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苎盎堂塑圭兰堡箜圭 苎耋墨坌查堡竖堕些塾竺i 两类差分方程解的收敛性 摘要 差分方程( 或递归序列) 被看作是微分方程及延迟微分方程的离散化和数字 解，在经济学，生物学，计算科学、工程技术等方面有着十分广泛的应用我 们主要研究差分方程的解的最终性态，包括收敛性、周期性，有界性和震动 性等本文主要研究两类非线性差分方程的解的收敛性 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景、发展现状以及与本文相 关的一些已知结果 。 在第二章，我们研究非线性差分方程 一 5 9 n + l = ，( z h l 计l ，4 i 一2 h + 1 ) ，行= 0 ，1 ，2 ， 其中8 ，k ，z 1 ，2 ，) ，g c d ( 2 k ， ) = 1 ，初始值z 。一l ，x 0 ( 0 ，+ o 。) ( o = m a x i s 一1 ，2 k s 一1 ) 给出了该方程的每一个正解收敛于2 s 周期解的一个 充分条件 ， c 在第三章，我们考虑非线性差分方程 。 一j e - l + 1 = = ，( p n ，z 。m ，：一t ( 膏+ 1 ) + 1 ) ， n = 0 ，1 ，2 ， 其中m o ，1 ，2 ，) ，0 s 仇 l 时，方程( 1 4 ) 的每个正解收敛于2 广西大学硕士学位论文 、 两类差分方程解的收敛性3 周期解 此后，p a p a s c h i n o p o u l o s 和s c h l n a s 在文献 2 4 】中推广了这个结果，得到了 定理e 考虑差分方程 x t - i = p n + 竽，n = 0 1 7 1 ， ( 1 5 ) 一n 其中k 1 ，2 ， 罂。是周期为k + 1 的正数序列则当肌 1 时，方程( 1 5 ) 的 每个正解收敛于k - b 1 周期解， 。 在本文的第三章，我们将推广这两个定理的结果，得到了下面的 一 t f 定理3 3 考虑差分方程 ： * x n 4 - 1 = ，( 砌，：b i 仇，：一t 非+ 1 ) + 1 ) ，礼= 0 ，1 ，2 ，。 其中m o ，1 ，2 ，) ，0 m d ，g ( 9 p ) ) = z 且z = ，扫，；， ( i i ) h 轧一一9 ( 。) = + o o 且l i 吼一佃g ( 。) = a 。 。 p ， t 本章的主要结果如下t 。 定理2 1 方程( 2 1 ) 的每一个正解都收敛于加( 未必是基本) 周期解 。 。 不妨设z 2 k 的情形可类似讨论) ，则 “，2 1 ，3 1 ，2 k l = o ，1 ，2 ，2 一1 m o d2 k ， 并且方程( 2 1 ) 可以变为。 1 z 埘+ 仆l = ，( o 帕+ 一l 1 ，z 肿“一2 k _ + 1 ) ，0 t 8 1 ，n = 0 ，1 ，2 ，( 2 2 ) 引理2 1 设 ) 器一。是方程( 2 1 ) 的任一正解，则存在l ( 口，+ o o ) 使得对任 站1 都有l g ( n ) 并且对每一个0 i 8 1 ，记l i m s u p x n 。- t - = 尬， l i m i n f $ 。“= 帆，都有坛= 9 ( 砚) 且佻= 9 ( m ) 。 1 证明由( h - ) 和( h 2 ) 可知 x i = ，( 如一1 ，戤一2 b $ ) ，( 甄“+ 1 ，以一2 k 。) a对任意1 s n + 1 从而存在l ( 口，+ o o ) ，使得l g ( l ) 且 r l 甄9 ( l ) ， 1 i 口+ 1 ；( 2 3 ) 。 由( 2 3 ) 及( 3 ) 可知 。 一 。 。g ( l ) = ，( 厶g ( l ) ) + 2 = ，( z 。+ 2 山，。+ 2 一) ，( 9 ( d ，l ) = l 广西大学硕士学位论文 两类差分方程解的收敛性6 使用归纳法，可以证明；对任意的n 1 ，有l x n g ( l ) 对每个0 l 8 1 ，记 j i m s u p z w “2 以，l i r a i n f x n s + = m i ， 则存在a ，b ，a ，d l 【m l ，m 】，和序列吃1 畦1 ，使得 。