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曲阜师范大学硕士学位论文 正则半群的断面研究和超富足半群的结构 摘要 半群是对群的一种弱化，只要求二元运算满足结合律二十世纪六十年代 开始兴起对半群的研究，在某些方面半群理论类似于群论和环论最初期的重 要成果主要归功于r e e s ，c l i f f o r d 及d u b r e i l 的工作到七十年代半群理论迅 速发展并丰富起来，内容涉及同余，结构，簇等方面，还有专门的杂志半群 论坛这期间，c l i f f o i d ，a h ，p r e t o n ，m ，h o w i e ，j b 等相继发表了许多 重要论文，见文 1 ，2 ，3 】起初主要借助于格林关系研究一些特殊的半群，如 c l i f o r d 半群，逆半群，纯正半群，正则半群，完全正则半群等自1 9 8 2 年b l y t h 和m c f a d d e n 在文 5 】中引入逆断面以来，对半群的各种断面，如逆断面，纯 正断面，正则木一断面等的研究已成为半群代数理论研究领域的一个较为活跃 的课题，由于半群的断面是该半群的一个子半群，因此这一课题的思路就是通 过半群的某性质比较好的子半群去把握整个半群，从而达到由局部把握整体 的目的设s 为正则半群，s 9 为s 的子半群，如果s o 含有s 的每个元素的 唯一逆元，则称s o 为s 的逆断面具有逆断面的正则半群类比较广泛，它包 括逆半群，逆半群的基本矩形带，可分纯正半群等二十多年来具有逆断面的 正则半群理论已得到充分发展，见文【5 ，6 ，7 ，8 ，1 0 m c m i s t e r 和m c f a d d e n 在文 6 】中给出了具有逆断面的正则半群的结构定理?1 9 8 9 年， s a i t o 在文 【7 】中给出了一般情况下这类半群的构造b l y t h 和s a i t o 研究了正则半群的 几种特殊类型的逆断面 本文主要研究正则半群的纯正断面，逆断面和超富足半群的结构，全文共 分三章 第一章研究正则半群的拟理想纯正断面第一节是引言，介绍了正则半群 拟理想纯正断面研究的相关背景，本文的主要成果以及每一部分主要的内容 曲阜师范大学硕士学位论文 第二节是预备知识，给出正则半群的一些相关概念和预备知识第三节证明了 正则半群的拟理想纯正断面的结构定理 第二章研究正则半群的逆断面第一节是引言，介绍了正则半群逆断面研 究的相关背景，本文的主要成果以及每一部分主要的内容第二节是预备知识， 给出了一些基本概念和结论第三节给出了正则半群的逆断面的结构定理 第三章研究超富足半群的结构第一节是引言，介绍了超富足半群的相关 背景，本文的主要成果以及每一部分主要的内容第二节给出了一些相关概念 和预备知识第三节介绍了超富足半群的一种结构定理 关键词：拟理想；纯正断面；正则带；超富足半群；完全单半群； 结构函数 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es e m i g r o u pi st ot h eg r o u po n ek i n do fa t t e n u a t i o n ，o n l yr e q u e s t st h e d u a lo p e r a t i o nt os a t i s f yt h ea s s o c i a t i v el a w s e m i g r o u p sr e s e a r c hr i s e di n t h e1 9 6 0 s ，i nc e r t a i na s p e c ts e m i g r o u pt h e o r i e sa r es i m i l a rt ot h eg r o u pt h e - o r ya n dr i n gt h e o r y t h em o s ti n i t i a lp e r i o di m p o r t a n ta c h i e v e m e n tm a i n l y g i v e sc r e d i tt or e e s ，c l i 舫r da n dt h ed u b r e i lw o r k t ot h e7 0 s ，s e m i g r o u p s t h e o r yr a p i d l yd e v e l o p sa n de n r i c h e s ，w h i c hi n v o l v e sw i t hc o n g r u e n c e ，s t r u c - t u r e ，v a r i e t i e sa n ds oo n ，b u ta l s oh a st h es p e c i a lm a g a z i n e s e m i g r o u p f o r u m t h i sp e r i o dc l i f f o r d ，a h ，p r e t o n ，m ，a n dh o w i e ，j ba n ds oo i l h a v ep