（基础数学专业论文）态范畴的同伦论问题研究.pdf

华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人量! 鍪向本学位论文答辩委员会提交 题为垒盛生车鱼- 趾睦塑趣a 鸯逸聋容j 硕士论文， 经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。 学位论文答辩委员会委员( 签名) 主席：左醒 论文指导老师( 签名) ：瓣 ( 此框用于存档的学位论文贴学位论文笞辩台格证明) 态范畴的同伦论问题研究 摘要 本文在纤维式范畴的对偶范畴空间下范畴中探讨对象和的宅间 下自同伦等价群的结构问题，以及在连续映射范畴m a p 中探讨其纤维 化的特征及诱导纤维化问题，得到如下主要结果： 定理a 在范畴a 中，如果a u t ( x + y ) 中元素可约化，且a u t 。1 y ) 与a u t 。( x + y ) 为a u t ( x + y ) 的子群，则 a u t ( xq - y ) = a u t ( x 十y ) a u t “( x4 - y ) 定理b 在范畴h n c w 4 中，如果a u t ( x a v y a ) 中元素可对角 化，则a u t ( s + “t ) = a u t ( i x ) a u t ( i ，) 定理cm 一纤维式映射( 西，“) ：( e l ，p 1 ，b 1 ) 一( 场，p 2 ，玩) 为m 一纤 维式纤维化当且仅当( n ) 存在m 一纤维式升腾函数 定理d 若( 毋，。) ：( e 】，p 1 ，且i ) _ ( 玛，p 2 ，b 2 ) 为m 纤维式上纤维 化( 其中e l ，吻，b l ，b 2 均为局部紧致的h a u s d o r f f 空间) ，则对任意连续映 射，：x _ y ，( 妒，a ) 诱导的m 一纤维式映射( i 暇，i 霹) ：( x “，“，y f ，) _ ( x “，”：y 马) 为m 一纤维式纤维化 关键词：态范畴，对象和，自等价，可约化，m 纤维式升腾函数， 诱导m 纤维式纤维化 s t u d yo ft h ep r o b l e m so f h o m o t o p yt h e o r yi nc a t e g o r yo f m o r p h i s m s a b s t r a c t i i it h i sp a p e r w es t u d yt h ec o n s t r u c t i o no ft h cg r o u po ft h eu n d e rs p a c e s e l f - h o m o t o p ye q u i v a l e n c eo ft h eo b j e c t i v es u m si nt h ea n d e is p a c ec a t e g o r y w h i c hi sd u a lt of i b r e w i s cc a t e g o r m a n di nt h ec a t e g o r ym a p w ec o n t i n u et o s t u d yt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ff i b r u t i o n sa n d t h ei n d u c e df i b r a t i o n s w eo b t a i n t h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s ： 2 t h e o r e mai n c a t e g o r yc ，i f t h ee l e i l l e l l t so fa , u t ( x + y ) a l ea l l r e d u c e da n di fa u ! x 峰+ y 1a n da u t y i x - i - y 1a r es u b g r o u p s0 fa u t ( x + y ) ，t h e n a u t ( x + y ) = a ? 1 7 ( x + y ) a u t x ( x + y ) t h e o r e mbi nc a t e g o r yh n c w a i f t h ee l e m e n l so fa u t ( x a v y a 1 a r o , a l ld i a g o n a l i z e d ，l - h e na u t ( s - 4 - 4t ) = a u t ( i x ) a u t ( i y ) ， t h e o r e mcm f i h r e w i s en l a p ( 曲，o ) ：( e 1 ，p l ，b l ) 1 ( 岛，p 2 ，b 2 ) i sa m f i b r e w i s ef i b r a t i o ni fa a d o n l yi ft h e r ee x i s t sam f i b r e w i s el i h i i i gf l i n t ! ，i o n o f ( 也n ) t h e o r e md i f ( 曲，a ) ：( 马，p l ，b 1 ) - ( 易，p 2 ，b 2 ) i sam f i b r e w i s e e o f i b r a t l o n ( e 1 ，岛，b 1 ，b 2a r ea l ll o c a l l yc o m p a c t e dh a u s d o r f fs p a c e s ) 。