堕乳m 2 m ， 。坠b z 伽十卜b2a ，。堕乳觑绀一2 k s2b l 和 。坚k 强。4 - 2 帆，。堕乳z 咖i , 4 - a2 瓯。坚x 嵋a + 一2 k , s = 皿 。因此由( 2 1 ) ，( h a ) 和( b ) ，可得 ” i ，( g ( m j ，m ) = 尬= ，( a ，且) ，( m t ，尬) ， 一 ” i ，0 ( 盹) ，m 。) = 佻= ，鼢，口) ，( 尬，帆) ， 从而9 ( m ) 豫且口( 佩) 尬由( 凰) ，我们有 讹= g c g c n k ) ) 9 ( 尬) ，舰= g ( 9 ( ( m ) ) g ( m j 因此，尬= g ( 盹) 且佻= g ( m ) 一 引理2 1 得证 t 定理2 1 的证明设 z 。 黯一。是方程( 2 1 ) 的任正解由引理2 1 知，对任意的 0 l 8 1 ，我们有 一 a l i m i n f 品 州= m i = 9 ( 尬) sl i r a s u p 而 “= 尬 + o 。 显然，由引理1 及( 地) 可以知道每个序列 l o ，l l ，l p l ，g ( l o ) ，g c l l _ ) ，g ( 厶一1 ) ，l o ，l t ，l ，一l ，； 都是是方程( 2 1 ) 的个2 8 周期解，其中厶 坛，m l ( 对0 is8 一1 ) 当 = 0 时，通过取子序列。不妨设存在k 2 k l - t - 1 使得 。 ：= ：厶x ( t 。- 。j ) 兰锱el q ( 舢二| i 对川2 ，2 k o i ( 2 4 )。 【l i l 一* 。= 4山) ，山1 ，对j 1 ， 、 由( 2 1 ) ，( 2 4 ) 及m ) ，( b ) ，可得 - ，( 9 ( a o ) ，山) = 山= ，( a ，a 驰) ，( 9 ( 山) ，山) ， 因此。 a = g ( 山) ，以啦= a o 同理可得 ” + j ，0 ( a o ) ，a o ) = a o = a 2 k = ，( a 锗卅，a 他) 冬，( g ( a o ) ，a o ) ， ，【，( 山，g ( a o ) ) = g ( a o ) = a t = ，( 如，a t + 2 k ) ，( 山，9 ( 山) ) 鱼叁堂塑堂垒堕墨堕叁墨坌查堡壁塑墼塾竺7 。 从而 a 船= a 2 k = a 2 l = a o ，a 2 k + l = a l = 9 ( 4 0 ) 使用归纳法，我们可以证明； f 2 k = 山， j ( 1 ，2 ，j ， 净吲a o ) ，j 照3 ，：1 1 - 1 ， ( 2 5 ) ia j l = a o ， j t o ，2 ，2 耐， 、 i a j l - h 2 k = f ，j o ，1 ，2 h ， o ，1 ，j ) 且+ t 2 2 k 1 因对任意的i o ，l ，2 ，3 ，2 k 一1 ) ，都存在五 0 ，1 ，2 ，3 ，2 k 一1 ) 和a + o ，1 ，l 一1 ，使得= 2 锄+ ，由( 2 5 ) 可得 、 蛳t ，+ 咄- = 氛) ，篙e 0 3 ，, 2 , 4 , m - , 2 - 1 k - 2 k 且 ， ， ju i n ，卜，z ( t ，l 一2 k o 一1 ) - i ) 。= a o ， j o ，2 ，2 南 ， ， iu m ”。q “一2 k ( 1 一1 ) 一，扣= g c a o ) ，j 1 ，3 ，2 k 一1 因此对任意的0 e a o 一8 ，都存在幻4 k l 使得 ja o s 岔( 蛔一铀。一1 ) - 3 ) a a o + 岛 j o ，2 ，2 后) ， i g ( a o + ) ：r ( t a 一2 k ( i 一1 ) 1 p a o e ，茁( 妇一2 膏。