u b l i s h e dm a n yi m p o r t a n tp a p e r so n ea f t e ra n o t h e r ，f o re x a m p l e 【1 3 ， 1 8 ，1 9 】a tf i r s tm a i n l yd r a w ss u p p o r tt og r e e nr e l a t e st os t u d ys o m es p e c i a l s e m i g r o u p sl i k ec l i f o r ds e m i g r o u p s ，i n v e r s es e m i g r o u p s ，o x t h o d o xs e m i g r o u p s ， r e g u l a rs e m i g r o u p s ，c o m p l e t er e g u l a rs e m i g r o u p sa n d s oo n s i n c et s b l y t h a n dm c f a d d e ni n 1 】i n t r o d u c e dr e g u l a rs e m i g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l s i n1 9 8 2 ，t h i st y p eo fs e m i g r o u ph a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n ( s e e 1 ，3 ，6 ，2 7 ， 2 8 】) s i n c eat r a n s v e r s a lo fs e m i g r o u pi sas u b s e m i g r o u po ft h i ss e m i 伊o u p ， t h e r e f o r ew em a ys a y , t h i st o p i cm e n t a l i t yi sq u i t eg o o dg r a s p st h ee n t i r es e m i - g r o u pt h r o u g hs e m i g r o u p ss o m en a t u r e t h u sw ea c h i e v et h ep a r t i a la s s u r a n c e w h o l et h eg o a l l e tsb eas e m i g r o u p ，s ob eas u b s e m i g r o u po fs ，s oi ss a i d t 0b ea ni n v e r s et r a n s v e r s a lo fsi ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： y ( x ) f ls 0 i = 1 v x s w h e r ey ( x ) d e n o t e st h es e to fi n v e r s e so fx s i n v e r s et r a n s v e r s a lo fr e g u l a r s e m i g r o u pi sr e l a t i v e l ye x t e n s i v e ，w h i c hi n c l u d e si n v e r s es e m i g r o u p s ，i n v e r s e s e m i g r o u p sw i t ht h eb a s i cr e c t a n g u l a rb a n d a n ds e p a r a b l eo r t h o d o xs e m i g r o u p a n ds oo n i nt h el a s tt w e n t yy e a r st h et h e o r yo fr e g u l a rs e m i g r o u pw i t hi n v e r s e l u t r a n s v e r s a lh a sa l r e a d yb e e nf u l l yd e v e l o p e d m c a l i s t e ra n dm c f a d d e ni n 【2 】 g a v eas t r u c t u r et h e o r e mf o rr u g u l a rs e m i g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l s s a i t oi n 3 】g a v eac o n s t r u c t i o no ft h i ss e m i g r o u pu n d e rn o r m a lc i r c u m s t a n c e s b l y t ha n ds a i t os t u d i e dr e g u l a rs e