d r ko ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e 8 8o ft h es o l u t i o na r ed i 8 c u s s e db yu s i n g s c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e mf o rt h eb o u n d a r ) ，v a l u ep r o b l e mo ff o u r t h - o r d e rd i f f e r e n t i a l - d i 髓r e n c ee q u a t i o n sa n ds e v e r a lp r i m a r i l yt h e o r e m sa n dp r o p e r t i e sa r eg i v e n i nc h a p t e r3 ，t h ee s t i m a t i o no fe r r o rb e t 伧e nt h es o l u t i o na n dt h ea p p r o x i m a t es o l u - t i o ni sg i v e nb vu s i n gt h ep i c a r d si t e r a t i v es e q u e n c e sa n d 印p r o ) ( i m a t ep i c a r d si t e r a t i v e m e t h o d sf o rt h eb o u n d a 可v a l u ep r o b l e mo ff o u r t h o r d e rd i 髓r e n t i a l - d i 髓r e n c ee q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sd i s c u s s e db yu s i n gt h eq u a s i l i n e a r i t e r a t i v es c h e m ef o rt h ef o u r t h o r d e rd i 珏e r e n t i a l - d i h e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h ei t e r a t i v e s e q u e n c e sa r eg i v e nw h i c hc o i e r g et ot h eu n i q u es o l u t i o no ft h ee q u t i o n s k e y w o r d s d i 丑! ：e r e n t i a l d i 丑! ：e r e n c ee q u a t i o n s ； b o u n d a 巧v a l u ep r o b l e m ； p i c a r d s i t e r a t i v es e q u e n c e s ； q u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o d s ； a p p r o 妇m a t es o l u t i o n ； e s t i m a t i o n o fe r r o r i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：日期：型年垒月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方格内打“修) 作者签名： 导师签名： j by 研 、 日期：丛吐月土日 日期：丕翌堑年垒月日 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 弓面衫泐铡嘀搬尚窘 的学位论文，是我个人在导师劬钞指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本入完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：丝：窒经日期：丛年l 