一1 ) + 2 n + 1 p o ) 容易验证方程( 2 1 0 ) 满足条件( h i ) 一( b ) 由定理2 1 知，方程( 2 1 0 ) 的每个正解收敛 于2 s ( 未必是基本) 周期解 注2 1 对于方程( 1 2 ) ，如果取m + 1 = s k ，2 r + 1 = s l ，就可以转化为方程( 2 1 0 ) 。例2 2 考虑差分方程一 7 x n + l = 1 + = x n - 2 k s 一+ l ，竹= o ，1 ， ( 2 1 1 ) 山n l + 1 其中8 ，z 1 ，2 ，g c d ( 2 k ，d = 1 ，且初始值z 一。，霉一。+ 1 ，知( 0 ，+ o 。) ( 口= m a x 1 8 1 ，2 k s 一1 ) ) 取e = ( 0 ，+ o o ) ，定义 m ，) = 1 + 量o o ，口 o ) ，g ( ) 2 者扛 1 ) 容易验证方程( 2 1 1 ) 满足条件( h 1 ) 一( h a ) 由定理2 1 知；方程( 2 1 1 ) 的每一个正解收 敛于2 s ( 未必是基本) 周期解 ， 注2 2 取方程( 2 1 1 ) 中的= i ，f = 2 r + 1 就变为方程( 1 3 ) 例2 3 考虑差分方程 1 ：p + 尘擘业，n ：o ，1 ，( 2 1 2 ) 一 q 1 - x n - “+ l 其中8 ，矗l 1 ，2 ， ，g c d ( 2 k ，f ) = 1 ，初始值善一。，霉一口+ l ，x o ( 0 ，+ ) ， = m a x i s 一1 ，2 k s 一1 ) ) ，a ( 0 ，+ o 。) ，p q 【o ，1 】且p + 口= 1 如果p 0 ，取 e = ( 0 ，+ o 。) ；如果p = o ，取e = 【0 ，+ o 。) 定义 ，m - - p + 笨，9 ( 加百p q + p x + a ( 2 力， 则口= 甜扛口) e 。e ，( ，y ) = p 容易验证方程( 2 1 2 ) 满足条件( 1 ) 一( 。) 由定理2 1 知：方程( 2 1 2 ) 的每一个正解收敛于2 s ( 未必是基本) 周期解) 望叁竺塑圭垩垒丝圭苎耋墨坌杰堡箜壁些墼丝9 第三章差分方程+ 。= ，钒，一。，叫) + 。) 的解的收敛性 3 1 方程l = ，一。，一1 ) + 1 ) 的解的收敛性 首先我们考虑非线性差分方程 x n + 1 = ，( 肼i ，z n m ，2 ：n - t ( k + 1 ) + 1 ) ，扎= 0 ，1 ，2 ，( 3 1 ) 其中m 0 ，1 ，2 ， ，0 m b p , 一1 ，玩一1 。+ l ，玩) 皿 ，p t e 断言1 ，慨一1 ，a l 。，啦) f f p , - 1 ，a “一。，o t ) 断言1 得证 。， 断言2 对任意0 i s 和竹0 ，有 ( i ) 若x n ( k - k 1 ) - t sa ，则善扣+ ) ( l 卅sa ； ( 2 ) 若z n ( k + 1 ) “ a t ，则z 加“) ( k + 1 ) “簖“k + 1 ) + i 断言2 的证明对每个0 isk 和n 0 ，如果z n ( k + 1 ) + a ，由( 玩) 一( 上b ) 可 知 z ( n + t ) ( 膏+ 1 ) + t ：= ，0 、一l ，z ( n + t ) ( “1 ) + l l - m , z n 恤+ 1 ) + 。) 舒 ，( 肌一i ，吼一l - m , a ：n ( k + l l “) ，慨一1 ，啦一1 一。，a ) = a 如果( k + 1 a ，由( 研) 一( 甄) 可知t z ( 叶”( k + 1 ) + i ：，q h 一1 ，茹( n + t ) ( 知+ 1 ) + 一1 一m ，x n ( k - i - 1 ) + i ) ，慨一1 ，m 1 一m ，x n ( k + d + ) 一 = 监鼍x n 葚l k 4 - 窘1 趟坝m 、“ 、 丛生尝 = 掣z 州m 。z n ( k + 1 ) + i 断言2 得证。 1 断言3 对每个0 自，都存在腿，使得当n 胍时，x n ( k + 1 州a 、 断言3 的证明用反证法假设对某个0 膏，断言3 不成立由断言2 知， 存在自然数p ，使得对每个如1 ，总有 ， ， z ( 卧耐) ( 1 ) “。