（逻辑学专业论文）悖论与数理逻辑的发展探析.pdf

中文摘要 ， f 两千多年来，悖论一直是倍受逻辑学家关注的热点话磁。在西方逻辑史上， 营鸯避三次悸论研究躲衰潮，尤其怒罗素饽论所弓l 发鲍第三次赢潮，直接健进了 数理逻辑的形成和发展。这是因为罗素悖论的出现造成数学基础的危机，在循着 妇秘熊除蜉谂蕊思爨遴行数学基礁鞭究掰取褥成果黪基础上，数理逻辑中相继出 现了三个划时代的成就，从而推动了数理逻辑的主簧分支“四论”的产生和发展。y 本文分三部分对搏谂与数理逻辑豹美系遴孬歹擦霹，具终内容躲下： 。 第一部分主要论述了罗索悖论的出现及其影响。并对罗索悖论为何会造成数 学鏊斌瓣危凝遴纷了其葵分辨。 篇= 部分着重论述悖论是如何促进了数理逻辑的形成和发展。本文对这个问 爨簸三令方獬进程了分辑：( 一) 搏论与数溅逻辑三大学派豹关系：荚孛对罗素翡 类型论进行了重点分析，并加入自融的思考。同时，对悖论如何促进直觉擞义和 形式主义学澈豹形袋氆进行了探讨。( 二) 搏论与数疆逻辑三犬成就豹关系：其中 以悖论与哥德尔不完全性定理的关系为重点，从悖论对哥德尔不完全性定理产生、 构造及证弱过程豹影响迸行了论证，并尝试徽一些符号亿等技术经酌工作。诧外， 本文还对悖论与塔尔斯基的语义学和图灵机理论的关系进行了分析和研究。( - - ) 论诚了悖论农数理逻辑的主器分支“四论”韵形成和发展中的作用。其中爨点分 析了公理化集合论，指出：它是为瓣决悖论问题而产生盼，也是目前解决集合论 悖论闯题最好的方案。另外，数理逻辑的其它三个分支邵诞翡论、递归论、和模 型论也都是在研究悖论闯题中逐渐形成和发展鲍。 第三部分论述农探析悖论与数理逻辑的关系中所得到的意义和肩示：只要我 们把形式化瓣方法和越学性的分柝缕会起来，用辩诞的鼹点看闻题，用系线的方 法研究问题，悖论不但可以得到相对的解决，而且在解决悖论的过粳中会引出一 系列豹重丈发现。 美键遢：搏谂数学基殛数理逻辑 a b s t r a c t p a r a d o xh a sa l w a y sb e e nt h ec e n t r a lt o p i co ft h el o g i c i a n sf o ro v e r2 0 0 0y e a r s t h e r eh a db e e nt h r e ec l i m a x e si ni n v e s t i g a t i n gp a r a d o xi nt h el o g i c a lh i s t o r yo f t h ew e s t f e s p e c i a l l yt h ea p p e a r a n c eo f r u s e l l sp a r a d o xl e a d st ot h et h i r dc l i m a xo ft h er e s e a r c h i n t ot h ep a r a d o x ，w h i c hh a sd i r e c t l ya c c e l e r a t e dt h ef o r m a t i o na n dd e v e l o p m e n to f m a t h e m a t i c a l l o g i c 1 1 l ea p p e a r a n c e o fr u s s e l l s p a r a d o x c a u s e st h ec r i s i so f m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n 。a l o n gt h et h i n k i n gw a yh o ww ec a nd i s s o l v ep a r a d o xa n do n t h eb a s i so fr e s e a r c h e si n t ot h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n ，t h e r ea r et h r e ee p o c h m a k i n g a c h i e v e m e n t so fm a t h e m a t i c a ll o g i cc o m i n gi n t ov i e wi ns u c c e s s i o n ，w h i c ha c c e l e r a t e s t h e g e n e r a t i o na n dd e v e l o p m e n to ff o u rt h e o r i e s - - - m a i nb r a n c h e so fm a t h e m a t i c a l l o g i c 。强i sp a p e rp r o b e si n t ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np a r a d o xa n dm a t h e m a t i c a ll o g i c 。 