m i g r o u pw i t hs e v e r a ls p e c i a lt y p eo fi n v e r s e t r a n s v e r s a l i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rm a i n l ys t u d i e sq u a s i - i d e a lo r t h o d o xt r a n s v e r s a l s a n di n v e r s et r a n s v e r s a l so fr e g u l a rs e m i g r o u p s i tc a nb ed i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r s c h a p t e r1 ，t h ea u t h o rs t u d i e sr e g u l a rs e m i g r o u p sw i t hq u a s i - i d e a lo r t h o - d o xt r a n s v e r s a l s s e c t i o n1i sab r i e fi n t r o d u c t i o n ，s o m eb a c k g r o u n da b o u t t r a n s v e r s a l s ，t h em a i nr e s u l t sa n de v e r yp a r to ft h em a i nc o n t e n ta r ei n t r o - d u c e d i ns e c t i o n2 ，s o m eb a s i cc o n c e p t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e sa b o u tr e g u l a r s e m i g r o u pw i t hq u a s i ，i d e a lo r t h o d o xt r a n s v e r s a l sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n 3 ，t h em a i no b j e c t i v ei nt h i ss e c t i o ni st og i v eas t r u c t u r et h e o r e m f o rr u g u l a r s e m i g r o u p sw i t hq u a s i i d e a lo r t h o d o xt r a n s v e r s a l s i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o rs t u d i e sr e g u l a rs e m i g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r - s a l s i tc o n t a i n st h r e es e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，s o m eb a c k g r o u n da b o u tt r a n s v e r - s a l s ，t h em a i nr e s u l t sa n de v e r yp a r to ft h em a i nc o n t e n ta r ei n t r o d u c e d i n s e c t i o n2 ，s o m eb a s i cc o n c e p t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e sa b o u tr e g u l a rs e m i g r o u p s w i t hq u a s i i d e a lo r t h o d o xt r a n s v e r s a l sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n3 ，t h em a i n o b j e c t i v ei nt h i ss e c t i o ni st og i v ea s t r u c t u r et h e o r e mf o rr u g u l a rs e m i g r o u p s w i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l s c h a p t e r3i sd e v o t e dt oac o n s t r u c t i n gm e t h o df o rs u p e r a b u n d a n t s e m i - g r o u p i tc a nb ed i