t h e n t h e m - f i b r c w i s e m a p “d 曼，i d ) ：( 。x b 2 ，p 2 ，y e 2 ) ( x 且1 ，_ r p ，y f l ) i n d u c e d b yc o n t i m m dn l a p ，：x - - 4yi sam f i l ) r e w i s ef i b r a t i o x l k e yw o r d s ：c “。g o r yo f m o r p h i s m s ，o b j e c t i v es l i m s ，s e l f e q u i v a l e n c e r e d u c e d ，m f i b r e w i s ef i b r a t , i o n ，i n d u c e dm f i b r e w i s ef i b r a o n 3 引言 态范畴作为范畴理论中的一类特殊范畴，与代数拓扑中的问题有着紧密的 联系因此研究态范畴的同伦论对代数拓扑中的普通同伦论问题起着辅助推动 作用常见的态范畴有如下三种：纤维式范畴，空间下范畴与映射范畴，即范畴 m a p 纤维式范畴中的同伦论是从纤维丛理论中分离出来的，它最早发端于二十世 纪六十年代j c b e c k e r 1 ，。i f m c c l e n d o n 2 ，ls m i t h 3j 及i mj a m e s 4j 等人分 别于1 9 6 9 年与1 9 7 0 年发表的论文中独立地运用了纤维式同伦论的部分结论 在早期工作的基础上，i m j a m s 5 1 于1 9 8 5 年系统地阐述了纤维式同伦论，并 描述了与之对偶的空间下范畴的同伦论至此，纤维式同伦沦的理论框架基本完 成随后，在1 9 9 0 年与1 9 9 8 年，i m j a m e s 6 7 又发表两本专著，分别介绍了 纤维式一般拓扑理论与纤维式稳定同伦论，使纤维式范畴理论的发展臻于完善 对连续映射的一般拓扑性质的研究始于1 9 9 4 年 8 随后在1 9 9 9 年与2 0 0 1 年，b u h a g i a r 9 1 0 1 把所有连续映射作为对象构成一个态范畴，称为范畴m a p ， 并在范畴m a p 中研究纤维式一般拓扑，由此推广了纤维式一般拓扑理论2 0 0 2 年，h o t t a 与m i w a 1 1 1 建立了范畴m a p 的同伦论，并在此范畴中推广了文【7 的部分结论 本文将在空间下范畴中考虑对象和的自同伦等价群问题以及在范畴m a p 中考虑纤维化问题 本文第一部分考虑对象和的自等价群问题 对象和的自等价群问题来源于与其对偶的对象乘积的自等价群问题在普通 同伦论中，对象乘积的自等价群即为乘积空间的自同伦等价群对乘积空间的自 同伦等价群的研究始于二十世纪六七十年代，在此期间主要是计算一些具体的乘 积空间的自同伦等价群p jk a h n 1 2 1 于1 9 5 5 年计算了a u t ( s “s “) 在1 9 7 0 年，s i e r a d s k i 1 3 得到如下结果：如果x 与，是空间，且a k x = 0 ： 则有如下正合序列： 0 _ x ay ，x y - - - q , a u t ( x y ) - - - + g l ( 2 ，a j j ) 0 其中g l ( 2 ，a ，- ) 是可逆矩阵( h , 1 j ) 在矩阵乘法下组成的群，而矩阵( h f s ) 中的元 是映射h l j ：j 斗的同伦类， 义，y ) ，h ：xxy x y ，并由此计算 4 出j ，at a ( s ”s ) ，m ，7 l 1 ，3 7 ) m e t z l e r 与z i l n m e r m a n n 1 4 于1 9 7 1 年通过 元数得到r 有关a u t ( s 3 s 3 ) 的结果s a w a s h i t a 1 5 于1 9 7 5 年运用映射锥 方法得到r 如下正合序列： 1 _ h _ a u t ( s ”s ”1 g 1 其中m n 芝2 、h 是。( s ”) o f ，。