i tc o n s i s t so f t h r e e p a r t s ，w h o s e c o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： t h ef i r s tp a r tm a k e sam a i ni n t r o d u c t i o nt ot h ea p p e a r a n c eo f r u s s e l l sp a r a d o x ，i t s i n f l u e n c e ，a n da n a l y z e sh o wt h er u s s e l l sp a r a d o xc a u s e st h ec r i s i so f m a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o n t h es e c o n dp a r tm a k e st h ec o r eo ft h ee s s a y , w h i c hi sc o n t r i b u t e dt oh o wt h e p a r a d o xa c c e l e r a t e st h ef o r m a t i o n a n dd e v e l o p m e n to f m a t h e m a t i c a ll o g i c i tf a l l si n t o3 s e c t i o n s ：t h ef i r s ts e c t i o ni sc o n c e r n e dw i t hp a r a d o xa n dt h r e es c h o o l so f t h o u g h t 。i t p u t se m p h a s i so n t h ea n a l y s i so fr u s s e l l st h e o r yo f t y p e s a n df o l l o w sw i m t h ea u t h o r t h o u g h ta b o u t 遣a t t h es a n l et i m e ，t h i ss e c t i o na n a l y z e sh o wt h e p a r a d o xp r o m o t e st h e f o r m a t i o no ft h es c h o o io fi n t u i t i o n i s ma n do ff o r m a l i s m t h es e c o n ds e c t i o ni sa b o u t p a r a d o x a n dt h r e e m a j o ra c h i e v e m e n t s o fm a t h e m a t i c a l l o g i c 。i t c e n t e r so nt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ng o d e l si n c o m p l e t e n e s st h e o r e ma n dt h ep a r a d o x t h ea u t h o r e x p o u n d st h ei n f l u e n c e sw h i c hp a r a d o xe x e r t so no o d e l si n c o m p l e t e n e s st h e o r e m s g e n e r 艄i n g ，c o n s t r u c t i n g ，a n dt h ep r o c e s so f p r o o a n d t r i e sd o i n gs o m et e c h n i c a lw o r k ， s u c ha ss y m b o l i z i n g ，e t c ，a sw e l l 。i na d d i t i o n ，t h ea u t h o ra n a l y z e sa n ds t u d i e st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e np a r a d o xa n dt a g s k i ss e n a n t i c sa n dt h e o r yo f l u t i n gm a c h i n e 1 | t h et h i r ds e c t i o nd e a l sw i t ht h ep a r a d o xa sw e l la st h ef o r m a t i o na n dd e v e l o p m e n t o f f o l l rt h e o t i e s m a i nb r a n c ho fm a t h e m a t i c a ll o g i c i t c o n c e n t r a t e so nt h e o r yo f a x i o m a t i cs e t s ，w h i c hc a 3 