( n + 1 ) t ) ( 膏+ 1 ) 卅 a 不妨设l i 驰。+ ( 叶，i t ) ( + 1 m = 鼠，显然b i 之a 、 由断言2 知 。m ) ( + i ) 4 , - 1 一。 嘉骂有界，于是我们可以设 l i r a s u p z ( 卅_ f i ) ( 1 ) + 扣l m = g l m 且 i 三。m t ) ( k + 1 ) + _ t - - l - - m2 c i - l - m ， 这样，我们对z m t ) ( + 1 ) 如= ，慨- l ，茁( 升m o ( k + 1 ) + z - 1 一m ，茁加+ ( 1 t ) ( k - f 1 ) + i ) 两边取极限， 可得； 且= ，慨一1 ，g 1 。，鼠) ，慨一1 ，啦 1 。，鼠) ：f ( 一i - 1 , 1 0 , , ：- - 1 - m 一, b , ) 且e b i 一 丝生等塑盥鼠：且 一 a 。 从而c ；一1 m = 口i 一1 一m ，辰口l i m l + z ( p + 川t ) ( 知+ 1 ) + 。一l l = o 一1 一m 类似地 z ( 州) ( 1 ) “一2 一撕) 。+ = 0 0 0 也有界，设 ， l i m 8 u p ( 舛叫( 1 ) “一2 2 ，l = g 一2 2 m 卜十 一 且 ”里毕k z ”。t ) 阱1 ) “一2 一籼2a 一2 一拥， 对$ h o ( h 1 ) “一1 - m = ，缸一2 一m ，。( 舛n t ) ( + 1 ) + l - 2 2 f ，i ，似一1 ) t ) ( + 1 ) 州一1 一m ) 两边取极 限，得 一一 o i 一1 。= ，慨一2 一。，q - 2 一。，啦一1 。) ，慨2 一竹”a 一2 2 。+ 1 ，啦一1 一。) 吼一l m ， 显然矛盾 j 断言3 得证 。 “由断言3 ，取v = m a x 0 ，l ， k + ( t + 1 ) ) 2 ，则当n v 时，对每个 0s 女都有 ， 7 。 ，慨一1 ，a 一1 一。，吼) sz n ( k + 1 ) 4 4 a 定理3 1 得证 定理3 2 对每个0 l k 及整数j ，记j ： = 【r m ，尬l 且易( 女+ l m = 厶如果 c ( 五一。一1 五，) 满足 。 t ) ( 让，”) 关于t 递减，关于口递增 ， 。 广西大学硕士学位论文 。 两类差分方程解的收敛性1 2 程 ( l 2 ) 如果 d t ) 老竺。和 d | 圭竺。是+ 1 周期序列，并且五，d t 满足以下方 d o = ，o ( d 一1 一。，d o ) d x = ( d 一。，d 1 ) ， d k = ( 以一1 一。，d k ) d 0 = f o ( d 一1 。，d o ) ， d l = 厂1 ( d 一。，d 1 ) ， 。， 蟊= ( d k l 一。，呶) ， 一 则对每个0 i s t 都有西= n 那么，系统 。 一一 ， lx n ( a + 1 ) 2 南( z ”( 女+ 1 ) 一m l ，x ( n t ) ( k 1 ) ) ， 妨啦+ 1 ) + 1 5 ( 晶啦+ 1 ) m ，。( 忭一目伪+ 1 ) + 1 ) ， n ：o ，t ，2 j 1 ”一j l ， j i 忙+ 1 ) + 知= ( ( 奄+ 1 ) + 知一1 - m , x ( n t ) ( k + 1 ) + k ) ， 9 有唯一的平衡点，而，瓢) ，并且对任意的以勋( 1 ) 州五( 其中1 is + 1 ，一t ，z 一1 ) 为初始值的解 z n ) 。- f o o t ( + 1 ) + 1 都收敛于( 巯，z 1 ，瓦) 证明对每个0 t 七及任意的整数j ，记 臻k + 1 ) 钾= 聊= m ，仇；忙+ 1 ) “= m ? = m i 、 女 对任意的正整数我们定义7 。一 。 ， 口一，i ( m n - 1 1 一。， 贸一1 ) ，m ? = 7 k ，z “- 一1 1 - m ，m ? 