v i d e di n t o3s e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，s o m eb a c k g r o u n d a b o u tt r a n s v e r s a l s ，t h em a i nr e s u l t sa n de v e r yp a r to ft h em a i nc o n t e n ta r e i n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 ，s o m eb a s i cc o n c e p t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e sa b o u ts u - p e r a b u n d a n ts e m i g r o u pa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n3 ，t h em a i no b j e c t i v ei n l v 曲阜师范大学硕士学位论文 t h i ss e c t i o ni st og i v eas t r u c t u r et h e o r e mf o rs u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p k e y w o r d s ：q u a s i i d e a l ；o r t h o d o xt r a n s v e r s a l s ；r e g u l a rb a n d ；s u - p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p ；c o m p l e t e l y 7 * - s i m p l es e m i g r o u p ；c o n s t r u c t i n gf u n c - t i o n v 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文正则半群的断面研究和超富足半 群的结构，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确 的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：零莜为 日期：例面髻。像，0 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 正则半群的断面研究和超富足半群的结构系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大 学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容 日期：刀谣啤i o 日期：如杉0 9 、，。 第一章正则半群的拟理想纯正断面 1 1引言 半群是对群的一种弱化，只要求二元运算满足结合律二十世纪六十年代 开始兴起对半群的研究，在某些方面半群理论类似于群论和环论最初期的重 要成果主要归功于r e e s ，c l i f f o r d 及d u b r e i l 的工作到七十年代半群理论迅 速发展并丰富起来，内容涉及同余，结构，簇等方面，还有专门的杂志半群论 坛这期间，c l i 肋r d ，a h ，p r e t o n ，m ，h o w i e ，j b 等相继发表了许多重要 论文，如 1 ，2 ，3 】起初主要借助于格林关系研究一些特殊的半群，如c l i f o r d 半 群，逆半群，纯正半群，正则半群，完全正则半群等自1 9 9 9 年，陈建飞教授在文 4 】中介绍具有拟理想纯正断面的正则半群的概念以来，对这类半群的研究成为 半群代数理论研究领域一个较为活跃的课题许多作者研究了这类半群中的一 些特殊的半群，取得了显著成就，例如文【5 】- 【8 】1 9 9 9 年，陈建飞在文【4 】中给出 了具有拟理想纯正断面的正则半群的一种较为复杂的结构定理，即( ，s o ，a ) ， 其中铲是正则半群s 的纯正断面，i - - - ，s ：( j ，o v s o ( s ) ) ，o = ，) 和 a = e s ：( 3 e o y s o ( e ) ) e o e = e ) 分别是s 的两个子集在( 忌，t ( z ) ，l x ) 中r ，t ) 和厶分别对应格林关系冗，元素的逆元和格林关系c 2 0 0 6 年， 孔祥军在文【9 】中给出了具有拟理想纯正断面的正则半群的一个更为简单的结 构定理，即( b ，r ) 然而，用( k ( z ) ，l 。) 中的二元组k ( z ) ，l 。