( p ) 的一个因子群，g 是a t ( s v s “) 的子群 自二十世纪八十年代以后，代数拓扑学家转为考虑乘积空间的自同伦等价群 一般性质a n d o 与y a m a g u c h i 1 6 在1 9 8 2 年得到：当捌= 9 与 l j x = 0 时， 1 ， ，】“j a u t ( xxy ) a u t ( x ) a u t ( 1 7 ) 寸1 是正合序列，其中i n v x ，y 。 是幺半群，l “ 中的可逆元素所组成的子群 在1 9 9 0 年b o o t h 与h e a t h 1 7 得到：若a a t ( x y ) 中元素可对角化，且 1 j u t ) = + ) ，则有如下可裂正合序列： 1 _ 瞰a u t l ( 圳_ a u t ( x y ) - - + a u t ( x ) a u t ( y ) _ l 其中a u t i ( ，) 是m a p ( y , y ) 的包含l r 的连通分支，在1 9 9 6 年，h e a t h 1 8 运 用s i e r a d s k i 的方法得到了几条正合序列，由此推广了他与b o o t h 在1 9 9 0 年的 结果p a v e s i c 1 9 在1 9 9 9 年证明了：对于c w 复形x 与y ，如果a u t ( xx y ) 中元素可对角化，则a u t ( x y ) 可表示为它的两个子群的乘积，即 a u t ( x 7 ) = a “t x ( x y ) a u t lr ( y ) 其中a u t x ( x y ) 与a u t y ( x y ) 分别是x y 的保持x 与y 不动的自同 伦等价类所组成的群 在纤维式范畴中考虑对象乘积的自等价群的有关结果较少( 见a r k o w i t z 2 0 ) ， 仅在文 1 7 中有简短的陈述在2 0 0 0 年，p a v e s i c 2 1 先在一般范畴中研究了对 象乘积的自等价群，然后把相关结果应用到纤维式范畴中，证明了纤维积的纤维 式自同伦等价群也可以表示为其两个子群的乘积，并且得到了一系列正合序列， 由此推广了他在1 9 9 9 年的结果 5 与之对偶地，自然地要考虑对象和的自等价群问题在普通同伦论中，最早 的结果南s e r a d s k i 1 3 1 在1 9 7 0 年得到：如果x 与y 为单连通的点标c w 复 形，则有如下正合序列： l 一a k x 吲_ a u t ( x v 】7 ) _ g l ( 2 ，圳_ 1 o k a s t w a s h i t a s u g a w a r a 2 2 1 在1 9 7 4 年得到有关a u t ( ；t 7v x ) 的结果，其中对 于7 n22 ，x 是m 2 连通的，且d i r n y 曼z 一1 f r a n k k a h n 2 3j 在1 9 7 7 年证 明了a u t ( s 1vp v5 1 2 ”1 ) 不足有限生成的 y a m a g u c h i 2 4 j 在1 9 8 3 年研究了 a u , ( x v - vx ) ，其中x 是2 维或3 维的c w 复形m a r u y a m a - m i m u r a 1 7 i 在1 9 8 4 年计算出了a u t ( k p 2 vs 7 ”) ，其中k p 2 表示射影平面，k 为复数或四 元数与c a l e y 数，且2sm 1 6 r u t t e r 2 6 1 在1 9 8 8 年计算了m o o r e 空间x 与 y 的拓扑和的自同伦等价群俞海波 2 7 1 于2 0 0 4 年得到一个与文【1 9 相对偶的 结果：如果x 与y 为单连通的点标c w 复形，且a u t ( x vy ) 中元素可对角 化，则有 a u t ( x vy ) = a u t 。( xv y ) a u t y ( x v y ) ， 其中a u t 。( vy 7 ) 与a u t ( xvl ，) 表示xv 的保持x 与y 不动的自同伦 等价类组成的群 自然地，我们要在纤维式范畴的对偶范畴一空间下范畴中考虑对象和的自等 价群鉴于现有文献中尚未出现有关的结果，本文将致力于研究这一问题本文 首先在一般范畴中考虑对象和的自等价群问题，然后利用得到的结果解决空间下 范畴中对象和的自等价群的分解表示问题，得到如下主要结果： 定理a 在范畴c 中，如果a u t ( x 十y ) 中元素可约化，且a u t 。伍+ ，7 ) 与a u t ( x + y ) 为a u t ( x + y ) 的子群，则 a u t ( x + y ) = a u t y ( x + y ) a u t 。( x + y ) 定理b 在范畴h n c w 4 中，如果a u t ( x a v y a ) 中元素可对角化，则 a u t ( s + 4t ) = a u t ( i x ) 。