一1 ) 并且记峻l 卅= 蚜，峭k + l h = 孵 + 由( l 1 ) 知，对任意的0 s i 后，都有 m i = m o 砖= ( 朋0 l 一，m = 0 ) 工( m i l 一，峭) = 懈s m , o ， 和， * ， m ：= 工( 雌。一。，m 。0 ) s 五( 让；。，m ：) = m 2， 。 , ( m l 。一，膨) = 膨s ，i ( m e l 一，聊) = 埘： ， ， f 使用归纳法可以证明t 、 。一 仉= m o t 珥1 m 2 m ? 肘s s 蟛 霉 p = 觚 ( 3 2 ) 。， ， 曼叁芏塑主堂堡堕圭 堕叁墨坌查墨壁箜些塾垦1 3 不妨设 。埘2 轧。蛾埠= n 由x l ( k + 1 ) + i 【砚， 磊】( 其中1s k + 1 ，一t z 一1 ) ，可知； m 1 1 = ，i ( 让1 一。，m 0 。) 矗= 工( z 。一。一1 ，z 一t ( + 1 ) ) , ( m 0 1 一。，j l 砰) = 埘 使用归纳法，可以证明：对n = 0 ，1 ，2 ，都有 。 ，7 l ? + 1 x n ( k + 1 ) + i 譬+ 1 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 对每个0 s i k 及整数j ，我们记由( 1 h = d t ，d j ( l m = b ，由( 3 2 ) ，( 3 3 ) 及工的连续性可得t d o = i o ( d _ l 一。，风) ， d 1 = ( d 一。，d 1 ) ， - ， d k = ( 如一1 。，d k ) ， d o = i o ( d l 一。，d o ) ， d l = ( d ，。，d 1 ) ， d k = ( d k l m 毗) d 由( l 2 ) 及( 3 4 ) 可知t 磊= d l = - t ，从而l i r a , 。+ 。z 。( l m = 玩 定理3 2 得证t、 口 由定理3 1 和定理3 2 可以得到， ” 定理3 3 如果方程( 3 1 ) 满足( 玩) 一( 凰) 并且满足 ， ( 风) 系统 - d o = l ( p - 1 ，d l 。，i ) 0 ) ， d 1 = ，( p 0 ，d 一。，d 1 ) ， 。 月 ， ， - d k = ，( 孤一1 ，呶一1 。，d ) ， d o = ，一l ，d l 一。，d o ) ， d l = ，( p o ，d 一。，d 1 ) ， 以= ，( 孤一1 ，d k l ，呔) 有唯一的正解最= 皿= 玩( 其中0si 曼七，并且规定对每个0 i 及整数j 都有 呜( k + 1 ) “= d l ，d ，伪+ 1 ) “= d 1 ) ， - ， f 量叁兰塑兰垒堡墨 璺壅差坌空堡苎塑些丝垦1 4 则方程( 3 4 ) 的每一个正解都收敛于k + 1 周期解矾，矾，0 ，矾，矾，0 3 2 例子 下面给出定理3 3 的几个应用 例3 1 考虑差分方程 撕= + 警，礼叫1 j 2 ， ( 3 5 ) 其中m o ，l ，2 ， ，0 s m 1 时，方程( 3 5 ) 的 每一个正解收敛于它的唯一的k + 1 周期解 证明 取e = ( o ，+ o 。) 容易验证方程( 3 5 ) 满足条件( 风) 一( 风) 下面验证方程 ( 3 5 ) 满足条件( 风) 和( 凰) 对每个0 i k 及每个整数j ，记 岛佧+ 1 h i = a ，巩( 1 ) - w = 矾 l 跏2 p - 1 + 皿y - l - m ， jy i 2 舶+ 盘， l 【挑2 m l + 忐 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 协5 必y a - ( m + 1 ) - - 1 ( 3 8 ) 设a i = 1 ，对任自然数扎22 ，设钡= 以一l 功一l 一加一1 ) ( 。+ 1 ) + ( 一1 ) 一l ，容易验证对任自 然数n 兰1 都有群 0 。 t 由( 3 8 ) 知；对每个整数j ，我们有 。：丝= ! 堡二! = 世1 2 ：塾= ! = ! 壁! ! 