月l 日 作者签名： 导师签名： 日期：2 1 堑年二月三i 一旦 日期：丝堑年l 月土日 第1 章绪论 1 1 历史背景与发展现状 第1 章绪论 在自然界和人类社会中，许多系统的发展趋势或未来状态不仅与现状有关，而且或 多或少与过去的发展趋势有关，这类现象称为时滞描述和解决时滞系统的分立型微分 方程称为微分差分方程，也称为具有偏差变元的微分方程 微分差分方程的历史可以追溯到1 8 世纪早在1 7 5 0 年，个别特殊的具有偏差变元 的微分方程便出现在欧拉( e u l e r ) 的几何问题中 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 导出了已知的 历史上第个微分差分方程此后，许多著名的数学家如b e m o u u i ，l a p l a c e ，p o i s s o n 以及 b a b b e g e 等都提出过类似的方程 1 ，2 】但是，系统地研究工作则是从2 0 世纪8 0 年代才 开始的，并取得了一些初步的成果 随着计算机科学、数值分析、生物数学、及边缘学科研究工作的不断深入，在自然 科学和社会科学领域出现的很多由时滞微分差分方程描述的数学模型或表达的数学系统 常常与其相应的微分方程系统具有完全不同的特性因此，对有时滞的微分差分方程定 性理论的研究引起了大批学者的高度关注 3 ，4 】微分差分方程理论逐渐在工程技术、自 动控制以及航天卫星等尖端领域中发挥着越来越重要作用，在信息和通信科学、人口动 态学和金融等领域中也成为不可缺少的数学工具近年来从线性到非线性、从二阶到高 阶、从一般到时滞和超前等混合型微分差分方程的研究已成为一个十分热门的话题，其 研究方法和研究内容也日益丰富 1 微分差分方程边值问题的研究概况 微分差分方程的边值问题主要包括非线性函数边值问题、周期边值问题、d i r i c h l e t 边值问题、n e u m a n n 边值问题和r i g h tf o c a l 等边值问题 5 ，6 】对于这些边值问题，产 生了众多不同的方法和技巧例如，p i c a r d s 迭代方法【7 1 、拟线性化方法 8 ，9 ，1 0 】、广 义拟线性化方法 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 】、及单调迭代法 1 5 ，1 6 ，1 7 】等已被应用到研究微分差分方程 各种边值问题解的存在性上由于微分差分方程的边值问题在微分差分方程的定性理论 中占有重要的地位，因此，许多学者给予了关注并产生了浓厚的兴趣 19 9 4 年， v l a k s m i l ( a n t h a m 等人出版了专著m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e sf o r d i s c o n t i n u o u sn o n l i n e 甜d i 艉r e n t i a le q u a t i o n 8 1 8 】；1 9 9 8 年，r p a g a 聊a l 出版了 f o c a lb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e m sf o rd i 髓r e n t i a la n dd i 雎r e n c ee q u a t i o n s f 19 】，系 河北大学理学硕士学位论文 统介绍了如何利用单调迭代技巧以及p i c a r d s 迭代方法、拟线性化方法来解决非线性微 分方程( 组) 的一些边值问题相应的理论和方法不仅可以证明解的存在性，还可以构 造单调迭代序列，并在一定条件下，序列一致收敛其极限就是原问题的理论解从而给 研究边值问题提供了一种十分有用的重要工具 2 微分差分方程边值问题的研究进展 对于微分差分方程边值问题，可从微分方程边值问题的研究工作中得到启发 2 0 ，2 1 】； ( 1 ) r p a g a r w a l 【2 2 研究了下面四阶微分方程的边值问题 jz ( 4 ) ( t ) = ，( 亡，z ( 芒) ) ， t a ，6 】， iz ( o ) = z ( 6 ) = z 7 ( n ) = z 7 ( 6 ) = o 用压缩映象定理和迭代方法证明了解的存在性 ( 2 ) h z 、v a n g 和y l i 2 3 】给出了二阶微分差分方程的边值问题 f ( t ) = ，( t ；牙( t ) ，孟( t n ) ，牙( t 十死) ) ，口 t 6 ， z ( 亡) = 妒( t ) ， o n t o ， 【z ( 舌) = 矽( 亡) ， 6s 6 + 色 这里牙( t ) = ( z ( t ) ，z 7 ( ) ) ，牙( 亡+ ) = ( z ( + ) ，z 7 ( 亡+ ) ) ，( = 一n ，记) 丁1 ，仡是正 数，汐c 1 8 一n ，8 】，矽c 1 【6 ，6 + 您】，关于是连续的，且满足功s c 艇纪条件 用压缩映象定理和迭代方法证明了解的存在性和唯一性之后，又把上述结果推广 到了三阶微分差分方程的边值问题 fz 小( 亡) = ，( ；牙( 亡) ，牙( 亡一n ) ，牙( 亡+ 死) ) ，n 亡 6 z ( 亡) = 妒( 亡) ， o n t n ，z 7 ( 口+ o ) = m ， 【z ( 亡) = 妒( 亡) ， 6 6 + 乃 这里牙( t ) = ( z ( 亡) ，z 7 ( ) ，( ) ) ，牙( 亡+ ) = ( z ( t + ) ，z ( + ) ，z ( 亡+ ) ) ，( = 一n ，死) 7 1 ，丁2 是正数，妒c ( 2 ) ( n n ，口j ，冗) ，妒c ( 2 ) ( 6 6 + 死】，r ) ，关于亡是连续 的，且满足l 咖s c 胁t z 条件得到了类似的结果 ( 3 ) p g ，w a n g ( 2 4 ，2 5 】考虑了三阶混合型微分差分方程的边值问题 fz 肌( 亡) 一c l z 肌( t 一丁1 ) 一c 2 z 肌( t + 他) = ，( 亡；牙( t ) ，牙( 芒一7 1 ) ，牙( t + 死) ) ，n 亡 6 ， z ( 亡) = 妒( ) ， 口一ns 芒o ， z ( 口+ o ) = m ， 【z ( 亡) = 妒( ) ， 6 t 6 + 死 这里牙( t ) = ( z ( t ) ，( 亡) ，( ) ) ，牙( t + ) = ( z ( t + ) ，z 7 ( 亡+ ) ，z ( 亡+ ) ) ，( = 一n ，死) n ，死是正数，妒c ( 2 ) ( o n ，叫，r ) ，妒c ( 2 ) ( 6 ，6 + 丁2 】，兄) ，关于是连续 的，且假定i c l i + i c 2 i 1 第1 章绪论 以及四阶微分差分方程的边值问题 2 6 】 fz ( 4 ) ( ) = ，( ；牙( ) ，牙( t n ) ，牙( + 死) ) ，o t 6 ， z ( 亡) = 妒( t ) ， o 一丁1 o ，z 7 ( o + o ) = m ， i - z ( ) = 矽( ) ， 6 t 6 + 您，z 7 ( 6 一o ) = n 这里牙( t ) = ( z ( 亡) ，( ) ，z ( t ) ，z 肼( 亡) ) ，牙( t + ) = ( z ( 亡+ ) ，z 7 ( 亡+ ) ，z ( + ) ，z 肼( 亡+ ) ) ，( = 一7 1 ，见) 7 1 ，乃是正数，妒c ( 3 ) ( n 一丁1 ，口】，r ) ，矽c ( 3 ) ( 6 ，6 + 您】，r ) ，关于 是连续的，且满足l 咖s c 胁t z 条件 利用s c h a u d e r s 不动点定理和p i c a r d s 迭代方法给出了微分差分方程解的存在唯一 性结果以及解和近似解的误差估计 在实际应用中，许多动力过程的描述都是通过微分方程或差分方程来完成的微分 差分方程的许多理论都可以由相应的微分方程理论得到，而且有更加丰富的发展因此， 从模型的观点出发，建立微分差分方程的体系更具有实际意义 1 2 本文的主要内容 在已有的微分方程边值问题理论的基础上，本文将对一类四阶微分差分方程边值问 题从以下三个方面开展研究； 1 四阶微分差分方程边值问题解的存在性和唯一性 本文主要考虑如下4 阶混合型微分差分方程的边值问题 fz ( 4 ) ( 亡) 一c l z ( 4 ) ( 亡一丁1 ) 一c 2 z ( 4 ) ( 亡+ 仡) = ，( ；牙( 亡) ，孟( t 一7 