4 u t ( i t ) 本文第二部分考虑范畴m a p 的纤维化问题 h o t t a 与m i w a 1 1 1 在范畴m a p 中给出了m 一纤维式上纤维化与纤维化的 概念，并且给出了m 一纤维式上纤维化的特征，但是没有给出m 一纤维式纤维化 6 的特征本文将给出其特征，并l 将考虑诱导 f 一纤维式纤维化的问题，得到如 下主要结果： 定理c m 一纤维式映射( 咖，o ) ：( e l ，p - ，b 1 ) _ ( 邑，p 2 ，b 。) 为 f 纤维式纤 维化当且仅当( 曲，n ) 存在m 一纤维式升腾函数 定理d 若( 西，q ) ：( e 1 ：p 1 日1 ) - 4 ( 马，p z ，b 2 ) 为 彳一纤维式上纤维化( 其 中e 1 ，e 2 ：0 l ，b 2 均为局部紧致的h a u s d o r f f 空间) 则对任意连续映射，：x _ y ，( 西，o ) 诱导的m 一纤维式映射( 诎殳，z 弗) ：( x “，”，】，8 z ) _ ( x “，“y 目) 为a ，一纤维式纤维化 7 第一章态范畴的同伦论基本概念 本章作为准备知识，介绍相关的概念第一节介绍有关范畴与函子的知识， 第二节介绍一般拓扑范畴中同伦论的基本概念第三节与第四节介绍三种具体的 态范畴：纤维式范畴，空间下范畴与范畴m a p ，然后给出相应的同伦论基本概 念 第一节范畴与函子 定义1 1 1 一个范畴c 由三部分组成： ( 1 ) 一类对象o b c ； ( 2 ) 对于对象的一个二元有序组( x ，l ，) ) 存在一个集合h c m g c ( x ，y ) ，如果 f h o m e ( x ，y ) ，则称，为从x 到y 的态，记作f ：x - - + y ； ( 3 ) 对于对象的一个三元有序组( x ，z ) ，有一个对应： h o m e ( x ，y ) h o r r j , c ( y jz ) - h o m e ( x ，z ) 称这个对应为合成上述三部分满足： ( a ) 结合性：h ( g f ) = ( 蛔) 厂； ( b ) 恒等元：对每个x o b c ，有1 x h o m e ( x ，x ) ，使得1 x ，= f ，其中 _ 厂h o m e ( w x ) ，w o b c ；9 1 x = g ，其中g h o m c ( x ，】7 ) ，y o b c 例1 1 2 ( 1 ) c = t o p ，称t o p 为拓扑空间范畴，其对象为拓扑空间，态 为拓扑空间之间的连续映射，合成为一般的映射合成； ( 2 ) c = t o p + ，称t o p + 为点标拓扑空间范畴，其对象为点标拓扑空间，态 为保基点的连续映射，合成为一般的映射合成 定义1 1 3 称范畴a 为范畴e 的子范畴如果o b aco b c ，又对所有的 x ，y o b a ，有h o m a ( x ，y ) ch ( m t c ( x ，n ，且a 中态的合成为c 中态的合成 的限制 例1 1 4 范畴丁o p + 为范畴t d - p 的子范畴 定义1 1 5 在范畴e 中，称f h o r n g ( x ，y ) 为等价态，如果存在口 h o m e ( v x ) ，使得9 ，= l x ，f g = 1 y 特别地，若x = y ，则此时称，为对象x 的自等价态 8 记a u t o ) 为x 的所有自等价态的集合，易知a u t c ( x ) 在合成法9 l j 下构 成一个群，称为对象的自等价群 定义1 1 6 在范畴g 中，称对象z 为x 与y 的和，若存在态i _ ) f ：x _ z 与i s , ：y 一z ，使得对任意态，：x 斗w 7 与g ：1 7 _ i 7 存在唯的态 h ：z _ ，满足h i x = ，h i y = 9 此时记z 为义+ y 例1 1 7 在范畴t o p 中，空间x 与y 的和为拓扑和x u y ；在范畴t o p + 中，点标空间( x ，2 j 0 ) 与( v 珈) 的和为和xv 7 定义1 1 8 在范畴c 中，称对象z 为x 与y 的积，若存在态p x ：zj x 与p 】，：z 一y ，使得对任意态，：w _ x 与9 ：w 寸7 ，存在唯一的态 ，l ：w _ z ，满足p x h = ，p y h = g 此时记z 为x y 例1 1 9 在范畴t o p 中，空间x 与 7 的积为笛卡尔积x y - ；在范畴 t o p + 中，点标空间( x ，跏) 与( ky o ) 的积为( x e ( z o ，o ) ) 定义1 1 1 0 在范畴c 中，对于态f ：y _ x 与9 ：z _ x ，称对象w 为 ，与口的拉回，若w 由一交换图表 w 旦一y 0l 箩 存在唯一的态 ：v - - + w ，使得如下图表交换 漆叁_ j ! 。过 例1 1 1 1 如下图表给出： 9 y b ，x 上 一 表图换交意任对给 彤 回拉的y 1 、 1 、 y h v x ， t | | 射立 旦 型一 帆w 州z ”儿 畴范芷 其中= “，。) 