丝= 垡! ! 鲤! ! ! 。a + 1 幻一( 1 ) ( m + 1 ) + ( 一1 ) + 1 ：丝二! 堡= ! = q 竺! ! ：丝= ! = ! ! ! ! 1 2 丝 a i + l 珊+ ( 1 ) “。 所以系统( 3 7 ) 有唯一的正解 玢= 丝鲢型竖芋型型丛型，j 钮1 ，岛 n k + l ， 即方程( 3 5 ) 满足条件( z 毛) 广西大学硕士学位论文两类差分方程解的收敛性1 5 对每个0 i k 及每个整数j ，记 考虑方程组 d ，( k + 1 ) + l = 面，岛( 抖1 ) + ，= d ， ( 3 9 ) 风= 皿l + 老， d l = p 0 + 是， 乡确一j + # ， ( 3 1 0 ) d 0 = p 一1 + 硭焉， 、。 噍= 如+ 盎， “。 。- 矾= m l + 彘 由( 3 9 ) 一l f 3 1 0 ) 知：对每个整数j ，我们有 ；4 易= 舞p j _ l ，嘞= 易= 拦鼍与p j l ，嘞=盎黔聃 岛一( 卅1 ) 一1 ”1 即 岛= 蘸老著躲西= 芒等等躲暇， 由( 3 1 l ，) 知t 对每个整数j ，我们有 t 且 d ，= = p j - i p j - i ，- ( t a + i ，) p j - l - ( 2 k a r l ) ( m + 1 ) d j 。他+ 2 b + l 电，z = 型出薏蠹篆等烨 ：旦= ! 堕= ! = q 生! ! ：旦= ! = ! ! ! 1 2 q 壁1 2 尘 t - 鸽k + 2 由+ 1 所以系统( 3 1 0 ) 有唯一的正解 d i = d j = 再3 = = 垫= ! = f 世1 2 ：旦= ! = 坚! 型盟! ) 二! 心+ 2 ，j = 0 ，1 ，k 即方程( 3 5 ) 满足条件( 日6 ) 。， 由定理3 3 知t 方程( 3 5 ) 的每个正解收敛于它的唯一的k + l 周期解矾，玑，- 0 ， 孔，鲰 珈 、， “ 、 注3 1 ：取m = o ，t = 1 即得文献【2 0 】的结论 广西大学硕士学位论文 i * 两类差分方程解的收敛性1 6 例3 2 ：考虑差分方程 ” z 。+ 1 ：q + x _ n - t ( k 一+ 1 ) + l ( 3 1 2 ) 砌十x n - - m 其中m o ，1 ，2 ， ，0sm i 时，方程( 3 1 2 ) 每 一个正解收敛于唯一的+ 1 周期解 证明： 取e = 【0 ，+ o o ) 容易验证方程( 3 1 2 ) 满足条件( 日1 ) 一( 三h ) 下面验证方 程( 3 1 2 ) 满足条件( z 乇) 和( 风) - ， ， 对每个0 l s 及每个整数j ，记 一 易( 七+ 1 ) “= a 的( 膏+ 1 ) “= 玑 考虑系统 1- 、f 珈= 且p - l + y - l - m ， ，。 。 j ，2 怒， ”，t 。，【弛= 血p k - - l + p k - - 1l k - - l - m 。 、一 由( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 可知t 对每个整数j ， 协。云i i q 面， 设易= 岛一1 1 0 ，耐= q ，6 i = o ，c i = 岛，d i = 1 对任自然数”芝2 ，记 、 。 ” 。 f 西= 0 ，一l 马一加- 1 ) ( 1 + f ，i ) + 6 0 l 吼4 。4- r j 酩= 以一- ， 。 一 。 l 曝= 最一l 马- ( n - 1 ) ( 1 删+ 兹一l q ， 乙 l 呶= 一- 容易验证，对任自然数n 之2 都有 0 ，罐 0 ，醴 0 ，破 0 由( 3 1 5 ) 知t 对任意整数j ，我们有4 幻= 譬址嘎吾巫，删， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ， _ 曼叁堂塑主兰垒堕墨； 璺耋差坌空堡墅丝些塾垦1 7 一 1 即方程( 3 1 2 ) 满足条件( 风) 对每个0 i 及每个整数j ，记 协( 1 ) h = 执，巧( k + 1 ) + i = k ( 3 1 6 ) 考虑方程组 = 商岽 v l = 者羔， 砭= 菇蔫 y o2 p j 1 + y 赴_ - s - , n 1 2p j k + 虹y - m ，1 ，。 