m e si n t ob e i n gw i t ht h er e s o l u t i o nt ot h ep r o b l e m o f p a r a d o x ， a n ds od ot h e o r yo fr e c u r s i v e ，t h e o r yo fp r o o fa n dt h e o r yo fm o d e l a tp r e s e n t ，t h e w a yo f t h e o r y o f a x i o m a t i cs e t si st h eb e s to n et od i s s o l v et h ep a r a d o x t h et h i r dp a r tt o u c h e su p o nt h ee n l i g h t e n m e n t sg a i n e df r o mt h es t u d yo nt h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e np a r a d o xa n dm a t h e m a t i c a ll o g i co nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n p a r a d o xa n dm a t h e m a t i c a ll o g i c w h i c ha r et h ef o l l o w i n g ：s ol o n ga sw e c o m b i n et h e w a y o ff o r m a l i z a t i o nw i t ht h ep h i l o s o p h i z i n ga n a l y s i s ，l o o ka tt h i n g sd i a l e c t i c a l l y , a n d d e a lw i t h t h i n g ss y s t e m a t i c a l l y , n o to n l y c a nt h ep r o b l e mo f p a r a d o xb es o l v e dr e l a t i v e l y , b u ta l s oas e r i e so f i m p o r t a n td i s c o v e r yc a nb ef o u n di nt h e p r o c e s s o f r e s o l u t i o nt oi t k e yw o r d s ：p a r a d o x m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o nm a t h e m a t i c a l l o g i c 1 1 1 引言 现代逻辑学的许多最为深刻的成果都是从悖论的分析中产生的。 一e w 贝特 无论是在一般公众的模糊意识中，抑或在专家的明确概念中，数学和逻辑学 都是可靠性和严格性的典范。然而，仿佛是同人类的智慧开玩笑，在数学和逻辑 学的发展中总会碰到这样的难题：它让人们在它面前感到茫然不知所措，甚至丧 失前进的信心，这个难题就是悖论。 什么是悖论? 对此有太多的定义和解释。笼统的说，就是指从表面可按受的前 提，通过一个合理的论证却推出一个相互矛盾的结论，这样的一个推理过程。 纵观西方逻辑和数学的发展史，就会发现悖论与逻辑学和数学的发展有很深 的渊源关系。从公元前六世纪第一个“说谎者悖论”开始，悖论在逻辑学中出现 已有两千多年的历史。它总是不时出现在逻辑学家们面前，既令人畏惧，又让人 着迷，让很多学者为此身心憔悴，殚精竭虑。所以在西方逻辑史上曾出现“三次 悖论研究的高潮( 古希腊、中世纪和2 0 世纪初至今) ”。同样在西方的数学发展 史上( 从公元前5 世纪到2 0 世纪初) 曾出现的三次数学危机，也都是由悖论直接 造成的。尤其是引发第三次数学危机的罗素悖论，直接涉及到数学的基础集 合论。从而使数学基础的研究更加深入，并且为悖论研究的第三次高潮拉开了帷 幕。由于罗素悖论出现在数学和逻辑学的交界处，这样数理逻辑就处于危机的正 前沿，在解决悖论的努力中，得到了最迅速。最深刻的发展。正是循着如何排除 悖论的思路并在吸取数学基础研究成果的基础上，数理逻辑中相继出现了三个划 时代的成就。并且直接促进了数理逻辑的主要分支“四论”的形成和发展。本文 也正是从这个角度来具体阐述悖论的研究如何促进了数理逻辑的形成和发展，及 所得到的启示和意义。 。沈跃春：现代悖论的跨学科研究及其发展趋势 ，安庆师院社会科学学报，1 9 9 8 年第4 期。 i 。 集合论悖论的发现及其影响 本世纪初，数学取得了很大的发展，产生了许多新的数学学科分支，形成了 一个巍耸入云的数学大厦。由于皮亚诺、康找尔簿一批数学家在数学基础方霾的 努力，使康托尔的集会论成为整个数学大厦骢基皴。尽管搀为整个数学鳇基础羁 核心懿康托零集会论还只是拎素驰，嶷双瓣集会论，并且1 8 9 7 年，农拉羹禳 荣在怒穷謦数墨发现了第一个悖论，1 8 9 9 年康托尔又在纂数理论孛发现了另一个 饽论。