1 ) ，牙( t + 死) ) ，n t 6 ，( 1 1 ) z ( ) = 妒( t ) ， n n 亡口，z 7 ( o + o ) = m ， 【z ( ) = 矽( ) ， 6 t 6 + 丁2 ，z 7 ( 6 一o ) = n ， ( 1 2 ) 这里牙( t ) = ( z ( t ) ，z 7 ( t ) ，( ) ，z 胛( ) ) ，牙( 芒+ ) = ( z ( t + ) ，z 7 ( 亡+ ) ，( 亡+ ) ，z 肌( 亡+ ) ) ，( = 一n ，死) n ，死是正数，妒c ( 3 ( o n ，口】，r ) ，妒c ( 3 ( 6 ，6 + 死】，冗) ，而， 关于t 是连续的，并且假定l c l l + l c 2 l 1 给出问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 解的存在性和唯性定理 2 四阶微分差分方程边值问题解与近似解的误差估计 用p i c a r d s 迭代技巧研究微分差分方程边值问题的工作尚不多见因此，对问题 ( 1 1 ) 一( 1 2 ) ，我们使用p i c a r d s 迭代序列： ，力 + 1 ( 亡) = g ( 亡，s ) f ( s ；巯( s ) ，( s n ) ，( s + 乃) ) ，口一n ：l 河北大学理学硕十学位论文 + c 1 耀( s 一丁1 ) + c 2 耀( s + 死) ) d s ， 2 j d = z ( t ) m = o ，1 ，2 ， 和近似p i c a r d s 迭代序列； ，叶您 鼽+ 1 ( t ) = g ( ，s ) 1 f m ( s ；( s ) ，( s n ) ，豌( s + 乃) ) - ，n 一7 1 + c 1 姥( s n ) + c 2 旅( s + 死) ) 如， 珈( ) = 缅( t ) = z ( ) ，m = o ，1 ，2 ， 给出解与近似解z ( ) 的误差估计 3 四阶微分差分方程边值问题的拟线性化方法 为了研究边值问题的性质，我们使用拟线性迭代序列。 可! 卜1 ( z ) = f ( 亡；孰( t ) ，赫( t 一7 1 ) ，砒( + 见) ) 妾( 蜘愀m ) ) 业盟产 赛( 蜘1 h 鼽卜训盟唑畿掣彳= ：0“m b f l ， 赛( 蜘怕) 硼( 蚪训盟唑畿产j = oo m 、btj 2 ， + c 1 端( t n ) + c 2 ( t + 乃) ， m = o ，l ，2 ， + 1 ( t ) = o ，芒 o n ，0 1u 6 ，6 + 丁2 】；如+ 1 ( 口+ o ) = o ，如+ 1 ( 6 一o ) = o ， 这里踟( 亡) = z ( 亡) 是近似解 给出问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的收敛性和解的唯性结果 在现实中，非线性函数f 一般可由序列 如】- 近似得到因此，我们使用近似拟线 性迭代序列t 碳1 1 ( 亡) = ( 幺赈( ) ，砜( 乏一n ) ，( + 死) ) + 肿啻蜘旷蜘) 燮型嚆铲堂趔 妻( 啪1 m 鼽卜圳燮燮掰高掣剖j = o l ，mk l 一，1 ， 4 一 第1 章绪论 + 蹦功妻( 磁奴抖嘲一磁m + 死) ) 望坐塑譬翥笺 老墨迎趔f = ol ，w m b1 _ ，2 ， + c 1 加( t 一7 1 ) + c 2 叫( + 死) ，m = o ，1 ，2 ， 加m + 1 ( 亡) = o ， 亡【口一丁1 ，o 】u 6 ，6 + 乃】；心+ 1 ( n + o ) = o ，螺+ 1 ( 6 一o ) = o ， 这里叫o ( t ) = z ( 亡) 是近似解 得到问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的收敛性和解的唯一性更精确的结果 1 3 准备工作 在论文中，为了方便以后的叙述和证明，我们首先给出如下定义； 定义1 3 1 一个函数z ( ) 称为( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的解如果 ( i ) z ( t ) c ( 3 n n ，6 + 