7 zi ( y ) = 口( 。) ，与口为坐标投射 定义1 1 _ 1 2 在范畴c 中，对于态，：x 寸y 与夕：x _ z ，称对象1 4 7 为 ，与g 的推出，若w 由一交换图表 x 上y g fi 互 存在唯一的态k ：w _ 【，使得如下图表交换 例1 1 1 3 如下图表给出： 在范畴t o p 中，映射f ：x _ y 与g ：x _ z 的推出w 由 x l y 0 上捃 z 。一w 其中w = ( y uz ) 一，等价关系“一”由，( 。) = 9 ( z ) 给出，厂与口均由嵌入 映射所诱导 定义1 1 1 4 对于范畴e ，称范畴d 为联系范畴c 的态范畴，若d 的对 象为c 中的态，从对象，：x _ y 到，：x _ y 的态为由态g ：x 斗x 与 h ：y _ y 7 组成的态偶对( g ， ) ，使得如下图表交换： x 一里一x ，! ， ，l ， 1 0 y p u 上 上 表图换交意任对出给 定义1 1 1 5 对于范畴c 与d 称从c 到d 的对应丁为协变函子( 反变 函子) ，若丁把x o b c 映为r ，( x ) o b d ，把f h o m c ( x ，y ) 映为t ( f ) h o r n 。( 丁( x ) ，t o ( 或t ( f ) ，o m d ( t ( ，) ，丁( x ) ) ) ，且满足： ( a ) 丁( 1 x ) = 1 t ( x ) ； ( b ) t ( g f ) = t ( g ) t ( f ) ( 或t ( g f ) = 7 1 ( ，) 丁( 9 ) ) 众所周知，同伦函子7 r + 与同调函子矾是从范畴t o p 到群范畴的两个协 变函子，上同调函子h + 是从范畴t o p 4 到群范畴的反变函子 定义1 1 1 6 称对应妒为从协变函子n ：g _ d 到7 j ：c d 的自 然变换，若对任意x o b c ，有妒( x ) h o r n d ( 乃( x ) ，毋( x ) ) ，且对任意f h o m c ( x ，y ) ，有如下交换图表： 五( x ) 二堕( 丑五( y ) 死。螺鳖l 并 此时若对任意x o b c 妒( x ) 为d 中的等价态，则称妒为自然等价 第二节拓扑空间范畴的同伦论概念 定义1 2 1 对于映射f ，g ：x _ y 及子空间ac 义，称，同伦于g ：若存 在映射日：x i 1 7 ，使得日( 一，o ) = f ，h ( - ，1 ) = g ；若又对任意z a 及 t j ，有h ( x ，t ) = f ( x ) = gc x ) ，则此时称，相对于a 同伦于g ，同伦于g 记作，竺g , f 相对于a 同伦于9 记作f ! gr e l a 当a 为单 点空间时，称- 厂点标同伦于9 定义1 2 2 称映射f ：x - - + l ，是同伦等价，若存在映射，：y _ x ，使得 f ! 、x ， l11 y 特别地，当又= y 时，称，为x 的自同伦等价记x 的所有点标自同伦 等价类的集合为a u ( x ) ，易知在同伦类的合成法则下a u t ( x ) 为一个群，称为 x 的自同伦等价群 定义1 2 3 称空间x 与y 有相同的伦型，若存在映射f ：x - y 为同伦 等价 以下给出著名的w h i t e h e a d 定理 引理1 2 4 设单连通空间x 与y 具有点标c w 复形伦型，点标映射 f ：x _ y 诱导同调群同态 ：见( x ) 一h + ( y ) ，则，是同伦等价当且仅当 为同构 定义1 2 5 称映射p ：e _ b 为纤维化，若给定映射，：x _ e 及 f ：x 1 - b ，满足f ( 一，0 ) = p f ，则存在映射g ：x ，_ e ，使得如下图表 交换： x l e i 逢筮窀 其中( 7 0 ：x - x 由印( z ) = ( x ，0 ) 给出， 对于空间x 与，给集合h o m t o p ( x ：1 7 ) 赋予紧开拓扑，则称h o r n 丁。p ( x ，1 7 ) 为映射空间，记作y 。 给定映射p ：e _ b ，令b = ( e ，u ) e b 7 i u ( o ) = p ( c ) ) ：定义映射 芦：e - 廖由声( “) ) = ( u7 ( 0 ) ，p w ) 给出称映射a ：直_ e 为p 的升腾函数， 如果a 为声的右逆 以下给出纤维化的一个特征 命题1 2 6 2 8 】映射p ：e - - + b 为纤维化当且仅当存在p 的升腾函数， 定义1 2 7 称映射，：x - x 为上纤维化，若给定映射9 ：x - y 及 g ：x 。i 斗y ，满足g ( 一，0 ) = g f ，则存在映射f ：x i _ y ，使得如下图表 交换： x x ， ，丞f f h 其中i o ：x 斗x ，与i j ：x _ x7 ，分别由i o ( 。) = ( z ：o ) 与i j ( z ) = ( z ，0 ) 给出 对于映射，：x 寸x ，令贾= ( ( x x ，) ux ) 一，其中”一”表示等价关 系，由( z ，0 ) 一，( 。) 给出定义映射i ：贾。