珊2 p t - t + 出y k l - l - m 由( 3 1 6 ) 一( 3 1 7 ) 知；对每个整数j ，我们有 协2 云i 可瓦 口 协= 面+ 睨驰( 一。) 卅 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 一 畦+ 砚+ 1 抛m ) 钾 由( 3 1 8 ) 知t 对每个整数j ，我们有 k = 筹凳兰 协= 爱卷蓑篇= ：亟坦生生丝 。 岛k + 2 + 堤b + 2 弘 巧= 舞氇溉 所以系统( 3 1 7 ) 有唯一的正解 匾k + 2 + 睨k + 2 k 去+ 2 + 瓯+ 2 b y j = y , = 虹竽呜手巫小叭，后 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 18 ，) 即方程( 3 1 2 ) 满足条件( 凰) 由定理3 3 知；方程( 3 ，1 2 ) 的每个正解收敛于它的唯一的k + l 周期解矾，巩，乳 一蜘； 一如、 一 。 玩 广西大学硕士学位论文两类差分方程解的收敛性- 1 8 参考文献 【1 】1 现代数学手册( 经典数学卷引言) 华中科技大学主编，华中科技大学出版社 【2 】数学建模导论( 第五章差分方程模型) 陈理荣主编，北京邮电大学出版社 【3 】数学模型谭永基，蔡志杰编著，复旦大学出版社 【4 】差分方程和常微分方程阮炯编著，复旦大学数学系主编，复旦大学出版社 【5 】w t p a t u l a ，a n dh d v o u l o v ，o nt h eo s c i l l a t i o na n dp e r i o d i cc h a r a c t e r o fat h i r do r d e rr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 1 ( 2 0 0 3 ) ，9 0 5 - 9 0 9 。 【6 】t a i x i a n gs u na n dh o n g j i a nx i ，o nt h ep e r i o d i cc h a r a c t e ro fp o s i t i v e8 0 - l u t i o n so ft h ed i f f e r e n c ee q r a t i o nz n + 1 = ，( z ，z n 一 ) ，c o m p m a t h a p p l ， i np r e s s 。 【7 1m r s k u l e n o v i 6a n dg l a d e s ，d y n a m i c so ft h es e c o n do r d e rr a t i o n a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t ho p e np r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s c h a p m a n 一h a l l c r c b o c ar a t o nl o n d o nn e wy o r kw a s h i n g t o n ，d c 2 0 0 2 【8 】e c a m o u z i s ，c h q i b b o n sa n dg l a d a s ，o np e r i o d - t w oc o n v e r g e n c ei n r a t i o n a le q u a t o o n s ，j d i f f e q u a a p p l 9 ( 2 0 0 3 ) ，5 3 5 - 5 4 0 【9 】e c h a t t e r j e e ，e a g r o v ea n dg l a d a s ，o nt h et r i c h o t o m yc h a r a c t e ro f 2 计l = ( a + ，y 岛。