描述格林关系 冗，c 和元素的逆元是相当难的 为了克服上述的困难，本章介绍了一种新的关系咒，即如果见= 风， t ( a ) = r ( 的，则( a ，b ) 瓦通过集合( b ，r ) 和新定义的关系芄来表示格 林关系冗，c 和元素的逆元本章简化了文【9 中的条件，得到了具有拟理想 纯正断面的正则半群的一种较为简单的结构定理第二节是预备知识，给出正 则半群的一些相关概念和预备知识第三节证明了具有拟理想纯正断面的正则 半群的结构定理 第一章 正则半群的拟理想纯正断面 1 2预备知识 半群s 称为正则的，如果对任意z s ，存在a 7 s 使得a a a = a ，a t a a = a ， 设s 是一个半群，s 的子半群s o 称为s 的纯正断面，如果满足下面的 条件； ( 1 ) ( 任意a s ) y s o ( a ) 0 ； ( 2 ) 如果a ，b s ，a ，6 i 1s o 0 ，有垤o ( n ) v s o ( b ) 蜘( 6 0 ) 其中y ( x ) 表示z s 的逆元的集合，z 在s o 中的唯一的逆元记作z o ，对任 意的z s ，z 表示( z o ) o 说明如果伊是s 的纯正断面，则由( 1 ) 知s 是正则半群，由( 2 ) 知s o 是s 的纯正子半群 这篇论文中的概念和术语类似于文【2 】， 1 0 ， 1 1 定义1 2 1 【6 】设q 是s 的子半群，如果q s q q ，则称q 为s 的拟 理想 性质1 2 1 1 9 如果8 ，z 是正则半群s 中的两个元素，x 8 x 和z 有一个 共同的逆元，那么z x s x x = ，x 8 t , = z 性质1 2 2 1 1 5 1 ( m i l l e r - c l i f f o r d 定理) ( 1 ) 如果e 和，是半群s 中的口- 等价幂等元，那么r en ，中的任一 个元素a 都有唯一的逆元a i r f r ll 。，使得o = e 和o = ， ( 2 ) 如果口，b 是半群s 中的元素，那么a b 见nl b 当且仅当存在幂等 元e ，使得e l 口f - 1r b 性质1 2 3 1 9 设s 是正则半群，伊是s 的纯正断面，如果铲是s 的右 理想( 或左理想) ，则对任意的x 0 蜘( z ) 和某一个z 0 0 v s o ( x o ) ，x o x = x o x ( 或z z o = x o o x o ) 从而可知s 是纯正半群 性质1 2 4 设s 是正则半群。铲是s 的拟理想纯正断面，令 r = 【z s ：( vz o y s 。f z ) )( jx o o y s 。( 。o ) ) x o x = x o x o o ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 l = 可s ：( vy o y s o ( ) ) ( 刍y 0 0 y s o ( o ) ) y y o = y o o y o 】， 则 ( i ) lnr = s o ； ( i i ) e ( r ) = ，s ：( jf o y s o ( f ) ) f f o = ，) ，e ( l ) = e s ：( 弓e o v s o ( e ) ) e o e = e ，记e ( r ) = i ，e ( l ) = 人； ( i i i ) 冗和己是具有纯正断面s o 的纯正半群，且s o 是冗的右理想l 的左理 想 证明我们仅证( i i i ) 由z 0 0 0 = z o 知，s o 冗和s o l 令 z ，y r ，由s o 是s 的拟理想，( z 可) o ( z 耖) = ( z 可) o ( z 可) 可o y s o ，所以 ( z y ) o ( z y ) ，( z 可) o ( z 可) o o y ( ( z 秒) o x y ) ns o ，( z y ) o x y = ( x y ) o ( z y ) 从而r 是 s 的子半群令z r ，y o s o ，则y o x = y o x x o z o o s o ，所以s o 是r 的右 理想由s o 是s 的逆断面及性质1 2 3 知，r 是纯正半群同理可证l 是纯 正半群 性质1 2 5 设a 如性质1 2 4 所述，则e ( s o ) 是a 的左理想纯正断面 1 3正则半群的拟理想纯正断面的结构定理 下面谈到的半群如无特别声明均指正则半群 这部分的主要目的是给出具有拟理想纯正断面的正则半群的结构定理，其 中r 表示具有右理想纯正断面s o 的正则半群，由性质1 2 4 知，r 是纯正半 群r 上的最小的逆半群同余记作盯对任意a r ，r 中包含a 的7 弘类记 作见，包含a 的伊类记作t ( o ) 定义k ( a ) = k ( 6 ) ，如果对任意的o ，b r ， 有见- - - - 局，t ( a ) = t ( 6 ) 在冗上定义关系尼，即如果k ( o ) = k ( 6 ) ，那么 ( a ，b ) 瓦易证瓦是r 上的等价关系 下面给出具有拟理想纯正断面的正则半群的结构定理： 3 第一章正则半群的拟理想纯正断面 定理1 3 1r 是正则半群，s o 是冗的右理想纯正断面，a 是带，e o 是a 的左理想纯正断面，s o 的幂等元集合和e o 一致设 a r s o ( e ，z ) e 木z ， 使得对任意的z ，y r 和任意的e ，a ： ( i ) ( e 宰x ) v = e 木x y 和f ( e 木z ) = y e 木z j ( i i ) 如果z e o 或e e o ，那么e 木z = 凹 在集合 t = r p c l l a c = ( ( k ( z ) ，l e ) 冗咒a c ：( | e t e o ) e 7 已e + c z ) 上定义乘法； ( k ( z ) ，l 。) ( k ( 可) ，三，) = ( k ( x ( e 幸可) ) ，己( 。