丁2 】， ( i i ) z ( 亡) 满足条件( 1 2 ) ， ( i i i ) 方程( 1 1 ) 对于t 【o ，6 】，t 口+ 七丁1 ，亡6 一七死( 七z + ) 成立 其次，我们再给出如下变换： ! ，( ) = a ( ) 9 ( ) + p ( t ) 砂( ) + 7 ( t ) + z ( ) ， 一l ，o 一丁1 o 氆，口t 6 0 ，6 t 6 + 死， 0 ，口一n t 口 膨，n t 6 1 ，6 6 + 吃， 0 ，o 一7 1 亡口 幽妞垃业型气岛笋型业业剑型( ( 字) 2 一( 亡一学) 2 ) ，n ts6 i d 一口l 。、z ， 、 z ，一一 0 ，6 t 6 + 仡， 妒( 亡) ， 妒( 口) ， 巧c 亡，= 篡 君： 口一7 1 t o 口t 6 + 他， 口一7 1 亡6 6 亡6 + 死 l一，j 1 _ ， = | l l l = 里 力 力 幻 幻 这 “ 以 们 烈 河北大学理学硕十学位论文 这样边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 就转换为下面的等价问题 f 可( 4 ( ) 一c 1 可( 4 ) ( 亡一n ) 一c 2 可( 4 ) ( 芒+ 乃) = f ( ；痧( ) ，痧( 一n ) ，多( t + 乃) ) ，o 亡 6 ( 1 4 ) 可( 亡) = o ， t 【口一n ，o 】u 【6 ，6 + 死】， 【可如+ o ) = o ， ，( 6 一o ) = o ( 1 5 ) 这里痧( 亡) = ( 耖( t ) ，秒7 ( t ) ，矿( t ) ，可肼( ) ) ，影( 亡+ ) = ( j ( t + ) ，可7 ( + ) ，可( t + ) ，( t + ) ) ，( = 一n ，死) f 关于是连续的 接下来，我们构造边值问题( 1 4 ) - ( 1 5 ) 的格林( g r e e n s ) 函数【1 0 】g ( t ，s ) 如下， g s ) = 而与 ( 亡一n ) 2 ( 6 一s ) 2 ( ( s t ) + 呈皆) ，。t s 6 ， ( s 一口) 2 ( 6 一t ) 2 ( ( t s ) + 呈背) ，。s t 6 ，( 1 6 ) 0 ，口一7 1 5 口或6 s 6 + 死 定义1 3 2 我们定义一个集合：令 k = ( 亡) ：可( 4 ( t ) 在 o ，6 】上仅有有限个第一类不连续点，并且，可( 艺) = o ，亡 【n n ，a 】u 6 ，6 + 死】，y 7 ( 口+ o ) = ! ，7 ( 6 一o ) = o ) 这样，对任何的可( ) k ，我们有下面式子成立 1 0 】： 比) = z ：g s 4 ) ( s ) d s ， ( 1 7 ) 第2 章边值问题解的存在性和唯一性定理 第2 章边值问题解的存在性和唯一性定理 2 0 世纪6 0 年代以后，微分差分方程受到广泛关注b e l l m a n 和c o o k e 4 】 a g a r r a l 2 0 ，2 1 】在他们的专著和其他学者的文献中都论述并得到了一些微分差分方程边值问题解 的存在性和近似解的有趣结果例如：对于2 阶，3 阶和4 阶的超前与滞后型微分差分 方程， h z 、a n g 和y l i 2 3 】，p g 、v a n g 【2 4 ，2 5 ，2 6 分别讨论了边值问题解的存在性和 唯一性 在这一章，我们将应用不动点理论来讨论问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 这类4 阶混合型微分差分 方程边值问题解的存在性和唯一性 2 7 】 2 1 预备知识 我们从相应的文献中引入一些记号和结果作为引理 引理2 1 1 ( 【2 2 】) 令z ( t ) c ( 4 【n ，6 】满足z ( 口) ；z ( 6 ) = ( n ) = ( 6 ) = o ，则 i z ( 南( ) f a ，知( 6 一o ) 4 一七m ，南= o ，1 ，2 ，3 ，( 2 1 ) 其中m = 篡嚣p 4 m ) l q ，。