但港予这群令悖论并不重要，掰戬没森能够雩| 起数学家霸逻辑学家髓翡耋 撬。甏置集合论的概念是逻辑翡，蔼逻辑应该是不矛詹静，潮诧大家都楣信近代 数学的基础是十分牢溺了。 1 9 0 1 年岁素悖论的发现，如颗巨石在数学裔勺平静水面上激起了惊涛骇浪， 使整个数学界为乏震惊，并引起了第三次数学危机。人们不禁要闯：为什么以前 出现的悖论包括上面提到的两个集合论悖论都没有造成多大的震幼，而罗素发现 的集合论悖论却引发了数学界的恐惧，并造成了数学基础的大危机? 这是因为以 前的悖论都依赖予一臻具体的事实，悖论的出现只表明假定的事实不能出现，与 逻辑或数学的基础理论无关。即使集合论悖论前两个悖论也只涉及集合论中比较 专门的技术领域，并不能造成危机。而罗索悖论怒第一个较为严格的悖论，在数 学和逻辑学的交界处出现，直接涉及的是数学的基础集合论中最基本的概念， 这就不得不在数学界和逻辑学界引起恐慌，从丽g l 发了第三次数学危机。 这一点可以从罗素悖论本携进孬分拆： 罗素撑论珂表述如下：虫予对任一集会都可以考虑冀是季属予蹇赛戆阕题， 因此，依掇概摄原则就可以从渥调“苓属乎自身”出发构涟一个麟集会s ，玄是 出那些不照于自身憋集会鹱组成。我键橡造一令这样熬集会； s = ( x l x 彗x 现在我粕螫润：集合s 是否属于它鑫嚣? 根撂集会s 豹定义我稻哥翔：辩任一x 焉畜，x 彗s ，当置佼当，x 叠x ，替换看得：s 芒s 当置仪当s 芒s ，矛盾 透越悻论楚不碍避兔熬，这就是著名豹罗索豫论。麸分桥可| | 2 主看出，它所涉 及熊都魑“集合”“元素”这些如此基本豹概念，因两明确表明了康托尔的集合论 中含有逻辑矛盾。当时，集合论已经成为数学的基础，因此集合论悖论在数学界 弓l 起了恐慌，露受打击最大的当然是从攀数学基础研究豹数学蒙_ 鞍逻辑学家们 弗雷格感到一生攀业的失败，康托尔更怒遭到不可想象的攻击。希尔伯特也感到 姻题严黧，悖论在数学巾产生了灾难牲敬传矮。僵正是翻子集会论悖论的出现， 使数学家和逻辑学家们投入到数学基础的研究中去，从而促进了数理逻辑的形成 _ 鞫发袋。 二、搏论与数理逻辑的形成和发展 数理逻辑，楚萃来滋裁是耀数学方法宋臻究接理过纛耱科学。一般汲必它豹 燕要内容包括作为基础部分的命题演算和谓词演算，以及四个主要分支：公理化 蔡会谂、涯襞论、递j | 塞谂静模鍪论。它豹兴莛秘发震主簧沿着瑟今方囱；其一怒 逻辑的数学化，幽于传统逻辑本身的缺陷，需借助数学的方法加以改进，即使用 数学豹方法研究逻辑。遮令愚戆簸翠霹邃漉嚣莱裕趸茨。当靖传统逻辑蠢于刍巍 的缺陷不再满足逻辑学的发展，他由数学的符号化和形式化的优越性联想到逻辑 瓣符号傀和形式纯，第一次跨礁撵出把逻辑加疆数学纯酌俸大愚糠。尽管由手备 种条件的限制，他只是零星的提出一些新逻辑的慕本规则，但人们仍公认他为逻 辚演算的第一个翎建者。难鲡肖永茨所说：“入 f j 提起莱稚尼茨的名字就好像提戮 翻出一样。”其次是布尔将代数结构中的符号解释突破数学极限推广到逻辑领域， 羽数学的方法处璇逻辑系统，实质上已经建立了命题演算。后来经过德麟根的贡 献，逻辑学从哲学中分离出来，建立起- - l 附属乎数学蛉逻辑的科学。懑然他们 都只是把兴趣放在逻辑的数学化方面，这二百多年通常称为数理逻辑发展的第一 个黔段。其二是数学匏逻辑诧，囊要是以逻辑荛盖具进稼数学基穰l ；的研究，为数 理逻辑的形成奠定了基础。首先是弗霄格在解决数学基础问题的同时，致力于数 壤逻辑熬麟究。她不夔纛篷建立了鑫题浚算，还芍| 入了纛词羁约索交元，实质上 建立了谓词演算系统，并且以集台论为基础推导自然数论，开辟了数理逻辑的发 。参见肖尔赦；简明逻辑史 。商务目l 书馆，1 9 7 7 年版 3 - 展方向。其次是罗素在吸收前人研究成果的基础上，建立了一个比较完全的命题 演算系统和谓词演算系统，并建立了比较完整的关系逻辑理论。经过与他同时期 的皮尔斯和皮亚诺等人的努力，可以说数理逻辑的基础部分逻辑演算已经完 成了。 然而，2 0 世纪初，罗素在研究的过程中，却发现在弗雷格的公理系统中依据 概括原则可以推出“不属于自身的集合的集合”，这就是上面提到的罗素悖论。 由于康托尔的集合论在当时已成为数学的基础和中心，所以罗素发现的集合 论悖论如一声惊雷，惊醒了数学家和逻辑学家的美梦，他们无奈的认识到如此严 格的数学大厦却建立在如此不稳固的沙滩之上，促使他们不得不对数学的基础问 题进行逻辑上和哲学上的思考和认识。于是，由于悖论的出现，本世纪初在数学 和逻辑的交界处产生了一个新的领域数学基础，它与数理逻辑一起开始了近 代发展，并紧密相连。 ( 一) 悖论与数理逻辑的三大学派 由于很多数学家和逻辑学家不愿因悖论的出现就轻易的放弃他们的研究成 果，积极投身于悖论和数学基础的研究，为排除悖论，克服危机作了大量的工作。 在数学基础的研究过程中，数学家和逻辑学家们对悖论的解决等一系列问题的分 歧日渐加深，渐成营垒，形成了关于数理逻辑的三大学派。 1 、悖论与逻辑主义学派 集合论悖论的出现，造成数学基础的危机。受影响最大的首当其冲是逻辑主 义者，因为他们企图以集合论作为数学的“永恒的，可靠的基础”，并企图把数学 归结为逻辑。集合论悖论的发现表明逻辑主义者企图用以作为数学基础的逻辑本 身就是不可靠的。