可) 。，) ， 其中( e 枣可) 。e o 和( e 木可) 。c ( e 木秒) 则t 是具有拟理想纯正断面的正则半群且拟理想纯正断面与| s o 同构 反过来，任意一个具有拟理想纯正断面的正则半群都可用上述方式构建 为了证明定理的第一部分，我们先给出下列引理 引理1 3 1t 的定义和z ，e 的选择无关 证明事实上，对e l c e 和x l k ( z ) ，设z o 是z 和z l 。的逆元，由e + 冗e c e l ， 可知e l ：r e l e + e + 又因为e 0 是a 的左理想，所以e l e + e o 另一方面， 由x o x f x ，x f 。e + 和z o z 冗z o z l ，知x o x e l e + 再由m i l l e r - c l i f f o r d 定理知， x o x l e l e 十z o z l 冗e l e + 令e = e l e + z o z l ，由z l c z o x l ，o e + 冗e l ，则( e 1 ) + e o 和x l c e 冗e 1 所以丁的定义和z ，e 的选择无关 引理1 3 2t 中定义的乘法是完好的 证明首先，证明对任意的( e 宰可) 。l ( e 木y ) ，有( k ( x ( e 木箩) ) ，l ( 。弘) ，) t 事实上，由，+ c y 和( e ：cy ) f + = e 木y f + = ( e 木可) 可知可= y f + ，进而 ( e 幸可) 。r ( e 木y ) 。，+ = ( e 宰可) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 另一方面 x ( e 丰可) c e + ( e 木y ) = ( e 章y ) ( e 丰矽) 。 设( e 木秒) 。，( e 宰秒) 。e o 使得( e 木秒) 。c ( e 宰y ) 。c ( e 宰可) ，则 ( e 木y ) 。j f ( e 木秒) 。， 所以t 中定义的乘法和( e 水秒) 。的选择无关 设 其次，证明t 中定义的乘法和z ，e ，可，f 无关 我们有 和 ( k ( z ) ，三。) = ( k ( x ) ，以) ， ( k ( ) ，l f ) = ( k ( y 7 ) ，己，) ( k ( z ) ，l 。) ( k ( 秒) ，l ) = ( k ( x ( e 奉秒) ) ，己( 。扩) 。，) ( k ( ，) ，l e ) ( k ( y ，) l f , ) = ( k ( ( e 木可，) ) ，l ( c ，。l ，) ，) 最后证明t ( x ( ej i c 箩) ) = t ( e 拳矿) ) 由f + n f l f 可知f 冗，f + l f + 因为蜘( y ) = r s o ( y ) ，从而v s o ( y f f + ) = v s o ( y 川ff + ) 由，f + c ，+ c 可，所以 o ( y ) = v s o ( y 7 厂7 ，+ ) 又由y 7 c ，件n f f + 可知可死可川ff + ，所以根据九一类中 元素的逆元唯一可知y = y f f + 由e + e o ，e + 冗e c e 7 和舫r d 定理可知+ e + c z ，又v 护 o ( z ) ，由+ ，, z z o e ( 冗) ，m z z i l o l 冗e r z - c 和l iel定eele m i l l e r - c l i f f o r d理知，存在z 一1 白( z ) = r s o ( z 7 ) 使得e e + 7 已z 一1 ；对y t t y ，y o 1 白( 秒) n1 【白( 可7 ) ，取8 5 第一章正则半群的拟理想纯正断面 v s o ( e 宰秒，) 则 和 ( e 宰y ) y o y 8 e e + ( e ，i cy ) = ( e 木y ) y o y 7 8 e e + ( e 木秒) ，+ = ( e 乖y ) y o y 7 s ( e 牛秒) z 7 ，+ = ( e 宰y ) 矿矿s ( e 木可) ，7 ，+ = e ( e 宰秒协( e 幸可7 ) ，+ = e ( e ，宰矿) ，+ = ( e 木y ) y o y 8 e 7 e + ( e 木u ) u o y 8 e e + = y o y s ( e 幸y ) s e e + = y o y 8 e e - i - 由y o y 8 e e e + 铲可知y o y s e e + 蜘( e 木秒) ，又由r 是纯正半群，z 一1 v s o ( x ) 和一( e 7 宰y ) = z ( e 水矿) 可o y ，所以 y o y 8 x 一1 v s 。