（基础数学专业论文）严格伪压缩映像隐迭代过程的收敛性.pdf

摘要 摘要 当t ：d _ d 是严格伪压缩映射时，o s i l i k e 将x u 和o r i 针对非扩张映象导出的隐迭 代过程用于严格伪压缩映射并得到一系列收敛性结果。 本文试图将这些结果推广到带误差的情形。并就h i l b e r t 空闰和任意b a n a c h 空间两种 情形，给出了严格伪压缩映射隐迭代过程的收敛性，这些结果推进了该项研究工作的进 展。 关键词和术语严格伪压缩映射；空间的o p i a l 条件：半闭性；具误差的隐迭代方法 a b s t r a c t l e tt ：d _ db ef s t r i c t l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g o s i l i k ee x t e n d e di m p l i c i t i t e r a t i o np r o c e s sf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n gi n t r o d u c e db yx ua n do r it ot h ec a s ef o rs t r i c t l y p s e u d o c o n t r a c t i v em a p sa n dg o tas e r i e so f t h ec o n v e r g e n c er e s u l t s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st og e n e r a l i z er e s u l t so fo s i l i k et ot h ec a s ew i t he r r o r s 2 h e c o n v e r g e n c er e s u l t so fi m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sf o rs t r i c t l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p si nh i l b e r t s p a c ea n da r b i t r a r yb a n a c hs p a c ea r eg i v e n ，r e s p e c t i v e l y t h e s er e s u k si m p r o v et h ep r e v i o u s k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：s t r i c t l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p s ；o p i a lc o n d i t i o no fs p a c e d e m i - c l o s e d n e s ；i m p l i c i ti t e m t i v em e t h o dw i t he r r o r i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导一f 进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 4 。粒盘日期：j 盟年月_ 一同 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名： 垄! 鱼i ! 日期：丝竺生年上月生日 导师签名： 域 j 一 目期：竺! 生年 f 月至 臼 引言 1 、引言 设x 是一实的b a 矗a c h 空间，丑+ 是的对偶空间( ， 表示z 和x 2 _ f i j 的偶 对j ：x 哼2 是由下式定义的正规对偶映象 删= ，e x o = - ，= i x l d ，v xe x 若+ 是严格凸空间时，j 为单值映射。 定义1 ：定义域d ( 丁) 和值域r ( r ) 均在x 中的映象r 称为在b r o w d e r - p e t y s h y n 意义下的 严格伪压缩映射。若存在a o ，使得对v x ，y d ( 丁) ( t x t y ，j ( x y ) ) - i i x _ y l l 2 一旯0 x t x 一( y - t y ) 1 1 2 ( 1 ) 其中，j ( x y ) j o y ) 。不失一般性可设兄( o ，1 ) 。 若设，为恒等算子，则( 1 ) 式可以写成 ( ( ，一t ) x 一( ，一t ) y ，j ( x 一少) ) a i i x - t x 一( y 一砂) 旷 ( 2 ) 当空间为h i l b e r t 空间时( 1 ) 和( 2 ) 等价于 l 盼一砂1 1 2 枷一y | | 2 + k 忙一t x 一( y 一巧) | 1 2 k = 1 2 2 1 ( 3 ) 由丁k 20 ，所以k ( o ，1 ) 。