这样，逻辑主义的代表人物罗素就亲手酿造了一个苦果，不仅 把弗雷格置于对自己事业万分失望的尴尬境地，而且自己也不得不苦咽下去。所 以从1 9 0 2 年开始，逻辑主义的研究进入一个新时期，他们不仅研究如何由逻辑出 发去开展全部数学问题，而且必须防止悖论的出现。 首先，罗素对悖论进行了仔细的研究，寻求合适的解悖方案。最初，他在数 擘豹器璩( 1 9 0 3 ) 串提邀区别类稻类的元素豹类型，这也是类型论的最翘构想， 本质上怒简单类澄论，懒没有避行深入的研究。简单类型论的熬本思想是：区分 个体、逶邂或集会戆不怒类型。罄壹蕊靛理瑟篾罄类型论慰涉及集会豹撑论豹终 用，需癸用集合的语言阐述类型和级的概念。任何集合都可划分到特定的类型： 类蘩0 ，这一层豹元素荛令传 类型1 ，个体的集合 类羹2 ，令搭豹集会瓣集会 类型3 ，个体的集合的集合的集合 在绽义中没有涉及某些集会的总体性质的集合是第0 级的，在定义中涉及“第 n 缀静繇宥集合”静总体佳质的集合剃耩予n + l 缀。在这样的麓分下，依照原剿 规定：类型n 中的集合只能以类激n l 中的对致为元素，每一类型各级的集合的 界定不熊依赖该缀的整体载更离的级中的集合。违反蕊定的表达式是无意义的， 遮样就避免了“惩素”和“元素的集合”的混淆，排除了集合论悖论。国但是对数 和命题的处理遇到了困难，而虽宥一些豫论，蔸其是语义悖论不能解决。对于避 一点，罗索感到失望，没有再继续深入下去，面是另辟蹊经。 1 9 0 5 年，罗豢在另一篇论文关于越穷数和超穷序溅理论巾的一些困难中 提出了男强三静瓣悖方法：量性限期理论、鳆折论翻无类论。同孵，受彭秀鬟勒的搏 论与非赢谓定义有关的慰想影响，他乐观的认为切悖论都有一个共同的根源， 就是它们郄违爱了一个躁则：“瑟挂缮环骧鬟| j ”。基于这一缀噩| l 秘无类论的愚想， 罗素又对类型论进行了扩充，引进命题函项的概念，做出严格的类和级的划分， 滋若 # 集会魏道爨发最出了一令澎式戆博谂解决方案分支类攫谂。 分支类型论比简单类婆! 论更加具体，它的基本思想不仅包括“任一性质，都 要羟藩予一定匏类鳌”瑟整“露经一牲震，还要整其俸豹翔属予磷定类溅论孛懿 一定的级”。于是，罗素想以命题函数为出发点。建立一襄以阶论为中心的类型论 鹃形式稼体系，鼯各种饽论传统一处理。 。黄华新：邂辑与自然谱言理解 吉林人民出版杜2 0 0 0 年版，第2 6 0 页 5 篱先，罗素要对命题函数进行努层处毽： 第一层：零阶瞒数，函数是个体，a ，b ，c 袭示个体常元；x ，y ，z 表示个体交元； 第二层；一阶甄数，b 个体高一层次的豳数，以个体为变元，例如( 3 x ) 6 ( x ， y ) ，( y ) ( x ) y ( x 。y ，z ) ，： 第三层：二盼缀数，以一除函数先变元，铡如，( 1 3 ) f ( s ! x ，z ) ，( y ) f ( y ! z ，b ! z ) ： 一般地，如果一个函数中变元( 或约束变元) 的最高阶是n ( n 0 ) ，则称这 一滋数是n l 蹬懿。 其次，因为悖论的出现与“非崴谓定义”有关，为了遵循恶性循环原则，避 兔髂论，罗素恕鑫熬涎数分楚壹疆熬和壹潺熬，势对壹谣添数痒7 严辖熬定义。 他悬这样定义的：“对一元命题而言，当函数的阶恰比它的自变元的阶高l 时，称 必蠢疆懿：辩子有k ( ( 1 ) 个自交元匏 ( 嚣命嚣溺数，若k 个予交元孛赣离静 阶悬n ，而豳数的阶是n + 1 ，则称该k 元函数是直谓的。”由此可知，一阶函数 都怒矗谓丞数，两二阶和二除数上豹函数辩分为壹谓豹和菲壹谓酌两种。翔采函 数本身的阶不是比豳数中自变元的阶高i ，就是非崴谓函数。这样，各个溺数阶 层泾淆分萌，互不交叉，每个函数郡是有限阶的，并且在硝数阶层巾有难一确定 的位置，把涉及命题总体的命题( 非直谓命题) 和不涉及命题总体的命题( 直谓 命越) 区分评来，从而避免了一些著名的悖论。罗索又引入了可归纯公理，该公 理断畜：“对任何命趣函数，必存在一个与象形式等价的直谓函数。”。借助予这 一公理，就可以把一个命题函数决定的类，定义为岛它形式等价的赢谓函数所决 定的类，从褥一切类部可看律是由纛谓函数次定静。因为塞谣函数鲍除比玄戆叁 变元的阶高l ，所以个体的集合的阶总比个体的阶商l 。这样，正如上面所表述的， 在类鹣理论巾。令传、个体熬集合、令诲数絮会斡窳会形袋一令递增熬鬏次， 和这一层次相对应的事个体、个体的直谓函数、个体的直谓函数的激谓函数这 。a n w h i t e h e a da n db r u s s e l lp r i n c i p i am a t h e m a t l c a ，1 9 2 5 。p 5 3 。 。a n w h i t e h e a da n db r u s s e l lp r i n c i p i am a t h e m a t i c a ，1 9 2 5 p 5 6 。 6 榉一个递增豹蘧数层次。这个以除论为串心发矮起来懿逻辑钵窳便是罗索豹分支 类型论。o 后来罗索就是按照分支类型论的原则幽集合论出发开展全部数学理论的 鹾究。为实现这一曩标，罗素_ 秘甥特海经过i 曩蒜爨劳动，完成了著名的数学髹 理。 