( 名( e 宰芗7 ) ) ，y o y t s e l e + 。一1 = y o y 8 x f y s 。( 。( e 奉秽) ) 因此 o ( 。( e 宰可) ) 1 3k o ( 一( e 木y 1 ) ) 谚， y s o ( z ( e 木可) ) = y s o ( = 7 ( e ，宰y 1 ) ) t ( z ( e 木秒) ) = t ( z ( e 宰可) ) 接下来证明尼( 。，妒) ；也，( 一。l ，) 由引理1 3 1 的证明知，存在z _ 1 v s o ( x ) = v s o ( z ) 使得e ，e + 冗z 一，由 可得 y s o ( x ) = ( z ，) ， b o ( z e e + ) = y s o ( z 7 e e + ) ， v 如( z ) = y s o ( z e e + ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 和 所以有 根据r 是纯正半群可知 e t e + x z i x = z 一1 x ，e ，e + = e ，e + 。( e 奉y ) r 已z ( e 毒秽) ( e 宰影) o z _ 1 = a ， z 7e 木秒) 7 宅z 7e 7 宰y ) s x 一1 = b 取8 v s o ( e 乖秒7 ) ，贝! j ( e 可) o = y o y 8 e e + y s o ( e 木可) 因此b = ( e 丰y ) s x ， 口= z ( e 宰y ) y o y 8 e e + z 一1 = z ( e 宰y 1 ) 8 x 一1 - - x x 一1 z e 7 e + ( e 枣v ) s z 一1 = z z 一1 z ( e ，车y t ) 8 x 一1 - - x ，( e 车y ) s x 一1 = 6 ， 兄( 。| ，) = 助( e ，。矿) ，从而k ( x ( e 宰可) ) = g ( x ，( e 事矿) ) 最后证明l ( e 。可) ，= 三( e ，。矿) ， 因为对任意的y o 蜘( 秒) 有f t 已f + e y r y y o ，所以由m i l l e r - c l i f f o r d 定理 可知存在可- 1 v s o ( y ) 使得f + t z y 取8 【白( e 木可) ，贝0y - l y 7 s e ，e + v s o ( e 幸可) ，l 旷1 y s d e + ( 。耖) ，= l ( e 翟) 。， 进而 y - l y 7 8 e e + e 木v ) f = 箩一1 y 7 s ( e e + e 牛可7 ) ，f + ， = 可一1 可7 s ( e 宰可7 ) ，7 7 第一章正则半群的拟理想纯正断面 由y - t y 7 8 e e + ( e 宰y ) 和 另一方面由于 因此 s ( e 术y 1 ) ，是幂等元，显然有 y - t y s ( e 幸可7 ) ，7 s ( e 木可) ，7 = y - l y s ( e 木可) ， s ( e 枣) ，y 一1 y s ( e 宰y 7 ) ，= s ( e 木掣) ，+ s ( e 7 木箩7 ) ， = s ( e 奉y 件) s ( e 木矿) ， = s ( e 木掣) s ( e 木可) ， = s ( e 幸可) ，7 ， l 暑，一1 | ，s ( e ，。矿) ，= l 。( ! ，) ， l ( 。，) ，= l ( e ，。毫，) ， 引理1 3 3t 是半群 证明设a ，b ，c t ，其中q = ( k ( z ) ，l 。) ，b = ( k ( z 1 ) ，l 。) ，c = ( k ( x 2 ) ，l 。) ，则 ( a b ) c = ( k ( x m ) ，厶n 嘲) ( k ( z 2 ) ，l e ：) = ( k ( z m n ) ，己珏砌) ， 其中m = e 宰x l ，n = ( m 。e 1 ) 书2 ：2 = 仇。( e 1 宰z 2 ) 另一方面 a ( b c ) 三( k ( 名) ，l 。) ( j r ( z l p ) ，l p e 。) = ( k ( x q ) ，l 和舢e ：) ， 其中p = e 1 木x 2 ，q = e 宰x t p 因此 m n = m m 事( e l 木z 2 ) = 仇( e l 宰z 2 ) = ( e 宰z 1 ) ( e 1 木z 2 ) ， q = e 木【z l ( e l 木z 2 ) 】= ( e 宰z 1 ) ( e 1 宰x 2 ) = 竹1 n 8 曲阜师范大学硕士学位论文 显然q , p 。= q 。由于q p 。= q ，因此 扎，e n = m + ( e l 宰x 2 ) m ( e t 木x 2 ) = q c q 。= q , p 。 从而l n 嘲= l 唧e 2 所以( a b ) c = a ( b c ) 引理1 3 4 令 w - - - ( k ( z ) ，l z ) ：z s o ，( z 。e o ) z 。