= 壶，q ，t = 元笔，q ，z = 丧，q ，3 = 圭 引理2 1 2 ( 2 6 】) 令( ) k ，m = 理娥i ( 4 ) ( ) i - 则 口气气d l ( 七) ( 亡) i q ，七( 6 一o ) 4 一七m ， n 一7 l 6 + 死，七= o ，1 ，2 ，3 ( 2 2 ) 引理2 1 3 令qc 口，6 】r 1 2 ，( ；雪( ) ，影( 一n ) ，妒( 亡+ 仡) ) q ，i c l i + i c 2 i ，c _ 1 - l c l l - lc 2 i 则边值问题( 1 4 ) 一( 1 5 ) 至少有一个解 证明：记 e = ( ) ：( ) c ( 3 ) 陋二7 1 ，6 + 乃】，( ) = o ，芒k n ，o 】u 陋，6 + 死】；7 ( o + o ) = 7 ( 6 一o ) = o ；并且i l y o ) l l = i 粤璺夏 l 可u ) ( ) l ，l y u ) ( t n ) l ，l 可o ) ( 亡+ 丁2 ) i ) b ，歹= n 气、d o ，1 ，2 ，3 ；妙( 4 ) ( 亡) 在 o ，6 】上仅有有限个第一类不连续点) 则e 是巴拿赫空间c ( 3 ) o ，6 】上的闭凸集 我们如下定义一个算子t t 秒( t ) = g ( 亡，s ) f ( s ；雪( s ) ，雪( s n ) ，雪( s + 死) ) + c 1 妙( 4 ( s n ) + c 2 可( 4 ( s + 见) ) d s ， o 一丁1 t 6 + 丁2 ( 2 4 ) 格林函数g ( t ，s ) 如( 1 6 ) 式所定义由条件( i i ) ，引理2 1 2 和引理2 1 3 ，我们有 ( t 可) ( ) ( ) i ( q a ， ( 6 一o ) 4 一) c ，口一n t 6 + 乃，t = o ，1 ，2 ，3 类似地有f 。面式子成立 i ( 而) ( ( t 一7 1 ) i ， n n 舌6 + 死，i = o ，1 ，2 ，3 1 ( t 可) ( t + 乃) i ， n nst 6 + 死， i = o ，1 ，2 ，3 易知丁是e 到自身的全连续映射由s c h a u d e r 8 不动点定理知t 有一个不动点 圹( t ) ，且秒+ ( ) 是( 1 4 ) - ( 1 5 ) 的解 - r - 第2 章边值问题解的存在性和唯一性定理 推论2 2 1 假设函数f ( 亡；雪( t ) ，雪( t 一丁1 ) ，雪( t + 死) ) 在 o ，6 】兄1 2 满足 3 f i 危+ 芝二 ，b + 1 i 可u ( ) i q d ) + 如+ 1 i 曼，。( 一n ) i p o ) + m j + 1 i ! ，o ( + 丁2 ) 1 7 。) ， j = 0 ( 2 5 ) 这里 ，+ 1 ，易+ 1 ，m j + 1 是非负常数，o q ( 歹) 1 ，o p ( 歹) 1 ，o ，y 0 ) 1 则 边值问题( 1 4 ) 一( 1 5 ) 至少有一个解，只要下式成立 证明：令 p = 蜥+ 啪，础刊4 。) p = l b + l + 如+ 1 + + 1 ) a ，j ( 6 一口) 4 一) j = o 秘“q ( 川：f 扎 l u ， 幻+ ( p ( j ) ) = 屯+ l 0 q ( 歹) = 1 o q ( 歹) 1 ， ( 歹) = 1 o p ( 歹) 1 ， 嘶纠= 协1 孑呈意n 应用定理2 2 1 ，我们有 其中 而 c 1 一砖+ 1 ) 譬d + ( 岛+ 1 一弓+ 1 ) 譬o + ( 叻+ 1 一锄+ 1 ) 碍。卜卜，( ，) ， ，( ，乜) = ，( ，七1 ，忌2 ，乜) = 则下列不等式成立 白= a ，o ( 6 一口) 歹 歹= 0 ，1 ，2 ，3 ， 炳， ) ( 赛鼢。蜥。+ 咐川h ) 4 _ j ) 葫岛 ，( ，后3 ) l + 1 + 如+ 1 + 畅+ 1 ) q ，歹( 6 一口) 4 一j ) 瓦是而 j = o 。4 ，”、。”7 类似地，我们有 ，( ，如) c 忌1 q ，1 ( 6 一n ) 3 ，( ，乜) 9 c 七2 q ，2 ( 6 一o ) 2 c ( 2 6 ) ( 2 7 ) q ，o ( 6 一o ) 4 ，( ，b ) c 乜 a ，3 ( 6 一o ) + 0 3 瑚 +危 一 q b “+“ 卜：、 +h b 。