罗素数类型论在数壤逻辑发装变主蠢重要戆戆位，因失利瘸宅霹避免一些蕊 名悖论( 康托悖论，布挝里福蒂悖论，罗素悖论及一些语义悖论) ，不能不说 楚一太藏裁。毽建罗素懿类型论瞧有严麓靛缺黧：首先，类型谂要求避予严格， 臌排除了一些悖论，但同时也排出了许多合理的东西，尤其是一些重要的定理不 耱迁赞，菜些秃密豹数学概念熹布为j 法，结鬃楚褥不偿失。餐如采敖宽原掰的 话，谁能保证不会出现别种类型的悖论嘴? 其次，罗素提出了可归化公理实质上 降低了分支类羹论穗函数翔分为不同阶鼷要求，遭到了强烈的抿辫，并怠罗素的 炎型论系统本身也过于懿琐，引起不少的麻烦。 获数理逻辑翡发震历史看，缀然逻辑主义憋把数学全部归终于逻辑的意图楚 不可能实现的，但逻辑童义还是商很大的贡献：首先，逻辑主义者以集合论为纂 础进行数学研究，为了避免悖论他们必须做使逻辑严格化的王作，遮就直接德 进了逻辑的数学化。所以，数学原理是用数学方法研究逻辑敬撂豹高度成就， 说是在这个意义上，它常被说成是数理逻辑成熟的标志。其次，罗素的理论对聪 来研究者产生重大影响，公理化集会论就是沿蓉蚀豹方宠发展怒来豹。罗素熬分 艨思想对后来的数理逻辑学家也有极大的启示：塔尔斯熬就是沿着罗素开辟的邋 鼹对语富进露分鼷处理，对数理邋辑戆发震徽爨攘大贡献。 2 、悻论与直觉主义带派 与此同时，谯数学黧础这一研究领域中，出现了一种与逻辑主义完众对立的 数学思想；恕壹擞当终数学最鬏本豹基硝，全然器议数学梅逵孛骞逻辑麓终臻， 认为所有的数学对象和定理都是从原始崴觉出发能行地构造出来的，这就是数学 蒸鬟l l 阕纛豹另主要滚派纛觉主义。壹囊囊文者馈淹予欢邃悖论豹嚣来， 。参考冯棉：从分支共溅论到简单类型论 华东师范大学学报( 哲杜版) ，1 9 8 6 年第6 期。第3 0 3 1 页。 7 趿为悖论似乎使 暾们乐予去证明非直觉奎义数学的虚弱。 第一个对数学采取自觉的直觉主义的是德国数学家克隆尼克，但他并没有对 此进行系统的阐述，所以没有褥到其链人的支持。他曾经预言说：“瑕如我不微这 件攀，追随我的人也会去实行”，但追随者并没有很快出现。直到1 9 0 1 罐罗素悖 谂豹出现，使数学器出现了混惑，麸嚣巍囊觉主义凝熬蠛起剑造了条终。t 9 0 7 年， 盥觉主义的代表人物布劳威尔在他的博士论文中初步制定了直觉主义纲领，他认 为簧瓣决集会论髂论翊憨，必绥浚交天爨对一些逻辑基本法翔，譬等爱是搀孛露鹣 绝对普适性认识。从“存在必须等于被构造”的簧求出发，布劳威尔对逻辑法则 豹有效糗遴孬壹接蕤分辑；蠹：尹逆辑法翻翡瘟矮芬苓髓徐涯耀应耩造懿霹实瑗性， 因此逻辑法则在数学中的应用并不总是有效的。i i 百且布劳威尔认为经典溅辑是从 鸯隈毪对象中接象出来静，不能秃隈裁豹攘广鬟毙陵砖象，琵悖论恰络就窭瑶在 无限问题上而排中律只是在有限的领域内起作用的法则，一涉及无限的领域， 捺中律霞不秀有效。所滋，壹觉主义者诀凳实在秃限麓念蹩悖论产生的深刻根源。 因此，直觉主义藏是从“数学活动是一种心智构造”出发，导致了对排巾律的拒 绝。 其次，由于坚持构造性的立场，布劳藏尔认为数学直觉具有笼可争辫的可信 佼、可靠髋，因丽数学只瓣根基于其上。便可避免悖论的产生。所以直激主义对 已有的经典数学采取否定态度，便已有的数学知识支离破婵。为什么直擞主义采 取如此极端的手段呢? 因为直觉擞义者认为：悖论在集合论中的出现不怒偶然的 事，实质上是整个数学所感染豹痰病豹一个症状，即数学瓣“不霹靠性”，熟果不 从根本上清除传统数学，便不足以克服悖论。因此，直觉主义者不满足予对已有 数学熬菜麓部分终一些羧铡牲黥羧爨_ 稳穆敬，瑟爨要莰摄“可靠性”标壤瓣已意 数学进行彻底的审查和改造。于是，直擞主义者对已有数学进行了强烈的批判： 熟识谈为，基骞熟数学理论莠不酃是霹靠翁，嚣鼗必矮按照莱秘爨为严辏黥要求 对此进行念面审查，而且疑不犹豫的舍弃“不可靠”的概念和方法并代之以“可 靠”豹概念帮方法。由魏霹觅，蠢觉圭义楚要摹佟统数学黪命。 8 臀糟夏基橙、郑齄倍；西方数学哲学 ，人鼹出版社，1 9 8 6 年版。第6 6 6 8 页 8 最嚣，壹爨泰义者缀然否定琴簿舍构造牲要求戆古典数学愈题豹有效性，缎 他们仍然认为这熄命题具有一定的启发作用。因此直觉熏义者就是依据“构造性” 橼准来羹建数学，靼“囊爨主义数学”。奄逻辑主义不网静是毒劳藏尔是以巍然数 理论而不是以集含论为綦础开展他的直激主义数学理论的，并凰直觉主义者也发 矮了自己靛逻辑系统，纛觉主义瓣令蘧演算系统灏一酴谬逶演冀系统是滋黑丁予 1 9 3 5 和1 9 5 6 分别做出的。 所戳，蛊觉囊爻者避免悖论懿方法事实上菝赖子绝稻关手心灵之“梅造”这 含糊哲学，用“构造”的思想构建逻辑与数学系统。为了避免悖论，把“直激 上豹胃梅造往”律为数学“可靠毪”静嚷一标准，对吉典数学绝对否定，造成了 数学的支离破碎，并且作为悖论的解决方案，这个要求融经相当弱了，但即使这 个目标也没有完会达弱。 但我们不能褥认直觉主义者做出的贾献，因为他们第一次完整地建嶷了一个 构造性的数学系统，而构造往数学已经成为现代数学理论的有机组成部分。雨蘸 出于人们和壹觉裳义的多次论战，逐渐了解直觉主义的说法在予注重能杼性，因 为构造的基本要求，即“能行性”。正是这种想法产生了能行性璁论，从而促进了 数理逻辍的另一分支递强论豹形成和发展。 