从( 2 ) 式我们有 l x - y l l i i x - t x - ( y - t y ) i 恪一圳一丑忙一y l l 所以l 盼一砂忙三i i x y | l 忱，ye d ，其中上= 半，即严格伪压缩映射是l i p s c h i t z 映象。 定义2 ：设x 是一实的b a n a c h 空间，d 是x 的非空子集t ：d d 是一个自映象 f 1 1 称r 是非扩张的，如果 恪一砂| | - 0 ，则在h i b e r t 空间内有 忪x + y 1 2 - 4 1 4 2 + z l l y l l 2 一筇 y l t 2 ( 7 ) 证明： 口x + y l l 2 = ( 口z + 卢y ，口x + s y ) ：口l l x l l 2 + p h y l l 2 + 2 r e a i _ ( x ，y ) d = 口2 i i z n 声2 i l y l l 2 + 筇2 + i l y l l 2 一 i x - y 1 2j = 口( d + ) 1 i x | | 2 + ( d + ) | | y | | 2 一c 咿l | x y l l 2 - 4 4 2 + p l l y l l2 一筇 y l l 2 。 引理3 ：( 见 6 ) 设矗。) ，慨) ， 瓯) 是三个非负实数序列，满足 a ( 1 + 色) 吒- i - 玩 如果：= ，瓦 十。且呻_ 。b 。 + ，贝l j l i m a 。存在。若再加上妇。) 有子列收敛于0 ，则 l i m a 。= o 。 引理4 ：( 见 5 ) 设x 是b a n a c h 空间，对v x ，y x ，有 0 x + y l l2 l i x l | 2 + 2 ( y ，( x + y ) ) 其中i ( x + y ) t ，扛+ y ) 为对偶映射。 ! ! j ! 奎兰堡耋至圭耋堡兰奎 2 、严格伪压缩映象隐迭代过程的收敛性 2 1h ii b e r t 空间的情形 现在，我们在h i l b e r t 空间内考虑当) ：，是j v 个严格伪压缩映射时，隐式带误差 迭代序列 = 口。z 川+ 鼠x 。+ y u 。t = f 巾甜， 的收敛性分析。有的学者将这种隐式带误差迭代序列称为第二类带误差的隐迭代过程。 其中恤。) ， 成j ，杪。) c ( o ，1 ) ，“。+ 成+ 扎= l 。这种迷代序列与以上迭代序列的主要区 别在于它舍有误差项。 定义4 ：称b 空间x 是满足o p i a l 条件的：若在爿中的序列x 。一( “一”代表弱收 敛) ，劬s z y ，则有l 卿一4 f m i y ( 扎一y 0 。 定义5 ：工是b a n a ( j h 空间，t ：d ( r ) c x 呻r ( r ) 称为在p d 仃) 点是d e m i 闭的，若对 x 中的序列x 。x 和t x 。p ，有a = p a 众所周知，h i l b e r t 空间是满足g p i a l 条件的空间。当t 是严格伪压缩映象时，一r 在任意点p d ( r ) 是d e t ；d 闭的e ( 见 6 ) 定理1 ：日是n i b e r t 空问，k 日是一非空阈凸子集。设亿 ：、是个严格伪压缩 的k 到其自身的映象使得f = n f ( 王) o ( 其中f ( z ) 为z 的小动点集台) 任取 x 。e k ，扛。) ， 。 ，杪。) c ( o ，1 ) ，“。+ 卢。+ y 。 沁 有界，则隐式带误差迭代序列 缸。 有界，则隐式带误差迭代序列 x ，= z 舻。+ 卢：z x 。+ y u 。l = e ( m 甜。 - 使得1 ) m 旷o 装针口。 ，：；二。! ! ：些i ：i 薹| 塑塑! l 一一 得到的扛。) 弱收敛于亿) 二的公共不动点。 证明：x 寸p f ，由于缸。 有界，可设m = s u p k p 于是 j 艽。p j 2 = 9 口。( x 。一。p ) + 凰( 瓦x 。一p ) + 以( ”。一p ) j | 2 = 口。1 b 。一，一p lk 2 + 成1 1 z x 。p | | 2 + y 。i l u 。一p i t 2 一口。成l k 。一t 工。1 1 2 一盘。y 。l | x 。一“。2 一屈y 。l | 瓦毛一“。 ( 8 ) e 自予r 是严格伪压缩的，令k = m a x k i ) 1 。则 i z x z _ y l 2 - l l x - y l l 2 + k | | x z x 一( _ y f y ) 扩 所以，由( 8 ) 式有 恢一p 雌雌一p l l 2 + 愿忆一p 2 + k i i r 。_ _ 一。1 | 2 + ym 2 一口。鼠1 1 x 。一。一r x 。i | 2 一屁y i l 瓦x 。一“。旷 a 。| | x 。一一p l l 2 + 7 。l l x 。一p 旷+ 尾k 1 1 口x ，一x 。) + y 。( “。一瓦) r 。成l x o ，r x 。卜7 0 y o t l r x o 一“。