舢 河北大学理学硕十学位论文 选择足够大的如和应用( 2 6 ) ，我们有 q 击，q 击，q 击，q 葫 因此 1 ( h ) m i n ( 轰) 碍忙叭 2 ，3 ) 满足定理2 2 1 的条件，因此，推论2 2 1 成立 注记定理2 2 1 是局部存在定理，而推论2 2 1 对区间长度这个条件不作任何要求 定理2 2 2 在推论2 2 1 中，令q ( 歹) = p ( 歹) = 7 ( 歹) = 1 ，歹= o ，1 ，2 ，3 并且假设函数f 在 o ，6 】冗1 2 满足下面条件 i f i + 乏二 ，o + 1 i 剪o ( 芒) l + b + 1 i o ( t n ) i + + 1 i y 。( + 记) 1 ) ( 2 8 ) 则边值问题( 1 4 ) - ( 1 5 ) 有且仅有一个零解，只要下式成立 忙 蜥- + 哪( h ) 4 - ) c 1 口= l + 1 + 如+ 1 + + 1 ) q ( 6 一o ) 4 一) c 1 j = 0 证明：由( 2 8 ) 式，我们容易看出可( t ) 三。是边值问题( 1 4 ) 一( 1 5 ) 的一个解为了证明 定理2 2 2 ，我们只需要证明边值问题( 1 4 ) 一( 1 5 ) 没有非平凡解 假设边值问题( 1 4 ) - ( 1 5 ) 有非平凡解，应用引理2 1 2 和引理2 1 3 ，我们有 啦娥护( t ) i 口 6 ” 、“ 则 震怒俨( t ) i p 罢怒铲( 吼 由o 口 1 ，我们得到码婪i y ( 4 ) ( t ) i = o ，则! ，( 4 ) ( 亡) = o 这就意味着耖( ) 是一个 口气t 气o 非零的非线性函数这是不可能的，因为由条件( 1 5 ) 中y ( o ) = 可( 6 ) = o ，7 ( n + o ) = 耖7 ( 6 一o ) = o ，我们可以得出可( t ) = o ，因此( t ) 三o 由定理2 2 2 ，我们可以得出下面推论 推论2 2 2 假设函数f 在 口6 】r 1 2 满足下面条件 3 i f i + 芝二 ，b + 1 l 可d ( t ) i + 如十1 i d ( t n ) i + 叻+ 1 i 。( 芒+ 死) 1 ) j = 0 、l 一4 、l ， 口q ， 1 j 川u 巧 妨 ， 一 l b ” 麓一 “ m v i 斗 “ 1 c fb + 3 舢 卜 第2 章边值问题解的存在性和唯一性定理 并且边值问题( 1 4 ) 一( 1 5 ) 有一个非平凡解，则 口= 蜥- + 啪刚h ) 4 _ 0 口= i b + 1 + 弓十1 + + 1 ) a ，歹( 6 一口) 4 。) j = o c 1 定理2 2 3 令，在【口，翻兄1 2 关于z o d = o ，1 ，2 ，3 ) 是可微的，并且满足 ，i 淼扎 则边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 有唯一解，只要下面式子成立 p = 蜥t 饥m 础刊4 叫) p = + 1 + + l + 哪! ) q ，j ( 6 一n ) 4 叫) j = o m j + 1 c 1 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 证明：假设z 1 ( ) 和z 2 ( 亡) 是( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的任意两个解，特别地，令! ，( 亡) = z 1 ( 亡) 一z 2 ( t ) ， l = 厶，i 淼i = 缈，i 淼l = 乃 ( 4 ) ( t ) 一c 1 可( 4 ( 一n ) 一c 2 炒( 4 ( + 吃) = ，( 亡；牙1 ( t ) ，牙1 ( 艺一7 1 ) ，牙1 ( 亡+ 亿) ) 并且 令 则 一，( ；牙2 ( ) ，牙2 ( 亡一7 1 ) ，牙2 ( 亡+ 亿) ) ， ( 芒) = o ，t o n ，o 】u 限6 + 乃1 ， 7 ( n + o ) = o ，可，( 6 一o ) = o 吡) = z 1 乃( ! ；以s 蚺以一砒姒t + 训媳 