x i 由 沁，= y 蓦关t 6 x 其中表示等价类称映射p ：工，_ 戈为，的收缩函数，如果p 为i 的左 逆 以下给出上纤维化的一个特征 命题1 2 8 1 2 8 】映射，：x _ x 为上纤维化当且仅当存在，的收缩函数 对于映射f ：x 1 7 ，令e s = ( 。，u ) x y 7 u ( o ) = ，( 卅 ：此时称吩 为，的映射道路空间作映射s ：x 。弓由s ( z ) = ( z ，w s ( 。) ) 其中u s ( 。) 表示 y 中在点，) 处的常值道路；作映射p ：毋一】7 由p ( z u ) = “( 1 ) 以下将给出，在同伦意义下，任意映射既是纤维化又是上纤维化 命题1 2 9 2 8 对于映射，：x _ y ，存在如下交换图表： x 上p ， ， 且p 为纤维化，s 为同伦等价 对于映射_ 厂：x - y ，令嘶= ( ，) ur ) 一，其中等价关系”一”由 ( z ，1 ) 一f ( z ) 此时称m ，为，的映射柱作映射i ：x _ 乃由i ( z ) = 陋，o ”： a ，_ y 由r x ，t = ，( 。) 与r m = y ，其中z x ，y k t ， 命题1 2 1 0 1 2 8 】对于映射，：x 。y ，存在如下交换图表： x lm f ，。 且i 为上纤维化，r 为同伦等价 以下给出，在一定条件下由上纤维化与纤维化分别诱导纤维化的结论 命题1 2 n 2 8 令，：x 一x 为上纤维化，其中x 与x 为局部紧致的 h a u s d o r f f 空间，y 为任意空间，则映射p ：y x _ y x ( 由p ( f ) = g ，定义) 是 纤维化 文f 2 9 1 证明了上述命题的逆命题也是成立的，即有 命题1 2 1 2 1 2 9 对于映射f ：x 斗x ，其中x 与x 为局部紧致的 h a u s d o r f f 空间，若对任意空间y ，映射p ：y x _ y x ( 由p ( g ) = , 3 f 定义) 是纤 维化，则，是上纤维化 1 3 命题1 2 1 3 1 2 8 】令映射p ：f 。日为纤维化且x 为局部紧致的h a u s d o r f f 空问，映射p ：e x b 。由p7 ( ) = p g 定义，则p 7 为纤维化 易知上述命题的逆命题也是成立的，即有 命题1 2 1 4 对于映射p ：e 寸口及任意局部紧致的h a u s d o z f f 空问x ，若 映射p7 ：e 鼻_ b 。( 由p ( g ) = p g 定义) 为纤维化，则p 也是纤维化 第三节纤维式范畴与空间下范畴的同伦论概念 本节将介绍两种具体的态范畴：纤维式范畴及其对偶范畴一空间下范畴，然 后在这两个范畴中给出一些基本的同伦论概念 给定拓扑空间b ，记t o p b 为纤维式范畴，其对象为任意连续映射p ：x _ b ，从对象p ：xo 口到q ：y 叶b 的态为连续映射f ：x _ y ，使得如下图表 交换： ， x j 一y 八彳 口 此寸称x 与y 为纤维式空间，为纤维式映射，记作，：p _ q 对任意b b ， 称p - 1 ( b ) 为点b 上的纤维，记作 易见当b 为单点空问时，此时的范畴即为拓扑空间范畴，故拓扑空间范畴 为纤维式范畴的子范畴 定义1 3 1 对于两纤维式映射f ，g ：p 叶q ，称，纤维式同伦于g ，若存在 一族纤维式映射h ：poq ，t ，使得h o ：，h 1 = 9 ，且h t 对t 是连续依赖 的此时称 t 为从，到g 的纤维式同伦 ，纤维式同伦于g 记作f = bg 定义1 3 2 称纤维式映射，：p _ q 为纤维式同伦等价，若存在纤维式映 射g ：q _ p ，使得, q f2 b1 x ，f g = 月1 y 特别地，称纤维式同伦等价厂：p _ p 为对象p 的纤维式自同伦等价记 a u t ( p ) 为p 所有的纤维式自同伦等价类的集合，易知在同伦类的合成法则下， a u t ( p ) 为一个群，称为p 的纤维式自同伦等价群 引理1 3 3 5 在范畴t o 如中，若对象p ：x 斗b 与q ：y1 b 为纤维 化，：x y 为纤维式映射，则f 为纤维式同伦等价当且仅当，为同伦等 价 在范畴t o 昂中，对象p ：x - - + b 与q ：1 7 - - + b 的乘积p 月q ：x b y _ b 由如下拉回图表给出：x a 。p 旦一y ，n 一y 口ip 浴kl q x 7 b 其中f 与口分别为p 与q 的拉同 在范畴t o r 中，对于对象p ：x _ b 与q ：y - - + b ，记m a p 口( x ，y ) 为所 有从p 到q 的纤维式映射的集合给m a p b ( x ，y ) = u 畦日m a p ( x b ，k ) 赋予紧开 拓扑，此时称m a p b ( x ，y ) 为纤维式映射空间 定义1 3 4 在范畴t o 岛中，称纤维式映射p ：e - x 为纤维式纤维化， 若对于纤维式映射，：a _ e 及纤维式同伦g t ：4 斗。