以m 2 c k l l 瓦。一p l l 2 + ( 1 一d 。一y 。) 0 x ，一p t l 2 一甜。3 ( 1 一k ) j j x 。一，一e x 。 一成y 。( 1 一k ) i i t 一。一“。1 2 十y 。m 2 口。1 k 。一。一p 1 1 2 + ( 1 一a ) i k 。一p l l 2 + n m 2 一a 。f t ( 1 一幻1 k 。一，一l x 。1 1 i i x 。- p r 2 i i x _ i - p n 尝吖2 呐( 1 侧k ，唧一忙l x n _ l - - p n 乏以由 鲁收敛和引理3 可知嘞悻n p 0 2 存在。又由上式及口n 争。 喜嫠 可知见一当坨充分大时可设盼丢，所以由( 9 ) 式 i i x 。- p t 2 i i x , _ 、- p 卜互1 ( 1 啕k 、一酬2 + 芑m 2 7 。，。，鎏i ! 查耋堡茎竺圭茎堡警圣。 ! 啡一一驯2 北r p l l 2 一i r x 。- p l l2 + 芑m 2 鼢，勃1 坪胛 1 x u - p 1 1 2 + 州窆+ ，苦m 2 ， ，= 卅j = q 一， 由于艺拿 + 。，得出妻k 。一t x i i + 。，从而有。一，一f o x i t l i m t x = o 。 由于拿 + 。，得出k 。一 + 。，从而有。一，一 = o 。 ，净1 ， 月2 i 而 慨一l 毛旷= 忪。( x 。一t ) + 九( - t x ) 0 2 口。l l x 。一，一l x 。1 2 + y 。“。一l x n 2 又i | “。l 矗| 1 2 2 ( 1 i “。一z 。旷+ i ix 。一l z 。n 有界，所以! i m 慨一l x , 忙0 。 l x 。一x n - 1 l = i 口。z 。，+ 多。瓦x 。+ y 。”。一x 。一， | = l i p 。( 0 x 。一x 。) + ，。( “。一x n - i ) 8 。j l x 。一_ 一，1 1 + y 。( i | “。- p 1 + i x 。一，一p 1 1 ) ，0 ( ”，。o ) 于是 慨一x n + i 1 1 斗o o = 1 ，2 ，) 。 忙。一t + 靠0 - 1 1 x 。- - x n i 1 1 + 1 1 x 。一l + ，x 。l + l l v o + ，x 。一己+ ，以0 又困l i t , x t y | | 三，6 x y l l( i = l ，2 ，) 。令工= m 。a ；。x l ，则 陋x v , y 1 1 工忙一y 于是 f | x 。一l + ，x 。0 - l l x 。一x n + t l ( + l z 。+ ，- v o + ，x 。i + 三 i x 。+ ，x 。 i = ( 1 + ) 1 z 。一x n + t f + x 。，一r 。z 。+ ， | 斗0 所以! 鳃恢t n + i x n 忙0 ，f 1 ，2 ， 。即! 鳃慨一正i f = o ，l t l ，2 ， 。 又k 。 有界，存在子列扛。j ，使得扛。j 弱收敛于“ ! 鳃怍。，一巧矗，0 ；o ， 1 ，2 ， 。又空间为1 1 l i l b e r t 空间，一正在。点是。e m l 闭的 所以( 一f = 0 。于是“e f 圆) 对每一l j 成立，即是“f 。若有另一子列 扛。 弱收敛于= “。由上叙论证z e ，而憋肛。一“，| _ l i + r a 。恢一z l l 存在，分别设 - 8 一 d ，l i m i x 。一“d z = ! 鳃慨一z | | ，h 是o p i a l 空间，则 吐= 蚓h 一“i 掣h z | l = d 。= l i m 学l 一z 1 1 i 卿h 一“i f = d 。 这是个矛盾，n 此 g , ：f f z = “。即矗一”。即扛。) 弱收敛于讧比的公共不动点。 e e = = s 。，。，。 鎏：! 当兰塞耋至主耋堡篁圣 。 2 2 任意b a n a c h 空间的情形 本段中我们在任意b a n a c h 空间研究以上迭代序列的收敛问题。 引理5 ：设x 是b a n a c h 窆间，k c 盖是有界非空闭凸子集。设红) ! ，是个严格伪 压缩的足到其自身的映象使得f = n f ( f ) 0 ( 其中f ( f ) 为z 的不动点集合) 任 i = l 取k ，妇。) ， 尼) ，仉 c ( o ，1 ) ，+ 成+ 心= 1 使得，成斗o ，妻鼠：+ 。 + 。，( 1 一口。) 2 。，主璺去，2 成旯，所以由( 1 2 ) 式可 得 p x o - p l l 卟掣，x 。_ , - p l l 2 2 徘小。训帆制1 1 2 + 半蔓删k 。一p i l 2 + 半 ( 1 3 ) 其中吒2 去( 1 一吒) 2 。而圣以 + 。，乏吒 + o 。，由引理3 可知极限! i m l 一p l l7 0 h = 1月d 存在。由( 1 3 ) 式又有d ( x 。，f ) ( 1 + o - 。) d 扛n - 1f ) ，于是l i m d ( x 。