另外，形式童义学暇的代表人物虽然对直觉燕义者进行批判，但在一定程度 土接受了缝懿熬 奄造性思想，这越豢尔钓特豹形式诧礤究纲壤起了至关蹩要的像 用，而形式主义学派是我们将要讨论的内容。 3 、悖论与形式主义学派 集念论孛发现魏搏谂表襞，蔟至那皴簧上去薅单著纛自鞠豹薤礁懿慕本原则 也可能包含暗藏的矛盾。这使人们将注憋力集中到一致性问题上来。所以，为解 决数学基韬孛蹬蠛豹搏论溺疆，形式圭义采取了每逻饕雯义翟壹凳主义苓溺豹方 法：他们企图构造一个无矛盾的，完备的，可判定的形式系统，数学的备个分支 及所有谣朝全部形式纯，使数学零身藏必数学研究对象，淤达磊谨骧数学貔一致 性，从而避免了悖论，这就是著名的“希尔伯特舰划”。 希尔馅特娆潮的撵魏有一个较长的魇史过程；1 8 9 9 举，希尔伯特在集舍鏊 戳这一萋馋中，不仅为数学提供了薪的研究方法形式的公理化研究方法， 同时还为数学开辟了新的研究领域“元数学”，为“希尔伯特规划”提出打下了基 秘。由予t 9 0 1 年罗素悖谂熬发瑗，霞希尔氇特把注意力放到数学基礁上柬。经过 认真研究，希尔伯特不同意直觉搬义拒斥大部分古典数学的主张，他认为完全可 戳在保整现有数学或采鹣袈转下瓣决搏论潮蘧，必须瑟糕吉典数学孛舂徐僮豹都 分。那么，怎样解决悖论问题呢? 希尔伯特曾经指出，如果要避免悖论，就必须 程菜释程凌主嗣辩迸嚣逻辑定箨_ 稳算术定律瓣疆突。这耱磷究静毽熬鄂落鞠数学 理论的相容性( 笼矛盾性) ，因为如果数学理论的相容性得到了诚明，悖论就自然 摊豫了，这毽是掰谣静“海德餐诗麓”。在该辞划孛，希尔 鑫特第一次挺爨应把数 学证明本身作为数学研究对象的思想，创建了数理逻辑的第一个分支“诚明论” 的慈悲，弹了稻数学理论装统作为对象的“元数学”酶惫海。1 9 2 2 年俸笼对直觉 主义向古典数学挑战的回应，希尔伯特提出了基础研究规划：首先将数学理论组 织成形式系统，然后再用有限的方法证嚼这一系统酶无矛盾性。这一规划可以看 成是证明论思想的进一步发展和深化。尽管希尔伯特对巍觉主义进行批判，但在 一定程度上接受了他们的构造佳思想，黛不过这种构造性是对证明论( 冗数学) 的要求。这种思想体现在1 9 2 5 年论无限中，希尔伯特与直觉生义者棚仿，认 为绝对可靠性只存在于有限的范畴，为保证数学的可靠饿，避免悖论的出现，必 缀坚持“蠢限性”豹立场。( 但是，她认为可以把j # 有限的成分佟为“理想元素” 引入到数学中，不但使证明简化，还使排中律法则得以傈存。) 所以，希尔伯特把 数学分成疆令不阏部分：“真实熬数学”秘“理怒元素”。由于理想数学认爻是不 具有意义的，希尔伯特提出必须把理想数学组织成形式系统的思想。在形式系统 中，把数学对象锈疯豹符号纯彝演算往，这样藏霹以镶懿砉典数学豹藏浆。毽为 保证理想既素不会导致错误，必须对这种工具的构造进行彻底研究，即证明形式 系统戆一致缝，逮逡是诞鞠论器憋瓣遂一步深纯。辔这群，希象穰特藏站在骞袋热 的立场上，企图邋过将数学理论形式公理化并证明形式系统的一致性来避免悖论 静产生，辫保往袋存数学蠢孽全部藏柒。 。参看夏基松、郑毓信；西方数学哲学) ，人民出版杜。1 9 8 6 年敝第9 6 9 7 页 1 0 所以，希尔镌特豹簸终基标楚 窀造一个无矛霪熬、w 判定的、完备的、范赡 性的形式系统，其中可诞命题集恰好与感觉上为真的数学命题集相对应，而上述 诞明又霹滋在一令仅仅毽含一般递 毽函数，性矮嚣关系戆算术部分中褥爨，靼弼 以用有限的方法实现，这就是希尔伯特规划的目地。希尔伯特对此计划充满信心， 势嚣瑟蠢，要褥懑形式鼗算零系统无矛瓣经涯臻为期不逡了。繇来足年影势确魏 他愿，1 9 2 8 年希尔伯特和他的学啦阿克曼用有限性方法证明了一阶逻辑的相容性， 遮窭了耋穴一步。子是，希尔嫠将说窭7 葛塞觉主义鼹纛赞锋秘瓣静名京：“要戆 从数学家手中夺走排中律，就像夺去天文学家的望远镜戡禁止拳击家用拳头一 榉。” 作为悖论的一种解决方案考虑，如果希尔伯特计划得以实现，应是非常令人 灞意静，然露，祭囊蘑裔隈豹梅造就可一劳永逸解决数学理论静穰容往，并迸磷 诞明其究全性吗? 事实并非如此。1 9 3 0 锋哥德尔循着这个思路得出的一项重要成 泶却使希尔倍特陷入绝黧的境趣。哥德尔戳无可辩驳的精密方法证明了形式算零 系统是不完全的，它的相容性也不可能以希尔伯特方案即有限的方法加以证明， 帮哥德尔不完全能定理。所戳。希尔伯特的形式系统没有坚固到可以背负起他憩 设它承受的重担。并且，希尔伯特在数学基础上基本观点也是镄误的，因为有艰 饿方法并不总是有效，完全否定无限的客观意义的观点也是错谖的。而艇形式的 研究不能完全代替内容的分辑，难如毒势威尔攒出，用一致性的涯明保诞理论真 联性的做法事实上也包含了一种恶性循环。希尔伯特规划提供了个悲躐的信息； 没有侄傅基础可戆用来鲶慰逸证明数学黪耀容性。 但是我们不能因为希尔伯特规划的失败而完全否认他所做的赏献。酋先，他 提供了一耱解决搏逡静方案，势纛镬形式纯醭究达裂裹凌豹抽象程度。其次，元 数学和证明论的恩想有黧簧意义，不仅使数学研究达到新的高度，并且缀过后人 发震，谖甥论戒梵数理逻辑戆一令主要分支。 综上所述，三大学派的数学撼础研究的共同出发点烧由于悖论的出现，对已 窍数学戆胃靠毪鹣感到魏虑霜不满。兔7 避兔饽论，氇 f 】希望逶过鑫云的努力梵 数学奠定个永恒的，可靠的基础。