y ，满足舶= p f 则存在 纤维式同伦h i ：a _ e ，使得h o = ，p h t = g t ， 在范畴t o 如中，记纤维式空间x 的纤维式道路空间为岛= m a p 一( b ，x ) ，定义映射p o ：如( x ) 叶x 由p o ( w ) = u ( o ) 对于纤维式映射p ：e 斗x ， 其纤维式映射道路空间( p ) 由如下拉回图表给出： ( p 卜一岛( x ) lp ， 定义纤维式映射k ：尸售( e ) - 名( p ) 由( u ) = ( “j ( o ) ，删) 以下给出纤维式纤维化的特征 命题1 3 5 1 7 j 纤维式映射p ：e _ x 为纤维式纤维化当且仅当纤维式映 射k ：( e ) _ w b ( p ) 存在右逆 定义1 3 6 7 】称纤维式映射z t ：a _ x 为纤维式上纤维化，若对于纤维 式映射f ：x _ e 及纤维式同伦g 。：a 叶e ，满足g o = f u ，则存在纤维式同伦 h t ：x _ e ，使得h o = f ，g t = h 7 1 , 以下给出，在一定条件下由纤维式上纤维化与纤维式纤维化分别诱导纤维式 纤维化的结论，即 命题1 3 7 7 j 设纤维式映射“：a - - x 为纤维式上纤维化，其中义是纤 维式局部紧致正则的，且a 为x 的子空间则对任意纤维式空间y ，纤维式映 射4 ：m a p s ( x ，e ) _ m a p b ( a ，e ) ( 由“+ ( ，) = ，定义) 是纤维式纤维化 1 5 命题1 3 8 7 1 设纤维式映射击：e _ f 为纤维式纤维化，则对任意纤维式 局部紧致正则的纤维式空间y ：纤维式映射咖+ ：m a p b ( 1 je ) 斗m a p b ( vf ) ( 由 仉( f ) = o f 定义) 是纤维式纤维化 以下给出纤维式范畴的对偶范畴一空间下范畴的基本概念 给定拓扑空间a ，记丁o p 4 为a 下范畴，其对象为任意连续映射s ：a - x ， 从对象8 ：a _ x 到t ：a - y 的态为映射，：x _ y ，使得如下图表交换： 【4 此时称，为4 下映射，记作，：8 - t 易见，当4 为空集时，此时的范畴即为拓扑空间范畴，故拓扑空间范畴为 空间下范畴的子范畴 定义1 , 3 9 在范畴t o p 4 中，对于两a 下映射，g ：8 - - + t ，称，a 下同伦 于g ，若存在一族a 下映射h ，：8 _ t ，r i ，使得h o = f ，h 1 = g 且h ，对r 足 连续依赖的此时称h t 为从，到g 的a 下同伦 ，a 下同伦于g 记作f 1 4 g 定义1 3 1 0 称a 下映射，：s 叶t 为a 下同伦等价，若存在a 下映射 9 ：t _ 8 ，使得g f1 4l x ，f g1 41 y 特别地，称a 下同伦等价y ：8 _ 8 为对象s 的4 下自同伦等价 记a u t ( s ) 为8 的所有a 下自同伦等价类的集合易知，在同伦类的合成法 则下，a u t ( s ) 为一个群，称为s 的a 下自同伦等价群 引理1 , 3 1 1 1 5 】在范畴t o p 4 中，若对象8 ：a _ 十x 与t ：a 寸y 为上纤 维化，f ：x 叶y 为4 下映射，则，为a 下同伦等价当且仅当_ 厂为同伦等价 在范畴t o p 4 中，对象8 ：。4 _ x 与z ：a y 的和s - i - 4 t ：ar x + “1 7 由如下推出图表给出： a 旦一x 4 k - 1 t h yy y “x + a y 其中i y 与i x 分别为s 与t 的推出 在范畴t o g 中，称子范畴t o 蹭为纤维式点标范畴，若其对象p ：义一日 存在截面乒：b _ x ，且对象之问的态保截面，即对于对象p ：_ b 与 1 6 g ：y 寸b ，p 与q 分别有截面声：b 斗x 与口：口_ 7 ，从p 到g 的态为映射 ，：x1 】7 使得如下图表交换： 日 夕了y 爿l y b 若在范畴t o 岛中，b 为连通的点标c w 复形( 记b 为b 的基点) ，任意 对象p ：义_ 日为纤维化，且x 与纤维x b 具有c w 复形伦形，则记此时的 范畴为c w s ，其点标范畴记为g w 占易见，当口为单点空间时，范畴e w 口为 c w 复形范畴，范畴g 信为点标c w 复形范畴对于范畴c w d 中的任意对 象p ：x - b ，在托中选定一个基点，记a 乱t ( p ) 为p 的所有保基点的纤维式 自同伦等价类的集合，与前述一样，也称a n t ( p ) 为对象p 的纤维式自同伦等价 群， 与之对偶地，我们也可以定义4 下点标范畴t o 磺，其对象s ：a 叶x 存 在左逆j ：x 斗a 对于对象s ：a 叶x 与t ：a 斗y ，j 与i 分别为s 与t 的左 逆，从s 到t 的态为映射，：x 斗y ，使得如下图表交换： a 义l y a 若在范畴t o p 4 中，a 为连通的点标c w 复形，任意对象s ：a _ x 为上 纤维化，且x 与上纤维x s ( a ) 具有c w 复形伦形，则记此时的范畴为c w “， 其点标范畴记为a - 呀由于上纤维化为单射，故s 可看作包含映射，从而s 的 上纤维可记为x a 易见，当a 为空集时，范畴c w 4 为c w 复形范畴；当4 为单点空间时，范畴c w 2 为点标c w 复形范畴对于范畴c w 4 中的任意对 象8 ：a x 选定s ( 。) 