，f ) 存在。从( 1 3 ) 式还有 2 f l 。五| i 口。( x 。一。一- x 。) + y 。( “。一z x 。) 1 1 2 - 1 1 x 。一。一p i l 2 一i i x 。一p i l 2 + mz c r + _ 2 m 2y 。 两边从+ 1 到- 求和，有 窆2 岛五怯 一一乃_ ) + y ，( “，一l x ，) l 2 忙。一p | | 2 + m2 主盯，+ 兰羔乃 j z 卅卢n + i f = n + i 由此我们得出主2 尾元忪。( x 。一瓦k ) + 几( “。一_ ) rc 。，又艺成：+ o 。，所以必 = i = 1 有1 i 罂留驰。( x 一一l 矗) + 心( “。一l 矗) 1 1 = o ，即l i m i n f l l l l x o i = 0 。另外从不等式 i x 。，一l x 。| | i c h ( x 。一。一l x 。) + y 。( “。- l x 。) | | + ( 1 一。) l l x 一l x 。i i + y 。i i 。一瓦x 。9 及 。! 堡! ! 奎耋耋：筌圭i 鎏篓耋 ， b 一一瓦) ，如。一l 矗 的有界性可知l i ：! 簪慨一。t i i = o 。 定理2 ：设j 是b a n a c h 空间，kc j 是有界非空闭凸子集。设) ! 是个严格伪 压缩的k 到其自身的映象使得f = n f ( z ) 0 ( 其中f ( 一) 为z 的 ， ，。l 不动点集合) 任取k ，缸。) ， 成) ，耖。) ( o ，1 ) ，吼+ 成+ n = 1 使得， 8 ，斗0 t 8 + 序列 = + o 。，以 + * ，( 1 - o ：。) 2 0 时有d ( ，) c j 云。 又由于盯。 + m ，k n ，时，有 n = 1h = l 砉qc 瓦务，砉乃c 三篆万a 取2 m a x n o , n i ，则对所有的”和 p e f , 棚小压，喜一c 击曹，c 嘉，且帅。，式 i x 。一z 。，i 2 2 q i x 。一p i t 2 + t l x 。一p i l 2 ) z x w - p 1 2 删，妻，+ 了2 m z ，密n1 ，= 十1 ，o ，= + 2 2 仕蒽b a n a c h 至唰附隋彤 + 忙。一p i l 2 + m 2 芝一，+ _ 2 m2 芝乃 f = n + i 1 - f = n + i 。舢。，一p i l 2 + mz 艺。，+ 型箬妻， l = 1“j = l j 4 【d ( x “，节) 2 + 导+ 詈 s 由此可知扛。) 是c a u c h y 序列。由空间的完备性可设! 娩= “，下面证明“t f 。 首先，我们说明当t 是严格伪压缩映象时，f ( 丁) 是闭集。事实上，设扫。 c f ( 丁) 强收 敛于p ，t 是严格伪压缩映象，必是l i p s c h i t z 映象，设其l i p s c h i t z 常数为l ，则 1 i p r p l l p 。一p l l + l l p 。一r p l l = l i p 。一p | | + | l 印。一硒9 ( 1 + l ) i i p 。一p 0 斗0 _ o 。) 即f ( r ) 是闭集。于是f ( z ) i ，是闭集，f 是闭集。又! i m d ( x 。，f ) = 0 ，“f 。 河北大学理学硕十学位论文 3 、结论 本文主要研究了带误差的隐式迭代法得到的序列收敛性问题。通过对空间性质的研 究和迭代法系数的限制，得到了弱收敛和强收敛的两个结果。本文的特色是研究了以前 文献从未涉及的带误差的隐式迭代过程，改进和完善已有的成果。 该文得出的主要结论是： 引理5 ：设x 是b a n a c h 空间，k c x 是一有界非空闭凸子集。设钇范n 是个严格伪 n 压缩的k 到其自身的映象使得f = f - i f ( f ) o ( 其中f ( t ) 为f 的不动点集合) 任 取x o 足，缸。) ， 屈) ，) c ( o ，1 ) ，吼+ 成+ k = 1 使得，f l o o ，主以 十m ，( 1 一) 2 枷，如。 c k ，则隐式带误差迭代序列 = l = 1 x 。= 口。x 。一】+ 成x 。+ 7 0 u 。 = ( m o d 满足：( i ) 对砌，到h p f | 存在 ( i i ) ! i m d ( x 。，f ) 存在，其中d ( 矗，f ) = i n f ，。，忙。一p | ( i i i ) 1 i m i n f l l x 一一z 。i i = 0 。 定理l ：是h i l b e r t 空间，k c h 是一非空闭凸子集。设魉) ! 是个严格伪压缩 的k 到其自身的映象使得f = n f ( t , ) o ( 其中f ( f ) 为z 的不动点集合) 任取 x 。k ，k ) ，溉) ，饥) c ( 0 ，1 ) ，+ 成+ 扎2 l 使得l i m 口。= 。t 罄 佃， 缸。) 有界，则隐式带误差迭代序列 x 。= 0 2 。x 。一l + 屈，l x 。