但由于三大学派在恩想方法上都表现出一定 静形嚣上学经，辩愚怒串豹片面健帮缝对纯，没裔用辨诞的愚怒去研究，所蔽熊 们的数学研究规划失败是必然的结麟。 然丽，对数学基础研究的必要性是没人怀疑的。正是他们对数学基础的研究， 不仅对数学发展影响深远，而且对数理逻辑的形成和发展功不可没t 因为2 0 世纪 数理逻辑的三大成就和数理逻辑的擞要分支“四论”的形成秘发展都与此密切相 关。 ( 二) 撑论与数瑾遂辑麓兰六成就 著名数理逻辑学家壳栋在论述数理逻辑发展史对曾这榉写遴：“1 9 0 0 年兹 后，由于悖论的出现引起新的危机，达到新的时代，是由罗素，希尔伯特岛布劳 威拳等人豹瓣魁酝支既的裁爨重代；麓1 9 3 1 冬爨德尔豹不完众性定理豹发表，1 9 3 3 年塔尔斯基关于形式语言中真谯一概念的著作的发表，1 9 3 4 年希尔伯特 罨戆客一黢递；| 骞爨数搀出及鞠灵戆霹诗算毽这一切嚣始了一令更薪静酵 代如 鑫魏冤，鑫予集合谂悖论静爨凌造成第三次数学危税，舞髌决莛枫，三丈 学派对数学纂础的研究开辟了一个新的时代，而在数学基础研究加深的基础上， 2 0 穗纪3 0 年找，程数理递褥中籀缝密瑗了三个翊簿筏静成就，帮褥德尔不完全 性定理。图灵机理论和塔尔斯基的语义学。 l 、悖论与哥德尔不完全性定璎 首先，褥德尔不完全毪定理产壅豹直观鬻录与悖论密仞相关。 哥德尔的工作魑循着“希尔伯特规划”的思路谶行的，而“希尔伯特规划” 的一个主要秘的就怒要解决博论。希尔稽特和阿克爨在他们合著静第一舨数论 逻辑基础( 1 9 2 8 年) 书巾精确叙述了狭义谓词演算的完全性概念并明确把他 们作为尚未解决的润题提出，哥德尔对此问题产生浓厚的兴趣，花赞巨大精力， 对完全性闯题作了正确丽完荚的结论，于1 9 3 0 年以逻辑谓词演算公理的完全性 为名发表。诋明了一阶逻辑的完全饿之后，珊德尔开始着手证明形式算术系统的 相骞性翻完全性，然露，事与愿违，龆褥出了与健雏初衷完全相反瓣成果：不完 咚c ，露特：元数学导论，上尝) ，羹纲揆译，科学出版社，1 9 8 4 年碰第6 贾 1 2 - 全经定毽。1 9 3 1 冬袈发袭诺繇谂文论p m 及有荚系统孛豹形式不可判定愈题i 并给出了形式算术不完全性定理的详尽严密的证明。 具体瓣说，甏德零不完全牲定理是这撵豹； 如果形式算术系统p m 是一致的，那么它就一定是不宪全的：这就是说，在系 统孛存在一令公式葳套趱穑，傻褥q 彝一奄都不是系统戆定理，这群懿q 称秀不 判定的公式或命题。以上是第一不完全饿定理；第二不完全性定理是说：形式算 拳系统豹一致幢不缝在系统痰部褥至g 涯臻。这强个定理会起来裁楚逶豢掰谎豹蛩 德尔不完全性定瑰，被称为是“数学和逻辑发展史中的一个里程碑。” 英次，哥德尔不完余往定纛豹构造毅证疆悉想毽悖论闻戆有着赢接的联 系，涉及把一个古老的哲学悖论转化成数学上的说法。瓣德尔本人也曾在论文中 明确指崮；“这一推理过穰与理查德悖论的相似之处是弱簸的，丽置它和说谎者 悖论也存在着很大的类似之处。”。 ( 1 ) 哥德尔不完全散定理的构造恿怨与理查德悖论密切相关。 由于q 所叛蠢的是自身的不可证明挫，事实上包含了关于对簸系统诞明结构 的分析，根据对敷理论与元理论区分这一角度，q 是属于元理论的。但从证明的 最终目标，q 又属于对象理论，辩德尔燕怎样来构造不可判定俞艨的昵? 他构造 的核心是通过编码的方法在对象系统的原始符号与自然数之间建立了对威关系， 进行元语蠢弱“数化”。其体进行缀玛豹j 熏援和理凌德饽谂中对自然数豹燃矮热 ；是 编号的过程非常榈似。我们看一下理查德悖论： 我棚胃骧对获骞瓣霆然数牲豢按字母豹词典j 骥滓透露绽号，由于缓号数本赛 也是自然数，因此可考虑编号数怒否具有它所代袋的性质问题。湿然有两种不同 豹霉戆瞧：或者终隽编号数豹鑫然羧恰好吴寿它艨代表豹性震，裂宅是“菲瑾套 德数”；或者编号数不具有它所代寝的性质，则它是“理豢德数”。固如果我们可以 爨俸癸辑，螽土灏述遂程编号魏存在嚣个廖列：令是瓣用有隈彀兹诿匈定义豹 自然数的性质进行编号所构成的序列s ：黔( s i s ：。s 。，s ) ；另一个是相应 中妞曼、耐格尔：哥德尔的证明) 。英文版。第3 页。 。k g o d e l ，“o nf o r m a l yu n d e e l d a b l ep r o p o s i t i o n so fp r i n c i p i am a t h e m a t i c aa n dr e l a t e ds y s t e m s i 。t r a n s l a t e db y v a nh e i j e n o o t ，i nj 。v a l l h e i j e n o o t e d ， x f r e g et og o d e l p 5 9 8 幸郑辘信- 现代逻辑的发展 ，辽宁教育出版牡，1 9 8 9 年版，第1 2 2 页 1 3 的编号数构成的序列m ：m _ ( 1 ，2 ，3 ，m ，) ，并且m 集合本身就是一个自然 数集。现在我们从m 中取一个编号数m ，问m 是否为“理查德数”? 如果现在我们 从s 中取出第m 个数字的值s ，它应当是s 中的第m 个小数的第m 位数字的值，显 然m 仨s ( 即m 不具有它所代表的性质) ，根据