一o ( a + b x 。+ z n 一2 ) ，j d i f f e q u a a p p l 9 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 1 3 - 1 1 2 8 【1 0 e c a m o u z i s ，g l a d e sa n dh d v u o l o v ，o nt h ed y n a m i c so fz 卅l = ( o l + 7 舀。一1 + 缸。一2 ) ( a + x n - - 2 ) ，j d i 疗e q u a a p p l 9 ( 2 0 0 3 ) ，7 3 1 7 3 8 【1 1 g l a d 硒，o nt h et h i r d - o r d e rr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q r a t i o n s p a r t1 j d i f f e q u a a p p l 1 0 ( 2 0 0 4 ) ，8 6 9 - 8 7 9 1 1 2 】e c a m o u z i s ，g l a d e sa n de p q u i n n ，o nt h et h i r d - o r d e rr a t i o n a ld i f f e r - e n c ee q u a t i o n sp a r t2 ，j d i f f e q u a a p p l 1 0 ( 2 0 0 4 ) ，1 0 4 1 1 0 4 7 【1 3 e c a m o u z i s ，g l a d e sa n de p q u i n n ，o nt h et h i r d - o r d e rr a t i o n a ld i f f e r - e n c ee q u a t i o n sp a r t3 ，j d i f f e q u a a p p l 1 2 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 1 9 - 1 1 2 7 【1 4 y o n g h o n gf a n ，l i n l i nw a n g a n dw a n t o n gl i ，g l o b a lb e h a v i o ro fa h i g h e r 。 o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，j m a t h a n a l a p p l 2 9 9 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 3 - 】2 6 。 ， ， 广西大学硕士学位论文两类差分方程解的收敛性1 9 【1 5 1t a i x i a n gs u na n dh o n g j i a nx i ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h en o n - l i n e a rd i f f e r e n c ee q r a t i o n 霉f l 十l = ，( z n ，善n k ) ，t oa p p e a r 【1 6 t a i x i a n gs u na n dh o n g j i a nx i ，g l o b a lb e h a v i o ro ft h en o n l i n e a rd i f f e r - e n c ee q r a t i o n 墨i + l = ，( z n 一。，薪l 一) ，j m a t h a n a l a p p i 1 ( 2 0 0 5 ) ，1 - 6 【1 7 】r d e v a u l t ，c k e n ta n dw k o s m a l a ，o nt h er e c u r s i v es e