+ 7 0 u 。 3 、结论 得到的扛。) 弱收敛于 t 。n ：。的公共不动点。 定理2 ：设x 是b a n a c h 空间，kc x 是一有界非空闭凸子集。设e ；二，是个严格伪 压缩的k 到其自身的映象使得f = n f ( z ) 0( 其中f ( f ) 为z 的 不动点集合) 任取x 。k ，缸。) ， 鼠) ，耖。) 亡( o ，1 ) ，。+ 成+ = 1 使得 成呻0 ，羼= + o o ，以c + o 。，e ( 1 一) 2 + m ，缸。 c k ，则隐式带误差迭代 n = ln = ln = l 序列 x 。= 口。x 。一l + 尼z x 。+ 厂。“。 n m 的 x 。) 强收敛于亿) ! 。的公共不动点的充要条件是l i ：粤f d ( x nf ) = 0 。 河北大学理学硕士学位论文 4 、参考文献 1 j b d i a z ，f t m e t c a l f , ，o nt h e s t r u c t u r eo fs u b s e q u e n t i a ll i m i tp o i n t so fs u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s b u l l a l n e r m a t h s o c ，( 1 9 6 7 ) 7 3 ，5 1 6 5 1 9 f 2 k g o e b e l ，w a k i r k , a f i x e d p o i n t t h e o r e mf o r a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s ，p r o c a l - i l e rm a t hs o c ，( 1 9 7 2 ) 3 5 ，1 7 1 1 7 4 3 】，z h a o h o n gs u n ，s t r o n gc o n v e r g e n c eo fa ni m p l i c i ti t r a t i o np r o c e s sf o raf i n i t ef a m i l yo f a s y m p t o t i c a l l yq u a s i n o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，j m a t h a n a la p p l ( 2 0 0 3 ) 2 8 6 ，3 51 3 5 8 4 1 h k x u ，r g o d ，a ni m p l i c i t i t e r a t i o n p r o c e s s f o r n o n e x p a n s i v em a p p i n g ， n u m e r f u n c ta n a l o p t i m ( 2 0 0 1 ) 2 2 ，7 6 7 - 7 7 3 5 ，mo ，o s i l i k ea n dd i i g b o k w e ，w e a ka n ds t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rf i x e dp o i n t so f p s e u d o c o n t r a c t i o n sa n ds o l u t i o n so fm o n o t o n et y p eo p e r a t o re q u a t i o n s ，c o m p ua n dm a t h w i t ha p p l ( 2 0 0 0 ) 4 0 ，5 5 9 5 6 7 6 m o o s i l i k e ，i m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sf o rc o m m o nf i x e dp o i n t so faf i n i t ef a m i l yo f s t r i c t l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p s j m a t h a n a l a p p l ( 2 0 0 4 ) 2 9 4 ，7 3 8 1 7 c ec n d u r n ea n ds a m u t a n g a d u r a ，a ne x a m p l eo nt h em a n ni t e r a t i o nm e t h o df o r l i p s h i t zp s e u d o c o n t r a c t i o n s p r o ca i r i e rm a t hs o c ( 2 0 0 1 ) 8 ，2 3 5 9 2 3 6 3 8 m a n o o r ，t h r e e s t e pi t e r a t i o n sf o rn o n l i n e a ra c c r e t