啪) = z 1 班；姒巩以一7 1 ) + s 比一砒以t + 训豳 酏) = z 1 啪渤，姒t 一砒以+ 乃) + s 巾+ 训瓠 3 可( 4 ( 亡) 一c l y ( 4 ( 亡一n ) 一c 2 秒( 4 ( 亡+ 乃) = ( ) 彭u ( 亡) + 幻( t ) 可d ( t 一7 1 ) + 勺( t ) ! ，u ( 亡+ 乃) ) j = 0 注意到 ( ) ls7 b + l ，i 幻( t ) i b + 1 ，i 勺( t ) i + 1 ， 1 1 礁足满 河北大学理学硕士学位论文 则满足定理2 2 2 的条件因此( ) 三0 定理2 2 3 得证 2 3 例子 例2 3 1 考虑如下边值问题： 可( 4 ( t + 死) = 2s i n 可+ s i n 亡， o t 1 ， 一7 1 ，o 】u 1 ，1 + 死】， ( 2 1 1 ) = 0 取：q ：z 嘴x l f i ：瑶+ l ，这里f = 耖zs i n 影+ s i n c = 1 一i 三l i 丢i = 丢则s 定理2 2 1 的条件被满足，只要下面两式成立 0 ， ，6 4 坯希。 ( 2 1 2 ) 解此不等式，可知只要满足： 0 0 1 5 6 2 8 8 1 6 5 6 3 9 8 4 3 7 1 1 8 3 4 即可 因此，边值问题( 2 1 1 ) 在下面区域至少存在一个解： q = | ( 亡，可( 亡) ，! ，( t 一7 1 ) ，可( t + 记) ) ：o 亡1 ，i ( 亡) l ，i ( 一n ) i ，1 秒( 亡+ 琵) i ；o 0 1 5 6 2 8 8 1 6 5 七o 6 3 9 8 4 3 7 11 8 3 4 ) 取一o 呲6 2 8 8 瑚川器引蒜与i - i 茄i - 0 口= 击( 瑶+ 2 ) = o 0 0 0 4 9 2 2 1 7 0 o 使得 震糕l z 4 ( t ) 一c l z 4 ( 。_ 7 1 ) 一c 2 z 4 ( t + 记) 一f ( t ；乏( t ) ，乏( 一7 1 ) ，乏( t + 记) ) i ， ( 3 1 ) z ( ) 并且，下面条件成立 z ( ) = o ，t n 一7 1 ，n 】u 6 ，6 + 死】； 事实上，近似解z ( t ) 可以被表示成 z 7 ( o + o ) = o ，z 7 ( 6 一o ) = o = e 州哪钗一心( s + 训+ c l ) ( s 刊坳( 4 ) ( s + 小帕饕 这里，g ( 文s ) 是格林函数且由( 1 6 ) 式所定义 7 7 ( 亡) = z ( 4 ( t ) 一c l z ( 4 ) ( 亡一n ) 一c 2 z ( 4 ( t + 死) 一f ( t ；乏( 亡) ，乏( 亡一7 1 ) ，乏( t + 见) ) 且 定义3 1 2函数f 称为l 功s c 允钇z 类，如果对所有的 m a x 口 6i 叩( ) i g ( ；面( ) ，面( 一n ) ，面( t + 死) ) ，( t ；哥( 亡) ，面( 亡一n ) ，哥( t + 乃) ) n ，6 】d ，dcr 1 2 ， 下列不等式成立 i f ( ；露( 亡) ，面( 一n ) ，面( + r 2 ) ) 一f ( ；面( ) ，雷( 一几) ，哥( t + 恐) ) l 3 ，。+ 1 l 乱d ( ) 一u o ( t ) i + 如+ 1 i 乱d ( t n ) 一u o ( 一n ) l + 叻+ l i u d ( + 忍) 一u o ( t + 乃) i ) ， j = 0 ( 3 3 ) 这里伤+ 1 ，l j + 1 ，叻+ 1 是非负常数 1 3 - 河北大学理学硕士学位论文 引理3 1 1 ( 2 8 】) 令b 是一个巴拿赫空间，s ( z o ，r ) = z b ：| | z z o | i o 令丁将s ( z o ，r ) 映射到b ，并且 ( i ) 对于所有的z ，妙s ( z o ，7 ) ，i l 乳一丁训l 酬z 一训这里o q 1 ， ( i i ) r o = ( 1 一口) 一1 f i 死。一z o f l 7 则 ( 1 ) 丁在s ( z o ，r o ) 里有一个不动点z 4 ( 2 ) 矿是t 在s