为x 一个基点，其中a 为a 的基点记a u t ( s ) 为s 的 所有保基点的a 下自同伦等价类的集合，与前述一样，也称a u t ( s ) 为对象s 的 a 下自同伦等价群 1 7 第四节范畴m a p 的同伦论概念 本节将介绍另一种具体的态范畴一范畴m a p ，然后给出相应的同伦论概 念 范畴m a p 的对象是拓扑空间之间的连续映射，从对象p j ：蜀一日】到 p 2 ：e 2 叶_ 日2 的态是两连续映射咖：e l _ e 2 与( ) _ ：b l 斗b 2 组成的偶对( 西，) ， 并使得以下图表交换： 西。 1 2 , 1 。d 2 p 曼壁安 此时称对象p l ：e 1 _ b l 与p 2 ：e 2 。b 2 为m 一纤维式空间，记为( e l ，p l ，b 1 ) 与( e ，p 2 ，b 2 ) ；称态( 西，n ) 为m 一纤维式映射，记为( 西，n ) ：( e 1 ，p l ，b 1 ) _ ( 历，p 2 b 2 ) 易见，拓扑空间范畴，纤维式范畴与空间下范畴均为范畴m a p 的子范畴 定义1 4 1 设( 曲，“) ，( 日，卢) ：( e 1 ，p 1 b 1 ) 一( e 2 ，p 2 ，b 2 ) 为m - 纤维式映 射，称( 西，n ) m 一纤维式同伦于( 口，卢) ，若存在m 一纤维式映射( h ，h ) ：( ， e l ，i d p 1 ，xb 1 ) - - + ( e 2 ，p 2 ，b 2 ) ，使得h o - o = ，h a l = 0 ，h s o = o t ，h 5 1 = 卢其 中0 【je l - j e 1 与6 0 ：b l - - + i b 1 分别由6 0 ( e 1 ) = ( 0 ，e 1 ) 与5 0 ( b 1 ) = ( 0 ，b 1 ) 给出一。与d ，的定义类似 ( 妒，a ) m 一纤维式同伦于( 日，厅) 记作( 咖，o ) = ”( 日，卢) 命题1 4 2 关系= m 为等价关系 定义1 4 3 称m 一纤维式映射( 日，) ：( e 1 ，p l ，b 1 ) - 4 , ( e 2 ，p 2 ，b 2 ) 为 ，一纤 维式同伦等价，若存在m 一纤维式映射卢) ：( 岛，p 2 ，b 2 ) 一( 蜀，p t ，b t ) ，使得 ( 咖目：卢d ) ! ! m ( i d e ，i d 口。) ，( 目咖，q 卢) ! m ( i d e 2 ，i d b 。) 以下给出m 一纤维式上纤维化的定义 定义1 4 4 称m 一纤维式映射( 0 ，q ) ：( e l ，p l ，口1 ) 叶( 岛，p 2 ，马) 为m 一纤 维式上纤维化，若对任意m 一纤维式空间( x ，p ，b ) 以及m 一纤维式映射( 妒，卢) ： ( e 2 ，p 2 ，b 2 ) 寸( x ，p ，b ) 与( g ，g ) ：( ，xe 1 ，i d p l ，xb 1 ) - - + ( x ，p b ) ，有如下 交换图表成立： 1 8 e l 叫 e 2 i e 1 l g 则存在m 一纤维式映射( 日， ) ：( ，e 2 ，i d p 2 ，b 2 ) 叶( x ，p ：b ) 使得h p o = 妒，h ( i d 西) = g ，h l o = 卢，h ( i d o l ) = g 其中p o ：e 2 _ ，e 2 由 p o ( 2 ) = ( o ，e 2 ) 定义；”马- 4 ，毋由l o ( 6 2 ) = ( 0 ，b 2 ) 定义 以上可用如下交换图表来表示： 对于m 一纤维式映射( 咖，q ) ：( e l ，p i ，b 1 ) _ ( e 2 ，p 2 ，b z ) 及映射组 令m = ( ( ，e j ) u 局) 一，b = ( ( ，b 1 ) ub 2 ) ，其中“一”与“”表示 等价关系，由( 0 ，e 1 ) 一曲( e 1 ) e l e l ；( o ，b 1 ) ( 6 1 ) ，6 】b 1 映射p ：m 呻b 由 比，= 燃：茎芝紫。 定义易知p 定义合理且连续 映射k ：m _ 1 e 2 及：b _ ，b 2 由如下定义： 七c z ，= ：5 8 l 。z2 e r 2 e - l | , 西t 。e c ， 一 一 玩l岛 易玩 上旦 一 即，= ；6 1 ) ) ：言是叫揣 易知k 及f 连续，且有如下交换图表： m 生一岛 pll i d p 2 b + 上k b ： 从而( k ，) ：( m ，p ，b ) - ( 1 e 2 ，i dxp 2 ，b 2 ) 为m 一纤维式映射 以下给出m 一纤维式上纤维化的特征 引理