z ) ， 则是t 的纯正子半群且w 同构于s o 证明易证彬是? 的子集 定义 西：s ojw s = ( k ( s ) ，l ，) ( s s o ) ， 其中8 。e o ，c s 易证是完好的对8 ，t s o 有 s 矽缈- - - ( k 0 ) ，厶) ( k ( 亡) ，l t 。) = ( k ( s r ) ，l r 。t ) ， 8 1 = 8 s 。t = s t ， r t ，= r , r t 。- - - r , r c r = s 。t e s t 所以 s t = ( s t ) 即是同态显然是满的 如果s = 缈，那么t ( s ) = 丁( t ) ，忌= 忍，l 。= l t 。，进而t ( s ) = t ( t ) ， s t t t ，根据咒类中元素的逆元唯一，所以8 = t 即驴是单的 9 j s | | 书 辜 s=r 中此其因 第一章正则半群的拟理想纯正断面 引理1 3 5w 是r 的拟理想纯正断面 证明对任意的a = ( k ( z ) ，l 。) t ，取b = ( k ( x o ) ，( 王。) ) w ，其中 z o k 尹( z ) ，贝4 ( k 0 ) ，l e ) ( k ( x o ) ，l ( 一) ) ( k ) ，l 。) = ( k ( z ( e 车z o ) ) ，l ( 。一) ( 一) ) ( ( z ) ，l 。) = ( k ( x e x o ( e z o ) ( z o ) 。z ) ，l ( e x o ) 。( 一) 司e ) 因为e t 已e + x e x o z 和e ，e + ，x o x 是a 的幂等元，所以z o ：t e l e n 鼢z 由m i l l e r - c l i f f o r d 定理知e ：t o x t - l e + ，根据w 一类中幂等元唯一，所以e x o z = e + 又因为e + z 和 所以 【( e x o ) 。( z q ) 。z 】。e e ( e x o ) ( z o ) 。x e c ( e x o ) ( z o ) 。x e = e z o x e = e + e = e ， 同理可证 x e ：t o ( e z o ) 。( z o ) z = x e x o ( 。o ) 。z = ：t e x o z = ：t e + = z ( k 扛o ) ，l ( 扩) ) ( k ( z ) ，三。) ( k ( 。o ) ，( 扩) ) = ( 蜀( 。o ) ，l ( 善。) ) 所以( k ( z o ) ，l ( 王j ) ) ( n ) 当且仅当：t o 。( z ) 从而条件( 1 ) 成立 接下来证明条件( 2 ) 取b = ( k ( x 1 ) ，己( 。) ) w ，其中x l s o ，( x 1 ) 。 e o ，( x 1 ) 。c z l ，则 a b = ( k ( ：t e ：t 1 ) ，( 嘲) ( z 1 ) ) 设a o = ( k ( z o ) ，l ( 零。) 。) y w ( a ) 和6 0 ( z 2 ) 。e o ，( ：t o ) 。c z o ，( z 2 ) 。c ( z 2 ) ，贝4 = ( k ( z 2 ) ，l ( z 2 ) ) v w ( b ) ，其中( z o ) ， b o o o = ( k ( z 2 ) ，三( 毒2 ) 。) ( k ( z o ) ，l ( 一) ) = ( k ( z p ) ，己( 霉沁。) = ( k ( z 桫) ，l ( z 。， 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 因此 6 0 0 0 口6 6 0 0 0 = ( k ( z 2 z o ) ，l ( z 2 z 。) ) ( k ( 。e z l ) ，l ( 。，) 扛1 ) 。) ( k ( x o l x o ) ，l ( 2 z 。) 。) = ( k ( 。妒x e x l ) ，l ( 。p 。) ) ( k ( z 妒) ，l ( 茹。) = ( k ( z 2 扩z e z l z 0 1 ) ，l ( ( z p 獬i ) z 2 一) ( z 。) 由x e x o x = x e + = z ，可知 因此 z 0 = x o x x 0 = x o x e x o x x 0 = x o x e x 0 _ x o x o x e x lx o x o = x o x lx o x o z e z lx o x o z e z o = z ：z o ， x e x l x o x 0 x e x l2z z o z e z l x o x 0 x e x l x o x l2z e x l 即雹z o v s o ( x e x l ) ，所以扩扩a b b o a 0 = 扩8 0 同理可证a b b o a o a b = a b 所 以b o a o 蜥( a 6 ) 同理可证o o b o v w ( 6 0 ) 因此条件( 2 ) 成立，即w 是t 的纯正断面 1 取w i = ( k ( z i